Статистический анализ неоднородных пространственных полей при наличии случайных возмущений

Зимовец, Константин Анатольевич

Статистический анализ неоднородных пространственных полей при наличии случайных возмущений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Зимовец, Константин Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Статистический анализ неоднородных пространственных полей при наличии случайных возмущений»

Автореферат диссертации на тему "Статистический анализ неоднородных пространственных полей при наличии случайных возмущений"

На правах рукописи

ЗИМОВЕЦ Константин Анатольевич

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-2005

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор технических наук,

профессор, ТРИФОНОВ Андрей Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, БАЗАРСКИИ Олег Владимирович

кандидат физико-математических наук доцент, РОЛДУГИН Сергей Викторович

Ведущая организация:

Федеральный государственный научно-исследовательский центр радиоэлектронной борьбы и оценки эффективности снижения заметности МО РФ

Защита состоится 8 декабря 2005 г. в 15— на заседании диссертационного совета Д.212.038.10 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ВГУ, физический факультет, ауд. 435

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «_2_» ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

МАРШАКОВ В.К.

гг/26

2115136

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Интенсивное развитие средств дистанционного наблюдения привело к необходимости разработки алгоритмов анализа полученных пространственных полей. Необходимость в обработке изображений пространственных неоднородностей возникает при изучении из космоса природных ресурсов Земли, медицинской диагностики, автоматизации научных исследований, распознавании образов, количественной оценке параметров объектов и т.д.

Вопросы статистической обработки изображений с неизвестной площадью рассматривались и ранее. Однако при этом предполагалось, что изображения однородны, так что их интенсивность постоянна, хотя может быть и неизвестна. С увеличением разрешающей способности систем дистанционного формирования изображений всё большое влияние на характеристики алгоритмов обработки изображений оказывает степень неоднородности пространственного поля. Также необходимо отметить, что существует достаточно большой класс изображений, основная информация в которых сосредоточена именно в неоднородности пространственного поля. К таким изображениям можно, например, отнести изображения отпечатков пальцев, при этом площадь изображения можно считать неизвестной величиной. Описание таких изображений случайными полями не всегда целесообразно, так как различные изображения практически не будут отличаться своими статистическими свойствами. Во многих приложениях изображение оказывается сильно зашумлённым, однако, при этом нельзя провести его фильтрацию, так как может быть потеряна полезная информация. Поэтому в таких приложениях необходимо применение статистических алгоритмов обработки квазидетерминированных изображений. Задача обнаружения и оценки площади изображения также возникает в медицине при автоматической обработке изображения плазмы крови. Изображения лейкоцитов, при этом, можно описывать неоднородным пространственным полем с неизвестной площадью.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью синтеза статистических алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью и определения характеристик алгоритмов. Целью работы является;

• синтез и анализ квазиправдоподобных, максимально правдоподобных и байесовских алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью,

• получение точных и асимптотических аналитических выражений для характеристик алгоритмов обработки неоднородных изображений,

• экспериментальное определение работоспособности синтезированных алгоритмов и границ применимости найденных асимптотических выражений для характеристик алгоритмов обработки методами статистического моделирования,

• исследование влияния незнания функции интенсивности и степени

неоднородности полезного изображения, на характеристики алгоритмов обработки пространственных неоднородностей. Методы проведения исследования

При решении задач, поставленных в диссертационной работе, использовались аналитические и вычислительные методы современного математического аппарата статистической радиофизики, а именно:

• аппарат теории вероятностей и математической статистики;

• аппарат теории марковских случайных процессов;

• методы математической физики, в частности, методы решения задач для уравнений с частными производными второго порядка параболического типа;

• методы математического анализа;

• методы моделирования на ЭВМ стохастических процессов и алгоритмов их анализа.

Научная новизна

На защиту выносятся следующие результаты, впервые достаточно подробно развитые или впервые полученные в настоящей работе:

• Новые структуры квазиправдоподобных, максимально правдоподобных и байесовских алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью.

• Точные аналитические выражения для характеристик максимально правдоподобных алгоритмов обработки неоднородного изображения с неизвестной площадью.

• Асимптотические выражения для расчета характеристик эффективности функционирования квазиправдоподобных алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью.

• Исследование влияния незнания функции интенсивности и степени неоднородности полезного изображения на характеристики алгоритмов обработки пространственных неоднородностей.

Практическая ценность работы

В работе выполнен синтез и анализ различных алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью в зависимости от имеющейся априорной информации о параметрах изображения.

Полученные в диссертации аналитические выражения для характеристик синтезированных алгоритмов и результаты статистического моделирования позволяют обоснованно выбрать необходимый алгоритм обработки пространственных неоднородностей в соответствии с требованиями, предъявляемыми к эффективности алгоритма обработки изображения, имеющейся априорной информацией относительно параметров изображения, а также в соответствии с необходимой степенью простоты аппаратурной или программной реализацией алгоритма.

Результаты диссертационной работы могут найти практическое применение при проектировании и анализе систем диагностики, активной и пассивной локации, обнаружения и анализа объектов по их изображениям, полученным в результате дистанционного наблюдения.

Внедрение научных результатов

Полученные в диссертации результаты внедрены в научно-исследовательских работах и в учебном процессе в Воронежском государственном университете. В частности, результаты диссертации использованы при выполнении гранта РФФИ (98-01-00090) и грантов Минобразования РФ (Е00-3.5-5, Уг-ОЮ-О). Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на VI, VII, IX, X, XI международных научно-технических конференциях "Радиолокация, навигация связь" (Воронеж) в 2000, 2001, 2003, 2004, 2005 г. Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 4 работы в ведущих научных журналах. Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 132 наименований. Объем диссертации составляет 192 страницы, включая 152 страницы основного текста, 54 рисунка на 27 страницах, 13 страниц списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации обсуждается актуальность темы исследования, приведен краткий обзор известных алгоритмов обработки пространственных неоднородностей по их изображениям. Сформулирована цель работы, в аннотированном виде изложены основные результаты диссертационной работы.

В первой главе проведён синтез и анализ квазиправдоподобного, максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов обнаружения пространственных неоднородностей с неизвестной площадью.

В работе была рассмотрена аддитивная модель взаимодействия неоднородного пространственного поля и шума. При этом предполагалось, что в области <7 на плоскости обработке доступна реализация случайного поля

£(.х,У) = Го*Ах,У;Хо') + "(.х>У)> (1)

где -!0(х,у;х0] - полезное изображение с неизвестной площадью хй, которая принимает значения из априорного интервала п(х,у) ~ гауссовский

пространственный белый шум с односторонней спектральной плотностью N0, а уй - дискретный параметр, отражающий наличие или отсутствие полезного изображения, причём

^0=4 = Л. ^|Г«=0] = Л = 1-А-В качестве модели изображения было выбрано неоднородное пространственное поле со скачкообразным перепадом интенсивности на границе изображения

= РАХ'У^Нх^Хо), (2)

где ^ (х,у) - функция, описывающая распределение интенсивности неоднородного пространственного поля. Форма области О(х), занимаемой пространственной неоднородностью, описывалась индикатором

Во многих прикладных задачах обработки пространственных полей распределение интенсивности Р0(х,у) либо неизвестно, либо известно неточно. В этом случае для синтеза алгоритмов обработки пространственных неоднородностей можно использовать изображение

где Р(х,у~) описывает ожидаемое (прогнозируемое) распределение интенсивности изображения.

В первой главе работы была рассмотрена задача обнаружения неоднородного пространственного поля (2). По наблюдаемой реализации случайного поля (1) необходимо было принять решение оптимальным образом: присутствует или отсутствует изображение, т.е. какое именно значение имеет параметр /0. Задачу обнаружения изображения (2) можно рассматривать как задачу оценки параметра у0. Обозначим через у оценку дискретного параметра у0, получаемую в результате обработки реализации случайного поля (1). Тогда решение о наличии изображения (2) в принятой реализации (1) принимается, когда у-1, а об отсутствии изображения, когда у = 0. В случае, когда отсутствует априорная информация о вероятности наличия пространственной неоднородности (2) в принятой реализации (1) и плотности вероятности площади изображения, для синтеза алгоритма обнаружения целесообразно использовать метод максимального правдоподобия, в соответствии с которым, для обнаружения изображения (2), необходимо сформировать логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП)

£<*)=£<*,г "0. (3)

где

ИХ>Г> ~ ¡1еСх,уЖх,у,хуЬф-*- ^з1(х,у,хуЬф> (4)

"о в о а

для различных значений площади из априорного интервала [^т1П,^шах] и вынести решение о наличии или отсутствии изображения в принятой реализации по следующему правилу

у = 1 зир£Ог) £ А,

где к - пороговое значение. Данный алгоритм является алгоритмом максимального правдоподобия только в случае, когда интенсивности истинного и ожидаемого изображений совпадают, в противном случае, его можно называть квазиправдоподобным.

В работе был проведён анализ квазиправдоподобного алгоритма обнаружения. Было показано, что при больших отношениях сигнал/шум достаточно исследовать статистические характеристики случайного процесса ¿(Ж) в малой окрестности положения максимума его математического ожидания хт При этом возможно представление корреляционной функции случайного процесса С(х) в виде:

в„ ( г,, ) = в ( Хт ) + а ( Хт ) (гат [ х,. Х2 ] ~ Хт 5>

где

в<*>=^Г ¡¡^(■"•УУЬФ. А0Г>=-^ I Р2(.х>уХ*Ф-УЬ> (5)

0 ЩхУ

НоХ

Тогда процесс 1(х} можно считать локально-марковским с коэффициентами сноса и диффузии

где

К,=

\гЛА(хт)!?.'■ Хшт -Х<Хй

1 -А(ХЯ)12-.Хо^Х^Хшы

1 Гг, ч^ ч, .7 . ¡ХттприГо=°

(6)

п = о

Хтт ^Х—Хпая _

Плотность вероятности процесса Ь(х~) может быть получена в результате решения уравнения Фоккера - Планка - Колмогорова с коэффициентами сноса и диффузии (6). Таким образом, в работе были получены асимптотически точные с ростом отношения сигнал/шум аналитические выражения для вероятностей ложной тревоги и пропуска изображения

а- Р

С целью исследования границ применимости полученных выражений было проведено статистическое моделирование квазиправдоподобного алгоритма обнаружения.

Для анализа максимально правдоподобного алгоритма обнаружения, в случае, когда истинная интенсивность неоднородного пространственного поля (х,у) известна точно, в выражении для Ь(х) (3) была произведена замена переменных Л = Q(X)■ Учитывая, что отношение сигнал/шум ¿>(х) (5) всегда является неубывающей функцией площади х> логарифм ФОП (3) можно представить в вице"

= £[*<<*)] = МЪ = Го шт(ЯЛ)- Л/2 + у(Л). Здесь у (Л) - винеровский процесс, поэтому процесс р(Л) будет являться марковским с коэффициентами сноса и диффузии

|Го-1/2:1т1П<Я<Л1

-1/2 2 '

гае Л„,„ = 0(Хт,„Ь А>=в(Хо), Используя марковские свойства

процесса /и(Л), в работе были получены точные аналитические выражения для характеристик максимально правдоподобного алгоритма обнаружения

Го

вирА;

Если известна априорная вероятность р1 наличия пространственной неоднородности в принятой реализации и априорная плотность вероятности ^рг(Х) площади изображения %а > ДОЯ синтеза алгоритма обнаружения

неоднородного пространственного поля (2) возможно применение классического байесовского подхода, в соответствии с которым, для обнаружения пространственной неоднородности необходимо формировать величину

Решение о наличии или отсутствии изображения в принятой реализации выносится в результате сравнения ЬБ (7) с порогом А, который в работе был выбран в соответствии с критерием идеального наблюдателя

у = 1

ЬБ \ А, й = <1-р,)М-у = О

Характеристики байесовского обнаружителя были получены методами статистического моделирования на ЭВМ.

В качестве примера в работе была рассмотрена задача обработки пространственной неоднородности в форме эллипса с линейно изменяющейся интенсивностью. На рисунках 1, 2 представлены зависимости безусловной средней вероятности ошибки алгоритмов обнаружения от отношения сигнал/шум гн. При этом динамический диапазон изменения площади к= Хтвх/%тт был выбран равным к = 5, априорная вероятность наличия изображения р, равной р1 =0.7, а априорная плотность вероятности 1¥рг (%) -

равномерной. На рисунке 1 приведены характеристики квазиправдоподобного алгоритма обнаружения, полученные с использованием асимптотических выражений и результатов моделирования. При этом кривые 1 соответствуют характеристикам алгоритма обнаружения с оптимизированным порогом А по минимуму безусловной средней вероятности ошибки, а кривые 2-е нулевым порогом А = 0. На рисунке 2 кривыми 1 обозначены характеристики оптимального алгоритма обнаружения, кривыми 2 - классического максимально правдоподобного при А = 0, кривыми 3 - квазиоптимального при фиксированном значении площади в середине априорного интервала и кривыми 4 - максимально правдоподобного алгоритма с оптимизированным порогом по минимуму безусловной средней вероятности ошибки. Сплошные кривые на рисунке 2 соответствуют характеристикам обнаружения

однородного изображения, а штриховые - неоднородного. Результаты моделирования байесовского алгоритма обнаружения представлены на рисунке 2 для однородного изображения "кружочками", а для неоднородного -"крестиками".

Как следует из сопоставления кривых 2 на рисунке 1 с результатами I моделирования, применение полученных асимптотических выражений можно

рекомендовать в достаточно широком диапазоне изменения отношения сигнал/шум zH. Сравнение кривых 1 и 2 на рисунке 1 и кривых 2 и 4 на рисунке 2, позволяет сделать вывод, что выбор порога из условия минимума безусловной средней вероятности ошибки позволяет получить значительный выигрыш в эффективности обнаружения по сравнению с выбором нулевого порога. Также необходимо отметить, что применение оптимизированного порога в максимально правдоподобном алгоритме обнаружения в случае равномерного априорного распределения площади позволяет получить характеристики обнаружения сравнимые с характеристиками байесовского алгоритма.

Во второй главе проведён синтез и анализ алгоритмов оценки площади > неоднородного изображения всегда присутствующего в реализации

наблюдаемых данных.

Предполагалось, что в области G на плоскости, обработке доступна реализация случайного поля (1), причём у0= 1. Для случая, когда распределение интенсивности Fa (х,у~) неизвестно, в работе был синтезирован квазиправдоподобный алгоритм оценки площади изображения (2). При этом оценка % площади Хо изображения, определялась как положение абсолютного максимума функции L(x) (3)

Z~ar8 sup L(x). (8)

Для нахождения характеристик квазиправдоподобной оценки (8) в работе были исследованы статистические свойства случайного процесса L(x~) (3). В

частности, было показано, что условие

Р(Хо)=ТГ_ J F(x,y-)[F0(x,y)- F(x,y)/2](xdy-ydx)>0 (9)

»0X0

является необходимым и достаточным условием состоятельности квазиправдоподобной оценки. Однако проверка условия (9) состоятельности квазиправдоподобной оценки требует вычисления контурного интеграла, что не всегда является достаточно простой задачей. Поэтому можно указать более простое и легко проверяемое достаточное условие состоятельности квазиправдоподобной оценки. Очевидно, (9) всегда выполняется, если выполняется условие:

F(x,y)<2F0(x,y),(x,y)eG

На основе метода локально - марковской аппроксимации в работе были получены асимптотически точные с ростом отношения сигнал/шум выражения для плотности вероятности квазиправдоподобной оценки. Для установления границ применимости полученных выражений было проведено статистическое моделирование квазиправдоподобного алгоритма оценки площади.

Полученные выражения для характеристик квазиправдоподобной оценки площади пространственной неоднородности (2) довольно громоздки, и расчёт по ним возможен только численными методами. Поэтому в работе были найдены асимптотические значения смещения и рассеяния квазиправдоподобной оценки

2z(l + Л2) z\ 2zQ. + RJzl Л, <2/?,2 + 6Д, + 5) Rz + 6/t, + 5) 252W+1)3Z4 + 2z2 (T?2 + l)3 Zj '

где zf =[ра0)/^а0)]2, г22 =1/4, z = A(%0), R,=R;l=A(Zo)/[2p(Xoj].

Если истинная интенсивность изображения известна точно, то для оценки площади изображения (2) можно использовать метод максимального правдоподобия. При этом максимально правдоподобная оценка площади может быть получена из квазиправдоподобной при F(x,y) = F0(x,y~). Для анализа характеристик оценки максимального правдоподобия была введена в рассмотрение вспомогательная оценка

i = arg sup //(Л). (10)

-Ил— .4»« 1

Поскольку исследуемая оценка £ однозначно выражается через вспомогательную оценку Л:

(П)

то, определив плотность вероятности оценки Л (10), можно затем найти плотность вероятности максимально правдоподобной оценки Используя марковские свойства процесса //(Я), в работе были получены точные

аналитические выражения для плотности вероятности оценки Я (10).

Используя соотношение (11), плотность вероятности максимально правдоподобной оценки площади х в этом случае примет вид

* ак„)=^ [е<*)|еао)]е'(*). е'ш - л оо

Если известна априорная плотности вероятности {х') площади Хч > то точность максимально правдоподобного алгоритма можно характеризовать безусловными характеристиками оценки. Однако, как и в случае квазиправдоподобной оценки, точные выражения для характеристик оценки максимального правдоподобия площади неоднородного изображения довольно громоздки, и расчёт по ним возможен только численными методами. Поэтому в работе были получены асимптотические выражения для условных смещения и рассеяния максимально правдоподобной оценки площади

Асимптотические значения смещения и рассеяния максимально правдоподобной оценки зависят только от интеграла (5) по контуру, который ограничивает область, занимаемую полезным изображением. Этот интеграл как бы "суммирует" значения квадрата скачка интенсивности изображения на контуре по всем точкам этого контура. Соответственно, асимптотические значение смещения и рассеяния максимально правдоподобной оценки не зависят от того, какие значения внутри контура, т.е. во внутренних точках области занимаемой полезным изображением, принимает интенсивность полезного изображения.

Если известна априорная плотность вероятности IV^ (Ха) площади изображения Хо > то Для синтеза алгоритма оценки площади пространственной неоднородности возможно применение классического байесовского подхода. В работе для квадратичной функции потерь был синтезирован байесовский алгоритм оценки площади изображения (2)

Хе~~ | ХМРГ ООехр[£0 (хЦс1х / / а)ехр[/.„ (*)]</*

/ Чж™ )

Исследование эффективности байесовского алгоритма оценивания было проведено методами статистического моделирования на ЭВМ.

На рисунках 3 и 4 приведены зависимости от отношения сигнал/шум нормированного безусловного рассеяния оценки площади пространственной неоднородности в форме эллипса с линейно изменяющейся интенсивностью. На .рисунке 3 представлены характеристики квазиправдоподобной оценки площади неоднородного изображения при различных степенях неоднородности ожидаемого изображения. Результаты численных расчётов с использованием полученных асимптотических выражений показаны на рисунке сплошными, штриховыми и штрих - пунктирными кривыми, а результаты моделирования -"кружочками", "крестиками" и "ромбиками". На рисунке 4 приведены характеристики максимально правдоподобной и байесовской оценок площади

изображения. При этом сплошная кривая и "кружочки" соответствуют характеристикам оценки площади однородного изображения, а штриховая кривая и "крестики" - неоднородного. При численных расчётах и моделировании представленных на рисунках зависимостей предполагалось, что динамический диапазон изменения площади к равен к-5, а априорная плотность вероятности №рг (х) - равномерная.

Как следует из сопоставления кривых на рисунке 3 с результатами моделирования, применение асимптотических выражений для расчёта характеристик квазиправдоподобной оценки возможно в достаточно широком диапазоне значений отношения сигнал/шум :н. Сравнение характеристик на рисунке 4 позволяет сделать вывод, что применение байесовского подхода к задаче оценки площади позволяет получить выигрыш в точности оценки по сравнению с алгоритмом максимального правдоподобия. При этом алгоритм максимального правдоподобия не является асимптотически байесовским. Так же необходимо отметить, что безусловное рассеяние максимально правдоподобной и байесовской оценок площади практически не зависит от степени неоднородности полезного изображения

В третьей главе рассмотрены совместные алгоритмы обнаружения и оценки площади пространственной неоднородности. Проведен синтез и анализ алгоритмов оценки площади пропадающих пространственных неоднородностей.

Под воздействием различных факторов, таких как ошибки наведения, случайности объектов наблюдения, отклонений луча, вызванных флуктуациями среды распространения и ряда других причин, полезный сигнал на входе устройства формирующего изображение, может присутствовать с вероятностью, меньшей единицы. Поэтому в работе был проведён анализ рассмотренных выше алгоритмов оценки площади неоднородного пространственного поля для случая, когда изображение присутствует в принятой реализации (1) с вероятностью меньше единицы. Точность алгоритмов оценки в этом случае оказалась достаточно низкой и с увеличением

отношения сигнал/шум априорно ограниченной величинами рй = 1 - рх и хтт ■ С целью увеличения точности оценки в работе были синтезированы алгоритмы оценки площади изображения с учётом возможности пропадания пространственной неоднородности.

В соответствии с методом максимального правдоподобия, квазиправдоподобная оценка площади пропадающей пространственной неоднородности определяется как аргумент абсолютного максимума логарифма ФОП Ь(х,у) в котором, неинформативный параметр у необходимо заменить

на его оценку максимального правдоподобия у = зирЦх,у~). Из выражения

видно, что Ь(х,у = 0) = 0 (4), поэтому алгоритм Х = вир |вир Ь (х, приводит к следующему решающему правилу

. (х.ш)** : ,, „

где порог к введён с целью обобщения алгоритма оценки площади.

С использованием метода локально - марковской аппроксимации в работе были получены асимптотические выражения для плотности вероятности квазиправдоподобной оценки. В случае, когда истинная интенсивность пространственного поля (2) известна точно, то для оценки площади пропадающего изображения можно использовать максимально правдоподобную оценку площади, которая может быть получена из квазиправдоподобной при ^{х,у) = Р0{х,у^. Применяя описанную ранее замену переменных в работе были получены точные аналитические выражения для плотности вероятности максимально правдоподобной оценки площади пропадающего изображения.

Также в работе был проведён синтез байесовского алгоритма оценивания площади с учётом возможности пропадания изображения. Для квадратичной функции потерь байесовская оценка площади пропадающей пространственной неоднородности имеет вид:

%яв / Хтп ^

ХБ = Р\ I Ж^Шехр^да]^ / Ро + Р1 { ^а)ехр[1а>]^ •

Хшю / \ £аш /

На рисунках 5 и 6 приведены зависимости от отношения сигнал/шум нормированного безусловного рассеяния оценки площади пропадающего неоднородного пространственного поля в форме эллипса, интенсивность которого изменяется линейно. Кривые 1 соответствуют характеристикам алгоритмов оценки площади синтезированных с учётом возможности пропадания изображения, а кривые 2 - характеристикам алгоритмов оценки площади синтезированных в предположении, что изображение всегда присутствует в принятой реализации. На рисунке 5 представлены характеристики квазиправдоподобных алгоритмов оценки площади

неоднородного изображения при различных степенях неоднородности ожидаемого изображения, полученные с использованием асимптотических выражений и результатов моделирования. На рисунке 6 приведены характеристики максимально правдоподобных и байесовских оценок площади пропадающего изображения. Причём, сплошные кривые, "кружочки" и "точки" соответствуют характеристикам оценки площади однородного изображения, а штриховые кривые, "квадратики" и "крестики" - неоднородного. При численных расчётах и моделировании предполагалось, что динамический диапазон изменения площади к равен к = 5, а априорная плотность вероятности №рг (х) - равномерная.

Как следует из сопоставления сплошных и штрих - пунктирных кривых на рисунке 5 с соответствующими результатами моделирования, применение асимптотических выражений для плотностей вероятности при вычислении безусловных рассеяний квазиправдоподобной оценки возможно в достаточно широком диапазоне значений отношения сигнал/шум гн. Однако, наибольший интерес представляет исследование влияния незнания возможности пропадания пространственной неоднородности на характеристики оценки площади изображения. Анализ кривых 1 и 2 на рисунках 5 и 6 позволяет сделать вывод, что учёт возможности пропадания изображения на этапе синтеза алгоритма оценки площади изображения позволяет значительно повысить точность как квазиправдоподобной, так и максимально правдоподобной оценок.

Также в работе был рассмотрен наиболее общий случай в задаче обработки изображения, когда при обработке изображения необходимо не только установить факт наличия пространственной неоднородности, но и указать значение её неизвестной площади. Для этого необходимо совместно вынести два решения - о наличии или отсутствии изображения и оценить его площадь. Задачу совместного обнаружения и оценивания площади изображения, можно рассматривать как задачу оценивания вектора неизвестных параметров {х,У}.

В соответствии с методом максимального правдоподобия,

квазиправдоподобная оценка векторного параметра {%,?} представляет собой положение абсолютного максимума логарифма функционала отношения правдоподобия (4)

Согласно этому выражению квазиправдоподобный алгоритм обработки изображения заключается в совместном применении двух решающих правил

7 |<и(*)<А'* \о,Ьф<Ь' ;

Максимально правдоподобный алгоритм совместного обнаружения и оценки площади можно получить из квазиправдоподобного алгоритма (12) при Г(х,у) = Р0(х,у). В структуры квазиправдоподобного и максимально правдоподобного алгоритмов совместного обнаружения и оценивания входят соответствующие алгоритмы оценки площади пропадающего изображения. Поэтому для расчёта характеристик алгоритмов совместного обнаружения и оценивания можно воспользоваться результатами полученными ранее. Необходимо отметить, что в зависимости от конкретных целей обработки неоднородного изображения, порог Л можно выбирать из условия минимума полной вероятности ошибки или из условия минимума рассеяния оценки.

В отличие от квазиправдоподобного и максимально правдоподобного алгоритмов, структура байесовского алгоритма совместного обнаружения и оценки площади изображения значйтельно отличается от структуры байесовской алгоритма оценки площади пропадающей неоднородности. Для синтеза байесовского алгоритма совместного обнаружения и оценивания в работе использовалась аддитивная функция потерь, квадратичная по оцениваемому параметру. В этом случае байесовский алгоритм совместного обнаружения - оценивания можно записать как

7 [0 ,йй<И'Х [ 0,й?о<й'

где к - порог, зависящий от наблюдаемых данных,

¿0

. 4 = I ХкКрг а)ехр[од]^,

/гРрСд РхСх

а С0, С,, я, - параметры функции потерь.

На рисунках 7 и 8 приведены зависимости от отношения сигнал/шум безусловной средней вероятности ошибки и нормированного безусловного рассеяния оценки площади пространственной неоднородности в форме эллипса, интенсивность которой изменяется линейно. Сплошными кривыми приведены характеристики максимально правдоподобного алгоритма совместного обнаружения и оценки площади однородного изображения, штриховыми - неоднородного. Результаты моделирования байесовского алгоритма приведены на рисунке "кружочками" и "крестиками". Кривые I соответствуют максимально правдоподобному алгоритму с порогом, оптимизированным по минимуму безусловного рассеяния, а кривые 2-е

порогом А = 0.

Сравнительный анализ сплошных и штриховых кривых 1 на рисунках, позволяет сделать вывод, что степень неоднородности полезного изображения больше сказывается на средней вероятности ошибки обнаружения, чем на безусловном рассеянии оценки площади. К такому же выводу относительно характеристик обнаружения и оценки площади байесовского алгоритма можно прийти, сравнивая результаты моделирования при различных наклонах интенсивности.

Сравнение кривых 1 и 2 позволяет сделать вывод, что выбор оптимального порога в максимально правдоподобном алгоритме позволяет существенно улучшить эффективность обработки при совместном обнаружении-оценке. В этом случае при одинаковом объёме используемой априорной информации и равномерном априорном распределении неизвестной площади, средняя вероятность ошибки обнаружения байесовского и максимально правдоподобного алгоритмов практически совпадают. В тоже время, байесовский алгоритм обеспечивает оценку с меньшим безусловным рассеянием по сравнению с оценкой максимального правдоподобия.

В заключении подведены итоги по диссертации в целом, сделаны общие выводы и сформулированы основные результаты. На основе результатов, полученных в диссертационной работе, можно сделать следующие теоретические и практические выводы:

• Использование адаптации по площади в алгоритмах обнаружения пространственных неоднородностей позволяет снизить проигрыш в эффективности обнаружения вследствие априорного незнания площади полезного изображения. Применение квазиправдоподобного и максимально правдоподобного алгоритмов обнаружения позволяет получить выигрыш в эффективности обнаружения неоднородного изображения с неизвестной площадью по сравнению с квазиоптимальными алгоритмами.

• Асимптотические значения смещения и рассеяния максимально

правдоподобной оценки площади пространственной неоднородности, всегда присутствующей в принятой реализации, зависят только от интеграла по контуру, который ограничивает область, занимаемую полезным изображением. Этот интеграл "суммирует" значения квадрата скачка интенсивности пространственного поля на контуре по всем точкам этого контура. Соответственно, асимптотические значения смещения и рассеяния максимально правдоподобной оценки не зависят от того, какие значения внутри контура, т.е. во внутренних точках области занимаемой полезным изображением, принимает интенсивность полезного изображения.

• Точность максимально правдоподобной оценки площади пространственной неоднородности, всегда присутствующей в принятой реализации случайного поля незначительно уступает точности байесовской оценки при квадратичной функции потерь. Однако с ростом отношения сигнал/шум, отношение рассеяния байесовской оценки к рассеянию оценки максимального правдоподобия стремится к постоянной величине меньшей единицы. Таким образом, оценка максимального правдоподобия не является асимптотически байесовской.

• Использование для оценки площади пропадающей пространственной неоднородности квазиправдоподобного, максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов, синтезированных в предположении, что изображение всегда присутствует в принятой реализации, приводит к существенным потерям в точности оценки площади. Для уменьшения потерь в точности оценки площади необходимо учитывать возможность пропадания изображения на этапе синтеза алгоритмов оценки.

• Для максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью неоднородность полезного изображения практически не сказывается на характеристиках оценки площади, однако приводит к ухудшению характеристик обнаружения изображения.

• Сравнительный анализ характеристик максимально правдоподобного алгоритма совместного обнаружения и оценки площади изображения с использованием оптимизированного порога позволяет сделать вывод, что выбор порога по минимуму безусловной средней вероятности ошибки эквивалентен выбору порога по минимуму безусловного рассеяния оценки площади изображения.

Основные результаты работы имеют достаточно общий характер и могут быть использованы при обработке реальных изображений, полученных в результате дистанционного наблюдения, активной или пассивной радиолокации, а также при синтезе и анализе радиофизических информационных систем, использующих двумерные пространственные сигналы.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах:

1. Зимовец, К. А. Квазиправдоподобная оценка площади неоднородного

изображения при наличии пространственного шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Материалы VI международной научно - технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". - Воронеж, 2000. - Т. 1. -С. 279 - 288.

2. Зимовец, К. А. Квазиправдоподобная оценка площади неоднородного пропадающего изображения на фоне пространственного шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Материалы VII международной научно -технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". - Воронеж, 2001.-Т. 1.-С. 33 -39.

3. Зимовец, К. А. Эффективность обнаружения неоднородного изображения на фоне шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Автометрия, 2003. - Т. 39, №1.-С. 19-27.

4. Зимовец, К. А. Комплексный алгоритм обработки неоднородного изображения с неизвестной площадью / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Материалы IX международной научно - технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". - Воронеж, 2003. - Т. 1. - С. 338 - 349.

5. Зимовец, К. А. Оценка площади неоднородного изображения на фоне пространственного шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - 2003. - Т. 46, № 10. - С. 3-14.

6. Зимовец, К. А. Совместное обнаружение и оценка площади неоднородного изображения на фоне шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Автометрия. - 2004. - Т. 40, № 4. - С. 11 - 25.

7. Зимовец, К.А. Максимально правдоподобная оценка площади пропадающего изображения / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Материалы X международной научно - технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". - Воронеж, 2004. - Т. 1. - С. 189 - 196.

8. Зимовец, К. А. Оценка площади неоднородного пропадающего изображения на фоне пространственного шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. - 2004. - Т. 47, № 8. - С. 3 -14.

9. Зимовец, К. А. Оптимальная обработка неоднородных изображений с неизвестной площадью при наличии пространственного шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Материалы XI международной научно -технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". - Воронеж, 2005.-Т. 1.-С. 170- 177.

Заказ № 801 от 1 11 2005г Тираж 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

п 1 5

РНБ Русский фонд

2006-4 22126

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Зимовец, Константин Анатольевич

ц* ВВЕДЕНИЕ

1 ОБНАРУЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

С НЕИЗВЕСТНОЙ ПЛОЩАДЬЮ

1.1 Квазиправдоподобное обнаружение

1.2 Оптимальное обнаружение

1.3 Статистическое моделирование алгоритмов обнаружения

1.4 Выводы

2 ОЦЕНКА ПЛОЩАДИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

2.1 Квазиправдоподобные оценки

2.2 Оптимальные оценки

2.3 Статистическое моделирование алгоритмов оценки

2.4 Выводы

3 СОВМЕСТНЫЕ ОБНАРУЖЕНИЕ И ОЦЕНКА ПЛОЩАДИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

3.1 Оценка площади пропадающих пространственных неоднородностей

3.2 Совместные обнаружение и оценка площади пространственных неоднородностей

3.3 Статистическое моделирование алгоритмов совместного обнаружения оценки

3.4 Выводы 175 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 177 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертация по физике, на тему "Статистический анализ неоднородных пространственных полей при наличии случайных возмущений"

Актуальность темы

В последнее время в различных областях науки и техники интенсивно развиваются методы и средства дистанционного наблюдения. При этом большое внимание уделяется проблемам обработки пространственных полей, что обусловлено многообразием практических задач, в которых используются либо сами изображения пространственных неоднородностей, либо результаты их анализа [3, 6, 85 и т.д.]. Необходимость в обработке изображений пространственных неоднородностей возникает при изучении из космоса природных ресурсов Земли, при управлении движущимися объектами, в задачах геофизики, неразрушающего контроля и материаловедения, медицинской диагностики, автоматизации научных исследований, распознавании образов, количественной оценке параметров объектов. При этом обработка изображений превратилась в направление, целью которого стала не только передача изображений, но и извлечение информации, заключающейся в изображениях [14, 15, 77, 116 и т.д.]. Возрастающий объём задач и повышение требований к точности и скорости их решения вызвали необходимость развития средств и методов автоматизации обработки изображений [25, 114, 115].

При проектировании изображающих систем требования к идеальной системе формулируются как требования к определённым техническим характеристикам системы, таким как разрешающая способность, фотометрическая точность, уровень посторонних шумов и т.д. Характеристики реальных изображающих систем - оптических, фотографических, телевизионных - отличаются от идеальных. В результате изображения на выходе таких систем претерпевают искажения. С целью устранения такого рода искажений для обработки изображений применяют различные методы коррекции, примерами которых может служить повышение четкости расфокусированных изображений, устранение смаза, подавление шумов. Проблемам коррекции нелинейных искажений вносимых системами формирования изображения посвящены работы [3, 11, 19], в основе которых Ф лежит применение различных адаптивных методов фильтрации [1, 106].

Так же необходимо отметить, что изображения в процессе формирования обычно искажаются случайными помехами или шумом [54, 77, 113]. Для учёта этих искажений необходимо знать статистические характеристики шума. Иногда эти характеристики можно определить, исходя из структуры и характеристик изображающих систем. Например, шум зернистости фотоплёнки в фотографических системах определяется её типом и режимом фотохимической обработки, шум в радиотелевизионных системах - мощностью радиосигнала в канале связи. При отсутствии таких данных приходится <~ф оценивать характеристики шума по уже сформированному изображению или набору изображений с однородным шумом. В этих случаях статистические характеристики шума извлекаются из измерений статистических характеристики наблюдаемого видеосигнала, используя различия этих характеристик для изображения и шума. Наиболее распространённым видом помех на изображениях является аддитивный и статистически независимый от видеосигнала флюктуационный шум, который характеризуется своей дисперсией и корреляционной функцией [113]. Из других видов помех на изображении можно выделить импульсные помехи, периодические помехи и • шум квантования. Импульсные помехи - это случайные и независимые искажения отсчётов изображения, при которых значения отсчётов сигнала с некоторой вероятностью заменяются случайной величиной с равномерным распределением. Они характеризуются вероятностью искажения отсчётов. Периодические помехи создают на изображении периодические, муаровидные узоры. Шум квантования определяется числом уровней квантования видеосигнала.

Для борьбы с указанными видами помех применяются различные виды фильтрации изображений [I, 106, 113]. В частности, для подавления ^ импульсных помех используются медианная фильтрация [77], которая в отличие от линейной низкочастотной фильтрации сохраняет резкие перепады интенсивности изображения. Этот метод нелинейной обработки изображения ф оказывается полезным и при подавлении шума на изображении. Однако, при определённых условиях применение медианных фильтров может приводить к нежелательному подавлению полезного изображения [77]. Также для подавления шумов на изображении применяется винеровская фильтрация [113].

Одним из важных аспектов автоматической обработки пространственных неоднородностей является выделение признаков изображений. Признаком изображения считается его простейшая отличительная характеристика или свойство. Некоторые признаки являются естественными в том смысле, что они устанавливаются визуальным анализом изображения, тогда как другие, так ф называемые искусственные признаки, получаются в результате его специальной обработки или измерений. К естественным признакам относятся яркость и текстура различных областей изображения, форма контуров объектов. Гистограммы распределения яркости и спектры пространственных частот дают примеры искусственных признаков. Работы [15, 23, 48, 71] посвящены различным методам выделения признаков изображений. Однако необходимо отметить, что подавляющее большинство описанных в литературе способов позволяют эффективно выделять признаки изображений лишь при достаточно больших отношениях сигнал/шум.

Системы понимания изображений, предназначенные для анализа изображений, представленных функцией или массивом чисел, и составления описания изображённой сцены рассмотрены в работах [71, 105, 115]. В простейшем виде система понимания изображений может просто сообщать о том, что на изображении имеется заданный объект или же, возможно какой-нибудь неожиданный объект. В другом предельном случае такая система может создавать общее словесное описание сцены так же, как если бы человек написал о содержании данного изображения. Уже созданы системы, выполняющие относительно простые задачи описания изображений

• ограниченного класса. В настоящее время исследования направлены на развитие обобщённых программируемых систем, которые могли бы обрабатывать широкий класс изображений возникающих в разнообразных & задачах.

Одной из важнейших в прикладном отношении задач, которая должна быть решена при обработке пространственных полей, является задача обнаружения объектов. В последнее время активно развиваются статистические методы обнаружения и выделения локальных неоднородностей на изображениях. При этом не только интенсивность, но и форма локальной неоднородности считается случайными [60, 117]. Для обнаружения локальной неоднородности (ярко освещённого элемента изображения) изображение разбивают на зоны, в результате статистического анализа которых, 4 принимается решение о принадлежности области к изображению или фону.

Работы [82, 83] посвящены оптимизации и упрощению аппаратной реализации таких алгоритмов.

Однако применение описанных выше способов обработки пространственных полей возможно лишь при достаточно больших отношениях сигнал/шум. В противном случае эффективность рассмотренных методов обработки резко падает. Также необходимо отметить, что в некоторых приложениях недопустимо применение методов фильтрации изображений из шума, так как это может привести к существенному изменению характеристик ^ неоднородности изображения и потере полезной информации.

Таким образом, для решения задач обработки изображений при низких отношениях сигнал/шум необходимо применение методов теории оценивания и статистических решений. Применение метода максимального правдоподобия достаточно подробно описано в литературе [20, 34, 46 и т.д.]. При этом показано [46], что если существует эффективная оценка, то оценка максимального правдоподобия является эффективной. Для оценки регулярных параметров доказано свойство асимптотической эффективности метода максимального правдоподобия [98]. По мере увеличения разрешающей * способности систем дистанционного наблюдения стало необходимым учитывать скачкообразное изменение интенсивности на границах изображений и тем самым стало оправданным применение в моделях изображений разрывных функций. Для оценок параметров разрывных изображений оптимальность метода максимального правдоподобия не доказана. При решения многих задач обработки изображений неизвестный параметр изображения, можно считать случайным. Это позволяет использовать байесовский подход к задаче оценки параметров изображений [51, 60].

Вопросы статистической обработки изображений с неизвестной площадью рассматривались в [67, 68, 73, 74] и других работах. При этом предполагалось, что изображения однородны, так что их интенсивность постоянна, хотя может быть и неизвестна [63, 68, 69]. Задача оценки площади ^ однородного изображения всегда присутствующего в принятой реализации рассмотрена в работе [63, 65]. В работе [64] синтезированы алгоритмы оценки площади однородного изображения с учётом возможности пропадания изображения.

Однако, с увеличением разрешающей способности систем дистанционного формирования изображений, всё большое влияние на характеристики алгоритмов обработки пространственных полей оказывает степень неоднородности изображения. Также необходимо отметить, что существует достаточно большой класс изображений, основная информация в itf которых сосредоточена именно в неоднородности изображения. К таким изображениям можно, например, отнести изображения отпечатков пальцев, при этом площадь изображения можно считать неизвестной величиной. В таких приложениях как криминалистика зачастую изображения оказывается сильно зашумлённым при этом нельзя провести его фильтрацию, так как может быть потеряна полезная информация. Описание таких изображений случайными полями так же нецелесообразно, так как различные изображения практические не будут отличаться своими статистическими свойствами. Поэтому в таких приложениях необходимо применение статистических алгоритмов обработки • пространственных неоднородностей на основе принципов описанных выше.

Задача обнаружения и оценки площади изображения также возникает в медицине при автоматической обработки изображения плазмы крови. Изображения лейкоцитов при этом можно описывать изображением с неизвестной площадью [15].

Возможности представления интенсивности изображений гауссовским случайным полем посвящена работа [72]. В [95] рассмотрено обнаружение случайного изображения с известной площадью, но неизвестными статистическими параметрами изображения и фона. Однако использование случайных полей для описания интенсивности изображения не всегда целесообразно. При этом в указанных работах не приведено количественных значений величины проигрыша в эффективности обработки из-за описания интенсивности изображения случайным полем.

• исследование влияния незнания функции интенсивности и степени неоднородности полезного изображения на характеристики алгоритмов обработки пространственных неоднородностей.

Методы проведения исследования

• аппарат теории вероятностей и математической статистики;

• аппарат теории марковских случайных процессов;

• методы математического анализа;

• методы моделирования на ЭВМ стохастических процессов и алгоритмов их анализа.

Научная новизна

Практическая ценность работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и <# обсуждались на VI, VII, IX, X, XI международных научно-технических конференциях "Радиолокация, навигация связь" (Воронеж) в 2000, 2001, 2003, 2004, 2005 г. Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 4 работы в ведущих научных журналах. Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 132 наименований. Объем диссертации составляет 192 страницы, % включая 152 страницы основного текста, 54 рисунка на 27 страницах, 13

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

3.4 Выводы

1. Использование для оценки площади пропадающего изображения квазиправдоподобного, максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов, синтезированных в предположении, что пространственная неоднородность всегда присутствует в принятой реализации, приводит к существенным потерям в точности оценки площади. Синтез алгоритмов оценки площади с учётом возможности пропадания изображения позволяет значительно повысить точность оценки площади.

2. Полученные асимптотические выражения для плотностей вероятностей квазиправдоподобных алгоритмов позволяют с достаточно высокой точностью рассчитывать характеристики оценки площади пропадающего изображения даже при низких отношениях сигнал/шум.

3. Сравнительный анализ характеристик максимально правдоподобного алгоритма совместного обнаружения и оценки площади пространственной неоднородности с использованием оптимизированного порога позволяет сделать вывод, что выбор порога по минимуму безусловной средней вероятности ошибки эквивалентен выбору порога по минимуму безусловного рассеяния оценки площади изображения. При этом, наибольший выигрыш в эффективности обработки при использовании оптимизированного порога наблюдается при малых значениях априорной вероятности наличия пространственной неоднородности. Степень неоднородности полезного изображения при использовании максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов совместного обнаружения и оценки площади изображения больше сказывается на средней вероятности ошибки обнаружения, чем на безусловном рассеянии оценки площади.

Использование оптимизированного порога в максимально правдоподобном совместном алгоритме обнаружения и оценки площади пространственной неоднородности, в случае равномерного априорного распределения неизвестной площади позволяет получить характеристики обнаружения, сравнимые с характеристиками байесовского алгоритма. При этом точность оценки площади байесовским алгоритмом незначительно превосходит точность оценки площади максимально правдоподобным алгоритмом с оптимизированным порогом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Найдены структуры квазиправдоподобных, максимально правдоподобных и байесовских алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью.

2. Для квазиправдоподобных алгоритмов обработки неоднородного изображения с неизвестной площадью с использованием метода локально-марковской аппроксимации получены асимптотически точные с ростом отношения сигнал/шум выражения для расчёта характеристик эффективности алгоритмов.

3. Осуществлено экспериментальное определение работоспособности синтезированных квазиправдоподобных алгоритмов и границ применимости найденных асимптотических выражений для характеристик алгоритмов методами статистического моделирования.

4. Найдены точные аналитические выражения для расчёта характеристик эффективности функционирования максимально правдоподобных алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью.

5. Методами статистического моделирования на ЭВМ получены характеристики эффективности функционирования байесовских алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью.

На основе результатов, полученных в диссертационной работе, можно сделать следующие теоретические и практические выводы:

1. Использование адаптации по площади в алгоритмах обнаружения пространственных неоднородностей позволяет снизить проигрыш в эффективности обнаружения вследствие априорного незнания площади полезного изображения. Применение квазиправдоподобного и максимально правдоподобного алгоритмов обнаружения позволяет получить выигрыш в эффективности обнаружения неоднородного изображения с неизвестной площадью по сравнению с квазиоптимальными алгоритмами.

2. Асимптотические значения смещения и рассеяния максимально правдоподобной оценки площади пространственной неоднородности всегда присутствующего в принятой реализации зависит только от интеграла по контуру, который ограничивает область, занимаемую полезным изображением. Этот интеграл "суммирует" значения квадрата скачка интенсивности пространственного поля на контуре по всем точкам этого контура. Соответственно, асимптотические значения смещения и рассеяния максимально правдоподобной оценки не зависят от того, какие значения внутри контура, т.е. во внутренних точках области, занимаемой полезным изображением, принимает интенсивность полезного изображения.

3. Точность максимально правдоподобной оценки площади пространственной неоднородности, всегда присутствующей в принятой реализации случайного поля, незначительно уступает точности байесовской оценки при квадратичной функции потерь. Однако с ростом отношения сигнал/шум отношение рассеяния байесовской оценки к рассеянию оценки максимального правдоподобия стремится к постоянной величине меньшей единицы. Таким образом, оценка максимального правдоподобия не является асимптотически байесовской.

4. Использование для оценки площади пропадающей пространственной неоднородности квазиправдоподобного, максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов, синтезированных в предположении, что изображение всегда присутствует в принятой реализации, приводит к существенным потерям в точности оценки площади. Для уменьшения потерь в точности оценки площади необходимо учитывать возможность пропадания изображения на этапе синтеза алгоритмов оценки.

5. Для максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью неоднородность полезного изображения практически не сказывается на характеристиках оценки площади, однако приводит к ухудшению характеристик обнаружения изображения.

6. Сравнительный анализ характеристик максимально правдоподобного алгоритма совместного обнаружения и оценки площади изображения с использованием оптимизированного порога позволяет сделать вывод, что выбор порога по минимуму безусловной средней вероятности ошибки эквивалентен выбору порога по минимуму безусловного рассеяния оценки площади изображения.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Зимовец, Константин Анатольевич, Воронеж

1. Адаптивные методы обработки изображений: Сборник научных трудов / под ред. В. И. Сифорова, Л. П. Ярославского. М.: Наука, 1988. - 248 с.

2. Айвазян, С. А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработки данных / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. М.: Финансы и статистика, 1983. - 470 с.

3. Александров, В. В. Представление и обработка изображений: Рекурсивный подход / В. В. Александров, Н. Д. Горский. Л.: Наука, 1985. - 192 с.

4. Амиантов, И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи / И. Н. Амиантов. М.: Сов. радио, 1971. - 416 с.

5. Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов / Т. Андерсон; перев. с англ. М.: Мир, 1976. - 756 с.

6. Анисимов, Б. В. Распознавание и цифровая обработка изображений / Б. В. Анисимов, В. Д. Курганов, В. К. Злобин. М.: Высш. шк., 1983. - 296 с.

7. Ахманов, С. А. Введение в статистическую радиофизику и оптику / С. А. Ахманов, Ю. Е. Дьяков, А. С. Чиркин. М.: Наука, 1981. - 640 с.

8. Бард, Й. Нелинейное оценивание параметров / Й. Бард; пер. с англ. В. С. Дуженко, Е. С. Фоминой; под ред. В. Г. Горского. М.: Статистика, 1979. - 350 с.

9. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М.: Лаб. базовых знаний, 2000. - 624 с.

10. Башаринов, А. Е. Измерение радиотепловых и плазменных излучений в СВЧ диапазоне / А. Е. Башаринов, Л. Т. Тучков, В. М. Поляков, Н. И. Ананов. М.: Сов. радио, 1968. - 390 с.

11. Бейтс, Р. Восстановление и реконструкция изображений / Бейтс Р., Мак -Доннелл М.; пер. с англ. Б. С. Кругликова, С. Л. Ярославского; под ред. Л. П. Ярославского. М.: Мир, 1989. - 334 с.

12. Бендат, Дж. С. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол; пер. с англ. В. Е. Привольского, А. И. Кочубинского; под ред. И. Н. Коваленко. М.: Мир, 1989. - 540 с.

13. Булинский, А. В. Теория случайных процессов / А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. М.: Лаб. базовых знаний, 2003. - 400 с.

14. Бутаков, Е. А. Обработка изображений на ЭВМ / Е. А. Бутаков, В. И. Островский, И. Л. Фадеев. М.: Радио и связь, 1987. - 236 с.

15. Быков, Р. Е. Анализ и обработка цветных и объемных изображений / Р. Е. Быков, С. Б. Гуревич. М: Радио и связь, 1984. - 248 с.

16. Быков, В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике / В. В. Быков. М.: Радио и связь, 1971. - 328 с.

17. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений: преобразования и медианные фильтры / Т. С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Г. Дж. Нуссбаумер и др.; под ред. Т. С. Хуанга; пер. с англ. М.: Радио и связь, 1984. - 224 с.

18. Бычков, А. А. Обнаружение изображений пространственно протяженных затеняющих фон объектов / А. А. Бычков, В. А. Понькин // Автометрия. 1992. - № 4. - С. 33 - 40.

19. Валентюк, А. Н. Оптическое изображение при дистанционном наблюдении / А. Н. Валентюк, К. Г. Предко. Мн.: Навука i тэхншика, 1991.-360 с.

20. Ван дер Варден, Б. Л. Математическая статистика / Б. Л. Ван дер Варден. -М.: ИЛ, I960. -434 с.

21. Ван Трис, Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции / Г. Ван Трис. -М.: Сов. радио, 1972. Т. 1. - 744 е.; Т. 2. - 342 с.

22. Василенко, Г. И. Восстановление изображений / Г. И. Василенко, А. М. Тараторин. М.: Радио и связь, 1986. - 302 с.

23. Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов / Я. А. Фурман, А. В. Кревецкий, А. К. Передреев и др.; под ред. Я. А. Фурмана. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 568 с.

24. Введение в статистическую радиофизику / С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов,

25. B. И. Татарский; под общ. ред. С. М. Рытова. М.: Наука, 1978. - Т. 1. -494 е.; Т. 2.-463 с.

26. Виттих, В. А. Обработка изображений в автоматизированных системах научных исследований / В. А. Виттих, В. В. Сергеев, В. А. Сойфер. М.: Наука, 1982. - 214 с.

27. Галун, С. А. Оценка площади оптических изображений на фоне шумов /

28. C.А.Галун, А. В. Зюльков, А. П. Трифонов // Автометрия. 1983. - № I. -С. 81-83.

29. Гинзбург, В. М. Формирование и обработка изображений в реальном времени: Методы быстрого сканирования / В. М. Гинзбург. М.: Радио и связь, 1986. - 232 с.

30. Гихман, И. И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гихман, А.

31. B. Скороход. М.: Наука, 1977. - 568 с.

32. Голубенцев, А. Ф. Статистические модели квазирегулярных радиофизических и оптических структур / А. Ф. Голубенцев, В. М. Аникин, В. Г. Клименко. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. - 114 с.

33. Голяницкий, И. А. Пространственно временные статистические характеристики модулированных полей и процессов / И. А. Голяницкий. -М.: Изд-во МАИ, 1991. - 158 с.

34. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.

35. C. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

36. Гудмен, Дж. У. Статистическая оптика / Дж. У. Гудмен; пер. с англ. А. А. Кокина; под ред. Г. В. Скроцкого. М.: Мир, 1988. - 528 с.

37. Даджион, Д. Э. Цифровая обработка многомерных сигналов / Д. Э. Даджион, Р. Мерсеро; пер. с англ. В. А. Григорьева, К. Г. Финогенова; под ред. Л. П. Ярославского. М.: Мир, 1988. - 486 с.

38. Де Гроот, М. Оптимальные статистические решения / М. Де Гроот; пер. с англ. А. Л. Рухин; под ред. Ю. В. Линник, А. М. Каган. М.: Мир, 1974.491 с.

39. Ермаков, С. М. Метод Монте Карло и смежные вопросы / С. М. Ермаков. - М.: Наука, 1971. - 327 с.

40. Ермаков, С. М. Статистическое моделирование / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. М.: Наука, 1982. - 296 с.

41. Закс, JI. Статистическое оценивание / JI. Закс; пер. с нем. В. Н. Варыгина; под ред. Ю. П. Алдера, В. Г. Горсокого. М.: Статистика, 1976. - 598 с.

42. Зюльков, А. В. О точности нижней границы для рассеяния оценки площади оптического изображения / А. В. Зюльков // Изв. АН СССР -Техническая кибернетика. 1980. - № 4. - С. 232.

43. Ибрагимов, И. А. Асимптотическая теория оценивания / И. А. Ибрагимов, Р. 3. Хасьминский. М.: Наука, 1979. - 528 с.

44. Калеватых, А. В. Обзор современных методов автоматизированного анализа изображений / А. В. Калеватых, Б. А. Павлов // Автоматика и телемеханика. 1995. - № 9. - С. 3 - 21.

45. Караваев, В. В. Статистическая теория пассивной локации / В. В. Караваев, В. В. Сазонов. М.: Радио и связь, 1987. - 238 с.

46. Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. -М.: Физматлит, 2000. 264 с.

47. Кендалл, М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стьюарт; пер. с англ. Э. JI. Пресмана, В. И. Ротаря; под ред. А. Н. Колмогорова, Ю. В. Прохорова. М.: Наука, 1976. - 736 с.

48. Кендалл, М. Статистические выводы и связи / М. Кендалл, А. Стьюарт; под ред. А. Н. Колмогорова; пер. с англ. JT. И. Гальчука, А. Т. Терехина. -М.: Наука, 1973. 900 с.

49. Колмогоров, А. Н. Основные понятия теории вероятностей / А. Н. Колмогоров. М.: Фазис, 1998. - 130 с.

50. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер; пер. с англ. А. С. Монина и А. А. Петрова; под ред. акад. А. Н. Колмогоров. М.:1. Мир, 1975.-648с.

51. Крамер, Г. Стационарные случайные процессы. Свойства выборочных функций и их приложения / Г. Крамер, М. Лидбеттер; пер. с англ. М.: Мир, 1969. - 398 с.

52. Красильников, Н. Н. Теория передачи и восприятия изображений. Теория передачи изображений и ее приложения / Н. Н. Красильников. М.: Радио и связь, 1986. - 246 с.

53. Куликов, Е. И. Вопросы оценок параметров сигналов при наличии помех / Е.И. Куликов. М.: Сов. радио, 1969. - 244 с.

54. Куликов, Е. И. Методы измерения случайных процессов / Е. И. Куликов. -М.: Радио и связь, 1986. 270 с.

55. Куликов, Е. И. Оценка параметров сигналов на фоне помех / Е.И. Куликов, А.П. Трифонов. М.: Сов. радио, 1978. - 296 с.

56. Кунченко, Ю. П. Нелинейная оценка параметров негауссовских радиофизических сигналов / Ю. П. Кунченко. Киев: Вища шк., 1987. -190 с.

57. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Левин. М.: Радио и связь, 1989. - 654 с.

58. Левшин, В. Л. Пространственная фильтрация в оптических системах пеленгации / В. Л. Левшин. М.: Машиностроение, 1978. - 168 с.

59. Леман, Э. Проверка статистических гипотез / Э. Леман. М.: Наука, 1979. - 408 с.

60. Ллойд, Дж. Системы тепловидения / Дж. Ллойд; пер. с англ. Н. В. Васильченко; под ред. А. И. Горячева. М.: Мир, 1978. - 414 с.

61. Лоэв, М. Теория вероятностей / М. Лоэв; пер. с англ. Б. А. Севастьянова; под ред. Ю. В. Прохорова. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 720 с.

62. Марковская теория оценивания в радиотехнике / М. Н. Лантюхов, А. А. Сирота и др.; под ред. М. С. Ярлыкова. М.: Радиотехника, 2004. - 504 с.

63. Марченко, Б. Г. Вероятностные модели случайных сигналов и полей в прикладной статистической радиофизике: учеб. пособие для радиотехн. спец. / Б. Г. Марченко, В. А. Омельченко. Киев: УМКВО, 1988. - 176 с.

64. Методы статистической обработки изображений и полей: Межвуз. сб. науч. тр. / Новосиб. электротехн. ин-т; редкол.: Т. Б. Борукаев (отв. ред.) и др. Новосибирск: НЭТИ, 1986. - 134 с.

65. Миддлтон, Д. Введение в статистическую теорию связи / Д. Миддлтон; пер. с анл. Б. А. Смиренина; под ред. Б. Р. Левина. М.: Сов. радио, 1962. - Т. 2. - 832 с.

66. Мудров, В. И. Методы обработки измерений: Квазиправдоподобные оценки / В. И. Мудров, В. Л. Кушко. М.: Радио и связь, 1983. - 304 с.

67. Нечаев, Е. П. Оценка площади оптических изображений при неизвестных интенсивностях сигнала и шума / Е. П. Нечаев, А. П. Трифонов // Автометрия. 1990. - № 2. - С. 31 - 36.

68. Нечаев, Е. П. Оценка площади пропадающего оптического изображения на фоне шумов / Е. П. Нечаев, А. П. Трифонов // Автометрия. 1987. - № З.-С. 18-21.

69. Нечаев, Е. П. Эффективность алгоритмов оценки площади оптического изображения на фоне шумов / Е. П. Нечаев, А. П. Трифонов // Автометрия. 1989. - № 4. - С. 20-23.

70. Омельченко, В. А. Ортогональные разложения случайных сигналов и полей / В. А. Омельченко. Киев: УМКВО, 1991. - 140 с.

71. Осецкая, Г. А. Обнаружение оптического изображения с неизвестной площадью / Г. А. Осецкая // Радиотехника. 1994. - № 1. - С. 64 - 70.

72. Осецкая, Г. А. Обнаружение оптического изображения с неизвестными интенсивностью и площадью при наличии фона / Г. А. Осецкая // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. 1992. - № 7. - С. 31 - 37.

73. Осецкая, Г. А. Обнаружение оптического изображения с неизвестными интенсивностью и площадью при наличии фона с неизвестнойинтенсивностью / Г. А. Осецкая // Автометрия. 1992. - № 4. - С. 40 - 46.

74. Островитянов, Р. В. Статистическая теория радиолокации протяженных целей / Р. В. Островитянов, Ф. А. Басалов. М.: Радио и связь, 1982. - 232 с.

75. Патрик, Эдвард А. Основы теории распознавания образов / Эдвард А. Патрик; пер. с англ. В. М. Баронкина и др. М.: Сов. радио, 1980. - 408 с.

76. Перетягин, Т. И. Представление изображений гауссовскими случайными полями / Т. И. Перетягин // Автометрия. 1984. - № 6. - С. 36 - 42.

77. Поветко, В. Н. Оценка качества обнаружения пространственно -протяженных объектов по их изображениям / В. Н. Поветко, В. А. Понькин // Радиотехника и электроника. 1993. - Т. 38, № 4. - С. 686 -688.

78. Понькин, В. А. Вероятность обнаружения протяженных объектов / В. А. Понькин, И. М. Зуев // Радиотехника. 1992. - № 12. - С. 13 - 18.

79. Портенко, Н. И. Марковские процессы / Н. И. Портенко, А. В. Скороход, В. М. Шуренков // Итоги науки и техн. Серия соврем, пробл. матем. Фундам. направления. М.: ВИНИТИ. - 1989. - Т. 46, № 4. - С. 5 - 248.

80. Пригарин, С. М. Некоторые задачи теории численного моделирования случайных процессов и полей / С. М. Пригарин; под ред. Г. А. Михайлова. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1994. - 164 с.

81. Прэт, У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт; пер. с англ. под ред. Д. С. Лебедева. М.: Мир, 1982. - Т. 1. - 312 е.; Т. 2. - 480 с.

82. Пуанкаре, А. Теория вероятностей / А. Пуанкаре; пер. с фр. В. В. Шуликовской; науч. ред. А. В. Летчиков. Ижевск: Журн. "Регуляр. и хаотич. динамика", 1999. - 276 с.

83. Рао, С. Р. Линейные статистические методы и их применение / С. Р. Рао; пер. с англ. А. М. Кагана, В. М. Калинина и К.П. Латышева; под ред. акад. Ю.В. Линника. М.: Наука, 1968. - 548 с.

84. Репин, В. Г. Статистический синтез при априорной неопределённости иадаптация информационных систем / В. Г. Репин, Г. П. Тартаковский. -М.: Сов. радио, 1977. 432 с.

85. Розов, А. К. Обнаружение, классификация и оценивание сигналов: Последовательные процедуры / А. К. Розов. СПб.: Политехника, 1999. -206 с.

86. Сосулин, Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов / Ю. Г. Сосулин. М.: Сов. Радио, 1978. - 320 с.

87. Теория когерентных изображений / П. А. Бакут, В. И. Мандросов, И. Н. Матвеев и др.; под ред. Н. Д. Устинова. М.: Радио и связь, 1987. - 264 с.

88. Теория обнаружения сигналов / П. С. Акимов, П. А. Бакут, В. А. Богданович и др.; под ред. П. А. Бакута. М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.

89. Терентьев, А. С. Распределение вероятности временного положения абсолютного максимума на выходе согласованного фильтра / А. С. Терентьев // Радиотехника и электроника. 1968. - Т. 13, № 4. - С. 652 -657.

90. Тихонов, В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов / В. И. Тихонов. М.: Радио и связь, 1986. - 296 с.

91. Тихонов, В. И. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов / В. И. Тихонов, Н. К. Кульман. М.: Сов. радио, 1975. - 704 с.

92. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М. А. Миронов.

93. М.: Сов. радио, 1977. 488 с.

94. Тихонов, В. И. Оптимальный прием сигналов / В. И. Тихонов. М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

95. Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: учеб. пособие для вузов радиотехн. специальностей / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. М.: Радио и связь, 2004. - 608 с.

96. Тихонов, В. И. Статистическая радиотехника / В. И. Тихонов. М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.

97. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Мир, 1985. - 724 с.

98. Трифонов, А. П. Обнаружение стохастического изображения с неизвестными параметрами при наличии фона с неизвестными параметрами / А. П. Трифонов, Ю. Н. Прибытков // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. 2002. - Т. 45, № 9. - С. 10 - 20.

99. Трифонов, А. П. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами / А. П. Трифонов, Е. П. Нечаев, В. И. Парфенов; под ред. А. П. Трифонова. Воронеж: ВГУ, 1991. - 246 с.

100. Трифонов, А. П. Разрывные модели сигналов и оценка их параметров / А. П. Трифонов // Прикладная теория случайных процессов и полей. -Ульяновск: Ул ГТУ. 1995. - С. 164 - 214.

101. Трифонов, А. П. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех / А. П. Трифонов, Ю. С. Шинаков. М.: Радио и связь, 1986. - 268 с.

102. Трифонов, А.П. Характеристики оптимальных оценок параметров оптических сигналов на фоне пространственных помех / А. П. Трифонов, А. В. Зюльков, В. К. Маршаков // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. 1981. -Т. 24, № 1.-С. 14-21.

103. Троицкий, И. Н. Статистическая теория голографии / И. Н. Троицкий, Н. Д. Устинов. М.: Радио и связь, 1981. - 328 с.

104. Тутубалин, В. Н. Теория вероятностей и случайных процессов. Основы математического аппарата и прикладные аспекты / В. Н. Тутубалин. М.: Изд-во МГУ, 1992. - 394 с.

105. Фалькович, С. Е. Оценка параметров сигнала / С. Е. Фалькович. М.: Сов. радио, 1970. - 334 с.

106. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллер. М.: Мир, 1984. - Т. 1. - 528 е.; Т. 2. - 752 с.

107. Фурман, Я. А. Симметричные характеристики формы произвольного плоского изображения / Я. А. Фурман // Автометрия. 1998. - № 2. - С. 77 -86.

108. Фурман, Я. А. Цифровые методы обработки и распознавания бинарных изображений / Я. А. Фурман, А. Н. Юрьев, В. В. Яншин. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1992. - 246 с.

109. Хуанг, Т. С. Обработка изображений и цифровая фильтрация / Т. С. Хуанг. М.: Мир, 1984. - 274 с.

110. Хургин, Я. И. Статистическое моделирование / Я. И. Хургин, Н. О. Фастовец. М.: Нефть и газ, 2003. - 72 с.

111. Шелухин, О. И. Негауссовские процессы в радиотехнике / О. И. Шелухин. М.: Радио и связь, 1999. - 288 с.

112. Шестов, Н. С. Выделение оптических сигналов на фоне случайных помех / Н. С. Шестов; под ред. А. А. Лебедева. М.: Сов. радио, 1967. - 347 с.

113. Шлихт, Г. Ю. Цифровая обработка цветных изображений / Г. Ю. Шлихт; пер. с нем. Е. 3. Сорока, О. Г. Носов. М.: ЭКОМ, 1997.-334 с.

114. Шметтерер, JI. Введение в математическую статистику / JI. Шметтерер; пер. с нем. под ред. Ю.В. Линника. М.: Наука, 1976. - 520с.

115. Ярлыков, М. С. Марковская теория оценивания случайных процессов / М. С. Ярлыков, М. А. Миронов. М.: Радио и связь, 1993. - 460 с.

116. Ярославский, Л. П. Введение в цифровую обработку изображений / Л. П. Ярославский. М.: Сов. радио, 1979. - 312 с.

117. Amit, Yali 2D object detection and recognition: models, algorithms, and networks / Yali Amit. London: The MIT Press, 2002 - 308 p.

118. Ballard, D. H. Computer Vision / D. H. Ballard, С. M. Brown. New Jersey: Prentice-Hall, 1982. - 528 p.

119. Bow, Sing Tze Pattern recognition and image preprocessing: Second edition, revised and expanded / Sing - Tze Bow. - New York: Marcel Dekker, 2002. -700 p.

120. Delignon, Y. Estimation of generalized mixtures and its application in image segmentation / Y. Delignon, A. Marzouki, W. Pieczynskib // IEEE transactions on image processing. 1997. - Vol. 6, № 10. - P. 1364-1375.

121. Goshtasby, A. A. 2 D and 3-D image registration for medical, remote sensing, and industrial applications / A. A. Goshtasby. - New Jersey: John Wiley & Sons, 2005. - 262 p.

122. Ho, Chun Та A high - speed algorithm for elliptical object detection / Chun -Та Ho, Ling - Hwei Chen // IEEE transactions on image processing. - 1996. -Vol. 5, № 3. - P. 547 - 550.

123. Jahne, Bernd Digital image processing / Bernd Jahne. New York: Springer, 2002.-586 p.

124. Pattichis, M. S. Fingerprint classification using an AM FM model / M. S. Pattichis, G. Panayi, A. C. Bovik, Shun - Pin Hsu // IEEE transactions on image processing. - 2001. - Vol. 10, № 6. - P. 951 - 954.

125. Petrou, M. Image Processing: The Fundamentals / M. Petrou, P. Bosdogianni. -New York: John Wiley & Sons, 1999. 334 p.

126. Serra, J. Image analysis and mathematical morphology / J. Serra. London: Academic Press, 1982. - 612 p.

127. Зимовец, К. А. Эффективность обнаружения неоднородного изображения на фоне шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Автометрия, 2003. Т. 39, № 1.-С. 19-27.

128. Зимовец, К. А. Оценка площади неоднородного изображения на фоне пространственного шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. 2003. - Т. 46, № 10. - С. 3-14.

129. Зимовец, К. А. Совместное обнаружение и оценка площади неоднородного изображения на фоне шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Автометрия. 2004. - Т. 40, № 4. - С. 11 - 25.

130. Зимовец, К.А. Максимально правдоподобная оценка площади пропадающего изображения / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Материалы X международной научно технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". - Воронеж, 2004. - Т. 1. - С. 189 - 196.

131. Зимовец, К. А. Оценка площади неоднородного пропадающего изображения на фоне пространственного шума / А. П. Трифонов, К. А. Зимовец // Изв. ВУЗов. Радиоэлектроника. 2004. - Т. 47, № 8. - С. 3 - 14.