Структурные вопросы мультинормированных весовых пространств функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

р фРост^Дкий государственный университет

- - ДЕК 1999

На правах рукописи

КАПЛИЦКИЙ Виталий Маркович

СТРУКТУРНЫЕ ВОПРОСЫ МУЛЬТИНОРМИРОВАННЫХ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

ФУНКЦИЙ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 1998

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного Знаме! государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кондаков В. П. -

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Абапин А. В.

кандидат физико-математических наук,

доцент Гробер В. М.

Ведущая организация: Харьковская государственная

академия

городского хозяйства

Защита состоится « %% » 1998 г. в часов на заседали]

диссертационного Совета К 063.52.13 по физико-математическим наука> при Ростовском государственном универстите по адресу: 344090, Ростов на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет РГУ, ауд. 239

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ пс адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «у/ »

НОЯНрЯ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета К 063.52.13, кандидат . физико-математических наук, доцент

В. Д. Кряквин

мсл^оз

Общая характеристика работы

Цель работы — развитие общего метода исследования проблемы существования безусловного базиса и изоморфизма пространствам Кёте весовых счетно-гильбертовых пространств целых функций вида:

H(W)=limprH2(Ck,wnl (1)

"Де Я2(Ск,гип) — гильбертово пространство целых функций, в котором юрма вводится по формуле:

\\f\\i^ j\m2-^n{z)d\{z\ n<=N, с

k — мера Лебега на Ск, w„ = ехр(—u„(z)), vn — некоторые измеримые функции, удовлетворяющие тем или иным дополнительным условиям.

Актуальность темы

Гсследование пространства Фреше Е сильно упрощается, если в про-гранстве Е существует базис и оно изоморфно пространству Кёте чиповых последовательностей. Поэтому задача о существовании базиса в азличных пространствах аналитических или С'°°-функций давно подергается интенсивному изучению. Для многих пространств аналити-еских функций одного и нескольких комплексных переменных важ-ые результаты получены в работах М. М. Драгилева, Ю. Ф. Коробейника, . П. Захарюты, В. П. Кондакова, С. Ролевича. B.C. Митягина, JI.A. Айзен-фга, Ф. Хаслингсра, X. Трибеля и других математиков. В приложениях 'ории обобщенных функций к исследованию задачи Коши, которым по-1ящена известная монография И. М.Гельфанда и Е. Г. Шилова (1958 г.), в современной теории псевдодифференциальных операторов возникает ;обходимость введения различных классов ненормируемых пространств адких функций, приспособленных к различным классам задач. Сопря-энные к ним пространства реализуются с помощью подходящих инте-альных преобразований типа преобразования Фурье в виде пространств tacca II{W). Изучение базисов в пространствах ff{W) было начато впер-ie, по-видимому, в работах Ф.Хаслингера (1986 г.). В этих работах во-ос был исследован для случая весовой последовательности вида:

wn(z) = ехр(—rn • v(z)), Г„ I Гоо, Гоо > О,

? функция v выпукла и удовлетворяет определенным условиям роста бесконечности. С помощью известной характеризации пространств сте-шых рядов конечного типа, данной Д. Фогтом (1982 г.), было показа, что такие пространства изоморфны пространствам степенных рядов

конечного типа. Однако для исследования строения пространств Н(у/ задаваемых относительно произвольной системы весов, требуется друго: более общий подход.

Методика исследования

Используются методы теории интерполяции линейных операторов, те* рии двойственности, комплексного анализа, а также результаты обще теории пространств Кёте.

Научная новизна результатов исследования

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) получены новые достаточные условия существования безусловно! базиса в пространствах типа Н{\¥) в терминах весовых функций {го„}„6 и условия изоморфизма этих пространств пространствам Кёте числовы последовательностей, описаны соответствующие матрицы Кёте;

2) получены реализации пространств Н(И7) в виде пространств степе! ных рядов или обобщенных пространств степенных рядов Ь} для многи конкретных классов весов {г1)„}Г1блг, важных в приложениях;

3) найдена реализация сильного сопряженного пространства к прс странству Н{IV) в виде индуктивного предела весовых гильбертовых прс странств целых функций для весов гюп = ехр(—«„), убывающих на бескс нечности не медленнее, чем ехр(—а • \г\р) для некоторых а, р > 0 и пр некоторых естественных ограничениях на функции и„; , ,

4) исследованы вопросы об условиях шварцевости пространства Н{\¥] условиях непрерывности оператора дифференцирования, действующег в Н{IV), получены оценки последовательных производных функции и пространства Н(\¥) в терминах керн-функций Бергмана.

Кроме того, в диссертации исследован ряд свойств ассоциированны банаховых пространств Яг(<С*,№„), например, необходимое условие вло жения таких пространств и оценки их ядер Бергмана/

Перечисленные результаты новы и могут быть использованы в задача: теории пространств Фреше и в приложениях, связанных с дифференци альными уравнениями и некоторыми интегральными уравнениями тип; свертки.

Научно-практическая ценность работы

В диссертации выделен достаточно широкий класс пространств Н(\¥), до пускающих эффективное исследование за счет наличия удобной реализа ции в виде пространства Кёте. Эти результаты представляют интерес ка!

точки зрения общей геометрической теории пространств Фреше, так и ;ля приложений, использующих функциональные пространства для ис-ледования ряда задач анализа.

Апробация работы

'езультаты исследований докладывались на семинаре кафедры функцио-ального анализа Ростовского университета (рук. проф. М. М. Драгилев), а семинаре кафедры математического анализа Ростовского университета эук. проф. Ю. Ф. Коробейник), на семинаре кафедры высшей математи-и Ростовского государственного строительного университета (рук. доц. . М. Гробер). Кроме того, сообщение по материалам исследований было л ючено в программу работы IV Международного симпозиума по мате-атическому анализу и его приложениям (Arandelovac, Yugoslavia, May, 3-30, 1997).

Публикации

гзультаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Результаты совестных работ [1]-[4] принадлежат авторам в равной мере. В этихрабо-IX В.П.Кондакову принадлежит постановка задачи и идея применения етода «тупикового» пространства. Диссертанту принадлежит реализа-1я этой идеи.

Структура и объем диссертации

иссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной лигатуры из 45 наименований. Общий объем диссертации 86 страниц. Все зтериалы подготовлены с помощью макропакета AMS-LATEX.

Содержание работы

) введении дается общая характеристика работы, обзор тематики, а так-э обзор результатов отдельных глав и их сравнение с результатами дру-х авторов.

В первой главе кратко изложены необходимые предварительные сведе-гя из теории локально-выпуклых пространств, дано определение клас-в H(W) и изучены свойства ассоциированных банаховых пространств г(С', w). Наиболее важным свойством пространства Бергмана Н2(Ск,ги) ляется существование керн-функции Kw(z,£) — ядра единичного опе-.тора в этом пространстве. При следующем' условии на вес: w(z) =

exp(—v : С* —► непрерывна и

v(z) , lim r-Vr - +00, (

)гН+ооШ|г|

доказано существование керн-функдии и описаны ее свойства, которЕ аналогичны свойства керн-функции классического пространства Бергм на в ограниченной области.

Свойства последовательности керн-функций Kn(z,£), соответствуюцц весам и/п, дают общую основу для получения условий шварцевости (яде ности) пространства H(W). Сформулируем, например, результат о шва цевости.

Теорема 1. Пусть H(W) = limpr H2(Ck, ю„), w„ = exp(-vn), vn : Ck -E+, vn+i(z) < vn(z), z € Ck, v„ удовлетворяет условию (2) и Vn 6 , Эр e TV:

lim (»„(*) - v„(z)) = +00.

|z|->+oo

Тогда пространство H(W) — шварцевское.

В конце главы I рассмотрен вопрос об эквивалентных нормах в npi странстве H(W). Доказана следующая

Теорема 2. Топология пространства H(W), заданного семейством bi сов ги„ = ехр(—vn), где vn : С* —* R+ измеримые локально ограниченна функции, удовлетворяющие условию (2), всегда может быть задана с< мейством непрерывных (и далее бесконечно дифференцируемых) весовы функций w'n = ехр(—wjj.

Глава II содержит результаты об изоморфизме пространств H(W) прс странствам Кёте числовых последовательностей. Пусть функция г;: С* —> выпукла, непрерывна и

lim = +оо. (3

Такие функции будем называть весовыми. Пусть {«„}п6л' — убывающа: последовательность весовых функций таких, что:

Vn 6 N Зр е N, R > 0:

1) vn{z) - vp(z) > \г\ при }z\ > R;

2) sup{^ +0 : |C| < 1} < v„(z) при |z\ > R.

Такую последовательность функций назовем весовым набором.

. Для выпуклой функции V : Ск —> ее преобразование Юнга-Фенхеля определяется соотношением:

У*(2) = 5ир{11е(г,С)-<;(С)},

Сес* к

(2>0 = Х><'С.-; г = (21,...,гк); С = (Сь-■ • ,00-«=1

Xак обычно веса вводятся по формулам: и>„ = е~"п, т* = е~ь". Основным результатом главы является следующая

Георема 3. Пусть для некоторой пары (г;0, 1>то) весовых функций имеют 1есто вложения

Н2(С*,е-щ) Э Н{\¥) э Яг^е""-)

[ найдется последовательность. положительных квазивогнутых фун-ций '■ —* такая, что:

а) V« € N Зр 6 N, Спр > 0:

^п(г) ^ г (

б) V« е Аг Эр 6 ЛГ, £>пр > 0:

ге <р*,(0 = —г— — двойственные квазивогнутые функции. Тогда в про-Ч>п(Ч

:ранстве Я (И-7) существует базис и оно изоморфно пространству Кёте Ф) вида:

£(Ф) =Бт рг£2(<А.Ы), ;е {ак} — некоторая последовательность, стремящаяся к +оо.

Доказательство использует основную идею метода «тупикового» про-ранства (Б. С. Митягин, 1961 г.), то есть базис в строится как

|бщий» ортогональный базис пространств Я^С'у'-'Л)) и Нч(С.к, Изо-»рфизм пространству Кёте £(Ф) обосновывается с помощью интерполя-[онной теоремы Петре для весовых Ьг-пространств и теоремы о реали-ции сильного сопряженного пространства Н*{\\г) в виде индуктивного едела пространств Бергмана.

Ранее изучался лишь случай изоморфизма Н(\\г) пространству степен-[х рядов конечного типа, получающийся из теоремы при 9„(<) =

П-

g

Если {г;,*} —.весовой набор, то

Я*(ТУ)~ЦттаЯ2(С*,<), (4

К = ехр(-<),

где V* — преобразование Юнга-Фенхеля выпуклой функции vn (Haslinge F., 1986; Попёнов C.B., 1986). Указанная реализация получается с пс мощью рассмотрения преобразования Фурье-Лапласа функционалов и H*(W) и справедлива при ряде существенных ограничений на весовы функции vn (см. определение весового набора). В частности, необходим чтобы пространство H(W) содержало все экспоненты: ехр(г, £), ( g С' Для этого вводится условие (3). Это условие исключает из рассмотрени: важные примеры весов степенного роста, поэтому в § 2.3 рассматриваете: задача описания сопряженного пространства при более слабом ограниче нии: -. '

г Mz)

lim , , = +оо, •

М-оо \z\P

где р — некоторое фиксированное положительное число.

Для этой цели используется преобразование типа Фурье, ядром кото poro является функция Миттаг-Леффлера Ep(z ■ () с натуральным р которое вводится следующим образом (к = 1):

TpHj^z) = ¡iv{z) = щ(Ер(г • О), V tieH*(W), p>[¿] + 1

([г] — целая часть числа х).

Предположим, что функции vn¡p{z) = vn{zp) являются весовыми функциями и введем пространство L(W*) = limind#2(C, ехр(—v*tP{z1^p))).

Теорема 4. Пусть функции v„ : С —> К+ таковы, что функции v„:P(z) d= vn(zp) образуют весовой набор. Тогда преобразование Тр устанавливает топологический изоморфизм пространств H (W) и L{Wp):

H\W) ~ L{W;) = limîndЯ2(С,<р),

<,P(z)=exp (~<,p(z))> <» = K,P(z1/p),

где r* p — преобразование Юнга—Фенхеля выпуклой функции vnJ>.

Использование этого результата позволяет обобщить теорему 3 об изоморфизме пространству Кёте на случай более слабого роста весовых функций vn на бесконечности.

В конце главы рассмотрены интерполяционные свойства банаховой па-ы (H2(Ck,w0),H2(Ck,wi)). Показано, что она не является дополняемой одпарой банаховой пары (L2(®2fc, щ),£г(К2\ wi)). Этот вопрос возникает связи с использованием в доказательстве теоремы 3 интерполяционных горем.

В главе III рассмотрены конкретные классы весов, для которых приме-ение теорем главы II позволяет установить изоморфизм соответствующе) пространства H(W) пространству степенных рядов или пространству f (обобщенных степенных рядов). В § 3.1 рассмотрен случай, когда веса имеют вид:

wn{z) = ехр(~г„ ■ vn(z)), rn I г0о, > О,

функция v имеет степенной рост на бесконечности. Найдены достаточ->ie условия изоморфизма пространству степенных рядов конечного типа, одробно разобран пример:

v(z) = А\ ■ |х-хГ + В, • ЫЛ + • • • + + Вк ■ \ук\*,

Xj = Re zh yj = Im zh Ah Bh aj, pj > 0, j ~ 1,..., k.

.нее такие веса рассматривались при ограничении aj > 1, pj > 1 (F. islinger, 1986 г.).

В § 3.2 доказаны теоремы об изоморфизме пространств H(W) простран-зам обобщенных степенных рядов Ь/(а, 0) или Lf(a, 1). Эти теоремы люстрируготся примерами, когда / есть экспонента или n-я итерация люненты,.а веса имеют вид:

wn(z) = wx(z) ■ ехр(~f(r„ ■ v(z))), rn | 0, Woo (z) = exp(-/(v(z))), v(z) = ax ■ \x{\ + Bi ■ |t/i| + • • ■ + Ak ■ + Bk ■ jytl, xj = Re Zj, yj = Im Zj, j = 1,..., k.

J заключение автор выражает признательность своему научному руко-[ителю проф. В. П. Кондакову за постановку задачи, постоянную под->жку и внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

[1] Kondakov V. P., Kaplitsky V. M. Bases in Weighted Spaces of Enti Functions // Proceedings of the "Linear Topological Spaces and Compli Analysis". Middle East Technical University. Ankara. 1997. P. 85-90.

[2] Kondakov V. P., Kaplitsky V. M. Sufficient Conditions for Existence Bases in Some Frechet Spaces of Entire Functions // Proceedings of 41 Symposium on Mathematical Analysis and Its Applications, Yugoslav! Arandelovac, May, 26-30, 1997. P. 48, 49.

[3] Кондаков В. П., Каплицкий В. M. О существовании базисов в нею торых весовых пространствах функций // Международная геометр! ческая школа-семинар памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 27. О! 04.10.96. Тезисы докл., стр. 114.

[4] Кондаков В. П., Каплицкий В. М. Условия существования базисов в в( совых пространствах целых функций // Рук. Деп. В ВИНИТИ 7.05.9', №1524-В97. 11 с.

[5] Каплицкий В. М. Преобразование, связанное с функцией Митта] Леффлера и его применение к реализации проективных пределов вс совых пространств Бергмана в виде пространств последователыюсте // Рук. деп. в ВИНИТИ 26.05.98, № 1617-В98. 9 с.

[6] Каплицкий В. М. Задача факторизации в нормированных матричны кольцах и системы интегральных уравнений в свертках на отрезке / Рук. Деп. В ВИНИТИ 11.08.95, №2435-В95. 16 с.

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАПЛИЦКИЙ Виталий Маркович

СТРУКТУРНЫЕ ВОПРОСЫ МУЛЬТИНОРМИРОВАННЫХ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

ФУНКЦИЙ

01.01.01 — математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В. П.

Ростов-на-Дону — 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .......................................................... 4

Глава I.Локально выпуклые пространства с базисом. Общие

определения и терминология, классы Ь(\¥) и Н(\¥) ........ 16

1.1.Определения пространств Ь(\¥) и ЩЦ^) ................20

1.2.Керн-функция весового пространства Бергмана и ее свойства ................................................ 21

1.3.Условия вложения пространств Н2(€-к,т) в терминах керн-функций; оценки ядер Бергмана для одного класса весов .................................................... 24

1.4.Достаточное условие шварцевости пространства Н{\¥) . 28

1.5.Условия ядерности пространств Н(\¥) ..................30

1.6.Замечание о весовых функциях, задающих эквивалентные нормы в пространствах Ь2(Шк,и)) и Н2(Ск,ги) ...........33

1.7.0ценки производных функции из класса Н(]¥) и достаточное условие непрерывности оператора дифференцирования .................................... 39

Глава II.Достаточные условия существования безусловного базиса в пространствах Н(У/) и условия изоморфизма пространствам Кёте ......................................................... 44

2.1.Реализация сильного сопряженного к пространству Н(}У) при помощи преобразования Фурье—Лапласа функционалов .......................................... 47

2.2.Метод «тупикового» пространства применительно к пространствам Н{Ш). Теорема об изоморфизме одного класса пространств Н(\¥) и пространств Кёте ......... 49

2.3.Применение к описанию сопряженного пространства обобщенного преобразования Фурье, связанного с функцией Миттаг—Леффлера с натуральным индексом .. 55

2.4.Замечание об интерполяции операторов в весовых

гильбертовых пространствах целых функций...........62

Глава III.Пространства H(W), изоморфные различным

специальным классам пространств Кёте. Примеры реализации H(W) в виде пространств Кёте .............................. 66

3.1.Примеры реализации пространств H(W) в виде пространств степенных рядов конечного типа .......... 67

3.2.Примеры реализации пространств H(W) в виде обобщенных пространств степенных рядов конечного типа 74

Литература

82

Введение

Одной из основных проблем в геометрической теории пространств Фреше является задача выяснения условий, при которых пространство Фреше имеет базис и может быть реализовано в виде пространства Кёте [6, 28]. Пространства Кёте как простейшие представители класса ненормируемых локально-выпуклых пространств, выступают в качестве модельных при изучении произвольных Г-пространств (т. е. пространств Фреше) и играют при этом такую же роль, что и координатные пространства £р (1 < р < оо) в теории банаховых пространств. Помимо построения общей теории, в которой основное внимание уделяется вопросам изоморфизма пространства Фреше подпространству или фактор-пространству заданного пространства Кёте, существованию базисов в дополняемых подпространствах пространств с базисом, конструкциям универсальных пространств и ряду других вопросов, большое значение имеет исследование геометрии конкретных функциональных пространств, возникающих в задачах анализа и теории операторов. Это пространства функций, выделяемые условиями гладкости и роста около границы области определения или на бесконечности (весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций, пространства функций, аналитических в областях, весовые пространства целых функций и т. п.).

Наиболее важные приложения такие пространства имеют в теории уравнений в частных производных, например, в вопросах существования и единственности решения задачи Коши [3, 4], в задаче о разложении по обобщенным собственным векторам бесконечных наборов коммутирующих операторов и других.

Кроме того, построение теории нетеровости для некоторых классов интегральных операторов свертки на полуоси в неэллиптическом случае опирается на рассмотрение этих операторов в подходящем счетно-

нормированном пространстве. С помощью результатов работы [13] этот подход переносится и на уравнения свертки на отрезке. Хорошо известно [2, 20, 22], что двойственные пространства к пространствам гладких функций с помощью подходящих интегральных преобразований (Фурье, Фурье—Бореля, Коши-—Фантапье) зачастую реализуются в виде пространств целых функций с топологией проективного предела, задаваемой последовательностью весовых гильбертовых или супремум-норм. Исследование геометрии этих пространств, то есть вопроса о существовании базиса и реализации в виде пространства Кёте того или иного класса является основной целью диссертации.

Пусть IV = г Е С*}^ — последовательность неотрица-

тельных измеримых относительно меры Лебега Л весовых функций, таких что

т„(г) < тп+1(г), £ е Ск,

и

Я( IV) =

ск

где через 7{(Ск) обозначено линейное пространство целых в С^ функций.

В пространстве Н(\¥) = Ппелг -^Гг , гуп) вводится топология проективного предела гильбертовых пространств , ъип):

Я2( С">„) =

/ е ЩСк) : / |/(г)|Ч(г) </А(г) = ||/||* < оо

Весовые функции и)п мы всегда будем считать такими, что пространство Н2(Ск,ъип) содержит все мономы г™1 •... • т^ — 0,1,____

Простое достаточное условие для этого будет указано ниже. Пространства типа Н(\¥) рассматривались И. М. Гельфандом и Е. Г. Шиловым в [2, 4] и были эффективно использованы для построения теории разрешимости задачи Коши для некоторых классов дифференциальных

уравнений. Однако, вопрос о существовании базиса они не рассматривали. В работах F. Haslinger [39] и F. Haslinger, М. Smejkal [40] этот вопрос был исследован для случая весовой последовательности вида:

wn(z) = ехр(—rn • v„(z)), гп | Гоо, Гоо > О,

где функция г> удовлетворяет определенным условиям выпуклости и роста на бесконечности. Кроме того, в [39] была найдена удобная реализация сильного сопряженного к H{W) пространства в виде индуктивного предела гильбертовых пространств целых функций.

Как показано в [39, 40] при указанном выборе системы весов пространство H(W) изоморфно пространству степенных рядов конечного типа (см. [1]). Доказательство этого результата в [39, 40] опирается на характеризацию пространств степенных рядов конечного типа, данную Д. Фогтом [44].

ХарактеризаЦия пространств степенных рядов дается Д. Фогтом в форме двух условий на систему преднорм (|| • |j)ne7V? задающую топологию ядерного пространства Фреше X, называемых им условиями (Щ) и (Q):

(DN): Vm G N ЗА (0 < Л < 1), £ е N:

IM <^■ INIo• IWIi"A,

(fi): существует ограниченное множество В С X такое, что Vm £ N 3ß (0 < /л < 1) 3£ е N:

.11/111 < D- (\\f\LT-

где

ll/llm —SUP{|/(X)I : Nm<l}; ll/lfe=sup{|/(®)|: хеВ}; /Gl'.

Для пространств H(W), задаваемых «степенной» системой весов wn = ехр(—rnv), тп | Гоо > 0 условия (DN) и (О) относительно не-

сложно проверяются в тех случаях, когда имеется удобная реализация сильного сопряженного пространства H*(W) в виде индуктивного предела весовых гильбертовых пространств целых функций. Тогда возможно указать простые достаточные условия на весовую функцию V-, при которых H(W) изоморфно пространству степенных рядов. Однако в случае относительно произвольной системы весов {гип}п1=н, не обязательно «степенной», для решения задачи о существовании базиса и построения изоморфизма пространству Кёте нужен более общий подход. Причем желательно иметь достаточные условия непосредственно в терминах весов а не в терминах определяющей системы полунорм. Для этой цели хорошо приспособлен метод «тупикового» пространства в сочетании с интерполяционными теоремами для весовых Lp-пространств. Ранее метод «тупикового» пространства применялся В. П. Захарютой в [9] пространствам функций, аналитических в ограниченных выпуклых областях в С". Точнее, пусть G — ограниченная область в Cn, Gk — система замкнутых ограниченных множеств, таких что G Э Gk+1 Э Gk и ur=1 Gk = G.

Рассматривалось пространство функций вида A(G) = limpr AC(Gk),

к

где норма в пространстве AC{Gk) аналитических внутри Gk функций, непрерывных в Gk-, вводилась по формуле:

■ И/И* = шах 1/Й1, / <G AC(Gk).

zeGk

В [9] получен законченный результат, состоящий в том, что в пространствах A(G) существует базис и оно изоморфно пространству степенных рядов конечного типа. До этого подобные результаты были известны для областей G частного вида. Однако, при применении метода «тупикового» пространства к пространствам H(W) возникают дополнительные трудности, связанные с весами и с отсутствием прямых интерполяционных теорем для операторов, действующих в ассоциированных гильбертовых пространствах Ü2(Ck, wn). При рассмотрении

пространств HiyV) полезно иметь в виду, что пространство H(W) вложено в пространство L(W) = limpr wn).

Известно, что при минимальных ограничениях на весовые функции гип (см. работу В. П. Кондакова в [22, стр. 54-58]), пространство L(W) имеет безусловный базис и изоморфно некоторому пространству Кёте.

В связи с пространствами аналитических функций в областях необходимо также отметить исследования абсолютно представляющих систем, которые являются обобщениями абсолютных базисов и подобно им используются в различных задачах теории пространств Фреше. В этой области основные результаты получены Ю. Ф. Коробейником, А. В. Абаниным, С. Н. Мелиховым и др. (см. сборник [22], где есть подробные ссылки).

Перейдем к изложению содержания одельных глав.

В Главе I для выяснения условий шварцевости (ядерности) пространств H(W) привлекаются свойства ассоциированных банаховых пространств H2{Ck,w), которые называются весовыми пространствами Бергмана. Основным свойством этих пространств является то, что единичный оператор в Hi(Ck , и>) является интегральным оператором с ядром Kw(z, С), называемом керн-функцией Бергмана. В § 2 доказываются основные свойства керн-функций. В § 3 получено необходимое условие вложение пространств Бергмана, удобное для получения оценок керн-функции пространства H2(Ck,w), вложенного в аналогичное пространство, керн-функция которого известна. Приводятся примеры таких оценок. Свойства последовательности керн-функций Kn(z,(), соответствующих весам wn, дают общую основу для получения условия шварцевости и ядерности пространства H(W) в § 4, 5.

Доказанные в § 2, § 3 свойства керн-функции обобщают на весовой случай известные результаты о керн-функциях пространств Бергмана в областях ограниченного вида, изложенные, например, в монографии [34].

В последнем параграфе главы I рассмотрен вопрос о весах соответствующих эквивалентным нормам в пространствах H2(Ck,w) и H(W). Доказано, что весовые функции всегда можно сделать непрерывными или даже бесконечно дифференцируемыми. Для пространств Ь2{Ш.к, w) или L(W) это не так.

Глава II содержит основные результаты — достаточные условия существования безусловного базиса в H{W) и изоморфизма H(W) некоторому пространству Кёте. Метод доказательства состоит в анализе специального отображения из некоторого пространства Кёте ^(Ф), построенного по системе весов wn, в H(W) и связанного с ним отображением из £*(Ф) в H*(W). Непрерывность этих отображений, следующая из интерполяционной теоремы для весовых ./^-пространств, позволяет установить изоморфизм пространств H(W) и £(Ф). Полученные таким путем достаточные условия изоморфизма имеет форму двух неравенств, которым должны удовлетворять веса wn и w*, задающие топологии пространств H(W) и H*(W) соответственно. При таком подходе важную роль играет реализация пространства H*(W) в виде индуктивного предела весовых гильбертовых пространств целых функций:

H*(W) S L{W*) = limpr#2(C*,<),

w*(z) = ехр(—г;*(2)), v* — преобразование Юнга—Фенхеля выпуклой функции vn.

Указанная реализация получается с помощью рассмотрения преобразования Фурье—Лапласа функционалов из H*(W) (см. [29, 39]) и справедлива при ряде существующих ограничений на весовые функции vn. В частности, чтобы определить преобразование Фурье—Лапласа функционала из H*{W) необходимо, чтобы пространство H(W) содержало все экспоненты: V( 6 С^. Для этого в работах [29, 39] введет v"(z) , ъ но условие: lim . = +оо. ото условие исключает из рассмотрения

Ы-х» Ы

важные примеры весов vn степенного роста, поэтому в § 2.3 рассматри-

вается задача описания сопряженного пространства при более слабом ограничении:

ш # = +со,

И-Ч-оо ЩР

р — некоторое фиксированное положительное число.

Для этой цели используется преобразование типа Фурье, ядром которого является функция Миттаг—Лефлера Ер(г • () с натуральным индексом р. Так как функция Ер является целой функцией порядка 1/р, то при достаточно большому, Ер(2-() принадлежит пространству Н(\¥). Таким же образом как и в работе [39], то есть с использованием результатов Л. Хёрмандера о продолжении функции, аналитической на аналитическом подпространстве, на все пространство, доказывается, что это обобщенное преобразование Фурье устанавливает следующий изоморфизм:

=ИтргН2(Ск,ш*пр), <)Р = ехР(-<Р)> <>РМ = <,р(21/р)>

у*р — преобразование Юнга—Фенхеля функции = г>п(<гр).

Это позволяет перенести результат § 2.2 о базисах на пространства Н(\¥) с более медленным убыванием весов гип на бесконечности (теорема 2.3).

В последнем параграфе главы II рассмотрен вопрос об интерполяционных свойствах банаховой пары (Н2(Ск, шо), Н2(Ск, и) 1)), Н2(Ск1) С Н2(Ск,и>о). Показано, что пара (Н2(Ск,то), Н2(Ск^1)) не является дополняемой подпарой банаховой пары (£2(С*, ^о)? £2(С*, и^)). Отметим, что если бы были известны условия интерполяционности троек (Н2(Ск, г^о), , ^1), Н2(Ск,и))) в терминах весов гио, и>, то ре-

зультаты о существовании базисов в Н{\¥) получались бы значительно проще. Существует общая интерполяционная теорема Донохью (см. [36]) для операторов, действующих в паре гильбертовых пространств, однако она формулируется в абстрактных терминах и при применении

к пространствам Бергмана не дает способа явного описания промежуточной интерполяционной нормы.

Поясним, как применяются интерполяционные теоремы к доказательству существования базиса в пространстве H(W). По заданной системе весов {wn}neN строится «тупиковое» пространство Н2(Ск, w^) и пространство H2(Ck,WQ) так, чтобы

H2(Ck,wQ)DH2(Ck,wn)DH2(Ck,w00)

и

г \ { \ lWoo(z)

wn(z) = Wq(z) • <рп

где (рп : —> — квазивогнутые функции. Далее выбирается общий ортогональный базис {еп}п€м в пространствах ^(С^эдо) и H2(Ck,w00), ортонормированный в H2(Ck,wo). Тогда соответствие

оо

т : (Xk)keN |—^ £ хк • £к является изоморфизмом пространств £2 и H2(Ck,w0), h{ak) и H2(Ck,w00)J где ак = |H|F2(<c*,Woo)

00

(4Ы = = (хк)Г= 1: £ Ы2 • 4 = М2 < 00}).

к=1

Пусть ¿(Ф) = limpr ¿2((fn(ak))- Из интерполяционной теоремы Петре для весовых Х^-пространств следует, что оператор т непрерывно отображает £(Ф) в H(W). Для доказательства изоморфизма нужны условия интерполяционности тройки (H2{Ck,w0),H2(Ck,Woo), H2(Ck,w0-фп^оо/щ))) относительно тройки (¿2,h(0'k)-,^2(lPp((lk)))- Условия ин-терполяционности удобно получать переходя к тройкам сопряженных пространств.

Для весов wn = ехр(—vn), vn : С^ —► R+ — выпуклые функции, такие условия формируются в форме ограничений на «зазор» v*(z) — v*(z), где v* — преобразования Юнга—Фенхеля выпуклых функций vn. Возможно, такой подход представляет интерес для изучения интерполяции операторов в пространствах Бергмана в более общей постановке.

Третья глава посвящена приложению результатов второй главы к конкретным пространствам Н(\¥). Теоремы 2.1 и 2.3 главы II, дающие достаточные условия изоморфизма Н(\¥) пространству Кёте в виде двух неравенств, которым удовлетворяют весовые последовательности, задающие топологии в Я(И/) и Я*(И/), допускают упрощения при рассмотрении весов вида:

V, г>оо : С* —> — выпуклые функции, / : —»■ Е+ — возрастающая выпуклая функция.

Для таких весов одно из условий теоремы 2.1 выполняется автоматически, так как

Применение элементарных неравенств для выпуклых функций показывает, что (рп — квазивогнуты. Оставшееся условие преобразуется к некоторой оценке «зазоров» между сопряженными функциями У*(г) — при выполнении которой имеет место изоморфизм

00

пространству Lf = С\ ^(ехр/(Агага)), Аг | 0. Пространства Ь$ были

г=О

введены М. М. Драгилевым в работе [7] как обобщения пространств степенных рядов, отвечающих случаю = t. Как показали последующие исследования, многие результаты, установленные для пространств степенных рядов, переносятся и на пространства Ь/. Значительный интерес к этим пространствам объясняется также и тем, что имеется много конкретных функциональных пространств, которые изоморфны пространствам Ь], как в случае f(t) = так и в общем случае.

тп^) = ги00(г) • ехр(-/(гп • ф))), гп | О, ^оо(^) =ехр( —г'оо^)),

где

Отметим, что в [7] на функцию / накладывалось требование логарифмической выпуклости при больших значениях аргумента. В задачах, рассматриваемых в диссертации, это требование является излишним, достаточно чтобы / была выпуклой функцией.

В § 3.1 рассмотрен случай = t, когда систему весов можно задавать в виде: и;п = ехр(—гпу), гп | Гоо, г^ > 0; сделаны дополнения к результатам [39], относящиеся к случаю, когда функция V имеет степенной рост произвольного порядка по каждой переменной. Подробно рассмотрен пример:

ь(г) = А1 ■ Ы"1 + Вх ■ \У1\* + • ■ •