Свободные краевые и интерфейсные колебания оболочек вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. О связи свободных краевых и интерфейсных колебаний со стоячими поверхностными волнами.

1.1. Поверхностные волны Рэлея и Стоунли и их аналоги для обобщенного плоского напряженного состояния и изгиба пластины.

1.2. Свободные краевые колебания полуполосы.

1.3. Свободные интерфейсные колебания продольно-неоднородной полосы.

ГЛАВА II. Свободные краевые и интерфейсные колебания круговой цилиндрической оболочки.

2.1. Постановка задачи о свободных краевых колебаниях полубесконечной круговой цилиндрической оболочки.

2.2. Анализ характеристического уравнения.

2.3. Асимптотический анализ и получение оценок собственных частот для трех типов свободных краевых колебаний полубесконечной круговой цилиндрической оболочки.

2.4. Постановка задачи о свободных интерфейсных колебаниях продольно-неоднородной бесконечной круговой цилиндрической оболочки.

2.5. Асимптотический анализ и получение оценок собственных частот для трех типов свободных интерфейсных колебаний продольно-неоднородной бесконечной круговой цилиндрической оболочки.

Оглавление

ГЛАВА III. Свободные краевые и интерфейсные колебания оболочки вращения с произвольной образующей.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Изгибные свободные краевые и интерфейсные колебания оболочки вращения.

3.3. Тангенциальные свободные краевые и интерфейсные колебания оболочки вращения.

3.4. Сверхнизкочастотные свободные краевые колебания полубесконечной оболочки вращения.

3.5. Численные результаты.

Большой интерес к изучению колебательных процессов в оболочечных конструкциях связан с их широким применением в авиастроении, судостроении, приборостроении, строительстве. Необходимость в высокой надежности работы машин и механизмов и, в то же время, в снижении материалоемкости производства предъявляет высокие требования к методам расчета динамических параметров конструкций, прежде всего таких важных характеристик, как собственные частоты и собственные формы колебаний.

Во многих случаях объект исследования представляет собой протяженный тонкостенный волновод. Для таких конструкций большое значение приобретает изучение колебаний, локализованных около торца волновода либо у границы раздела свойств материала, если волновод является продольно-неоднородным.

Традиционно ставится задача не о свободных колебаниях волновода, а о распространении волн в нем. Это объясняется тем, что свободные колебания, собственные формы которых не имеют локализованного характера, невозможны в волноводе из-за его бесконечной длины. Локализация собственной формы ведет к тому, что свободные колебания бесконечного в одном из направлений тела становятся возможны. Свободные колебания, локализованные около края тела, могут быть названы краевыми колебаниями, локализованные около линии раздела свойств материала - интерфейсными колебаниями. Свободные краевые колебания тесно связаны с хорошо известным в механике явлением краевого резонанса, впервые обнаруженным при экспериментальных исследованиях колебаний круглого диска [100]. Появление термина «краевой резонанс» было обусловлено локализацией области интенсивных движений около края диска. Также в работе [100] было установлено, что в окрестности частоты краевого

Введение 5 резонанса в спектре диска существуют почти горизонтальные участки - плато. С ними связано необычное явление в распределенных колебательных системах -при существенном изменении одного из размеров тела одна из его собственных частот практически не меняется, причем это имеет место в области частот ниже частоты толщинного резонанса. Аналогичные экспериментальные работы проведены для конечных цилиндров [84,94,97,104] и прямоугольных пластин [38], при этом также обнаружено явление краевого резонанса. Результаты этих работ согласуются с результатами численного решения задач о вынужденных колебаниях прямоугольника [23,37,39,42] и конечного цилиндра [23,40,88,96], в которых были найдены резонансные частоты с локализованными около края формами и плато в спектре частот. Слабая зависимость частот краевого резонанса от размеров тела вызвала интерес к изучению этого явления в полуполосе [41,54,82,86,102,103] и полубесконечном цилиндре [43,58,95]. В этих работах численно решаются задачи о возбуждении торца полубесконечного волновода гармонической нагрузкой либо об отражении первой распространяющейся моды от свободного торца. Показано, что частота, на которой происходит эффективное возбуждение колебаний вблизи торца, действительно совпадает с частотой краевого резонанса в конечных пластинах и цилиндрах. Однако говорить о резонансе в полубесконечном теле можно лишь условно, поскольку здесь не наблюдается тенденции к неограниченному росту амплитуд при стремлении частоты к резонансному значению [102]. Это объясняется тем, что в рассматриваемом диапазоне частот поле в волноводе формируется за счет взаимодействия единственной распространяющейся моды и бесконечного числа неоднородных стоячих волн. Унося энергию на бесконечность, распространяющаяся волна вносит радиационное демпфирование в систему и амплитуды колебаний на частоте краевого резонанса остаются конечными. Первый случай резонанса в классическом смысле слова (с обращением амплитуды в бесконечность) в полубесконечном теле отмечен в работе В.Т. Гринченко [41], посвященной краевому резонансу в полуполосе, находящейся в условиях плоской деформации. В этой работе показано, что в случае материала с нулевым коэф

Введение 6 фициентом Пуассона связь между распространяющейся и неоднородными волнами исчезает и в рамках модели идеально упругого тела амплитуда на частоте краевого резонанса обращается в бесконечность, если торец возбуждается самоуравновешенной нагрузкой. В работе [98] представлено математическое доказательство этого факта: доказано, что описывающий задачу о колебаниях полубесконечной полосы самосопряженный оператор в случае нулевого коэффициента Пуассона действительно имеет положительное собственное значение, внедренное в непрерывный спектр. В работе В.В. Мелешко [58] рассмотрено явление краевого резонанса при осесимметричных колебаниях полубесконечного цилиндра. В этом случае также обращение амплитуд в бесконечность на резонансной частоте возможно только при нулевом коэффициенте Пуассона. Неосесимметричные колебания полубесконечного цилиндра рассмотрены в работе В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко [43]. Показано, что если число волн в окружном направлении больше единицы, то в рассматриваемом цилиндре возможен краевой резонанс с обращением амплитуд в бесконечность при любом значении коэффициента Пуассона. Это связано с тем, что при таких значениях числа волн по окружной координате критическая частота первой распространяющейся моды всегда отлична от нуля и превосходит частоту краевого резонанса, следовательно, радиационное демпфирование не возникает.

Свободные интерфейсные колебания связаны с рассмотренным в работах И.П. Гетмана и О.Н. Лисицкого [19] и И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [20] явлением граничного резонанса при падении симметричной и антисимметричной волн Лэмба на границу раздела составной полосы. При этом отмечается, что понятие граничного резонанса может рассматриваться как естественное обобщение понятия краевого резонанса на случай двух граничащих между собой волноводов.

Вообще говоря, явления краевого и граничного резонансов относятся к широкому классу резонансных явлений, связанных с локализацией колебаний около различного вида неоднородностей (трещин, включений, границ раздела

Введение 7 свойств материала и т.п.). Такие явления подробно рассмотрены в работах В.А. Бабешко и И.И. Воровича [4,5,6,18 и др].

Изучаемые в настоящей работе свободные краевые колебания полубесконечной оболочки вращения и свободные интерфейсные колебания продольно-неоднородной оболочки вращения соответствуют явлениям краевого и граничного резонансов в указанных оболочках. Поскольку оболочка является телом более сложной геометрии, у этих явлений появляется ряд новых свойств.

Теория оболочек развита в монографиях В.З. Власова, А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова [17,31,56,62].

Сложность трехмерных уравнений теории упругости для оболочек не позволяет получить точные аналитические решения. Поэтому при исследовании колебаний оболочек используются различные приближенные подходы, основанные на приближении как исходных уравнений, так и искомых решений. Одним из таких подходов является использование двухмерных теорий.

Существует много путей построения уравнений двухмерных теорий оболочек и пластин. Среди прочих методов, согласно классификации [1,2], выделяются асимптотические методы. Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности оболочки показывает, что математически уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных по координатам срединной поверхности, где в качестве малого параметра используется параметр относительной тонкостенности. Поэтому асимптотические методы играют важную роль как при построении приближенных уравнений теории оболочек, так и при получении решения этих уравнений. Это позволяет применять богатый асимптотический аппарат с физической интерпретацией решения на всех этапах его разработки.

Асимптотические методы в теории оболочек получили всестороннее развитие в работах А.Л. Гольденвейзера [24-36,87]. Введение фундаментального понятия показателя изменяемости НДС по пространственной координате и проведение операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости по

Введение 8 зволило построить для статических задач основной итерационный процесс, приводящий в первом приближении к двухмерным теориям оболочек, и дополнительный, приводящий к теориям принципиально нового типа - теории плоского и антиплоского погранслоя. Итерационный процесс позволил также взглянуть на погрешность двухмерных теорий оболочек и пластин с асимптотической точки зрения, определяя форму ее зависимости от значений показателя изменяемости НДС.

В работе Ю.Д. Каплунова, И.В. Кирилловой, Л.Ю. Коссовича [51] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Обсуждены особенности асимптотических свойств НДС оболочки в задачах динамики. Выведены предельные двухмерные системы уравнений.

Исследования, выполненные Ю.Д. Каплуновым, Л.Ю. Коссовичем, Е.В. Нольде в области асимптотической теории тонких упругих тел, обобщены в монографии [89]. Приведен вывод асимптотически оптимальных уравнений низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющих в совокупности описать динамические процессы (как стационарные, так и нестационарные) на базе точных уравнений трехмерной теории упругости. Разработаны двухмерные теории высшего порядка пластин и оболочек. Рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, колебания тонких тел в среде, излучения тонкими телами.

При изучении колебаний тонких оболочек на основе двухмерных теорий асимптотические методы также очень эффективны. Большое значение имеют метод расчленения НДС и метод экспоненциальных представлений [59,81]. Применение этих методов к исследованию колебаний тонких оболочек рассмотрено в работах А.Л. Гольденвейзера [26,28-30,33], В.В. Болотина [10-13], П.Е. Товстика [64-80], А.Л. Гольденвейзера, В.Б. Лидского, П.Е. Товстика [32]. Математическое обоснование метода расчленения НДС приведено в статье [16].

В монографии [32] разработан метод расчленения НДС в применении к решению задач о свободных колебаниях оболочек. Показано, что для широкого

Введение 9 класса задач напряженно-деформированное состояние колеблющейся оболочки можно представить в виде наложения главного и дополнительного напряженно-деформированных состояний. Приведена классификация видов колебаний оболочки. В зависимости от характера НДС и его изменяемости выделены: квазипоперечные колебания с малой изменяемостью, квазитангенциальные колебания, колебания рэлеевского типа, квазипоперечные колебания с большой изменяемостью.

Наиболее хорошо изучены колебания круговой цилиндрической оболочки. Важную роль при этом играет исследование корней характеристического уравнения. Асимптотический анализ характеристического уравнения для свободных колебаний круговой цилиндрической оболочки рассмотрен в [32,60,61].

Значительное число работ посвящено свободным колебаниям оболочек вращения [3,57,64-80], также такие колебания подробно рассмотрены в монографии [32]. Задача о свободных колебаниях оболочки вращения сводится к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Применение метода расчленения НДС и метода экспоненциальных представлений позволяет определить с необходимой точностью собственные частоты и собственные формы колебаний, а также плотность распределения собственных частот. Задачи о колебаниях оболочек вращения могут усложняться наличием точек поворота - точек, при переходе через которые изменяется характер поведения решения, например, экспоненциально затухающее решение сменяется осциллирующим. Для построения приближенных интегралов, описывающих переход через точку поворота, применяется хорошо разработанный метод эталонных уравнений [59,67,68,81,92].

Большое практическое значение имеет определение наинизшей собственной частоты колебаний оболочки. Для достаточно тонкой оболочки она будет находиться среди сверхнизких частот - частот, беспредельно убывающих с уменьшением толщины оболочки. Последние реализуются лишь тогда, когда

Введение 10 колебания оболочки близки к исследованным Рэлеем [63] колебаниям без растяжений и сжатий, т.е. когда срединная поверхность оболочки испытывает деформации, близкие к тем, которые в теории поверхностей называются изгибаниями. Для определения собственных частот таких колебаний удобно использовать формулу Рэлея [63]. Сверхнизкочастотные колебания рассматривались в монографии [32] и в работах [70,72,78-80,53,55 и др.].

Важное место при изучении свободных колебаний занимает исследование свойств решений дисперсионных уравнений. В работах В.Л. Березина, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича [9,83] асимптотические приближенные теории применены к синтезу дисперсионных кривых для цилиндрической оболочки как трехмерного упругого тела. Теория Кирхгофа-Лява и теория высокочастотного длинноволнового приближения используются, соответственно, в окрестности нулевой частоты и частот толщинных резонансов. Теория высокочастотного коротковолнового приближения используется вне этих окрестностей. Доказано наличие областей перекрытия решений по приближенным теориям. Показано, в частности, что в своей области применения теория Кирхгофа-Лява достаточно хорошо аппроксимирует точные дисперсионные кривые.

Совсем немного работ посвящено изучению свободных краевых колебаний оболочек. Это работы М.В. Белубекяна, Г.Р. Гулгазаряна и других авторов [7,8,44-49], в которых рассмотрены локализованные у торца свободные колебания полубесконечной цилиндрической оболочки (круговой и некруговой). Асимптотические методы, используемые в настоящей работе, в этих работах не применяются.

В работах [7,45,47] исследован вопрос распространения волн типа Рэлея, затухающих от свободного торца полубесконечной цилиндрической оболочки (круговой и некруговой) вдоль направления ее образующих, при этом жесткость на изгиб принималась равной нулю (безмоментная оболочка). В статье [46] рассмотрена аналогичная задача для некруговой цилиндрической оболочки с изгибной жесткостью.

Введение 11

В работах [8,48,49] рассмотрены задачи, сходные по постановке с поставленной в первом параграфе второй главы настоящей работы. Данная работа отличается от этих работ методами исследования и более глубокой интерпретацией результатов. В частности, авторами работ [8,48,49] не были обнаружены эффект демпфирования тангенциальных краевых колебаний и сверхнизкочастотные краевые колебания.

Постановка задачи в статье [8] за исключением того, что вместо полной теории Кирхгофа-Лява выбирается техническая теория оболочек, совпадает с постановкой задачи в данной работе. Результаты также в принципе соответствуют полученным в настоящей работе: если число волн по окружной координате больше единицы, то существует такое значение частотного параметра, ниже которого все корни характеристического уравнения имеют отличную от нуля действительную часть, т.е. возможно построить затухающее на бесконечности решение, и в этой области частотное уравнение имеет только один корень. Никакой интерпретации этих результатов в статье [8], по существу, нет. Возможно, статья [8] была одной из первых работ, в которых рассматривались оболочки с изгибной жесткостью. В следующих статьях уже отмечается, что найденные колебания есть изгибные колебания оболочки, являющиеся при большом числе волн в окружном направлении аналогом изгибной волны рэле-евского типа в пластинке. Также рассматривается безмоментная задача. Естественно, найденные для безмоментной задачи собственные значения частотного параметра сильно отличаются от собственных значений моментной задачи - по безмоментной теории можно определить только частоты тангенциальных колебаний оболочки. Причины «исчезновения» в моментной задаче собственных значений, соответствующих собственным значениям безмоменной задачи, не объясняются.

В статье [48] речь идет о локализованных у торца собственных колебаниях полубесконечной круговой цилиндрической панели с условиями Навье на боковых сторонах. Для описания колебаний оболочки также применяется техническая теория. Принципиально эта задача ничем не отличается от задачи о

Введение 12 замкнутой оболочке, только следует учесть, что увеличение изменяемости по окружной координате может быть связано либо с увеличением числа волн, либо с уменьшением ширины панели. Здесь авторы уже выделяют изгибные и планарные колебания и показывают их связь с изгибными и планарными волнами рэлеевского типа в пластинке, проводя анализ частотного уравнения при большом числе волн в окружном направлении. При этом авторами обнаружены действительные частоты тангенциальных колебаний. В принципе, это не противоречит выводам данной работы. Авторы взяли такое большое число волн в окружном направлении, что частоты запирания изгибной и тангенциальной волны поменялись местами, поэтому на частоте свободных краевых тангенциальных колебаний не оказалось изгибной распространяющейся волны. В настоящей работе такие большие значения волнового числа не рассматриваются, поскольку они лежат за пределами применимости теории Кирхгофа-Лява.

Целью данной диссертационной работы является изучение свободных краевых и интерфейсных колебаний круговой цилиндрической оболочки и оболочки вращения с произвольной формой меридиана. Исследования выполняются для тонкой идеально упругой изотропной оболочки на базе теории Кирхгофа-Лява. Применение упомянутых выше асимптотических методов позволяет установить физические свойства рассматриваемых колебаний и провести их классификацию, а также получить оценки собственных частот.

Также целью данной работы является более глубокое изучение самих явлений свободных краевых и интерфейсных колебаний, или, другими словами, явлений краевого и граничного резонансов. Для этого в первой главе рассмотрена задача о свободных колебаниях полуполосы в условиях плоского напряженного состояния с перекрестными граничными условиями на боковых сторонах. Показано, что собственными частотами в данной задаче являются такие значения частот, что на торце полуполосы укладывается целое число длин полуволн поверхностной волны Рэлея [93]. Таким образом, явление резонанса, возникающее при совпадении частоты вынуждающей нагрузки с найденными

Введение 13 собственными частотами, вызвано накоплением энергии бегущих навстречу друг другу вдоль торца полуполосы волн Рэлея.

Далее рассматриваются задачи о свободных краевых колебаниях полуполосы в условиях обобщенного плоского напряженного состояния и изгиба пластины. На боковых сторонах полуполосы также ставятся перекрестные граничные условия. Результаты аналогичны полученным для полуполосы в условиях плоской деформации, при этом роль волны Рэлея играют планарная волна рэ-леевского типа, которая представляет собой классическую волну Рэлея, обобщенную на случай растяжения пластинки, и изгибная волна рэлеевского типа, впервые изученная Ю.К. Коненковым [52]. В следующих главах эти результаты будут обобщены для круговой цилиндрической оболочки и оболочки вращения.

В третьем параграфе первой главы результаты, полученные во втором параграфе для полуполосы, обобщаются на случай продольно-неоднородной полосы, состоящей из двух полуполос из различных упругих материалов, состыкованных торцами. В месте стыка ставятся условия полного контакта. Также сначала рассматривается случай плоской деформации. Аналогом поверхностной волны Рэлея в случае двух контактирующих полупространств является волна Стоунли [101], распространяющаяся вдоль линии контакта и экспоненциально затухающая в перпендикулярном направлении. Эта волна для продольно-неоднородной полосы играет ту же роль, что и волна Рэлея для однородной полуполосы. Далее решены задачи о свободных интерфейсных колебаниях продольно-неоднородной полосы в условиях обобщенного плоского напряженного состояния и в условиях изгиба. Аналогично устанавливается связь изучаемых колебаний со стоячими планарной и изгибной [50] волнами типа Стоунли. В первом параграфе приводятся краткие сведения о волнах Рэлея и Стоунли и волнах рэлеевского типа и типа Стоунли.

Вторая глава посвящена свободным краевым и интерфейсным колебаниям круговой цилиндрической оболочки. В первом параграфе поставлена задача о свободных колебаниях полубесконечной круговой цилиндрической оболоч

Введение 14 ки, построено точное частотное уравнение, которое из-за громоздкости мало пригодно для исследования. Применение асимптотических методов сделало возможным упрощение этого уравнения и получение оценок его корней.

Естественно предположить, что в оболочке могут существовать аналоги и изгибных, и планарных свободных краевых колебаний пластины, рассмотренных в первой главе. Также сделано предположение о существовании сверхнизкочастотных свободных краевых колебаний оболочки, сменяющих изгибные колебания при небольшом числе волн по окружной координате и не имеющих аналогов в случае пластины. Далее эти предположения подтверждаются асимптотическим исследованием, основные идеи которого развиты в монографии [32].

Во втором параграфе проводится анализ характеристического уравнения для каждого из предполагаемых типов колебаний. В результате получены необходимые для дальнейшего исследования асимптотики.

В третьем параграфе результаты второго параграфа обобщаются в виде асимптотик главного и дополнительного полей перемещений для каждого из трех типов колебаний. Далее строятся приближенные системы уравнений, решения которых обладают приведенными выше асимптотиками. После этого к решению задачи, поставленной в первом параграфе второй главы, применяется метод расчленения напряженно-деформированного состояния. По отдельности рассматриваются каждый из выделенных трех типов краевых колебаний.

Для изгибных колебаний показано, что в первом приближении частота может быть определена из краевой задачи, формально совпадающей с задачей об изгибных свободных краевых колебаниях полуполосы. С использованием результата, полученного в первой главе, записывается приближенная формула для собственных частот оболочки. Также показано, что изгибные свободные краевые колебания оболочки возможны и при других вариантах граничных условий на торце, а именно, когда край закреплен в одном или обоих тангенциальных направлениях. При этом приближенная формула для собственных частот не изменяется.

Введение 15

В случае сверхнизкочастотных колебаний процесс асимптотического упрощения уравнений теории Кирхгофа-Лява приводит в первом приближении к уравнению полубезмоментной теории, а оценка собственной частоты совпадает с асимптотикой первой частоты запирания. При этом собственная форма не описывает затухающего решения. Для того чтобы показать, что формы сверхнизкочастотных колебаний в действительности все же обладают экспоненциальным затуханием, получено уточненное приближение, при построении которого учитывается близость собственной частоты к первой частоте запирания. Получены уточненные асимптотические оценки собственных частот для случаев свободного торца и торца, закрепленного в продольном направлении. Если торец закреплен в окружном направлении, то свободные краевые сверхнизкочастотные колебания, в отличие от изгибных колебаний, не существуют.

Далее рассматривается аналог планарных краевых колебаний пластин, названный в случае оболочки тангенциальными колебаниями. Так же, как и для изгибных колебаний, для тангенциальных колебаний показано, что в первом приближении частота может быть определена из краевой задачи, формально совпадающей с задачей о планарных свободных краевых колебаниях полуполосы, рассмотренной в первой главе. Но тангенциальные краевые колебания оболочки имеют важное качественное отличие от планарных краевых колебаний пластины: соответствующий им резонанс не является резонансом в классическом смысле слова, т.е. амплитуды на резонансной частоте, хотя и возрастают значительно, но не обращаются в бесконечность. Причина этого -отсутствующая у пластины связанность изгибных и тангенциальных движений оболочки. Из-за нее тангенциальные краевые колебания не могут происходить без возникновения изгибной составляющей, содержащей распространяющуюся волну, которая уносит энергию на бесконечность. Поскольку изгибная составляющая мала, можно представить рассматриваемую оболочку как систему с малыми потерями энергии. Собственные частоты такой системы являются комплексными, при этом мнимая часть характеризует величину уносимой на

Введение 16 бесконечность энергии. Концепция комплексной собственной частоты для описания систем с излучением применялась, например, в работах [85,99].

Для получения оценки мнимой части выполнена вторая итерация процесса удовлетворения граничным условиям. Рассмотрены случаи свободного торца и торца, жестко закрепленного в нетангенциальном направлении, во втором случае асимптотический порядок оказывается больше.

В четвертом и пятом параграфах рассматриваются свободные интерфейсные колебания продольно-неоднородной круговой цилиндрической оболочки, составленной из двух полубесконечных оболочек с различными упругими свойствами. Методы, применяемые при изучении поставленной задачи, полностью аналогичны описанным выше для случая однородной полубесконечной оболочки. Асимптотики главного и дополнительного полей перемещений, полученные во втором параграфе, применимы и в данном случае. Как и в случае краевых колебаний, существуют три типа интерфейсных колебаний рассматриваемой оболочки: изгибные и тангенциальные колебания, являющиеся, соответственно, аналогами изгибных и планарных колебаний продольно-неоднородной пластины и связанные, таким образом, с изгибной и планарной волнами типа Стоунли, и сверхнизкочастотные колебания, не имеющие аналогов в случае пластины. Получены асимптотические оценки собственных частот для всех трех типов колебаний. Так же, как и в случае краевых колебаний, собственные частоты интерфейсных тангенциальных колебаний оболочки обладают малой мнимой частью, вызванной влиянием изгибной распространяющейся волны. Асимптотическая оценка этой мнимой части также получена.

В третьей главе рассмотрены свободные краевые и интерфейсные колебания оболочек вращения с меридианом произвольной формы. В первом параграфе приводится постановка задачи. По аналогии с круговой цилиндрической оболочкой выделяется три типа колебаний: изгибные, тангенциальные и сверхнизкочастотные .

Во втором параграфе рассматриваются изгибные свободные краевые и интерфейсные колебания. Для обобщения подходов предыдущей главы на

Введение 17 уравнения с переменными коэффициентами используется метод экспоненциальных представлений. Снова оказывается, что собственные частоты оболочки вращения можно определить в первом приближении из соответствующей задачи об изгибных краевых или интерфейсных колебаниях пластины.

В отличие от цилиндрической оболочки, уравнения колебаний оболочки вращения могут обладать точкой поворота, при переходе через которую экспоненциально затухающее решение сменяется уходящей на бесконечность волной. Доля энергии, уносимая этой волной, мала. Соответствующие собственные частоты будут комплексными с экспоненциально малой мнимой частью. Для получения оценки этой мнимой части строится приближенное решение для главного НДС, описывающее переход через точку поворота.

В третьем параграфе рассматриваются тангенциальные краевые и интерфейсные колебания. С помощью метода экспоненциальных представлений результаты, полученные ранее для тангенциальных колебаний цилиндрической оболочки, обобщаются на оболочки вращения.

В четвертом параграфе исследуются сверхнизкочастотные краевые колебания полубесконечной оболочки вращения. Показано, что такие колебания возможны только для оболочки положительной гауссовой кривизны, при этом собственная форма колебаний в первом приближении описывается изгибанием срединной поверхности. Рассматривая следующее приближение, можно получить оценку собственной частоты. Тот же результат можно получить подстановкой изгибания в формулу Рэлея.

Пятый параграф посвящен численному определению собственных частот конечных, но достаточно длинных оболочек вращения. К таким оболочкам могут быть применены результаты, полученные в предыдущих трех параграфах. Производится сравнение найденных численно значений собственных частот с их асимптотическими оценками.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы.

Основные результаты работы отражены в публикациях [14,15,90,91].

18

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Решены задачи о свободных краевых колебаниях полуполосы с перекрестными граничными условиями на боковых сторонах, находящейся в условиях плоской деформации, обобщенного плоского напряженного состояния или изгиба, установлена связь рассматриваемых колебаний с поверхностными волнами Рэлея и рэлеевского типа.

2. Решены аналогичные задачи о свободных интерфейсных колебаниях продольно-неоднородной полосы, также установлена связь с поверхностными волнами - в данном случае волнами Стоунли и типа Стоунли.

3. Рассмотрены свободные краевые и интерфейсные колебания круговой цилиндрической оболочки, численно найдены собственные частоты. Выделено три типа рассматриваемых колебаний: изгибные, сверхнизкочастотные и тангенциальные колебания.

4. Для каждого из трех выделенных типов колебаний получены асимптотические оценки собственных частот свободных краевых и интерфейсных колебаний круговой цилиндрической оболочки, проведено сравнение асимптотических и численных результатов.

5. Рассмотрены свободные краевые и интерфейсные колебания оболочки вращения с произвольной формой меридиана, проведена классификация рассматриваемых колебаний по аналогии с круговой цилиндрической оболочкой.

6. Получены асимптотические оценки собственных частот свободных краевых колебаний полубесконечной оболочки вращения, проведено сравнение с результатами численного решения задачи о колебаниях длинной оболочки.

7. Получены асимптотические оценки собственных частот свободных интерфейсных колебаний продольно-неоднородной бесконечной оболочки вращения, проведено сравнение с результатами численного решения задачи о колебаниях длинной продольно-неоднородной оболочки.

134

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек // Изв. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. - 1965. - № 1. - С. 363.

2. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1972. -С. 227-266.

3. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Формула для числа частот осесимметричных колебаний оболочки вращения // Дифференциальные уравнения. 1977. -13, №8.-С. 1355-1365.

4. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно упругих сред. М.: 1989. - 344 с.

5. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. - № 3. - С. 74-83.

6. Бабешко В.А., Собисевич А.Л., Шошина С.Ю. К вопросу о возникновении резонансов на неоднородностях в неограниченной среде // Развитие методов и средств экспериментальной геофизики. 1993, № 1. - С. 73-83.

7. Багдасарян P.A., Белубекян М.В., Казарян К.Б. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой цилиндрической оболочке // В. сб. Волновые задачи механики. Под ред. А.И. Веснинского и В.И. Ерофеева. Нижний Новгород: 1992. - С. 87-93.

8. Белубекян М.В., Гулгазарян Г.Р., Саакян A.B. Волны типа Рэлея в полубесконечной круговой замкнутой цилиндрической оболочке // Изв. HAH Армении, Механика. 1997. - 50, №3-4. - С. 49-55.

9. Березин В.Л., Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Ю. Дисперсия упругих волн в тонкостенном цилиндре. ИПМ АН СССР. Препринт № 454, 1990. - 40 с.

10. Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек // ПММ. 1960.-24, вып. 5.-С. 831-842.1. Литератураш

11. Болотин В.В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек // ПММ. 1963. - 27, вып. 2. - С. 362-364.

12. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Колебания оболочек. Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3. -М.: Машиностроение, 1968.

13. Болотин В.В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее применение к задачам случайных колебаний // Прикл. механика. 1972. -8, № 4. - С. 3-29.

14. Вильде М.В. О связи собственных колебаний полубесконечной полосы со стоячими поверхностными волнами // В сб. Механика деформируемых сред. Вып. 13. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998. - С. 8-11.

15. Вильде М.В. Собственные колебания полубесконечной цилиндрической оболочки, локализованные вблизи торца // Тез. докл. Международной молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения», Москва, 6-10 апреля 1999 г. Москва: 1999. - Т. 1, с. 206-207.

16. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. - 12, вып. 5 (77). - С. 3-122.

17. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения к технике. M.-JL: Гостехиздат, 1949, - 784 с.

18. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979.-245, № 5. - С. 1076-1079.

19. Гетман И.П., Лисицкий О.Н. Отражение и прохождение звуковых волн через границу раздела двух состыкованных упругих полуполос // ПММ. -1988. 52, № 6. - С. 1044-1048.

20. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: Изд-во РосТ. ун-та, 1993. - 144 с.

21. Гоголадзе В.Г. Отражение и преломление упругих волн. Общая теория граничных волн Рэлея // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1947. - 125. - С. 1-43.1. Литература 136

22. Годунов C.K. О численном решении краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. -1961.-16, № 3. С.171-174.

23. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга H.A., Гузь А.Н., Гринченко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 5. Динамика упругих тел. Киев: Наук. Думка, 1986, - 288 с.

24. Гольденвейзер A.JI. Качественное исследование напряженного состояния тонкой оболочки // ПММ. 1945.-9, вып. 6. - С. 463-478.

25. Гольденвейзер A.JI. К теории изгиба пластинок Рейсснера // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. 1958. - № 4. - С. 102-109.

26. Гольденвейзер А.Л. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки // ПММ. 1966. - 30, вып. 1. - С. 94-108.

27. Гольденвейзер А.Л. Погранслой и его взаимодействие с внутренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки // ПММ. 1969. - 33, вып. 6.-С. 996-1028.

28. Гольденвейзер А.Л. Об ортогональности форм собственных колебаний тонкой упругой оболочки // Проблемы механики твердого деформированного тела. Л.: Судостроение, 1970. - С. 121-128.

29. Гольденвейзер А.Л. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки // ПММ. 1970. - 34, вып. 5. - С. 952-956.

30. Гольденвейзер А.Л. Классификация интегралов динамических уравнений линейной двумерной теории оболочек // ПММ. 1973. - 37, вып. 4. - С. 591-603.

31. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976512 с.

32. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. - 384 с.

33. Гольденвейзер А.Л. О вынужденных гармонических колебаниях оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. - № 5. - С. 168-177.

34. Гольденвейзер А.Л. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. - № 5. - С. 126-138.1. Литератураш

35. Гольденвейзер A.JI. Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. - № 6. - С. 124-138.

36. Гольденвейзер A.J1. О краевом напряженно-деформированном состоянии тонких упругих оболочек // Изв. АН Эстонии. Физ. Матем. 1993. - вып. 42, № 1.-С. 32-44.

37. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О краевом резонансе при планарных колебаниях прямоугольных пластин // Прикл. механика. 1975. - 11, № 10. - С.52-58.

38. Гринченко В.Т., Карлаш B.JL, Мелешко В.В., Улитко А.Ф. Исследование планарных колебаний прямоугольных пьезокерамических пластин // Прикл. механика. 1976. - 12, № 5. - С.71-78.

39. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Особенности распределения энергии в тонкой прямоугольной пластине при краевом резонансе // Докл. АН УССР. Сер. А. 1976. - № 7. С.612-616.

40. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Осесимметричные колебания упругого цилиндра конечной длины // Акуст. ж. 1978. - 24, № 6. - С.861-866.

41. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О резонансе в полубесконечной упругой полосе // Прикл. механика. 1980. - 16, № 2. - С.58-63.

42. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. Думка, 1981. - 283 с.

43. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Особенности волнового поля в полубесконечном упругом цилиндре (краевой резонанс) // Изв. АН СССР. МТТ. 1982.-№6. -С. 81-89.

44. Гулгазарян Г.Р. Приближенные частоты собственных колебаний некруговой цилиндрической оболочки // Изв. HAH Армении, Механика. -1996, 49, №1.-С. 61-70.

45. Гулгазарян Г.Р., Казарян К.Б. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой некруговой цилиндрической оболочке // Изв. HAH Армении, Механика. 1997. - 50, №1, 27-33.1. Литература138

46. Гулгазарян Г.Р. Волны, локализованные у свободного края гофрированной пластинки // В. сб. Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем. Ереван: 1997. - С. 143-146.

47. Гулгазарян Г.Р., Гулгазарян Л.Г. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой цилиндрической оболочке с произвольной направляющей // В. сб. Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем. Ереван: 1997. - С. 147-150.

48. Гулгазарян Г.Р. Волны, локализованные у свободного торца круговой замкнутой цилиндрической оболочки с малой кривизной // Изв. HAH Армении, Механика, в печ.

49. Зильберглейт A.C., Суслова И.Б. Контактные волны изгиба в тонких пластинках//Акуст. ж. 1983.-29. - С. 186-191.

50. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ. 1993. - 57, вып. 1. - С. 83-91

51. Коненков Ю. К. Об изгибной волне «рэлеевского» типа // Акуст. ж. 1960. -6, вып.1.-С. 124-126.

52. Корнев В.М. К формулировке граничных условий упрощенных уравнений колебаний оболочек вращения // ПММ. 1970. - 34, вып. 1. - С. 84-94.

53. Ле Хань Чау. О краевом резонансе в полубесконечной упругой полосе // ВесТ. МГУ. Мат. Мех. 1984. - № 5. - С. 57-60.

54. Лийва Т.В. О собственных неосесимметричных колебаниях оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны // Тр. Таллинского политехнического ин-та. 1970. - сб .5, сер. А. - С. 47-60.

55. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат, 1947.-252 с.1. Литература139

56. Малкина Р.Л., Годзевич В.Г. Свободные колебания оболочек нулевой кривизны // Изв. вузов. Авиационная техника. 1963. - вып. 1. - С. 48-57.

57. Мелешко В.В. О краевом резонансе при осесимметричных колебаниях полубесконечного упругого цилиндра // Докл. АН УССР. 1979. - вып. 11. - С. 920-924.

58. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.-400 с.

59. Нигул У.К. Об общих формах колебаний круговой замкнутой цилиндрической оболочки // Тр. Таллинского политехнического ин-та. -1958. сер. А, № 147. - С. 65-83.

60. Нигул У.К. Некоторые результаты исследования уравнений собственных колебаний упругой круглоцилиндрической оболочки // Тр. Таллинского политехнического ин-та. 1960. - сер. А, № 171. - С. 19-36.

61. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз,1962. - 431 с.

62. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т.1. М.-Л.: Гостеиздат, 1940. -500 с.

63. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных колебаний купола // В. сб. Исслед. по упругости и пластичности, № 4. Л.: 1965. - С. 107-116.

64. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных установившихся колебаний оболочки вращения // В. сб. Исслед. по упругости и пластичности, № 4. Л.: 1965. - С. 117-122.

65. Товстик П.Е. Интегралы уравнений неосесимметричных колебаний тонкой оболочки вращения // В. сб. Исслед. по упругости и пластичности, № 5. -Л.: 1966.-С. 45-56.

66. Товстик П.Е. О спектре частот колебаний оболочки вращения с большим числом волн по параллели в особом случае // В. сб. Исслед. по упругости и пластичности, № 5. Л.: 1966. - С. 57-69.

67. Товстик П.Е. О спектре частот колебаний оболочки вращения с большим числом волн по параллели // В. сб. Тр. VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1966. - С. 746-752.1. Литература140

68. Товстик П.Е. К задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в случае двойной точки поворота // Вестник Ленингр. ун-та. -1967. -№ 1, С. 118-124.

69. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты колебаний конической оболочки вращения // В. сб. Исслед. по упругости и пластичности, № 6. -Л.: 1967.-С. 109-116.

70. Товстик П.Е. Свободные осесимметричные колебания оболочки вращения // Инженерный ж. Мех. тверд, тела. 1967. - № 4. - С. 124-132.

71. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты колебаний выпуклой оболочки вращения // Вестник Ленингр. ун-та. 1970. - № 13. - С. 107115.

72. Товстик П.Е. Интегралы линейного уравнения с малым параметром при производных // Дифференц. уравнения. 1970, № 6. - С. 989-999.

73. Товстик П.Е. Неосесимметричные колебания оболочек вращения с небольшим числом волн по параллели // В. сб. Исслед. по упругости и пластичности, № 8.-Л.: 1971.-С. 131-140.

74. Товстик П.Е. О плотности частот колебаний тонких оболочек вращения // ПММ. 1972. - 36, вып. 2. - С. 291-300.

75. Товстик П.Е. Высокочастотные осесимметричные колебания оболочки вращения // В. сб. Прикл. механика, № 1. Л.: 1973. - С. 100-109.

76. Товстик П.Е. Интегралы уравнений колебаний оболочки вращения с большим числом волн по параллели при наличии кратной точки поворота // В. сб. Исслед. по упругости и пластичности, № 10. Л.: 1973. - С. 103109.

77. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты свободных колебаний тонкой оболочки //В. сб. Асимптотические методы в теории систем, № 8. -Иркутск: 1975.-С. 5-22.

78. Товстик П.Е. Низкочастотные колебания выпуклой оболочки вращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. - № 6. - С. 110-116.

79. Товстик П.Е. Низкочастотные колебания тонких оболочек вращения // В. сб. Прикл. механика, № 3. Л.: 1977. - С. 12-29.1. Литература 141

80. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965.

81. Auld В.А., Tsao E.D. A variational analysis of edge resonance in a semi-infinite plate // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1977. - 24, № 5. - P. 317.

82. Berezin V.L., Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu. Synthesis of the dispersion curves for a cylindrical shell on the basis of approximate theories // J. of Sound and Vibration. 1995. - 186, № 1. - P. 37-53.

83. Booker R.E., Sagar F.H. Velocity dispersion of the lowest-order longitudinal mode in finite rods of circular cross section // J. Acoust. Soc. Am. 1971.-49, № 5, pt 2. - P. 1491-1498.

84. Gaunard G. and Brill D. Acoustic spectrogram and complex-frequency poles of a resonantly excited elastic tube // J. Acoust. Soc. Am. 1984. - 75, № 6. -P. 1680-1693.

85. Gazis D. C., Mindlin R. D. Extensional vibrations and waves in a circular disk and a semi-infinite plate // J. Appl. Mech. 1960. - 27. - P. 541-547.

86. Gol'denveizer A.L. Asymptotic method in the theory of shells // Proc. 15th Intern. Congr. Theory Appl. Mech. Toronto, Amsterdam et al, North-Holland, 1980.-P. 91-104.

87. Hutchinson J.R. Axisymmetric vibrations of free finite-length rod // J. Acoust. Soc. Am. 1972. - 51, № 1, pt 2. - P. 233-240.

88. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. Academic Press, San Diego, 1998 - 226 p.

89. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Wilde M.V. Free localized vibrations of a semi-infinite cylindrical shell // J. Acoust. Soc. Am. 2000. - 107, № 3. -P. 1383-1393.

90. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Edge and interfacial vibrations in elastic shells of revolution // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 2000. - 51. - P. 29-48.

91. Langer R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of second order with special reference to a turning point // Trans. Am. Math. Soc. 1949.-67.-P. 461-490.1. Литература 142

92. Lord Rayleigh. On waves propagated along the surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc. 1885. - 17. - P. 4-11.

93. McMahon G.W. Experimental study of vibrations of solid, isotropic, elastic cylinders // J. Acoust. Soc. Am. 1964. - 36, № 1. - p. 87-94.

94. McNiven H.D. Extensional waves in a semi-infinite elastic rod // J. Acoust. Soc. Am. 1961.-33, № l.-P. 23-27.

95. McNiven H.D., Perry D.C. Axially symmetric waves in finite, elastic rods // J. Acoust. Soc. Am. 1962. - 34, № 4. - P. 433-437.

96. Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rod by a wide-band, short-duration pulse technique // J. Acoust. Soc. Am. 1957. - 29, № 2. - P. 189194.

97. Roitberg I., Yassiliev D., Weidl T. Edge resonance in an elastic semi-strip // Q. J1 Mech. Appl. Math. 1998. - 51. - P. 1-13.

98. Sanchez Hubert J., Sanchez Palencia E. Vibrations and Coupling of Continuous Systems. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

99. Shaw E. A. G. On the resonant vibrations of thick barium titanate disks // J. Acoust. Soc. Am. 1956. - 28, № 1. - P. 38-50.

100. Stoneley R. The elastic waves at the interface of separation of two solids // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1924. - 106, № 732. - P. 416-429.

101. Torvik P. J. Reflection of wave trains in semi-infinite plates // J. Acoust. Soc. Am. 1967. - 41. - P. 346-353.

102. Torvik P. J., McClatchey J. J. Response of an elastic plate to a cyclic longitudinal force // J. Acoust. Soc. Am. 1968. - 44. - P. 59-64.

103. Zemanek J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in a cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1972. - 51, № 1, pt 2. -P. 265-283.