Свойства решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им М В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.9

Архипов Александр Михайлович

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КУРАМОТО-СИВАШИНСКОГО

01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ио344Э175

Москва, 2008

003449175

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ильяшенко Юлий Сергеевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

Фурсиков Андрей Владимирович доктор физико-математических наук Ильин Алексей Андреевич

Ведущая организация Институт проблем

передачи информации РАН

Защита состоится " 31 " октября 2008 г. в 16 час 45 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу. 119991, ГСП-1, РФ, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан " 30 " сентября 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501 001 85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

И H Сергеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена исследованию поведения решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашииского

Исследование предельного поведения решений уравнений в частных производных представляет из себя не только сложную и красивую теоретическую, но и важную практическую задачу

В частности, задачи о вычислении хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов занимают важное место при изучении уравнений в частных производных В разное время в этом направлении работали А В Бабин, M И Вишик, О А Ладыженская, Ю С. Ильяшенко, Р Темам, В В Чепыжов и многие другие Особую важность имеет при этом энтропийная размерность, поскольку для нее выполняется легкая теорема Уит-ни о взаимно-однозначном проектировании и, кроме того, при численном счете обычно вычисляется именно эта размерность

Уравнение Курамото-Сивашинского, обобщения которого рассматри-авются в диссертации, впервые возникло в работе Г Сивашинского посвященной волновым потокам жидкости, текущей по вертикальной плоскости, а также в работе И. Курамото 2, в которой изучался диффузионный хаос в системах реакции Откуда и происходит название уравнение Курамото- Сивашинского В дальнейшем, данное уравнение было интенсивно изучено, как численно, так и аналитически В частности, было дока-

lG SrvASHiNSKY, D M MicHELSON On irregular wavy flow of a liquid down a vertical plane Prog

Thcor Phys, 63 (1980), pp 2112-2114

2Y KuaAMOTO Diifomon-mduced chaos in reactions systems Supp Ргодт Theor Phys, 64 (1978),

pp 346-367

зано существование аттрактора и оценена сверху его размерность 3 Для этой цели применялись различные методы 4 и подходы 5

Подход, который был предложен в работе Ю С Ильяшенко 6, использовал методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае уравнение Курамото-Сивашинского рассматривается как динамическая система в бесконечномерном фазовом пространстве Уравнение Курамото-Сивашинского задает векторное поле в бесконечномерном пространстве, а его траектории будут решениями уравнения Одной из характеристик уравнения Курамото-Сивашинского является размерность его аттрактора. Впервые хаусдорфову размерность для изучения динамических систем была применена в 1976 году Ж Мале-Паре 7 Понятие к-сжимающей системы впервые появилось в 1982 году в работе Ю. С Ильяшенко 8 при вычислении размерности аттракторов системы Навье-Стокса на двумерном плоском торе При этом, кроме хаусдорфовой размерности рассматривалась также энтропийная размерность Результаты, касающиеся к-сжимающих систем позже были применены при оценке аттракторов уравнения Курамото-Сивашинского в работе3

Кроме того, с помощью подхода использованного Ю С Ильяшенко,

3А Cheskidov, С FoiaS On the non-homogeneous stationary Kuramoto-Srvashinsky equation Phys D,

154 (2001), no 1-2 pp 1-14

4Рютп Zgliczynski, Konstantin Mischaikow Rigorous numerics for partial differential equations

the Kuramoto-Sivashinsky equation Found Comput Math, 1 (2001), no 3 pp 255-288

5Hu, Changbjng [Ни,Chang Bing] , Темам,Roger Robust control of the Kuramoto-Sivashinsky

equation, Dyn Contm Discrete Impuls Syst Ser В Appl Algorithms, 8 (2001), no 3 pp 315-338

®Ю С Ильяшенко Глобальный анализ фазового портрета нелинейного параболического эволюционного уравнения Матемапыха в моделирование, (1990), с 5-32

7 J Mallet-Paret Negatively invariant seta of compact maps and an extension of a theorem of

Cartwright J Differential Equations, 22 2 (1976), pp 331-348

8Ю С Ильяшенко Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений уравнения Навье-Стокса на двумерном торе Успехи механикщ том 5 (1982), с 31-63

при исследовании решений уравнения Курамото- Сивашинского был обнаружен так называемый эффект "перекачки энергии" от низких гармоник к высоким Энергией в данном случае является квадрат любой соболевской нормы достаточно высокого порядка

На эвристическом уровне явление перекачки энергии в уравнении Курамото-Сивашинского представляет собой следующее Рассмотрим произвольный луч с вершиной 0 в пространстве начальных условий, лежащий в конечномерной плоскости "низших гармоник" Для любого начального условия <р на этом луче существует непрерывно зависящий от tp момент времени Tv, обладающий следующим свойством Пусть Uip(Tv)- значение решения уравнения Курамото-Сивашинского с начальным условием u|í=o = f в момент времени рассмотренное как элемент пространства С°°(Т") Тогда "энергия", сосредоточенная в "старших гармониках" функции uv(T¡p) превосходит "энергию", сосредоточенную в ее "младших гармониках", если ¿2 - норма ip достаточно велика Более того, отношение этих "энергий" стремится к оо, при \\ip\\ оо

В дальнейшем были предложены различные варианты обобщения обычного уравнения Курамото-Сивашинского. как для многомерного случая 9 10, так и для одномерного При этом для одномерного уравнения рассматривались различные вариации, как нелинейного члена п, так и линейного 12

shuijlang Zhao, Shaoqiang Tang Nonlinear stability and optimal decay rate for a multidimensional generalized Kuramoto-Sivashinsky system J Math Anal Appl, 246, (2001), no 2 pp 423-445

10FRED С PINTO Nonlinear stability and dynamical properties for aKuramoto-Sivashinsky equation in

space dimension two Discrete Contm Dynam Systems, 5, (1999), no 1 pp 117-136 "Kai-Seng Chou On a modifiedKuramoto-Sivashmsky equation Differential Integral Equations, 15,

(2002), no 7 pp 863-874

12A M Архипов Анализ фазового портрета обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского Диф-

Представляемая диссертация содержит решение двух задач Первая задача состоит в оценке размерностей аттракторов обобщенного уравнения Курамото- Сивашинского в одномерном случае и доказательстве существования глобально-поглощающей области для решений обобщенного уравнения Вторая задача посвящена доказательству теоремы о перекачке энергии для многомерного уравнения Курамото- Сивашинского, заданного на многомерном торе с римановой метрикой Метод решения этих задач основан на применении идей теории обыкновенных дифференциальных уравнений к бесконечномерным системам Таким образом, тема диссертации представляется весьма актуальной

Цель работы.

Целью настоящей работы является исследование следующих свойств обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского существование аттрактора и оценка сверху хаусдорофовой и энтропийной размерностей аттрактора в одномерном случае, теорема о перекачке энергии от низких гармоник к высоким в одномерном случае и в многомерном случае с римановой метрикой

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

• Доказано существование максимального аттрактора для обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского в одномерном случае ферекциальные уравнения, 29, (1993), 6 с 990-998

• Доказана оценка сверху для хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттрактора обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского в одномерном случае

• Доказана теорема о перекачке энергии от низких гармоник к высоким для обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского в одномерном случае и в многомерном случае на торе с римановой метрикой.

Методы исследования.

В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории гамильтоновых систем, теории динамических систем, функционального анализа и дифференциальной геометрии. Для различного рода оценок применялся аппарат математического анализа

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер Результаты могут быть полезны при исследовании уравнений с частными производными и их аттракторов

Апробация работы.

Основные результаты настоящей диссертации докладывались.

• на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством проф Ю. С Ильяшенко (неоднократно, 1993-2004 гг.),

• на семинаре по динамическим системам в Центре математических исследований в Гуанахуато (Мексика) под руководством проф. X Гомес-Монт (X. Сошег-Мо^) (1995 гг.),

• на международной конференции по динамическим системам (Мексика), (Мехико, 1996 г.),

• на международной конференции молодых ученых, (Киев, 1994 г ),

• на летней школе-конференции "Динамические системы", (Ратмино, июль 2004 г),

Публикации.

Основное содержание работы опубликовано, список из трех работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения и двух глав, разделенных на параграфы Список литературы содержит 25 наименований. Общий объем диссертации составляет 63 страницы

Основное содержание диссертации

Настоящая диссертация посвящена исследованию поведения решений обобщенных уравнений Курамото-Сивашинского

В первой главе рассматриваются решения уравнений Курамото- Си-вашинского в одномерном случае с линейным дифференциальным оператором произвольного порядка В этой главе исследуется вопрос существования аттрактора и поведения решений Доказывается, что поведение решений во многом сходно с поведением решений обычного уравнения Курамото-Сивашинского. При этом для исследования поведения решений

этого уравнения в частных производных используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений Доказывается существование глобально-поглощающей области для решений обобщенного уравнения и оценка сверху для хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттрактора. Также доказывается теорема о перекачке энергии от низких гармоник к высоким для решений обобщенного уравнения.

Вторая глава посвящена обобщенному уравнению Курамото- Сивашин-ского на многомерном торе с римановой метрикой. В этой главе доказывается теорема о перекачке энергии от низких гармоник к высоким

Опишем сначала на эвристическом уровне механизм перекачки энергии. Вне шара достаточно большого радиуса в пространстве начальных условий нелинейный член правой части уравнения Курамото-Сивашинского начинает доминировать Само решение уравнения Курамото-Сивашинского будет рассматриваться как малое возмущение уравнения Гамильтона-Якоби Решения уравнения Гамильтона- Якоби могут быть написаны в явном виде и они существуют конечное, как в прошлом, так и в будущем, время Потом решения "коллапсируют", т е рвутся производные старших порядков Назовем время существования решения в прошлом и будущем с начальным условием (р моментами коллапса Т~, соответственно. При приближении к моменту коллапса Ь2 норма старших производных начинает неограниченно расти. В то же время, С1 норма решения уравнения Гамильтона- Якоби является первым интегралом уравнения Эти соображения, сведенные вместе дают, что "старшие гармоники" начинают доминировать над "младшими" при приближении к моменту коллапса Т е. происходит перекачка энергии для уравнения Курамото-Сивашинского

Замечание. В одномерном случае, первая соболевская норма будет первым интегралом уравнения Гамильтона-Якоби, в то же время для старших размерностей, первым интегралом будет лишь С1 норма решения Поэтому методы использованные для доказательства существования аттрактора в одномерном случае не могут быть использованы, без дополнительных исследований поведения С1 нормы вдоль решений

Рассмотрим физическую модель уравнения Гамильтона-Якоби, как описание движения свободных частиц Заметим, что производная решения этого уравнения имеет вид - композиция начального условия с диффеоморфизмом области определения функции (начального условия) Этот диффеоморфизм зависит от времени и начальной функции, и задается траекториями движения свободных частиц. В евклидовом случае это будут прямые При наличии метрики траектории движения будут геодезическими. В этом состоит отличие решений уравнения Гамильтона-Якоби на многообразии с метрикой от обычного евклидового уравнения Гамильтона-Якоби.

Определим обобщенное уравнения Курамото-Сивалшнского в одномерном случае, которое рассматривается в первой главе Напомним определение обычного уравнения Курамото-Сивашинского Оно имеет вид

где Д = др-. Его решения и{1, х) рассматриваются на окружности , т е

и(г, х + 2тг) = и(*, х), х) е С00(Б1 х [0, оо)), где С означает центрированную функцию, т е. среднее по окружности

функции равно нулю При этом Ри = и — и, й — среднее функции и на окружности. Это уравнение возникает в ряде физических задач.

Определим обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского. Пусть А = Л(^) - вещественный дифференциальный оператор конечного порядка, т е. многочлен с постоянными коэффициентами от оператора дифференцирования. Наложим на него требования самосопряженности , т.е будут входить производные только четного порядка, и, кроме того, если порядок оператора равен 2s, то коэффициент при старшей производной должен быть положительным при четном s и отрицательным при нечетном s. Эти условия естественны для существования области диссипации. Далее везде будем считать, что || = щ, — ихп

Определение Обобщенным уравнением Курамото- Сивашинского будем называть уравнение вида

ut = -(P(u2x) + Au) (GKS)

где оператор А = пРи зтом а, > 0, если s четное , а, < О

в противном случае.

Решения уравнения u(t, х) рассматриваются на [0, оо) х S1, т е. u(t, х) = u(t, х + 2тг) Для формулировки результатов нам потребуются некоторые понятия и определения, которые представлены ниже

Опишем область определения уравнения Область определения - это бесконечно-дифференцируемые на S1 функции Среднее значение правой части отрицательно, если и ф const Разность между функцией и ее средним значением на окружности назовем центрированной функци-

ей. Пусть С"х(51) - пространство бесконечно- дифференцируемых функций на 51 с нулевым средним б = О, й = ^ /51 и д,х Определим Р-оператор проектирования в £2(51) вдоль вектора / = 1 на ортогональную гиперплоскость. Результат проекции будет центрированной функцией. Тогда центрированным решением уравнения (ОКБ) будем называть центрированную функцию и е С'00(51), удовлетворяющую уравнению щ = ~{Р{ч1) + Аи), А- оператор с описанными выше свойствами

В первой главе доказываются следующие теоремы.

Пусть и = \cig\fK, ае - коэффициент при старшей производной правой части уравнения, К - сумма модулей коэффициентов при остальных линейных членах правой части уравнения Обозначим как п3(и) - в-ю соболевскую норму функции и.

Тогда имеют место следующие теоремы Теорема 1 (Оценка сверху размерности аттрактора) Рассмотрим, Ь?> метрику в пространстве С°°. Хаусдорфова и энтропийная размерности аттрактора обобщенного уравнения Курамото-Сшашинского оцениваются сверху следующим образом

. .. 2 1 + 2Л

агтпА < —--г--

~ (25 - 1) V

число Я удовлетворяет следующему неравенству

якси——

С - некоторая положительная константа.

Теорема 2 (Существование глобально-поглощающей области) Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского определяет полупоток, который имеет обобщенную глобально-поглощающую область В, опреде-

ленную неравенством щ < Я, где зависящее от V число Я оценивается следующим образом•

(»3-к,««2+з МН-1 «)

Я < Си г1^

С - некоторая положительная константа.

Это теорема о существовании обобщенной глобально-поглощающей области Из нее вытекает теорема 1 о верхней оценке хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттрактора уравнения

Пусть Е?у— пространство тригонометрических многочленов степени не выше N с нулевым средним , Рк- оператор ортогонального проектирования 1/2(£>1) —> Ем, - ортогональное проектирование на ортогональное дополнение к Е^

Теорема 3 (О перекачке энергии) Для любых р > О, N 6 К и А € (0,1) существует такое Я и для любой функции € X, лежащей вне шара щ < Я в шаре С} = {п8+1 < />||у||1Ь существует такой момент времени Ту > 0, что решения уравнения с начальным условием <р в мо-

мент Тр принимают значение ф, для которого > АН^Ня+х- 25 -

порядок оператора А.

Во второй главе рассматривается уравнение Курамото-Сивашинского на торе с переменной римановой метрикой. Оно имеет внешне такой же вид, как обычное уравнение Курамото- Сивашинского, см. работу2, но операторы V, Д и Р понимаются в смысле римановой геометрии А именно, V - это ковариантная производная, согласованная с метрикой (д). В частности, \7и - это ковариантная производная функции и, (Угг, V«) -скалярный квадрат производной

Далее, Д - это оператор Лапласа- Бельтрами в метрике д. Метрика {д}

задает меру ц на торе. Рассмотрим в пространстве Ь2 на торе с этой мерой подпространство функций с нулевым средним. Пусть Р - оператор ортогонального проектирования пространства Ь2 на это подпространство Итак, мы рассматриваем уравнение.

щ = — (P(Vи, Уи) + Аи + 1/Д2и),

на торе Т™ с римановой метрикой (д), правая часть которого определена выше.

Соответствующее уравнение Гамильтона- Якоби имеет вид

Щ = -Р(Уы,У«),

а соответствующее линейное уравнение записывается в виде

щ = —Аи — I/Д2ц,

Во второй главе доказаны следующие результаты.

Пусть Т" — п - мерный тор, (д) - метрический тензор, заданный на этом торе.

Определение Многомерным уравнением Курамото-Сивашинского на торе Т™ называется уравнение следующего вида.

щ = -(Р(Чи, V«) + Ди + 1/Д2и)

где и € С°°(Тп), А - оператор Лапласа-Бельтрами, V > О, V - кова-риантное дифференцирование, согласованное с метрикой С°°(Тп) - пространство бесконечно-дифференцируемых функций с нулевым средним Среднее функции и на торе Т" равно й = ^¡^ /г„ и йц, где /л - форма

объема. Р - ортогональный оператор проектирования, действующий в Ссо(Т"), следующим образом Ри = и — й

Пусть и — J2 ak€k разложение Фурье функции и по собственным функциям оператора Лапласа-Бельтрами. Обозначим как Рдг и Р^ операторы отбрасывания "старших" и, соответственно "младших" членов разложения Фурье (гармоник), т е Р^и = Yyi аА, Pfj = и — Р^и Нормируем метрику так, чтобы наименьшее по модулю собственное значение оператора Лапласа-Бельтрами было равно единице Тогда выполняется теорема о перекачке энергии.

Теорема 4 Для любых р > О, N е N, s > п/2 + 5, А 6 (0,1) существует такое R, что для любой функции ip € б100 (Г") лежащей вне шара < R в шаре Q — {ns < рЦрЦс1}, существует такое время t £ (0, с), где с -некоторая универсальная константа, что — Ф и ll-fjv^ll» > A||i/>||j. Здесь R - константа, зависящая от метрики (д).

Автор выражает свою огромную благодарность своему научному руководителю— доктору физико-математических наук, профессору Ю С Илья-шенко за постановку задач и постоянное внимание к работе

Список работ автора по теме диссертации

[1] А. М. Архипов, Анализ фазового портрета обобщенного уравнения Курамото-Сивалшнского, Дифференциальные уравнения, т.29, б, (1993), с. 990-998

[2] А. М Arkhipov, Yu. S. Il'yashenko, Jump of energy from low harmonics to high ones m the multidimensional Kuramoto-Sivashinsky

equation, Selecta Mathematica formerly Sometica, Vol. 13, No 3 (1994), с 183-196.

В работе [2] В А Ильяшеико принадлежит формулировка теоремы и идея доказательства, а А М Архшхову принадлежит детальное проведение доказательства и формулировки технических лемм.

[3] А. М. Архипов Перекачка энергии в уравнении Курамото- Сива-шинского на многомерном торе с римановой метрикой, Современная математика и ее приложения, 24 (2005), с. 3-13

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М В Ломоносова

Подписано в печать /5,0$, ОА Формат 60x90 1/16 Уел печ л {,0 Тираж /ООъуз, Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

Основные результаты к - сжимающие системы

Обобщенные диссипативные системы и их аттракторы

Глава 1: Оценка хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского

1.1 Формулировки и определения

1.2 Основные результаты

1.3 Определение конусов накачки и диссипации

1.4 Глобальное поведение решений

1.5 Формулировки основных лемм

1.6 Свойства уравнения Гамильтона-Якоби

1.7 Рост соболевских норм при приближению к моменту коллапса доказательство)

1.8 Замена масштаба и галеркинские приближения

1.9 Определение трубки траекторий и лемма о возмущении

1.10 Выбор трубки траекторий для возмущенного уравнения

1.11 Выход траекторий на сферу

1.12 Лемма о потере энергии

1.13 Вычисление размерностей аттракторов уравнения Курамото

Сивашинского

Глава 2: Теорема о перекачке энергии в уравнении Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой

2.1 Введение

2.2 Уравнение Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой

2.3 Нормы и определения

2.4 Теорема о перекачке энергии

2.5 Лемма о выходе

2.6 Уравнение Курамото-Сивашинского как малое возмущение уравнения Гамильтона-Якоби

2.7 Свойства решений уравнения Гамильтона-Якоби

2.8 Доказательство леммы о выходе

2.9 Проверка условий леммы о возмущении

2.10 Априорная оценка 59 Список литературы

Задачи о вычислении хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов занимают важное место при изучении уравнений в частных производных. Особую важность имеет при этом энтропийная размерность, поскольку для нее выполняется легкая теорема Уитни о взаимно-однозначном проектировании и, кроме того, при численном счете обычно вычисляется именно эта размерность.

Уравнение, которое будет рассматриваться ниже, впервые возникло в работе Сивашинского [1], посвященной волновым потокам жидкости, текущей по вертикальной плоскости, а также в работе Курамото [2], где изучался диффузионный хаос в системах реакции. Откуда и происходит название уравнение Курамото-Сивашинского. В дальнейшем, данное уравнение было интенсивно изучено, как численно, так и аналитически. В частности, было доказано существование аттрактора и оценена его размерность. Для этой цели применялись различные методы и подходы (см. работы [3], [8], [10], [11], [16], [17], [18], [19], [20]).

Подход, который был предложен Ю. С. Ильяшенко в работе [3] использовал методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае уравнение Курамото- Сивашинского рассматривается как динамическая система в бесконечномерном фазовом пространстве. Уравнение Курамото-Сивашинского задает векторное поле в бесконечномерном пространстве, а его траектории будут решениями уравнения. Одной из характеристик уравнения Курамото-Сивашинского является размерность его аттрактора. Впервые хаусдорфову размерность для изучения динамических систем применил Ж. Мале-Паре в 1976 году в [4]. Понятие к- сжимающей системы впервые возникло в работе Ю.С.Ильяшенко [5] в 1982 году при вычислении размерности аттракторов системы Навье-Стокса, при этом, кроме хаусдорфовой размерности рассматривалась также энтропийная размерность. Результаты, касающиеся к-сжимающих систем позже были применены при оценке аттракторов уравнения Курамото-Сивашинского в работе [3].

Кроме того, с помощью подхода использованного Ю. С. Ильяшенко, при исследовании решений уравнения Курамото-Сивашинского был обнаружен так называемый эффект "перекачки энергии" от низких гармоник к высоким. Энергией в данном случае является квадрат любой соболевской нормы достаточно высокого порядка.

На эвристическом уровне явление перекачки энергии в уравнении Курамото-Сивашинского представляет собой следующее. Рассмотрим произвольный луч с вершиной 0 в пространстве начальных условий, лежащий в конечномерной плоскости "низших гармоник". Для любого начального условия <р на этом луче существует непрерывно зависящий от </? момент времени Т^, обладающий следующим свойством. Пусть uv(T,p)- значение решения уравнения Курамото-Сивашинского с начальным условием -u|f=o = У в момент времени Т^,, рассмотренное как элемент пространства С°°(Тп). Тогда "энергия", сосредоточенная в "старших гармониках" функции и^Т^) превосходит "энергию", сосредоточенную в ее "младших гармониках", если L2 - норма ip достаточно велика. Более того, отношение этих "энергий" стремится к оо, при ||<£>|| —» оо.

В дальнейшем были предложены различные варианты обобщения обычного уравнения Курамото-Сивашинского: как для многомерного случая ([21], [22], [24]), так и для одномерного. При этом для одномерного уравнения рассматривались различные вариации, как нелинейного члена [23], так и линейного [10].

Представляемая диссертация содержит решение двух задач. Первая задача состоит в оценке размерностей аттракторов обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского. Вторая задача посвящена доказательству теоремы о перекачке энергии для многомерного уравнения Курамото-Сивашинского, заданного на многомерном торе с римановой метрикой. Метод решения этих задач основан на применении идей теории обыкновенных дифференциальных уравнений к бесконечномерным системам. Автор выражает свою огромную благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Ю. С. Ильяшенко за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты

Результаты 1-ой главы.

Обобщенное одномерное уравнение Курамото-Сивашинского. Сформулируем основные результаты работы для одномерного случая. Подробные доказательства будут даны ниже в главе 1. Сначала дадим определение обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского.

Определение. Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского имеет вид т =-{Р(и\) + Аи) (GKS) где оператор А = > 0> если s - четное, as < 0, если s

- нечетное, s > 2. Решения u(t,x) этого уравнения рассматриваются на [О, оо) х S1, т.е. u(t,x-\- 2п) = u{t,x). Р - оператор проектирования в L2^1) вдоль вектора / = 1.

Пусть v — |as|/С, as - коэффициент при старшей производной правой части уравнения, С - сумма модулей коэффициентов при остальных линейных членах правой части уравнения. Фазовое пространство для уравнения (GKS) это (7°° - пространство бесконечно-дифференцируемых функций на S1 с нулевым средним. Обозначим Hs пространство Соболева, полученное пополнением пространства С°° по соболевской норме ns. В первой главе будет доказано, что в каждом пространстве Hsi при s' > s уравнение (GKS) задает обобщенную диссипативную систему. Следовательно, это уравнение в каждом пространстве Hs> имеет аттрактор As/. Уравнение (GKS) как и уравнение теплопроводности сглаживает начальные условия. Таким образом, все аттракторы As состоят из гладких функций и совпадают. Поэтому дальше мы можем заменить As на А. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. (Оценка сверху размерностей аттрактора) Рассмотрим L2 метрику в пространстве С°°. Хаусдорфова и энтропийная размерности аттрактора обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского оцениваются сверху следующим образом j- л ^ 2 1 + aim А < т-г (2s - 1) v число R удовлетворяет следующему неравенству

З3+0,6з2+3.90Э + 1.6)

R < Си Гм^о

С - некоторая положительная константа.

Теорема 2. (Существование глобально-поглощающей области) Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского определяет полупоток, который имеет обобщенную глобально-поглощающую область В, определенную неравенством п\ < R, где зависящее от и число R оценивается следующим образом: s3-f6,632+3,96s + l,S)

R < Си U^^) С - некоторая положительная константа.

Из теоремы 2 о существовании обобщенной глобально-поглощающей области вытекает теорема 1 о верхней оценке хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттрактора уравнения.

Пусть En— пространство тригонометрических многочленов степени не выше N с нулевым средним, PN~ оператор ортогонального проектирования L2(5'1) —У Е^, Pjy - ортогональное проектирование на ортогональное дополнение к Е^.

Теорема 3. (О перекачке энергии). Для любых p>0,N€Ru\e (0,1) существует такое R, что для любой функции <р £ X, лежащей вне шара ni < R в шаре Q = < />||<£>||i}, существует такой момент времени

Tv > 0, что решения уравнения (GKS) с начальным условием <р в момент Тр принимают значение ф, для которого H-P/v^lls+i — ^ll^lls+i* - порядок оператора А.

Результаты 2-ой главы.

Пусть Тп —п - мерный тор, (д) - метрический тензор, заданный на этом торе.

Определение. Многомерным уравнением Курамото-Сивашинского на торе Тп называется уравнение следующего вида: щ = ~(P(Vu, Vtt) + Аи + иА2и) (KS) где и £ С°°(Тп), А - оператор Лапласа-Белътрами, и > О, V - кова-риантное дифференцирование, согласованное с метрикой. С°°(Тп) - пространство бесконечно дифференцируемых функций с нулевым средним на торе. Среднее функции и на торе Тп равно й = vofTn JТп у- где ji - форма объема. Р - ортогональный оператор проектирования, действующий в С°°(Тп) следующим образом: Ри = и — й.

Пусть и = разложение Фурье функции и по собственным функциям оператора Лапласа-Бельтрами. Обозначим как Pjv и Pjy операторы отбрасывания "старших" и, соответственно "младших" членов разложения Фурье (гармоник), т.е. Рдт^ = ak€ki Pjy = и — Р^и. Нормируем метрику так, чтобы модуль наименьшего собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа |Ai( = 1.

Тогда выполняется следующая теорема о перекачке энергии.

Теорема 4. Для любых р > О, N Е N, s > тг/2 + 5, А € (0,1) существует такое R, что для любой функции <р 6 С°°(Тп) лежащей вне шара пс1 < R в шаре Q = {ns < /?||<^||ci}, существует такое время t G (0, с), с -некоторая универсальная константа, что g^g^p = ф и H-P/v^lls ^ 'MlV'lls-Здесь R - константа, зависящая от метрики (g). к—сжимающие системы

Для вычисления размерностей аттракторов будут использоваться следующие понятия и результаты. Сначала приведем определение к - сжимающей системы.

Пусть задано векторное поле х = v{x), х Е Rn. Этому полю соответствует квадратичная форма:

Ai(®) > • • • > А п{х) — собственные значения этой квадратичной формы.

Определение. Поле v является k-сжимающим , если для каждого х 6 В, В — поглощающая область, имеют место следующие неравенства Ai(a;) + • • • + Afc(:c) < 0 и существует такое х 6 В : Ах(ж) + • • • + A&i > О

Теорема. Хаусдорфова размерность аттрактора к- сжимающей системы пе превосходит к.

Эта теорема выполняется и для бесконечномерных систем, см. [6]. Для энтропийной размерности Б. Хант в 1996 году доказал аналогичную оценку для бесконечномерных систем, см. [7].

Теорема (Б.Хант). Энтропийная размерность аттрактора к- сжимающей системы не превосходит к.

Обобщенные диссипативные системы и их аттракторы

Для одномерного обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского не удалось найти поглощающую область в классическом понимании, т.е. как область на границе которой векторное поле направлено внутрь (такие системы называются диссипативными). Возможно такая область не существует. В нашем случае удалось найти только "обобщенно поглощающую область", которая ничуть не хуже поглощающей области: уравнение с такой областью имеет те же свойства, что и диссипативная система.

Определение. Пусть {д*\ t > 0} - полупоток в пространстве X, непрерывно зависящий от начальных условий. Пусть В и В это два множества в пространстве X такие, что В С. В. Тогда область В является глобально поглощающей для полупотока {д*} с периферией В и временной задержкой Т, если

1. Орбита любой точки ip 6 В возвращается в область В за время не превышающее Т и в тоже время не покидает область В.

2. Орбита каждой начальной точки (р входит в область В за некоторое положительное время.

Система задающая полупоток с обобщенной глобальной поглощающей областью, которая вместе со своей периферией является компактной, называется "обобщенно диссипативной". Орбита полупотока j определяется на всей оси времени, если существует такое отображение g : R —> X, что <7lR+ = 7 и для любого s > 0, g(t + s) = дг(д(в))

Определение. Максимальный аттрактор обобщенной диссипативной системы это объединение всех орбит, которые определены на всей временной оси и лежат в периферии.

Оказывается, что определенный выше аттрактор может быть задан так же как аттрактор диссипативной системы и он будет устойчив по Ляпунову.

Предложение. Пусть t > 0} - обобщенный диссипативный полупоток с обобщенной глобальной поглощающей областью В с периферией В и временной задержкой Т, замыкания В и В являются компактными, и пусть А это его аттрактор в смысле данного выше определения. Тогда

A=f] gTnB n> О

Более того, аттрактор А непуст и является устойчивым по Ляпунову: для любой окрестности U аттрактора А существует такое положительное число t(U), что дгВ С U для любого t > t(U).

Это предложение было доказано в [3].

1. G. Sivashinsky, D. M. Michelson, On irregular wavy flow of a liquid down a vertical plane, Prog. Theor. Phys., vol 63 (1980), pp. 2112-2114

2. Y. Kuramoto, Diffusion-induced chaos in reactions systems, Supp. Progr. Theor. Phys., 64 (1978), pp. 346-367

3. Ю. С. Ильяшенко, Глобальный анализ фазового портрета нелинейного параболического эволюционного уравнения, Математика и моделирование, (1990), Пущино, стр. 5-32

4. J. Mallet-Paret, Negatively invariant sets of compact maps and an extension of a theorem of Cartwright, J. Differential Equations, 22:2, (1976), pp.331-348

5. Ю. С. Ильяшенко, Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений уравнения Навье-Стокса на двумерном торе, Успехи механики, том 5 (1982), стр.31-63

6. Ю. С. Ильяшенко, О размерности аттракторов k-сжимающих систем в бесконечномерном пространстве, том 3 (1983), вест.моск.ун-та, стр. 52-58

7. Brian R. Hunt, Maximum Local Lyapunov Dimension Bounds the Box Dimension of Chaotic Attractors, Nonlinearity, 9 (1996), pp.845-852

8. P. Constantin, C. Foias, R. Temam, Attractors, representing turbulent flows, Memoir Mem. Am. Math. Soc., 53 (1985), pp. 1-67

9. B. Nicolaenko, B. Scheurer, R. Temam, Some global dynamical properties of the Kuramoto-Sivashinsky equations: nonlinear stability and attractors, Phisica 16D, (1985), pp. 155-183

10. A. M. Архипов, Анализ фазового портрета обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского, Дифференциальные уравнения, том 29 (1993), вып. 6, Минск, стр. 990-998

11. А. М. Arkhipov, Yu. S. Il'yashenko, Jump of energy from low harmonics to high ones in the multitdimensional Kuramoto- Sivashinsky equation, Selecta Mathematica, formerly Sovietica, Vol. 13, No. 3 (1994), pp. 183-196у

12. M. А. Шубин, Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, 1978, М. Наука

13. В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 1978, М. Наука

14. В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко, Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений, 1995, М. Факториал

15. М. Билз, Ч. Феффермен, Р. Гроссман, Строго псевдовыпуклые области в С", М. Мир, 1987 , (пер. с английского)

16. Fred Feudel, Ulrike Feudel, Axel Brandenburg, On the bifurcation phenomena of the Kuramoto-Sivashinsky equation, Internal J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg, 3 (1993), no. 5, 1299-1303

17. A. M. Архипов, Перекачка энергии в уравнении Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой, Современная математика и ее припоэюения, том 24 (2005), Тбилиси, стр. 3-13

18. A. Cheskidov, С. Foias, On the non-homogeneous stationary Kuramoto-Sivashinsky equation, Phys. D, 154 (2001), no. 1-2, pp. 1-14

19. Piotr Zgliczynski, Konstantin Mischaikow, Rigorous numerics for partial differential equations: the Kuramoto-Sivashinsky equation, Found. Comput. Math., 1 (2001), no. 3, pp. 255-288

20. Chang Bing Hu, Temam,Roger, Robust control of the Kuramoto-Sivashinsky equation, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. В Appl. Algorithms, 8 (2001), no. 3, pp. 315-338

21. Huijiang Zhao, Shaoqiang Tang, Nonlinear stability and optimal decay rate for a multidimensional generalized Kuramoto-Sivashinsky system, J. Math. Anal. Appl, 246, (2001), no. 2, pp.423-445

22. Fred C. Pinto, Nonlinear stability and dynamical properties for a Kuramoto-Sivashinsky equation in space dimension two, Discrete Contin. Dynam. Systems, 5,(1999), no. 1, pp.117-136

23. Kai-Seng Chou, On a modified Kuramoto-Sivashinsky equation, Differential Integral Equations, 15 (2002), no. 7, pp. 863-874

24. Vladimir Yarlamov, On the Kuramoto-Sivashinsky equation in a disk, Ann. Polon. Math., 73 (2000), no. 3, pp. 227-256

25. Luc Molinet, Local dissipativity inL2 for the Kuramoto-Sivashinsky equation in spatial dimension 2, J. Dynam. Differential Equations, 12 (2000), no. 3, pp. 533-556