Структура минимальных систем узлов трехмерных решеток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

• Горкуша Ольга Александровна

<1

Структура минимальных систем узлов трехмерных решеток

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4

Москва - 2003

Работа выполнена в лаборатории информационно-компьютерных технологий Хабаровского отделения Института Прикладной математики ДВО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Быковский Виктор Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич;

кандидат физико-математических наук, доцент Пантелеева Елена Ивановна.

Ведущая организация - Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

Защита диссертации состоится 1^4.02 ё На заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва,ул. Краснопрудная, д. 14, на математическом факультете МПГУГ ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, МГПУ.

Автореферат разослан

'«Ж» &

Ученый секретарь ) ду ) / диссертационного совета __Карасёв Г.А.

А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Обобщением классического алгоритма непрерывных дробей занимались многие математики, начиная с Л. Эйлера [1]. Одно из самых удачных было предложено в конце девятнадцатого века Г. Минковским [2] и Г.Ф.Вороным [3], независимо друг от друга. Оно базируется на фундаментальном понятии "локальный минимум" решетки. Изучение взаимного расположения последних - одна из важнейших задач геометрии чисел и теории дио-фантовых приближений. Исследованию этого вопроса посвящены работы Б.Н.Делоне, Д.К.Фаддеева, Буллига, X. Кона, Дж. Бах-мана, В.А. Быковского и др.([4], [5], [6]). Они играют важную роль при построении эффективных вычислительных алгоритмов теории алгебраических чисел и целочисленном линейном программировании.

Цель работы.

1. Изучить взаимное расположение смежных локальных минимумов произвольных решеток.

2. Изучить структуру минимальных троек локальных минимумов трехмерных решеток.

Методика исследования.

Для изучения локальных минимумов решеток применяются методы геометрии чисел и теории диофантовых приближений.

Научная новизна.

1. Сформулирован и доказан многомерный вариант теоремы Вороного о дополнении пары смежных локальных минимумов до базиса решетки. Ранее были известны лишь соответствующие результаты Вороного [3], относящиеся к двумерному и трехмерному случаям.

2. Полностью изучена структура минимальных базисов трехмерных решеток.

Практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и развиваемый в ней технический аппарат могут быть использованы в геометрии чисел, теории диофантовых приближений, целочисленном линейном программировании, оценках сложности алгоритмов вычислительной теории чисел.

Аппробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на Дальневосточных математических фи<ша»«амйМАв1$!^Ц.акад.

I БИБЛИОТЕКА

I С.Петервург «

5 оэ Ую «КТ.7У/1

Е.В. Золотова (Владивосток, 1998-2002), на научных семинарах Хабаровского отделения ИПМ ДВО РАН (рук. чл.кор. РАН Н.В. Кузнецов); Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-25 мая 2003г).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 5 работ, некоторые из них в соавторстве с В.А.Быковским, список которых приведен в конце э

автореферата.

Структура и объем работы. I,

Диссертация состоит из введения, трех глав, дополнения, списка \

литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета АМБ ТЕХ. Общий объем диссертации 69 страниц. Библиография включает 15 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Мы будем придерживаться той же нумерации глав, параграфов и утверждений, что и в тексте диссертации.

Во введении излагается история и мотивировки вопросов, изучаемых в диссертации, а также вводятся некоторые основные определения.

Напомним, что любую полную 5— мерную решетку из Е£ (для краткости, в дальнейшем просто решетка) можно записать в виде.

Г = {шг/1' -1-----Ь та17П1,..., еЩ

с линейно независимыми узлами ^ = (7^,..., 7$) из М3.

По определению, ненулевой узел 7 = (71, • • ■ ,7«) называется локальным минимумом, если не существует другого ненулевого узла V — {щ, • ■ • с < |7*| при всех г = 1,..., в, и при этом хотя бы I

одно из этих неравенств строгое.

Локальные минимумы 7^) и 7^ с 7^ Ф ±7^ называются смежными, если не существует ненулевого узла г] из Г, для которого

таяШ^.Ы} <то*{|7(Д |7?5|}

т«*{| 7?)|,1^|}<та®{|7!/1)|,|7?)|}

при всех 1 < j < з и в каждой серии хотя бы одно из неравенств строгое.

Эти фундаментальные определения восходят к основополагающим работам Г. Ф. Вороного [3] и Г. Минковского [2] конца девятнадцатого века. Они в своих исследованиях ориентировались на построение многомерного аналога алгоритма цепных дробей для вы-• числения единиц алгебраических числовых полей и по этой причине

ограничивались решетками "общего положения". У последних каждый ненулевой узел имеет только отличные от нуля координаты. е В связи с задачами целочисленного линейного программирования

представляет интерес построение теории для произвольных решеток, включая целочисленные. Как будет видно из дальнейшего, при этом возникают свои специфические нюансы.

Главная цель работы состоит в изучении структуры взаимного расположения "соседних" локальных минимумов для произвольных трехмерных решеток. Как уже отмечалось, Г.Ф. Вороной и Г. Мин-ковский рассматривали только решетки "общего положения". По этой причине в первой главе подробно излагается теория локальных минимумов для произвольных двумерных решеток. С принципиальной точки зрения в ней не содержится ничего нового по сравнению с соответствующей главой из диссертации Вороного. Однако, с методической точки зрения, она представляет определенный интерес, поскольку изучаемые конструкции достаточно просты и лежат в основе мотивировок соответствующих построений для трехмерных решеток.

В предложении 1 из § 1 главы I доказывается, что любые два смежных локальных минимума 7 = (71,72) и 7' = (71 >72) двумерной I решетки составляют ее базис. Сопоставим им матрицу

Мы назовем ее минимальной, если ее столбцы - смежные минимумы порождаемой ими решетки.

По определению, назовем матрицы М и М' эквивалентными, если одна из них получается из другой композицией некоторой последовательности преобразований вида:

а) перестановка строк или столбцов;

б) изменение знака строк или столбцов.

Из определений немедленно следует, что эквивалентные матрицы минимальны только одновременно.

Главным результатом главы I (§ 3) является

Теорема 1. Матрица М минимальна тогда и только тогда, когда она эквивалентна одной из матриц вида:

>0 и 0 <7з < \ъ\ с 71 > 0 и 72 > 0; С0<7х<Т^НГ72>72>0.

ИЛ 3)

(П)=(ъ ъ)

к ' \ 72 72 У

В главе II рассматривается общий з - мерный случай. Назовем две решетки и Г2 из Ма подобными, если для некоторых ненулевых ах,..., аа

Гх = {(«171 >• • •, ал7*Ж7ь - • • 7*) £ Г2.)

В § 1 главы II доказывается

Теорема 2. Множество локальных минимумов Ш(Г) решетки Г конечно тогда и только тогда, когда Г подобна целочисленной.

Она обобщает хорошо известный факт, что вещественные числа раскладываются в конечную цепную дробь тогда и только тогда, когда они рациональны.

По определению, назовем графом Минковского-Вороного решетки Г пару С(Г) = (У(Г),Е(Г)), где

У(Г) =» {(±7) | 7 € Ш(Г)}

есть множество вершин,

Е(Г) = {{(±7), (±7')} I 7 и 7' смежные лок. мия. }

-ребра С(Г).

Собственно говоря, Минковский и Вороной под многомерным обобщением алгоритма непрерывных дробей понимали метод вычисления графа О (Г), начиная с одной фиксированной вершины. В двумерном случае он в точности соответствует алгоритму разложения в цепную дробь.

В связи с этим в § 1 главы II доказывается

Теорема 3. Для любой решетка Г из Ж* > 2) граф ^(Г) связный.

В § 2 главы II доказывается

Теорема 4. Пусть 7 и У любые смежные локальные минимумы решетки Г из К® (з = 3,4,...). Тогда 7 и 7' можно дополнить некоторыми узлами 7О,..., 7^ (не обязательно локальными минимумами!) до базиса Г.

Утверждение теоремы 4 для в = 3 и решеток "общего положения" есть классический результат Вороного.

Перейдем к содержанию главы III. В § 1 главы III доказываются некоторые вспомогательные технические леммы, играющие в дальнейшем важную роль. Начиная с § 2 с главы III объектом исследования являются трехмерные решетки.

По определению, для решетки Г из R3 трехэлементное множество

состоящее из линейно независимых локальных минимумов 7, У, 7", назовем минимальной системой, если не существует ненулевого узла 7?, для которого

¡ml < !<S|i, м < Pia, Ы < |«Яз-При этом для j = 1,2,3

В конце девятнадцатого века Минковский доказал, что для решеток "общего положения" любая минимальная система есть базис. В § 2 главы III доказывается

Теорема 5. Пусть решетка Г порождается базисными узлами

7(1) = (аьа2,а3), Т(2) = (о1,0,сз/2), 7(3) = (0,0,с3) с положительными а2, сз и а$> 0. Тогда множество

5 = {7(1),27(2)-7(1)-7(3),7(3)} = = {(аь а2, аз), (аь -а2, -а3), (0,0, с3)}

есть минимальная система тогда и только тогда, когда 4аз < С3. Заметим, что в формулировке теоремы 5

= —Ох • Й2 • с3,

/ ах 01 0

1 а2 0 Л и

\аз Сз/2 Сз

[ ' ах ах

Ы I «2 -а2 0

\ -а»

Это означает, что минимальная система

{7(1),27Са) _7(х) _7(»),7(»)}

яе есть базис решетки Г.

То есть, теорема Минковского в полном объеме не распространяется на произвольные решетки.

Пусть в = произвольный набор из ±1 и

а: (1,2,3) (».¿,Л)

перестановка на трех элементах. Определим невырожденное линейное преобразование

фф :М3 -+Ш3

по правилу

Ф{р{х1,х2,хг) - (01Хг,92Ху,еаХк)

(

Заметим, что Ф^(Г) также решетка в R3 для любой решетки Г. Отметим также, что линейные преобразования Ф^ составляют конечную группу £ (относительно их композиции).

Из определений непосредственно следует Замечание 1.

(I) Для любого локального минимума 7 € Г, Ф^ (7) есть локальный минимум решетки Ф^ (Г). (II) Для любых смежных локальных минимумов 7 и 7' из Г, Ф^' (7)

и Ф^ (У) есть смежные локальные минимумы решетки (III) Если S = {7,7',т"} минимальная система, из Г, то есть

минимальная система решетки Ф^ (Г).

По определению, назовем минимальную систему S решетки Г исключительной, если она переводится в минимальную систему из теоремы 5 с помощью некоторого преобразования Ф^' и изменения знаков у узлов.

В этом же параграфе доказывается обобщение теоремы Минков-ского на произвольные трехмерные решетки в следующем виде.

Теорема 6. Всякая минимальная система S произвольной решетки Г, отличная от "исключительной", составляет ее базис.

Начиная с § 3 главы III рассматриваются только решетки "общего положения". Главным результатом § 3 главы III являются

Теорема 7. Пусть , 7^, 7^ базис Г и М соответству ющая ему матрица. Предположим, что для некоторого преобразования Ф^ € $ матрица Фимеет один из следующих двух видов:

о 1 h СЛ { ax Ьх

02 -Ъ2 -с2 , I а2 -ъ2

аз -bs \а3 -h

-Ci

сз.

(1)

с положительными а,{,Ь{, а, у которых в обоих случаях а 1 < Ьх, сх < Ьх, &2 < 0-2, сг < 0.2, а3 < Сз, Ь3 < Сз, ив первом случае выполняется хотя бы одно из неравенств Сх < 01, £>2 < сг,

а во втором b-¿ + с2 > аг, 63 < аз- Тогда набор {7^,7^, 7'3)} есть минимальная система.

И наконец, в § 4 главы III доказываются

Теорема 8. Пусть {7^,7^,7^} —минимальное множество в Г с линейно независимыми узлами. Тогда:

а) 'yí1)^2),-^3) составляют базис Г;

б) для соответствующей матрицы М найдется преобразование Ф G для которого матрипа Ф(М) имеет один из двух видов в (1).

Теорема 9. Любую пару J^K'}'2^ смежных минимумов решетки Г можно дополнить третьим узлом 7^ до минимального базиса.

Автор выражает глубокую благодарность своему научном руководителю В.А. Быковскому за предложенную тему работы и постоянное внимание.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евклид. Начала, кн. VII-X.

2. Minkowski Н. Zur Theorie der Kettenbruche, Gesammelte Abhandlungen, Leipzig, 1911,v.l,pp. 278-292.

3. Вороной Г.Ф. Собрание сочинений. Т. 1, Киев, (1952).

4. Buchmann J. On the Computation of Units and Class Numbers by a Generalization of Lagrange's Algorithm. Journal of Number Theory, v. 26, 8-30 (1987).

5. Быковский В.А. Теорема Валена для двумерных подходящих дробей. Математические заметки. 1999. Выпуск 1. Том 66. С. 30-37.

6. Bullig Zur Kettenbruchtheorie in Dreidimensionen (ZI)", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hanseschen Universität, vol. 13, 1940.

Список работ автора по теме диссертации

1. Быковский В. А. Горкуша O.A. Смежные минимумы решеток.

Дальневосточный математический сборник. 1999. Выпуск 7., стр 18-21, 0.52 п.л. (Вклад автора составляет 50% работы)

2. Горкуша O.A.

Минимальные базисы трехмерных полных решеток. Математические заметки. 2001. Выпуск 3. Том 69. С. 353-362., 1.0 п.л.

3. Быковский В.А. Горкуша O.A.

Минимальные системы трехмерных полных решеток. Математический сборник. 2001. № 2. Т. 192. С. 57 -66., 1.0 п.л. (Вклад автора составляет 50% работы)

4. Горкуша O.A.

Приведение базисов трехмерных решеток. Препринт/ ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1998., 1.75 п.л.

5. Горкуша O.A.

Приведение базисов трехмерных решеток. Дальневосточный математический сборник. 1999. Выпуск 7.С 22-29., 1.04 п.л.

Со*—

v

I

Подп. к печ. 04.06.2003 Объем 0,75 пл. Заказ №253 Тир. 100

Типография Mill У

4 9 4 4

i

г

i

i

i

Список обозначений.

Введение.

ГЛАВА 1. Локальные минимумы двумерных полных решеток.

§ 1. Определения и простейшие свойства.

§ 2. Локальные минимумы и цепные дроби.

§ 3. Минимальные базисы и матрицы.

ГЛАВА 2. Локальные минимумы многомерных полных решеток.

§ 1. Основные определения и простейшие свойства.

§ 2. Дополнение смежных локальных минимумов до базиса.

ГЛАВА 3. Минимальные базисы трехмерных решеток.

§ 1. Вспомогательные леммы.

§ 2. Минимальные системы узлов.

§ 3. Достаточные условия минимальности базиса для трехмерных решеток "общего положения"

§ 4. Необходимые условия минимальности базиса для трехмерных решеток "общего положения"

ДОПОЛНЕНИЕ.

Начала" Евклида, написанные в начале III века до н.э., на протяжении более чем двух тысячелетий оставались основным источником геометрических знаний для всех культурных народов. И не только геометрических! В книгах VII - X "Начал" (см. [1]) излагаются теоретико-числовые вопросы. Седьмая книга начинается с определений. Для нас представляет интерес следующие три:

1. Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.

2. Число же - множество, составленное из единиц.

13.Первые между собой числа - суть измеряемые только единицей как общей мерой.

Во времена Евклида единица не считалась числом. Поэтому рассуждения проводились отдельно для единицы и остальных натуральных чисел. Это следует иметь в виду при ознакомлении с алгоритмом нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, излагаемого в первых двух предложениях книги VII. Сначала рассматриваются взаимно простые числа:

Если отложены два неравных числа и все время при последовательном отнятии меньшего от большего остаток не измеряет предшествующего ему (отнимаемого), пока не останется единица, то первоначальные числа будут первыми между собой."

Далее, во втором предложении, эта же процедура применяется для вычисления d =*НОД(а,6) с d > 1. Если дословно следовать Евклиду, то для пары (70,55) она имеет следующий вид:

70, 70 - 55 = 15; 55, 55 - 15 = 40, 40 - 15 = 25, 25 - 15 = 10: 15, 15 — 10 = 5; 10, 10-5 = 5 = Н(Щ70,55).

Заменяя последовательные вычитания в каждой строке одним делением с остатком, получим более компактную современную запись для алгоритма Евклида:

70 = 1 • 55 + 15; 55-3-15 + 10; 15 = 1 • 10 + 5; 10 = 2-5; НОД(70, 55) = 5.

Здесь вторые слагаемые в левых частях есть остатки от деления соответствующих чисел. Это самый "древний" алгоритм, до сих пор имеющий большое практическое значение. И не только! Он является мощным инструментом при исследовании многих вопросов теоретической и прикладной математики. В общем виде алгоритм Евклида можно представить как последовательность делений с остатком: s-2 — Qs — 2 ' CLs-l + «s! asi — qs-1 ■ as.

При этом НОД(ао,а1) = НОД(а1,а2) = • • ■ = НОД(а517а5) — as. В результате возникает разложение дроби ciq/cii в конечную дробь а0 = до • ai + «2; al=qi- а2 + а3; о ai 1 Qo + —;i + iTT 1

• + a. s которое формально записывается в виде: а о г

0.1)

Более общо, любое рациональное число г однозначно записывается в виде (0.1) с целым до и натуральными gi,. ., qs-\ (неполными частными). Оборвав цепную дробь (0.1) на г -том шаге, получим подходящую дробь с взаимно простыми целым Р; и натуральным Qi. Подходящие дроби P-n-xIQii-x с нечетными номерами составляют возрастающую последовательность, a Poi/Qoi (с четными номерами) - убывающую. При этом p2i-l / . P2i

- < V < ——

Qli-l Ч?2 г И p2i Р2i — l 1 Q2i Qli-l Q2iQ2i-l

Удобно положить Pq = 1 ж Qo = 0. Тогда для всех i = 2, 3,•• •

Pi+1 - g,P; + Pii,Qi+i = g,:Q; + Qt-1 (0.2)

Для иррациональных чисел а возникает разложение с бесконечной последовательностью неполных частных q, в том смысле, что ol = lim [q0:q1,q2,.,qi]. г—>оо

Пусть а 6 (0,1/2). Пара (a,q) с натуральным q и целым а называется наилучшим приближением к а, если выполняется неравенство q'a — а'\ > \qa — а| для любого натурального q' < q и любого целого а'. В этом случае НОД(а,д) = 1 и классическая теорема Лагранжа (см.[2] или [3]) утверждает, что последовательность

Pi,Яг) (i = 1,2,.), с числителями и знаменателями подходящих дробей к а состоит из всех пар наилучших приближений. В конце XIX века, независимо друг от друга, Г.Ф.Вороной [4] и Г.Минковский [5] положили это наблюдение в основу концепции локальных минимумов решеток с целью обобщения классического алгоритма непрерывных дробей на многомерный случай.'Напомним, что любую полную s— мерную решетку из IRS (для краткости, в дальнейшем просто решетка) можно представить в виде

Г = {у = m 17(1) + ■ • • + ms7(s) |mi,., ms £ Z} с линейно независимыми базисными узлами 7^ = (7^,.,) из Ш8.

По определению, ненулевой узел у = (yi,.-,ys) называется локальным минимумом, если не существует другого ненулевого узла q = (771,., t]s) с \liI < \ъ\ пРи всех i = 1, •., s, w при этом хотя бы одно из неравенств строгое.

Замечание 1. Узлы у и —у только одновременно являются локальными минимумами решетки Г.

Замечание 2. Для любого ненулевого узла т] решетки Г найдется локальный минимум у, для которого |7, | < \r)j\ при всех i = 1,. ,5.

Замечание 3. Любой локальный минимум у примитивен в том смысле, что для любого натурального q > 1 вектор ^ ■ у не есть узел решетки Г.

Замечание 4. Если у и у' с у ф ±7' - локальные минимумы, то они линейно независимы.

Составим из всех локальных минимумов решетки Г множество 9Л(Г). Для s = 1 любая решетка Г в М1 имеет вид m7(11)|m <G Z} с некоторым вещественным 7^ ф 0. Поэтому, для нее

ЩГ) = {±7(11}}. В случае s = 2 для a £ (0,1/2) определим решетку

Га = {l = ("i2,mi - m2a) = mi(0,1) + m2(l, -а)\чщ, m2 € Z}.

Из уже упоминавшейся теоремы Лагранжа о наилучших приближениях следует, что

ЩГа) = {±(Qi, Pi - Qi*)\i = 0,1,2,.}

Таким образом, в рассматриваемом случае, локальные минимумы взаимно однозначно соответствуют подходящим дробям разложения а в цепную дробь. Именно этот факт лежит в основе мотивировки концепции локальных минимумов. В рассматриваемой нами общей теории локальные минимумы 7(1) и 7^ с у^ ф ±7(2) решетки Г называются смежными, если не существует ненулевого узла т] из Г, для которого: а) при i = 1,2 тах{\у^ЪШ < max{\7^lbf\} (1 < j < s); б) для каждого г хотя бы одно из этих s неравенств строгое.

Это понятие для -трехмерных решеток введено Вороным [4] и играет важную роль при построении аналога алгоритма цепных дробей. Вороной и Минковский в своих исследованиях ориентировались на задачу вычисления единиц алгебраических числовых полей. Поэтому они и их последователи ограничились решетками "общего положения", где каждый ненулевой узел имеет только отличные от нуля координаты. В связи с задачами целочисленного линейного программирования [6] представляет интерес построение соответствующей теории для произвольных решеток, включая целочисленные. Как будет видно из дальнейшего, при этом возникают дополнительные технические трудности и некоторые специфические нюансы.

Главная цель настоящей работы состоит в том, чтобы изучить структуру взаимного расположения "соседних" локальных минимумов для произвольных трехмерных решеток. Как уже отмечалось, Вороной [4] рассматривал только решетки "общего положения". По этой причине в первой главе мы подробно излагаем теорию локальных минимумов для произвольных двумерных решеток. С принципиальной точки зрения в ней не содержится ничего нового по сравнению с соответствующей главой из диссертации Вороного [4]. Однако, с методической точки зрения, она представляет определенный интерес, поскольку изучаемые конструкции достаточно просты и лежат в основе мотивировок соответствующих построений для трехмерных решеток.

Вторая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся некоторые хорошо известные факты и нужные технические леммы. Особо отметим теорему 4, которая в трехмерном случае сформулирована Вороным [4] для решеток "общего положения". В ней речь идет о том, что любую пару смежных минимумов можно дополнить до базиса решетки. В самом общем случае она доказана в [7] и играет важную роль в теории локальных минимумов.

Главные результаты содержатся в третьей главе. Здесь изучаются "минимальные системы" узлов трехмерных решеток, состоящие из трех линейно независимых локальных минимумов. Для решеток "общего положения" это понятие было введено Минковским [5]. Он же доказал, что в этом случае они составляют базис решетки. Мы распространяем этот результат на общий случай (см. [8]). Оказывается, что в некоторых случаях (они все явно указываются) минимальные системы не составляют базис.

В заключительных параграфах главы для решеток " общего положения" (и некоторых других видов) устанавливаются необходимые и достаточные условия (в виде линейных неравенств на координаты) минимальности базиса трехмерных решеток, опубликованные в [9].

И, наконец, в дополнении, на примерах решеток специального вида, изучаемые в диссертации конструкции представлены в наглядной форме как графы Минковского конкретных решеток.

1. Хинчин А.Я. Цепные дроби, с. 112, Москва, (1961). •3. Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых приближений, с. 213, Москва. ИЛ.

2. Вороной Г.Ф. Собрание сочинений. Т. 1, Киев, (1952).

3. Minkowski Н. Zur Theorie der Kettenbruche, Gesammelte Ab- handlungen, Leipzig, 1911,v.l,pp. 278-292.

4. Срейвер A. Теория линейного и целочисленного программирования. Т. 1, Москва.: Мир, (1991).

5. Быковский В.А. Горкуша О.А. Смелсные минимумы решеток. Да.льневосточный математический сборник. 1999. Выпуск 7.

6. Горкуша О.А. Минимальные базисы трехмерных полных решеток. Математические заметки. 2001. Выпуск 3. Том 69. 353-362.

7. Быковский В.А. Горкуша О.А. Минимальные системы трехмерных полных решеток. Математический сборник. 2001. .№ 2. Т.

8. Касселс Дж._ Введение в геометрию чисел, с. 421, Москва. Мир. 1995.

9. Быковский В. А. Теорема Валена для двумерных подходящих дробей. Математические заметки. 1999. Выпуск 1. Том 66. 30-37.

10. Buchmann .J. On the Computation of Units and Class Numbers by a Generalization of Lagrange's Algorithm. Journal of Number Theory, V. 26, 8-30 (1987).

11. Горкуша О.А. Приведение базисов трехмерных решеток. Препринт/ ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1998.

12. Быковский В.А. Горкуша О.А. Смежные минимумы решеток. Дальневосточный математический сборник. 1999. Выпуск 7.С 18-22.

13. Bullig Zur Kettenbruchtheorie in Dreidimensionen (Zl)" , Ab- handlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hanseschen Univer-sitat, vol. 13, 1940.