Свойства 1-адических логарифмов локальных единиц и их применение в задаче о 1-адическом регуляторе и арифметике абелевых полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

российская академия наук

^Математический институт им. в. а. стек лова

/

На правах рукописи УДК 519.4

КУЗЬМИН Леонид Викторович

СВОЙСТВА 1-АДИЧЕСКИХ ЛОГАРИФМОВ ЛОКАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О 1-АДИЧЕСКОМ РЕГУЛЯТОРЕ И АРИФМЕТИКЕ АБЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997

Работа 1ШИ0-!]йена « Ипетиту к> Информационных Тг.хно.чогмй при Р1Щ Кур '/ателм;«(! Иисгитуг'

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ».».<•, Колымгнн В. А. доктор физико-математических наук, профессор Таакеев С, Г. доктор физшш-мв'гемя'гкч<?ек'их «пук., нро1{«и.ч:ор Кузьмин Ю. В.

Ведущая организация---- Санкт-Петербургский Государственный Университет.

Зашита состошси 20 нвшя 1997 г. п. 14 ч.юои на заседании специализированного сонета. Д 02.-iS.02 по защите диссертаций на соискание учмюй сгепьки локюра лаук при математическом иисчшуте км. В А. Стекло!» РАН не адресу:

С диссертацией можно «шакоыиться р. иауппоА библиотеке М;ги»матич<-с>идо института.

Лш-.;[и (|..грйг разослан 20 мая 1997 г.

17Ш \1->№«а ГСП-1 у л- Гфчы •? 8.

Ученый <х-к{хлар/- агенсо&а доктор ф -к. я.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Одним из наиболее перспективных направлений в теории алгебраических чисел в настоящее время является теория Ивасавы. Эта теория возникла на рубеже пятидесятых - шестидесятых годов. Первые важные результаты в ней были получены самим Ивасавой [6]. С тех пор появилось большое число работ, посвященных этой теории (см. библиографию в [18]), или ее обобщениям на другие классы объектов. Одним из наиболее глубоких результатов, полученных в последние годы, является доказательство так называемой "Основной гипотезы" теории Ивасавы [4, 7, 19, 24].

Теория Ивасавы для произвольного, но фиксированного £ сопоставляет круговому Zi-расширению к00 поля алгебраических чисел к абелеву про-^-группу Ti{kaо), называемую модулем Тэйта (или модулем Ивасавы) поля к (ниже в этом разделе мы напомним ее определение). Теория Ивасавы изучает T^fc^) как компактный Г-модуль, где Г = G(k„/k), и проводит аналогию между ним и модулем Тэйта алгебраической кривой, но эта аналогия не полна. Поэтому в [11] была сделана попытка улучшить эту теорию в случае, когда к —■ поле СМ-типа. Для такого поля был определен Г-модульЛг(й00), который также реализуется как группа Галуа некоторого абелева расширения доля км и связан с Х)(£оо) естественным эпиморфизмом А((кт) —> Те(кх). Для простого нечетного I в предположении, что к содержит первообразный корень степени £ из единицы, на модуле А{(кх) был построен аналог скалярного произведения Вейля, и было доказано, что для ^-расширения полей СМ-типа К/к имеет место аналог формулы Римана-Гурвица для рода накрытия кривой- При этом Ze-ранг модуля А^к^а) является аналогом величины 2g, где g — род кривой.

Конструкция группы А{(ко<>) существенно использует то обстоятельство, что любой _модуль Галуа В{к), фупкториально зависящий от поля CAf-тила к, разлагается (при I ф 2) в прямую сумму В (к) = B+(fc)® В" {к), где автоморфизм комплексного сопряжения j действует на В+(к) и В~(к) умножением на +1 и — 1 соответственно.

В случае, когда к — произвольное поле алгебраических чисел, для любого локального поля fc„, где г>|£, определена невырожденная билинейная форма

S-.ЩЮхЩК)—>0л S{x, у) = Sp^/Q^ (log г - logy), (1)

где U(kv) — группа единиц поля ки, U(kv) = U(kb)/¡i{kv), где — группа всех корней из единицы в поле кь и log означает ¿-адический логарифм.

Рассмотрим естественное диагональное отображение

i-.ÏÏ{k)[l\—► .4(*):=n^x)> (2)

v|f

где ¡7(fc)[£) — про-£-по1Юлкение группы U(k),kv — пополнение к в точке v и произведение берется по всем точкам поля к, лежащим нал L Предположим, что мы хотим определить подгруппы А*{к) и Л~(к) в этом случае. Тогда разумно было бы потребовать, чтобы .4+(fc) содержала Imt из (2). Что касается гипотетической группы А~(к), то ее можно было бы определить как ортогональное

дополнение к А* {к) относительно подходящей билинейной формы. Естественным кандидатом на роль такой формы служит форма

S : Л(к) х А(к) —>■ Q,, (3)

связанная с (1) равенством

S(x, y) = J2S«(x«> f«)i

где х, у € А(к), х = П1«! У — П Vv, xv, yv € U(kv) и Sv — билинейная форма

v\t

(!)•

В приложениях нас в первую очередь интересует не индивидуальная форма (3), а набор форм Sn, рассматриваемый одновременно для всех промежуточных полей к„ кругового Г-расширения к^/к. В диссертации мы проводим такое исследование форм S„ для поля к, обладающего тем свойством, что его пополнения к„ абелевы для всех v\i (локальное поведение в остальных точках может быть любым). С этой целью мы конструируем новое произведение Т, которое заключает в себе информацию о формах Sn для всех п.

Мы даем ряд приложений к арифметике абелевых локальных полей — описание образа логарифмического отображения log : U(kv) kv, явные формулы для символа норменного вычета и др. Кроме того, мы получаем некоторые приложения к гипотезе о f-адическом регуляторе, выдвинутой в [12], и доказываем аналог формулы Римана-Гурвица для одного типа ¿-расширений полей алгебраических чисел, не являющихся полями СМ-типа. Далее, мы даем ряд приложений к теории круговых единиц, используя которые мы получаем несколько новых формул для числа классов вещественного абелева поля и уточняем ряд известных формул.

Цель работы.

1. Дать конструкцию и найти основные свойства спаривания Т в круговом локальном поле, включая его взаимосвязь с символом Гильберта.

2. Рассмотреть приложения спаривания Т к задаче о £-адическом регуляторе; доказать для некоторых частных случаев слабую гипотезу о £-адическом регуляторе и аналог формулы Римана-Гурвица для рода.

3. Дать выражение для круговых единиц через специальный базис, определенный в терминах спаривания Т, и вывести отсюда некоторые свойства круговых единиц.

4. Дать приложение полученных результатов к формулам для числа классов вещественных абелевых полей, включая доказательство обобщенной гипотезы Гра для случая, когда рассматривается /-компонента группы классов вещественного абелева поля, по степень поля не предполагается взаимно простой с £.

Общая методика исследования.

Основным методом работы является систематическое использование философии теории Ивасавы. Многие основные результаты первоначально формулируются и доказываются для кругового Г-расширения кс0 нашего основного

поля к, а затем результат устанавливается для доля к путем спуска с При этом существенно то, что для поля к^ формулировка результата зачастую оказывается более красивой, а доказательство — более простым и естественным.

Кроме того, важную роль играет использование спаривания Т, которое, несмотря на свою локальную природу, оказывается очень полезным и в глобальных задачах.

Научная нопизна.

Основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в алгебраической теории чисел. В частности, в теории Ивасавы и в теории абелевых полей алгебраических чисел. Представляет также интерес возможность обобщения наших локальных результатов на формальные группы.

Аппробация.

Результаты докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар рабочей группы "Алгебраическая геометрия и теория чисел" Института Макса Планка под руководством X. Коха (г. Берлин 1993 г.);

2. Международная конференция по алгебре и топологии (г. Казань 1994 г.);

3. Международная конференция по алгебраической геометрии (г. Ярославль 1994 г.);

4. Международная конференция "Теория Галуа локальных и глобальных полей" (г. Санкт-Петербург 1994 г.);

5. Семинар отдела алгебры МИРАН им. В. А. Стеклова под руководством И. Р. Шафаревича (1995 г.);

6. Заседание Гёттингенского Математического общества (г. Гёттинген 1995

т.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, которые приведены в конце автореферата. Все работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Объем работы — 144 страпицы текста, написанного в редакторе ЮТцХ. Список литературы содержит 24 названия.

Содержание работы.

Во введении к диссертации излагается мотивировка исследования, постановка задачи и ее история. Мы формулируем основные результаты диссерта-

дии и описываем методы их доказательства.

В главе 1 рассматривается круговое Г-расширепие К00 локального поля К, являющегося конечным круговым расширением поля Qг, т. е. имеющего вид К = Кп := Н(С,п), где Н — конечное неразветвледвое расширение поля Q; и С„ — первообразный корень из единицы степени Р", где m = n + 1 при t ф 2 и т = п -Ъ 2 при 1 = 2. Мы предполагаем, что корни согласованы при различных п условием = £„ при любом п > 0. Пусть ип € U(K„) — такой элемент, что Кп{ '^/й^) является неразветвленным расширением К„ степени Г". Мы определяем модуль Галуа V(K„) как мультипликативный подмодуль в порожденный группой U{Kn) и элементом '^/vZ. Таким обра-

зом, V(Kn) 2 U(Kn) и V(Kn)/U(Kn) S щ{Кп) :=< (■„ >, причем последний изоморфизм определен неканонически. Мы часто будем записывать групповую операцию в V(Kn) аддитивно. Отображение ¿-адического логарифма по линейности продолжается с U(Kn) иа V{Kn), и log(V"(.R*n)) является полной решеткой в А'п, т. е. открытым компактным подмодулем.

Если А — некоторая полная решетка в К„, то двойственная решетка определяется условием

Ах = {г е Кп | Sp^/q^z • у) е для всех у е А}.

Таким образом, определена полная решетка (log V(A'„))J-.

Для /3 е Он, где Он — кольцо целых поля Н, и натурального г, взаимно простого с I, положим

т-1

еп{Р, i) = Г" £ С'е'^+Х-т(Р) е А»,

s=0

где 9 — автоморфизм Фробеииуса в поле Кп. В §1.1 доказана

Теорема 1 Пусть А'(Кп) — Ъ[-модулъ в Кп, порожденный всеми элементами

«„(/?, н, ¿2) := <?„(/?, 4)-en{t3,h)

и

г) := вя{ф), i) - <U/3, 0 - /->(/?), где i. t"i, ¿2 — произвольные индексы, взаимно простые с £, и (3 пробегает Оц. Тогда

X(Kn) = (logV(Kn))\

Эта теорема является обобщением на случай произвольного кругового локального шля результатов Ивасавы [5], которые были получены в предположении Я = Q;. Наше доказательство в основном следует идеям Ивасавы.

Пусть а е Он порождает целый нормальный базис поля Н. Пусть М(Кп) — модуль Галуа в Кп, порожденный элементом 0„(а, 1). Следующая теорема дает менее точное, но более простое описание модуля log V(Kn).

Теорема 2 Для любого а е G(Kn/H) справедливо равенство

(а-1)(1о6У(А„)) = (<г-1)(Л4(А'„)х).

В §1.2 рассматривается следующая конструкция: Пусть К^ = jimft^, где предел берется относительно отображений следа. Если х, у € Коо и хп, уп — проекции laji А'п, то, обозначая группу Галуа G(K„/Qe) через G„, мы полагаем

Р» ■■= Тк"Лхп, уп) = £ Sp^/Q^'M • У)1? 6 QА<ЭЛ- (4)

Так определенное произведение хорошо тем, что элементы рп согласованы для различных п., поэтому, переходя к проективному пределу, мы получаем корректно определенный элемент

Ро° := TkZ(x> У) =|!ШР- е :=¡imQ*[G„],

где Goo = G(KX/Qe).

Таким образом, полагая V{Kco) = |imK(.R'„), где предел берется относительно норменных отображений, и определяя очевидным образом вложение log : V(Koo) '-+ Као, мы получаем спаривание

Tt : log V(Kca) х log V{KX) -> Qí[[5m]], (5)

которое заключает в себе информацию о наборе форм Sn для всех п.

Чтобы дать описание спаривания (5), мы поступим следующим образом. Пусть элементы а, /3 Е Оц порождают взаимные целые нормальные базисы поля Н. Мы полагаем вх = limfl„(<*, 1), = jim0„(/3, —1) е Krx¡. Мы вычисляем в явном виде элемент Фя = в'п) £ Q4í?n]- Оказывается,

что элемент Фп обратим в причем обратный элемент Ф"1 можно также

выписать в явном виде. Тогда можно написать в явном виде и два элемента двойственного модуля М(Кп)i, именно, £п = Ф"1^ и = Ф"1^, каждый из которых порождает M(Kn)-L как модуль Галуа, причем

Пусть fa,, = |imf„ и ^ — jimf^. Тогда из теоремы 2 следует, что V(K00) является свободным циклическим С/сю-модулем, и в нем имеются две выделенные образующие r¡х и rf^, которые однозначно определяются условиями (7 - ljlogfa«,) = (7 - l)fco и (7 - l)log(r^) = (7 - 1)^, где 7 — некоторая фиксированная топологическая образующая группы Г = G{KM¡Ко).

Аналогичным образом можно определить для любого п > 0 спаривание

Т* = Тк1 ■■ log V(K°°) х log V(A'oo) — »■ Q<[[r„]],

где Гп —подгруппа группы Г индекса^". Замечательным образом оказывается, что для любого п > 0 (7„ — 1)Фоо £ Q/[[I\i]], где Ф,» = |нпФ„ и 7„ = 7Г. Отсюда вытекает

Теорема 3 Для любого п > 0 сущесгпвуепг произведение

Тп : V(K„) х V(Kco) —»• Л„ := Zt[[Vn}}, (6)

которое является внутренним, то. е. индуцирует изоморфизм

V(Kco) = Нотл„(П^),Л„).

Для любых х, у 6 V(i¿oo) и любого а £ С/«, выполняется соотношение

ТЦстх, cry) = Тп(х, у).

Конструкция Г„ такова. Для х, у е V[Ka,) ш рассматриваем элемент í : = ~ l)logx, logy) 6 Q¿[[l'n]l и Доказываем, что t = (уп - 1)Ф~'А для некоторого Л € Л„, после чего полагаем Т„(:г, у) = А.

Конструкция произведения без труда обобщается также на случай, когда А' — абелево расширение Q<.

Предположим теперь, что К — поле алгебраических чисел, имеющее абе-левы пополнения Кь во всех точках v{£, и Кж — круговое Г-расширение поля К. Тогда, полагая V(KX) = П V(Koo где v пробегает все точки поля Кх,

v\t

лежащие над {, и определяя для г, у 6 V(A"oo) элемент у) £ Л„ формулой

у) = !/")>

«1<

где iv, у„ —локальные компоненты г и у соответственно, Уп,„ — произведение (6) для поля A'oo.v и п выбрано так, чтобы А'оо/А„ было чисто разветвлено во всех точках v\£, мы получаем внутреннее произведение

Тп : У(АГоо) х УСА'«,) —Л„.

Кроме того, для кругового локального поля Кп мы вычисляем явно логарифмы элементов т\п и r¡'n, являющихся проекциями элементов j),» и ij^ соответственно в группу V(Kn).

В §1.3 мы используем произведение Т„, чтобы получить явные формулы для символа норменного вычета в круговом локальном поле Л'„ и его круговом Г-расширении А,со. Именно, для Кп определен символ норменного вычета (символ Гильберта)

К* х к: МКп). (7)

Определяя изоморфизм це(Кп) — Z/-P1 Z, при котором переходит в 1, ограничивая произведение (7) на группу единиц U(Kn) и используя конструкцию формулы (4), мы определяем с помощью символа норменного вычета произведение

< , >„: ЩА'ос) х ЩА'оо) —> Л„,

где U(KX) = |imLr(Кп) и предел берется относительно норменных отображений. Мы доказываем, что после продолжения этого произведения по линейности на К(А'оо), мы получаем внутреннее произведение

<, >n: V{KX) х V(A'oo) —>ЛП. (8)

Произведения (6) и (8) определяют автоморфизм абелевой про-£-группы ф : V(K0о) V(AToo) такой, что < х, у >„= Тп(х, ф(у)) для любых х, у € V{K„,).

Теорема 4 Отображение ф не зависит от п, является косым автоморфизмом модуля Галуa V(K00), т. е. удовлетворяет условию

ф(а(х)) = (9)

-zde-nr^r-Qb5—У-Zi-круговой~характерт--треЗеленнмй^условием^1^,,) =

для всех п. Отображение ф удовлетворяет следующим двум условиям

Ф{17оо) = ?/ос, Ф(ч'оо) =-Чы

каждое из которых совместно с (9) определяет ф однозначно.

Спустимся теперь на конечный уровень. Пусть

U{Kn)° = {хе ЩКп) | Агк„/д,(^) = 1}.

Теорема 5 Для х, у 6 U(Kn)° пусть (I — значение символа (7)на элементах х, у. Пусть х = У = £Усо(г}'п), где а пробегает Qn = G(Kn/Qt) и

ха,у<, 6 ZI. Тогда

t = Y, (mod Г).

тег»

Наконец, отметим, что для поля алгебраических чисел К, содержащего первообразный корень из едилицы степени I (степени 4 при I = 2) и имеющего абелевы пополнения АГ„ для всех точек v\l, мы можем снова определить спаривание

< , >п- V{KX) х V(K„) —+ Л»,

суммируя значения произведений (8) по всем v\t (при этом наличие в поле К со корней из единицы любой ^-примарной степени позволяет нам отождествить кольца Л„ в (8) для всех v\i).

Снова мы имеем отображение ф : V(ft'oo) V(Kco), которое на каждой локальной компоненте совпадает с локальным отображением ф и удовлетворяет соотношению (9) для любого а е G(Kco/Q). Отметим, что само поле К здесь не предполагается абелевым, и мы не накладываем никаких ограничений на локальное поведение К вне £.

В главе 2 мы даем первые приложения наших локальных результатов. Напомним, что в [12] была высказана следующая гипотеза о ¿-адическом регуляторе, усиливающая гипотезу Леопольдта.

Гипотеза о ¿-адическом регуляторе. Пусть е1г ..., ег ■— система основных единиц поля алгебраических чисел к. Пусть Я((к) := <1е(:/1(А:) 6 С}г, где Л(к) = (оч), 1 < г, ] < г и осц = Эр^д^г, • Тогда Щк) ф О для

любого поля алгебраических чисел к.

Здесь мы, используя (2), рассматриваем £; как элементы группы А(к) = П и{кь). Соответственно, их ¿-адические логарифмы определяются покомпонентно и принадлежат алгебре к= П кх,-

Эта гипотеза равносильна утверждению, что отображение (2) и форма (3) индуцируют невырожденную билинейную форму на группе U(k)[(\.

Для расширения полей алгебраических чисел К ¡к пусть и1} ...,ut — базис группы относительных единиц U(K/k). Определим относительный регулятор Rt(K¡k) £ Qí как det А(К/к), где А(К/к) = (o¡j), 1 < i, j < t и <x¡j = SpA7Q(iogu, -loguy).

Слабая гипотеза о í-адическом регуляторе. Пусть krja — круговое Г-расширение поля алгебраических чисел к. Тогда существует индекс п0, зависящий только от поля к и простого £, такой, что R{(km/kn) ф 0 для всех т > п > по-

В §2.1 мы доказываем следующий критерий.

Теорема 6 Пусть К — поле алгебраических чисел такое, что пополнения Kv абелевы для всех v\l. Пусть Vм" (/£„,) — минимальный Т-подмодуль в содержащий группу и(Кх) = |imU(Kn)[i\ и такой, что У(Я00)/У+(А'СО) — Г-модуль без кручения. Пусть V~(KX) определяется как ортогональное дополнение к V/+(A'co) в V(A'X3) произведения Тп для любого достаточно большого п. В этом случае для расширения К-^/К слабая гипотеза о i-адическом регуляторе справедлива тогда и только тогда, козда V^"(A<x> )nV-(A00) = 0. Если Л-ранг модуля V+{K00) П V~(A'oo) равен с, то дм всех достаточно больших п разность между порядком и рангом матрицы А(Кп) равна с£п + к, где к > О не зависит от п.

Этот критерий позволяет доказать слабую гипотезу о £-адическом регуляторе в некоторых частных случаях.

Теорема 7 Пусть К является конечным I-расширением некоторого абелева поля алгебраических чисел к, причем локальные поля Kv абелевы для всех v\L Тогда д^гя расширения К^/К справедлива слабая гипотеза о (-адическом регуляторе. Более того, группа D(K<X) :— V(Aco)/(l/+(A00) + V~(Koa)) конечно порождена над Z/ при i ф2. При 1 — 1 конечно порождена группа 2D(A00).

Доказываются также варианты этой георемы, где абелевость к заменена другими условиями. При доказательстве важную роль играет то обстоятельство, что -ф переводит V+(A'CKJ) в V~{KK).

В §2.2 мы снова рассматриваем конечное ¿-расширение К/к такое, что поля Kv абелевы для всех v\l. Мы предполагаем также, что к содержит первообразный корень степени I из единицы (степени 4 при t = 2). Для кругового Г-расширения к^/к мы определим следующие абелевы t-расширения поля к^. Пусть М — максимальное абелево ^-расширение кх, не разветвленное вне Í. Пусть М — максимальное подполе поля М такое, что группа Галуа G(M/koa) является Г-модулем без кручепия. Пусть N — максимальное неразветвлепное абелево ¿-расширение поля к^и N — максимальное подполе поля N такое, что в iV/fcM вполне распадаются все простые делители I. Мы определяем группы Галуа r,(fcoo) = G(N/k„), Щкт) = G((N п!)/Ц, !?(*«) = G(Nf(N ПМ)) и Я'Цкоо) = G(N¡(N ■ (N П Л!)). Все эти группы являются периодическими Л-модулями. Обозначим их A-инварианты Ивасавы через А(&оо), А'(кх),

и соответственно. Пусть ¿{к— А-инвариант модуля П(к00). Примем

аналогичные обозначения и для поля А'оо.

Теорема 8 Предположим, что для поля к„ группы Те(к^) и 0(кх,) конечно порождены над 1 е (при 1 — 1 мы предполагаем, что группа 20(к00) конечно порождена над Ъ1). Тогда и группы Те(Ксс,), Б{Каа) конечно порождены над 7ц (при £ — 2 группа 2В[Као) конечно порождена над 7ц), и определенные выше \-инварианты для полей к^а и А',» связаны соотношениелг

Л[К„) + 2\'(К„) + 4Л"(А'те) + 4г"{Кх) - 4 = = [К„ :А;00][^00)+2А'(^) + 4А"(А;00)+4г"(А:оо)-4] + 2]Г(е„- 1),

VIII

где V пробегает все точки г](£ поля Коо, е„ — индекс ветвления точки V в расширении Кх/кх.

Отметим, что все предпосылки этой теоремы выполнены в случае, когда к — абелево расширение р.

В главе 3 мы прилагаем наши локальные результаты к исследованию круговых единиц. Пусть Кп = С}^, (п), где щ — группа всех корней из единицы степени с! для (1, взаимно простого с £.

Положим е„(о) = 1 — (¿>1~"1(а)£п, где <р — автоморфизм Фробениуса поля А'„, соответствующий £. Элементы е„(а) согласованы при различных п относительно норменных отображений и, после перехода к проективному пределу, определяют элемент ¿^(а), который при а ф 1 является элементом группы У(А"00), а при а = 1 таковым является только элемент (7 — 1)еоо(1).

Пусть Ясс — ^[^(А^/С})]]. Мы определяем некоторую специальную систему образующих {?/(«■, г)} -модуля У(А'оо), где а € [и и г — натуральное число. Далее, в Д«, (точнее, в поле частных кольца Д,*,) мы определяем элементы Штикельбергера , для /|<1 обычным образом. Пусть : -йоо —^ йоо — автоморфизм кольца Л^ такой, что ш(сг) = к(а)о--1 для всех а € 0(Коа/С1).

Теорема 9 Пусть а £ ^ и а1 = 1 для некоторого д. (возможно, что <5 — с?). Тогда справедливы формулы

/15

/\1

где /л(/) — функция Мёбиуса и т(/) — элемент группы С(КГЮ/такой, что к(т(/)) = /.

Доказательство этой теоремы основано на вычислении логарифмических производных круговых единиц.

В качестве первого следствия мы показываем, что определяемый ниже модуль круговых единиц в смысле Синнотта С(Ксо) совпадает с и;(500)У(А'С0),

где 5оо — идеал Штикельбергера в Д«,. Для d = 1 этот результат был доказан Ивасавой [18], а в [4] было получено доказательство для произвольного кругового поля методом, отличным от нашего.

В качестве другого следствия из теоремы 9 мы даем новый вывод формулы для значения £-адической L-функции Куботы-Леопольдта Li(s, х) в точке s = 1 (при дополнительном условии х{£) !)•

Наконец, в §3.2 мы даем характеризацию С(К(Х) как Г-модуля. Используя результаты Кубера [8, 9] об ординарных универсальных распределениях, мы доказываем, что С(Као) является свободным Г-модулем Эта теорема будет необходима нам в следующей главе.

В главе 4 мы начинаем исследование формул для числа классов вещественных абелевых полей.

Пусть к — вещественное абелево поле с группой классов Cl(fc) и числом классов h. Если к имеет вид к — Q(e< + ej1), т. е. к является максимальным вещественным подполем кругового поля Q(e<), где si — первообразный корень из единицы степени lui — простое число, то еще Куммер доказал, что h равно индексу подгруппы круговых единиц С(к) в группе всех единиц U(k).

Этот результат был обобщен рядом авторов на некоторые другие типы вещественных абелевых полей и другие типы круговых единиц (см. ссылки в [23]). Наиболее важные результаты в этом направлении были получены Синноттом. В [22] он доказал, что в случае, когда к является максимальным вещественным подполем некоторого кругового поля Q(em), т. е. к = Q(em + £„'), справедливо равенство

[Щк) : С'(к)} = 2bh(k). (10)

Здесь С (к) — группа круговых единиц поля к в смысле Синнотта (ниже в этом разделе мы дадим ее определение), а Ъ — неотрицательное целое число, зависящее только от числа g различных простых делителей тп. Именно,

Ь = 0 при <7=1 в b — 23-2 - д + 1 при g > 1. (11)

Синнотт получил также формулу

[U(k) : С{к)] = cÎA(fc), (12)

которая справедлива для любого абелева вещественного поля [23]. В этом случае группа круговых единиц С(к) а доаолнвтелъвый множитель определяются более сложным способом. Доказательство формул (0.1) и (0.3), данное Синноттом, основано на использовании аналитической формулы для числа классов. Поэтому его доказательство ничего не говорит нам о соотношении между двумя абелевыми группами U(k)/C(k) и Cl(fc) даже в случае, когда эти группы имеют одинаковые порядки. Однако, хорошо известно, что в общем случае эти группы не изоморфны. Например, если к — вещественное квадратичное поле, то группа U(k)/C{k) всегда циклическая, в то время как группа Cl(fc) не является циклической в общем случае. Тем пе менее Ж. Гра [2] предположил, что для любого вещественного абелева поля к и любого простого £, взаимно простого со степенью [к : Q], ¿-компоненты групп Cl(fc) и U(k)/C{k) имеют

изоморфные композиционные ряды Жордана-Гельдера. Впервые эта гипотеза была полностью доказана в [24]. Следует отметить, что недавно В. А. Колыва-гин [7] получил относительно простое доказательство этой гипотезы в случае, когда к = С1(ее + с^1).

Наша цель — достичь лучшего понимания взаимосвязи между группами С1 (к) и и(к)/С(к) для произвольного вещественного абелева поля к. В частности, мы получили уточнение формул Синнотта (10) и (12). Чтобы сформулировать наши основные результаты, прежде всего заметим, что мы можем рассматривать только "¿-компоненты" формул (10) и (12) для произвольного по фиксированного простого I. Например, формула (10) эквивалентна утверждению, что для любого простого I порядки ¿-компонент (и(к)/С(к))е и С1(/ф совпадают (с учетом дополнительного множителя 2Ь для 1 = 2). Мы пользуемся чисто ¿-адическими методами, поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что все рассматриваемые поля являются подполями некоторого фиксированного алгебраического замыкания поля рациональных ¿-адических чисел (Зг, а все рассматриваемые характеры принимают значения в С^. Пусть С? = (?(&/С}) и в = б? х С?о > где (7^ — силовская ¿-подгруппа группы С, а порядок группы Со взаимно прост с I. Пусть ^-некоторый (¡^-неприводимый характер группы во-Тогда для любого ZДG]-мoдyля А имеется разложение А = ф Аг, где (/> пробеге»

гает множество Ф всех <3^-неприводимых характеров (7о и А^ совпадает с е^А, где е^ — пдемпотенг, соответствующий ¡р. Через ¡ра мы обозначим тривиальный характер группы йо. Для любой конечно порожденной абелевой группы В через ВЦ] мы обозначаем про-£-пополнение В. Мы доказываем следующие результаты

Теорема 10 Пусть к —максимальное вещественное подполе некоторого кругового по.гя С£(еот). Тогда для любого простого £ и любого характера € Ф справедливо равенство

= С{Щи = ЦСЩгЛ, (13)

где

II при £ ф 2, 1 при £ = 2 и ср ^ <¿>0, 2Ь при I = 2 и (р = <Ро ,

а Ъ задается формулой (11).

Теорема 11 Пусть к произвольное вещественное абелево поле. Тогда для любого простого £ и любого </? € Ф справедливо равенство

[Щк)Щ^.С{к)[£и=сис\{к)^\ (14)

с некоторым рациональным , причем определение множителя которое будет дано ниже, не зависит явно от арифметики поля к.

Позже мы покажем, что ¿1 в некотором естественном смысле можно рассматривать как (^-компоненту константы Синнотта с^. Поэтому (13) и (14) можно

рассматривать как уточнение формул (10) и (12). Отметим, что гипотеза Гра эквивалентна утверждению, что для й ~ С?о имеет место равенство

[и(к)[£Ь : С(к)[гу - \с\(к)^\.

Таким образом, мы можем рассматривать теоремы 10 и 11 как обобщение гипотезы Гра.

Оказывается, что теория Ивасавы является основным инструментом, позволяющим доказать эти теоремы и некоторые другие связанные с ними результате

ты. Эта теория имеет дело с круговым Zf-pacшиpeпиeм кас = [к„ : к] = Iй

п=0

заданного поля к — к0, где £ — некоторое фиксированное простое число. Для любого такого расширения определен модуль Тэйта, (модуль Ивасавы) Тг(&со), который можно определить также как |ппС1(А:г,)5,<. Здесь С1(А:„) совпадает с группой классов поля кп, С1(/г„).5 обозначает факторгруппу группы С1(£п) по подгруппе, порожденной всеми простыми дивизорами у 6 5, где 5 — множество всех точек поля, лежащих над индекс I означает переход к ¿-компоненте, и проективный предел берется относительно норменных отображений. Глобальная теория полей классов позволяет нам интерпретировать 7/(&оо) как группу Галуа максимального абелева неразветвленного ¿-расширения Л^ поля такого, что все точки поля ка0, лежащие над С, вполне распадаются в №оэ/коо. Группа Галуа Т^коо) = С^ооДоо) является абелевой про-/-грундой и Т-модулем относительно действия группы Г = С(кх>/к) = %1. Рассмотрим группу Г<(А:оо)(0) = 2/(£оо)/(7 — 1), где 7 — некоторая фиксированная топологическая образующая группы Г. Группу Т((км)(0) можно интерпретировать как группу Галуа ¿'(Л^/Ягоо), где — максимальное подполе шля ЛГоо абелево над к. Хорошо известно, что гипотеза Леопольдта справедлива для любого вещественного абелева поля, поэтому Т^к^уа) является конечной абелевой I-группой.

Первым основным результатом главы 4 является некоторая индексформу-ла, дающая порядок групп 2"<(&оо)(о) и 2^(Агоо){о),^ Для любого ¡р £ Ф.

Теорема 12 Для любого вещественного абелева поля к и любого <р Е Ф справедливы равенства

|2К*о.)(0)| = : Св(*)]> (15)

№(*оо)<о).Л = [&(*), : СвШ, (16)

Здесь и${к) означает некоторую модифицированную группу единиц, а С$(к) означает некоторую модифицированную группу круговых единиц. Полное определение этих групп будет приведено ниже.

Заметим, что формулировка теоремы 12 не содержит никаких дополнительных множителей. Мы докажем теорему 12 с помощью теории Ивасавы, а затем выведем теоремы 10 и 11 из теоремы 12.

Теперь мы дадим полное определение групп ¡/¡(к) и С$(к). напомним, что для произвольного поля к к* — мультипликативная группа поля к, к) — группа всех корней из единицы в к и у-г(к) означает ¿-компоненту группы

к). Для поля алгебраических чисел к пусть к„ означает и-пополиенне к относительно некоторой точки ъ<\1. Тогда мы положим В(ку) := (к'/ц{к))Щ и В(к) := Л В(къ). Если ка0г„ является круговым Zг-pacшиpeниeм то мы определим Н[кх.) как подгруппу всех универсальных норм в группе В(к„) относительно расширения ксо^/ку, т. е.

н(К) = П я^/кМК*)-

4=1

Положим

И(к) := П Н(К).

Тогда из локальной теории полей классов следует, что группа Н(ку) (соответственно Н(к)) является свободным й^-модулем ранга [ку : С2г] (соответственно ранга [?с : С}]).

Для абелева поля к обозначим через {/^(Ь) группу ^-единиц поля к, где 5 было определено выше. Положим (/¿-(А;) = #$(&)//¿(&), 17(к) = и(к)/р,(к). Поскольку гипотеза Леопольдта справедлива для поля к, естественное отображение В(к) инъективно, поэтому мы можем рассматривать ¿7$(&)[£] как подгруппу группы В(к). Положим

03(к) :=и3(к){£]ПН(к).

Мы можем считать, что йз(к) — это подгруппа группы состоящая из

всех локальных универсальных норм из поля к

Чтобы определить для абелева поля к группу круговых ¿'-единиц Св{к), мы заметим, что к является подполем некоторого кругового поля К = (3(е„,). Мы можем предположить, что К содержит первообразный корень из единицы степени £ (К содержит •/—Г при ( = 2). Тогда любое промежуточное подполе А'„ кругового г^-расширения Ко,/К тоже будет круговым.

Пусть Р(Кп) — группа круговых чисел в смысле Синнотта [22], т. е. Р{Кп) — подгруппа группы К*, порожденная всеми числами вида 1 — е, е € /г(Кп), е ф 1. Тогда Синнотт определяет круговые единицы поля Кп формулой С(А'„) := Р(Кп) П и{Кп), где 11(Кп) — группа единиц поля Кп. Положим

С(А'„) :=$т(С(*,)/р(А'„)М). и5(К00) :=|1т(175(А'„)М)

и _

где все проективные пределы берутся относительно норменных отображений. Мы рассматриваем С(К0о) как подгруппу группы Л(А'оо) := МтВ(К'п) = НтН{Кп). Мы определим группы из(ка,) и Н(кса) аналогичным образом. Естественное вложение к^ С Ксо индуцирует вложения Н(к<Х1) С Я(А'00), и3(кх) С й^К«,). Пусть

Положим

Cs(k0о) := {г € Я(£») ! (in - 1)г 6 С(^оо) при некотором натуральном п },

где 7„ = 7*", и _

Cs(*oo) = Cs(fcOT) n J7s(fe»).

Имеется естественная проекция

7Г : Fs(kM) —> Usim], (W

и очевидно, что Im7r С Us(k). Мы определим S-круговые единицы поля к формулой

Cs(k) := *(Cs(k«,)) С &(*).

Отметим, что все определенные нами группы являются модулями Галуа. Более того, группы Я(А'оо), Us(Koo), С(К„)и т. д. имеют естественное строение модулей, где R:= limZ/[G(A'„/Q)] — пополненное групповое кольцо группы Галуа Geo := G(A'oo/Q). Существует естественное разложение в прямое произведение G(A'co/Q) = Г х V, где Г = G(Q„/Q) и V = G{E/Q), ^-максимальное подполе поля А', кондуктор которого ие делится на (не делится на £3 при £ = 2). Мы имеем R= A[V], где Л = Z<[{rj] S |пп[Г/Гп] и Г„ — единственная подгруппа группы Г индекса С1. Зафиксировав топологическую образующую 7 6 Г, мы получаем изоморфизм Л = Zî[[T]], 7 -v 1 + Г, где Z;[[r]] — кольцо формальных степенных рядов от одной переменной Т над Z*.

В §4.1 мы рассматриваем характеристические ряды конечно порожденных Л-периодических R^-модулей А. В случае, когда А свободен над 7ц, мы получаем формулу, выражающую порядок |^(oj — ® терминах характеристических рядов Л, где H — некоторая подгруппа группы V. Затем мы даем описание характеристических рядов Д^-модуля >1(А00)/С(А0С), где Л(Асо) := ^тА(Кп) и А(Кп) := П ЩК«.«), ЩКп,») = U(KniV)/n(k\„). Мы

v\l

показываем, что рассматриваемые характеристические ряды тесно связаны с так называемыми рядами Ивасавы.

В оставшейся части параграфа мы продолжаем вычисление характеристических рядов. Пусть Ti(A'00)+ — максимальная подгруппа группы Г<(А'оо), неподвижная относительно действия автоморфизма комплексного сопряжения. Положим U(K0о) = |нпС/(А'п)И. Мы доказываем, что модули Ti(Kx,)+ и f/(A'00)/C(A'00) имеют одинаковые характеристические ряды для любого четного характера группы V. Доказательство основывается на так называемой "основной гипотезе теории Ивасавы'' [4, 19, 24], а также на некоторых теоремах двойственности, полученных автором в [11]. Затем мы обобщаем этот результат на случай произвольного абелева числового поля к и его кругового Z^-распшрепия kœ.

В §4.2 мы доказываем теорему 12 введения. Коротко говоря, если к — вещественное абелево поле, то существует точная последовательность

О —>Р —► Щк^) —> R —у 0, (18)

где Р — максимальный конечный подмодуль модуля Т((к00) и модуль Л свободен над 7ц. Мы полунаем из (18), что

|Т,(*оо)(о,,„| = \Р(а),„\ ■ (19)

для любого С другой стороны, обозначая через (/¡(к) образ тт (Сг$(кх)) в формуле (0.8), мы получаем вложения С [/¡(к) С Оз(к). Таким образом, мы имеем

IОзШСа(к),\ = [&(*)„ : Щ(к)Л ■ : С$Ш (20)

для любого <р € Ф. Используя характеристические ряды, мы доказываем что

IЩ(к)« : СвШ = (21)

для любого 1р.

В [10, предложение 7.5] было доказано существование естественного изоморфизма

и3{к)/и-£(к) й 7>(МГ- (22)

Мы даем короткое независимое доказательство (22). Тогда теорема 12 непосредственно следует из (19), (20), (21) и (22).

Чтобы вывести теоремы 10 и 11 из теоремы 12, нам необходима некоторая модификация теоремы 12. Пусть ц означает ¿-адический показатель в С^, нормализованный так, чтобы выполнялось условие ц(() — 1. В §4.3 нами доказывается

Теорема 13 Для любого вещественного абелева поля к и любого характера убФ справедливо равенство

Ч (|2ХМ(0)„О = : Ык).]-1^ П 5^(1. X) , (23)

V 1

где х пробегает все нетривиальные одномерные характеры группы С = С(к/(^) такие, что ограничение х\ва входит в <р, — некоторый множитель, определенный явно, а ¿¿(з, х) означает ¿-одическую Ь-функцию Куботы-Леопольдта [6].

Отметим, что справедливо равенство

[&(*)„ ■■ Са(Ь)„1 = [#(*)» : баМЛ-1 [#(*)*> : Сз(к%],

поэтому единственное отличие данной ситуация от ситуации теоремы 12 состоит в том, что мы даем явную формулу для индекса [Н{к: Эта формула получена нами из рассмотрения характеристических рядов модуля Н(к00)/Сз(к00). Эти ряды тесно связаны с рядами Ивасавы. Отметим, что открытая Ивасавой [6] связь между рядами Ивасавы и ¿-адическими функциями объясняет, почему (23) содержит значения функции ¿<(1, х)-

В главе 5 мы используем полученные результаты для доказательства теорем 10, 11.

В §5.1 мы доказываем один результат, который можно рассматривать как уточнение теоремы Хассе о дискриминанте и ведущем модуле. Для абелева поля алгебраических чисел к рассмотрим алгебру Галуа Аь = Пусть

И* — максимальный порядок алгебры А;,. Естественное вложение к <—> А* индуцирует вложение а. О к"-* Щ, где Ок — кольцо целых поля к. Положим О), -- О ■ а{<Эк) С jR.it, где О — кольцо целых поля С^.

Теорема 14 Для любого <р £ Ф справедливо равенство

\*Т» /

где (А : В) означает обобщенный индекс в смысле Синнотта [22], а — гауссова сумма, соответствующая характеру \ —

В §5.2 мы вычисляем некоторые индексы единиц. Пусть к — вещественное абелево поле и G = G(fc/Q). Как и в [22], для 2Д(?]-модуля А свободного над Zi мы полагаем

Ао — {х & А \ SpG(a:) = 0},

где SpG — отображение следа относительно группы G. Мы доказываем, что для любого

¿JJXfcooW = H(fc)o,y = tr(fc)Wyi

\Cl(k)t,v\ \H(k)v:Us(k)v} ' 1 ;

где sv = 0 при ip ф ¡¿о и s^ — некоторая простая и явно вычислимая константа.

Пусть Log : U(k)[£\ At — композиция отображений log : t/(fc)[i] fc®qQf, индуцированного отображением ¿-адического логарифма, и естественного вложения ^ \к = k®QQe. Положим U(k) = О ■ Log(t/(fc)[£]). Следующая теорема может рассматриваться как ¿-адическая аналитическая формула для числа классов некоторой (^-компоненты ¿-группы классов.

Теорема 15 Для произвольного вещественного абелева поля к и любого характера tp с Ф справедливо равенство

f<(|Cl (k)eJ) = i>t

хб о I

где

a mod Зх

fx — кондуктор х! sx — первообразный корень из единицы степени fx и log означает I-одический логарифм.

Отметим, что индекс ■' 0{.к)<г) можно интерпретировать как (^-компо-

ненту ¿-адического регулятора поля к.

Мы выводим теорему 15 из теорем 13 и 14 и из (24). Затем, используя метод Синнотта, мы получаем "абстрактпую индексформулу". Эта формула выражает порядок в терминах индекса [{/((с)М«> '■ Сь,*,], где группа круговых единиц Ск определяется аксиоматически.

В §5.3 мы, используя аргументы Синнотта, даем доказательство теоремы

10.

В §5.4 мы доказываем теорему 11. Затем мы доказываем формулу для числа классов еще одного типа. Эта формула содержит модифицированную группу круговых единиц и модифицированные константы с^. В некоторых частных случаях удается явно вычислить эти модифицированные константы, что приводит к нетривиальным сравнениям для числа классов некоторых вещественных абелевых полей. Отметим, что похожие (и даже более сильные) результаты были получены Корнеллом [1] с помощью теории родов.

В заключение мы даем некоторые замечания к нашим результатам и формулируем ряд открытых проблем.

Выводы.

Выполненное исследование показало, что для любого конечного кругового расширения К поля С^ и его кругового й^-расширения Кна модуле У(А'со) существует произведение Т. являющееся совершенной двойственностью.

Использование произведения Т позволяет доказать ряд новых важных результатов в арифметике круговых йг-расширений локальных и глобальных полей. Среди них отметим явное описание группы логарифмов единиц кругового локального поля, явные формулы для символа Гильберта и теорему о круговых единицах, уточняющую теорему Ивасавы.

Используя эти результаты, мы получили доказательство слабой гипотезы о ¿-адическом регуляторе для некоторых типов полей, а также получили ряд важных индексформул для числа классов вещественных абелевых полей, проясняющих связь между группой классов и круговыми единицами. Доказана справедливость обобщенной гипотезы Гра для произвольного вещественного абелева поля.

Литература

[1] G. Cornell, Exponential growth of the ^-rank of the class group of the maximal real subfield of cyclotomic fields//Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) 8 (1983), no. 1, 55-58.

[2] G.Gras, Classes d'idéaux des corps abélienn et nombres de Bernoulli généralisés//Ann. Inst. Fourier 27 (1977), 1-66.

[3] R.Greenberg, On the Iwasawa invariants of totally real number fields//Amer. J. Math. 98 (1976), N1, 263-284.

[4] C. Greither, Class groups of abelian fields, and the main conjecture//Ann. Inst. Fourier 42 (1992) 449-499.

[5] K. Iwasawa, On some modules in the theory of cyclotomic fields//J. Math. Soc. Japan. 20 (1964), 42-82.

[6] K.lviasawa, Lectures on p-adic /^functions. Princeton: Princeton Univ. Press and Univ. of Tokyo Press. 1972.

[7] V. A. Kolyvagin, Euler systems//The Grothendieck Festschrift, vol. 2. 435-483, Birkhäuser Verlag 1990.

[8] D.S.Kubert, The universal ordinary distribution//Bull. Soc. math. France, 107 1979, 179-202.

[9] D.S.Kubert, The Z/2Z cohomology of the universal ordinary distribution//Bull. Soc. math. France, 107 1979, 203-224.

[10] Л. В. Кузьмин, Модуль Тэйта полей алгебраических чисел//Изв. АН СССР. Сер. матем. 36 (1972), 267-327.

[11] Л. В. Кузьмин, Некоторые теоремы двойственности для круговых Г-расширений полей алгебраических чисел СМ-типа//Изв. АН СССР. Сер. матем. 43 (1979), 483-546.

[12] Л. В. Кузьмин, Некоторые замечания о ¿-адической теореме Дирихле и ¿-адическом регуляторе//Изв. АН СССР. Сер. матем. 45 (1981), 1203-1240.

[13] Л. В. Кузьмин, Некоторые замечания о {-адическом регуляторе. II//Изв. АН СССР. Сер. матем. 53 (1989), 782-813.

[14] Л. В. Кузьмин, Аналог формулы Римана-Гурвица для одного типа I-расширений полей алгебраических чисел//Изв. АН СССР. Сер. матем. 54 (1990), 316-338.

[15] Л. В. Кузьмин, Новые явные формулы для символа норменного вычета и их приложения//Изв. АН СССР. Сер. матем. 54 (1990), 1196-1228.

[16] Л. В. Кузьмин, Некоторые явные вычисления в локальных и глобальных круговых полях//Труды Математического института РАН, 208 1995, 202223.

[17] Л. В. Кузьмин, О формулах для числа классов вещественных абелевых полей//Изв. РАН. Сер. матем. 60, №4, (1996), 43-110.

[18] S.Lang, Cyclotomic fields I, II, combined 2-nd edition Grad. Texts in Math. 121 Springer-Verlag, New York, 1990.

[19] В.Магит, A. Wiles, Class fields of abelian extensions of Q//Invent. math. 76 (1984), 179-330.

[20] K. Rubin, Global units and ideal class groups//Invent. math. 89 (1987), 107134.

[21] S. Sen, On explicit reciprocity laws//J. reine und angew. Math. 313 (1980), 1-26.

[22] W.Sinnott, On the Stickelberger ideal and the circular units of a cyclotomic field//Ann. of Math.108 (1978), 107-134.

[23] W.Sinnott, On the Stickelberger idéal and the circulai units of an abelian field//Invent. math. 62 (1980), 181-234.

[24] A.Wiles, The Iwasawa conjecture for totally real fields//Ana. of Math. 131 (1990), 493-540.

Работы по теме диссертации.

1. Л. В. Кузьмин, Некоторые замечания о Z-адическом регуляторе. II//Изв. АН СССР. Сер. магем. 53 (1989), 782-813.

2. Л. В. Кузьмин, Аналог формулы Риыана-Гурвица для одного типа I-расширений полей алгебраических чисел//Изв. АН СССР. Сер. матем. 54 (1990), 316-338.

3. Л. В. Кузьмин, Новые явные формулы для символа норменного вычета и их приложения//Изв. АН СССР. Сер. матем. 54 (1990), 1196-1228.

4. Л. В. Кузьмин, Некоторые явные вычисления в локальных и глобальных круговых полях//Труды Математического института РАН, 208 1995, 202223.

5. Л. В. Кузьмин, О формулах для числа классов вещественных абелевых полей//Изв. РАН. Сер. матем. 60, №4, (1996), 43-110.