Теория спектроскопических переходов для квантовой системы с запутыванием

Стадная, Надежда Павловна

Теория спектроскопических переходов для квантовой системы с запутыванием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Стадная, Надежда Павловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Теория спектроскопических переходов для квантовой системы с запутыванием»

Автореферат диссертации на тему "Теория спектроскопических переходов для квантовой системы с запутыванием"

На правах рукописи

Стадная Надежда Павловна

Теория спектроскопических переходов для квантовой системы с запутыванием

01.04.02 Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2013

28 НОЯ 2ИЗ

005541122

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Клинских Александр Федотович

Попов Александр Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет, профессор кафедры атомной физики, физики плазмы и микроэлектроники

Кадменский Станислав Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, Воронежский государственный университет, заведующий кафедрой ядерной физики

Институт общей физики им. А. М. Прохорова Российской академии наук

Защита состоится «19 »декабря 2013 года в 1510 на заседании диссертационного совета Д 212.038.06 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «18 » ноября 2013 года.

Учёный секретарь диссертационного совета

Дрождин С.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена теоретическому исследованию явлений запутанности и декогеренции в квантовых системах. Данная задача является одной из фундаментальных проблем в квантовой оптике и её приложениях. Уравнение Линдблада (master-equation) является базовым для решения задач эволюции матрицы плотности. В рамках этого формализма удаётся проанализировать как обратимую унитарную динамику, характерную для замкнутых квантовых систем, так и процессы релаксации (декогеренции) для открытых квантовых систем, то есть, систем, взаимодействующих с окружением (термостатом). В этом формализме поле вакуума рассматривается как окружение и поэтому можно исследовать процессы спонтанного распада (девозбуждения) системы [1]. Условиями применимости уравнения Линдблада являются: теория возмущений по взаимодействию с окружением и предположение о марковости процесса эволюции. В данной работе предлагается рассматривать электромагнитное поле как часть системы, поэтому необходимо решать уравнение фон Неймана на матрицу плотности. В этом случае наблюдаются характерные квантовые осцилляции Раби, а влияние состояния квантовой системы удаётся проанализировать в рамках теории спектроскопических переходов в простейших квантовых системах (например, два двухуровневых атома в квантованном электромагнитном поле).

Особый интерес представляет исследование временной динамики квантовых переходов в системах с запутыванием. В диссертации ставится задача о численной реализации уравнения фон Неймана для конкретной системы: два двухуровневых атома, взаимодействующих с электромагнитным полем вакуума, а так же - с окружением.

Цели исследования

Целью работы является численная реализация решения уравнения

фон Неймана на матрицу плотности, которое позволяет проанализировать временную зависимость различных характеристик оптических переходов, а так же, при необходимости, учесть эффекты декогеренции.

Для достижения вышеуказанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение модели квантовой системы с запутыванием, взаимодействующей с электромагнитным полем с учётом окружения.

2. Получение и исследование в рамках предложенной модели решения уравнения фон Неймана на матрицу плотности

tft§ = Йр-рЙ dt

При этом элементы матрицы плотности используются в дальнейшем для вычисления различных динамических характеристик системы посредством нахождения частичного следа матрицы по соответствующим подсистемам, например, временная зависимость заселённости основного уровня атома может быть определена как nQ(t) = (0|pg|0), где pq -редуцированная матрица плотности:

PQ= (птМпА(п<Э'\р\пЯ')\п/)\пъ)

3. Проанализировать проявление фактора запутанности на временную эволюцию различных зависимостей, например, заселённостей уровней, а также дипольных моментов перехода, энергий поглощения и других.

4. Рассмотреть в данной модели влияние окружения на динамику системы, начальное состояние которой запутано.

Научная новизна работы

1. Получено численное решение уравнения фон Неймана на матрицу плотности для системы двухуровневых атомов в электромагнитном поле.

2. Получены и проанализированы временные зависимости оптических характеристик системы: заселённостей уровней, дипольных моментов перехода, энергии поглощения.

3. Выявлено влияние эффекта запутанности начального состояния системы на дальнейшую динамику вышеуказанных характеристик.

4. Показано, что в случае запутанного начального состояния системы возможно существование коллапса и возрождения заселённостей.

5. Показано, что в модели с окружением, рассматриваемым как система невзаимодействующих осцилляторов, начальная запутанность квантовой системы сохраняется с течением времени.

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты диссертации могут быть использованы при разработке или построении квантовых схем вычислений на основе методик, использующих в качестве кубитов квантовые точки с конечным числом уровней. Управляющие воздействия, осуществляемые различными лазерными источниками, могут быть проанализированы с использованием развиваемой в данной работе модели. Модель обеспечивает расчёт, необходимый для практических приложений величин, таких как временная зависимость населённостей и средняя поглощаемая энергия.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод основного уравнения (уравнение фон Неймана) для описания динамики замкнутых и открытых систем с учётом фактора запутанности квантовых состояний.

2. Проявление квантовой запутанности состояний составных систем в динамике и характеристиках спектроскопических переходов.

3. Моделирование коллапса и возрождения состояний в условиях запутанности.

4. Влияние окружения на динамику рассматриваемой системы с учётом фактора запутанности.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается использованием современных методов теоретической физики и согласием предельных случаев с известными в литературе.

Основные результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях:

1. Научные сессии Воронежского государственного университета (20102011).

2. XXII международная конференция «Релаксационные явления в твердых телах», 14.09 - 18.09, Воронеж, 2010.

3. XIII Всероссийская молодёжная конференция по физике полупроводников и наноструткур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике, 21.11 - 25.11, Санкт-Петербург, 2011.

4. XX международная конференция по Фундаментальной Атомной Спектроскопии, 23.09 - 27.09, Воронеж, 2013.

Публикации

По теме диссертационной работы опубликованы 5 печатных работ, из них 2 статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК и 3 публикации в сборниках трудов и тезисов конференции.

Личный вклад автора Содержание диссертации и результаты, составляющие положения, выносимые

на защиту, получены автором лично. Подготовка публикаций полученных результатов проводилась совместно с соавторами, при этом вклад диссертанта был определяющим.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 110 страниц, из них 99 страниц текста, включая 44 рисунка. Библиография включает 110 наименования на 11 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, указана практическая значимость полученных результатов и представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе обсуждаются общие вопросы, связанные с научным интересом к проблеме квантовой запутанности. В последние годы интерес к этому явлению возрос в связи с обширным числом технических приложений в квантовой оптике и квантовых вычислениях [2], где запутанность является основным информационным ресурсом при создании квантового компьютера [2]. По этой причине возникает ряд задач, связанных с технической реализацией и возможностью управлять запутанными состояниями квантовой системы. Решение данных вопросов находят в различных областях: квантовой оптике [3-5], физике твердого тела и физике наноструктур [6], спинтронике [7].

В связи с этим представляет интерес теоретическое рассмотрение влияния запутанности на динамику квантовых систем. В диссертации задача об исследовании фактора запутанности во взаимосвязи с временной эволюцией ставится применительно к излучающим двухуровневым атомам.

Теоретические модельные расчёты для открытых квантовых систем в основном проводятся с использованием марковского приближения и теории возмущений, при этом электромагнитное поле рассматривается как окружение

по отношению к системе. В модели, представленной в диссертации, поле включено в систему, а решение уравнения фон Неймана проводится без использования вышеуказанных приближений.

Во второй главе обсуждается формализм матрицы плотности, и его возможное применение для решения различных квантовомеханических задач; рассматривается значение термина «запутанность», определяющего одно из наиболее интересных свойств квантовых систем, принципиально отличающих их от классических, а так же критерии определения запутанности; обсуждаются вопросы декогеренции в открытых квантовых системах и факторы, составляющие влияние на динамику открытой системы извне.

Третья глава посвящена описанию исследуемой системы и теоретического метода решения поставленной задачи. В разделе 3.1 описывается исследуемая система. Она представляет собой два двухуровневых атома в электромагнитном поле вакуума в термостате. Окружение рассматривается как набор невзаимодействующих двухуровневых атомов.

Рис. 1. Рассматриваемая система (<30,<Э1У - двухуровневвые атомы, Г - внешнее электромагнитное поле,

Т - окружение)

Базис для рассмотрения эволюции системы будет состоять из элементов:

\tlQTlQinfnTt},

где = 0,1, пд/ = 0,1 - числа заполнения атомов; п; = 0,1,2 - числа фотонов

ею

00'

электромагнитного вакуума, которыми обмениваются атомы, пТ( = 0,1 - числа заполнения атомов, входящих в окружение. При рассмотрении задачи мы ограничиваемся двухфотонными процессами, так как систему составляют два двухуровневых атома и 4 атомами окружения, так как максимально возможное количество отдаваемых системой фотонов окружению равно 4.

В разделе 3.2 вводится гамильтониан и записывается основное расчетное уравнение метода. Гамильтониан системы имеет вид:

Я = #1 ® /2 ® 1} ® 1Т( + Д ® Я2 ® // ® /г, + Д ® /2 ® Я/ ® 1Т,+ +Д ® Д ® Д ® Яг, + ® Д ® ^ ® Д; + А ® ¿2 ® Р ® Яг.+

+Я12 ® + Я1 ® Я2 ® Д ® Д

Здесь Д - единичные операторы; Д- = €^|0г){0г-| + е^^11г>(1г|, - гамильтонианы г-го атома (г = 1 - атом = 2- атом (}').

Нт, = <ю(|0*)(0,-| 4- е1,|1г){1 - гамильтониан окружения.

В рассматриваемой системе два атома одинаковы, поэтому е^ = е® = ео, = е^ = £1, причём «1 — е0 = КО, (П - частота перехода между уровнями атомов). Более того, так как смысл имеет только разность энергий между уровнями, мы полагаем ео = со, = О и €1 = Ш, е^ = Тгшт. Частота перехода в термостате приближена к частоте перехода между атомами.

Я/ = ЫосГа - оператор, отвечающий электромагнитному вакууму, описываемому монохроматическим полем с частотой фотонов ш, близких по значению к частоте перехода между атомами, а+, а - операторы рождения и уничтожения фотонов поля.

Взаимодействие между атомом и электромагнитным вакуумом описывается слагаемым 7(Ьа+ + Ь+а + Ь'а+ + Ь'+а), 7 - коэффициент взаимодействия. Взаимодействие между атомами описывается слагаемым Н^:

а(Ьа+аЪ'+ +Ъ'а+аЪ),

а - коэффициент взаимодействия между атомами, который составляет порядка

0.01Ш.

Взаимодействие системы с окружением происходит только через поле электромагнитного вакуума и имеет вид: 5{Ь1а+ + Ъ+а 4- Ь-а+ + Ь^а), г - номер атома окружения, 5 - коэффициент взаимодействия.

Все числовые параметры, используемые при расчётах, приведены в таблице

Таблица 1. Параметры системы

параметр значение

Де = Ае' = 61 - е0 = 4 ~ ео = ^ 10"13 эрг 100 мэВ)

П 1014 с"1

ш = (0,9ч-1)П (0,9-=-1) • Ю14 с"1

7 = 0,1Ш 10"14 эрг

а = 0,01Ш 10"15 эрг

бГ = (0,9 1)Ш (0,9-7-1) • Ю"13 эрг

¿ = 7 = 0,1Ш 10"14 эрг

Основное расчетное уравнение метода - это динамическое уравнение фон Неймана на матрицу плотности:

гН^ = Йр-рЙ (1)

ОТ

Глава 4 посвящена исследованию и обсуждению основных результатов работы.

Динамику системы можно исследовать, решая уравнение (1) при различных начальных условиях. В качестве анализируемого результата мы берём временные зависимости заеелённостей уровней атомов.

Для исследования влияния запутанности на динамику системы вводится фактор А, он может принимать значение от -1 до 1. Записывается начальное

состояние системы в виде:

(1 + АЛФ^Фх! - (1 - Л2)(|Ф1)(Ф2| + |Фа><Ф1|) + (1 - А)2|Ф2)(Ф2|

2(1 +Л2)

В случае, когда Л == 0, мы имеем дело с максимально запутанным состоянием, при крайних значениях —1 и 1 начальные состояния системы имеют вид |Ф2)(Ф2| и | Ф1} {Ф1 [ соответственно.

Пусть |Фх) = |10'0/) (без учёта термостата) и |Ф2) = |01'0/), аш = 0.9551. Тогда для Л = 1:

•¡1) •|о)

юо у

Рис.2 'Заселённости уровней атома <30 как функции времени

Рис.3 Заселённости уровней атома С^' как функции времени

При Л — —1 зависимости получаются такими же, но с перестановкой атомов. При Л — 0.5 состояния подсистем запутываются и динамика заселённости изменяется:

■И> ■|о)

100 Т

Рис.4 Заселённости уровней атома как

функции времени

Рис.5 Заселённости уровней атома как

функции времени

Период осцилляций Т (сложная форма осцилляций объясняется частотной расстройкой) сохраняется, но при этом уменьшается размах колебаний,

что свидетельствует о более сильной корреляционной зависимости между подсистемами.

Наконец, при Л = 0 мы получаем аналог состояния Белла - максимально запутанного состояния между атомами. В этом случае временные зависимости заселённостей будут иметь следующий вид:

Рис.б Заселённости уровней атома С^Б как функции времени

Рис.7 Заселённости уровней атома как

функции времени

Изменения состояния с течением времени не происходит.

Если включить окружение и рассмотреть резонансный случай, то, например, для 1^) = 110*0/0^ (без учёта термостата) и |Ф2) = |01'0/0г), временная зависимость заселённости возбуджённого уровня атома С^Б имеет вид, показанный на рис. 8а. Справа, для сравнения приведена та же зависимость, но без учёта окружения. Видно, что период колебаний сохраняется, часть энергии уходит термостату. Однако, в случае максимальной запутанности зависимости имеют одинаковый вид, переходов в системе не происходит.

Рис,8 Временная зависимость заселённости возбуждённого уровня атома (¿О с учётом (а) и без учёта (б) окружения (А = 0 соответствует максимальной запутанности, А = 1 соответствует незапутанному состоянию)

С использованием элементов матрицы плотности можно определять дипольные моменты переходов (они определеяются недиагональными элементами матрицы).

Для практических целей обычно берут квадрат модуля дипольного момента. Квадрат дипольного момента перехода в первом атоме при начальном состоянии |10'0/С^) без учёта и с учётом окружения представлен на рис.9.

рц\итв.«д К1Г. «и.эь

Рис.9 Временная зависимость квадрата дипольного момента перехода в атоме (¿Ос учётом (а) и без учёта (б) окружения, начальное состояние системы |10'0/0г) 'А О соответствует максимальной запутанности, А = 1 соответствует незапутанному состоянию)

По мере увеличения фактора запутанности значение дипольного момента уменьшается. Это можно объяснить тем, что корреляция между подсистемами увеличивается и потому уменьшается вероятность переходов в отдельном атоме с одного уровня на другой.

Для определённых начальных условий, отвечающих запутанному состоянию, наблюдается эффект коллапса и возрождения заселённостей уровней атомов (рис. 10).

В запутанном состоянии эффект коллапса и возрождения так же проявляется, но в случае максимальной запутанности динамики в системе не наблюдается, как и в других рассмотренных случаях.

Включение окружения нарушает осцилляции, четкой периодической динамики не прослеживается.

Л = 1 Л = 0.5 Л = 0

Рис.10 Временная зависимость заселённости возбужденного уровня атома ОО. начальное состояние системы (2), где ¡ф^) = 10''1 /} (без учёта термостата) и ¡Фг) = 101'' } при различных значениях Л (А — 0 соответствует максимальной запутанности, Л = 1 соответствует незапутанному состоянию)

В Заключении приводятся основные результаты диссертации:

• Выполнен численный расчёт для системы уравнений фон Неймана для нахождения временных зависимостей элементов матрицы плотности.

• Построены временные зависимости заселённостей уровней подсистем, энергии поглощения излучения за период как функции времени и вычислена средняя энергия поглощения, временные зависимости дипольных переходов в системе при различных начальных состояниях.

• Установлено влияние запутанности на динамику системы и на основные излучательные характеристики (амплитуда колебаний заселённости, средняя энергия поглощения и излучения, величина квадрата модуля дипольного момента).

• Подтверждено, что в условиях запутанности имеет место эффект коллапса и возрождения заселённостей уровней атомов.

• Показано, что включение окружения, рассматриваемого в виде набора невзаимодействующих двухуровневых атомов, не нарушает запутанности,

Г,1

а в случае максимально запутанного состояния, последнее остаётся постоянным сколь угодно долго.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Стадная Н. П. Анализ динамики переходов в системе двух квантовых точек в случае запутанного начального состояния/ Н. П. Стадная // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. -2013. - Т. 1. - С. 108 - 113.

2. Стадная Н. П. Флексоэлектрический эффект и низкотемпературный предел времени диэлектрической релаксации/Н. П. Стадная, А. Ф. Клинских//Известия РАН. Серия физическая. - 2010. - Т. 74 № 9. - С. 1277 - 1278.

3. Стадная, Н. П. Флексоэлектрический эффект и низкотемпературный предел времени диэлектрической релаксации/Н. П. Стадная, А. Ф. Клинских//ХХИ международная конференция «Релаксационные явления в твердых телах», 14.09 - 18.09, Воронеж, 2010.

4. Коллапс и возрождение состояний квантовой точки в поле классического тока/ Стадная Н. П.//XIII Всероссийская молодёжная конференция по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике, 21.11 - 25.11.2011 Санкт-Петербург: Тезисы конференции.

5. Динамика спектроскопических переходов между запутанными квантовыми состояниями/Н.П. Стадная, А.Ф. Клинских//ХХ международная конференция по Фундаментальной Атомной Спектроскопии, 23.09 - 27.09.2013, Воронеж: Тезисы докладов.

Работы [1,2] опубликованы в журналах, рекомендованных перечнем ВАК РФ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Скалли М. О., Зубанри М. С. Квантовая оптика: Пер. с англ./Под ред. В. В. Самарцева. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 512 с.

2. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация: Пер. с англ./М. Нильсен М.,И. Чанг. - М.: Мир, 2006. - 824 с.

3. Катамадзе К. Г., Кулик С. П. Управление спектром бифотонного поля/К. Г. Катамадзе, С. П. Кулик//Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2011. - Т. 139. - Вып. 1. - С. 26 - 45.

4. Mikhailova Yu. M., Volkov P. A. and Fedorov M. V. Biphoton wave packets in parametric down-conversion: Spectral and temporal structure and degree of entanglement/Yu. M. Mikhailova, P. A. Volkov, and M. V. Fedorov//Phvsical Review A. - 2008. - Vol.78. - Issue 6.

5. Гуляев А. В., Тихонова О. В. Поляризационный отклик взаимодействующих атомных систем в интенсивном резонансном лазерном поле/ А. В. Гуляев, О. В. Тихонова//Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2012. - Т. 141. - Вып.5. - С.882-898.

6. Алдошин С. М., Фельдман Э. В., Юршцев М.А. Квантовая запутанность в нитрозильных комплексах железа/С. М. Алдошин,Э.Б.Фельдман, М.А. Юршцев.//Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2008. - Т. 134- вып. 5 (11), с. 940-948.

7. Sarkar Sujit. Perfect entanglement transport in quantum spin chain sys-tems/Sujit Sarcar//Journal of quantum information science. - 2011. - Vol. 1. -pp.105-110.

Подписано в печать 14.11.13. Формат 60*84 1/16. Усл. печ. л. 0,96.

Тираж 100 экз. Заказ 1181.

Отпечатано с готового оригинал-макета в тшюграф1шИздательско-полпграфшеского щнгра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинских, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Стадная, Надежда Павловна, Воронеж

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201452457 Стадная Надежда Павловна

Теория спектроскопических переходов для квантовой системы с запутыванием

01.04.02 Теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Клинских Александр Федотович

Воронеж - 2013

Содержание

Введение 3

1 Литературный обзор 8

2 Формализм матрицы плотности, и его использование для описания квантовых систем с запутыванием 16

2.1 Преобразование векторов состояний и операторов в гильбертовом пространстве ............................................................16

2.2 Матрица плотности. Основные понятия..............................20

2.3 Квантовая запутанность................................................23

2.3.1 Понятие запутанности в составных квантовых системах . . 23

2.3.2 Экспериментальная реализация запутанных состояний . . 36

2.3.3 Квантовая запутанность как информационный ресурс в квантовых вычислениях........................................38

2.3.4 Квантовые алгоритмы. Тслепортация........................45

3 Исследование динамики спектроскопических переходов в излучательных атомных системах 48

3.1 Теоретические основы спектроскопических переходов..............48

3.2 Гамильтониан системы. Основное расчётное уравнение метода . . 57

3.3 Реализация решения системы. Тестирование........................70

4 Обсуждение основных результатов 76 Заключение 98 Список литературы 100

Введение

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена теоретическому исследованию явлений запутанности и декогеренции в квантовых системах. Данная задача является одной из фундаментальных проблем в квантовой оптике и её приложениях. Уравнение Линдблада (master-equation) является базовым для решения задач эволюции матрицы плотности. В рамках этого формализма удаётся проанализировать как обратимую унитарную динамику, характерную для замкнутых квантовых систем, так и процессы релаксации (декогеренции) для открытых квантовых систем, то есть систем, взаимодействующих с окружением (термостатом). В этом формализме поле вакуума рассматривается как окружение и поэтому можно исследовать процессы спонтанного распада (девозбуждения) системы [1]. Условиями применимости уравнения Линдблада являются: теория возмущений по взаимодействию с окружением и предположение о марковости процесса эволюции. В данной работе предлагается рассматривать электромагнитное поле как часть системы, поэтому необходимо решать уравнение фон Неймана на матрицу плотности. В этом случае наблюдаются характерные квантовые осцилляции Раби, а влияние состояния квантовой системы удаётся проанализировать в рамках теории спектроскопических переходов в простейших квантовых системах (например, два двухуровневых атома в квантованном электромагнитном поле).

Цели исследования

Целью работы является численная реализация решения уравнения фон Неймана на матрицу плотности, которое позволяет проанализировать временную зависимость различных характеристик оптических переходов, а так же, при необходимости, учесть эффекты декогеренции.

Для достижения вышеуказанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение модели квантовой системы с запутыванием, взаимодействующей с электромагнитным полем с учетом окружения.

2. Получение и исследование в рамках предложенной модели решения уравнения фон Неймана па матрицу плотности

гП^ = Нр-рН

редуцированная матрица плотности:

3. Анализ проявления фактора запутанности на временную эволюцию различных зависимостей, например, засоленностей уровней, а также дипольных моментов перехода, энергии поглощения и других.

4. Рассмотрение в данной модели влияния окружения на динамику системы, начальное состояние которой запутано.

Научная новизна работы

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты диссертации могут быть использованы при разработке или построении квантовых схем вычислений на основе методик, использующих в качестве кубитов квантовые точки с конечным числом уровней. Управляющие воздействия, осуществляемые различными лазерными источниками, могут быть проанализированы с использованием развиваемой в данной работе модели. Модель обеспечивает расчёт, необходимый для практических приложений величин, таких как временная зависимость заселённостей и средняя поглощаемая энергия.

Положения, выносимые на защиту

3. Моделирование коллапса и возрождения состояний в условиях запутанности.

4. Влияние окружения на динамику рассматриваемой системы с учётом фактора запутанности.

Степень достоверности и апробация результатов

Основные результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях:

1. Научные сессии Воронежского государственного университета (20102011).

2. XXII международная конференция «Релаксационные явления в твердых телах», 14.09 - 18.09, Воронеж, 2010.

3. XIII Всероссийская молодёжная конференция по физике полупроводников и наноструткур, полупроводниковой опто- и наноэлсктронике, 21.11 - 25.11, Санкт-Петербург, 2011.

4. XX международная конференция по Фундаментальной Атомной Спектроскопии, 23.09 - 27.09, Воронеж, 2013.

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано пять печатных работ, из них две статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК и три публикации в сборниках трудов и тезисов конференции.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 110 страниц, из них 99 страниц текста, включая 44 рисунка. Библиография включает 110 наименований на 11 страницах.

Личный вклад автора Содержание диссертации и результаты, составляющие положения, выносимые на защиту, получены автором лично. Подготовка публикаций полученных результатов проводилась совместно с соавторами, при этом вклад диссертанта был определяющим.

1 Литературный обзор

Теория спектроскопических переходов, связанная с исследованием взаимодействия атомов с полем излучения, составляет основу квантовой оптики. Среди задач, рассматриваемых в этой области, особое внимание отводится изучению двухуровневых атомов. Это обусловлено рядом причин.

Во-первых, данная система допускает простое теоретическое описание процессов взаимодействия с возможностью точного решения уравнения Шрёдингера.

Во-вторых, модель двухуровневого атома может быть обобщена для других подобных систем, которые могут находиться в двух состояниях, таких как квантовые точки, ядерные спины в магнитном поле, некоторые органические молекулы, фотоны с двумя возможными поляризациями и др.

В-третьих, с развитием лазеров, исследования в области взаимодействия двухуровневых атомов с полем излучения приобрели, кроме теоретического, широкий практический интерес.

Используя лазеры в качестве источников электромагнитного излучения, можно воздействовать па атом полем с частотой, близкой по частоте перехода между какими-либо парами уровней. В этом случае влиянием других уровней можно пренебречь и ограничиться рассмотрением двухуровневого атома. Так же, использование резонаторов высокой добротности приводит к тому, что атом, помещённый в такой резонатор, взаимодействует только с одной или несколькими модами поля, квантованного в объёме резонатора.

Интерес к исследованию двухуровневых систем в последние годы значительно вырос в связи с развитием теории квантовых вычислений, где объект с двумя возможными состояниями, рассматривается в качестве базового логического элемента квантового компьютера [2-6].

Описание процессов взаимодействия одного или нескольких атомов с одной или несколькими модами квантованного электромагнитного поля

проводится обычно в рамках резонаторной квантовой электродинамики (РКЭ). Теоретические представления РКЭ связаны в первую очередь с исследованием модели Джейнса-Каммиигса (МДК) и её обобщений. Это обусловлено тем обстоятельством, что указанная модель достаточно качественно описывает физические процессы и вместе с тем допускает точное решение [7].

Квантовые эффекты взаимодействия атома с излучением в рамках МДК хорошо изучены. Основу подхода составляет решение уравнения Шрёдингсра с гамильтонианом МДК:

HJc == + Тш)а+а^у(а+а + а+&) (1.1)

или его разновидностями и обобщениями. Гамильтониан в (1.1) записывается для модели взаимодействия двухуровневого атома с модой резонаторного поля в дипольиом приближении и приближении вращающейся волны (ПВВ) При этом

|0) и |1) - векторы состояний основного и возбуждённого уровня атома соответственно; а+ и а" - повышающий и понижающий операторы. ^ = ^ТГ*1 " частота перехода между уровнями.

7 = л/Щ-со - коэффициент взаимодействия атома с полем.

Как уже отмечалось, преимуществом данной модели является возможность точного решения уравнения Шрёдингсра с гамильтонианом (1.1). Исследованию МДК посвящено большое количество работ, например, [8-14]. В рамках указанной модели удаётся описать ряд явлений, таких как коллапс и возрождение квантовых осцилляций Раби, когерентное пленение заселённосетй [8] и др. Метод имеет разные обобщения, обусловленные включением миогомодовых полей [15-16], многофотонных переходов, многоуровневых атомов [17-18], многоатомных взаимодействий [19].

'В этом случае ограничиваются рассмотрением реальных переходов, в которых испускается фотон, тогда как атом переходит из верхнего состояния в нижнее, или, напротив, фотон поглощается, а атом переходит

из нижнего состояния в верхнее.

Важно отмстить, что квантовая система может совершить излучательный квантовый переход 2 из состояния |1) в состояние |0) только в том случае, когда сё нестационарная волновая функция представляет собой суперпозицию этих состояний:

|Ф) = Со|0) + С1|1>,

Здесь со и с\ - некоторые комплексные числа, причём 2 имеет смысл заселённости к-го уровня атома [20].

Коллапс и возрождение осцилляций Раби, пленение заселённостей и др. возможны только в том случае, когда начальное состояние атома до включения поля представляет собой когерентную суперпозицию состояний.

Вышеописанные процессы в рамках модели МДК рассматриваются в литературе в основном для одного атома (необязательно двухуровневого). взаимодействующего с полем, чаще всего когерентным. Обращает на себя внимание тот факт, что аналогичные явления в составных системах, содержащих более одного атома, исследованы недостаточно.

В том случае, когда имеются хотя бы два атома, взаимодействующих с полем, мы имеем дело с составной системой, которую можно рассматривать как открытую, так и закрытую, по отношению к полю излучения. При первом подходе описание состояния полной системы с помощью векторов состояний не всегда возможно, так как состояние может оказаться смешанным, и ему не будет соответствовать никакой вектор состояния в гильбертовом пространстве.

В этом случае прибегают к формализму матрицы плотности /3, введённой впервые в работах фон Неймана [21] и Л. Д. Ландау [22] в 1927 г. В том случае, когда поле излучения рассматривается внешним по отношению к системе атомов, для нахождения эволюции состояния и описания взаимодействия

2 Излучательный переход характеризуется изменением энергии системы в результате поглощения или испускания квантои ЭМИ.

пользуются известным уравнением Линдблада (master-equation) [6]:

ft = Я + Е (2^p£j - р}) (L2)

Оператор Lj характеризует процессы девозбуждения в системе и имеет вид [23-24]:

7 связан по смыслу с коэффициентом затухания колебаний в системе.

В большинстве работ по исследованию процессов взаимодействия систем атомов с полем применяется данный подход. При этом он позволяет таким же образом описывать взаимодействие системы с окружением (термостатом). Однако метод имеет определенные ограничения. Основное уравнение Линдблада записывается с использованием теории возмущений и марковского приближения. Несмотря на это, решение уравнения для различных систем позволяет проанализировать множество задач, связанных как с обратимой унитарной эволюцией, характерной для замкнутых квантовых систем, так и процессами релаксации (декогеренции) для открытых квантовых систем.

В случае, когда поле излучения рассматривается как часть замкнутой системы «атомы+поле», необходимо точно решать уравнение фон Неймана (аналог уравнения Шрёдиигера для матрицы плотности):

*nft={H,p] (1.3)

При таком рассмотрении поле интерпретируется как электромагнитный вакуум и выступает как «посредник»при передаче возбуждения между атомами системы.

Исследование литературы по данному вопросу показало, что вопрос о точном решении уравнения (1.3) для системы «атомы+поле излучения »недостаточно изучен.

В связи с этим была поставлена задача найти и проанализировать точное решение уравнения фон Неймана (1.3) для конкретной системы: два двухуровневых атома, взаимодействующих друг с другом через поле электромагнитного вакуума, с учётом окружения и без.

Метод, основанный на решении уравнения (1.3), позволяет определять временные зависимости элементов матрицы плотности при любых начальных состояниях системы и использовать их в дальнейшем для нахождения основных излучательных характеристик системы: дипольных моментов переходов, инверсий заселённостей, энергий излучения и поглощения, времён релаксации системы, тензора рассеяния, энтропии и др.

Особое внимание в работе мы бы хотели обратить на исследование динамики

переходов в атомах в том случае, когда в начальный момент времени их состояния перепутаны.

Несмотря на то, что сам термин «запутанность», а точнее, «перепутанность», был введён ещё в 1934 г. Э Шрёдингером [25], повторный интерес к этому явлению возрос сравнительно недавно. Он связан с тем, что запутанность является главным информационным ресурсом при создании квантовых компьютеров.

Математически запутанное состояние составной системы характеризуется волновой функцией, представляющей суперпозицию квантовых состояний системы, которая не сводится к тензорному произведению состояний отдельных подсистем [26].

Запутанные состояния рассматриваются в приложениях, связанных с парадоксом ЭПР [27-28]. В связи с запутанностью двухчастичных состояний и, в частности, состояний Белла, вопрос о парадоксе формулируется в терминах неравенства Белла [29-30], а именно, для каких из двухчастичных состояний неравенство Белла выполняется, а для каких - нет [31-33].

Исследования влияния запутанности на эволюцию квантовой системы играют основополагающую роль в вопросах квантовой информации, таких

как квантовая тслепортацня, квантовая криптография, а также в проблеме создания квантовых компьютеров, где запутанность кубитов (элементарных ячеек памяти квантовых компьютеров) является основным информационным ресурсом. Эти вопросы подробно изложены, например, в [2-6, 34-42].

Особое внимание здесь необходимо обратить на тот факт, что запутанность - это свойство квантовой системы, проявляющееся на любом расстоянии между подсистемами, и, более то