Существование поверхности с данной внешней кривизной в римановом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

СОДЕНАНИЕ

TfflFfllffTIflF, . . ;; . . V • . V . ......V • 4

Гл.' I. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ И АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ И

ЕГО ГРАДИЕНТА • • ... . . . !;■ .. ........ 12 ,

§1. Вычисление внешней кривизны КДСФ) . . . . . • . 12

§2; Эллиптичность основного уравнения. . ; v . v v . . 20

§3. Априорные оценки максимума и минимума решения. V . 20

§4. Априорные оценки модуля градиента решения. . . . • 23

Ш. 2. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ НОРМАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ v ...... 25

§1. Оценки нормальной кривизны поверхности, не

зависимые от параметризации многообразия . . . . . 25 §2. йце раз об оценках нормальной кривизны для поверхности с данной внешней кривизной в

римановом многообразии ... . . . . ....... 36

§2.1. Получение основного неравенства. . . . . . . . 37

§2.2. Упрощение основного неравенства.............49

§2.3. Существование оценки нормальной кривизны для поверхности с данной внешней кривизной в римановом многообразии .....•..••.. 52

Гл. 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ДАННОЙ ВНЕШНЕЙ

КРИВИЗНОЙ В РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ . . . ..... 57 §1. Построение однопараметрического семейства

уравнений и некоторые свойства его решений .... 58 §2. Вычисление производной внешней кривизны поверхности ф по направлению нормали

поверхности . . . . ........... . 60

§3. Существование гомеоморфной сфере поверхности с данной внешней кривизной в римановом

ных работах и двух статьях.

Об^ьем рабдты. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 12 параграфов и занимает 81 страницу машинописного текста. Список литературы содержит 30 наименовании.

Срде^шге. работы:.

Церввд удава разделена на четыре параграфа, содержащих соответственно постановку задачи и вывод основного уравнения, доказательство эллиптичности этого уравнения, априорные оценки максимума и минимума решения и априорные оценки модуля градиента решения.

В первом параграфе дается аналитическая трактовка основной задачи диссертации. Для этого вводится специальная параметризация многообразия У3 следующим образом. Считается, что точка

Л

X » принадлежащая множеству гомеоторфному S х R о границей Ф0 , имеет координаты и гг v j> $ где ( u. аГ )-внутренние координаты геодезической проекции точки )С на ф0 ; a j) - геодезическое расстояние от точки X До Ф?, . Далее1, будем рассматривать поверхности ф , которые задаются над всем фс уравнением •

Тогда, функция j>(ус/\г) является решением дифференциального уравнения Монжа-Ампера

РмРгг- С = (W^ «^ИчИ- |C^J>) , ( *)

где

Р.. = р.. -v Ц>..

(Оцесь зависит от и. ; лг j> ; J>L и коэффициентов

первых и вторых квадратичных форм координатных поверхностей

Вгдрая удава работы посвящена доказательству существования априорных оценок нормальных кривизн решения задачи.

В первом параграфе доказана следующая теорема

Теорег^а 3. Пусть Ф - гомеоморфная сфере поверхность в римановом многообразии V3 о заранее заданной положительной внешней кривизной К ^ (ф) V заданной как функция точек в V 3 • Пусть в каждой точке поверхности Ф выполняются неравенства

Где К s ~ секционная кривизна пространства в направлении-площадки, касающейся поверхности Ф , а К - кривизна пространства в любой площадке; перпендикулярной поверхности. Тогда, для нормальных кривизн поверхности Ф существует оценка, зависящая только от внешней кривизны поверхности и метрики многообразия V 3.

Схема доказательства этой теоремы такая же-, как схема доказательства существования оценок нормальных кривизн поверхности <Ф в V3 через коэффициенты первой квадратичной формы Ф , предложенной А.В.Погореловнм в (25^ , гл.6; §2.

Во втором параграфе главы доказано существование априорных оценок функций, задающей решение задачи в метрике С и нормальных кривизн решения задачи, если выполнены условия теоремы I и при условии принадлежности функции G-V^jO классу С2 (Vx [j, Jl) . (Теорема 4).

Третья, удава посвящена доказательству существования решения задачи, если для функции (y-^f) выполняется условие теоремы I, кроме того, считается; что

) уи.^2.; О vi удовлет-

воряет некоторому естественному неравенству. При этом доказано,

что подученное решение является поверхностью класса qY*-+i;cL ^з2^ . Доказательство этого утверждения (теорема 5) проводится методом продолжения по параметру.

4. Найдем ^ , $лг , 6гг • Имеем (см. (I))

Кроме того

ч> - ^ хГг- -

^ - |г„хгг1 (3)

Подставим в это выражение предыдущие равенства. Напомним, что Тогда

V \ = \|EG-FZ • j V (V ^ =

= (XxS^xS^FSa.- .

(Зцесь используются известные свойства векторного произведения). С другой стороны, S^ х (sA к = sjtG—T^- Csa * si) ,

(V^xS^ ^v/EG-F2- ОЗ*

Из этих равенств получим:

Я X Sa= r ==;-; * —, --

A 3 vlEG-F* xfEG^F^

Отсюда и из (I),(2) и (3) получим выражение для М :

^ = (FA - Sjfl S3 (4)

где L , J = Is; 2.

Поскольку поля векторов Si t Sa , определены в S2)c , а поля , только на Ф , то доопреде-

лим поля пг^вне ф равенствами (I) (подчеркнем, что . зависят только от a , \Г и не зависят от J5 ).

если вектор средней кривизны поверхности Фр направлен противоположно росту j> , или

i') 050 J> J ;

г') 4C^j) + прк •

если вектор средней кривизны поверхности Фj> направлен в сторону роста j>

Тогда всякая поверхность Ф , задаваемая решением J> уравнения (12), обращенная локальной выпуклостью в сторону возрастания или убывания , соответственно, обязана располагаться в слое между Фу и Ф^у . То есть, справедливо неравенство

j ^jM ^ J-

1. Замечание. Направление локальной выпуклости Ф при (ф) > О достаточно проверить в одной (любой) точке.

Требования о направлении выпуклости Ф не является препятствием для использования теоремы I в доказательствах методом продолжения по параметру, так как направление выпуклости сохраняется при непрерывной деформации с К л > О

2. Доказательство теоремы I. Докажем утверждение теоремы при выполнении условии I) и 2). (Доказательство второй части теоремы совершенно аналогично). Цусть в точке ( Ш0 » ^о ) достигается j> (u^vT) J>0 • Предположим J>0 > J

Тогда из условия I) следует, что K^Cf^4) > 0 , что по условию теоремы обеспечивает локальную выпуклость Ф^0 в сторону возрастания J> . Поверхности ф и Ф^> касаются в точке ul0 ; ; j>0 , и ни одна из точек Фр0 не лежит внутри ф . (Следует из того, что J>(tt^ir) ). Отсюда следует, что К^(Фро) — К^С*^) Б это® точке.

лива следующая теорема, которая и составляет основной результат настоящего параграфа.

Теорема 3. Цусть Ф - гомеоморфная сфере поверхность в римановом многообразии V с заранее заданной положительной внешней кривизной К ^ СФ} » заданной как функция точек в V . Цусть в каждой точке поверхности Ф выполняются неравенства

К4><Г; К к 8-к

где К s ~ секционная кривизна пространства в направлении площадки, касающейся поверхности ф ., а К ^ - кривизна пространства в любой площадке, перпендикулярной поверхности. Тогда для нормальных кривизн поверхности Ф существует оценка1, зависящая только от внешней кривизны поверхности Ф и метрики многообразия V* .

I. Из формулы Езусса: следует-, что в

омбилических точках справедлива тривиальная оценка =

= = К2 • Поэтому в дальнейшем будем считать, что

Vwcgс достигается в неомбилической точке X . Вблизи

такой точки можно в качестве линии локальных координат ( ll ;

V ) на Ф выбрать линии кривизны. ЗЗудем считать,- что точке К соответствуют значения LL = 1Г = о и что параметр - есть длина на линии ш , проходящей через X > а чГ - длина вдоль линии лГ , проходящей через X . В качестве третьей координаты в пространстве вблизи % возьмем расстояние j> до Ф .

В таких координатах линейноый элемент поверхности Ф обладает тем свойством, что

где i^Ok a(u.pf) >■ о и свободный член С (u./ir) ограничены по модулю постоянным числом. При таких условиях очевидно, что <Ц не может быть сколько угодно большим, так как тогда нарушилось бы указанное неравенство.

6.Продифференцируем соответственно по яг первое и по и- второе из уравнений (14). Результат дифференцирования первого уравнения по iT запишем в виде

ЪЪ'2- Ъ^ v^-SL V 2_ Эгг —

Определим сначала порядок входящих в (19) величин относительно ^д , затем перейдем к дифференцированию второго из уравнений (14).

Выясним, какой порядок относительно 7Ц имеет величина Имеем (см.(17))

=о б/о .

Чтобы определить порядок относительно JL^ ,

продифференцируем по "iT уравнение йусса.

-^тГ =?>tr ^ •

Так как в точке X имеют место равенства:

Из (27) и (28) следует О^0. (29)

Напомним, что по условию теоремы

>о. (30)

Тогда полученное неравенство (29) не может выполняться при достаточно больших ^ ^

Таким образом, нормальные кривизны поверхности огра-

ничены в совокупности некоторым числом. Из неравенства (29) следует, что это число зависит лишь от внешней кривизны поверхности и метрики многообразия V • Теорема доказана.

8.Условие (30) в ряде случаев эффективно проверяемо. В частности, если многообразие N/3 (иди его часть; в которой лежит dp ) компактно и во всех точках О и для

любого направления площадки S

К^ + 2. к5- К* > О , то выполняется (30)'.

О ^ к = /Eg~^ ■ ^ oiu'2- _

' Е с(л%-2_ р cLllЛ.1Г4- gTdbu-2-

- ES-P* El^ + ZRkclir* 6-d.ir1

v E s-r "Тй^гщ^тта^- •/' (ад

где 'e » p » G- - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности Ф у Е ; F € - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности у а

м - Рц ^dbr*

J Е CLl" -V2_FdluLclirц- б-' (32)

Так как (см. (2))

= hi ;

ТО

ч/Е ff-F"

И

^ H da -v IFcUcU" -v G^du2-.

Тогда из (31) подучим К ^ М . Отсюда vw^Vc ^

«/ л dUt

-«f/ =л; -а^к^/ Поэтому'етеото

оценки значения v^^uc + v^O достаточно оценить

vwox (^JVr '

3.Заметим, что значение К зависит лишь от выбора точки

X и направления cLm : dir. Тем же свойством обладает и

коэффициент, стоящий перед JK в формуле (31). Поэтому и

Отметим, что величины ^^и как компоненты тензора

Римана-Кристоффеля самого многообразия, не зависят от поверхности <ф> .

Компоненты тензора кривизны многообразия V3 равномерно ограничены на ф0 х|» так как рассматриваемое множество компактно в у3 . Поэтому вправе считать, что они имеют порядок 0 относительно , то есть

(51)

Определим порядок величин С^^ и С. относительно . Для этого воспользуемся формулой (см. §1,гл.1)

(52)

Продифференцировав (52) ковариантно по чГ , получим

С54)

где V- = 1;2.

В окрестности точки X поверхности dp введена такая параметризация,5 благодаря которой в точке X имеет место равенство (см.(46); (37), (38) и (52))

$А%О^Рл +JV (vvJA * + -О . (55)

Отснща следует, что JV^

то есть улх оценивается

Имеют место равенства

JV =jv^.

Значения для j>m , j,^ , , j)12Z находятся по

формуле

Окончательный результат для С^ г2— С^^ таков (см. (64),

(66) и (81))

V^ =+ ^0 .

Следувщие слагаемые неравенства (77) таковы (см. (64)', (66) ,

(67))

-2 ^ f-Hjl + ;

Остальные слагаемые (77) заведомо не содержат главных членов.

Поделим неравенство (77) на . После этого некоторые слагаемые можно сгруппировать. А именно

К^НЛ^" ff- ( I --11 - -—

% cr - Sh . о <гг_ о'2-

Тогда неравенство (77) будет иметь вид

Дифференцируя (93), подучим:

(95)

тр Cf- Р и '

где ^ и ^Е^ - касательные к координатным линиям поверхности Ф ; > tr^ - к координатным линиям поверхности Ф . Отсюда подучим:

е" = Е О (<Pj>) )

Из (92) имеем:

V =; ^ = >

где S,j и касательные векторы к координатным линиям

поверхности . Поэтому:

(97)

где U , JA- , у/4 - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности Фр .

Имеем: Ё +0 (Л1)) ,

F = F -2.Д<Гр + 0 (<f J>)

(96)

Оценим правую часть последнего уравнения следующим образом. Обозначим правую часть этого уравнения через

И b ЛЬЛи > Н1 и по ^

мулам (2) выражаются через и ; ^ - по формулам

(8) через • Обозначим теперь через XL—

= UQift; &выражение, полученное из IL =

... заменной Ъц и по указанным

формулам. Заметим, что для всякого решения j>=j>0b'*0 Уравнения (12) существует^ постоянное число для каждого многообразия V3 такое, что справедливо неравенство

1i0 ^ i^fU (112)

где IX о получена из XL с помощью априорных оценок

С2 (s?) •

Очевидно, что для всякого решения ф рассматриваемой задачи справедливо неравенство:

V

>U0 . сиз)

Отметим, что для всякой выпуклой поверхности в евклидовом пространстве:

^Существование постоянной 7Х0 следует из того, что все входящие величины в Ц

конечны и ограничены по модулю, и, в этом выражении все величины знаменателей отграничены от нуля.

§3. Существование гомеоморфной сфере поверхности с данной внешней кривизной в римановом многообразии.

Демма^!. Множество Т - значения параметра t в семействе уравнений (85), для которых эти уравнения разрешимы -является открытым на tPifl-

I«Пусть tc€:T » т-е- существует решение уравнения (85) , при t: = te , которое обозначил через

Jt =J>t О^/О • Нужно доказать, что (85) разрешимо при всех

t

t , принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности числа . Уравнение (85) запишем в виде:

Так как J>0 —J>0 (u^ir) является решением уравнения (85), то

Отсюда следует, что;

К)

2) коэффициенты этого уравнения равномерно ограничены в метрике пространства * . При и. , пг » Р ,

2. Г —

принадлежащих S х j> ^ , при j>L и при принадле-

жащим- областям, ограниченным априорншли оценками решения уравнения (85).

Такие оценки есть, и они не зависят от t .А значит коэффициенты уравнения удовлетворяют и этому требованию. Тогда, как следует из результатов Шаудера

J

где постоянная к зависит от wu , JUL , Ц I^ Д у^ ^ . Таким образом, чтобы окончательно доказать существование

равномершх оценок (jty » нам осталось дока-

зать существование равномерных оценок $j>^ , К = 1,2,..., К, Покажем это.

Оценил v*4xx . Пусть ^ достигает наибольшего

значения на <фа в точке Р (u-0^iT0) . Будем считать его положительным, так как в противном случае есть оценка сверху на fy* :

Итак, в точке

Р (ао^о)

итлеем:

<0>*>°) («0»^, = о;

(О*)***0-

компактна в метрике ^ ф^ дяя дю^го clxs ^ ы}

Тогда, ее подпоследовательность {j^n.^} сходится в q^+S* (фо) к некоторой функции » и

W.+2., Л

I fp \ n AI^AWA v/£i4/ja yjj .

II

СФоУ

Ясно^ что J^ является решением уравнения (85) при <"t = trQ » а это означает, что t0 еТ

Таким образом, доказано, что множество Т -значения параметра t , при которых уравнения системы (85) разрешимы, непусто, и это множество является открытым и замкнутым в [О; l] , А значит, (85) разрешимо при любом » в частности,

при t = I. То есть, справедлива теорема 5.

Терреыа_5. Цусть функция \ J) удовлетворяет следующим условиям:

1) {>0 ,

2) i = , где W>o при

о у и W. < О при J> > j> , где О ,

3) { в , , О ,

4) координатные поверхности Фр выпуклы выпуклостью

в сторону возрастания j> и принадлежат классу С > (s),

5) ^ifof -XLО (см.(113)), где J .

Тогда существует гомеоморфная сфере выпуклая поверхность

Флгкч-г, ос11 и I

, класса С } , oL<oLl, yw-^2, » расположенная между "концентрическими" координатными поверхностями Ф^ и ф= и имеющая функцию = ^ (u;\J)J>(air))

своей внешней кривизной.

. Из результатов И.Х.Сабитова (см. [281 ) следует,

как это показано в [ioj , что в теореме 5 доказано существование