Строение и представления свободных йордановых алгебр и йордановых Р1-алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

А л / Д Е МИ Я НАУК С О С Р . ОРДГ'Й ЛЕНИНА "ЧЕШСКОЕ 01ДО1ЕНКЕ ИНСТИТУТ иЛ'ШДАТйМ

Специализированны? сове'! Д гг)2.2"(.01

1Ь права. руг пиеи

МЕДВЕДЕВ Юрий Александрог ч • •

УДК 5Т2.554

СТРОЕНИЕ И ПРЕ,~СТАВПЕ1Щ СВГОДКЫХ ЕСРДАНОЕЫХ АЛГЕЗР

и . , .

ЁОРДАНОВЫХ Р1-А1:ЪяР .

0I.CI.06 - математическая лога?*, г.. гебра' к "едрия чисел

Автореферат диссертацг: на соискание >ченор степени доктора физико-математических наук.

Новосибир_к-1°90

""абота выполнен*. в Инсти?., ге математики СО АЧ СССР.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Г' .Д.М-зуров, • доктор физисо-ыатематическг.х наук С.В ^чь лице ^,

доктор Физико-математических наук X) ^.Размысло*

Ведущее иредприя'" 1е - Институт мэтематг и с ЬЦ, АН МССР

Зани. . состоится "_"_1990 г. в_

чапв на заседании Специализированного совета Д ^02.23.СТ при Институте »»^тематики Сибирского отделения ¡.'Л СССР .ю адресу: Иове ибирск--*0, Университетски}? ьр.4.

С диссертацией можно ознакомился в библиотеке Института матеыг-гики СО "ССР.

. А* тор 1е з.т разослан "_____1990 г.

''че Л секрет? _;ь

Спец .ализирован"ого совете

д. \-M.H.

Е. Д.Палвтин

йордаковь ах ебр~ к настояце-у моменту npo_.ro тюг-и в ма-тем&.жу. Тесные связи 'еория Г рданоных алгебр имеет со юп-ми разделами математики, .Чрелу^е всего с а"ь.;изо1.., rvwTpjieV, проективной геометрией, другими кланами алгебр группами. В последнее Бремя теория Йорданавых алгебр обс.атилесь целим, дом новых результатов,, воплошащих в себе существенные достижения различных областей математики из с~обгнностк алгебры.

Пгсть А ассг-щативная алгебра. Обозначим через А алгебру с го'* же аг дитизной струк'^рор, что и у алгебры ^ , и сгал'етризоваш м умножением ci » ê - ¿it в 6 «• $(<. ) . Baj»- > н ей« свойства s тор алгебры мопаг выразить в зиде- "о^дес

<Х'Ь- vко).™ут?"ивность") ;

оА = ( oJ--С) :■> <Х- (ропданово тождество) V

Алгебра ..ад ассоциативно-коммутатлвнш кольцом скал)фов с,"

î

£ , удовлетворяющая этим двум тождествам, называется P c р-дано е» f.

Еслк рорданова алгебра может быть влокгча в алгебру ?ипа дСО '

h\ , то такая алгебра надувается п е ц и а л ь я о {*. Б -

противном случае {йрданова алгебра назы1. .ется исключительной.

Рассмотрим важнейший пример исключите. .,ио{? . ^рдано-ал-1 " гес^ы. Пусть ^ алгебра Ке*и-Диксона. Алгебра . (L- о( адаот инволюцией. Пространство эрм^^овых ЗхЗ-матриц ш.,. .(2- образует 27-мерную Fop- тнову глгебру от»оси'. ль: ) скшетрнзбврчного'.Хо-изве, зния. Обозначь ее ч.реь И (^ ) . Назовем 5 -чногу

rcf'pv Фермой алгебры '-(ЧЛ-з,) , если некототое ее скалярное ргссяронае кпоко^ „но aai бре I ( 5ормы алгебры И еет .'агава: кольцами Лл6"пте., в то вре. л как простые $ омы ал г'лбгзн НС 4' s ; называют алгсб; .мк Албе^та. / .Албер? С14 1 ^ 1534 г. у"?ано..ля, что алгебра Н () является простой ис-кяют.:т& ной f анонс, алгеброй.

Роль кск..счительЯой алгебры Н (^уника^ьна как окладе сь, ке только в '._-орки Горданов е. гебр.

1 истории ^азвитик алгебраических аспектов теории fopaa -косых алгеб" ыоу.ую наделить три ватп ршк этапа. Нг> протяжении пергск. зтап' (с начал 30-х до средины 50-х годов) происходи п о сна l .ом создан- • теории конечно ¡.-ерь^-к ■,ордан~>вых алгебр.

ация коначномерлнх олупрестых Рорд ».новых алгебр, начатая Я.Еэрданом, Дж. фон Нермг 'М и .¿.Вищером, была заверпе-н" А.Албертом [ IS] .

Второ,- этг-п (с серед-чы 50-х до середины -0-х годов! оз -к wein еа; себя пере- -дом от изучения K"i чном ерг"х Рс.дан'чвых схгебр " бесконечномерны .и в с збеннос..; специальным Рогдано-вш алгебр .!.

Б IS&6 rosv А.И.Иирг' - [13] пол;, .ил глубо: ? ре ультат о те •, что сэс.^одн"я рпиданова а: "ебра от 2-х порождающих специальна. Резульг •• А.И.Ширшова шел больше? маутнкр реглане и сразу же инициировал изучение своб рордановы* алгебр.

Назовем элемент с-обопно? рордансор ал^бры <S -то»де-стзом, е~лг. он язля'тег тождеством jo всех специальных Рорда-но^ых алгебра 3 силу рез„ штата А.И.Шк^иова ненулезьт s-тождеств 1вух г ременных нет. Однако ненулев! . <J -то уде ства ■ тр ; -•ременлнх уже есть. Впервые э~> установили А.Ал. ;р? к Л.Пердж 16] . К.Глени [18] удалось наРти конкретные

' знулевк" ¿'-ro7"tecTi,a 8-Р и 9-ff стеге. ..

Основополаг.-"!циГ рззул тат А.И.Пиррова о свободных Горда-новне-алгебрах от двух поровдавдих получил свое развитие в работах И.Макдональда [20] и К.Маккриммс xf.í '] .

Весь этот дал раоит был ь-лолчен э течение чуть более ТО лот noce выхо, i работы A.w.Ширшова. В результат« стало кс-" но, что 'свободные Гордановы аг^ебры ? 3-х и бо. ¿е порождают.« с.таеетзенным образом о .ш ются от дву эрожденных свободных Гордги- вых алгебр и фактически от специальных Рордановых алгебр». Структурное строение своб-цных Рорлановых алгебр от 3-х и Оилр» ' порождающих было неи1..эстно. Даяе оставалс л непонятным, есть ли здесь делители нуля, нильпотентны олсенты, центральные элеме-^ы и т.д.? В концг 60-х лдов Н.Джекобсон [I9j и К.А.Г^г-лаков С еьзд; .или в'связи с зтич ,1роблему

П р t. б л е м 5 I. (¡..Джекоб^н, К.А.ЖеЕлаков). Е :ь ли в сво'о,;ноГ Сордановг" алгебре от более чем двух пороядакс, гх ней,у ненулевые дел-тели нуля иг. даже ншгьпотентные ь..гмьнты?

С современных позиций формулировку .роб. гт I юкно ус- . ■ лить и уточнить.

Проблема Y. Будет ли свободная ¡йог ;анотза а .'обра от более чем п-х порождающих ..ервичной, по^уаервкч! í'? Будзт • ли ниль-радикал такой лзободной йорданорой ачгебры отличен от : Ну. .я?

. Мощным инструментом теории алгебр являются тождества. *а результатах по тождества, например, построен«:' точти все самые глубокие разделы структурно? тес яи альтерна дивных „лгебр. Срс;-д.. результате/-; по тождествам особое место занимают результаты : по гентральным $г/К' ^иям. Оснспываясъ на рег "¡ьтата^ j.ó центральным функциям, Г.В,Дорофег~'у Г¿далог"*'обн- ужнтъ в свобод-

но!1 альтер: та. .оР. алгебр, от более чем 2-х порождающих под л-гебръ:, к хуке лч-роениг алге^п Кэли-^иссон- над своими центрами. Ь сБяз-.! г этим, И.П.Г-естаков запис-ч в "Днепре в скув тетрадь" llJ следующуг проблему.

Проб л м е. Г М.П.Шестаков). Содержит ли свободная ?о4 ;янова алгебра от 'олее чем 2-х • орэдцавщих подхольца Ал-бе-рта.

1>ли к решен""» ьтоР проблемы подходить по пути, аналогичному сооч1)етпт°>тогдаму пути в альтернативных алгебрах, то преж-д всего надо выяснить устройство гпнтря свободно? Pop -'НоеоР аггеб^к. Ьдесь же неизвестно было даже ег. наличие. Специалиста л дрпно интересовал вопрос: v, у щ *> с т в у в т ли ненулевые ц е н t a i ь н i: е элементы в с в с б о д н ,.г .. Йорданов х ai г е б р а х "

След-шсч.,м значительным вкладом А. .Шир:.:от,а в теорию бес-к"чечномг 'ных ¿пеци&и-ннх кордановых алгебр явился ¿го цикл р, лультатов .¡о проблеме Сипи саудовского типа или Куропа. ..го -там этого цикл стало чешьние А.".Кировым [33 проблемы i.ypom.* . -г :ллссе япец^-л^ных.■ зрдановых PI-алгебр.

ДругоГ ..одход к изучение специг-тьных l-opr-'HoBux PI-г re6¡ вг">?еь'0, ir rsu.jP, был тредлокеч К.АЛевл- .овш [I.! в виде .ро-олемы.

VT р о _ л е р 'С.А.Жевлаков^. Будет ли Р7 алгеброр чс-соцяатиркья обертываг-ая e-.гебра конечно-порожденной специально? эр-адово? Р1-алгебрь.

К достижениям второг" этапа размг -я теории Рордановь... алг?бр относился так? создание тео^-.к невнровд^нных уордано-ы алгеог» с условием минь дльнос.л б с??едйне 60-х годов Н.Дкекобоонем Г:?] к Дж.Осборном. Здесь подробнее станов,.,/or

с,

на понятиях абс-тютного целителя нуля и невырожденности в Гер-' даногых алгебрах, приобретших ванное значение в результате п-эданкя этор теории.

Элемент с г рдь...;>воР алгебр .1 ^ назреет -д а.-" с о -л х> н г м делит л е м ч у л я, если [ , J , сь ] ~ -О , где сх^ >Гг с^-л). х, - ^

-тройное рорданово произведение. В гпепиальнор пордановэр ал« гебре .А чро^чое Рорданово произведение совла-

деет з ассоциативным произведением х ^ х , а абсолютны*' ; дели-"эля.п нуля этор рормановор алгебры явл. .этся в точности эле мент«, "ороядаю!. :е тр^'чиальяые идеалы. В сб^ем случае ситуаци.. - абсолютными дели/, лями нуля еммз^ .ась несравнимо более слож» нор. С этим поня' чем были и се"час связаны одни из с чых труд- . ных проблем теории рордановых алгебр.

Назовем рорданову алге"оу невырояденнор, если она нь содержит ненулевых абсолютных делителе? уля. *&шеньЕИр вдеал ' РордановоР алгебры, фаэтор по которому кгвыровдег называется радикалом Маккриммона. К.Маккриммон показал, что этот редикал . является ниль-идеалом.

Третий этап (с середины ,'0-л годов и д настоящего впе-меня) характерен решением крупных проблем в бдер теории , ор-дановых алгебр. Открывает этот этап ц :л фундяч®нтадькых работ Е.И.Зельманопа.,

Значительна достижением явилось доказательство Е.И.Зе"ь-мановым „41 локально!? нильпотентности идеала ровдановор .лгеб-, ры, порожден?' го ¿..¡солютным д тителем нуля, ""от рез^ль^ат бил одним кэ ключевых .ри заверке ии классификации простых Горда-, новых алгебр £ '■] . Все простые Рорд^оьа алгебры окаг -лись классическими. Среди них единствен Р исключительно. лгебро"

■ 7 л .

'.с: .с.юность*) до форм> является алгебра. /-:берта ( ' С^"^) ■

Рс.зеитием результатов о простых «орда- ">вых алгебрах стала с^ор-'-п о классификации первьчжя левырокденнкх Popj новых ал-

[ .Я" j . Соглр.ско это" теореме, первичная невырокде..лая f'op:;a:-:o!?a алгебра либо "тециальь^, либо являемся кольирм /л-борта. С п. шью последнего Е.И.Зел!-«анов [' 5 J описал рад'-'алы езебодь^? /органов?*? алгебры '' показал, * то и свобод?-"!5 корда-козо? -пгебре от бол г 4 чем 2-х порождающих *;ть делители нуля.

Это Чат сузественнке достигни* на пути решен, i пробл 1ч/..

Спену ^ькые гордаювы алгебру искл*-чительг -я алгебра п ' Ci, ) сч :т у истоков алгебр-' 'ческого определения многообразия ^орданог.ых лгеб. . Описание радиксов свободных ft. дш. j-вых алгеор позрогче? обоьз». сказать', что радикал свободной алгебру - ур- дань за краткост. о то го '•чредг-ления. Ос бую ва г.~ f стъ приобрел теперт вопг с о етривнальиссти эм' дани (проблемы I и Отличен л от куля ниль-радикая свободно? ,!->р-даис»о!> ,~г.гебры?

С новываясь ча н.иаслйика^онньк результатах, Е.И.Зель-ма—5Е [4] a г. решил nt 5лему Kypoca i классе всех {*>ида-

Зевдемся т iep- к проблем К .А.З'евлакова и к его идее ' ^учелия рс^и.-овых PI-алгебр. В КВ4 году И.П.Сестаков [II] реп.;г.л ату проблему, показа' что, деС .'ег.тельно, у конечно-по-"^сяд^шог сгециальнор fop-iHOEoii PI-&- ^ебрк i ;социатквна" обертывающая сама >лл тел Р1-алгеброР. Тем сакьм стало во^-мояньп/ чо этс ; "мостику" мереносиw результаты ассоц: itkbhop PI-Tsopi ■ i.j спец ляькие Реданов* Pi-алгебры.

У а^оциат ¿нога представления промз ^льно-/ Рорданавгр алгебры вполне мечт сугест: воть ненулевое вдро. А простая ■'.оклкчктельная алгебра ) при-таксм предстааченкк зсюСке

переходит в нуль, х'аким образом, инфор;. ция "б аисотдт. лвно V' обертавающзР не- лно отражает ск.уатаз в самое рорданомр ал-грбре. Так"» потер не происходит, если ре смотреть _ лроеьюз более сложно мультипликативное преде 1влекте Р01 дновор алгеб-. рк. Л.П.Шестако. эапкеа в "Днестровск; т тетрадь" пробле. у 11 ' о б л е м а Ш (й.П.Шестаков). Будет ли ассоциативно? 1Х-алтеброР универсальная -•ульткпликативная обертывавшая ко-нечно-^рояденнор Гор, .новой Р1-алгебры?

С.В.Пче;- .нцев |.Ю] (по этому поводу с«», и работу автора [27] ) установил, что аб'5лютн_^ делитель нуля не обнзан :ор -ждать нильпоте! чшр идеал в проит. ль нор рордаиовор а.т 'еб^е. С.В.Пчвлин--?вьзл йыла построила даже черня первичных Гор; ковах алгебр лорожденнчх абсолютными делителями нуля. Тем не мо: результаты Е.И.Зельманова г •. абсолютным делителя),. ну*.л больших' порядков вселяли надевду, что хотя в г\тц .1 сл. чае абсолютны'' ; делитель куля и не го рожает нильпотентняй 1 ;еал, ^ сл. чае 'со— нечно-порозденных Рэрдановых алгебр идеал, им по ^гкдекну; в с 8 - ! а к и будет н ; л ь п о т е « т н к м.

Пожалуй, наиболее неясной до сих пор бьега ситуация с про-блс.дар II I".П.Шее акова и с центральными функциями !'.ордано.-ых алгебрах. Е.Й.Зельманов и А.В.Чехонадских [61 показали, что произвольное мультипликативное представление у простой ис . ключительной ,.орданово{* алгебры / 'берта Н ьоегда центрально т. . для любого элемента а. е- г~1 и любого элемента ^ из центра Н спразед."-во £>>¿-0) - - р^^-коО. - ,

Теперь шжно было предполог" чь, чт.. центральны элементы воз. ■ ■■ -.9 ' ••

удас к с наружить :п.*л централь..лх функций алгебры .'л-

^ е л ь ^ работы является '/^учение строения о'оско-гПч:;оу Йорданов к г.^гебр. Особоз вн"манне уделяется ово-•б-л горданскм аг.гс ром и Горчаковым Р1-алгебрам. При этом с:'. ;рмтся. изучаются " элективно и- юльзутотея различные лред-сгя.елпзшя роздано г х алгебр.

I .зультаты, т^ло^ешые в диссертации, лвляются новыми. Работа '.о-^ет теоретически? характер.

Результаты диссертации докладывались на се....шаре """еория кслег" ;м.л.И.2'ирл:ова Института математик.. СО АН ¿ССР, ча се-мм.лре "А.тебра и логика" в .ЧТУ, на семинаре го обцеР алгебре к^едры аысгсеГ алгебры в МГУ, на <~Р к 5-Г школах по теории многг ^бразир ..с, 1965 г., Барнау 1958 .1, на 1-Е т"ле по ал;ебр.„ v. анализу (Кемерово, 1967 i ), на Т-Р пкол. по не-а- зоцматг-кор лгебрь к ее приложениям (Новогчбирс.., 19С8' г.), н 4-м ;л Ъ-1: Всесоюзных симпозиумах по теории колец, алге.р и модуле* (Китак 1, 198^ г., Новосибирск. 1982 г.), на 17-, и 7'-Г Ьсесоюэнь^ <лге(.зических конференциях (Минск, 1983 г., К1._к>-ез, 198^ г., Львов, 19Ь.- г.), г* международных кон-1х ен-ц:"-,х пс Г!У*ч:;. Рордак вде алгебр в 0берв1 ..ьфахе 'ЛРГ, 193' г., ы86 г.', ка Иь,.дуь..родко? конфе. мир" г, алгебрэ ("-»юсибире? х9£? р.>.

По ае.м? диссерт?"ии к...>ется 20 публжаци}'.

Диссертация изложена на 223 ^границах, состг т из ь~еде-ук и пяти глав. Библиогр—'жя содержит наименований.

Содйижак е работа.

Мз результатов К.М.З' .»манов. ¿4 7 следует, что если нпль-ъадиклл кокенйо-псрсаденког РордакозоР Р1-алгебры -тличеь зт

нуля, го такая -лгебра "одержит кенулевоР тривияльни*- й^езл. Таким образом киль-радикал это? Гордакоео? алгебра согя w. ; с идеалом Бор^.. Развитием этого результата якляетсг

TEOi-WiA 4. Z ' тт:&. П. .иль-, vw1* конечнс порсуекноР рорд^ .-говор PI-злгебрьг г ляется "уммор нилъпотентчих идоалоп.

Теорема 4.2 являи-ся ;снозн--м реоульт.?. ом г рво" главу диссертации.

Справедливость анрпога это? теоремы для зссопис 'шик алгебр 6wia установлена В.Н.Латышевым [8J . При этом суяг ггзен-лым образом использо«залсь известная тес„зма А.'И.Ширшова £3,' э высоте В случа спеи"альных Рордаьавых алгебр этот р^зульта1. ложно получить исп :ьэ>я упомянуту теорему В.Ь.Лтгкиеза и результат И.П.Ше такова ГII] с том, чтс аосоциативн' обертывающая конечно-порожденнор специальноР Рордан'^оР Рт-алгебры • является PI-алгеброР.

Ссовной результат первор главы , . ссер.ацки является одним из ключевых для решения проблемы И ...П.Шеста"овг> Бэлэе того, он и был целеноправлено полнен именно для ресенмч это? прблега в третье? главе. После того, хак будет п^Бегчко решение проблемы Ш, мы получим ¿юь^ожяость гп вменить развитую теорию ассоциативных Fl-axreß^ к рордановым п1-алгобрам результат теоремы 4.2 будет значительно усилен.

Отметим, что разработанный первое главе мет работи с мультипликативна ,и представлениями затем будет развит в главах 2 и 4.

Во вторгЧ гл„ве диссерг ;ии изучаются р^солютнке ¿.¿лители р-тя в Рордановых алгебрах. " работе [12] И.Ше^такаь показал, что абсолютен. делитель нуля коиеч»»о-пь рожденной ■альтернативно? алгебры порождает шошгготонтге 1 идеал.''Позднее J Ч.Пчелг'-

II ' 4

uc. l9] услано "ил, что ес~и кольцо ска'тров содержит яехект , то «бсолюткыР делитель нуля пргчзвол- юр альтернативно? ллге'ры г.орс«ает нилъпогетныр идеал. Но даже с ре; ' специаль :-:ьл Гэрд'г.лвщ PI-аягеб; имеются алгеоры, в которых в свою ovepf-дь, имеются абсолютные дел^те^и нуля, не порождающие к/иготен ¡ых идеалов [27, 10 J . Ег~и конечно-порожденн' ч Гор дг-ног.с. акгеб^а является Р1-а-лэброр, тс э силу осног,ого ре-зульт'та первсР гла' : теоремы 4.2, абсолют ыр делитель нуля тдкоР &' эбры порождает нильпотьитниР.идеал. Разви. оя мето., ; r-'i.jti I, во второр главе диссертации устанагли'чется, что абсолютны;'! злитель нуля порождает нильп^г^чткыр гчеал в произ-вг 'тор кс -•чно-порол^докног- Ро .ановоР алгебре.

хЕОгсЖ 3.. (гла л 21. /.бсолютний делитель нуля в .poi..^-вольнок конц«чо -порождение, рордгковор алгебре п рождает ниль г.оте'-тл:" и-еал.

Это явлг^тся г вньс. роз, :ьтатом главы Глазнг- результате, третьер главы и одним из цонтра-ьньш результатов диссертации у.ляется реп :-...с проб:, мы L И.Г Тестг ,гоьа.

TËO.iJÎ,!' 3.1 (глава 3). Унигерсальная ультипликатнв^ая о^-рть'закиая роиэволыи . коьечно-г.орояу-чпкп. Рори^новоР р1-лгебрч будет ссо-натиьнор I ¿.-^чгеброр.

Этот "е^льтат бтат i:a следствия, поскольку позволяет переклеить на проиовольнг" Рордь .jbk лгебры из естные факты из ™гории :.ссоциативньпс "I-слгебр. С .îsthv . jcs:e. что т эремг 3.1 является ktoi я 4._рвор и третьер глав диссертации, "ажнкм :едствивм теоремы 3.1 "вляется С ДоаСЙ!^ G.I. 'глаг' 31. / -обра умножеь-.р конечно-порол*, лшо » Î рданово? PI-алгебры является ^социа—шкл"- F* -ал-

гебро?.

Блестящ'м результатом развития теории ассоциативные Р1-ая-геб_ является теорема Ю.П.Размыслова-...Р.Кембрг'.-А.Браун„ [17.1

0 нильпотентности ннль-^гд.'.кала коиечно-порозден!"4?? ассоциатии-но. Р1-"тгебры над нетеровым кольпрм скаляров. ".П.Шестлкоа . £113 , решив проблему К.л.КевЛс.кова, ,/становил 'справедлллосл» аналога георемь В.П раз1„лслова-А.Р.Кемера--А. Брауна для гпеци-ал*чых рордановых и ал; "ернативпых рхгебр. Решение прс'^емы Ш позволи-..) полу-ть точны? аналог этого результата в чногообр -?"и всех Рордановых алгебр.

ТЕСРГ'А З.Г: (гла-ч 3). Лиль-4 дикал конечно-.,ороггденноР РордановоР Р1-алгебры над нетеровым кольцом сналяро. кильпотен-теп.

Хочется отметить ч?г ресекие проблемы 111 во ^ :огок стиму-чиро~г*юсъ желанием "тгора получит!» аналог теорг'ы Ю Ч.Рагмыз-лова-А.Р.""рмера-*.Брауна для Розановых алгебр.

Главы 4 и 5 дис^ертатт госвяшенк изучению свободных рордановых алгебр. Главное место среди р—'сматривреы'ых вопросов и •ЭЕдач ¿>ани\ ют ..роблекы I, I и П, поставленные Н,„лг.екоб1,оном, К.А.л.йвлоковъв: и И.П.'Лестпковыч.

силу ре ультате К.И.Зельмаг^ва Г51 ниль-радгасал свобод-

1 4 Рордакопо? '.тебрк совпадает с радикал Маккрг.мкока и с пересечете:.« идеала псех -таадсств и сильных просто Г .схл^чительно Р алгебры г! ) •

В 2 главы строится '»л?мент ~о-Р степеьл от 32 порок-;.якзщих, ч нилъ-р' -иначе сь. 5одн' " Г-ордановор алгебры.

С помощью примера, по с роенного в § I главы Л, проверлег ».я, что

о

т а«нк| з.' 'м<знт о та .чсг »г иулп. При ~?ом требуется, чтобы эле-' ген? (/'; коль; скальп г. был отличеь от н^ля Таким об-

р„зом, прк сделанном предположении на копьцо скаляров справед- \ лика -

ТКОБКИА 2.1 (глава 44. Ниль-радикал зободнор р-рданочо? . алгебры от -42 и ллес порождающих отличен от нуля.

Для коиечнэгпоро—'.енных свободных Гчрдановых а- гебр справедливо '

СЛЬдСТШК £..1. (глава 4). Свободная конечно -порожденная .Рорданова алгебра от. 32 и более „орокдающих не является полу-г ^рвичноГ, т.е. содоркит иену-., а о Г идеал с нулевым умягчением.

Коль скор, установлено ,- что ниль-радикал свобо дно Г Рорда-но вор алгебры отл. V • от нуля, то необходимо изучить его сво"-' стаа. Развивая методы глав I и 2, связанн а с мультипликатив-,' иыии .преставлениями, в главе 4 уста, авливяется справедливость : .следуют.; ? теоремы

ТШРЕМА 3.1» (гжава 4). Произвольный ниль-элемек*" эрож-, дает ншгьпотенткыР ц ал в -вобо юр конечно-порожденной рор-дановор алгебре над г лем характеристики ьуль.

В качеств^ следствия получается ^арактеризация ниль-ради-. кала такой свободно? йо^дановой алгебры.

1 . СЛ.'ДСШЙ 3.4(глав* 4). Ниль-радикил свободной конечно-порожденной рордановой алгебры над полем характеристики нуль ' .'равен сумме :сих кильпотентньк идеалов.

Аналоги характеризации ниль-радикалрв, полученной в следствия 3.4, установлены автором £301 также и длл «вводных ко-нечно-пороаденкых {¡ордановьк алг_<5р над произвпьньа; кольцом ■ скалкроЕ (оти результаты не включены в диссертацию).

"Чзоремы ?Л и 3.1 являются основными результатами главы 4.

По .тку Р поч"и все, .то раэра' ггывалось в предыдущих '""с. ах дкееертац* прим .¡яется и развивается.в поелг^нер пятор главе.

Центральное место в ото? главе нанимают 4-алгебры. /\ -алгебры введены автором [31] и г тяются аиал' "оми простых исключительных ' '.'-мерных ?,орд' 'овнх алгебр над аезоциатнвно-коммута-

1внкм -ольцом. Так, -а своим центром 'V ~алгео4.а яв-дстся '.; 27-мерк: .л свободным модулем. Расширяя центр Д -алгебры, моя- ! но полнить ллгэбру типе гК^) , ; ,е С - адге бра Кол и -Диксона над своим центам (шнтр этор алгебры Кояи-Диксона (/_. мо ;т н не 61 ь п<.лем). Буква "А" в лазв шк А -алгебры - это

I

дань А.Алберту, знесиему н~чктельныР вклад в изу-К'нле алгебры : . . ' ■ :

С рордпновыми /, -алгебрами и их проставлениями связан ' новы"? подход в изучении си 5одаы>: Рордпновызс. алгебр. В других многообразиях алгебр, близких к ассоциативным, изу^иие свободных алгебр, как правило, ию через "чучени' их тоадеста. Г/епо-¿редс¿венная же рабо.а с тождествами ,г.даэлюбргиии ырдановых ' алгебр оказалась почти невозможно? для-решения совре-гетгых проблем .

К изучению своо>днш Гор .гкоэых ¡..»гебр и токлестп мы .юдоГчем через Д-алгебры и представ..л-шя, через структурнуто теор; . ПосЛ'З чэге, у-г.е имед в своем арсенале результаты по свободным Рордано эй алгебр«щ, .-.ы с таем, прс цируя кх, по-лу—ть и результаты по структурно? теории ^ирдан'-ч'.лс алгебр, го кх ст, с: лю и продетавлен/.гу. Утжальная роль просто'' исключительно? Рорди: эво? алгебры К^^) еце раз появится в втор, глазе.

Как ^кчно, год ^ок'иром алгебры ' дразугавается фактор-аг-'чбра некоторор пода,,г бры.

р'-эуль'?"^!» ь и с,*нии из центральны;: рэзу-

цптлчт; -л'сс'рт" л у.иляот'ся

ТЬ'ОРйМ 10.1 (z .ana Ь). Пег,- какор-.лбудь фактор г"»иэвол -кого рорданова кольца содержит А -подалгебру, то само кольцо ! содержит, А-подалгебру, ^энтр которой лежг" в цент^з все э .' кольца. |

. ТЕСРША 10.1 гф$1...тивно исг~ яьзуетсп для изучения свобод- ' них Рорд-"новых алгебр.

: - Среди следствий теорсчы 10.I, О' осянихся к свободным алгебра>- выделим следующие, результата.

.СЛЬЩСТВИЕ. 10Л, (глава ¡5). Свободное Рорданот") кол: ,о от : '-более чем двух порождающих содержу Д-подалгебру, центр ко- : , торой лежит в центре всего кольца.

СЛЕДСТВИЕ 10;3 (глава 54 Центр свободной РордановоР алгз-Сры от бс. зе Ч'';Д"ух порождающих отличен с:1 нуля. -01ЗД(ГГВИЬ,"10.5 ( ава 5). Свободные /орд -овы алгебры от ? ■ более чем двух порождающих Не являют.я первтг'ыыи. д ;'„ , В силу результата А.И.Ширшоьа CIS] ничего подобного не ; 'iweeT ме -а для свободных Рордановых алгебр от одного .. двух

г.лрождаших. ■

-•В качества следствий теоремы 10.1 получаем .¡.- ТЕОРЕМА ИЛ (глава 5). Если некоторая рорданова алгебра i содержит -ольцо Аяберта, то в центре этого коль а Албер.а су- i щястеует ненулевой идеал, лежащий в центре всей алгебры. -I ' : , Результат Е.И.Злльманова и А. З.Чехо«адских [б] о центральности представлений простых исключительных йордановых алгебр , усиливав'? • ; ,

,. ТЕОРЕМА II.2 (глаза 5). Пусть £ - кольцэ АлЗерта и р -.. чульт«-.лл,-чэ™1г ое представление кольца Е . Тогда в центре 2 СЕ) кольца Aiборта г '. существует ненулевой идеал

д. 'ствуюшии центрально,..т.е £>Ы р i)

i6

для любых э: ?мевтов ¡¿1 и ^ & .

Зсе персиянке невырожденные Рорданоаы алгебры получаг/гся г изв ггкыми конструкциями ¡_ 5 1 , имеют , лассичеекир вид. . аррыр псикер первичной вкроад^нно? рорданозор .алгебры »"классического ;ида Чкл построен С. В. Пчел лицевым ПО л . С г°мошь:о тесремы \ ЮЛ можно получить след^»:::ир результат о строении лерЕИчнЬк ! рордат. -К выро ден"мх ьлге бр ' .

СЛЕДСТВИЕ 11.1 (г.--ва 5). ^ера/иные Рордановы вырздзнныв алгебры лвляютст расширениями сг.ециальшгх рордвковыг" алгебр г^модью локально-нильпстенткых.

Моя г учкая рабо^ч неразрывно связана с Институтом математики СО АК СССР, с отделом теории колец. Я глубокс благодарен профессору И.П.Пест^лову и докт ру -математи'.;,,ск:наук

Е.'Л.Зельманову г.а внимание к моеР работе, за всее: ронгаго под-держ>"', за весьма полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

I. Днестровская тетрр ь, нерешенные проблемы те: .ми к тец и модуле Р. иовос..бирск, 1976.

?.. Дсрофеев Г.В., Альтернативные ко::,ца с тремя образующими,/Сиб. мат. а., 1963, т.4, 1029-1048.

, 3. Зиевлаков »i.A., Снинько A.M., Пестаков И.П., Ширшов А.И. • Кольца, близкие к ассоциативным. Л., Наука, 1978. 1

' ''4. Зельманов Е.И., Абсолютные делители нуля ч елгг'тзаиуес-■Ки РордаНовы а..гебры, Сиб. мат. ж., 1982, т.23, Ш 6, I00-II6.

5. .Зельманов ., 0 первичных Рордановых алгебрпх. П, Си*, мат. ж., 1983, "Г.24, № I, 69-104.

6. З^тьмаков Е.И., Чехонадских A.B., Центральность бипред-/ставленч/ простых исключительных Рорданог -х алгебр, НЭ'..., Новосибирск, 1985, деп. в. ВИНИТИ, 22 мая т985 г., 17 с.

7. Кемер А.Р., Тождестьа Кап лли и нильпотентность радика' ха в конечно-порожден!. JX FI-алгебрах, Докл. АН СССР, 1ГЧ0,

.т'225, № 4, 793-/97.

8. Латышев В.Н., 0 сложности нематричных многообразий ас-, С0циатиь..ьк алгебр I, Алгебра и логика, 19/7, т.16, № 2, 149-т£2. •

" 9. Пчелк цав C.B., О метавдеалах альтернативных алгебр, Сие', мат, ж., 1983, т.24, № 3, 142-148. '

10. Пчелинцев C.B., Абсолютные делители нуля специальных Рордаковых алгебр, Алгебра и логика, 1982, т.21 IP 6, 70^-720.:

П. Шестаков И.П., Конечно-порожденные специальные Рорда-новы v. альтернативные PI-алгебры, Мат. сб., 1983, 122(164), » 1(9), 37-40.

12. ¡Астахов И.П., Лбсолютнк? аел'лтехи нули к радикалы

конечко-пороулен: :гх альторк? "ивных алгеб , Aj. ебра и логика,

19?о, т. .V 5,

I". Ширшов А.И. С гпециальнг- J -''.ельцах, Мат сб.,

38, JÍ Z 1956, 149-166. . '

14. Л/V'lи & г iixi'n ^ ij

w>ec-l {< „vn . í/ IM» /i-,г, V 3 S" А/i

P.

íS.Af'erl Л1 S^TMcÍh« 'J -f<

A ^ . с/ M .¿Ц /Й4 v. 4 2, p. S ; 6 - '

jf . /I., e Z. a kcnvxC r/uC HtA'kv.

p^op^Hj CL ce;-/« ¿и Jb-^v, aè'cjtês*

Av^er M*fh. Sec., /^î , V. ¿4 fb

17. A., i m¡

épci

J iL,

a j-Ч! Wt + e-^uj ^enf Гй W î-'.Г, ^ <j , J. i s. Gf ей i .с L e c"« f. . v.rr

С vi sp^cJüf' "¿oГ с/Câv^ ¿«S é "f- _

Ij'Q U LA i . . ta rW Й VI „ ¿ti ¿ ^, P5^ с L / С с j 1

Мд'1,., f'3 6'6, V, fC, ,V . , F* J4 ,

Í3- О- '^oiso-л А/. 7 'c-íuf* vit/ en -

-Ы + с'ии s Jot-íf.i'. oé7.- e (\-ti-* / Д ^v- Ич, ч. 5oc. -Pu^. - i, FVo v-Coíc vior , ££ .

jf 'MccDóv.uC'c/ I afyefas

Ал ^ V \Л " Г -ic ri , PV-,JC .Lcv\Jcut bsOC.

ríi6'с. и. -Яв ¿Г- yf ОЬ •

ff.^i Ip'.'l K\, M Л _<Ас?\лЛ ßj

-■.'I ' л/л , f зЛГ-0ДГ

РАБОТЫ АШЬЛ ПО ТЕМЕ Г"СЕРТАЦ,Д

*

22. Медведев В.А., О ниль-эленентах '.вободноР ''-фдан^воР диггеры, См б. у .тем. ж., 11-ЛЗ, т.26, !'■ ?., с.140~1<;8.

23. Медведев Ю./1 , Ниль-радикалы г^кечно-поро:-",ешьк Рор-дановых PI-алгебр, Препринт JT Институт математики СО АН СССР, Ногосибир .с, 19Э5, 34 с.

24. Медведев Ю.А., Представления конечно-порожденных

,"«новых PI-алгебр, Препринт If 25, Институт математики СО АН .Г^СР, Новосибирск, 1985, 30 и.

25. Медведе. Г А.., Ниль-радии алы конечно-порожденных дяновых алгебр, Сиб. матем. ж., 1938, т.Гп, ] I, с.108-121.

26. Медведев Ю.А., Представлен: л конечно -порожденных Рор-... дано вы PI-а пгебр, Известия АН СССР, сер. матем., 198.., т.52,

' '.V I, с.64-78.

27. Медведев Е."., Аналог .r w Андрунакиевича для рорда-, ноекх алгебр, Сис. м* тем. я., 1987, J,- б, j.8I-8b.

28. Медвс. ,зв Ю.А., Абсолютные делители нуля в специальных конечно-порожденных Розановых алгебрах, Сиб. матем... к., 1988, т.29, : 2, С-205-2С9.

29. Медведев Ю.А., Абсолютные делители нуля в конечно-по-. рожденных р рдановкх алгебрах, Сиб. мг 'ем. ж., 1988, т.29, J? Э ." е.. 104-113.

, ■ ' ' 30. Медведев Ю.А., Р<.,_,жапы свободных коиечке -поровдею. .> ' Рордановкх алгебр, Сиб» матем. 1988, т.29. JP 4, 139-148.

31. Медведев Ю.А., l'-ордановк А-алгебры, Алгебра' и логика, 1987 К б, с.731-755.

32. Медведев S.A., Свободныг рордановы алгебры, Алгебр ; логике-., Г38, № с. 172-200. -

33. Ксдяедев Ю. А., 0 киль-элементах свободно?- Рордаиоко? алге^пы, Тезисы сооба. 5-го Всесоюзног симпоз. по теори.. колец, алгебр и модуле?, Новосибирск, 1932.

34. Медведев Ю.А., Лордановы нлль-кольца ограниченного индекса из многообразия, порожденною специальными Рорданозы?п. кольцам: Тезисы сообц. г^-ор Всесоюзно}» алг. кокф., Минск, : 1983, чЛ. .■

35. Медведев Ю.А., Конечно -поре жденные РорданоЕЫ Р1-алгебры, Тезисы сообц. 18-оР Вое ^пз но Г- алг. конф., Кияинев. 1985.

36. Че-ведев Ю.А., ¿еста..ов И. Конечно-порыцденн-гк Рор-даковы и альтернативные алгебры с тождествами, Нрепргчт № 647, Многообразия алгебра!: :еских сист-V, ВЦ СО АН СССР, Иовос :бирск, 1986, 17-18.

37. Медведев Ю.А.. Свободные Рордановы елгеб-у, Т~зисы со»

общ. 19-ор Всесоюзной алг. конф. Львов, 1987, ч.П, с.185. Нс^« С-О СГ Л. '^(Мин.'" Е . I. ,

<. С А <-г<\ , /0 £

а/£. р 13,?, 3- г4 /ч .

7с ^ V СЧ V—*

-л . <1 еА** л с съ-^А н; (-"р^ /«утси /у ы. еа ■/-

. Т<!, « ил. V" 5. ПС. I. 1

Мег/ц* & сГ Р-^ То^-е/с л Л - (

Мо, Чл . Ро^ск«^. С^егиг0 . Тс^^ -V; Ц

/ г 9 г , ' ' *

* л м ео&ч &.Г Уи . А. и:/^-,; 1^5. Лг

Дязисы -ооОщ. М-эь /1-арод1-.>й гонф. по алгебре, кн. Теория кол-ц, алгебр и мо; 'ле-/, Козиснбт,лс, 1989, стр.192 .

а