Специальные поворотно-конформные отображения римановых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В. И.ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукописи.

Сами Аль Х^ссин в

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОВОРСШЮ-ШйЮШНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

ршювых пространств

01.01.04 - геометрия и топология Автореферат

а

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии Одесского государственного университета им. И. И.Мечникова

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент С.Г.Лейко

Офишгальнве оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кириченко В.Ф.

кандидат физико-математических наук ¿1ацдра И.Г.

Ведущая организация: Казанский государственный университет

им.В.И.Ульянова-Ленина

Защита состоится " « в /£ часов

на заседании специализированного совета ^053.02.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Москов-. ском ордена Лели на и Трудового Красного. Знамени педагогическом "государственном университете имени Б.И.Ленина по адресу: 107140, Москва, ул.Краснопрудная, 14. Математический факультет МПГУ им. В.И.Ленина, ауд.302. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке (¿ЛГУ им.В.И.Де-нин& (I19882, Москва, Малая Пироговская, I).

Авторе-^ерат разослан " г.

Ученый секретарь специализированного совета

доцент Г. ¿..Карасе в

•■| . общ характеристика работы

'¿'-—^Актуальность теш. Задача о конформном отображении римановюс пространств привела к понятию конформно-евклидовых пространств, которые играют важную роль в римановой геометрии С 1,4-6 ]. Вопрос о конформном отображении рямановых пространств на пространства Эйнштейна является естественным обобщением задачи о конформно-ев-клидових римановнх пространствах. Он был поставлен и в основном ■ реиен Х.Бринкмаиом [?], а затем рассматривался другими авторами (41. :

Одно из ингорестгх применений конформных соответствий принадлежит А.^иалкову [8 ]. Ок рассмотрел в римановом пространстве экстремали вариационной задачи

Í

Г oís = О

j

си

где F есть точечная функция, a d S - элемент дуги в" Vh~. Указанные экстремали вши названы конформными геодезическими. По-* казано, что они описывают траектории движения различных физических частиц.

.Одним из этапов изучения специальных конформных диффеоморфизмов было введение К.Нио [ 9 J кондаркулярных диффеоморфизмов.■ Оня, по определению, птптся конформными и сохраняют геодезические круги (то есть кривда с постоянной первой кривизной Фраке _

tС, = ton St, U г - ----* К* - О ).

Их основкыз уравнения имеот вид

6¿,/ = 6 ¿^tbgcj,

где 6 - некоторый инвариант.

В настоящей диссертационной работе изучаются болей общие,' тем конциркуляр(шэ диффаойорфизш, названные кзазик<*нодркулярккми, з уем направления, которое разработано С.ГЛейко [2].

Им бнлн ввздега s рассмотрение поворотике и спик-диффеомор-^измн. Поворотные диЗ^есгюрфкзиы, по определению, переводят feb- ' ¡езическиё яривыэ в агстреи&ли попорота"(свободнне или изолериме-.•ричесвие), Свободнне экстр-змалк являются решениями вариационной' ¡едачя •

г

$ ьЛ з) Ы 6 = о.

(2)

'где К.) [&) - пг;)вая кривизна Френе, и, соответственно, изопериме». трячсскчс экстремали поворота - решениями задачи (2) при дополнительном изспериметрическоы условии

= О

- Ь случае, когда все образы геодезических-экстренапу. поворота имеют постоянную первую кривизну Френе, тогда поворотный диффеоморфизм называется спи н-диоиорфизмсм.

С.Г.Лейяо обнаружено, что при и, ^ссп I экстремали поворота являются траекториями спин-частиц, движущихся в гравитационном поле со специальным тензором, спина, а затем были изучены спин-конформные диффеоморфизмы [3]. Было обнаружено, что они являются специальными конциркулярнши диффеоморфизмами Уп —- р„:

б

В = -С © С1 } С, С( -COf7£i.

Далее естественно возник вопрос о существовании яоворотно-нЪнформных диффеоморфизмов, отличных от спин-"и^еоморфизмов. В настоящей диссертации этот вопрос решен положительно в классе диф-феоыЗрфизмов, названных хвазиконцирхуяяридаи. Последние определе-'ны условием

бс - * а(б)„ б: б;

где ~ Сс - некоторая функция от (5 .

Принимая во внимание изложенное-вше, представляется актуальной тема данной диссертации. ' "

Диссертационное исследование носит теоретический характер. в Тема диссертации входит в качестве составной части в общуо научногисследовательскую тему "Дифференцируемые отображения об-, обменных геометрических пространств", которая разрабатывается по приказу Минвуза Украины на кафедре геометрии и топологии Одесского госуниверситета (научный руководитель доцент С.Г.Лейко, номер госрегистрации во ВНГШентре СССР № 01910037434). - •

Цель работы. Целью данной работы является изучение специальных конформных диффеоморфизмов, отличных от спин-дифреоморфизмов.

Научная новизна и основное задачи, решенные в диссертации и выносимые на. защиту. в данной работе: '

1. Получены основные уравнения специальных поворотно-комЬорм-кых диффеоморфизмов, из которых следует существование поворотно-конфо'рмных диффеоморфизмов, отличных от спин-диффеоморфизмов.

2. Введено новое понятие квазиконциркулярного поворотного , диффеоморфизма. Также получены новые иН. .риантные объекты относительно квазиконциркулярных отображений.

3. В специальной системе координат построены метрики пространств, допускающих квазиконциркулярные поворотные диффеоморфизмы,

4. Рассмотрен!' специальные пространства, допускающие квазиконциркулярные поворотные диффеоморфизмы, доказан ряд теорем, посвященных пространствам постоянной кривизны, пространствам Эйн-птейна. ,

Теоретическая и практическая ценность. Результаты получеиныэ в диссертации, являются естественным дополнением известных результатов теории экстремалей поворота и конформных огображо"чй, а. так-» лее теории конциркуляриых диффеоморфизмов, и поэтому представляют., теоретическую ценность с точка зрения современной дифференц'иаль--ной геометрии. Оки могут быть использованы в теоретической меха--нике и теоретической физика. >. ;

Истод исследований. Исследования нося! локальный характер,_ проводятся в классе достаточно гладких функций, в тензорной форме и, как правило, в произвольной системе координат. '„/

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и об^ суждались на научном семинара кафедры , геометрии и топологии Одес- . ского университета (рукоподит°ль доцент С.Г.Лейко), 46-й научной < конференции профессорско-преподавательского состава и научных ра- , ботникоз, наяном семинаре кафедры геометрии Казанского госуни-сорситета (руководитель - профессор Широков А.П.), а также на математической факультета университета Аль-Баас в Хомсо (Сирия).

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в , двух работах. '.'.'.. '."• ' •

Структура и ебьем работа. Диссертация сойтояз из введения,' трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации 86 стра- • ниц мшшюггасного тгкета, библиография содержит 43"наименования."

- б -

Краткое содержаний диссертации

Во введении приведен краткий обзор литературы по тема диссертации и дается аннотация полученных результатов. ; • * Первая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе, который Н..-5ИТ в. злой характер, изложена; теория экстремалей поворот» [ 2 .]. 1

Дифференциальные уравнения иэоперцкетричеаких экстремалей поворота имеют, вид

"П 'т*Ч"1'*!* :

+ : {V

где

13-5 Ь ,

■к.

б3 > { > = С Оп %Х - скалярное произведение

относительно метрики ^ , V - риыанова связность V/, , Й - тензор кривизны, X - канонический параметр, <Э ± I'

если X - длина, дуги..

Второй параграф содержит необходимые факты по теории конформных- отображений. '

В третьем параграфе получены основные уравнения специальных поворотно-конформных диффеоморфизмов. Здесь доказана следующая теорема.'

- 7 -

Теорема. Если для конформного диффеоморфизма. р Ур -

выполняются условия ^

. ' • * • " а $ * а\ ^ 6<> * Т ^

- с/(д,6-&)- (3)

о р является поворотным диффеоморфизмом.

Вторая глаза посвяшзна рассмотрело квазиконциркулярных1 по-зротних диффеоморфизмов.

В первом параграфе получены инвариантные объекты относитель-) квагикогадиркуляршх етобршзяний: - •

.7." , ' /п у^убЦ

- в -

* - тензор Риччи, /2 - скалярная кривизна.

Последний тензор получен в неиэотропном случае О и',

назван тензором квазиконциркулярной кривизны. При СС { он совпадает с тензором конциркулярной кривизны К.Яно [9].

Докячана теорема. • .

Теорема. Риманово пространство, допускающее кваэиконш.рку-лярный диффеоморфизм, при котором » О , -О

является субпроективным пространством. - ***

Втотюй л «третий параграфы посвящены изучению квазиконцирку-лярных поворотных диффеоморфизмов, в случае неизотропности и изотропности соответственно. Рассматривается задача отыскания метрик Тпр странств,; , допу^нающцх квазиконциркулярные поворотные диффеоморфизмы, в которых существуют редетя системы (3). Введена следующие определения и доказаны теоремы.

Олределзнш. Риманово пространство будем называть пространством Фиалкова, если в нем существует функция , такая, что

' -РС^?*';

где Р ( 'С ) - 'некоторая функция. Если ■

. Иу) Со \ с°;с<. -соп^

линейная функция, то пространство Фиалксва называем пространством Бринкшна.

Теорема. Если риманово пространство допускает поворотный ква-зиконцир^улярный диффеоморфизм, то, оно является пространством Фиа-лкова и в наизотрошом случае его ветр1ка в почти-полугеодезической системе координат имеет, ввд: ' .

П ... 1 у") ~ прочзвольнке И КОэффИЦ' }НТ одно-

значно определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений

¿к V ±

«V '

/^Г у Р11 Ы/

: лг- ЙУ

с Еибранно'й функцией СХ ( и начальными данными

У б/«) - Х;0:*о, ¿(&')'1>о *о.

о •

Теорема. Если риманово пространство допускает изотропный квазиконциркулярный поворотной диффеоморфизм, то оно является пространством Бринкмана изотропного типа и имеет в изотропной

полугеодезической системе координат метрику в форме

¿¡Р -- г,3, ■■ 1 : ': : ; :

при отом инварианты (X , аС определяются черег функцию конформности (5 -формулами

' <о" 6'6 "-¿б" а--. ы • ——-—— .

(бу ■ сб')\ ;

В четвертом параграфе рассмотрены вопросы квазиконциркуляр-ных "оворотных диффеоморфизмов, обладающих свойством взаимности, то есть когда обратное отображение является также квазиконцйрку-лярным диффеоморфизмом.

Теорема. Поворотный квазиконциркулярный диффеог - >рфизм в изотропном случае всегда обладает.свойством взаимности, а в неиэо-тропном случае только, когда выполняется условие :

¿■(а-ф-а) ' I,

где О. - решение системы дифференциальных.уравнений

¡¿у' у а/ - '

ау ' Р ',■• : '-.Г ':

с. начальными данными

~ {о ? О , - Эо +0;

: ~бо > -А*

и Ф [Ц о ) * С1о ■ этом метрика пространства имеет вид 2' 1 ' / ~ г.

\d-s- - 9«с(у' 77

где

а ( У2" "'■> У*) ~ произвольные (сС^ // Ц ^ О).

Тде V . 6 такие является решением этой системы.

• В третьей главе рассмотрены специальные пространства, допускающие квазиконциркулярнь*? поворотные диффеоморфизмы. Пространства постоянной кривизны; . допускающие квазиконциркулярнне поворотит диффеоморфиз; ч, изучаются в первом параграфе. Доказаны следу-ютде теоремы..

Теорема. Пространства постоянной кривизны допускают поворотно-конформные диффеоморфизмы, отличные от спин-дифреоморфизмов

при (Х *1

Теорема. Если риманово пространство постоянной кривизны допускает, квазиконциркулярный поворотный диффеоморфизм на рима-■юво пространство , то ото пространство У„ будет также

пространством постоянной кривизны только в случае» когда диффеоморфизм является спин-конформным.

Во втором и третьем параграфах изучаются пространства Эйк-штьлна, допускающие квазиконииркулярные поворотные диффеоморфизмы, в неизотропном и изотропном случаях "соответственно. Доказана следующая теорема.

Теорема. Если риманово пространства Эйнштейна Vn допускает кьазикокциркулярпый поворотный диффеоморфизм на риманово пространство Vn , то ото пространство Vn будит т&кдэ пространством Эйнштейна только в том случае, когда диффеоморфизм является спин-конформным.

В заключение хочу выразить сердечную благодарность и искреннюю признательность научному руководит щ Святославу Григорьевичу Лейко за постоянное внимание, помощь при выполнения настоящей работы. •

Литература

1. К»ган В.Ф. Субпроектишгае пространства. - М.: Государственное изд-во физико-математ. лит-ры, 1961. 220 с.

2. Лейко С.Г. Вариационные задачи для функционалов поворота и спин-отображения псевдоримановых пространств /' Известия' высших учебных заведений. Математика. - 1990. - Был.10. -С.9-18.

3. Лейко С.Г. О сшшконформ1!ьк диффеоморфизмах ксевдоримановых пространств // IX Всесоюзная геометрическая конфареэдип. -Кишинев-, 1988. - C.I82.

4. Петров А.З. Не .ые методы в общей теории откоснтельисста. -К.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1966. - 496 с.

5. Широков П.А. Избранные» работы по геометрии. - К&зань: Изд-во Казанок, ун-^я, 1966. ' . "

6. Широков П.А. Симметрические конформно-с8кдидо8ы пространства //Пав. казанского физ.-мат. о-ва. - 1923. - II. Сер.' 3. ; -С.9-27. . !..

7,Brinkman H.W. Оа ¿Певала Присев Свй£охш&1[ Ъо binetеin'с USA 9, 1925.

8. iiaXkow A. Conforaal geodesies.' - Trans. Aaer. Hath,. Soo., -С93Э, 45, p. 443-475.

9. Хало li. Coacircular gnoaetry 1-1/. - Proc. Imp. Acad. T^kyo, IW, 16, p.I95-200| 3 ¡>4-360 j ¿»42-443) 505-5H.

Список работ, опубликованных по теме диссертации:

1, Лейко С.Г;, Саш Аль Хусейн. О поворотно-конформных диффеоморфизмах. - Рукопись депонирована в УкрНИЛНГИ. - № 552-Ук -91, 18 с. '

2. Лейко С.Г., Сал..1 Аль Хуссин. Поворотике кваэиконциркулярные диффеоморфизмы рнмановых пространств. - Одесса: Иэд-во Одесского ун-та, 1991. - Рукопись депонирована в УкрНИИНГИ, 26 с.