Стохастический подход в топологических теориях типа Черна-Саймонса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ И ЛШЗЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЛ ФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 530.145; 539.12.01

МУСАЕВ СА1уТИР БАНИРХАН оглы

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ ТША ЧЕРНА - САГЪГОНСА

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

/

/

/У

Ь/->

Работа выполнена на кафедре квантовой теорш; и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета ш/ени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математически наук,

профессор В.ЯЛайиберг.

Официальные оппоненты: доктор Физико-математических наук,

профессор Р.Н.Фаустов;

доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Шелепин.

Ведущая организация - отделение ядерной физики '¿ИРАН

им. П.Н.Лебедева.

* 1 / - • I + 7' » 7 -

Защита состоится " ¿'^'¿^/>'¿7' 1992г. ' " ча(

на'заседании специализированного совета К.053.05.24 в Московски государственном университете имени М.З.Ломоносова по адресу: 117234, Москва, Ленинские горы, НИИ® МГУ, 19 корпус, аудитория 2-15,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НК-Ш МГУ. Автореферат разослан " 1992г.

Учешй секретарь Специализиоованного док тор фи зик о-ма т ема тиче с^ихенаук":

В.А.Фошн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

| Актуальность темы. В последние годы широкое применение в различных областях квантовой теории поля получил метод стохасти-1еского квантования. Одной из примечательных черт этого метода шляется наличие ЗЛ5Т- симметрии в эффективном лагранжиане :истемы. Наличие такой симметри играет важную роль при доказа-?ельстве существования и устойчивости основного (вакуумного) состояния квантовой системы.

С другой стороны, в последнее время привлекают большое внимание различные топологические методы и теории поля с непростой 'опологией. С ним, в частности, связывают надежды описать процес-!Ы рассеяния струн при больших энергиях на большие углы в пределе высоких температур; построить теорию протяженных объектов более 1Нсоких размерностей; найдя подходящий механизм для спонтанного шрушения "ковариантной" симметрии, построить теорию квантовой 'равитацин; описать высокотемпературную сверхпроводимость; про-:лассифицировать конформные теории. Кроме этого топологические еории имеют и чисто математическую ценность (исследование тополо-ических инвариантов многообразий и т.д.).

К топологическим теориям относятся,прежде всего, неабелевы алибровочные теории поля, где в инстантонной физике получен елый ряд интересных и важных результатов. В более обшем смысле топологическим теориям можно отнести любую теорию с нетривиаль-ой топологией, либо группы симметрии полей, либо самого прост-анства, где определены поля.

Существенным толчком к развитию топологических теорий яви-ась работа Виттена (1988), где он, попытался соединить ковариант-

ную формулировку с наличием ЗДЗТ - симметрии исходного лагранжиана, что -позволяет сделать далеко идущие вывода о свойствах, наблюдаемых вне теории возмущений.

Наличие в топологических теориях ВЯ&7~ - симметрии наводит на мысль о том, что метод стохастического квантования таких теорий может автоматически привести к появлению такой симметрии в эффективном действии и более того, может облегчить построение-топологических моделей, обладающих как / так к анти- !

А:к¿7" - симметрией, что значительно облегчает построение наблюдаемых (вакуум, гамильтониан и т.д.) и ковариантной теории возмущений. _

цель работа ■ состоит в корректном построении стохастических

!

процессов, описывающих ряд топологических теорий, в частности, трехмерную модель Черна - Саймонса и топологическую О -модель.

Научная новизна и практическая ценность.

1. В работе впервые путем введения специального квазилокального ядра в уравнение Лаюкевена для Черн - Саймонсовского действия корректно построен свободных от духов Фадеева - Попова стохастический процесс, имеющий сходимость при бесконечно больших1 фиктивных временах и в равновесном пределе, описывающий квантовую трехмерную теорию Черна - Саймонса в некоторой нелокальной калибровке. Построенная неравновесная теория оказывается-инвариантной и является калибровочно-инвариантно перенормируемой в пределах теории возмущений в схеме размерной регуляризации.

2. Впервые построен ковариантным образом стохастический

I

процесс на рикановых многообразиях в случае некоторой одномерной полевой модели. Уравнения для динамических переменных этой модели выведены из условия ковариантности построенной схемы.

Получено эффективное действие указанной модели и оно является полностью ковариантннм. Благодаря наличию Q -симметрии, действие переписано в терминах суперполеп.

i 3. Произведено исследование однопетлевых расходимостей в построенной теории. Перенормировки метрического тензора и почти ' коглплексной структуры совпадают с результатами, полученными ранее для топологической Ö -модели. Построенная модель обладает некоторой свободой, которую необходимо фиксировать. Из-за наличия члена, фиксирующего такую свободу, перенормировка является не-мультиплика тивной.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на иеадународной конференции по гравитации (февраль, 1991г.) в г.Москве, на международной Сахаровской конференции в 1991г., в г.Москве, а таюг.е на семинарах теоретического отдела ФИАН СССР им. П.Н.Лебедева.

Публикации. Основные-результаты диссертации опубликованы в 3-х статьях.

Структура и объем пабота. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, иллюстраций и списка литературы. Полный объем диссертации 115 страниц, включая 9 рисунков; список литературы содержит 105 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сделано краткое ознакомление с основами метода стохастического квантования и топологических теорий поля, а также в хронологическом порядке приведены главные достижения в этих областях. Обоснована актуальность проделанной работы, сформулирована главная цель. Дано краткое содержание диссертации по главам.

Глава первая "Стохастическое квантование трехмерной модели Черна - Саймонса" посвящена непротиворечивому построению стохастического процесса адекватного в равновесном пределе квантовой __ трехмерной модели Черна - Саймонса.

В § I изложены основные проблемы, возникающие при попытках стохастически проквантовать топологические теории и актуальность такого рода задач. В частности, показано, что стохастически про-квантованная скалярная теория поля в неравновесной фазе является

I

топологической теорией,в которой инвариантность относительно изменения метрики фиксирована. В таких теориях возникает аналог ■ /^/¿иТ- симметрии. Показано, что для суперсимметричных теорий существуют адекватные им в неравновесной фазе стохастические , процессы с переменными Николаи в качестве уравнения Ланжевена. Обоснована необходимость введения ядер в стохастические уравнения описывающие топологические теории.

В § 2 предложена система уравнений Ланжевена с квазилокальным ковариантным ядром

и)

г/где X'/ ~ коЕариантная производная, а - действие

Черна - Саймонса, и доказано, что, во-первых, на уровне теории возмущении такой процесс имеет равновесное стационарное распределение и, во-вторых, в равновесном пределе построенная схема адекватна трехмерной квантовой теории Черна - Саймонса. Показано, что Черн - Саймоновская теория воспроизводится в слож -ной нелокальной калибровке, которую нелегко найти. Развита диаграммная техника для решения уравнения Ланяевена методом итераций.

В § 3 построенная стохастическая теория сформулирована е калибровочно-инварцантной форме в неравновесной фазе (4-х мерии). В калиброЕке

/1« !

в случае размерной регуляризации, показано, что на уровне теории возмущений такая теория полностью эквивалентна стохастическому квантованию трехмерной модели Черна - Саймонса с добавкой цван-шгеровского члена в уравнение Ланкевена {I) . В размерной регуляризации детерминант, идущий, от духовой части,равен единице из-за удачного выбора калибровочного члена. Эффективное действие построенной неравновесной теории обладает - симметрией,

из которой были выведены тождества Уорда - Славнова - Тейлора -Фрадкина - Тахакаши, которые связывают константы перенормировок полей и вершин. Построенная модель свободна от духовых полей.

Подсчетом степеней расходимости и доказательством того, что диаграммы с внешними квантовыми полями зануляются (следствие

I

7симметрии) показана калиброво*но-инвариантная перенор-кируемость построенной модели в неравновесной фазе в случае размерной регуляризации.

Доказано отсутствие ультрафиолетовых расходимостей в одно-петлевом приближении, как это и имеет место в квантовой трехмерной теории Черна - Саймонса.

Предложена другая схема стохастического квантования трехмерной модели Черна - Саймонса, когда отсутствует мнимая единица, как в ядре , так и в действии" о^* . В простейшем

абелевом случае такой процесс имеет ясную физическую интерпретацию. Он описывает два независимых друг от друга случайных процесса, которые эволюционируют в противоположных направлениях по времени и сходятся к равновесным пределам каждый.

Вторая глава "Стохастическое квантование и топологические модели" посвяшена корректному построению стохастического процесса на римановом многообразии адеквантного в неравновесной фазе топологической О - модели Виттена,

В § 4 кратко описаны существующие О - модели и показано вкратце, как поставленная наш задача до этого была решена в квантовой механике.

В § 5 показано, что прямое обобщение результатов уже решенной в квантовой механике задачи в случае полевых теорий неприемлимо. Для решения поставленной задачи необходимо изменить уравнение для реперов - дополнительных динамических переменных

теории, которые необходимо Евести для построения ковариантной . стохастической схемы. Уравнение Ланжевена для самих полей ^

такое же как и в топологической 1 (5 - модели Виттена с добавлением случайных флуктуации

где - гауссовые шумы.

Уравнение на репера однозначно следуют из условия

самосогласованности системы и ковариантности построенной

схеьш. Они имеют вид '

Если в начальный момент времени выбрать репера таким образом,что

то такое условие в среднем буде^сохраняться б каждый момент времени

где ¿-¿/¿/^^/¡О - решения системы

В выборе реперов /^Г//^ "веется произвол с точностью до ортогонального вращения по индексам, а система уравнений

э^от произвол фиксирует.

В § 6 после сложных выкладок осуществлен переход от схемы уравнений Ланжевена /хЦ {3} к функционально-интегральному представлению. Полученное в результате эффективное действие оказывается полностью ковариантным1(в схеме Стратановича), чем и достигается одна из главных целей диссертации. Кроме того,

теория обладает $ - симметрией как это обычно имеет место в стохастически проквантованных моделях." Полная суперсимметрия отсутствует. Это объясаяется тек, что репера не являются !

ковариантно постоянными _ ->

Присутствие - симметрии дает возможность переписать эффективное действие в терминах суперполей с одной грассмановой переменной 0 , 1

что существенно облегчает анализ построенной схемы, в частности, ковариантную диаграммную технику.

В полученной модели стохастическое время неотличимо от координаты в не имеет смысла говорить о равновесном пределе. Построенная теория воспроизводит топологическую О - модель в неравновесной фазе.

Третья глава "Теория возмущений и перенормировки" посвящен^ исследованию построенной модели методами ковариантной теории возмущений .

В § 7 дано строгое введение в метод'фонового поля предназначенный для расчетов по теории возмущений, а также ковариантный

!

метод фонового поля, являющийся его нетривиальным обобщением для топологических теорий.

3 § 8 произведено разложение действия ^ по фоновым полям, получены свободные функции Грина с использованием условий само-; дуальности. Развита фейнмановская диаграммная техника и расчитаны

однопетлеЕые ульрайиолетовые расходимости, причем благодаря

(р -симметрии большая часть "подозрительных" диаграмм отбрасывается.

3 § 9 расчитанн константы перенормировок метрического тензора и почти комплексной структуры . Полученный результат полностью совпал с таковым полученным для топологической б - модели ранее. Однако перенормировка члена в эффективном действии, обязанного своим появлением уравнению ('¿) не является мультипликативной. Так как такой член фиксирует свободу выбора ^¿С/^) » т0 ситуация здесь идентична той, которая возникает в теории Янга - Миллса: в калибровке с?/- О при учете радиационных поправок появляется, контрчлен ^Ау'' . -

На языке уравнений Ланзкевена учет контрчленов, появляющихся в теории, эквивалентен введению шумов и добавочной "силы трения" в уравнения для реперов

Равенство - функций для и являет-,

ся пертурбативным подтверждением общего равенства /-4^

В заключении подведен итог того, что сделано в диссертации.

I

В иллюстрациях приведены рисунки, поясняющие такст диссертации.

! ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

I. Предложена система уравнений Ланжевена для трехмерной теории Черна - Саймонса, которая имеет равновесное стационарное распределение. Доказано, что в пределе бесконечных фиктивных времен такая стохастическая система адекватна трехмерной квантовой теории Черна - Саймонса в некоторой нелокальной калибровке.

Развита диаграммная техника для расчетов по теории возмущений. Показано, что благодаря удачному выбору члена фиксирующего калибровку в размерной регуляризации, теория свободна от духовых полей.

•¿. Построенная стохастическая модель, сформулирована в кали-бровочно-инвариантном виде в 4-х мерии (4 полевые компоненты; 4х мерное "пространство-время (фиктивное )"). При наложении локального калибровочного условия

в размерной регуляризации, на уровне теории возмущений показана эквивалентность такой теории стохастически квантованной трехмерной теории Черна - Саймонса с цванцигеровским членом и специальным

ядром

/у-

3. Построенная модель обладает оЯ6Т- симметрией и получены соответствующие тождества Уорда. Использованием такой симметрии и подсчетом степеней расходимости доказана калибровочно-инва-риантная перенормируемость предложенной теории в неравновесной фазе в размерной регуляризации .Непосредственно доказано отсутствие ультрафиолетовых расходимостей на однопетлевом уровне в равновесной фазе.

4. Предложена модифицированная,по сравнению с вышеописанной, схема стохастического квантования трехмерной модели Черна - Саймонса. Показано, что в абелевом случае она описывает динамику двух независимых случайных процессов, эволюционирующих в двух противоположных направлениях по времени и сходящихся к равновесному распределению каждый.

\

5. Построено ковариантное стохастическое уравнение Ланжевена для некоторой одномерной полевой теории. В качестве уравнения Ланжевена предложено уравнение для полей в топологической О - модели с добавлением ковариантной случайной силы. Ковариантная случайная сила определена посредством введения дополнительных переменных - реперов . динамика которых однозначно выводится из условий ковариантности и самосогласованности уравнений Ланжевена. Построенная система уравнений полностью ковариантна.

6. Осуществлен переход от системы уравнений Ланжевена к функционально-интегральному представлении. Полученное в результате эффективное действие является ковариантным.Построенная модель обладает <р - симметрией, что позволяет переписать действие в терминах суперполей с одной грассмановоп переменной.

7. Развита диаграммная техника в суперполевом виде й засчитаны однопетлевые ультрафиолетовые расходимости. Перенормировки метрического тензора и почти комплексной структуры совпадают с таковыми, полученными ранее для топологической б - модели. Эднако для устранения однопетлевых расходимостеп необходимо произвести немультипликативную перенормировку, что в нашем случае означает переход к другой "калибровке". Сделано указание на то, что цля построения мультипликативно перенормнруемой стохастической теории в неравновесной фазе, адекватно!! топологической С5 -модели, 1еобходимо Евести шумы в уравнение для реперов /г„

Публикации

1." "Стохастические ядра в теориях Черна - Саймонса",

Субботин А., Муса ев С. Б., ЖЖЛШ^ том I04A, № 3, ; стр.453.

2. "О стохастическом квантовании теорий на римановых многообра- . зиях", Мусаев С.Б., Субботин А., Краткие сообщения по физике | ФИАН, Л 8, 1992.

3. "Перенормировки в стохастически квантованных теориях на многообразиях. Мусаев С.Б., Субботин А., Краткие сообщения по физике ФПАН, Si 9, 1992.

(