Теория резонаторов, содержащих негауссов элемент тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

Введение.

Обзор литературы.

Глава 1. Вывод основных соотношений, описывающих поведение луча в двумерном резонаторе с негауссовым элементом. Математическая формулировка задачи.

Глава 2. Аналитическое исследование аксиальной структуры поля излучения двумерного резонатора с негауссовым элементом.

Глава 3. Исследование неаксиальной области излучения двумерного резонатора с негауссовым элементом.

Глава 4. Исследование резонатора, содержащего негауссов элемент с поперечными периодическими оптическими неоднородностями.

Рисунки.

Выводы.

В настоящее время лазеры широко используются в научных исследованиях, технике, медицине и т.д. Во всех этих применениях приходится решать задачи, связанные с распространением пространственно локализованных лазерных пучков по оптическим системам различной природы. Существенным элементом любого лазера является резонатор. Создание оптимальных схем оптических резонаторов занимает одно из важнейших мест в квантовой электронике. Специфические свойства лазерного излучения - когерентность и направленность формируются резонатором. Поэтому создание оптимальных резонаторов позволило существенно увеличить качество выходного излучения [1,2]. Качество пучка определяется как г] = вЯ, где 26 - расходимость пучка излучения, Я - его радиус. Если в процессе прохождения излучения через оптическую систему (например, телескоп) величины в и Я изменяются, то т] остаётся постоянной величиной.

Особенностью резонаторов оптического диапазона является то, что их размеры существенно превосходят длину волны излучения, резонаторы являются открытыми, а лазерные пучки имеют узкий частотный спектр и малую расходимость. Эти обстоятельства способствовали созданию самостоятельной теории открытых резонаторов, заметно отличающейся от теории закрытых резонаторов СВЧ и других диапазонов.

В классических работах Когельника и Ли [3] по расчёту оптических резонаторов был использован аппарат лучевой матрицы («Закон АВСБ», см. рисунок 1.1), при помощи которого было описано поведение гауссовых пучков в открытых резонаторах со сферическими зеркалами. Было показано, что собственными модами таких систем являются гауссовы пучки разнообразной природы, пространственная структура которых характеризуется одним или несколькими комплексными параметрами. При этом движение центра гауссового пучка по гауссовой оптической системе подчиняется законам геометрической оптики. Изменения же пространственной структуры пучка описываются при этом системой алгебраических преобразований комплексных параметров этого пучка. Эти результаты были получены в предположении, что оптические схемы формирования и передачи лазерных пучков содержат лишь гауссовы оптические элементы, в которых расположение оптических неоднородностей в поперечном сечении описывается полиномом не выше второй степени от координат, т.е. при отсутствии аберрации. Предположение об отсутствии аберрации основывалось на том, что элементы резонатора обычно обладают небольшой оптической силой, лазерные пучки имеют узкий спектр и малую расходимость.

Подобный подход чрезвычайно упростил процесс анализа распространения лазерного пучка по оптической системе, в том случае, когда система гауссова. А поскольку подавляющее большинство оптических систем, встречающихся на практике, достаточно близки по своим свойствам к гауссовым, то неудивительно, что подобный метод получил чрезвычайно широкое распространение. Большинство расчётов в лазерной технике, теории резонаторов, лазерной оптике проводится в рамках гауссовой модели.

Однако в последние годы стало ясно, что не все оптические элементы в резонаторах могут быть описаны гауссовой моделью. В частности, термооптические неоднородности твердотельного оптического элемента при неравномерной накачке, различные нелинейные оптические элементы, оптические затворы с аберрациями -это далеко не полный перечень негауссовых элементов, которые часто встречаются в лазерной оптике. Существует и ещё одна причина, по которой влияние оптического элемента даже с незначительными негауссовыми искажениями оказывается существенным в резонаторе. Дело в том, что особенностью резонатора является то, что световые пучки в нём испытывают многократные отражения от зеркал и излучение многократно проходит через негауссов элемент. При этом искажение пучка на этом элементе может стать существенным за достаточно большое количество проходов при условии, что эти изменения будут резонансным образом складываться.

Не будет преувеличением утверждать, что все к настоящему времени значимые задачи, возникшие в рамках линейной лазерной оптики, связаны с отличием реальных лазерных систем от гауссовой модели. Это обстоятельство приводит к постоянному интересу исследователей к проблеме негауссовых оптических систем. Выполнено огромное количество работ по многочисленным направлениям этой проблемы. Выяснилось, что решение подобной задачи сопряжено с целым рядом трудностей, не встречающихся в гауссовой модели. Просвет появился лишь тогда, когда стало ясно, что трудности, с которыми сталкивается лазерная физика негауссовых систем, того же порядка и характера, что и проблемы, возникающие в теории динамических неинтегрируемых систем [51]. Сейчас исследование таких систем приобрело новые методы и новые понятия [4-6]. Это связано с открытием нового явления - динамического хаоса [59]. Оно заключается в том, что траектории системы могут представлять собой реализацию случайных временных процессов, хотя никаких случайных источников в уравнениях нет. Свойство хаоса автоматически означает неинтегрируемость системы. Оно присуще только нелинейным системам, каковыми и являются негауссовы системы (в том смысле, что преобразование координат луча в таких системах описывается нелинейными преобразованиями).

Первые усилия, предпринятые в этом направлении, принесли много научно значимых результатов. В работе Быкова В.П. [51] было обнаружено появление неаксиальных многоходовых структур в резонаторе с аберрациями. (Аксиальной областью излучения резонатора будем считать ту область, в которой лучи удовлетворяют условиям параксиальности, а неаксиальной областью, соответственно, ту область, где лучи не удовлетворяют условиям параксиальности.) Исследование резонатора с аберрационным элементом, проведённое Силичевым

0.0. и Малашиным П.О. [7,8], показало, что при формировании излучения в негауссовых системах возникает целый ряд принципиально новых эффектов: стохастизация пространственной структуры излучения, появление неаксиальных многоходовых мод, качественное изменение структуры излучения даже в аксиальной области вблизи так называемых резонансных значений параметра резонатора, где, как оказалось, «Закон АВСБ» не применим.

Однако оставались открытыми ряд принципиальных вопросов, на которые удалось ответить в настоящей работе:

1. Было известно из экспериментов как физических, так и численных [7,8], что аберрации лазерных систем приводят в ряде случаев к сильным искажениям структуры выходного излучения даже вблизи оптической оси. Стало ясно, что такие искажения наиболее сильно проявляются вблизи так называемых резонансных значений параметра резонатора. (Резонансные значения параметра резонатора - это такие его значения, при которых в отсутствии негауссова элемента координаты луча остаются неизменными после Г обходов резонатора, f - целое число, называемое порядком резонанса). Однако теории, в общем виде аналитически описывающей такие искажения, до настоящего времени не существовало. В настоящей работе впервые получено дифференциальное уравнение для двумерного резонатора с негауссовым элементом, в общем виде описывающее аксиальную лучевую структуру поля излучения в тех случаях, когда «Закон АВСО» не применим.

В работах по лазерной физике, в которых изучались резонаторы с негауссовыми элементами [7,51,77,78,79] было показано, что в неаксиальной области резонатора возможно возникновение областей хаотического поведения лучей [7,77], а также появление неаксиальных мод [51,78,79]. Эти моды могут быть аналогичны классическим аксиальным модам [78,79]. Однако принципиальным отличием резонаторов с негауссовыми элементами является появление в таких резонаторах многоходовых мод [51]. Важной задачей в теории резонаторов, содержащих негауссов элемент, является проблема нахождения условий возникновения и положения в пространстве неаксиальных мод. Задача нахождения одноходовых неаксиальных мод (аналогичных классическим аксиальным модам) довольно проста. В части первой главы третей настоящей работы эта задача аналитически решена для наиболее важных типов аберрации (кома, сферическая, смешанная аберрация). Однако решение задачи нахождения условий существования и положения в пространстве многоходовых мод не является тривиальным. Решение этой задачи связано с рядом трудностей математического характера, с которыми приходится сталкиваться в задачах нелинейных неинтегрируемых систем. В частности, для определения координат многоходовых оптических осей необходимо было решить систему двух рекуррентных уравнений порядка М х п, где М - количество проходов резонатора, при котором происходит замыкание многоходовых мод, п - степень аберрационной функции (п= 2 - аберрация кома, п-Ъ - сферическая аберрация). Автору данной работы впервые удалось решить эту задачу и аналитически найти условия возникновения и положение в пространстве многоходовых мод в оптическом резонаторе с аберрационным элементом. 3. Исследование резонаторов, в которых в качестве негауссова элемента выступает оптический, периодически неоднородный элемент, проводились в работах [80,81]. В работе [80] таким элементом была дифракционная решетка. В работе [81] периодическая неоднородность оптического элемента была продольной. В настоящей диссертации предпринята попытка изучения резонатора, содержащего элемент с недифракционными поперечными периодическими оптическими неоднородностями. (Будем считать недифракционными такие неоднородности негауссова элемента, на которых можно пренебречь дифракционными эффектами и воспользоваться приближением геометрической оптики.) В работе впервые аналитически описана лучевая структура поля для резонатора, содержащего негауссов элемент в виде фазовой пластины с недифракционными периодическими оптическими неоднородностями, вблизи резонансных значений параметра резонатора. Действие такого элемента способно в ряде случаев (когда параметр резонатора совпадает с резонансными значениями) ограничивать порядок мод выходного излучения, не уменьшая количества мод. Такие резонаторы, вероятно, будут обладать новыми технологическими возможностями.

ЦЕЛЬЮ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ЯВЛЯЕТСЯ аналитическое описание лучевой структуры поля в оптических резонаторах с различного рода негауссовыми элементами.

В РАБОТЕ РЕШАЕТСЯ СЛЕДУЮЩИЙ РЯД ЗАДАЧ:

Поставлена и решена задача аналитического описания аксиальной лучевой структуры поля двумерного резонатора с негауссовым элементом. Получено уравнение, описывающее поведение лучей вблизи оптической оси двумерного резонатора с негауссовым элементом.

Наряду с классическими аксиальными модами в резонаторах с негауссовым элементом могут существовать аналогичные одноходовые неаксиальные моды. Такие моды могут существовать и в неустойчивых резонаторах с негауссовым элементом. Найдены условия существования и положение в пространстве устойчивых неаксиальных одноходовых мод в резонаторах с аберрацией кома, сферическая и смешанная аберрация.

Характерной особенностью оптических резонаторов с негауссовым элементом является появление в таких резонаторах многоходовых мод. Эти моды формируются вокруг соответствующих им устойчивых многоходовых оптических осей. Предложена и реализована методика нахождения неаксиальных многоходовых оптических осей низкого порядка в резонаторах с аберрациями. Удалось решить задачу преобразования двух рекуррентных уравнений порядка Мхп (уравнения для нахождения координат М - ходовых оптических осей в резонаторе с аберрацией порядка п) в систему М рекуррентных уравнений порядка п, которые решать оказалось значительно проще. Найденные многоходовые оптические оси исследованы на устойчивость. Полученные результаты позволили: а) найти значения параметра резонатора, при которых существуют М-ходовые моды (М=3,4) в резонаторе с аберрацией кома и сферическая; б) определить положение многоходовых лучевых образований в пространстве.

Для резонаторов, содержащих элемент с недифракционными поперечными периодическими оптическими неоднородностями, решена задача аналитического описания лучевой структуры поля, когда параметры резонатора близки к резонансным значениям. Получены условия, при которых фазовый портрет излучения имеет сетчатую структуру. Для этих случаев найдена зависимость порядка мод выходного излучения от периода неоднородности такого элемента.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА ДИССЕРТАЦИИ СОСТОИТ В СЛЕДУЮЩЕМ:

Для резонаторов с негауссовым элементом параксиальное приближение в общем неверно. Им нельзя пользоваться для описания аксиальной структуры поля излучения в тех случаях, когда параметры резонатора близки к так называемым резонансным значениям. В работе впервые получено дифференциальное уравнение, которое в общем виде описывает лучевую структуру поля выходного излучения во всём диапазоне значений параметра двумерного резонатора и позволяет учесть влияние резонансов. Эти результаты удалось получить благодаря предложенной в работе новой методике аналитического исследования аксиальной лучевой структуры поля.

Впервые аналитически получены условия возникновения и положение в пространстве неаксиальных М-ходовых мод (М=1,2,3,4) в лазерном резонаторе с различными аберрациями (кома, сферическая). В случае, когда М=1 результаты получены также для смешанной аберрации. Эти результаты удалось получить благодаря предложенной в работе методике нахождения устойчивых многоходовых оптических осей.

Впервые аналитически описана лучевая структура поля двумерного резонатора, параметр которого близок резонансным значениям и внутри которого содержится элемент с недифракционными поперечными периодическими оптическими неоднородностями. Показано, как такие элементы в ряде случаев способны ограничивать порядок мод выходного излучения, не ограничивая количества мод.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ:

Дифференциальные уравнения, полученные в работе и описывающие лучевую структуру поля в аксиальной области, могут быть использованы при расчёте и проектировании лазеров, лазерных систем и приборов в тех случаях, когда «Закон АВСО» не применим.

При разработке широкоапертурных лазеров с высокими мощностями накачки активного элемента необходимо учитывать неаксиальные искажения выходного излучения, вызванные термооптическими аберрациями в активном элементе и приводящие к ухудшению качества излучения. К их числу относятся, появляющиеся в резонаторах с аберрациями, неаксиальные моды. Найденные в настоящей работе условия, при которых возникают такие структуры, позволяют проектировать схемы резонаторов с оптимальными технологическими свойствами излучения.

Предложенные в работе схемы резонаторов, содержащих недифракционные поперечные периодические фазовые пластины, способны уменьшить порядок мод выходного излучения, не уменьшая количества мод. В таких лазерах следует ожидать излучения, обладающего новыми технологическими возможностями.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ:

Для описания лучевой структуры поля в лазерных системах с негауссовым элементом нельзя пользоваться параксиальным приближением в тех случаях, когда параметр резонатора близок к так называемым резонансным значениям. В настоящей работе получено дифференциальное уравнение, описывающее лучевую структуру поля во всём диапазоне значений параметра резонатора, в том числе, и в тех случаях, когда параметры резонатора близки к резонансным значениям. Это удалось сделать благодаря тому, что двумерное преобразование координат луча за один обход резонатора было записано, как преобразование комплексного числа, что в дальнейшем позволило использовать аппарат работы с комплексными числами, существенно упростить выкладки, и получить компактное дифференциальное уравнение.

Предложенная в работе математическая методика понижения порядка уравнений для нахождения неаксиальных многоходовых оптических осей, позволяет аналитически решить эти уравнения. Исследовав эти уравнения на устойчивость, можно найти условия возникновения и положение в пространстве неаксиальных М-ходовых мод для значений М=1,2,3,4 в резонаторах с наиболее важными видами аберраций (кома, сферическая).

Для резонаторов, содержащих недифракционую поперечную периодическую фазовую пластину, существуют такие значения параметров резонатора, при которых фазовое пространство излучения имеет сетчатую структуру (см. рис.4.4, 4.8), элементарные ячейки которой соответствуют регулярным областям излучения, а скелет сетки обладает поворотной и трансляционной симметрией и образован равномерным слоем, где поведение лучей стохастично. Регулярное излучение находится внутри ячеек, а размер ячеек зависит от периода фазовой пластины. В этих случаях порядок мод выходного излучения может быть изменен путём изменения периода фазовой пластины, при этом количество мод останется неизменным. Такие структуры излучения могут возникать только в резонаторах, параметры которых соответствуют резонансам порядка £=3,4,6. В работе аналитически получена зависимость порядка мод выходного излучения от периода фазовой пластины.

По результатам диссертационной работы опубликовано 4 научных статьи. Результаты работы были доложены на XIV и XV научных конференциях МФТИ, на семинарах теоретического отдела ФГУП «НИИ Полюс» и ТУП «НПО Астрофизика», на семинарах лазерных центров МФТИ и МГУ.

Обзор литературы.

Лазеры, благодаря уникальным свойствам своего излучения, находят всё более широкое применение в научных исследованиях, медицине, военной технике, технологических процессах и др. [2, 9-18, 80, 82]. Не будет преувеличением утверждать, что все к настоящему времени значимые задачи, возникшие в лазерной оптике, связаны с отличием реальных оптических систем от гауссовой модели. Это обстоятельство приводит к постоянному интересу исследователей к проблеме негауссовых оптических систем. Выполнено огромное количество работ по многочисленным направлениям этой проблемы [7, 8, 49-51, 62, 65, 77-83]. Выяснилось, что резонаторы, содержащие негауссов элемент, имеют качественные отличия от идеальных резонаторов. В таких системах можно наблюдать принципиально новые эффекты. В работах [7, 8, 77] было показано, что в резонаторах с негауссовыми элементами может происходить стохастизация пространственной структуры излучения, излучение частично или полностью теряет регулярность. В работах [78, 79] показано, что внесение в неустойчивый резонатор негауссова элемента может приводить в ряде случаев к появлению регулярных областей излучения. При этом моды такого излучения могут быть аналогичны классическим гауссовым модам [78, 79]. В этих работах в качестве негауссова элемента выступали зеркала с меняющимся профилем отражения (СИМ). Была показана эффективность таких зеркал для генерации световых пучков хорошего качества и большой энергии. Однако существенным отличием резонаторов с негауссовыми элементами является появление в таких резонаторах многоходовых лучевых образований и соответствующих мод [51]. Такие лучевые образования замыкаются в резонаторе после целого числа проходов. Негауссовы элементы активно используются в адаптивной оптике. В качестве такого элемента могут выступать активные зеркала [82]. Адаптивная оптика используется как средство компенсации расхождения светового пучка при прохождении его через турбулентную среду, а также для компенсации аберрации внутри резонатора. Такие приборы используются в различных приложениях астрономии, медицины, технологии.

Использование негауссовых элементов, как элементов, при помощи которых можно моделировать излучение резонатора, обладающее различными полезными свойствами, обсуждалось выше. Однако часто приходится иметь дело с негауссовыми элементами, которые возникают вследствие термооптических искажений в активных элементах из-за нагрева излучением накачки и на зеркалах из-за воздействия генерируемого в резонаторе излучения. Такие негауссовы элементы, которые в данном случае являются аберрациями, снижают КПД лазера, а также являются основным фактором, препятствующим достижению высокого качества пространственной структуры выходного излучения.

Характер и величина термооптических искажений в активных элементах исследовалась при работе лазера, как в непрерывном [19, 22-26], так и в импульсном режимах [27]. Причиной термооптических искажений служит выделение внутри АЭ существенного количества тепла в процессе накачки и то, что это тепло отводится от разных частей кристалла неравномерно. Периферия АЭ охлаждается сильнее его центральной части, вследствие чего возникают температурные градиенты, градиенты показателя преломления, механические напряжения и деформации кристаллической решетки активного элемента. Было показано, что в случае, когда длина АЭ много больше его поперечного размера, основной вклад в неоднородность вносит температурная зависимость показателя преломления и фотоупругие эффекты [22,23,25-27]. Были разработаны методики измерения термооптических искажений [28,29]. В реальных осветителях в силу неоднородности накачки и охлаждения тепловая линза (ТЛ) активного элемента имеет смещённый центр (клин) и обладает аберрациями, величина которых определяется как физическими свойствами элемента, так и характеристиками осветителя.

При проектировании резонатора лазера учёт термооптических искажений в большинстве случаев ограничивается аппроксимацией тепловой линзы активного элемента идеальной линзой [31,32]. В этом случае расчёт оптической схемы резонатора многомодового лазера и описание пространственной структуры его излучения удобно проводить в рамках гауссовой модели. Эта модель применяется тогда, когда все элементы резонатора можно рассматривать как гауссовы. Гауссовым элементом называется такой оптический элемент, показатель преломления которого квадратично зависит от расстояния точки до оптической оси и имеет малое изменение на расстояниях, сравнимых с длиной волны [33-35]. Многие оптические элементы (сферические зеркала, линзы, диафрагмы с гауссовым профилем пропускания и т.д.) в параксиальном приближении можно рассматривать как гауссовы [33,34,36,37]. В гауссовом резонаторе распределение поля собственного типа колебаний (моды) в поперечном направлении описывается полиномом в форме Эрмита-Гаусса - при прямоугольной симметрии сечения или Лагерра-Гаусса - при аксиальной [34,36,35]. Излучение лазера представляется в виде набора гауссовых пучков, которые, благодаря своим уникальным свойствам [34,36], имеют фундаментальное значение в оптике. Изменение гауссовых пучков в процессе прохождения оптических элементов подчиняется закону АВСБ [33,35] и легко вычисляется с использованием аппарата лучевых матриц [38,39].

Основной метод, используемый для расчёта устойчивого резонатора, был развит в работах X. Когельника [3, 40,]. В этом методе резонатор рассчитывался как повторяющаяся геометрическая структура. Характеристики резонатора определяются лучевой матрицей обхода резонатора [33,35,38, 41]. Используя этот метод можно провести анализ устойчивости резонатора, оценить количество мод, участвующих в генерации, расходимость выходного пучка, вычислить размер перетяжки нулевой моды и кривизну фазового фронта в любой плоскости внутри резонатора [33,42-45].

На практике в мощных многомодовых твердотельных лазерах расходимость излучения выходного пучка и качество пространственной структуры получаются много хуже своего дифракционного предела, определяемого в рамках гауссовой модели. Этот факт в первую очередь объясняется наличием сильных аберраций тепловой линзы активного элемента (ТЛ АЭ). Аберрации в таких элементах проявляются в том, что оптическая сила центральной (приосевой) области АЭ и периферии отличаются друг от друга [46,47]. Степень этого отличия зависит как от свойств осветителя, так и от ориентации АЭ внутри осветителя. Аберрации могут достигать значительных величин [46].

Наличие аберраций в оптической системе резонатора часто приводит к качественным изменениям в модовой структуре излучения. Как показывают многочисленные эксперименты, именно аберрации тепловой линзы АЭ вносят основной вклад в разрушение регулярности поперечной структуры выходного пучка, вследствии чего происходит ухудшение качества выходного пучка, снижение мощности. Как было показано в диссертации Малашина П.О. [8], особенно ярко проявляется влияние аберраций в болыпеапертурных АЭ, используемых для построения мощных твердотельных технологических лазеров.

В работах [48-50] влияние негауссовых аберраций на характер излучения лазера изучалось в основном для случая одномодового режима. Так в работе [48] установлено, что при малых числах Френеля аберрации приводят к заметным изменениям общих потерь в резонаторе.

В работе Быкова В.П. [51] исследование негауссовости резонатора, вызванной непараксиальностью сферических зеркал, проводилось геометрооптическим методом с использованием ЭВМ. Было обнаружено своеобразное поведение лучей, обусловленное аберрациями, интерпретируемое как образование в резонаторе неаксиальных многоходовых структур. Поведение геометрических лучей описывается нелинейными итерационными соотношениями и, следовательно, подчиняется законам динамики нелинейных систем [5,6,52]. Поэтому для объяснения оптических свойств резонатора с аберрацией необходимо привлекать понятия, развитые в синергетике [4,5,53].

В работе [8], используя метод компьютерного моделирования, удалось сформулировать критерий малости величины аберрации, при котором ещё можно использовать гауссовы пучки для описания пространственной структуры излучения.

Более сильные аберрации настолько радикально искажают гауссовы пучки, что описание пространственной структуры излучения лазера в терминах гауссовых мод становится неэффективным. Из экспериментов известно, что при большом уровне аберраций полностью нарушается регулярность, обусловленная гауссовыми пучками, пятно излучения приобретает «рыхлую» форму, имеет хаотический характер, резко возрастает расходимость, ухудшается качество поперечной структуры излучения лазера.

В ряде теоретических и экспериментальных работ отмечалось, что в болынеапертурных лазерных системах наряду с традиционной аксиальной модовой структурой иногда возникают многоходовые моды, т.е. модовые образования, замыкающиеся после М обходов резонатора [54,55]. Попытки исследования их свойств и условий появления в рамках гауссовой модели хотя и предпринимались многократно [56,57], однако не привели к ощутимым успехам, поскольку не дали ответов на основные вопросы, касающиеся многоходовых образований.

Выводы.

В ходе выполнения диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1. Для резонаторов с негауссовым элементом параксиальное приближение в общем неверно. Им нельзя пользоваться для описания аксиальной структуры поля излучения в тех случаях, когда параметры резонатора близки к так называемым резонансным значениям. В работе впервые получено дифференциальное уравнение, которое в общем виде описывает лучевую структуру поля выходного излучения во всём диапазоне значений параметра двумерного резонатора и позволяет учесть влияние резонансов. Решения этого дифференциального уравнения проиллюстрированы для ряда наиболее важных частных случаев влияния резонансов на лучевую структуру поля излучения. Эти результаты удалось получить благодаря предложенной в работе новой методике исследования аксиальной лучевой структуры поля.

2. В работе изучались неустойчивые резонаторы с негауссовым элементом. Было показано, что неустойчивые резонаторы после внесения негауссова элемента могут становиться устойчивыми. Объяснены причины и получены условия возникновения устойчивых модовых образований в неустойчивых резонаторах с негауссовыми элементами.

3. Впервые получены условия возникновения и положение в пространстве многоходовых модовых образований в лазерном резонаторе с негауссовым элементом. Эти результаты удалось получить благодаря предложенной в работе методике нахождения устойчивых многоходовых оптических осей.

4. Впервые аналитически и численно описана лучевая структура поля двумерного резонатора, содержащего элемент с периодическими оптическими неоднородностями. Показано, что такие элементы в ряде случаев способны ограничивать порядок мод выходного излучения, не изменяя количества мод.

1. Грунин В.К., Мезенов A.B. Твердотельные лазеры. JL: ЛЭТИ, 1980. 100 с.

2. Эммет Д.П., Крупке У.Ф., Тренхолм Д.Б. Будущее мощных твердотельных лазерных систем. / Квант. Эл-ка, 1983, т. 10,: 1, с. 5 44.

3. Kogelnik Н., Li Т. Laser beams and resonators. / Proc. IEEE, 1966. V. 54, N10, p. 1312- 1329.

4. Хакен Г., Сенергетика M.: Мир, 1980.

5. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.

6. Lichtenberg A.J., Liberman М.А., Regular and stochastic motion. Springer-verlag. New Jork, Heidelberg, Berlin. 1983.

7. Малашин П.О., Силичев O.O. О регулярности поперечной структуры технологических лазеров. Международная конференция: Нетрадиционные лазерные технологии. Москва, сентябрь 1992 г. ALT-92.

8. Малашин П.О. Кандидатская диссертация, 1993. МФТИ.

9. Зверев Г.М., Дьякова Ю.Г., Шокин A.A. Твердотельные лазеры на АИГ:Ш для народногохозяйства. Электронная промышленность ЦНИИ «Электроника», 1981, вып. 5-6 (101-102)Б с. 15-19.

10. Водоватов Ф.Ф., Чельный A.A., Вейко В.П., Лазеры в технологии. М.:Энергия, 1975. с.216

11. Реди Д.Ф. Обработка материаллов. Обзор: Пер. с англ. Тр. ИИЭР, 1982, т. 70,: 6, с. 7-20.

12. Рябов С.Г., Тропкин Г.Н., Усольцев И.Ф. Приборы квантовой электроники. М.: Сов. Радио, 1976,310 с.

13. Григорьянц А.Г., Основы лазерной обработки материалов, М., Машиностроение. 1989.

14. Лазеры в технологии / Под общ. ред. Стельмаха М.Ф. М.: Энергия, 1975.

15. Вейко В.П. Лазерная обработка плёночных элементов. Л. Машиностроение. 1986.248 с.

16. Коваленко B.C. Прогрессивные методы лазерной обработки материалов. Киев, Выш. Школа, 1985. 88 с.

17. Рыбалкин H.H., Углов A.A. и др. Лазерная и электроннолучевая обработка материалов: Справочник // М.: Машиностроение, 1985. 496с.

18. Рыбалкин H.H., Углов A.A., Кокора А.Н. Лазерная обработка материаллов. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.

19. Мезенов A.B., Соме Л.Н., Степанов А.И., Термооптика твердотельных лазеров. Л: Машиностроение, 1986.

20. Кушнир В.Р., Шкунов Н.В. и др. Влияние диаметра активных элементов на выходную мощность твердотельного ОКГ в непрерывном режиме / Квант. Эл-ка, 1975, т.2,: 6, с. 1315-1318.

21. Мак A.A. и др. Влияние свойств «светового котла» на эффективность лазеров / Оптик.-мех. Пром. 6,1983,: 1, с.58.

22. Дианов Е.М. О термических искажениях резонатора ОКГ в случае стержней из граната в форме прямоугольной пластины.

23. Желтов Г.И. Полканов Ю.А. Влияние термических искажений на оптические свойства элементов из рубина. в кн.: Кв. эл-ка и лазерная спектроскопия. Минск: Наука и техника, 1974, с. 146 - 156.

24. Воронько О.Н., Козлов H.A., Мак и др. Об одной возможности увеличения добротности резонатора неодимового оптического квантового генератора. / ДАН СССР, 1967, т. 173, с.542 543.

25. Мак A.A., Соме Л.Н. Степаньков и др. О влиянии наведённой анизотропии на работу лазера на неодимовом стекле Оптика и спектроскопия, 1971, т.ЗО,: 6, с. 1081- 1087.

26. Дмитриев В.Г., Мамонтов С.К., Силичев О.О., Фомичёв A.A. предельные энергетические характеристики лазера на стекле с неодимом в режиме высоких частот повторения импульсов / Кв. эл-ка, 1979, т. 6,: 10, с. 2245 2248.

27. Витращак И.Б., Сидоренко Ю.К., Соме Л.Н. Моноимпульсный лазер на неодимовом стекле с поляризованным излучением. / Кв. эл-ка, 1978, т. 5, :7, с. 1429 1443.

28. Исаев М.П., Кушнир В.Р. Самовоздействие поля излучения твердотельного непрерывного лазера. Кв. эл-ка, 1982, т. 9, с. 820 - 821.

29. Соме Л.Н., Тарасов A.A., Шашкин В.В. К вопросу о деполяризации линейно-поляризованного излучения лазерным АЭ из АИГ:Ш в условиях термически наведённого двулучепреломления. Квант. Эл-ка, 1980, т. 7, :3, с. 619-621.

30. Koechner W. Absorbed Pump Power. Thermal profile and stresses in a cw pumped YAG:Nd crystal. Appl. Optics 1970 v. 9, N6, p. 14291434.

31. Алексеев H.E., Громов A.K., Изынев A.A. Тепловые линзы в активных элементах лазеров на стекле импульсно периодического действия. - Квантовая электроника, 1979, т. 6, с. 140-145.

32. Koechner W. Thermal lensing in YAG:Nd laser rod. / Appl. Opt., 1970, v. 9, N 11, p. 2548-2553.

33. Силичев 0.0. Методы расчёта специальных лазерных резонаторов. М.: изд. МФТИ, 1986, с.92.

34. Силичев О.О. Основы оптики гауссовых пучков. М.: изд. МФТИ, 1991.

35. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения. М.: Наука, 1979. - 328 с.

36. Гончаренко A.M. Гауссовы пучки света. Минск: Наука и техника, 1977. - 142 с.

37. Casperson L.W., Jariv A. The gaussian mode in optical resonators with radial gain profile / Appl. Phys., Lett., 1968, v. 12, N 10, p. 355-357.

38. Джерард А., Берч Дж.М. Введение в матричную оптику: Пер. с англ./ Под ред. В.В. Коробкина. М.: Мир, 1978. - 335 с.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 575 с.

40. Kogelnik Н., Imaging of optical modes resonators with internal lenses. Bell Syst. Techn. J., 1965, v.5,: 10, p. 1550-1567.

41. Bertolotti M. Matrix representation of geometrical properties of laser cavities/ Nuovo Cimento, 1964, v 32 p. 12421257.

42. Ramsay I.A., Degnan J.J. A ray analysis of optical resonators formed by two spherical mirrors. - Appl. Opt., 1970, v.9,: 2, p. 385-398.

43. Быков В.П. Лучевая теория открытых резонаторов и открытых волноводов, колебания которых ограничены каустическими поверхностями. Радиотехника и электроника, 1976, т. 11: 3, с. 477-478.

44. Булдырев B.C., Попов М.М. Применение лучевого метода для вычисления собственных частот многозеркальных резонаторов. Оптика и спектроскопия, 1966, т. 20,: 5, с. 905-908.

45. Ищенко Е.Ф. Применение лучевой матрицы для анализа резонатора с поперечной оптической неоднородностью. Труды МЭИ, 1978, вып. 350, с. 45-49.

46. Голяев Ю.Д., Евтюхов К.Н., Капцов Л.Н. Наведённая анизотропия в активных элементах граната с неодимом. Вестник Московского Университета. Сер. Физ.-астр., 1980, т. 21, с. 29-35.

47. Быков В.П., Горшкова H.H., Кушнир В.Р., Шкунов Н.В. Искажения термически наведённой линзы активного элемента в осветителях. Электронная техника. Сер. 11,1978,:1, с.64-68.

48. Stein A. Thermooptical distortions of resonator. IEEE J. Quantum Electron., 1974, vol. QE -10, N4, p. 427-432.

49. Силичев O.O., Свиридов B.B. Исследование одномодового резонатора с оптическими элементами, обладающими аберрациями типа кома. // Оптические и электронные средства обработки информации: межвед. Сб. / МФТИ. М., 1991. С.4.

50. Силичев О.О., Свиридов В.В. Исследование одномодового резонатора, содержащего оптический элемент со сферической аберрацией // Оптические и электронные средства обработки информации: Межвед. Сб. / МФТИ. М., 1990. С. 65-72.

51. Быков В.П. ДАН СССР, 1970, т. 191, с. 1257.

52. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука. 1991.

53. Theiler J., Estimating fractal dimension / J. Opt. Soc. Am., 1990, v.7, N6, p. 10551073.

54. Власов C.H., Тарланов В.И. Изв. Вузов MB ССО СССР (Радиофизика), 1965, т. 8, с. 195.

55. Короленко П.В., Новосёлов А.Г., Стёпина С.А., Шарков В.Ф. Формирование узконаправленных выходных пучков в широкоаппертурных резонаторах с селекцией многоходовых мод. / Кв-ая эл-ка, т. 13,: 12 (1986).

56. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы., М: Сов. Радио, 1980.

57. Киселёв В.А. Многоходовые малые моды оптических резонаторов. / Радиотехника и электроника, 1971,: 1134-140.

58. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика. М.: Физмат. Издат., 1963.

59. Арнольд В.И.,1974, Математические методы классической механики.(М.:Наука), 432.

60. Henon М., Heiles С. Astron. J., 1964, V.69, p. 73.

61. Борн, Э. Вольф Основы оптики: Пер. с англ./ под. Ред. Г.П. Мотулевич М.: Наука, 1973.

62. Малашин П.О., Силичев О.О. Влияние оптических аберраций на качество выходного излучения двухэлементного лазера / квантовая электроника, 1993, т. 20,: 4, с. 380-386.

63. Hogson N., Improvement of beam quality of solid state lasers / Laser end optoelectronik, 1990, 22(3), p. 68-75.

64. Koechner W., Rise D.K. Birefringence of YAG:Nd Laser rods as function of growth direction./ J. Opt. Soc. America, 1971, v. 61, N6, p. 758-766.

65. Конвиссар П.Г., Михайлов В.Ю., Рустамов C.P. Возмущение резонатора тепловой линзой элементов, помещённых в резонатор. В кн.: Квантовая эл-ка/ под ред. Басова Н.Г., 1976, т. 3,: 1, с. 174-177.

66. Быков В.П. / Электроника больших мощностей, сб. 5, М.: из-во Наука, 1968, с. 117.

67. Виткин Э.И. Методы возмущений для расчёта открытых резонаторов. ЖПС, 1967, т. 7,: 2, с. 187-192.

68. Желтов Г.И., Рубанов A.C., Чалей A.B. Напряжённое состояние и термические деформации активных элементов твердотельных лазеров. В кн. Квантовая эл.-ка и лазерная физика. Минск: Наука и Техника, 1979, с. 445-478.

69. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фронта при вынужденном рассеянии света. / УФН, 1982, т. 138, вып. 2., с 349-288.

70. Зубарев И.Г. Обращение волнового фронта в мощных лазерных системах ВРМБ зеркалом./ В кн.: Обращение волнового фронта оптического излучения в нелинейных средах. Горький: ИПФ АН СССР, 1979, с. 92-116.

71. Малащенко A.A., Мезенов A.B. Лазерная сварка металлов. М.: Машиностроение, 1984,48с.

72. Зельдович Б.Я., Рагульский В.В. и др. О связи между волновыми фронтами отражённого и возбуждающего света при вынужденном рассеянии Манделыптама-Бриллюэна // Письма в ЖТФ, 1972, т. 15,: 3,с. 160-164.

73. Бродов М.Е. и др. Получение безаберрационного излучения в лазерах на плитах из неодимового стекла / Квант, эл-ка, 1983, т. 10, :5, с. 918 922.

74. Пономарёв A.B., Черняк В.М. Термооптические искажения в активном элементе прямоугольного сечения. Препринт АН СССР: ИАЭ - 3079. М.,1979. 17 с.

75. Ркачеев Д.А., Силичев О.О., Фомичёв A.A. Исследование влияния наведённой анизотропии активного элемента на дифракционные потери одномодового лазера./ Квант. Эл-ка, 1984, т. 11, :3, с. 585 591.

76. Соме Л.Н., Тарасов A.A., Шашкин В.В. К вопросу о деполяризации линейно-поляризованного излучения лазерным АЭ из АИГ-.Nd в условиях термически наведённого двулучепреломления. Квант. Эл-ка, 1980, т. 7, :3, с. 619-621.

77. Евдокимова О. Н. Переходные и хаотические процессы лазерах на АИГ: Nd с модулируемыми параметрами. Диссертация. Москва, 1989.

78. S. de Silvestri and oth. (IEEE Journal of Quantum Electronic, v. 26, N. 9, 1990).

79. Nikolai A. Generalov and oth. Beam Quality Improvement by Means of Unstable Resonator with Variable Reflectivity Output Coupler. Laser Resonators. Proceedings of SPIE, v. 3267, 1998.

80. Leger J.R. and oth. Micro-Optics in VCSEL and Solid-State Laser Resonators. Laser Resonators. Proceedings of SPIE, v. 3267,1998.

81. Oleg L. Antipov and oth. Nd:YAG laser with cavity formed by population inversion gratings. Laser Resonators. Proceedings of SPIE, v. 3267,1998.

82. Alexis V. Kudryashov. Laser resonators. SPIE Optical Engineering Press, USA, 1999.

83. Michel Morin, Michel Poirier. Graded reflectivity mirror unstable laser resonator design. Laser Resonators. Proceedings of SPIE, v. 3267,1998.

84. Силичев O.O., Малашин П.О., Тумаш М.Ф. Структура мод резонатора с негауссовыми элементами. Неаксиальные многоходовые структуры, 1994, Квантовая электроника.,24,№5,460.

85. Tumash M.F. Laser Resonators with Aberration Elements, 1994,Laser Physics., 4, №3,595.

86. Tumash M.F. Investigation of a Cavity Containing an Element with Transverse Periodic Optical Inhomogeneities , 1999, Laser Physics., 9, №4,900.

87. Tumash M.F. Nonaxial Single-Pass Modes in Stable and Unstable Cavities with a Non-Gaussian Element, 1999, Laser Physics, 9, №4,905.

88. Тумаш М.Ф. Исследование движения "кельтского камня", 1992, Прикладная механика и математика, Междуведомственный сборник научных трудов, МФТИ, 123.