Субгармонические функции, допускающие оценку на последовательности точек вещественной оси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Потенциал сравнения.

§1. Формулировка основного результата.

§2. Вспомогательные цредложения.

§3. Построение и исследование потенциала сравнения

Глава П. Теоремы типа теоремы Картрайт для субгармонических функций комплексного переменного

§1. Изложение основных результатов

§2. Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с дискретной ассоциированной мерой

§3. Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с дисперсной ассоциированной мерой.

§4. Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с комбинированной ассоциированной мерой.

Глава Ш. Теоремы типа Планшереля-Пойа для логарифмически субгармонических функций комплексного переменного.

§1. Формулировки основных результатов.

§2. Вспомогательные предложения.

§3. Теоремы типа Еланшереля-Пойа для логарифмически субгармонических функций с дискретной ассоциированной мерой.

§4. Теоремы типа Планшереля-Пойа для логарифмически субгармонических функций с дисперсной и комбинированной ассоциированной мерой

1°. К постановке и истории вопроса. Пусть ffz) - целая функция экспоненциального типа С и выполнено условие

7^CJ, (O.I) где сО > О - некоторое число. Пусть

ОО ) j(x)\2dx < во. (0.2)

- оо

Тогда имеет место известная формула В.А. Котельникова [2.2] : оо

С= - ОО * 6J ' где ряд в (0.3) сходится, во-первых, равномерно на каждом компакте В КОМПЛеКСНОЙ ПЛОСКОСТИ, ВО-ВТОрЫХ, В L, f- оо, ooj^ причем оо ОО pfttilf(K%)\*

- ОО - оо

Таким образом, функция определяется своими значениями на достаточно густой последовательности точек вещественной оси, а именно, на последовательности равноотстоящих точек

0.5) если для С7 и CJ выполнено условие (0.1).

При этом L 00J - норма функции ffaj весьма простым образом, по формуле (0.4), выражается через значения jYАКЬ а сама /fei восстанавливается по ^А^) рядом

0.3). Условие (0.1) можно рассматривать как условие "достаточной густоты" последовательности Хк вида (0.5) (являющейся арифметической прогрессией с разностью л = ~ ). со

Разложения целых функций в ряды Лагранжа вида (0.3) рассматривал еще Уиттекер в 1914 году [2.l] . В.А. Котельников в 1933 году [2.2] впервые обратил внимание на фундаментальное значение разложения (0.3) для теории передачи информации, сформулировав следующее принципиальное положение: для возможности восстановления на приемном конце канала связи сообщения, описываемого функцией с ограниченным (содержащимся в (-сг><^г) ) частотным спектром, достаточно передавать лишь значения j (кл) этой функции (называемые отсчетами) через равные интервалы времени А , если А .

Си

Из формулы (0.4) вытекает, что если J-j и - две целые функции, удовлетворяющие (0.1) и (0.2), и последовательности fi М и { jz (^-к)} (в метрике t ), то и сами функции J~2 (%) близки в L (-<*>> 00) . На это можно смотреть как на факт устойчивости в задаче о восстановлении целой функции z) по последовательности ее значений if (л J . Задача о восстановлении по в случае L 2 -метрики и равноотстоящих отсчетов решается просто благодаря возможности использовать L -теорию рядов и интегралов фурье. Однако как с точки зрения теории функций, так и с точки зрения приложений представляет интерес рассмотрение метрик, отличных от L , прежде всего метрик L ^ при 0 ^ Р и L , а также неравноотстоящих отсчетов. Соответственно при изучении вопросов устойчивости нужны соотношения типа (0.4) для таких метрик и таких систем отсчетов. Конечно, при р Ф 2 точное равенство вида (0.4) для L -метрики выполняться не будет, но при соответствуадих предположениях справедливы неравенства оо

-ОО lfMIPc&*Cg£lf(W)r (0.6)

КС Z sup lfM\*Csuplf(*p)j

-оо 4. СС. оо KG Z '

0.7) где С ^ 00 - величина, не зависящая от целой функции f из рассматриваемого класса (выделение множителя — в формуле

60

0.6) целесообразно по аналогии с (0.4)).

Оценка вида (0.7) была получена М.Картрайт [2.з] в 1936 году, а оценка (0.6) - М.Планшерелем и Г.Пойа [2.4] в 1937 году. В формулировке этих результатов фигурирует не сам тип С функции J , а лишь рост этой функции по мнимой оси. Напомним, что для целой функции -f (z) экспоненциального типа ее индикатор роста (9) определяется как i £-»оо 2

На рост рассматриваемых целых функций налагается условие

V'XMS hf(.fj^CT (0.8) где 0 + - некоторое число. В формулировках участвует также число СО > О, связанное с С неравенством < { (0.9)

6J

Теорема (М.Картрайт, [2.3] ). Цусть f (z) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), и выполняется условие (0.9). Тогда справедливо неравенство (0.7), где С * 00 - величина, не зависящая от f , а зависящая с лишь от отношения —- . со

Теорема (М.Планшерель-Г.Пойа, [2.4] ). Пусть целая функидя экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), и выполняется условие (0.9). Тогда при 0 ^ Р * 00 справедливо неравенство (0.6), где С^ 00 - величина, не зависящая от f , а зависящая лишь от р и отношения ^у •

Подчеркнем, что в этих теоремах конечность величин в левых частях неравенств (0.6) и (0.7) априори не предполагается, а следует из конечности соответствующих величин в их правых частях.

Пусть С^ (cj) ~ наименьшее значение величины С » при котором неравенство (0.7) выполняется для каждой целой функции f Ы) экспоненциального типа, удовлетворяющей неравенству (0.8) очевидно, С^ зависит лишь от отношения )• Известно, что С^ ) — + 00 при ^ О ' Бернштейн [2.б] установил асимптотическое соотношение J ^ — тс со-о при -г- -*- {-О )• При (7= СО неравенство (0.7) не выполняется со ни при каком С ^ 00 , а из ограниченности последовательности I f ( и; не следует ограниченность -ff х) на вещест

Ке ** п /<г\ венной оси. Если обозначить через Lp (/ наименьшее значение величины С » при которой неравенство (0.6) выполняется для каждой целой функции -f (%) экспоненциального типа, удовлетворяющей условию (0.8), то поведение Ср (qj) при ^ 1 ~ О различно для р > i и для р 1 . Если р ^ i , то Ср ПРИ § , и при С-СО неравенство

0.6) не выполняется ни при какой константе С ^ 00 . Если же р> 1 • « СР(Ъ) — Cp(i)*<™ (при g—i- 0)t и неравенство (0.6) для такого р выполняется с константой 0 = = Ср(Л для всякой целой функции j (z) экспоненциального типа, удовлетворяющей условию (0.8) при С = CJ и априорному условию конечности интеграла в левой части (0.6) (из конечности суммы I f (I ^ при С - сд не следует конечность инкеЪ теграла в (0.6)).

Известны многочисленные обобщения и аналоги теорем Картрайт и Планшереля-Дойа для целых функций: [2.5] - [2.ю] , [2.15] -- [2.17] , [2.20] .

В ряде работ теоремы Картрайт и Планшереля-Пойа обобщались на случай "неравноотстоящих узлов" Ак , и получались оценки, аналогичные (0.6) и (0.7): о

- оо

5 \{(xnpdz*C£\f(fiK)\. <°-10) ке Z sup If Ml ± С sup If (А^) I. (o.ii)

-oo4 я-юо к € 7L

На узлы Лк обычно налагается условие

Lnf lA^-AJscf>0, (o.i2) т Ф п называемое условием "отделимости".

Даффин и Шеффер в 1945 году [2. б] , показали, что если

IAK- (0.13) и выполнено условие отделимости (0.12), то при С7 CJ неравенство (0.11) будет выполняться для всех удовлетворяющих условию

0.8) целых функций j-fe) экспоненциального типа; константа С^оо в (0.11) в этом случае зависит, конечно, не только от С и СО , но и от L и J1 . Н.И. Ахиезер и Б.Я. Левин в 1952 году [2.8] показали, что от условия отделимости (0.12) можно освободиться, добавив взамен этого к условию (0.13) еще необходимое в этом случае условие ограниченности всех разделенных разностей (для значений функщш j-(z) в точках Лк ) до определенного порядка, зависящего от L . Эти результаты основаны на обобщении формулы (0.3) на случай неравноотстоящих узлов интерполяции. Системы точек {Я^.] , для которых выполняются неравенства вида (0.10) и (0.11), можно выделять не только геометрическими условиями, такими как (0.13), но и теоретико-функциональными условиями. Так, Б.Я. Левин в 1957 году [2.9] показал, что если CO(Z) = P(Z) +L Qfe) < Р и Ы - вещественные целые функции) есть целая функция класса Ц^ { А^} % ~ множество корней функции Р(%) , j-fz) - целая функция экспоненциального типа, причем при некотором £ > О то для любого h>0 sup \{(x)V\co(x-Lk)\U С sup If^M^a^r

-ooz.3^00 KC Z 7 где С ^ 00 не зависит от £ ( С зависит от CJ, £, h ). Тео

ICOjS рема Картрайт получается отсюда при Cd(Z)= ie = - Sin 60Z + + L COS CJ 2". Сформулированное утверждение является обобщением более раннего результата Н.И. Ахиезера [2.7] . Б.Я. Левин показал также [2.10] , что если

U ю к€. Z ~ множество корней некоторой целой функции ФШ "типа синуса", причем м-?) а - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), то (при дополнительном условии отделимости (0.12)) мяре. (i, выполнено неравенство (0.10), где не зависит от | (интеграл в (0.10) слева предполагается априори конечным; если hj (- , то конечность интеграла в (0.10) можно заранее не предполагать, она следует из конечности суммы в (0.10) справа).

В работах В.Н. Логвиненко [2.16] и [2.17] получены теоремы типа теоремы Картраит для целых функций многих переменных. Его метод использует неравенство С.Н. Бернштейна для производных и некоторый аппроксимационный процесс. Результаты В.Н. Логвиненко относятся, в частности, и к целым функциям одного переменного, но в этом случае менее точны, чем теорема М.Картрайт.

Цри р-2 оценка вида (0.10) тесно связана с вопросом о базисности в системы экспонент . Вопросу о базисности этой системы, начиная с Винера и Пэйли [l.6] , посвящено много работ. В известном смысле окончательные результаты здесь получены в работе Б.С. Павлова [2.1в] и последующей работе С.В. Хрущева [2.19 ] .

Для целых и субгармонических функций известны результаты, дающие информацию о субгармонической функции в зависимости от ее поведения на множестве, не являющемся дискретным [2.1l] - [2.14], [2.15] , [2.20] , [2.22] - [2.24] .

Развитый Б.Я. Левиным метод субгармонических мажорант [2.I1J - [2.I4] дал возможность для субгармонических в (Р функций {v(Z)} экспоненциального типа, не превосходящего С , установить неравенства вида sup v(x) ^ C(<?,L9d)+ sap lrfx)y (0.14) xelk осе £ где Е - множество, относительно плотное по мере Лебега величины, характеризующие относительную плотность множества Е). Установленная в [2.1l] - [2.14] связь между субгармоническими мажорантами и конформными отображениями специального вида позволяет получить весьма точные оценки постоянной Q (с} Б.Я. Левин также показал, что этот результат сохраняет силу для плюрисубгармонических функций, удовлетворяющих при некотором Oz. СГ^оо условию о v(z) , (0.15)

Urn sup -UJ-±L- £ сг

Z£l+. + lZnl -,oo E IZfl

Впоследствии В.Э. Кацнельсон [2.20J , используя технику теории субгармонических функций, доказал неравенства вида (0.14) в более общей ситуации для полисубгармонических в (С функций irfe)}f удовлетворяющих условию (0.15) и ограниченных на относительно плотном по мере Лебега множестве Е с jR П (при этом в левой части (0.14) X € IR П ).

Другое многомерное обобщение (0.14) принадлежит М.Бенедиксу [2.2l] .

Для класса логарифмически полисубгармонических в функций [ufz)} , удовлетворяющих условию (0.15) с lr(Z) ~ friUfe) В.Э. Кацнельсон [2.20] получил оценку с С и(х) dz ±Се 1 \u(0i)dz> Rn Е где Е^ R - относительно плотное по мере Лебега множество, С>0, * 00 зависят лишь от П., L, 6.

В последнее время возрос интерес к распространению на субгармонические и сГ -субгармонические функции результатов, извеетных ранее для аналитических функций ( [1.5] , [l.7j ). Это позволило глубже проникнуть в природу таких результатов и получить их плодотворные обобщения. Однако теоремы, дающие оценки целых функций по их поведению на дискретной последовательности, на субгармонические функции до настоящего времени распространить не удавалось.

2°. Цель исследования. В большинстве известных до сих пор способов получения теорем Картрайт, Планшереля-Пойа и их обобщений, в которых норма целой функции j- на вещественной оси оценивается сверху через норму последовательности » использовались методы и средства теории аналитических функций: интерполяционные ряды, контурное интегрирование, вычеты, соображения двойственности для пространств Харди, теория целых функций класса Р , неравенство С.Н. Бернштейна для производных. В то же время в формулировки таких теорем входят лишь модул и \f(x)\, If ГА к) I значений функции, а не сами эти значения. Поэтому представляется естественным дать чисто субгармонические доказательства таких теорем и получить их субгармонические аналоги.

Отметим, что неравенства, противоположные неравенствам (0.10) и (0.11), то есть неравенства вида оо

Г \iaK)\P*C \lf(x)lfic/x (0.16)

K€Z -оо sup UfAJj^C sup IfCxJl (0.17) Z 1 K x&R легко получаются посредством "субгармонических" соображений. Неравенство (0.17) - тривиальное следствие теоремы Фрагмена-Линде-лефа (которая является "чисто субгармонической"): fOU) £ exp[G\3rnXK\}-sup lffx)l9 так что если sap I От Лк | ^ H * (0.18) К

Г oCH то неравенство (0.17) выполняется с о = с . Если помимо условия (0.18) выполняется еще и условие отделимости (0.12), то неравенство (0.16) может быть получено следующим образом. Вследствие субгармоничности функции I | ^

J> так как кружки \ — } попарно не пересекаются и содержатся в полосе [z : \ 3т. Z H+-J* то а так как при условии (0.8) справедливо неравенство о

1lj(x+£if)\pdx±e<r,*[\ \f(x)\Pdz, oo

- оо то имеет место неравенство (0.16) с

H + f I

У - 2 ^ пд1 о

Целью исследования, проводимого в диссертации,является: I) разработка базирующихся на теории субгармонических функций и теории потенциала методов оценки модуля | / (%) | целой функции -f в комплексной плоскости через модули ее значений | J СЯК) | на последовательности точек вещественной оси;

2) получение для логарифмически субгармонических в комплексной плоскости функций теорем типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа.

Если Ы(%) - логарифмически субгармоническая в С функция, то ее экспоненциальным типом называется величина ги= еш Ajga, а индикатор роста hu (О) определяется как и 1-гсхэ £

Непосредственная переформулировка теоремы Картрайт на логарифмически субгармонические функции имеет вид: пусть U(%,) -логарифмически субгармоническая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условиям где GG ( 0, 00 j и для числа СО > О выполнено условие С^- СО • Тогда справедливо неравенство

SUp ШХ) £= С sup

ЗС(£ JR К<£ Z

Сформулированное утверждение неверно, каково бы ни было соотношение между СГ и СО . Причиной, влекущей ложность этого утверждения, является, например, возможность наличия малых атомных компонент у меры djj. (%) ^ (tri и (%)) , ассоциированной по Риссу с субгармонической функцией (п.и(%) . Наличие у меры djj-fz) сколь угодно малого атома, сосредоточенного в точке

ЫИ , приводит к равенству и (ME) — П ; распределяя ато-со со мы меры djJ. по точкам ■ , южно добиться того, что U ( о (кЕ Ж) » а и(х)ф о И U(z) имеет малый рост: бГ ^ G (за счет малости атомов можно добиться сколь угодно малого роста). Рассмотрим пример. Пусть С, и) - заданные положительные числа. Выберем э£} О * ^ -gj > и положим и(%) = I Sincoz]^.

Имеем и(2)ФО; U () = О ( К €:%) \ 0~и = а* СО.

Следовательно , С7~и ^ С.

Таким образом, при формулировке для субгармонических функций теорем типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа для целых функций нужно налагать какие-то ограничения на соответствующую ассоциированную меру.

3°. Структура диссертации и ее основные результаты. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе разрабатывается базирующийся на теории потенциала метод, называемый методом потенциалов сравнения, для получения теорем о субгармонических функциях типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа о целых функциях. Основным результатом первой главы является следующая теорема.

1. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. - 515 с.

2. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИГТЛ, 1956. - 632 с.

3. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.-Л.: ГИГТЛ, 1941. - 388 с.

4. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971. - 430 с.

5. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. - 304 с.

6. Patey R.E.A.C., Witnii N. Fouviei tiansfoims in the compiex domain N.Y.y 1934.

7. Котельников В.А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи. Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. Изд. Управления связи РККА, 1933.

8. Caitwiigkt M.U On certain intecjial junctions of oidei one.- Quatt.^ of Math., Oxford1936, v. 7, p. 46-5$.

9. PPanckeiai M.? Potya G-. Fonctions entities ei in-teyiaies, de F outlet mudtip Ies. M. Co mm .Math. Иг2vet., 1937-1938, v. Ю, p. UO-i6£

10. Бернштейн C.H. Перенесение свойств тригонометрических полиномов на целые функции конечной степени. Изв. АН СССР, сер. матем., 1948, т. 12, № 5, с. 421-444.

11. Duf$in Schaeffei А. С. Powei seties with, боип ded coefficients. Ame^.Q. Maih.i946.v.67, р.Ш-iS*.

12. Ахиезер Н.И. 0 целых трансцендентных функциях конечной степени, имеющих майоранту на последовательности точек вещественной оси. Изв. АН СССР, сер. матем., 1952, т. 16,с. 353-364.

13. Ахиезер Н.И., Левин Б.Я. Интерполяция целыми функциями конечной степени. Записки матем. отд. физ.-мат. факультета ХГУ и Харьк. мат. об-ва, 1952, т. 23, с. 5-26.

14. Левин Б.Я. Обобщение теоремы Картрайт о целой функции конечной степени, ограниченной на последовательности точек. -Изв. АН СССР, сер. матем., 1957, т. 21, №4, с. 549-558.

15. Левин Б.Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа. Математическая физика и функциональный анализ (сборник трудов ФГИНТ АН УССР), Харьков, 1969, № I, с. 136 --146.

16. Левин Б.Я. Субгармонические мажоранты и их приложения. -В кн.: Тезисы докладов. Всесоюзная конференция по теории функций комплексного переменного. Харьков, 1971, с.117-120.

17. Левин Б.Я. О некоторых приложениях специальных конформных отображений. В кн.: Вопросы математики. Сборник научных трудов № 510. Ташкент, 1976, с. 140-147.

18. Левин Б.Я. Мажоранты в классах субгармонических функций и их приложения. I. Препринт ФГИНТ АН УССР, Харьков, 1984, № 18-84, с.

19. Левин Б.Я. Мажоранты в классах субгармонических функций и их приложения. П. Препринт ФГИНГ АН УССР, Харьков, 1984, J& 19-84, с.

20. Логвиненко В.Н., Середа Ю.Ф. Эквивалентные нормы в пространстве целых функций экспоненциального типа. Теория функций, функциональный анализ и их приложения, Харьков, 1974, вып. 20, с. I02-III.

21. Логвиненко В.Н. Об одном многомерном обобщении теоремы М.Картрайт. ДАН СССР, 1974, т. 219, № 3, с. 546-549.

22. Логвиненко В.Н. Теоремы типа М.Картрайт и вещественные множества единственности для целых функций. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1975, вып. 22, с. 85-100.

23. Павлов Б.С. Базисность системы экспонент и условие Макен-хоупта. ДАН ССОР, 1979, т. 247, Jfc I, с. 37-40.

24. Хрущев С.В. Теоремы возмущения для базисов из экспонент и условие Макенхоупта. ДАН СССР, 1979, т. 247, № I, с. 44-48.

25. Кацнельсон В.Э. Эквивалентные нормы в пространствах целых функций. Математический сборник, 1973, т. 92(134), № 1(9), с. 34-54.

26. Benedicks М. Positive haimontc functions i/aac-shiny on the loundatu of certain domains in Rn-Abkiv foz таШтаЫ, 1980, vol. /<?,p. S3-72.

27. Панеях Б.П. Некоторые неравенства для функций экспоненциального типа и априорные оценки для общих дифференциальных операторов. Успехи матем. наук, 1966, т. 21, № 3, с. 75-114.

28. Лин В.Я. Об эквивалентных нормах в пространстве суммируемых с квадратом целых функций экспоненциального типа. -Математический сборник, 1965, т. 67(109), № 4, с. 586-608.

29. VotUbCj A.L. Thin and bkick jamdus of tationai factions. — Le-ctutBS noies in fYlcLthernatCcs} Spitnyei-Vetiacj, Beihny i921, №864,p. 440-420.

30. Безуглая Л.И. О субгармонических функциях комплексного переменного, ограниченных на последовательности точек вещественной оси. I. Теория функций, функциональный анализ