Теоремы единственности для максимума конформного радиуса и для внешней обратной краевой задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

/ /)

-'5 VI .Л'

/

/

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПОПОВ НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ

ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ МАКСИМУМА КОНФОРМНОГО РАДИУСА И ДЛЯ ВНЕШНЕЙ ОБРАТНОЙ

КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

01. 01. 01. — математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители доктор физико-математических

На правах рукописи

наук, профессор Аксентьев Л.А. кандидат физико-математических наук, доцент Микка В.П.

КАЗАНЬ —1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение___________________________________3

Глава I. Неравенства изопериметрического типа в экстремальных задачах при конформном отображении_____________________12

§1. Экстремальные задачи для площадей при конформном отображении единичного круга_______________________12

§2. Минимизация площадей при конформном отображении кольца и

круга с концентрическими разрезами________________21

§3. Неравенства изопериметрического типа с применением к

оценкам конформного радиуса____________________32

§4. Об условиях звездообразности аналитических функций с ограниченной кривизной образа границы_________________38

Глава II. Теоремы единственности_____________________48

§5. Исследование экстремумов конформного радиуса______48

§6. Метод подчиненности при локализации максимума конформного радиуса _______________________________53

§7. Точные оценки для функционалов при использовании условия

подчиненности_____________________________61

§8. О единственности решения внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций________________74

Литература

82

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации рассмотрены экстремальные задачи для площадей при конформном отображении и их приложения . Доказаны теоремы единственности для максимума конформного радиуса и для внешней обратной краевой задачи.

Понятие конформного радиуса односвязной области введено Д.Пойа и Г.Сеге в известной работе „Задачи и теоремы из анализа", впервые вышедшей в 1925 г. ( см . [35 ]). Это понятие определяется следующим образом. Пусть О - произвольная односвязная область плоскости имеющая более одной граничной точки, со - произвольная конечная точка области О. По теореме Римана о конформном отображении ([17 ], с. 29-32 ) существует единственная функция г = Е{м>), регулярная в О, нормированная условиями Е(со) = Е'(а))-1 = 0 и однолистно отображающая область О на круг \z\kR. Радиус этого круга К = со) и называется конформным (внутренним ) радиусом области О в точке со.

Интерес к этому понятию возник из-за его связи с другими характеристиками области О (трансфинитным диаметром, площадью области, длиной ее границы и другими ). Взаимосвязи такого типа в форме оценок изопери-метрического характера нашли отражение в монографии [36]. Исследование точности этих оценок привело к необходимости изучения экстремальных свойств участвующих в них величин .

В работе „Задачи и теоремы из анализа" рассматривались простейшие свойства экстремума Д(Дй>), а систематическое их описание было предпринято в статье Г. Хиги [56]. В ней, в частности, получена формула для вычисления конформного радиуса

= Я(/(Е),/(0) = \/'(0\ ■ (1 -), ( 0.1 )

где /(£) - функция, реализующая конформное отображение единичного круга Е = {£. |£|<1} на область £> = /(#). При этом конформный радиус (0.1) интерпретировался как поверхность над кругом Е или обла-

стью О, и исследовался геометрический характер ее критических точек, т.е. точек = + гщ е Е, для которых выполняются условия

д

д

<Г<о ^

= 0,(=£+щ (0.2)

В [56 ] было получено и первое достаточное условие единственности критической точки Л(Дгу) - выпуклость области О, отличной от полосы, - которое в дальнейшем передоказывалось другими способами ([54], [4], см. также [36], с. 211-214).

Можно отметить два направления, по которым развивались исследования экстремальных свойств конформных радиусов : 1) получение оценок указанных величин и их применения в различных неравенствах геометрического и физического содержания и 2) выделение классов областей, обеспечивающих единственность экстремума конформного радиуса, и выяснение условий, приводящих к нескольким критическим точкам . Развитие и современное состояние первого направления в связи с экстремальными задачами геометрической теории функций отражено в монографиях [44], [17], [18], [26], [32] и [31] . Использование оценок конформных радиусов в теории потенциала и их распространение на многомерный случай описаны в [49].

Первое направление характеризует в основном применение конформных радиусов в математической физике ([36]), второе же существенно связано с исследованием внешней обратной краевой задачи по параметру 5, а также задачи удержания плазмы магнитным полем (см. [43]).

Теория обратных краевых задач ( ОКЗ ) для аналитических функций, становление которой связано с именами Г.Г. Тумашева, М.Т. Нужина и Ф.Д.Гахова ( см . [42] и [16] ), в настоящее время имеет многочисленные применения в аэрогидродинамике, теории фильтрации и математической физике . Развитие и современные достижения этой теории отражены в монографиях [42], [34], [41], [19] ,а также в обзорах [2], [6], [3].

Обратная краевая задача по параметру 5 в постановке Ф.Д. Гахо-

ва ([16], §33 ) состоит в отыскании односвязной области ДсСи регулярной в Dz функции w(z), если на границе Lz = dDz задано условие

w(z) | L = u{s) + iv{s), 0 <s<l, ( 0.3 )

где s - дуговая абсцисса неизвестного спрямляемого контура Lz, 1-е го

длина . При этом краевое условие ( 0.3 ) должно удовлетворять некоторым дополнительным ограничениям ([16], с.320 ; [42], с.76 ), при выполнении которых уравнения и = u(s\ v = v(s), 0 <s<l, определяют в плоскости w = u+iv простую замкнутую кривую Ляпунова . Обратная краевая задача называется внутренней или внешней в зависимости от того, какой из областей, соответственно, C\DZ или Dz, принадлежит бесконечно удаленная точка.

Решение внешней ОКЗ при переходе к единичному кругу (w = еЕ) с точностью до сдвигов и поворотов в плоскости z запи-

сывается в виде

ZÍS) = • <0 4)

а V Ь ЪО J

( |а| <1, -комплексная постоянная ), где функция /(£") является ре-

шением внутренней ОКЗ с тем же краевым условием ( 0.3 ). Полюс £ = функции z(£) определяется из условия

/ЧО

известного в теории ОКЗ как уравнение Ф.Д. Гахова, который получил его и доказал разрешимость ([15]). В работах Ф.Д. Гахова [15], [16], B.C. Рогожина [40], [39], С.Н. Кудряшова [24] был построен ряд примеров неединственности решения уравнения (0.5).

В статье J1.A. Аксентьева [4] установлена связь между внешней ОКЗ и конформным радиусом области . Оказалось, что равенство ( 0.5 ) в некоторой точке эквивалентно условиям ( 0.2 ). Это позволяет сделать вы-

вод о том, что число решений внешней ОКЗ не превосходит количества критических точек конформного радиуса, и что единственность критической точки (0.1 ) означает единственную разрешимость внешней ОКЗ .

Получение достаточных признаков единственности решения внешней ОКЗ развивалось в основном в двух направлениях : построение внутренних условий - по поведению функции /(£), и внешних условий, которые устанавливаются с помощью эквивалентного представления формулы (0.4) во внешности Е~ = {ж > 1} единичного круга

Л - ..Л2

W

П 1

1 - WQW

F(w) = if'[-]— -— dw (0.6)

ь \wJ W VW-Wq J

( b^w0, 1 < |6| < oo, -комплексная постоянная ). Полюс w0 еЕ~ функции

F(w) определяется из уравнения ( 0.5) при £= —. При условии /"(0) = О

w

это уравнение можно переписать в форме [24]

F"(w) "2 ,«-,4

w =—г-. (0.7)

F'(w) |w|2_i

Условия единственности решения уравнения ( 0.5 ) или ( 0.7 ) построены в работах Ф.Г. Авхадиева, Я.А. Аксентьева, A.B. Казанцева, С.Н. Кудряшова, Ю.Е. Хохлова, Е.А. Широковой (см . [4], [5], [11], [23], [25],

Г Л Gl Г VI-71 ГОЛ1 \

l4bj, L'WJ, lA/j ).

Распространение понятия конформного радиуса на многосвязный случай приведено в работах [62], [63]. В связи с этим вопрос о числе решений внешней ОКЗ в случае конечносвязных и счетносвязных областей, рассмотрен в [10], [20], [21], [22].

Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью выделения новых классов единственности решения внешней ОКЗ . Целью диссертации является получение достаточных условий единственности критической точки конформного радиуса в виде неулучшаемых признаков, а также установление единственности решения внешней ОКЗ в подклассах однолистных функций.

Перейдем к изложению основных результатов работы .

Диссертация состоит из восьми параграфов, объединенных в две главы . Нумерация утверждений и формул ведется по параграфам .

V V/

В первой главе решены экстремальные задачи для площадей при конформном отображении и неравенства изопериметрического типа применены к оценкам конформного радиуса .

В §1 решены экстремальные задачи для площадей при конформном отображении единичного круга . Задачи такого типа рассматривали Гуд-ман [55] и С.Ямашита [64]. В [64] получены точные значения

1

шах о\ (Ег) I и шах с

/еБ 1 1 /б?

F

■(Е,О

/

, где ст^Д^)] обозначает площадь об/00

раза круга Ег = {г: \г\ < г} при отображении функцией /7(2), ^(г) =

а функция /(г) = г + аггг + а3гъ +... е 51, т. е. является регулярной и однолистной в круге Е = {г: \г\ < 1}. В данном параграфе рассмотрены аналогичные задачи на подклассах из в частности, в подклассе Бм таких функций /(г) е 5, которые по модулю ограничены величиной М >1, а также

для регулярных в Е функций /(г). ТЕОРЕМА 1.2 . Пусть функция

/00 = 2+ Ф о,

ы з

(0.8)

регулярна в Е,

= 6а3г

2 /'00

ГО0

(0.9)

Тогда справедлива оценка

<7

6 аъ2

яи)

= сг

У 00

<4 л-

(0.10)

1

при выполнении неравенства \а3\< - и одного из следующих условий:

6

I ¡2 | |2 1

I)g(z) е5 и \а3\ +2\а4\ <—;

II)§{2)е8 и \8"Щ< 2^2-

III)§(2)еБм, 1 < М < 2 + л/3;

Некоторым видоизменением теоремы 1.2 является ТЕОРЕМА 1.3 . Пусть функция /(г), заданная с помощью соотношения ( 0.8 ), регулярна в Е и g(z) определяется равенством ( 0.9 ) . Тогда справедлива оценка (0.10) при условии, что

11тЛЮ|~Ш6 Ы 8(2)е8'

Экстремальные задачи для площадей, рассмотренные в §1, используются в дальнейшем в параграфах 5 и 6 для получения достаточных условий единственности критической точки конформного радиуса .

Во втором параграфе получены утверждения, связанные с минимизацией площадей при конформном отображении кольца и круга с концентрическими разрезами . Доказан аналог теоремы Д.В. Прохорова [38] о минимизации образа кольца при отображении регулярной функцией , также в данном параграфе по-новому доказано известное классическое неравенство Карлемана [52], которое используется в дальнейшем.

В третьем параграфе с применением неравенств изопериметрическо-го типа из монографии [36] представлена некоторая систематизация результатов, связанных с условием единственности критической точки конформного радиуса.

В работе [33] была доказана единственность решения внешней обратной краевой задачи для аналитических функций в постановке Ф.Д. Га-хова [16] в классах областей со спиралеобразными или звездообразными дополнениями . В связи с этой задачей возникла проблема выделения подклассов звездообразных контуров в некоторых классах простых контуров. В §4 получено достаточное условие звездообразности простого гладкого

контура Ь при ограничениях на кривизну и длину рассматриваемого контура. Приводится также достаточное условие звездообразности аналитических, за исключением полюса в оо, функций

1,

относительно точки уу = 0, не принадлежащей образу > 1 при отображении функцией м> = Еп{£).

Во второй главе доказаны теоремы единственности для максимума конформного радиуса и для внешней обратной краевой задачи [16].

В пятом параграфе получены достаточные условия единственности критической точки ( максимума ) конформного радиуса с использованием неравенств изопериметрического типа. К ним относится следующая

ТЕОРЕМА 5.1 . Пусть функция ( 0.8 ) регулярна в круге Е, а для

функции Е(г) = ^ ^ выполняется неравенство

<7(70 = о[р(Е)] = ¡1\р'(г)\2¿хду < 4лг, г = х + гу. ( 0.11 )

Е

Тогда г-0 - единственная критическая точка ( максимум ) конформного радиуса Щг) = (Е),/(г)] = ¡/'0)|^1 - \г\2Е, причем постоянную

4 я- в ( 0.11) увеличить нельзя.

Построение достаточных условий единственности критической точки конформного радиуса в форме ограничений, ставших традиционными в теории достаточных признаков однолистности, рассматривается в шестом параграфе. С использованием метода подчиненности основные результаты этого параграфа сформулированы в виде теорем 6.1, 6.2 и 6.3. В качестве следствий из результатов решений экстремальных задач для площадей из §1 получено несколько утверждений о единственности максимума конформного радиуса.

Для установления теоремы единственности для внешней ОКЗ в подклассах звездообразных функций и функций с ограниченным вращением в

седьмом параграфе приведены точные оценки для функционалов при использовании условия подчиненности . Пусть в круге Е для функции ( 0.8 ) выполняются подчинения

1 + у0г \ +

и

^ при а + /?>0 и а, е (-1, 1].

1-0^ /(г) 1-аг В плоскости а + 1/3 найдены границы областей и которые обеспечивают выполнение импликаций, соответственно,

\-аг ,/'00 1 + ^

/{£) 1-аг

, а+ 1(5 ^ 01

т.

/"00

/'00

< , 0<т<2, и ЗшЫ

<-Чг, 0<т<2.

1-Ы'

На основе доказанных теорем 7.1 и 7.2 в §8 сформулировано утверждение о единственности решения внешней О КЗ . Отметим, что плоскость параметров а-\-iJ3 можно связать с плоскостью параметров (а, Я), причем

каждый допустимый в теореме 8.1 параметр а + \р определяет величины

а и В. , приводящие к кругам \уу - а\ < Л, которыми покрываются области

с /"'(г)

значений функций ^ = или = г ,с- комплексная по-

стоянная .

Выделим основные результаты работы :

- в подклассах регулярных функций получены оценки площадей при конформном отображении единичного круга;

- найдены ограничения на параметры а + г/З, позволяющие получить точные оценки для функционалов при использовании условия подчиненно-

1 +

сти

вида -

1 — I

аг

- установлены новые неулучшаемые условия единственности критической точки конформного радиуса;

- доказаны теоремы единственности решения внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [8], [9], [12], [28], [29], а также в тезисах докладов третьей Суслинской конференции [50] ( Саратов, июль 1994 г.) и в тезисах докладов научной школы - конференции „Теория функций и ее приложения" [37] ( Казань, июнь 1995 г.). В статье [9], написанной совместно с Л.А. Аксентьевым и A.B. Казанцевым, автору диссертации принадлежат результаты §2, а также следствия 4 и 6 из §3, в работе [8], выполненной в соавторстве, основные идеи статьи предложены Л. А. Аксентьевым и А. В. Казанцевым, в статье [28], написанной совместно с В.П. Миккой, автором получены результаты §2, в работе [12], выполненной совместно с Е.А. Бабенко, соавтором установлена точность четвертого знака константы а0.

По мере получения результаты работы докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете ( руководитель - профессор Л.А. Аксентьев ), на итоговых научных конференциях Казанского и Марийского государственного университетов ( 1993-1998 гг.), на научной конференции „Вавиловские чтения : диалог наук на рубеже XX-XXI веков и глобальные проблемы современности" ( Йошкар-Ола, декабрь 1996 г.).

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям профессору Л.А. Аксентьеву и доценту В.П. Микке за ценные советы и постоянное внимание к работе, а также доценту A.B. Казанцеву за полезные замечания в процессе получения результатов диссертационной работы .

ГЛАВА I

НЕРАВЕНСТВА ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ

§1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЛОЩАДЕЙ ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ЕДИНИЧНОГО КРУГА

Пусть 5 - класс функций /(¿) = г + а2г2 + а3г3 +..., регулярных и од/О)

нолистных в круге Е = < 1}, ^(г) =-и

2п

¡в

г^с J \га угс

\г\<г О

г = х+ту = геюплощадь образа круга Ег - < г) при отображении функцией /(г). С.Ямашита [64] получил точные значения

1

шахо\ЕЛЕГ)I и шахе

/е8 1 л /еБ

<БГ)

V '

Решим аналогичные задачи на подклассах из

1°. В подклассе таких функций /(г) которые ограничены по модулю величиной м > 1, имеем

оо 2 Ок

шах о[/(Ег)]= 71' тах Цк-\ак\ г = стм(г).

Ясно, что сгм(г) является возрастающей по г функцией и

<тм{\) - 7гМ2. Предельная величина площади будет достигаться на функциях, отображающих круг Е на круг радиуса М с разрезами.

При ослабленной нормировке функции / (г), а именно,

/(г) = ах2 + а^2 +... экстремальной будет функция Мг и сгм(г) = яМ2г2.

В главе 2 будет применено одно утверждение для класса Именно, справедлива

ТЕОРЕМА 1.1 ([30], с.75). Для функции /(г) е Бм имеет место нера-

венство

сг

1п ¿^-(Е) 2

<2я\пМ

со знаком равенства только для функций, отображающих Е на круа

\м>

< М с разрезами нулевой площади.

Найдем теперь оценку для величины а

Е

/

при условии, что

/{г)е8м. Пользуясь тем, что /(г) - однолистная функция, мы можем применить внешнюю теорему площадей ([17],стр.49) к функции 1

/

= г-а2 +

-п

(Ы >1) и затем получить

п=1

00

|2

Тп\ъпГ <1.

п=1

(1-1)

В применении к функции /(г) еЗм последнее неравенство (1.1) запишется в усиленном виде:

Далее, имеем

00 I |2 1

1 и-р» -1~-Т72-п=1 М

= 1-а2г+ ХЬп2п+1,2еЕ.

п=1

(1.2)

, , ( п

Используя теперь оценку \а2\ <2 1--для /(г) <еБм [30], (1.2) и нера-

V М)

п+1

венство-< п, получаем :

/

= ж

п=1 ^

<7Г

4 1

Р2

М)

г2 +

1

+ 2г

V

V мV

2 +г"

4 2-Г

м м2

Следовательно,

сг

(Е)

/

<2 к

\ 4 1

3--+ -

м м1

(1.3)

2 . Если в подклассах класса 5 пользоваться обычными оценками коэффициентов для всего класса т. е. |ал | < и [53], а не специальными

оценками, характе�