Свойства решений и спектра сингулярного уравнения Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Муртазин, Хайрулла Хабибуллович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1993
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и Р Г бордтО Друдового Красного Знамени государственный университет имени И.В.Ломоносова
' 1 Oil! !ЭЭЗ
На правах рукописи
М/РТАЗИН ХАЛРША ХАБИБУЛЛОВИЧ
СВОЛСШ РЕИЕМ! И СПЖГРА СИНГУЛЯРНОГО
/РАВНЕНИЯ ПРКИНГЕРА '• (0I.UI.U2 - дифференциальные уравнения)
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 1993
Работа выполнена на математическом факультете Башкир-ркого гооуниверскгетв имени 40-летия Октября.
■ Официальные оппоненты: доктор 'физико-математических наук, '•: профессор Ю.Н.ДнестровскЛ,
доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН В.А.Ильин, доктор физико-математических наук, .' профессор, член корр. HAH Казахстана М.О.Отелбаев
ВеДуиая организация; Московский инженерно-физически!
институт ' ^
Ващита'дисоертации состоится п-' " А^Я^АА 199?г.' ' я 15 чао. 30 мин. на заседании Специализированного совета < Д.053,.05.37 при Иосковоком универоитете имени Ц.ВЛомоносова по адресу: 119699, г. Москва, Ленинские го.ры, МГУ, 2 учебнЦ» кррпуо, факультет вычислительной математики и кибернетику, ! ауд. 685
. 1
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета щт МГУ. • \ I • Автотоферат разоолак "_ "_199 г, .
Ученый оекретарь Специализированного оовета •
• О/,
профессор / ЫСЧхих/ Е«и,Моиоевв
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ
Актуальность теки. Задачи квантовой механики, квантовой химии ядерной физики, акустики и теории дифференциальных урапнешШ приводят к необходимости изучать свойства решений и спектр стационарного уравнения Шредингера. В работах А. Я. Повэнера, 3!. Г.. Фадеева, Т. Икебе, Д. М. Уйчуса, С. Куроды, Т. Кзто и других авторов была установлена прямая связь теории рассеяния й спектрального разложения оператора Кродингера. Выяснилось, что для построения полной теории двухчастичного рассеяния (включая и обратную задачу) является актуальным вопрос об отсутствии положительных особенностей резольвента оператора Шредингера. Далее С. Агмоп (1971, 1975 гг.) и В. Унес. (1978 г.) показали, что для довольно широкого класса неограниченных потенциалов положительными особенностями резольвенты могут-быть лишь собственные значения коночной кратности, которые не накапливаются на интервале (0,«з)', При этой остался нерешенным вопрос об отсутствии строго положитель- ■ ных собственных значений. В одном частном случае, когда потенциал ^^удовлетворяет условиям теоремы единственности Е. ХаЯнца
(1955 г.5 и £¿/711x1 IО , положительный ответ на этот вопрос
Ш->0 ,
дает известная теорема Т. Като (1559 г.). Кроме того, для потенциалов класса Рольника, который часто используется в литературе то теории рассеяния, оставался невыясненным вопрос о природе по-мжитзлышх особенностей резольвенты. Било лишь известно, что >ни образуют ограниченное множество лебеговой меры нульч Что^ кажется многочастичного гамильтониана, то для него хорошо изучено только местоположение непрерывного спектра. Дискретный спектр
исследован менее детально, хотя для приложений к задачам ядерной физики, квантовой механики и квантовой хи^ии важнее знание свойств дискретного спектра. В работах Т. Като, Г. М. Лислияе, Б. Саймона, д. Утиямы, Д. Р. Яфаева и других авторов были уста-' новлены некоторые достаточные условия конечности или бесконечности дискретного спектра. Асимптотическую оценку установил Б. Саймон (19,77 г.) лишь в одном частном случае, когда граница не- • прерывного спектра определяется единственной устойчивой подсистемой (например, этим свойством не обладают гамильтонианы иного-злектронньгх атомов). Спектральные свойства несамосопряженных операторов изучались в известных работах М. А. Наймарка, В. Э. Лян-цо, Н. Данфорда и Дж. Шварца и многих других авторов. Однако ряд важных свойств несамосопряженных операторов оставался мало изученным. К ним следует отнести вопросы ограниченности спектральных проекторов, сходимости спектральных разложений, распределения особенностей резольвента и разрешимости обратной задачи рассеяния.
. Цель работы. I. Исследование асимптотических свойств решений уравнения Шредингера с неограниченными потенциалами.
2, Нахождение условий конечности или отсутствия положительных собственных значений оператора Шредингера, а также - условий отсутствия полодительных особенностей решения задачи теории рассеяния.
.3, Нахождение асимптотических формул для дискретного спектра ^ -частичного оператора и установление формул зависимости меж-чу спектрами оператора Средингера и соотватсгвуюпего ему интегрального уравнения.
йсслодование спектральных проекторов, особенностей резоль-
венты и задачи рассеяния для несамосопряжешшх уравнений.
Научная новизна. I. Дальнейшее развитие методов априорных оценок, естественных зля эллиптических уравнений.
2. Найден метод регуляризации однородного интегрального уравнения Липпмана-Швингера.
3. Найдена техника доказательства отсутствия ненулевых особенностей решения задачи теории рассеяния.
4. Для ft-частичного оператора Шредингера предложена методика изучения точечного спектра, основанная на'исследовании поведения собственных значений интегрального оператора, отвечающего за точечный спектр. .
5. Дальнейшее развитие техники исследования свойств несамосопряженных операторов, определенное продвижение в исследовании задачи рассеяния для аналитических потенциалов.
Методика исследования. Методы априорных оценок чля эллиптических уравнений, теории возмущений линейных операторов и комплексного анализа.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений, в ядерной физике, КЕантовой механике и квантовой химии.
Апробация работы. Результаты работа докладывались на ВсосовЗг-ном симпозиуме по теории, аппрокс :маций функций в комплексной области (Уфа, i960 г.), на U Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Челябинск, 1986 г'.), на Всесоюзном симпозиуме по теории приближения функций (Уфа, 1987 r.)j 'на Jf/I школе по теории операторов в функциональных пространствах " (Тамбов, IS87 г.), на и Воронежской зимней математической шко- ' лв (Воронеж, 1?87 г.), в университете Мартина Литера (Галле, ГДР, IS85 г.) и в различные годи - па научных семинарах Hockcbckq-
го, Горьковского и Казахского университетов.
Публикации-. Результата диссертации опубликованы в работах (I - 1в] . Часть результатов глав I и II включена в книгу я) .
Объем работы. Диссертация состоит из введения/ трех глав, разбитых на'15 параграфов и списка литературы, содержащего 102 наименования. Нумерация определений и утверждений единая и сплошная в каждом параграфе. В конце каждой главы даны примечаний, содержащие краткий обзор литературы, имеющей отношение к вопросам, рассмотренным 9 диссертации.. Диссертация изложена на 197 страницах.
ОСНОВШЕ РЕЗОЬТАШ ДИССЕРТАЦИИ
■ Во введении дается, краткий обзор литературы но теме диссертации и приводятся основные результаты.
В главе I изучаются гладкость и асимптотические свойства решений уравнения Ярадингера. Основным инструментом здесь являются техника теории уравнений типа Фредгольма и различеые тонкие априорные оценки, естественные для эллиптических, уравнений.
В .§ I изучаются условия локальной ограниченности и гладкости обобщенного реше.ния уравнения Шредингера с неограниченным потенциалом. Полученная здесь теорема 1.1 позволяет применять традиционные методы для проверки самосопряженности широкого класса полу-ограниченних операторов Шредингера с сингулярными потенциалами. В таореме 1.7 дается обобщение на случай комплекснозначного потенциала.
В § 2 развивается техника априорных оценок для анализа асимптотического поведении произвольного локально ограниченного решения
уравнения - Основной результат § 2 -
Теорема 2.1. Пусть комплекснозначная функция в л , та-
кая, что . где Лг- Kr/o), tc > О, KXJ {z! /*/* ^
причем
при txl>Z* , где
ива:кт.ы дифференцируемая функция, такая, что ^ 'f Допустим, что L. /Slijfapll - обобщенное решениэ уравнения - ДУ+Vt(тО Тогда при t-^oo справедлива альтернатива:
15 либ° ¡¡тгЦУу» /> (г) fib £хр и/тм I, . 2) ЛКб°/ iUizJtch= Pjr) it) пр (-фШК
где /'/=г Lnf pefi) >о , ■ juf> Рг(г) г -о
Далее в теореме 2.4 доказывается, что роиение, удовлетворяющее условии 2), допускает оценку п-l Ы %
которая является^птимальной.
В S Э получены результаты, иосящие характер теорем единственности. Пусть Jf - оператор умножения на функцию > Но оператор в
с область» определения
оператор
умножения на Функцию
где Wfz)- Wff) при
hi
9t и
при ■
Теорема 3.1. Пусть есть решение уравнения
в области -П-, , причем
Дб£ , где Z-t7 Л -ограничена-на и
^ iJ4iw(h,(Ha<iylU= о ■ с*)
Л.
Допустим, что прл каждом ¿V О . Тогда О на
Теорема 3.4. Пусть ¡4/. /^1,есть решение уравнения (I) ПрИ^
Я > О , причем -а э к,о; 1 ■
Где //„-ограничен, а при П>
сэ)
Предположим, что
для каждого -Г'? С1 . Гогча И^О на К\£хо • Аналогичное утверждение справедливо также и при А - О , если
X Ч
. Отметим, что теорема 3.4 хорошо согдасуется с известным примером Вигнера-Фон Неймана, который показивает, что существует операторы Шредингера с потенииалами вида
для которых положительный точечный спектр есть непустое множество. Далее в теореме 3.2 и предложении 3.3 в качестве приложений даются существенные усиления известных теорем единственности продолжения решений уравнения Шредингера, снимавшие ограничения на множество точек разрыва потенциала.
Б § 4 для доказательства отсутствия квадратичного интегрируемых решений уравнения (I) при А>0 развивается метод регуляризации однородного уравнения Липпмана-Ивингера
(К-Ио)уи ^ О, (4)
где . Суть этого метода заключается в следующем.
Допустим, что
, где
1V -Но
-компактен,
- решение уравнения (I). Тогда для преобразования Фурье имеем ^откуда следует, что в
Построим оператор
> гдеС? (с/ость оператор
с фиксированно/ функцией
такой, что
О(т)-/ I некоторой окрестности точки /Я . Ясно, что для доста-
точно большого фиксированного иФщт, пь
• Следовательно, ^
Поэтому уравнение (4) можно заменить регуляризоьаннцм уравнением
Основное свойство уравнения (5) деет лемма 4<4,которая утверждает, что для всех И>С и /»^^оператор.Х
Из теоремы 3.4 и'Леммы 4.4 получаем основное утверждение § 4 -
Теорема 4.1. Пусть Ч'-Х'У/^Х.) , где "И/' - Л -компактная (вообще говоря,: коыплекснозначная ) функция в
Тогда в
¿ж;
оператор -А + V -на имеет строго положительных собственных значений. Такое не утверждение Еорно также и при если дополнительно известно, что ^¡1 ШШо^} 'Ц-^О при ^ ■*■ <=*> .
В главе II изучаются спектральные свойства самосопряженных операторов Шредингера.
В § 5 метод регуляризации параграфа 4 применяется для доказательства абсолютной непрерывности положительного спектра оператора с потенциалом вида , где - На -компактна в ¡¡(О?) и при ЛХЗ выполняется условие вида (У),/(2.) > О - суммируется функция (теорема 5.1). ^ В § 6 изучается оператор
, гдеНлг оператор задачи Дирихле в области
Ф.ш): У}з
где У - измеримое подмножество единичной сферы , %>/и/)- 'пв-отрицательная измеримая функция на Л .В теореме 6.2 и предло-' женин 6.4 доказывается, что положительный спектр оператора с потенциалом Ъ>т№), где £>0 , аТ- И^- ограничен,
Абсолютно непрерывен. Попутно даны оценки резольвента в весовых пространствах в зависимости от спектрального параметра.
В § 7 изучается оператор с вещественным потен-
циалом из класса Рольника (2 \y-tf f'YMVfy)<£- ¿{Я') Этот класс потенциалов удобен тем, что для них исследование уравнения задачи теории рассеяния
. »¿Л., , ] , ¿Д (*,<#)
■' f^'lhdfi «
сводится к изучению уравнения с оператором ГцЛьберта-^ыидта, если ввести функцию ^(яД
Основным достижением этого параграфа являются теоремы 7.1 и 7.2, которые утверждают, что положительными особенностями резольвенты могут бить лишь собственные значения конечной общей кратности, причем решение задачи (6) не имеет особенностей в точках, соответствующих точечному спектру. Далее в теореме 7.4 и в предложениях 7.-5 и 7.7 эти утверждения .'обобщаются на потенциалы, удовлетворяющие условию Б § 8 изучается оператор
. Основным
утверждением,является теорема 6.3, которая утверждает, что если
при некотором , то оператор Но '' V имеет не более чем конечной число положительных собственных значений конечной общей кратности.
§§9-11 объединяет одна общая идея. Это - сведение спектральной задачи LU^^tf на точечный спектр оператора L к исследований поведения собственного значения интегрального оператора №). , соответствующего этой задаче, в окрестности прямой Гг-i
В § 9 предложен метод портроеиия самосопряженного интегрального уравнения d(i)U-U, решение которого одновременно является решением задачи на точечный спектр, расположенный на непрерывном спектре изучаемого оператора, для примера взят оператор
liflx) - + + -{(u)tf(x).
в пространстве úm , где P есть лолуограпиченны! снизу самосопряженный оператор с дискретным спектром во вспомогательном сепарабельиом гильбертовом пространстве £г .УМ есть самосопряженная оператор-функция в <S .В теореме У.1 показывается, что если
- постоянные, то точечный спектр оператора L состоит из собственных значений конечной кратности и не имеет конечной предельных точек. Отмечено, что отот результат является оптимальным и на укладывается в традиционные рамки методов интегральных уравнений. Кроме того, этим методом может быть исследована часть точечного спектра ft -Частичного оператора, поскольку межчу способами построения оператора в У и 10 нет принципиального различия.
В Ю - II развит единообразный способ изучения дискретного спектра // -частичного оператора Шредингера, -основанный на использовании монотонности собственных значений интегрального оператора Mi), соответствующего уравнении Шредингера.
) рассмотрим оператор Н^ - íf-(^-"^j)^ где - лапласиан по переменной ,Vc (%} - вещественные
Д -компактные функции в № . Внутренний гамильтониан возникает из тензорного разложения, ГДв 'tf
оператор кинетической энергии движения центра масс системы yV частиц. Каждому кластерному разбиению множества f
на два непустых подмножества сопоставляется оператор H<¡¡~На^УсК) где Ц -
- оператор потенциальной энергии кластера Ск • Оператор представляется в виде где внутренний гамильтониан клаптв-'
pa U оператор в = ^"fój
- масса кластера . Известно, что W2С ~ /п^п. «?<г.
ГД9 ^г ¿»/67/Уд ) и минимум берется по всевозможным кластерным разбиением. Разбиение (X называется определяющем, если£)-2°, и -• устойчивым, если
В ^ 10 изучается случай, когда вое определяющие разоиения устойчивы. Геометрическим методом строится система интегральных уравнений )эквивалентная уравнению шредингера ■Основное свойство оператора ^/^/заключается в том, что его соос-твенные значения монотонно растут после пересечения прямой Этот факт в предложении 10.'/.позволяет доказать, что (¿(^»Н)^ ^ , где - характеристическая функция
дискретного спектра,
- количество соостванных значений оператора $1) , расположенных правев точки А-1 и пронумерованных с учетом кратностей. Пусть , > . ^ . , тГ<АгГ {Г
где - совокупность переменных, на которые действует оператор /Уд, > •Д. - вещественная нормированная собственная функция опе-• ратора , соответствующая собственному значению 2» , <¡¡0. & * - переменная, на которую действует оператор Та, . Основным результатом § 10, относящемся к дискретному спектру без учета симметрия гамильтониана, является
'Георама Ю.8.-Найдутоя постоянные ё>0 / /2С
и положительная функция *) , такие, что при ^
выполняется неравенство , _.. гр С1)\. п
а, а^г» '
* > "5 -
Далее в теоремах 10.10 и 10.18 получены оценки дискретного спектра в инвариантных подпространствах фиксированной симметрии, аналогичные оценким из георемы 10.8
§ II посвящен установлению связи между спектрами оператора !
H-~Ho+V и соответствующего интегрального оператора, построенного ' по сходе Фаддсева-Якубовского. Приложения этого результата« изучению дискретного спектра дано в разделе 3 книги ¿15] . " ' В случае 3 оператор fife) есть трехкомпонентний матричный оператор Лй) - где«&ф=Ои при ¿f-ß ^(^УГ^Щ Щ,
Одним из основных результатов § II является
Теорема II.I. Пусть 111) ~ любая однозначная, ветвь собственных значений оператора
соответствующее семейство ;
собственных функций. Тогда во всех точках дифференцируемое™ имеет место формула , где при /г-з ;
^(СЬ-ЧъаМЫЫ,^) ^ - л. !
При ^ справедлива аналогичная фрриула.
Из теоремы Iii? видно, что собственные значения оператора монотонно растут после пересечения примой . Более того, имеет место
Теорема II.3. При Z*, К- (&> М)= -f, ^ , где 2J1)- собственные значения оператора An) , пронумерованные с учетом алгебраи- ' • чреких кратностей. . ;
В главе III развиваются методы теория возмущений для изучения спектра несамосопрякекных операторов.
В § 12 изучается базисность корневых подпространств одного класса несемосопряженных возмущений самосопряжённого оператора с дискретным спектром. t ;
В § 13'изучены спектральные проекторы и оценки сходимости j
i
спектральных разложений нозыуцонкй оператора с абсолютно нзпрв-
- !'( -
рывным спектром. Подучены услоьия, при которых интеграл
-то'1 ф(Н^г
где - замкнутая спрямляемая кривая, перестающая вещественную прямую в точках и / , не являющихся особенностями резоль-- венты (теоремы 13.1 и 13.2). Б теореме 13.3 получена оценка сходимости спектрального разложения вида || Ед — ¿д //- ') ^ где - спектральное семейство нввозиущеиного оператора, а
Га есть прямоугольный контур, проходящий через точку Х>Ок охватывающий £есь спзктр возмущенного оператора, расположенный в полуплоскости ^ "
В § 14 изучаются возмущения, сохраняющие спектр.
Пусть Т - нормальный или самосопряженный оператор,./^ - некоторое разложение единицы, непрерывное слева и коммутирующее с Т. , У - Т -гсомпактел. ¿оказаны следующие утверждения.
.Теорема 14.1. Пусть: I) ) — О для всех ¿¿-¡К ,
-Е всех точек скачка '¿*~. Тогда
если ^ ~ изолированное собственное значение оператора 7* кратности , то Я является собственным значением' оператора
Т+ТГ
алгебраической кратности .
Теорема 14.2. дает условие, при которых сохраняется абсолютная непрерывность данного участка спектра.
В С 15 изучены спектр и задача рассеяния гтля одномерного уравнения С'редикгера с комплексным потенциалом, ¿шалитачным в угле или в верхней полуплоскости. Лейка 15.10 к теоремы 15.4 и 15.11 да.от способ ш.олитического продолжения Функции Бейля оператора Стурма-Лиуьилля и утверждения о распределении п-шосов резольвен-1'ц для г.о^у^шпелтсв, аналлткЧзскнх в углогоЛ облести, охваты всю-
слей положительную полуось. В замечание § 15 рассматривается задача рассеяния для уравнения ^у"** на всей .числовой
прямой в предположении, что V" допускает аналитическое продолжение в верхний полуплоскость, иначэ говоря, случай, когда при Р^-0 , где ШРу - преобразование $урьэ.-Пусть$т4£>. Введем решения этого уравнения о асимптотическими свойствами
при х-^-ро
Г(1х)г е'аЧЧ*0(*№ при
Для вещественных /[¡ Д-^ф имеем
Величины ^'^/¿¡{^ и Г/^г-^Ц^жнято называть коэффициентами отражения. Свойства данных рассеяния в прямой задаче описываются в следующих утрервдениях^ .
Лемма 15.12. Пусть 
