Теоремы существования, единственности положительности решений и оценки решений для различных классов линейных и нелинейных операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГАЛКИНА ВАЛЕНТИНА АНДРЕЕВНА

•ТРвГч? я ■ а га (ш л я / я т » жл-я " ■ ч-лЗш « таг т. • /п т. я

ЕДИНСТВЕННОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

(01.01.01 - Математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Ставрополь-1995

Работа выполнена на ка4)едре высшей математики Ставропольского государ-сп>с'пого технического университета

Научные руководители: академик Международной академии информатизации, член-корреспондент АН Таджикской ССР, доктор физико-математических наук, профессор Стеценко В.Я.;

кандидат физико-математических наук, доцент Исаев Г.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Семенов Е.М.

кандидат физико-математических наук, доцент Рябогин А.К.

Ведущая организация: институт математики при Воронежском государственном университете.

Защита диссертации состоится « & » 1995 г, часов

на заседании.диссертационного Совета К 064.11.03 в Ставропольском государственном техническом университете по адресу: 355038, Ставрополь, пр. Кулакова, 2, зал заседаний, 2 этаж.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского государственного технического университета.

Автореферат разослан « Ч » . ТлУ 1995 г.

Учёный секретарь диссертационного совета - -■ - дропцев Е.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

Актуальность темы. В работе исследуется уравнения вида

х=В(х)+Г, ( : /

Хх=В(х)+Г,

Хх=Р(х), .....(3)

. . ... ,х=у(х)....................... (4)

с линейными или нелинейными оператс' ,'х),Г(х),У(х), монотонными, однородными, положительными, аддитивными на предмет существования" у~ этих~урав"нёний" положительного " решения, оценки

-ОПОЧоййА- ЧСЛУС-ПО л ^ ~. г,™ -- -

реШеНИе. При этом ¿'ОТЬунл&ё УроБНеКИЛ С1) , С"; . (?) ,Г'^-

сматриваются в банаховом пространстве Е, относительно которого предполагается,что в нём введена полуупорядоченность при помонш конуса К- множества неотрицательных элементов. Уравнения (1)-(4) с указанных позиций являлись объектами многочисленных исследований, проводимых М.Г.Крейном, Л.К.Канторовичем, М.А.Красносельским, М.Л. 'оллатцем, И.Шредером, И.А.Бахтиным, Ю.В.Покорным, В.Я. Стеценко и их последователями и учениками. ~

Тот факт, что задачи являлись объектами изучения многочисленных авторов, легко объясним, так как соответствую^,-; уравнения являются абстрактной формой записи ряда интересных задач, в том числе и прикладного характера. (Достаточно упомягуть системы алгебраических уравнений, интегральные уравнения, краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений математической физики, задачи математической экономики, теории ядерных реакторов -И др.). ,Несмотря_на достаточно содержательное разьитие этой теории существуют определённые области теории, которые по тем или иным причинам не получили должного развития, а это ограничивало ^дальнейшие_ возможности применения теории к исследованию ряда интересных задач.

Данная работа посвящена попыткам восполнить соответствующие пробелы теории в направлениях, о которых более подробно говорится б описании содержания работы.

Цел:, работы: Получить новые теоремы существования положительного решения нелинейного операторного уравнения второго рода, оценить значение параметра Л.для которых эти решения сушест-

в уют, получить признаки существования положительного собственного вектора у нелинейного операторного уравнения (3), r^v4HTb оценки (векторные) решения,а также оценки абсолютной и относительной погрешностей приближенного решения таких уравнений.

Методика исследования. В работе применяются и развиваются методы исследования линойных и нелинейных операторных уравнений,, рассматриваемых в полуупорядоченных банаховых пространствах, а также в банаховых пространствах, в которых введены две полуупорядоченности, установленные при помощи двух конусов Ki и К, причём KCKi, разработанные в работах М.А.Красносельского и его учеников (И.А.Бахтина, П.Н.Забрейко, Ю.В.Покорного, А.И.Перова, В.Я.Стеценко и др.), а для приложений полученных результатов применяется, как правило, известная методика сведения конкретных г;дач к операторному уравнению того или иного класса. В работе используются понятия к терминология кг« теории полуупорядоченных пространств и положительных операторов.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В вещественном банаховом пространстве Е с конусом К (соответственно, с двумя конусами К и Ki, KCKi) получены новые факты по теории нелинейных операторных уравнений. В частности :

1) доказаны новые теоремы существования положительных решений, разработаны методы фактического решения (точного или приближённого) ;

2) указана локализация множества значений параметра X, для которых уравнения (2), (3) с линейными (В(х)), соответственно, нелинейными (F(x)), операторами имеют положительное решение;

3) получены новые оценки решения уравнения (2);

4) указаны новые оценки спектральных характеристик

Х(В),Х(В) оператора В,- являющихся в нелинейном случае аналогом понятия спектрального радиуса линейного оператора;

5) установлены новые признаки существования положительного собственного вектора у нелинейного оператора В(х);

6) указан метод, позволяющий построить приближения к собс-тв- ¡ному векгору по недостатку и по избытку, а также метод оценки (.'Тноотельной погрешности полученных приближений.

Л^товерьооть основных научных положений и подученных результат • в обеспечивается строгостью постай., .ьки ...¡,vi"p. м печати-

ческим обоснованием результатов.

На защиту выносятся :

1) новые теоремы существования положительных решений нелинейных операторных уравнений второго рода, а также методы фактического решения (точного или приближённого) таких уравнений;

2) новые векторные оценки решения операторного уравнения второго рода; —

3) оценки снизу и сверху спектральных характеристик Л(В), Л(В) оператора В(х);

4) новые теоремы существования положительного собственного вектора у нелинейного положительного оператора В(х);

5) метод построения приближения к положительному" собствен-

ИЗбЫТКУ;

6) оценки относительной погрешности метода последовательных приближений при решении нелинейных уравнений с операторами обобщённого сжатия.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. • Результаты диссертации могут быть использованы в целях дальнейшего развития теории нелинейных операторных уравнений и в их приложениях к теории нелинейных интегральных уравнений, краевых задач для уравнений математической физики, в задачах математической экономики (задачи балансов многосекторной экономики, задача производственного согласования отраслевых систем и т.д.).

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры высшей математики СтГТУ (1992-1995 г.г.,О на ХХШ (1993 г.), на XXIV (1994 г.), на XXV (1995 г.) научно-техни-— ческих-.конференциях. -СтГТУ.яа.IX научно-технической конференции . СВВИУС (1995г.), на конференции Международной школы-семинара (1995 г., г.Теберда), на научной конференции "Современные методы .-нелинейного анализа"_посвященной 75-летию М.А.Красносельского. (1995 г., г.Воронеж)..

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 10 научных работах, в том числе тезисах 5 докладов, пяти-статьях.

В совместных работах [2,3,4] постановка задачи принадлежит научному руководителю В.Я.Стеценко, а исследование - диссертан-

ту. Все вошедшие в диссертацию результаты (гл.1 - гл.З), за исключением $ 3.2, § 3.3, порученных диссертантом в соавторстве с руководителем Стеценко В.Я., принадлежат диссертанту.

Структура диссертации. Диссертация содержит 141 страницу и состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 53 наименований.

Автор выражает благодарность счоему научному .руководителю В.Я. Стеценко за постановку задачи и руководство работой.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

в $ 1.1 рассматриваются уравнения второго рода

х=В(х)+Г (1)

с нелинейным монотонным оператором В(х), определённом на элементах х£К, при этом предполагается, что В(х)бК при хбК.

Предполагается также, что-В(х) - полуаддитивный оператор и удовлетворяет также.следующему условию:

вах)И°В(х), (1:>1,а-соп51, 0<о«,1). (6)

В приводимых ниже результатах сохранена та же нумерация.что и в основном тексте диссертации.

Введены определении непрерывности оператора слева и справа по конусу К в точке х^ек для этих операторов.

Теорема 1.1. Пусть для каждого х£К В(х)ск, т.е. В - положительный на К оператор. Пусть конус К нормален.

Тогда В(х) непрерывен слева по конусу К в любой' точке х* конуса К.

Аналогично формулируется теорема о непрерывности оператора справа.

' В связи с соответствующими приложениями теории некоторые из полученных в § 1.1 результатов развиваются на случай пространств, и которых введены две полуупорядоченности. Приведём некоторые из утверждении в Ь 1.1, установленные на этом пути.

^Тесуемя 1.2. пусть К и Кг- конусы в.Е, причем К1- нормален, а оператор А - аддитивен, однороден и АК1СК.

Тогда оператор А непрерывен слева по конусу К1 в каждой

точке конуса К.

Теорема 1.4. Пубть операторы А и В оставляют инвариантными '

1

конус К и монотонные на К относительно Кг, т.е. из х.убК, х<у г 1

следует, что Ах<Ау (В(х)<В(у)). Пусть, далее, оператор А и0-ог-раничен сверху на конусе К и

Ати0а0и0. . (1.16)

Наконец, предположим, что оператор В(х) подлинеен относительно оператора А, АКгСК и что конус К является Кг-нормальным конусом. Тогда уравнение

■* ~ • -г ■ " • •--- 1УЖИ1 ТГ —---• --------• •----- -----14-.- I Г (

при всех Г6К имеет, по крайней мере, одно решение х*£К для всех Это решение может быть получено по методу последовательных приближений:

Ххп+г=В(хп)+Г,(п=0,1,2,. .) (1.18)

при х0=(1/Х)-Г. При этом в К не может быть двух сравнимых по конусу Кг решений уравнения (1.17).

Теорема 1.5. Пусть конус К нормален, оператор А положителен

Ати0<Л0и0 (и0£К, и0*8).

Тогда для и при любом Г€Еи0 последовательные приближения

----------- - .Хп=(1А).(Ахп-!+£)_. (п-1,8,...) ______________(1.27)

сходятся к решению уравнения

\у=Ау*г, (1.24)

начиная с любого нулевого приближения е€Еио. Для которого при некотором р0 выполняется включение

(1.28)

Теорема 1.6. Пусть конус К нормален, положительный оператор А и0-ограничен сверху и

Ати0< *ои0 (и0ек,и0*8).

Тогда при Л> Ао и любого Г £ ЦК) последовательные приближения (1.27) сходятся к решению I? { уравнения (1.24) при любом выборе начального приближения ¡¡бЬСК), удовлетворяющего одному из условий:

е К, АКо(Ае-АЕ-П 6 (-К). (1.30)

Утверждения ряда.теорем § 1.1 остаются в силе, если требование подлинейности оператора В заменить некоторыми дополнительными условиями, предъявляемыми к свойствам конусов.

В § 1.2 рассматривается уравнение вида

Ах=В(х)+Г (1.36)

с параметром Л в банаховом пространстве Е, полуупорядоченном конусом К, который предполагается телесным и нормальным. Относительно оператора В предполагается, что В-положителен и монотонен на К, однороден.

Самым естественным примером оператора, обладающего перечисленными свойствами, является линейный положительный оператор. В этом параграфе показано,что для уравнений вида (1.36) имеет место достаточно полная аналогия с теорией положительных операторных уравнений, т.е. уравнений вида

Хх=Ах+Г, (1.39)

где А - линейный положительный оператор.

В теории линейных уравнений (1.39) важную роль играет спектральный радиус г (А) спе^тора А. Для случал уравнения (1.36) аналогом г(А) является, как будет установлено ниже, число

Л(В) - спектральная характеристика оператора В. В этом параграфе

устанавливаются новые связи между положительной разрешимостью

уравнения (1.86) и "расположением" параметра х относительно Х(В), рассмотрены оценки решения х* уравнения (1.36) и ряд других вопросов, связанных с этим уравнением.

следующая теорема позволяет получить оценку Х(В) сверху,

исходя из поведения оператора В на одном фиксированном элементе конуса К. Заметим, что в теореме 1.11 телесность конуса "К не используется.

Теорема 1.11. Пусть оператор В(х) 1!0-ограничен свеоху и для • некоторого-Уо>0:-Уо>вио, где. в>0,. выполнено неравенство:

Тогда

Х(В)<сс. (1.42)

Следующий результат показывает, что Л(В) является полным

аналогом спектрального радиуса полуаддитивного однородного оператора.

Из этой теремы вытекает, как следствие, один из центральных результатов Адель-Таха: пусть У0 - внутрзнний элемент конуса К и

ВТУо) < «У0.

тогда

А(В)«ос.

Теорема 1.12. В условиях следствия теоремы 1.11 для каждого Л:Л>а и каждого 1Г>0 уравнение (1.36) имеет и при том единственное решеш.е.х*=х(П >8 „..которое может быть получено методом последовательных приближений (1.18) при лпбом начальном приближении хо>8. При этом справедлива оценка.погрешности ({.56):

-^[51(ап/Хп)]/[1-(а/Л)]Ло «х*-хп «Гб1(йп/Ап)7/Г1-(ап/Ап)]}\'0, где 51>0 таково, что >-5У0 < х^-Хо ^ З^о-

Имея оценку (1.56) легко получить оценку близости Хп к х* в норме пространства Е. В самом деле, из (1.56) в силу нормальности конуса К вытекает следующая оценка:

. || х*-хп II <[М51у(Л-й)](а/Л)п ||У0||.

В итоге результаты § 1.2 позволяют получить эффективные достаточные условия положительной разрешимости уравнения (1.36),' определить множество значений параметра А, при которых это уравнение имеет единственнЬе решение и для которых сходится метод последовательных приближений, а также содержит оценки близости п-го последовательного приближения к точному решению этого уравнения.

В § 2.1 продолжается изучение свойств характеристики Л(В) при менее жёстких, по сравнению с § 1.2, ' ограничениях. В частности, не предполагается телесность конуса К, вместо неё вводится существенно менее жёсткое предположение о том, что. оператор и0-ограничен сверчу.

Теорема 2.1. Пусть оператор В(х) является и0-ограниченным сверху и

Вт(и0) ^ «хи0. (2.1)

Тогда

Л(В) <У~1 . (2.2)

Аналогично ('георема 2.1) указана оценка для Л(б) снизу, исходя из поведения оператора- В на одцода фиксированном ненулевом элементе и конуса: из неравенства В(11)>[Ш следует неравенство Х(В)>в.

В § 2.1 диссертации вводится ещё одна новая характеристика Х(В) однородного монотоннного оператора Б(х). В частности, доказана теорема:

Теорема 2.4. Пусть конус к телесен, а оператор В(х) монотонен, однороден и неразложим.

Тогда

МВ)>Х(В). .' (2.10)

В случае, когда наряду с условиями теоремы 2.4 выполнено ещё одно дополнительное условие полной непрерывности оператора В(х) вместо неравенства (2.10) имеет место равенство: А(В)=А(В).

В § 2.2 для доказательства этого равенства устанавливается теорема о существовании положительного собственного вектора у оператора В(х).

Теорема 2.5.Пусть конус К нормален, телесен, а оператор В(х) У^-монотонен, где внутренним элемент К, однороден и ».пплн»» непрерывен, причём Л(В)>0.

Тогда Я(В) -позитивное собственное значение оператора ВСх).

Далее (теорема 2.6) устанавливается, что собственное подпространство оператора В(х), отвечающее-собственному значению

Л(В)=А(В),

одномерно.

Приводится также теорема, показывающая, что Х(В) обладает другими важными свойствами спектрального радиуса линейного оператора.

Теорема 2.7. Пусть конус К телесен, а однородный, монотонный, полуаддитивный оператор В(х) неразложим.

Тогда для каждого А>А(В) и каждого Г>8, уравнение (1.36) имеет и при том единственное решение х*=х(П>8, которое можно получить методом последовательных приближений (1.18) при любом начальном элементе х0ек.

Указано также развитие этой теоремы на случай пространства, конус К которого не обладает свойством телесности.

Заключительный пункт § 2.2 посвящён доказательству признака неразложимости нелинейного оператора.

В работах ряда автс.ров были получены результаты о разрешимости в банаховом пространстве Е, полуупорядоченном конусом К уравнения вида

х=Вх+Г

с действующим в Е линейным непрерывным оператором В. § 3.1 посвящен нелинейному уравнению вида ^

х=и(х), _

где 11(х)-оператор, определённый на Е или на некоторой её части со значением в Е.

В § 3.1 доказаны теорема существования решения, теорема единственности решения, теорема о непрерывной зависимости решения уравнения

х=1Дх,Х)

от параметра X.

Наибольший интерес,' как нам кажется, представляет результаты п.3.1.3. этого параграфа. В этом пункте приводится теорема об оценке близости решения двух близких (в некотором смысле) операторных линейных уравнений.

Приводится также теорема об оценке решений. Теорема об оценке решения. Пусть 1!0,\о - такие два элемента, что

, УоМ^о-Агис^+ки!), (-Уа) [ ио<А1ио-А2Уо+?0-1?(Х1), (=111)

где Г3, £ такие элементы, что Г°<Г«Г, ария такие две неотрицательные постоянные, что

и1-и0>р(У0-У1), У0-У1>д(и1-и0)

и

т=гп1п(р,д).

Тогда, при выполнении всех предположений этого нункта, уравнение

У=(В1-В2)У+Г (3.27)

имеет решение у*,причем

(Ui+mVj) /(l+m)<y*< (Vi+itlUi)/(l+m)

и, в частности,

Ui<y*<Vi. (3.29)

В § 3.2 рассматривается задача на собственные значения,

т.е. задача отыскания ненулевого решения уравнения

xx=F(x) (3.63)

)

где F(x) - нелинейный или линейный оператор, действующий в бана- ' лоном «т-^при«^- ГСА ««¿-^ -

при хбК, иными словами, оператор F(x) положительный. Как известно, при определенных предположениях относительно F или К уравнение (3.63) может иметь для некоторого А=Х0 (или для множества значений X) решение (или множество х(Х) решений),принадлежащее К, т.е., иными словами, положительный собственный вектор. К отысканию положительных собственных векторов нелинейных, а также линейных оператров приводят многочисленные физические, технические, экономические задачи. Однако, как правило, собственный вектор х* может быть найден точно лишь в редких случаях, поэтому возникает задача построения достаточно точного приближения к собственному вектору.При этом особый интерес представляют такие приближения U,V к х*, которые удовлетворяют неравенству:

U<x*«V;

"такие приближения естественно- рассматривать как приближения, по,, недостатку (U) и по избытку (V) к собственному вектору х*. В связи с этим возникает вопрос и об оценке погрешности. Естественно, что в задаче на собственные значения (особенно в случае линейного оператора) особый интерес представляет оценка не столько абсолютной, сколько относительной погрешности приближения к собственному вектору. Несомненный интерес представляет также построение таких последовательностей Un.Vn. которые сходятся к х* и при этом

Un<x*<Vn.

В § 3.2 указан метод построения приближений Un> Vn таких, что Un<x«Vn. при этом Un.Vn при п -> °° сходятся к собственному вектору х* оператора А, отвечающему г(А) и устанавливается явная оценка относительной погрешности, которая получается, если за х* принять элемент Un(Vn).

Далее рассматривается уравнение (3.63) с нелинейным оператором F(x), действующим в полуупорядоченном пространстве Е с нормальным конусом К. Оператор F(x) будем предполагать монотонным на К. Кроме того предполагается, что

F(ax)<«V(x) (3.87)

для всех х£К и всех «£[1;+<») , где ц<1. ц-const.

Теорема 3.3. Пусть для некоторого U0eK, Uo^B, элементы U0 и F(U0) принадлежат одной составляющей конуса К. Пусть оператор F(x) удовлетворяет условию (3.87).

Тогда для всех хе (о ;+<*>) оператор F(x) имеет на CK(U0) собственный вектор х*(А), отвечающий собственному значению Собственный вектор х*(А) может быть получен методом последовательных приближений

Xxn=F(xn-i) (п-1.2....) (3.93)

при любом начальном приближении x0ecK(U0). При этом справедливы оценки

|х*-хп| 4>п "Рп

- <N(e -1)е ) (3.94)

»хн|

где N - постоянная нормальности конуса К, а

Фп— -d(xi,x0) -о- ^

l-,u п-*»

d(x,y) - постоянная, вычисляемая по некоторой явной формуле.

До сих пор мы рассматривали уравнение (3.63) с нелинейным

оператором F(x), являющимся монотонным на К. Ряд задач сводится к уравнениям вида (3.63), в которых оператор F(x) антимонотонен: т.е. из e<xi<x2 следует, что F(xi)>F(x2).

Для уравнений с антимонотонными операторами доказано:существование положительного решения уравнения .;=F(x) и при некоторых дополнительных предположениях теоремы о едгаственности решения, О fnnnuowuu nomauuft-u rvnnuunpiru и&пьпп а пгу^пллптаат'л.пыт'-п/

приближений к этому pomoHT**5 ■

В § 3.3 для исследования уравнений с равномерно вогнутыми операторами использован следующий принцип неподвижной точки.

Определение. Пусть {Х,р> -метрическое пространство, F(x) -оператор, действующий в X и удовлетворяющий условию:

p[F(x),F(y)] <р(х,у)-д[р(х,у)] , (3.118)

где д(11)-непрерывная функция, обдадающая следующими свойствами:

1.MU)>0 при U>0 ;

2.Функция Ш-д(11)] возрастает при U>0.

Оператор F, удовлетворяющий условию (3.118), называется оператором обобщенного сжатия.

Теорема 3.9. Пусть оператор F(x) преобразует в себя полное метрическое пространство{Х,р> и является оперг.тором обобщённого сжатия на -(Х.р)-.

Тогда F(x) имеет в X и при том единственную неподвижную точку х*:

F(x*)=x*, (3.119)

К неподвижной точке х* сходятся последовательные приближения

xn=F(xn-i) (п=1,2,...) (3.120)

при любом начальном приближении х06Х.

В процессе доказательства теоремы фактически получена оценка близости приближения хп к неподвижной точке х*.

В п. 3.3.3 этого параграфа, используется понятие равномерно и0-вогнутого оператора.

Теорема 3.11. Если оператор Fix) равномерно U0-вогнут на

КОНУСНОМ отпо-э^' v!Jr.4 то f'y) ЯВЛЯеТСЯ на МНС^'Ч'Т';'

<lxU0, vU0> оператором обобщённого сжатия метрического пространства <uU0.vU0> с метрикой d(x,у);

Теорема 3.13. Пусть оператор F(x) равномерно U0-вогнут на конусном отрезке <ixU0,vU0>, а конус К нормален.

Тогда F(x) имеет на <p.U0, vU0> единственную неподвижную точку х*. К этой неподвижной точке сходятся последовательные приближения

xn=F'(Xn-i) (п=1,2,...)

при любом начальном приближении x0e<jiUo. vU0>.

Эта теорема и теорема 3.14,(которую приведём ниже), существенно, на наш взгяд, развивают исследования И.А.Бахтина в плане получения оценок абсолютной и относительной погрешностей приближения хп к решению х*.

Теорема 3.14. В условиях теоремы 3.13 имеет место оценка

Цх*-хп|| г е -1 е

—---<\ 2Ne +1 (е -1) (3.130)

Ix* II L -1

относительной погрешности приближения хп.. Здесь п-число, выбираемое по s>0 так, чтобы для него выполнялось неравенство

d(Xn,Xn-i)<mln{E/2, min ln[l+n(n,,v,ti/v,e~4) > , (3.129) v e/2<U<S 1

в котором функция n(pL,v,a,b) -из определения равномерно вогнутого оператора.

В п.3.3.4 рассматриваются достаточно общие признаки равномерной и0-вогнутости нелинейных интегральных операторов типа Гаммерштейна:

F[x(t)]=JK(t,s)f[s,x(s)]ds, (3.133)

8

где K(t,s) непрерывное равномерное, ядро, действующего в Cffi) оператора, a f (s,u) (s е ft,u>0) непрерывна по совокупности переменных, неотрицательная и почти при всех.s положительна при и>0.

Лемма 3.8. Пусть ядро K(t,s) равномерное, а функция f(s,x) V-квазивогнутая.

Тогда оператор FCx(t)] равномерно вогнут и оставляет инвариантным каждый конусный отрезок <сш0,ии0>, где и0=и0(Ь)-функция

u0(t) = ÎK(t,s)ds, (t02) (3.132)

...... .......' • il ' ------- "

a « и 3 такие положительные числа, что а<1<в и

сс1"^ u"o« F(u0) <S1~V u0 ,

Лемма 3.8. Пусть F(x) оператор обобщенного сжатия"преобра-

пространства R в себя. .........

Тогда F(x) преобразует в себя также и множество

M=T(x0,OnT[xi,E.-A(?J],

где xi=F(x0).

Теорема 3.15. Пусть K(t,s) - непрерывное, неотрицательное

ядро

a-tpCtUis)« K(t,s)< b-4>(t)4>Ts), a>0, b>0, <Ks)>0

f(s,x) - непрерывная по совокупности переменных, положительная при х>0 и fts,ï<p(s)]>0,(s е S2) невозрастаюшдя по х функция, причем для некоторой положительной возрастающей при х>0 и вогнутой функции w(x) функция

g(s,x)=w(x)f(s,x)

не убывает. Пусть для некоторых «о>0, Во>0» («о<Во) выполняются

неравенства

FCoc0u0] < BoUo. FCBou0] > «ol'o (3.136)

Тогда уравнение

x(t)= ^ K(t,s)fts,x(s)]ds (s£S2) (3.137)

имеет единственное неотрицательное решение x*(t), к которому сходятся по метрике d(x,y) последовательные приближения xn(t) = ^ K(t,s)f[s,xn-i(s)]ds, (п=1,2,..)

при л«6рм начальном приближении хп(s) е С(0). х,-.'^»'"1

Основные результаты диссертации опубликованы

. в, .следующих работах: ;

1. Галкина В.А. К теории итерационных методов решения нелинейных операторных уравнений /Ставроп. политехи, ин-т.-Ставрополь, 1993.-21с.- Деп. в ВИНИТИ,.1071- В 93, . ■

2. Галкина В.А., Стеценко.В/Я..Оценка относительной погрешности метода "последовательных приближений при решении урачн -"*я с оператором обобщенного сжатия / Ставроп... политехи. ■ ии-*.-Ставрополь, 1993.-18с,- Деп. е ВИНИТИ, 1070 - В 93.

3. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелиненых положительных операторов / Ставроп. политехи. ин-т.- Ставрополь, 1993. -26с.- Деп. в ВИНИТИ, 1069- В 93.

4. Стеценко В.Я., Галкина В.А. К спектральной теории однородных неразложимых операторов /13-й научно-технический сборник СВВИУС. - Ставрополь, 1995. - с. 108-112.

5. Галкина В.А. О некоторых свойствах однородного и0-моно-тонного оператора В(х) /13-й научно-технический сборник СВВИУС.-Ставрополь, 1995. - С. 97-99.

6. Галкина В.А. Сходимость последовательных приближений к решению уравнений второго рода с нелинейными операторами // 25-я научно-техническая конференция СтГТУ: Тез. докл.- Ставрополь, 1995, с.45-46.

7. Галкина В.А. Уравнения второго рода с нелинейными операторами // Международная школа-семинар: Тез. докл. - Тебер-да,1995.- С.32.

8. Галкина В.А. О разрешимости уравнений вида Xx=B(x)+f с полуаддитивными . монотонными операторами // Научная конференция ВГУ "Современные методы нелинейного анализа": Тез. докл. - Воронеж, 1995. - С.26-27.

9. Галкина В.А. Существование положительного собственного вектора у положительного оператора 3(х)." Тез.док.: 9-я научно-техническая конференция СВВИУС. Ставрополь, 1995.

10. Галкина В.А. "Теоремы о положительных решениях уравнений второго рода с нелинейными операторами //9-я научно-техническая конференция СВВИУС: Тез. докл. - Ставрополь, 1995.-С.108.