Термодинамические свойства высокотемпературных сильно-сжатых сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи

ГРЯЗНОВ Виктор Константинович

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СИЛЬНО-СЖАТЫХ СРЕД

01.04.17 - Химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Черноголовка 2005

Работа выполнена в Институте проблем химической физики РАН

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

профессор Анисимов С.И.

доктор физико-математических наук,

профессор

Новиков В.Г.

доктор физико-математических наук, Хомкин А.Л.

Ведущая организация: Государственный научный центр

Российской Федерации Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований

Защита состоится "Л/" 2005 г. в У^ч. мин. на

заседании Диссертационного совета Д.002.082.01 при Институте проблем химической физики РАН по адресу: 142432, г.Черноголовка Московской области, пр. Академика Н.Н.Семенова, д.1, Институт проблем химической физики РАН, корпус 1/2, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПХФ РАН. Автореферат разослан "л 7

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук А.А. Юданов

© Грязное В.К., 2005

© Институт проблем химической физики РАН, 2005

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Данная работа посвящена развитию квазихимического подхода для изучения термодинамических свойств вещества при высоких плотностях и температурах.

Актуальность темы. Термодинамика высокотемпературных сильно-сжатых сред является важнейшей составной частью физики высоких плотностей энергии, стремительно развивающейся в последние годы. С одной стороны, это развитие обусловлено новыми возможностями генерации и диагностики состояний вещества с высокой плотностью энергии в лабораторных условиях, новыми возможностями наблюдения и зондирования астрофизических объектов - Солнца, звезд, тяжелых планет - естественных лабораторий, где реализуются такие состояния. С другой, важностью приложений - от инерциального термоядерного синтеза и противометеоритной защиты, до проблем безопасности ядерной энергетики.

Совершенствование экспериментальных методов привело к тому, что в настоящее время лри помощи мощных лазеров, импульсных токов и взрывных устройств достигаются состояния субмегабарного и мегабарного диапазона давлений в самых различных веществах - от металлов, до газов. В частности, это касается ударно-сжатого водорода, вызывающего особый интерес в связи с его гипотетической металлизацией.

Кроме того, в последние годы накоплена богатая наблюдательная астрофизическая информация, позволяющая с применением современных методов обработки извлекать с высокой точностью данные о структуре внутренних областей Солнца. Новые данные с использованием космических зондов получены и о строении планет-гигантов.

Исследование термодинамики высокотемпературных состояний с сильным межчастичным взаимодействием представляет собой серьезную лроблему, далекую от окончательного разрешения. С этой точки зрения одним из важных направлений является разработка адекватных термодинамических моделей, методов расчета и соответствующих компьютерных программ, которые позволяют решать эти задачи.

Объекты, относящиеся к высокотемпературным сильно-сжатым средам, представляющие интерес с точки зрения физики высоких плотностей энергии, охватывают широкий спектр состояний от химически реагирующих плотных газов сложного состава до многокомпонентной неидеальной плазмы с произвольными степенями ионизации. Это разнообразие обусловливает подход для исследования термодинамики высокотемпературных сильно-сжатых сред, принятый в настоящей работе - развитие моделей и методов расчета на основе квазихимического представления.

Целью работы является:

- построение термодинамических моделей вещества в широком диапазоне параметров, включая вещества сложного химического состава в области высоких температур и плотностей;

рос национальна*

библиотека

- разработка методов расчета компонентного состава, термодинамических функций многокомпонентных химически реагирующих сред с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации при высоких давлениях и температурах;

- создание комплексов программ термодинамического расчета многокомпонентных химически реагирующих высокотемпературных сильно-сжатых сред и расчета электронной структуры атомов и ионов в условиях сильного сжатия;

• проведение расчетно-теоретического анализа влияния взаимодействия между частицами на термодинамические характеристики многокомпонентной химически реагирующей среды при высоких давлениях и температурах на основе развитых в работе моделей и численных методов расчета;

- апробация предложенных методов и моделей на имеющихся экспериментальных и наблюдательных данных.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработаны методы расчета компонентного состава и термодинамических характеристик вещества с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации и в широком диапазоне температур и плотностей.

2. Развиты методы и алгоритмы решения системы уравнений Хар-три-Фока для расчета электронной структуры и энергетического спектра сжатых атомов и ионов,

3. На основе квазихимического представления развита модель ограниченного атома, в которой самосогласованным образом учтена взаимозависимость термодинамических параметров и внутренней электронной структуры атомов и ионов в плотной высокотемпературной частично-ионизованной среде.

4. Разработанная термодинамически самосогласованная модель успешно применена для описания термического и калорического уравнения состояния ударно-сжатых цезия и инертных газов. Выявлена ключевая роль эффектов короткодействующего отталкивания атомов и ионов при описании термодинамических свойств ударно сжатого вещества.

5. На основе развитой термодинамической модели плазмы Солнца, проанализировано влияние кулоновского взаимодействия частиц с учетом квантовых и обменных эффектов, релятивистских эффектов, вырождения электронов, эффектов излучения и вариации элементного состава на основные термодинамические параметры, используемые при построении моделей эволюции Солнца.

6. Для описания вещества в условиях многократной ионизации, сильного взаимодействия между частицами и вырождения свободных электронов построена термодинамическая модель, с помощью которой удалось адекватно описать всю совокупность экспериментальных ударно-волновых данных по пористым никелю, железу, меди и алюминию.

7. На основе модифицированного псевдопотенциального приближения для описания заряженной компоненты и приближения мягких сфер, обобщенного на случай смеси различных сортов частиц, развита

модель ударно-сжатых инертных газов и дейтерия мегабарного диапазона в области ионизации давлением.

8. В рамках единой термодинамической модели для газа и жидкости разработаны методы расчета термодинамических параметров неконгруэнтных (с различной стехиометрией для газа и жидкости) фазовых переходов газ-жидкость для химически реагирующих систем сложного состава с учетом ионизации.

9. Созданы универсальные алгоритмы, комплексы программ и базы данных для расчета компонентного состава и термодинамических функций высокотемпературных сред в широком диапазоне термодинамических параметров и программы для расчета сжатых атомных структур методом Хартри-Фока.

Научная и практическая ценность работы:

1. На основе результатов, полученных при применении самосогласованной модели ограниченного атома, показана важность эффекта конечности объема, необходимого при реализации связанных состояний частиц и вызванного этим короткодействующего отталкивания при расчете термодинамики сильно-сжатых высокотемпературных сред.

2. Разработанный аппарат для расчета сжатых атомных структур и расчета компонентного состава и термодинамических характеристик гаэо-плазменных химически реагирующих смесей высокой плотности открывает возможности для расчетно-теоретического исследования термодинамических свойств вещества при высоких концентрациях энергии.

3. Развитые модели для описания ударно-сжатых металлов, инертных газов и водорода позволили проанализировать механизмы влияния межчастичного взаимодействия на термодинамические величины в той области 'фазовой диаграммы, где это практически сложно сделать другими методами.

4. Разработанные универсальные алгоритмы расчета параметров фазовых переходов в химически реагирующих смесях позволили исследовать нестандартные для высокотемпературной теплофизики фазовые переходы газ-жидкость (с различной стехиометрией для газа и жидкости) и на основании расчетов, выполненных для диоксида урана, изменить представления о возможных сценариях развития тяжелых аварий на объектах ядерной энергетики.

5. При помощи детального анализа влияния плазменных эффектов и вариации элементного состава на адиабатическую сжимаемость солнечной плазмы оценены источники погрешностей при построении современных моделей химической эволюции Солнца.

6. Комплексы программ и накопленные базы данных предоставили возможность проводить многовариэнтные расчеты термодинамических величин и параметров различных процессов с использованием разных моделей взаимодействия частиц. Результаты этих расчетов использованы в качестве опорных данных при создании полуэмпирических уравнений состояния, планировании и интерпретации экспериментов,

анализе поведения вещества при экстремально высоких температурах и давлениях для широкого класса простых и многокомпонентных систем.

На защиту выносятся:

1. Методы расчета компонентного состава и полного комплекса термодинамических характеристик газо-плазменного состояния вещества с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации в широком диапазоне температур и давлений, вплоть до экстремально высоких значений.

2. Методы и алгоритмы расчета в приближении Хартри-Фока электронной структуры сжатых атомов и ионов и деформации их энергетического спектра под влиянием плотного газо-плазменного окружения.

3. Термодинамически самосогласованная модель, в которой характер поведения термодинамических величин определяется взаимозависимостью параметров высокотемпературной частично ионизованной плотной среды и величин сдвига и деформации энергетического спектра атомов и ионов.

4. Термодинамическая модель солнечной плазмы, с высокой точностью описывающая данные гелиосейсмологических наблюдений. Результаты анализа влияния эффектов многократной ионизации, ку-лоновской неидеальности, образования связанных состояний, релятивистских эффектов, вырождения электронов, равновесного излучения и расширения элементного состава на термодинамику Солнца.

5. Термодинамическая модель и результаты расчетов ударных адиабат для случая сильной неидеальности и многократной ионизации, позволившие успешно описать все известные экспериментальные данные по ударно-сжатым пористым никелю, железу, меди и алюминию.

6. Термодинамические модели сильно-сжатой высокотемпературной среды в области ионизации давлением и результаты расчетов термодинамических функций и уравнения состояния ударно-сжатых инертных газов и дейтерия.

7. Методы расчета термодинамических параметров сложных химически реагирующих частично ионизованных сред в условиях неконгру-знтного фазового перехода жидкость-газ в рамках единой модели межчастичного взаимодействия в газе и жидкости и результаты расчета параметров фазового перехода в диоксиде урана.

8. Комплексы программ расчета компонентного состава и термодинамических характеристик многокомпонентных сильно взаимодействующих сред с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации в широком диапазоне термодинамических параметров и программы расчета сжатых атомных структур методом Хартри-Фока.

Апробация работы:

Основные результаты работы докладывались на Всесоюзных конференциях по теплофизичесхим свойствам веществ (Киев 1974 г., Минск 1978 г.), всесоюзных конференциях по физике низкотемпературной плазмы (Киев 1975 г., 1979 г., Ташкент 1988 г.). Всероссийской конференции по физике низкотемпературной плазмы (Петрозаводск 1995 г.), Всесоюзных конференциях по теории атомов и атомных слек-

трое (Ленинград 1977 г., Воронеж 1980 г.). Всесоюзных школах-семинарах по моделям механики сплошной среды (Красноярск 1977 г., Рига 1979 г, Алма-Ата 1981 г.), Научных сессиях секции низкотемпературной плазмы (Москва 1978-2004 гг.), Международных конференциях по уравнениям состояния вещества (Терскол 1982-2004 гг.), Международных конференциях по физике неидеальной плазмы (Вюстров, Германия 1982 г., 1989 г., Бинц, Германия 1995 г., Грейфсвальд, Германия 2000 г., Валенсия, Испания 2003 г.), Международных конференциях по инерциальному термоядерному синтезу (Гейдельберг, Германия 1997 г., Москва 2002 г.), Международной конференции по уравнениям состояния и фазовым переходам в моделях вещества в астрофизике (Лейден, Нидерланды 2004 г.).

Публикации. Список публикаций по материалам диссертации содержит 82 работы, среди них 4 монографии.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и трех приложений, содержит 196 страниц и 53 рисунка. Список литературы содержит 254 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обоснована актуальность темы, определены цели исследования, сформулированы результаты, отражающие научную новизну и практическую ценность работы, перечислены основные положения, которые автор выносит на защиту.

В первой главе рассмотрена структура термодинамических зависимостей для многокомпонентных систем в квазихимическом представлении (КХП), определяется подлежащий изучению диапазон термодинамических параметров высокотемпературной сильно-сжатой среды (ВТСС). В рамках этого представления свободная энергия системы, рассматриваемой как многокомпонентная смесь взаимодействующих частиц различных сортов, Имеет вид [1]

I

-1

О, .

т}У,т) (1)

Р({Ы,}У,Т)=Р° + }У,Т) = £д/>кат

Здесь кд- постоянная Больцмана, - тепловая длина волны Де-Бройля, 0) - статистическая сумма, а А/, и п, число и плотность числа частиц сорта }.

В выражении (1) первое слагаемое представляет собой сумму больцмановских вкладов для асех I. сортов частиц (атомое, молекул, ионов и т.д.), составленных из К химических элементов и электронов. При этом в противоположность "физической" модели плазмы, в которой все частицы кроме ядер и электронов не более чем проявления сильного взаимодействия "элементарных" частиц - электронов и ядер, в КХП все частицы как простые, так и сложные являются равноправными и в этом смысле могут считаться "элементарными". Второе слагаемое включает вклады всех эффектов, выходящих за пределы поведения идеального многокомпонентного больцманоеского газа, в том

числе поправки на взаимодействие частиц между собой. Таким образом, мы имеем депо с перенормированными межчастичными взаимодействиями, такими, что часть общего фазового пространства отведена под составные частицы, обладающие связанными состояниями. Следствием этого деления состояний на свободные и связанные и перехода к эффективным взаимодействиям как вне, так и внутри вновь введенных составных частиц является дополнительная зависимость статсумм, а с ними и всего идеально-газового слагаемого свободной энергии, от термодинамических параметров - температуры и плотности. Эта зависимость приводит к соответствующим (косвенным) поправкам к термодинамическим функциям, появляющимся при дифференцировании выражения (1)

йРвми^ЬТ) = угЧу д1п01

ЛЕэм<{п>},Т) уПууй<пО/| (2)

ЫквТ л £ дШт !,=г

КвТ л ¿1 е!ппк

В частности, статсумма может зависеть от параметров среды через "границу обрезания" Еш„ - / - л({п^,Т) - величину, определяющую верхний предел суммирования по энергетическим уровням. Для корректного вычисления производных (2) необходимое сохранение аналитичности статсуммы достигалось введением в выражение для статистической суммы

0({П1},т,Т) = ¡)9,е-<> (3)

/

формфактора со({п}, Т, ¡), зависящего от термодинамических параметров и являющегося гладкой функцией своих переменных, резко спадающей от 1 к 0 при е, > Ема*. Здесь е, - энергия связанного состояния частицы, отсчитанная от уровня основного состояния, д, - статистический вес уровня с энергией е,.

Далее в главе рассматриваются наиболее распространенные приближения для вычисления статсумм атомов и ионов, применяемые в многовариантных расчетах термодинамических свойств ВТСС и соответствующие этим приближениям формфакторы. Для расчета статсумм двухатомных частиц (молекул и молекулярных ионов) в данной работе применялся метод непосредственного суммирования в приближении "нежесткий ротатор-ангармонический осциллятор", что в нижней части температурного диапазона соответствует результатам данных [2].

Эффекты вырождения свободных электронов, проявляющиеся при высоких плотностях вещества, в данной работе учитывались в идеально-газовой части свободной энергии. При этом для интегралов Ферми-

Дирака применялись выражения [3], справедливые при любых параметрах электронного вырождения.

Как известно, основой расчета компонентного состава и термодинамических свойств в КХП являются уравнения равновесия, являющиеся следствием экстремальности какого-либо из термодинамических потенциалов в его канонических переменных. Необходимые условия минимума свободной энергии при постоянных V и Т, дополненные условием электронейтральности и условиями сохранения числа ядер химических элементов приводят к следующим уравнениям:

Уравнения химического и ионизационного равновесия, являющиеся обобщением уравнений Саха для плазмы и уравнений действующих масс для химически реагирующих газов:

К+1

Hi = I^W J= К+2,.....L (4)

где ц, - химический потенциал, вид которого полностью определяется структурой свободной энергии (1), Л вектор стехиометрических коэффициентов. Уравнение электронейтральности:

(5)

/=1 /-1

Уравнения пропорций химических элементов, которые в настоящей работе приведены к виду:

ZW?*' = 2>тдГЧ' * = 1,2.....К (6)

р-1 т=1

где и дГ*'1 по аналогии с (5) - положительный и отрицательный "обобщенный заряд" k-того химического элемента в компоненте сорта р и сорта m соответственно, вычисляемый по доле ft* химического элемента:

К L / К L

g>k=v>k-bk^vj; Ь* = / X 2>/"j

1*1 J-1 / /=1 /И

Уравнение для плотности

L

IXм/ - Л (7)

/-1

(вместо которого может быть выбрано уравнение относительно любой термодинамической переменной, выраженной через компонентный состав). В случае равновесия двух фаз в многокомпонентной системе уравнения (4-6) дополняются для этих фаз равенствами давлений и химических потенциалов К компонент с линейно независимыми сте-хиометрическими векторами /

Р({п)},Т)^Р({п]},Т)

в последней части четвертого параграфа приведены выражения для внутренней энергии, давления, энтропии и других термодинамических функций ВТСС, которые являются первыми производными от свободной энергии по переменным V,T и Nt, либо их комбинациями. Заметим, что производные в этом случае можно вычислять при "замороженном" компонентном составе {п} (это является прямым следствием того, что рассматриваемая система находится в термодинамическом равновесии). В то же время, это упрощающее реальные расчеты свойство не выполняется для термодинамических величин уровня вторых производных свободной энергии - теплоемкости, сжимаемости, показателя иэоэнтропы и т.д., выражения для которых таюке приводятся. В конце параграфа определяются безразмерные параметры, являющиеся индикаторами самосогласованности моделей ВТСС применяемых для расчета термодинамических свойств.

Численные методы решения уравнений равновесия для расчета компонентного состава рассмотрены в пятом параграфе. Для вычисления состава многокомпонентных систем в настоящей работе разработано два метода. Первый из них, предназначенный для систем, состоящих из частиц (атомов, ионов, молекул и т.д.), составленных из ядер атомов одного химического элемента (К=1) представляет собой сочетание метода прямой минимизации свободной энергии f = F/fi, где И - полное число ядер в единице объема, с методом численного решения уравнений равновесия.

На начальном этапе в процессе минимизации при заданных температуре и плотности с дополнительным условием электронейтральности осуществлялось грубое (|У; - х'| < Ю 3 х, - in п,) определение состава. Достаточно быструю сходимость процесса обеспечивал алгоритм, предложенный в настоящей работе. При этом направление и величина шага определялись выражением

VI W 1

У = 2,---,1-1 (9)

где, /л,, т,, V* - химический потенциал, заряд и число атбмов в частице сорта /4, 0- - то же для частиц с максимальной величиной положительного заряда, //, - химический потенциал электронов, Л - регулируемая величина шага. Абсолютные значения плотностей л, после их нахождения из процедуры (9) уточнялись методом Ньютона, хорошая сходимость которого обеспечивалась достаточно высокой точностью определения "главных" компонент на первом этапе.

Второй метод расчета состава ВТСС, основанный на решении уравнений равновесия, фактически сводился к решению системы нелинейных уравнений относительно £ переменных (к). В случае идеальной (без взаимодействия частиц) системы количество переменных может быть существенно уменьшено, так как 1.-К-1 переменных х) выражаются из уравнений (4) через К+1 "базисных" переменных. Это может быть сделано и в общем случае "псевдоидеальной" системы, когда поправки на взаимодействие постоянны. Состав такой системы ис-

пользовался для вычисления поправок на неидеальность с последующим расчетом нового состава и т.д. до тех пор, пока результаты на двух соседних итерациях не совпадали в пределах згцанной точности Состав ВТСС для такой "уменьшенной" (при фиксированных поправках на неидеальность) системы находился при помощи минимизации специально сконструированного функционала

к

3(х) = [1пр({П1})-1про)Т + У

к-1

Г £. £

р=1

(10)

/и

у которого точка, где достигается нулевой минимум совпадает с решением системы уравнений равновесия {вопросы единственности решения рассмотрены в приложении 1). Для поиска минимума применялся метод (Э.Ф. Брин, Б.В. Павлов, 1973), в котором при малой величине шага направление спуска совпадает с градиентным, приближаясь при его увеличении к ньютоновскому, что позволяет существенно экономить число вычислений.

Отметим, что запись уравнений пропорций химических элементов в форме (6) позволяет избежать трудностей, связанных с потерей точности при расчете состава сложных многокомпонентных систем.

Начальное приближение выбиралось из специально сконструированных упрощенных модельных составов. Из них в качестве х*0> выбирался тот, который обеспечивал наименьшее значение свободной энергии.

В последнем параграфе первой главы рассмотрены методы расчета термодинамических свойств ВТСС при наличии фазового перехода. С вычислительной точки зрения расчет фазового равновесия жидкость-пар (кривой кипения и кривой насыщения) сводился к решению системы уравнений (8), куда входят давления и химические потенциалы жидкой и газовой фаз. Для системы уран-кислород в области интересующего нас фазового перехода система уравнений (8) сводилась к следующей:

РЬ(Т.{п,}) = Рд*(Т,{п,})

1ф(Т.{п,})~1ф(Т.{п,}} (11)

Решение системы (11) для кривой кипения (насыщения) находилось при помощи минимизации функционала

$м(Й«),Рда*,Хдк) = <1/$1 -^Р+ОпРкя-ШРд^Р (12)

в переменных р^, рда$. хдаа^ОА/], представляющих собой плотности жидкой и газовой фаз и отношение полного количества атомов кислорода к полному количеству атомов урана в газовой фазе (жидкой) фазе. Минимизация функционала (12) осуществлялась с использованием метода Брина-Павлова, причем каждый шаг минимизации содержал в

себе полный цикл решения уравнений равновесия для каждой из фаз. Описанные методы расчета реализованы в программных комплексах семейства ЭАНА {Приложение 2).

Вторая глава посвящена описанию термодинамических свойств слабонеидеальной плазмы Солнца. В течение последнего времени накоплены обширные наблюдательные гелиосейсмологические данные, которые на основе анализа собственных частот колебаний Солнца позволяют получить информацию о физических условиях в его недрах и уточнить модели современного Солнца. Процедура построения солнечной модели включает в себя использование уравнения состояния солнечной плазмы, к которому, вследствие необычайно высокой точности гелиосейсмологических измерений, предъявляются весьма жесткие требования. В то же время существуют видимые различия между наблюдательными данными и современными модельными расчетами. Для выяснения причин расхождения теоретических и наблюдательных данных, в работе была поставлена задача выяснить, каково влияние различных плазменных эффектов и существующих неопределенностей в элементном составе на параметры уравнения состояния солнечной плазмы. Основное внимание было посвящено так называемой конвективной зоне, расположенной в первой трети от поверхности Солнца до глубины 0.7КВ, где • радиус Солнца, так как именно конвективная зона ответственна за колебания, периоды которых измерены с максимальной точностью.

Свободная энергия имела вид (1). Статсуммы двухатомных частиц вычислялись в приближении нежесткий ротатор-ангармонический осциллятор с ограничением уровней на "/се7". Для атомов и ионов использовались два варианта расчета статсумм. Один из них соответствовал формуле Планка-Ларкина, а в другом использовалось более строгое выражение [4], которое в пределе очень высоких температур, дает больший вклад

ш?*(Т)=>4ш*-(Т) (13)

Вырождение электронов учитывалось в идеальногазовой части свободной энергии. Основным видом межчастичного взаимодействия для солнечной плазмы является кулоновское взаимодействие, которое соответствовало дебаевскому приближению в большом каноническом ансамбле (БКА) [5], обобщенному на случай многократной ионизации с учетом обменной и корреляционной поправок

п,квТ ~ 24ш61ъ 4 ^ * па 4 4пвГ3

4 «Л 1г ' Ч.с. М"

где Хв,Св - тепловая длина волны Де Бройпя и активность (<"„ =вхр(у9/квТ)/Х% ) для электрона и соответственно для ионов, тепповая длина волны Де Бройпя для частицы с приведенной

массой т^=т,т/(^ег/квТ - кулоновская амплитуда рассеяния, Г - дебаевский параметр неидеальности, вычисленный по активностям. При этом суммирование в (14) осуществлялось только по ионам, а все активности были выражены через плотности числа частиц из уравнений

Пе

<е =

1--■-1]

0 =

(15)

1 +

4

\ к=г ^е л.в)

Из-за высоких температур во внутренних областях Солнца было необходимо учесть также релятивистские эффекты и равновесное излучение. Заметим, что релятивистская поправка первого порядка к давлению точно равна кулю, 8 противоположность поправкам того же порядка к внутренней энергии:

= г ШвТ

квТ Втвсг и химическому потенциалу электронов.

(16)

ю* т, к ю'

Рис. 1. АС 1 - идеального газа протонов и альфа-частиц, 2 - полученная в результате гепиосейсмологической инверсии, 3 -полностью ионизованной гелий-водородной плазмы с кулонов-ским взаимодействием, 4 - с учетом вклада связанных состояний водорода и гелия.

то' т,к 10'

Рис. 2. АС с учетом: вклада тяжелых элементов - кривая 3, эффектов излучения - 4, обменных и диффракци-онных поправок - 5 и релятивистских эффектов - 6; 1, 2 то же, что и 1, 2 на рис. 1.

Давление и внутренняя энергия излучения соответствовали вкладу черного излучения

др(ЯаИ) _

ДЕ***1) 4

Т4; 058 =

тгЧ*

(17)

ЗУ Зс ' ' 60й3сг ' С использованием (13-17) были проведены массовые расчеты состава и термодинамических функций плазмы Солнца. Первый тип расчетов - вычисления обширных таблиц для фиксированной (2%) доли Т тяжелых (тяжелее гелия) элементов, с плотностями от 10"8 г/см3 до

104 г/см3, и температурами от 103 до 10е К. Плазма состояла из водорода, гелия, углерода, азота, кислорода и неона и 54 компонент, включая электроны, атомы, все ионы для каждого химического элемента и двухатомные молекулы. На основе этих таблиц была построена модель современного Солнца. Сравнение результатов расчета для адиабатической сжимаемости (АС) Г| = (Э1пР/д1пр)3 с данными других авторов продемонстрировало удовлетворительное согласие с существующими моделями. Однако вблизи "дна" конвективной зоны (при температурах около 2 10е К) сравнение обнаружило значительное различие всех расчетов и данных гелиосейсмологической инверсии.

С целью выяснения возможных причин расхождения было выполнено три серии расчетов, которые заключались в последовательном включении различных плазменных эффектов в УРС плазмы Солнца, расширение элементного состава тяжелых элементов при постоянной величине X и вариацию 2. Проведенные расчеты продемонстрировали значительный вклад кулоновского взаимодействия и связанных состояний атомов и ионов в термодинамику Солнца. При этом учет тяжелых элементов меняет форму кривой АС вследствие ионизации внутренних оболочек неона и кислорода, а эффекты излучения и релятивистские эффекты играют заметную роль лишь в глубинных областях Солнца, в то время как менее заметен вклад диффракционных и обменных поправок (рис. 2).

Рис. 3. АС с расширенным составом тяжелых элементов - 4; 1, 2, 3 - то же, что и 1. 2, € на рис 2, 5 - вычисления с расширенным элементным составом и уменьшенным в два раза 2.

Рис 4 Средний заряд иона химических элементов в солнечной плазме Указаны названия химических элементов с зарядами их ядра

Расширение элементного состава солнечной плазмы (рис. 3) приводит к исчезновению двух ионизационных пиков при температуре ~ 400 кК, а уменьшение 2 - к большему соответствию результатам, полученным из процедуры гелиосейсмологической инверсии, что возможно говорит о необходимости более глубокого анализа данных об элементном составе Солнца. При этом степень ионизации водорода и гелия (рис. 4) достигает максимума уже в конвективной зоне. Для углерода это происходит только ближе к ядру, а для других химических

элементов полная ионизация не наступает даже в центре Солнца. Возможно, это обстоятельство потребует дальнейшего изучения как роли связанных состояний, так и структуры энергетических уровней ионов высокой кратности для адекватного описания термодинамики плазмы Солнца.

В третьей главе рассматривается модель ограниченного атома для описания термодинамических свойств ВТСС. При проведении термодинамических расчетов разреженных высокотемпературных газов и плазмы атомы обычно считаются идеальной подсистемой, не взаимодействующей с окружающей средой. При увеличении давления межатомное взаимодействие начинает заметно проявляться при нарушении условия Пткшм^о << 1 ■ где ~ ао радиус атома в основном состоянии. Однако при высоких давлениях и температурах, сравнимых с потенциалом ионизации, появляется значительное количество возбужденных атомов. Размер последних может заметно превышать Ьл и поэтому неизолированность и, в частности, то обстоятельство, что объем, доступный для реализации состояний атома конечен, сказывается на них в первую очередь. Влияние этого эффекта было продемонстрировано в [6], где были проведены расчеты для водорода в приближении ограниченного атома. Этому приближению соответствует потенциал вида:

г 2е2

и(г)-\~ г 0<г<гс (18)

I оо г0 < г

Очевидно, что попытка согласовать поведение энергетического спектра внутриатомных состояний с термодинамическими параметрами окружающей атом плотной среды связана с одной стороны с проблемой выбора эффективных потенциалов взаимодействия частиц в среде, а с другой - с необходимостью рассчитывать внутреннюю электронную структуру частиц с видоизмененным внутриатомным потенциалом. В настоящей главе предлагается термодинамически самосогласованная модель, в которой:

1) приближение ограниченного атома (18) используется для многоэлектронных атомов;

2) оптимальный радиус атомной ячейки определяется в результате минимизации свободной энергии.

Для расчета электронной структуры многоэлектронных атомов в приближении ограниченного атома в настоящей работе использовался метод Хартри-Фока, а точнее, его ограниченный вариант (ОХФ).

Система уравнений ОХФ представляет собой систему интегро-дифференциальных уравнений относительно одноэлекгронных радиальных волновых функций гИ^г)

дг2 + ^Ы{Г)-АЫ

Ыг) + хы(г)- £ — Лп^/МО-О. (19)

п'Г*Ы Яп1

где потенциал Уп&т) и обменный член х„,С) = | Х„/(г,г')(п1(г')<]г' яеля-

0

ются функционалами от 1„£г). Диагональные параметры Х^ и недиагональные множители Лагранжа Л^аГ определяются из условий ортонор-мированности

]мгУМг)#шбм (20)

о

и граничных условий, одно из которых эквивалентно условию конечности радиальной волновой функции Ящ(г) при 0 и имеет вид:

М0) = 0, (21)

а второе, в зависимости от вида решаемой задачи, может соответствовать условию изолированного атома, периодическому граничному условию и т.д. В частности, атомной ячейке радиуса гс с абсолютно непроницаемыми стенками (ограниченный атом) соответствует

ЫГс) = 0, (22)

Часть параметров в задаче (19-22) можно исключить, выразив недиагональные множители в виде:

= (—I -Уп-гУт^г + х^пг -х„т№. (23) КЯт Япг) £

При решении системы на каждом шаге итерационного процесса самосогласования для каждой электронной оболочки решалась граничная задача (у(г) гЦг))

y"+v(r)y + х(г)~ Ау

У(0) = У(ГС) = 0 * '

(для определенности выбрано граничное условие (22)), При решении задачи условие нормировки (20) служащее для определения X заменялось условием

У(г)=У1>0 ' (25)

в некоторой точке г,, а х(г) вычислялось по функции ^г), полученной на предыдущем шаге процесса самосогласования.

Следуя [7], решение у(г) задачи (24-25) определялось в результате сшивки в некоторой точке гр двух решений у^г) и уй(г), удовлетворяющих уравнениям (24) и граничным условиям П(О> = 0; у!_(гл) = у 1,-уя(гр) = ур; Ун(гс) = О.

Граничные задачи для уи и у« решались методом прогонки, а X находилось из уравнения

УУ\у^гР,Л),уй{гр>А)] 0

уЦгр.Л)

где вронскиан, составленный из решений и уя

При расчете спектра возбуждений многоэлектронного атома в эффективном потенциале возникает ряд проблем. Одна из них связана с

сильным искажением потенциала \/(г) при сжатии атома, что необходимо учитывать при решении граничной задачи (24-25). В данной работе деформация потенциала учитывалась автоматическим выбором точек г-, и гр, что с одной стороны дало возможность построить устойчивый алгоритм решения задачи; а с другой позволило в рамках единой методики проводить расчеты для широкого класса потенциалов, описывающих как изолированные, так и сильно-сжатые атомы.

При расчете возбужденных состояний возникает широко обсуждавшаяся в литературе проблема расходимости итерационного процесса самосогласования, связанная с тем, что в процессе итераций приходится решать неоднородную задачу (24-25), переходящую в однородную лишь по мере достижения самосогласования. Для сжатых атомов эта трудность осложнялась возрастанием обменного взаимодействия и, следовательно, увеличением неоднородности уравнений. Для предотвращения расходимости в работе применялись следующие меры:

1. Условие (25) поддерживалось постоянным в течение всего процесса самосогласования, после окончания которого, решение подчинялось условию нормировки (20).

2. Для уменьшения погрешности вычисления Л^г из выражений (23) при помощи специального анализа были исключены слагаемые в интеграле, которые должны полностью компенсироваться, если волновые функции Ш являются решением системы (19-22).

3. Было предусмотрено постепенное "включение" обменного взаимодействия Хщ(г) при помощи параметра.

4. Начальное приближение на $+1 итерации самосогласования выбиралось в виде (1 -ру^ + где 0 <0< 1 .

Описанные выше процедуры позволили значительно улучшить сходимость процесса самосогласования и провести расчеты возбужденных состояний, давно известных в литературе в связи с расходимостью итераций.

Для получения более точных энергетических характеристик атомов в процессе расчета была предусмотрена возможность использования корреляционных поправок (Глембоцкий И.И., Петкявичус И.Ю., 1973).

На основе разработанной методики создан автоматизированный комплекс программ расчета атомных характеристик -в приближении ОХФ для изолированных и сжатых атомов (Приложение 2).

Для оценки влияния сжатия среды на энергетический спектр атомных частиц в настоящей работе использовалась модель ограниченного атома (18). С использованием граничного условия (22) для различных значений радиусов атомной ячейки гс были проведены расчеты энергетических спектров атомов и ионов щелочных металлов и инертных газов (рис. 5).

Анализ спектров показал общую закономерность в их поведении, выражающуюся в более высокой "чувствительности" возбужденных состояний к сжатию. В результате чего для каждого сорта атомных частиц существует диапазон радиусов гс, в котором увеличивается

разность энергий между возбужденными и основным состояниями. Погрешность в энергии связи электронов, вносимую методом ОХФ, удается значительно снизить за счет учета корреляционных поправок, что показано на примере потенциалов ионизации аргона и цезия.

16 — ■ г ■ • 'аг-, У (V)

14

12 \ ('р. 1>) .

10 1 Зр'Аз' ("Р, 'р>

8 * 6 : \

4

2 \ __ Зр'('З)

0

2 4 б & 10 Г(, э,и.

Рис. 5. Энергетический спектр ограниченного атома аргона.

Оценки межчастичных расстояний в высокотемпературной среде и вид спектров сжатых атомов показывают, что влияние окружающих частиц может значительно искажать спектры атомов при высоких давлениях. Так, например, при давлении 100 атм и температуре 5000К среднее межчастичное расстояние составляет величину - 20 А, что лишь в 2-3 раза превышает "характерный" размер основного соотояния щелочного металла и практически совпадает с размером его первых возбужденных состояний.

Таким образом, по крайней мере для описания движения внешних электронов, внутриатомный потенциал должен быть эффективно видоизменен, чтобы учесть наличие окружающей атом плотной среды. Для описания термодинамических свойств ВТСС в настоящей работе предлагается модель, в которой рассматривается система, состоящая из атомов, имеющих конечный размер, и точечных однозарядных ионов и электронов. Подсистема атомов представляется как система твердых сфер с радиусом гс. Свободная энергия такой модельной системы может быть записана в виде:

Р({И1}У,Т} = Р1а({Ы,}У,Т) + ЛРн$({Ы1}У,Т) + ЛРсси1т}У.Т), (27)

где

-А"- Д-1■ <28)

Статсумма Ов(Гс) вычисляется суммированием вкладов от уровней энергии, рассчитанных в приближении ограниченного атома (18) методом Хартри-Фока. Третье слагаемое представляет собой вклад от взаимодействия свободных зарядов, а второе описывает отталкивание

твердых сфер, также зависящее от радиуса гс через безразмерный параметр у = па( 4пг<? /3).

4-3у

ÜFHS ^NakBTf(y) = N,kBTy

(29)

(У- V '

Функция Цу) представлена Паде-аппроксимантой расчетов системы твердых сфер методом молекулярной динамики из работы Янга и Ол-дера 1971г. Равновесное значение гс определялось из вариационного принципа статистической механики:

Г-о. (30)

отс

Уравнение (30) вместе с уравнениями состояния и ионизационного равновесия представляет собой систему уравнений равновесия для определения ла , пе , гс. В работе рассмотрены основные свойства модели, следующие из решения уравнений равновесия с различными Р и Т. Показано, что при фиксированной температуре значение равновесного радиуса атома является монотонно убывающей функцией давления. При разрежении значение гс увеличивается, а при Р 0 модель обладает идеальногаэовой асимптотикой.

При помощи данной модели проведены расчеты термодинамических функций для ударно-сжатых аргона в области Р=30+900 МПа и Т = (5^30) 103К и цезия при Р = 0.2+20 МПа и Т=(2.6-20)103К.

Проведенные расчеты показали удовлетворительное оогласие результатов с экспериментом (рис. 6, 7) как для термического, так и для калорического уравнений состояния ударно-сжатых цезия и аргона. Заметим, что характерной чертой представленной модели является эффективное отталкивание, появляющееся вследствие взаимовлияния термодинамических параметров среды и структуры связанных состояний.

|£ 10

а

/s .^ш, // ¿Шк //MF

//JF — \ 2

ш / 'ж iff * 1

0 М 40 « W 100 Р. бар • " о J 10 1Í Р. <¡0j>

Рис. 6. Калорическое уравнение состояния цезия на иэохорах V = 200 см'/r (а) и V= 1000см3/г (б). Затенена полоса (±5%) экспериментальной зависимости H{P,V) {А.В.Бушман, Б.Н.Ломакин и др., 1975):

1 - дебаевское приближение в БКА [5], 2 - псевдопотенциальвая модель [в] с глубиной электрон-ионного потенциала -k0T , 3 - приближение ограниченного атома; 4 - псевдопотенциальная модель [8] для взаимодействия зарядов в сочетании с моделью ограниченного атома для описания взаимодействия атомных частиц.

Рис. 7. Термическое уравнение состояния ударно-сжатого аргона

1 - результаты эксперимента (В.Е.Беспалое и др. 1975, В.Е.Фортов и др. 1976); 2, 3 - расчет УРвр.Т«*,) для экспериментальных точек: 2 • дебаевское приближение в БКА [5] для заряженных частиц; 3 - модель ограниченного атома '

Четвертая глава посвящена построению моделей ВТСС для описания ударно-сжатых пористых металлов, анализу эффектов влияния взаимодействия на термодинамические функции ВТСС в условиях ударно-волнового кагружения и сопоставлению полученных в результате расчета данных с результатами эксперимента.

В предыдущей главе рассматривались свойства вещества в области частичкой ионизации, где кратность ионизации а = пАпа+п,) не превышала 1-2. Более высоких параметров позволяет добиться ударное сжатие пористых металлических образцов. Общие особенности экспериментальных данных по ударному сжатию пористых металлов видны на рис. 8 - диаграмме внутренняя энергия (Е) - плотность (р), дополненной расчетом изотерм вещества с использованием модели на основе КХЛ.

Она демонстрирует тот факт, что вся фазовая диаграмма вещества (диаграммы других металлов подобны обсуждаемой) распадается на две области качественно различного поведения термодинамических зависимостей. Большую часть занимает область относительно разреженной (р «ра) "газовой" плазмы, характеризуемой двумя отличительными признаками - плавным убыванием при изотермическом сжатии и отчетливым проявлением (на больших интервалах изменения плотности) т.наз. оболочечных осцилляций всех термодинамических зависимостей. При р > ро такое поведение сменяется резким ростом энергии и обобщенного фактора сжимаемости 2(ппиС1 ,пе,Т) = р/р"*"*, что традиционно интерпретируется как "ионизация давлением". Глубина и местоположение на изотермах минимумов, соответствующих термическому и калорическому уравнению состояния, может условно рассматриваться как средоточие максимальной неопределенности нашего знания о термодинамических свойствах

сжатого и нагретого вещества. Уникальность ударно-волнового сжатия пористых мишеней (»стоит в том, что оно дает информацию о поведении плотной сильно-неидеальной среды именно в этой, наиболее сложной и интересной области.

Рис. 8. Диаграмма - плотностъ-энертя для плазмы никеля.

Изображены расчетные изотермы и экспериментальные точки, полученные в результате ударного сжатия сплошных и пористых образцов никеля. Отмечены линии постоянных параметра купоновской нечдеальности Г„ и параметра вырождения электронов .

Свободная энергия для квазинейтральной смеси электронов, ионов, атомов и молекул, представлялась в соответствии с (1), как сумма идеально-газовых слагаемых и совокупности членов, ответственных за различные виды межчастичных взаимодействий, рассматриваемым в КХП раздельно. Атомы и ионы рассматривались как больцмановсхие частицы и их вклад соответствовал первому слагаемому в (1). Вырождение свободных электронов, учтенное в рамках идеально-газового слагаемого приводило прежде всего к эффективному сдвигу ионизационного равновесия в сторону меньших степеней ионизации, а кроме того и к прямой поправке в уравнении состояния, соответствующей дополнительному эффективному отталкиванию.

Описание эффектов неидеальности в данной главе осуществлялось в рамках "минимального" набора шагав, позволявшего в раде случаев добиться в пределах экспериментальной точности удовлетворительного согласия с данными эксперимента по динамическому (ударно-волновому) сжатию различных веществ.

В рамках этого сокращенного подхода использовались следующие приближения:

• Эффект кулоновской неидеальности учитывался в рамках деба-евского приближения в большом каноническом ансамбле 15].

• При расчете внутренних статистических сумм возбуждения атомов и ионов в расчет бралось только основное состояние.

• Интенсивное короткодействующее отталкивание атомов и ионов учитывалось в рамках приближения смеси твердых шаров с существенно различающимися размерами атомов и ионов различной кратности.

• Атомы и ионы считались "проницаемыми" для электронов, т.е. последние не включались в сферу действия приближения твердых сфер и "не чувствовали" эффективного увеличения плотности из-за наличия у атомов и ионов собственного объема.

• учитывалось дополнительное короткодействующее притяжение атомов и ионов, обеспечивающее эффективное описание наличия энергии связи у конденсированного вещества.

Одним из преимуществ обсуждаемого сокращенного описания с точки зрения количественных расчетов является принципиальное отсутствие в используемой форме учета кулоновской неидеальности и статсумм возбуждения, возможности спонтанной потери системой термодинамической устойчивости.

Известно, что перекрытие электронных оболочек атомов и ионов при высоких степенях сжатия ведет к появлению интенсивного отталкивания на коротких расстояниях. В отличие от Главы 3, где этот эффект описывался приближением твердых сфер одинакового размера, в данном случае ввиду возможности многократной ионизации была использована модель смеси твердых сфер различных радиусов. В непосредственных вычислениях применялась т.наз. формула Мансури [9]:

(31)

2>r-V = 1-2,3; X = (pfff*}2; Y =

Вклады в давление, энергию и химический потенциал следуют из (31):

= + AEhsm = 0 (32)

2_р,КВТ dv kgl j an!

t

Для определения радиусов частиц, г,, применялись две процедуры. В первой, для расчета электронной структуры атомов и ионов использовалось приближение ограниченного атома, в рамках которого атом (или ион) помещается в сферическую ячейку с жесткими стенками и с помощью метода Хартри-Фока рассчитывается электронная структура частицы при переменном радиусе атомной ячейки (см. Главу 3). Дальнейшее определение "эффективного" радиуса ячейки базируется на соотношении: AE(r, ) = Const I,, где ЛЕ(г,) - сдвиг энергии основного состояния, I, - соответствующий потенциал ионизации иг, - радиус атомной ячейки. В данном случае принималось Const = 1.

экспериментальных образцов)

Данные расчета: 1 - расчет согласно предложенной модели;

Эксперимент: 2, 3 - R G. McQueen. S.P Marsh. 1960, J. М, Walsh et al, 1957, 4, 5 - Л.В.Альтшулер и др., С.Б.Кормер и др, 1962, :5 -13 - Р.Ф.Трунин и др., 1969-2003, б - (п=2, 7 - т = 2,32; 8 - т = 5,62,12 -ф=20,13 -ш=28

Более простая процедура основана на предположении о близости структуры атома к водородоподобной. В этом случае каждому иону ставится в соответствие характерный размер, связанный с потенциалом ионизации соотношением г, +1)/0//, ], где Гд, 10 - радиус и ионизационный потенциал атома, r„ I, - то же для /-того иона, z, - заряд иона.

В реальных расчетах обе процедуры использовались только для определения отношения радиусов атома и остальных ионов. Величина атомного радиуса определялась в соответствии с т. наз. правилом Аш крофта-Лекнера. Согласно этому правилу соответствующий нормальной плотности оптимальный размер твердых шаров определяется из условия фиксированного значения параметра упаковки v = 4я£п,г(3/3 г °-45. что приводит к наилучшему совпадению положения первого максимума парной корреляционной функции системы твердых шаров с экспериментально наблюдаемой величиной для целого ряда простых металлов в жидком состоянии.

Вычисления в рамках описанного выше приближения приводят ко вполне приемлемому согласию с экспериментальными ударными адиабатами металлов при относительно больших скоростях ударных волн. Учет короткодействующего отталкивания принципиален для достижения этого согласия. Однако, проведенные расчеты выявили существование области относительно низких давлений (и низких скоростей ударных волн), в которой для получения решения уравнений Рэнкина-Гюгонио необходимо принимать во внимание механизмы, учитывающие энергию связи вещества в конденсированном состоянии:

АР = ли =-А(уЫ,) V-' ; йР = -А5Уи6 ;

^ (33)

Ау, =-Л{ 1 + А 5 = солэГ

Поправки (33) не зависят от температуры. Выбор <5И соответствует традиционной форме приближения Ван дер-Ваальса. Выбор же 6=1/3 считается более соответствующим "металлическому" (плазменному) типу связи конденсированного вещества. Суммирование ведется по всем тяжелым частицам, так что поправки не сдвигают ионизационного равновесия.

С использованием описанной выше модели уравнения состояния были произведены расчеты всех существующих ударных адиабат пористых никеля, железа, меди и алюминия. Результаты расчетов для никеля, представлены на рис. 9.

Заметим, что упрощенная схема выбора относительного размера атома и ионов, дающая удовлетворительные результаты для описания ударно-сжатых пористых железа, никеля и меди не позволяет добиться сколько-нибудь приемлемых результатов при описании ударных адиабат пористого алюминия.

В качестве исходных данных для вычисления этого отношения использовались результаты расчета их электронной структуры методом Хартри-Фока.

При этом размеры атома и каждого из ионов вычислялись как средние по всем электронным оболочкам с использованием их чисел заполнения и радиальных волновых функций. Отношения атомных и ионных радиусов, которые были получены в рамках указанной процедуры, использовались при расчете ударных адиабат пористого алюминия (рис. 10)

101

10'

----Г

р.

т-З

О 2

О

о

р. г/см'

Рис 10 Ударные адиабаты пористого алюминия

1 - вычисления согласно предложенной модели; 2 - 4 - эксперимент' 2-РФ. Трунин и др, 2003 ; 3 - АЛ Бака нова и др., 1974; 4 • С.б.Кормер и др., 1962

Еще одной проблемой традиционно находящейся в центре внимания теории ВТСС, является вопрос о существовании самостоятельного т.наз "плазменного" фазового перехода [10]. Отметим, что результаты настоящих экспериментов, как и приближения, использованные в расчетах настоящей работы не зафиксировали аномалий, ассоциируемых с наличием в системе неизвестного фазового перехода.

Пятая глава посвящена развитию термодинамических моделей ударно-сжатых газов в мегабарном диапазоне давлений, включая области, где возможна ионизация давлением. Изучение вопросов, связанных с ионизацией давлением обусловлено как появлением новых экспериментальных данных, которые к настоящему времени получены для инертных газов и водорода (дейтерия), так и имеющимися теоретическим гипотезами о существовании плазменного фазового перехода [10]. В противопопожность термической ионизации, которая хорошо изучена, исследование ионизации давлением является значительно более сложной задачей, т.к. речь ид^ет о «холодном» [кеТ < I) сжатии вещества до мегабарных давлений и плотностей, превосходящих твердотельные. В этих условиях реализуется сильное межчастичное взаимодействие, электронные оболочки атомов и молекул перекрываются, а уровень электропроводности становится сопоставимым с электропроводностью металлов.

В настоящей главе для расчетов термодинамических параметров ВТСС в мегабарном диапазоне давлений были использованы следующие составляющие полного термодинамического приближения:

• Свободная энергия квазинейтральной смеси электронов, ионов, атомов и молекул была записана в виде (1).

• Предполагалось, что тяжелые частицы (атомы, ионы и молекулы), подчиняются Больцмановской статистике (при ппотностях и температурах, достигаемых в ударно-волновом эксперименте это условие еще далеко от нарушения).

• Электроны рассматривались как частично вырожденный идеальный Ферми-газ (параметр вырождения г>,\% может достигать нескольких десятков).

• Из всего спектра взаимодействий учитывались кулоновское взаимодействие заряженных частиц и короткодействующее отталкивание частиц на близких расстояниях.

Для описания кулоновского взаимодействия применялся вариант псевдопотенциальной модели для многократной ионизации [6]. Центральным моментом этой модели является явный учет «некулоново-сти» взаимодействия свободных зарядов на близких расстояниях, приводящей в условиях сильной неидеальности к заметному положительному сдвигу не только потенциальной, но и средней кинетической энергии свободных зарядов. При этом глубина электрон-ионного псевдопотенциала Ф* (0) связывалась с границей, отделяющей свободные состояния каждой электрон-ионной пары от соответствующих ей свя-

занных состояний в статсумме. Параметры корреляционных функций с потенциалом Ф*,(г) определялись из условий [8], справедливых при любых значениях кулоновского параметра неидеальности: условия локальной электронейтральности, условия дипопьного экранирования, неотрицательности корреляционных функций и связи амплитуды экранирующего облака с глубиной электрон-ионного псевдопотенциала. Поправки на взаимодействие зарядов, полученные из этих условий близки к дебаевским при (Гр<< 1) отличаясь от них меньшими значениями при (Г0 » 1) [8].

Вклад короткодействующего отталкивания молекул, атомов, ионов описывался в рамках приближения мягких сфер [11], обобщенного на случай многокомпонентной смеси сфер различных радиусов:

ш =Ъу"э(**з'квТ)+ -+с-Оу"а(*зз/квТ)"*: ШВТ 6

. V - .

п ' 3 " 6 '

где N = ^Н) - полное число частиц, описываемых приближением мягких сфер, Сз - маделунговская константа [11] для потенциала

Vír)^sas[-f■J. (35)

При этом средний "радиус" (характерный размер) гс мягких сфер определялся выражением

Гс =

V*

(? = 3.

(36)

Дифференцированием (34) по V, Т и Ы} получались поправки к давлению, внутренней энергии и химическому потенциалу. Последняя, при одинаковом 5 для всех сортов, имеет вид:

л, дМ = N + у — квТ г ду

L3

я Vе /

(37)

Отсюда видно, что различие в поправках (37) для частиц с разными радиусами может предопределять уменьшение энергий ионизации (диссоциации) с ростом плотности вещества.

Описанная выше термодинамическая модель имеет правильную асимптотику при низких плотностях среды, совпадая с хорошо известными теориями разреженной плазмы и газов, а в области высоких плотностей является развитием моделей примененных в предыдущих главах в области сверхвысоких сжатий.

При определении параметров модели (34-37) для ударно-сжатых исходно сжиженных инертных газов выбор радиусов атомов (при фиксированной энергетической константе ess) и степени отталкивания в приближении смеси мягких сфер (34-37) осуществлялся из условия наилучшего в рамках этой модели описания расчетных данных холод-

ной кривой (Т=0К) для плотностей экспериментального диапазона. Полученные в результате такой процедуры значения представлены в следующей таблице

я О

Не 12 0.01354 2.82 а0 1

Аг 12 0.0125еУ 3.20 а0 1

Кг 12 0.0171 еУ 3.54 а0 1

Хе 10.5 0.0221 еУ 3.83 а0 1

Соотношения радиусов атомов и ионов различной кратности определялись из расчета их электронной структуры в приближении ограниченного атома методом Хартри-Фока согласно процедуре, описанной при расчете ударных адиабат пористых металлов (Глава 4). С использованием изложенной выше модели были проведены расчеты ударных адиабат и изотерм ксенона, криптона и аргона. Во "всех трех случаях начальное состояние ударно-сжатых газов соответствовало жидкости. На рис. 11 наряду с ударными экспериментами представлены также данные по многократному ударному сжатию.

Видно, что в целом при помощи принятого приближения удается достичь удовлетворительного описания экспериментальных данных. Имеющееся же отличие при низких давлениях и температурах можно объяснить недостаточной точностью аппроксимации состояний ксенона в жидкой фазе. Использование настоящей модели также позволило хорошо описать ударные адиабаты жидкого аргона (рис. 12) и криптона.

140 120

(00

С 80

60

40 20

4 5 6 7 8 9 10 р,г/см' Рис.11 Ударная адиабата ксенона

Экспериментальные данные 1 - Р!К&е1ег е( а1, 1965, 2 - УУЫеШз е! а1, 1982, 3 - V Э игПп «I а1, 1992,4 - V Е РоПоу е1 а1. 2001. 5 - V В МНзеу в! а1. 2000 Расчет 6 и штриховая кривая - У.Р.игИп е{ а(, 1992, 7 - настоящая работа.

Отметим, что удовлетворительного согласия удается достичь и с измеренными значениями яркостной температуры и скорости звука в

этих веществах. Данные по температуре ударно-сжатого ксенона представлены на рис. 13.

Рис 12. Ударная адиабата аргона.

Эксперимент: 1 - В.Д.Глуходедов и др.. 1999, Расчет: 2 - настоящая работа; штриховая линия - "холодная кривая".

Рис. 13. Температура вдоль ударной адиабаты ксенона.

Экспериментальные данные- 1 - V.D.Urlin et al, 1992, 2 - V.E.Fortov et ai, 2001, 3 - V.B.Mintsev et a), 2000., 4 - расчет no модели настоящей главы

Водород давно вызывает к себе значительный интерес и, в частности, это связано с возможностью металлизации и "плазменного фазового перехода" [10]. Сегодня существует большое количество работ, которые основаны как на модельном подходе, так и на подходе "из первых принципов" (D.M.Ceperley, В.С.Фипинов и др.), претендующем на ропь "численного эксперимента". Дополнительным стимулом к изучению термодинамических свойств ударно-сжатого водорода (дейтерия), явились эксперименты, выполненные с помощью лазера NOVA, а впоследствии с помощью других источников генерации сильно-сжатых состояний. Особенностью водорода является существование обширной "моно-молекулярной" области (р s 0.3 г/см3), где термодинамика

водорода почти полностью определяется взаимодействием Н2-Н2. В рамках используемой здесь обобщенной модели мягких сфер параметры взаимодействия Н2-Н2 в данной работе выбирались максимально близкими к параметрам строгого "неэмпирического" атом-атомного приближения [12].

Расчеты показали, что при использовании "мягкого" отталкивания V(r) - 1//® могут быть вполне удовлетворительно описаны как молекулярная часть изотермы 7 = 0 ("холодная кривая"), так и результаты точных расчетов термодинамики смеси (Н2 + Н) методом Монте-Карло [12] для атом но-молекуляр ной системы. Главной при описании неидеальности является проблема корректного определения всей совокупности эффективных потенциалов взаимодействия между всеми участниками смеси. На сегодня существует серьезное противоречие в даваемых различными подходами вида и параметров этих эффективных потенциалов и главным их объектом являются параметры короткодействующего отталкивания Н-Н и Н-Н2. В, настоящей работе эти параметры соответствовали приближению "аддитивных объемов": v(/-y к 2v(H) [12]. На рис. 14 приведены все имеющиеся к настоящему времени экспериментальные данные по однократному ударному сжатию жидкого дейтерия.

Рис. 14. Ударная адиабата дейтерия.

Эксперимент: 1 - N.S.Holmes et al, 1995, 2 - L.B.Da Silva et at., 1997. 3 -A.N.Mostovych et al. 2000, 4 - M.D.Knudson et al, 2001-2004, 5 - R.F.Trunin et al., 2005; Расчет: 6 - SESAME, 7 - C. Plerteoni et al. 1994. 8, 9 - W.Ebeh'ng et al, 19911999,10- M.Ross, 1998.11 и 12-настоящая работа.

Заметим, что обнаруженная в экспериментах аномально высокая сжимаемость дейтерия при давлениях Р>40 ГПа не подтверждается в последующих экспериментах на Z-пинче и на сферических взрывных системах.

Рассмотренный в настоящей работе подход также не воспроизводит этот "провал" в сторону неожиданно высоких степеней сжатия. Со-

06

I г р, г/си'

вершенно иначе выглядит термодинамика сжатого водорода (дейтерия), если для описания взаимодействий Н-Н (D-D) воспользоваться широко принятым в приближенных расчетах потенциалом Н-Н из (13]. В терминах принятой здесь модификации модели мягких сфер это соответствует меньшему отношению "собственных" объемов Н и Н2 (¡(НЩЩ * 0,4. Такой выбор "собственного" размера атома немедленно приводит к "диссоциации давлением", сопровождаемой провалом в ударной адиабате дейтерия (кривая 12).

Проведенный анализ компонентного состава показал, что различие в сжимаемости дейтерия в двух вариантах расчета {d(H)/d(HJ к 0,4 и <S(H)/d(H^ * 0,6) связано с более быстрой диссоциацией в первом случае.

В самое последнее время во ВНИИЭФ были получены новые экспериментальные данные по ударно-сжатому дейтерию. В отличие от приведенных на рис. 14 экспериментов, опыты проводились с газообразным дейтерием, предварительно сжатом до плотностей 0.1335 и 0.153 г/см3. В этой работе одновременно с параметрами ударной адиабаты измерялась и температура. Модель, описанная выше и использованная нами в расчетах, приведенных на рис. 14, была применена и для описания этих экспериментов.

На рис. 15 приведены результаты расчета с использованием изложенной выше модели для четырех ударных адиабат с начальными плотностями 0.1335, 0.153, 0.171 (жидкий дейтерий) и 0.199 (твердый дейтерий) г/смэ, откуда видно, что модель представленная в настоящей главе позволяет непротиворечивым образом описать всю совокупность экспериментов, выполненных во ВНИИЭФ.

Р, ГПа

Рис. 15 Ударная адиабата газообразного, жидкого и твердого дейтерия. Эксперимент: 1 - то же. что 2. 3, 3 - то же, что 4 на рис. 14, 3, 4 -R.F.Trunin et al, 2005 (твердый и жидкий дейтерий), 6 - газообразный дейтерий, Расчеты 6 - M.Ross, 1998, 7 - SESAME, 8 - настоящая работа.

Рис 16 Электропроводность ксенона в зависимости от плотности • 1 - 7 - экспериментальные данные. Нанесены линии- вырождения электронов

(= 1), постоянного значения параметра (Гкулоновской неидеальности, обращения в бесконечность ¿литцеровской проводимости 8 -настоящая работа.

. V

В заключение в главе 5 рассматривается анализ результатов по электропроводности инертных газов. Для описания электропроводности в широком диапазоне параметров, где электроны могут подчиняться как статистике Больцмана, так и статистике Ферми, мы воспользовались интерполяционным выражением в рамках т-приближения [14], модернизированным на случай вырождения электронов:

Результаты сравнения расчета коэффициента электропроводности с результатами измерений для инертных газов представлены на рис. 16.

Результаты расчетов и их анализ показали, что основным эффектом, приводящим к зафиксированному в опытах резкому росту электропроводности, является экспоненциальный рост числа носителей из-^ за сильного межчастичного взаимодействия в ВТСС конденсированных

плотностей. Это подтверждает и картина поведения компонентного состава, который был рассчитан в рамках данной работы.

В шестой главе рассмотрены результаты совместного расчета ио-1 низационного, химического и неконфуэнтного (с различной стехиомет-

рией для жидкой и газовой фаз) фазового равновесия в химически активной плазме продуктов экстремапьного нагрева диоксида урана. Эта задача тесно связана с прогнозированием последствий незапланированных инцидентов на ядерных электростанциях, которые согласно существующим сценариям могут привести к почти мгновенному разогреву до температур в несколько тысяч градусов ядерного горючего и материалов реактора. Учитывая низкие потенциалы ионизации и высокое сродство к электрону уран-содержащих компонент, такая смесь имеет все основания относиться к категории сильно неидеальной химически реагирующей ионной среды. В связи с этим одной из фундаментальных задач физики высокотемпературных сильно-сжатых сред в рамках проблемы безопасности ядерной энергетики является исследование урав-

нения состояния частично ионизованной высокотемпературной химически реагирующей смеси, образованной из нескольких химических элементов, в том числе и в области фазового перехода газ-жидкость.

В настоящей главе проведен расчет уравнения состояния и термодинамических функций в районе фазового перехода жидкость-пар диоксида урана с температурами до Т~ 104 К и давлениями до Р~ 10 бар, включая район предполагаемой критической точки этого перехода. Выбор параметров и обоснование вариантов термодинамической модели для диоксида урана в области фазового перехода жидкость-пар подробно описаны в книге [15]. В отличие от большинства развитых ранее для решения этой задачи подходов, в настоящей работе газовая и жидкая фазы описывались в рамках единого уравнения состояния как многокомпонентная частично ионизованная химически реагирующая неидеальная смесь взаимодействующих атомов, молекул, атомных и молекулярных ионов и электронов, включающая компоненты:

и, и+, и". иО, иОг, иОз, {1К>п} <п = 0,1,2,3.4,5,6), о, о", о, ио\ ио \ иоио

2 2 2 3

В этом случае свободная энергия системы имела обычный для КХП вид (1). Идеальногазовая часть для электронной подсистемы соответствовала частично вырожденному Ферми-газу. Данные по статистическим суммам атомов, ионов (атомарных и молекулярных), как и величинам потенциалов ионизации и диссоциации были предоставлены В.С. Юнгманом (В.С.Юнгман и др., 1997). Искажение и ограничение внутренних степеней свободы молекул в условиях плотного окружения, соответствующего конденсированному состоянию, не учитывалось. Для описания эффектов неидеальности использовалось приближение, важнейшими элементами которого являются следующие:

- Интенсивное отталкивание частиц на близких расстояниях описывалось моделью смеси твердых шаров разных радиусов [9}.

- Кулоновское взаимодействие заряженных частиц (в первую очередь молекулярных ионов) описывалось в рамках дебаевского приближения в большом каноническом ансамбле [5], а также модели заряженных твердых сфер, модифицированной на случай смеси заряженных шаров разных радиусов и разной кратности заряда.

- Учитывалось короткодействующее притяжение частиц с использованием как модификаций приближения Ван дер-Ваальса, так и варианта термодинамической теории возмущений [16].

Параметры, описывающие все взаимодействия в указанных выше приближениях, (собственные размеры, константы притяжения) оценивались в рамках специальной процедуры [15]. Часть параметров, в наибольшей степени влияющих на уравнение состояния жидкого 1Юг+х. корректировалась по известным опытным данным о плотности, давлении паров и кислородному потенциалу жидкого диоксида урана вблизи его точки плавления (7 = 3120 К). Выбранные параметры взаимодействия считались независящими от температуры и плотности.

На рис. 17 приведены результаты расчета состава газовой фазы диоксида урана вдоль кривой кипения для случая конгруэнтного (стехиометрия жидкой и газовой фаз совпадают, [Ó/U]=2) фазового равновесия начиная с температуры, соответствующей точке плавления (Т„=3120К) вплоть до критической точки (Т,=8600 К).

10" ю10 10"

Ï 10" 2 ю"

i 10"

1,0" 1 10"

ю"

10й

3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Рис 17. Состав газовой фазы вдоль кривой кипения. 8

7 «

5 4 3 1

' îr«.4 J 6 1 s ' 10 "T.ltfK

Рис 18 Отношение O/U сосуществующих фаз в условиях кипения и насыщения 1 - вычисления Green, Leboitz, 1982; 2- реконструкция Fisher, 1989; ВС14 и ВСиар - сосуществующие жидкость и пар в условиях кипения; SC14 и SC**1 - сосуществующие жидкость и пар в условиях насыщения; CP - критическая точка, PCP - псевдокритическая точка (Fisher, 1989); ССТ -точка максимальной температуры на кривой насыщения; ССР - точка максимального давления на кривой кипения; T™» - температура плавления

В качестве примера результатов расчета неконгруэнтного (с различной стехиометрией для жидкой и газовой фаз) фазового перехода в

диоксиде урана на рис. 18 приведена зависимость отношения кислород-уран [O/U] вдоль кривых кипения и насыщения. На этом рисунке отчетливо видна одна из главных особенностей описываемого явления • чрезвычайно высокая степень максимального кислородного обогащения паровой фазы, находящейся в равновесии с кипящим диоксидом урана стехиометрического состава, UO^. {max (O/U)^ - 7 при

Т~ 8000 К}.

Необычный характер некогруэнтного фазового перехода по сравнению с фазовыми переходами в простых жидкостях, выражающийся в иной структуре предсказываемой фазовой границы процесса испарения диоксида урана можно наблюдать и в переменных температура - • давление и температура-плотность. Это отличие является прямым следствием указанного выше неконгруэнтного характера испарения в неидеальной химически реагирующей среде, и, в частности, в диоксиде урана. *

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны методы расчета компонентного состава и термодинамических функций многокомпонентных химически реагирующих газоплазменных смесей с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации в широком диапазоне температур и плотностей.

2. Предложена термодинамическая модель плазмы Солнца, проведены термодинамические расчеты и выполнен последовательный анализ влияния различных плазменных эффектов и вариации элементного состава на термодинамические характеристики солнечной плазмы. Сравнение полученных результатов с данными гепиосейсмо-логических наблюдений показало высокую точность произведенных расчетов.

3. Впервые развита модель, где на основе квазихимического подхода самосогласованным образом учтена взаимозависимость термодинамических параметров и внутренней электронной структуры атомов и ионов плотной высокотемпературной частично ионизованной среды. С использованием модели проведены расчеты параметров термического и калорического уравнения состояния высокотемпературных не- t идеальных сред инертных газов и щелочных металлов, демонстрирующие хорошее согласие с существующими экспериментальными данными.

4. Для случая сильной неидеальности и многократной ионизации построена термодинамическая модель, в которой наряду с эффектами кулоновского взаимодействия заряженных частиц учтены короткодействующее отталкивание, Ван-дер Ваальсово притяжение частиц на близких расстояниях и вырождение свободных электронов. Выполненное сопоставление рассчитанных ударных адиабат пористых алюминия, никеля, железа и меди с данными эксперимента для различных значений пористости показало, что в рамках единой модели для всех

металлов удается удовлетворительно описать экспериментальные данные как качественно, так и количественно.

5. На основе варианта псевдопотенциальной модели для описания кулоновского взаимодействия частиц и модифицированной модели мягких сфер для короткодействующего отталкивания атомов и ионов предложена термодинамическая модель сильно-сжатой высокотемпературной среды в области субмегабарных давлений. Проведенное сопоставление расчетов термодинамических свойств ударно-сжатых аргона, криптона и ксенона с экспериментальными данными показало, что разработанная модель демонстрирует удовлетворительное согласие расчета с экспериментальными ударными адиабатами, а наблюдаемое в эксперименте поведение электропроводности может быть объяснено эффектом ионизации давлением.

6. Построена термодинамическая модель сильно сжатого водорода (дейтерия) для области давлений, соответствующей сжатию сверхмощными ударными волнами, проведены расчеты термодинамических свойств ударно-сжатых жидкого, твердого и газообразного (высокой плотности) дейтерия и сопоставление сочзсеми существующими экспериментальными данными. Показано, что ключевым параметром в рамках данной модели при описании эксперимента является отношение размеров молекулы и атома водорода (дейтерия).

7. Предложены методы расчета термодинамических свойств многокомпонентных систем в условиях фазового перехода гаэ-жидкость в рамках единой физической модели для газа и жидкости. На основе термодинамической модели для газо-ппазменной химически активной смеси проведен совместный расчет ионизационного, химического и фазового равновесия продуктов нагрева диоксида урана в условиях различной стехиометрии газовой и жидкой фаз и оценены параметры кривой фазового равновесия.

8. На основе разработанных методов расчета термодинамических свойств высокотемпературных сильно-сжатых сред и развитых методов решения системы уравнений Хартри-Фока для сжатых атомных структур созданы универсальные алгоритмы, комплексы профамм и базы данных для расчета компонентного состава и термодинамических функций высокотемпературных сред в широком диапазоне термодинамических параметров и программы для расчета методом Хартри-Фока электронной структуры, энергетического спектра и других атомных характеристик сжатых атомов и ионов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. В.К.Грязнов, ИЛ.Иосилевский, В.Е.Фортов. Расчет ударных адиабат аргона и ксенона И Ж. прикл. мех. тех. физ.-1973,- № 3,- С.70-76.

2. Динамическое сжатие неидеальной плазмы аргона/ Беспалов В.Е., Грязное В.К., Дремин А.Н., Фортов В.Е.// ЖЭТФ.- 1975.- Том 69,№ 6,- С. 2059-2066.

33 I «С НАЦИОНАЛЬНА)

I СМБЛИеТЕКА 1

I С. Петербург I I О» Ж шя* Г

3. Генерация неидеальной плазмы мощными ударными волнами/ Фортов В.Е., Леонтьев A.A., Дремин А.Н., Грязное В.К.// ЖЭТФ.- 1976.-Том71, № 1.- С.225-236.

4. Теплофизические свойства неидеальной плазмы аргона и ксенона/ В.К.Грязнов, Ю.В.Иванов, А.Н.Старостин, В.Е.Фортов// ТВТ.-1976,-Том 14.- С.643-645.

5. Термодинамические свойства неидеальной плазмы аргона и ксенона I Грязное В.К., Жерноклетов М.В., Зубарев В.Н. и др.// ЖЭТФ-(980 - Том 78, № 2.- С.573-585.

6. В.Б. Минцев, В.Е. Фортов, В.К. Грязное. Электропроводность высокотемпературной неидеальной плазмы//ЖЭТФ.-1980-Том 79.- С.116-124.

7. Теплофизические свойства рабочих сред газофазного ядерного реактора /В.К.Грязнов, И.Л.Иосилевский, Ю.Г.Красников и др.-М. Атом-издат 1980.- 304с.

8. И.Л.Иосилевский, В.К.Грязнов. О сравнительной точности термодинамического описания свойств газовой плазмы приближениях Томаса-Ферми и Саха//ТВТ.-1981 .-Том 19, Вып. 6.-С.1121-1126

9. В.К.Грязнов, И.Л.Иосилевский, В.Е.Фортов. Термодинамика сильноразогретой плазмы мегабарного диапазона давлений// Письма ЖТФ.-1982,- Том 8, вып.22.- С.1378-1381

10. В.К.Грязнов, В.Е.Фортов. Термодинамика плазмы алюминия при ультравысоких плотностях энергии// ТВТ.-1987,- Том 25, вып. 6.-С. 1208-1210

11. Комплекс программ расчетов электронной структуры ESCAPAK, адаптированный на ЭВМ серии ЕС/ Г.Л.Гуцев, В.К.Грязнов, А Н Иванова и др.// Журнал структурной химии.-1989.- Том 30, вып.З.-С. 132-134.

12. Thermophysical Properties of Hot Dense Plasmas/Ebeting W., Forster A., Fortov V. etal.- Stuttgart-Leipzig: Teubner, 1991.- 315p.

13. V.K.Gryaznov, I.L.Iosilevski, V.E.Fortov. Calculation of Porous Metal Hugoniots //Physics of Strongly Coupled Plasmas/ Ed. by W.D.Kraeft, M.Schlanges.- Singapore: World Scientific, 1996.- P.351-356.

14. Oense plasma diagnostics by fast proton beams/ A.Golubev, M.Basco, A,Fertman et al.// Phys. Rev. Е.-1Э98.- Vol.57, No.3.-P.311-319.

15. V.K.Gryaznov, V.E.Fortov, I.LIosilevski. Equation of state of shock compressed plasma of metals// Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A.-1998.- Vol.415.- P.581-585.

16. Ударно-волновое сжатие неидеальной плазмы металлов/ В.К.Грязнов, М.В.Жернокпетов, И.Л.Иосилевский и др.// ЖЭТФ.-1998.-Том 114, Вып. 4,- С. 1242-1265

17. Расчет неконгруэнтного фазового равновесия в высокотемпературной неидеапьной плазме/ В.КХрязнов, ИЛ.Иосилевский, А.С.Семенов и др.// Известия РАН, Серия физическая,-1999.- Том 63, вып. 11,- С.2258-2262.

18. V.Gryaznov, l.losilevski, V.E.Fortov. Thermodynamic properties of dense plasma of shock-compressed metals// Contrib. Plasma Phys.- 1999.-Vol.39, No.1-2.- P.89-92.

19. Грязное В.К., Иосилевский И.Л., Фортов В.Е. Термодинамика ударно-сжатой плазмы в представлении химической модели// Ударные волны и экстремальные состояния вещества/ Под ред. Фортова В.Е., Альтшуле-ра Л.В.Друнина Р.Ф., Фунтикова А.И.-М.: Наука, 2000.-С.342-387.

20. Гряэнов В.К Термодинамика ударно-сжатой плазмы в представлениях химической модели // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный Том 1 / Под ред. В.Е.Фортова.-М.:Наука, 2000-С.299-313.

21. Improved Ionic Model of Liquid Uranium Dioxide/ losilevski I.L., Gryaznov V.K, Yakub E.S. et al.// Journal de Physique IV.-2000.- Vol.10. No.5.- P. 363-368.

22. Explosively driven dense plasma targets for the ion beam experiments/ V.B.Mintsev, M.I.Kulish, V.K.Gryaznov, V.E.Fortov// Contrib.Plasma Phys.- 2001.-Vol.41, No.1-2.- P.119-122 .

23. Thermophysical Properties of Shock Compressed Argon and Xenon/ V.Fortov, V.K.Gryaznov, V.B.Mintsev et al.// Contrib.Plasma Phys.-2001.-Vot.41, No.1-2.- P. 215-219. у

24. Reflectivity of shock compressed xenon plasma/ H. Reinholz, G. Roepke, A. Wierfing et al.//Contrib.Plasma Phys.- 2003,- Vol.43, No.1.- P. 3-10.

25. Ионизация давлением неидеальной плазмы в мегабарном диапазоне динамических давлений/ Фортов В.Е., Терновой В.Я., Жернок-летовМ.В. идр.//ЖЭТФ.-2003.-Том 124, вып.2(8).-С.288-310

26. Non-congruent phase coexistence in strongly coupled chemically reactive plasmas/ l.losilevski, .V.Gryaznov, E. Yakub et a!.// Contrib. Plasma Phys.- 2003.-Vol. 43, No. 5-6.- P.316-320

27. Measurements of Hall, DC and HF conductivity of nonideal plasma/ V.B. Mintsev, N.S. Shilkin, Yu.B. Zaporoghets et al.// Contrib. Plasma Phys.- 2003.-Vol.43, No. 5-6,- P.326-329

28. Измерение электронной концентрации и проводимости частично ионизованной плазмы инертных газов/ Шилкин Н.С., Дудин СД, Минцев В.Б. и др.//ЖЭТФ.-2003,-Том 124, вып.5(11).-С. 1030-1040.

29. V.K.Gryaznov, I.L.Iosilevskiy, V.E.Fortov. Thermodynamic Properties of Shock Compressed Plasmas Based on a Chemical Picture//High-Pressure Shock Compression of Solids VII Shock Waves and Extreme States of Matter/ Ed. by V.E.Fortov, L.V.AI'tshuler, R.F.Trunin, A.I.Funtrkov.-Springer-Veriag, 2004.- P.437-489.

30. Анализ малых примесей тяжелых элементов в солнечной плазме с помощью уравнения состояния SAHA-S/ С.В.Аюков, ВАБатурин,

B.К.Грязнов и др.// Письма ЖЭТФ.- 2004.- Том 80, вып. 3,- С.163-166.

31. Экспериментальное измерение сжимаемости, температуры и поглощения света в ударно-сжатом плотном газообразном дейтерии/

C.К.Гришечкин, С.КХруздев, В.К.Грязнов и др.// Письма ЖЭТФ.- 2004,-Том 80, вып. 6.- С.452-458.

32. SAHA-S model: Equation of State and Thermodynamic Functions of Solar Plasma/ V. K. Gryaznov, S. V. Ayukov, V. A. Baturin et a).// Equation-of-State and Phase-Transition Issues in Models of Ordinary Astrophysical Matter. Ed.by V.Celebonovich, W.Daeppen, D.Gough, Melwill- New York: American Institute of Physics, 2004.-P. 147-161.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный том f / Под ред. В.Е. Фортова.- М: Наука, 2000.- 586с.

2. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание в 4-х томах /Л.В.Гуреич, Г.Б.Хачкурузов, В.А.Медведев идр, М.: Наука.-Том.1,1978.- 496с.

3. Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В. Интерполяционные формулы для функций Ферми-Дирака, Препринт Ин-т Прикл. матем. АН СССР: Т- • 16636 М., 1972.-22с.

4. A.N. Starostin, V.C. Rqrich, R.N. More. How correct is the EOS of weakly nonideal hydrogen plasmas?// Contrib. Plasma Phys.- 2003.-Vol.43.- P.369-372.

5. Пикапьтер A.A., Взаимодействие атомов с электронами и ионами в плазме// ЖЭТФ, 1969, т.56, № 1, с.240-245.

6. Graboske Н.С., Harwood D.J., Rogers F.J. Thermodynamic Properties of Nonideal Gases // Phys.Rev.-1969.-Vol 186, No 1.-P.210-225.

7. Расчеты электронных оболочек некоторых атомов методом Хар-три-Фока / Иванова А.В., Иванова А.Н., Прихоженко А.И. и др. // Лит.физ.сб.- 1963,- Том 3, № 1-2.- С.129-138.

8 Иосипевский И Л. Об уравнении состояния неидеальной плазмы //ТВТ,-1960.- Том 18. № 3.- С. 447-453.

9. Equilibrium Thermodynamic Properties of the Mixture of Hard Spheres / C.F. Mansoori, V. Camahan, K.E. Starling, T.W. Leland // J.Chem.Phys.- 1971.-Vol.54, No. 4,- P. 1523-1525. „

10. Норман Г.Э., Старостин A.H. Термодинамика сильно неидеаль- ' ной плазмы //ТВТ.-1970 -Том 8; №2,- С.413-438.

11. Young D.A. A soft-sphere model for liquid metals, UCRL-52352.-

1977.- LLNL, Univ.Calrfornia.-15 p. »

12. E.S.Yakub. Diatomic fluids at high pressures and temperatures: a non-empirical approach // Physrca В.- 1999.-Vol.265, No.1.- P.31-38.

13. Ree F., Ross M„ Young D. The equation of state of molecular hydrogen at very high density//J.Chem.Phys.- 1983.-Vol.79,- P. 1487-1494.

14. Теппофизические свойства неидеальной плазмы аргона и ксенона / В.К. Грязное, Ю.В. Иванов, А Н. Старостин, В.Е. Фортов // ТВТ.-1976 - Том 14.- С.643-645.

15 Ronchi С., losilevskiy I., Yakub Е. Equation of State of Uranium Dioxide.- Springer, 2004.- 366p.

16. E.C, Якуб. К термодинамической теории возмущений для химически реагирующих систем //ТВТ.-1976.- Том 14, Вып.4,- С.893-896.

Грязное Виктор Константинович

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СИЛЬНО-СЖАТЫХ СРЕД

Автореферат

Подписано в печать 16.08.2005 Формат 60x90 1/16 Бумага офсетная. Печать офсетная Гарнитура "Ариал", Усл. печ. л. 2,25 Тир.100. Зак. 147 Изд. лицензия № 03894 от 30 января 2001 г.

Отпечатано в типографии ИПХФ РАН 142432, г.Черноголовка Московской области, пр. Академика Н.Н.Семенова, д.1.

РНБ Русский фонд

2006-6 618

»

t

Введение

Глава 1. Структура термодинамических зависимостей для многокомпонентных систем в квазихимическом представлении

§ 1.1. Свободная энергия многокомпонентной системы

§ 1.2. Статистические суммы, зависимость от термодинамических параметров

§ 1.2.1. Статистические сумы атомов и атомарных ионов

§ 1.2.2. Статистические суммы молекул и молекулярных ионов

§ 1.3. Вырождение электронов 2S

§ 1.4. Уравнения для расчета компонентного состава и термодинамических функций с произвольной кратностью ионизации и структурой молекулярных реакций

§ 1.4.1. Общие соотношения для многокомпонентной системы в отсутствие фазового перехода

§ 1.4.2. Общие соотношения для многокомпонентной системы при наличии фазового перехода

§ 1.4.3. Уравнения для расчета компонентного состава

§ 1.4.4. Термодинамические функции ВТСС в квазихимическом представлении

§ 1.5. Методы расчета компонентного состава сильно сжатых высокотемпературных сред.

§ 1.6. Методы расчета термодинамических свойств ВТСС при наличии фазового перехода.

Глава 2. Термодинамика слабонеидеальных систем. Термодинамические свойства плазмы Солнца

§ 2.1. Термодинамическая модель плазмы Солнца

§ 2.2. Анализ вклада плазменных эффектов в термодинамические характеристики плазмы Солнца.

Глава 3. Модель ограниченного атома для описания термодинамических свойств ВТСС

§ 3.1. Расчет сжатых атомных структур методом Хартри-Фока

§ 3.1.1. Система уравнений Хартри-Фока

§ 3.1.2. Метод решения уравнений Хартри-Фока

§ 3.1.3. Численная реализация метода

§ 3.2. Термодинамическая модель ограниченного атома

§ 3.2.1. Анализ энергетических спектров сжатых атомов

§ 3.2.2. Свободная энергия и термодинамические функции

§ 3.2.3. Численная реализация модели

§ 3.3. Результаты расчета и сравнение с экспериментов

Глава 4. Термодинамика ударно-сжатых пористых металлов

§ 4.1. Термодинамическая модель. Эффекты вырождения электронов и взаимодействия частиц

§ 4.1.1. Кулоновское взаимодействие

§ 4.1.2. Короткодействущее отталкивание атомов и ионов

§ 4.1.3. Дополнительное притяжение

§ 4.2. Сравнение экспериментальных и расчетных данных

Глава 5. Термодинамика ударно-сжатых газов мегабарного диапазона давлений. Ионизация давлением.

§ 5.1. Термодинамическая модель.

Эффекты межчастичного взаимодействия

§5.1.1. Кулоновское взаимодействие

§ 5.1.2. Короткодействущее отталкивание. Обобщенная модель мягких сфер

§ 5.2. Термодинамика ударно-сжатых инертных газов. Расчет ударных адиабат и сравнение с экспериментом.

§ 5.3. Термодинамика ударно-сжатого водорода.

§ 5.4. Электропроводность инертных газов. Ионизация давлением.

Глава 6. Совместный расчет ионизационного, химического и неконгруэнтного фазового равновесия в химически активной плазме продуктов экстремального нагрева диоксида урана

Актуальность темы Термодинамика высокотемпературных сильно-сжатых сред является важнейшей составной частью физики высоких плотностей энергии, стремительно развивающейся в последние годы. С одной стороны, это развитие обусловлено новыми возможностями генерации и диагностики состояний с высокой плотностью энергии в веществе в лабораторных условиях, новыми возможностями наблюдения и зондирования астрофизических объектов - Солнца, звезд, тяжелых планет — естественных лабораторий, где реализуются такие состояния, а с другой, важностью приложений - от инерционного термоядерного синтеза и противометеоритной защиты, до проблем безопасности ядерной энергетики. Совершенствование экспериментальных методов привело к тому, что в настоящее время при помощи мощных лазеров [1], мощных импульсных токов [2] и мощных взрывных устройств [3] достигаются состояния субмегабарного и мегабарного диапазона давлений в самых различных веществах - от металлов [4], до газов. В частности, это касается ударно-сжатого водорода [1, 2, 3], вызывающего особый интерес в связи с его гипотетической металлизацией [5]. Кроме того, в последние годы накоплена богатая наблюдательная астрофизическая информация, позволяющая при помощи современных методов обработки извлекать данные о структуре внутренних областей Солнца [6] с высокой точностью. При помощи космических зондов получены новые данные о строении планет-гигантов [7].

Физика явлений в веществе при высокой концентрации энергии весьма сложна и разнообразна [8]. Это же справедливо и для термодинамики высокотемпературных сред при больших плотностях вещества [9], что в значительной мере обусловлено сильным взаимодействием между частицами. Исследование термодинамики высокотемпературных состояний с сильным межчастичным взаимодействием представляет собой серьезную проблему, далекую от окончательного разрешения. И, несмотря на то, что в последнее время активно развиваются такие перспективные методы как методы прямого численного моделирования таких состояний квантовыми методами Монте-Карло [10, 11, 12] и молекулярной динамики [13], их возможности пока ограничены водородом (дейтерием) и, может быть, смесями водорода с гелием [14], атомы которых имеют минимальное количество электронов. В то же время, существует громадный объем экспериментальных данных (см. например, [15]), требующих теоретической интерпретации. Нельзя забывать и про то, что существует большое количество задач [16, 17], где требуются не только качественные, но и количественные оценки термодинамических параметров вещества в широком диапазоне температур и давлений и понимание механизмов возможного влияния межчастичного взаимодействия на термодинамическое поведение интересующих нас объектов.

С этой точки зрения важное значение приобретает разработка адекватных термодинамических моделей, методов расчета и соответствующих компьютерных кодов, которые позволяют решать эти задачи. Исходя из этого, можно сказать, что на современном уровне знания для изучения термодинамических свойств вещества в условиях высокой плотности энергии необходимо использовать комплексные расчетно-теоретические методы.

В настоящее время фактически существует два реальных направления создания моделей для описания термодинамики систем при высоких давлениях и температурах. Первое из них относится к методам, возникшим для описания конденсированного упорядоченного состояния при высоких давлениях, и который называется ячеечным [18], состоит в следующем. Все вещество разбивается на одинаковые (сферические) атомные ячейки, объема, равного среднему объему, приходящемуся на один атом при заданной плотности вещества. Далее, задача фактически сводится к расчету электронной структуры одной ячейки (с соответствующими граничными условиями) при конечной температуре. В самом начале для решения этой задачи применялся квазиклассический метод Томаса-Ферми (в том числе с квантовыми и обменными поправками) [19, 20, 21], а затем квантовые методы, основанные на уравнениях Хартри и Хартри-Фока-Слэтера [22, 23, 24]. В развитии квазиклассических методов большую роль сыграли работы [25, 26], где метод Томаса-Ферми был дополнен возможностью учета оболочечных эффектов, являющихся причиной осцилляций радиальной плотности в атоме, немонотонной зависимости атомных объемов от атомного номера, ступенчатой зависимости степени ионизации плазмы от температуры. В свою очередь квантовомеханические методы были развиты в сторону учета релятивистских эффектов [27], наиболее существенных при описании процессов с участием глубоких оболочек атомов и ионов. Наиболее полно общие свойства ячеечных моделей описаны в [18] и [27]. Заметим лишь, что традиционной областью применения ячеечных моделей является вещество высокой плотности, близкой к плотности конденсированного состояния, но в настоящее время эти модели используются [27] и для описания состояний с промежуточными значениями плотностей, находящимися между плотностями газа и твердого тела.

Второе направление создания термодинамических моделей равновесных систем, условно назовем его газовым, является традиционным для другого предельного случая малых плотностей и (или) высоких температур. В этом случае обычно используются два подхода [28], получившие название "физической" и "химической" моделей, которым в теории нейтральных химически реагирующих газов соответствуют метод исходных атомов [29] и метод смеси [30]. Основу строгой "физической модели" составляет описание вещества, как совокупности ядер и электронов с чисто кулоновским межчастичным взаимодействием. При этом все реально существующие в системе свободные и связанные состояния групп частиц описываются, в принципе, единым и согласованным образом, как разнообразные проявления и следствия неидеальности, т.е. являются результатом простого по своей структуре взаимодействия одних и тех же элементарных частиц - электронов и ядер. Однако строгость и идеологическая простота физической модели оборачивается большой сложностью фактической реализации такого теоретического подхода. Достаточно полную картину современного состояния теории можно найти, например, в трудах регулярных конференций по физике неидеальной плазмы [31,32].

Реальные возможности сегодняшней теории в рамках физической модели, исключая тривиальное нулевое приближение - случай полностью ионизованной идеальной плазмы, практически ограничены первыми членами теории возмущений [33,34 , 35, 36], а возможности описания в рамках физической модели термодинамики каких-либо реальных высокотемпературных сильносжатых сред помимо водорода, и быть может гелия, представляется сегодня достаточно далекой перспективой. Заметим, что идеологически методы прямого численного моделирования [10, 11, 12, 13,14] также можно отнести к физической модели.

Подавляющее большинство практических расчетов термодинамики реальных веществ осуществляется в рамках альтернативной «химической модели» или квазихимического представления [37, 38, 16, 39]. В ней условно элементарными составляющими являются не только электроны и ядра атомов, но и многочисленные составные частицы, обладающие различной внутренней структурой и внутренними степенями свободы -атомы, молекулы, атомные и молекулярные ионы и т.д. вплоть до кластеров и макромолекул. Потерей строгости в химической модели покупается максимальная приближенность всей системы к конкретной ситуации, будь то молекулярный газ при относительно невысоких температурах, частично или полностью ионизованная плазма. Нулевым приближением для химической модели является уже не полностью ионизованная идеальная плазма, а идеально-газовая, переменная по составу смесь указанных выше сортов частиц.

Объекты, относящиеся к высокотемпературным сильносжатым средам, о которых было сказано выше и представляющие интерес с точки зрения физики высоких плотностей энергии, охватывают широкий спектр состояний от химически реагирующих плотных газов сложного состава до многокомпонентной неидеальной плазмы с произвольными степенями ионизации. Это обуславливает подход, использовавшийся в настоящей работе - разработка моделей термодинамики высокотемпературных сильносжатых сред на основе квазихимического представления

Цель работы:

- построение термодинамических моделей вещества в широком диапазоне параметров, включая вещества сложного химического состава в области высоких температур и плотностей;

- разработка методов расчета компонентного состава, термодинамических функций многокомпонентных химически реагирующих сред с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации при высоких давлениях и температурах;

- создание комплексов программ термодинамического расчета многокомпонентных химически реагирующих высокотемпературных сильно-сжатых сред и расчета электронной структуры атомов и ионов в условиях сильного сжатия;

- проведение расчетно-теоретического анализа влияния взаимодействия между частицами на термодинамические характеристики многокомпонентной химически реагирующей среды при высоких давлениях и температурах на основе развитых в работе моделей и численных методов расчета;

- апробация предложенных методов и моделей на имеющихся экспериментальных и наблюдательных данных.

Научная новизна работыЖ

1. Разработаны методы расчета компонентного состава и термодинамических характеристик вещества с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации и в широком диапазоне температур и плотностей.

2. Развиты методы и алгоритмы решения системы уравнений Хартри-Фока для расчета электронной структуры и энергетического спектра сжатых атомов и ионов.

3. На основе квазихимического представления развита модель ограниченного атома, в которой самосогласованным образом учтена взаимозависимость термодинамических параметров и внутренней электронной структуры атомов и ионов в плотной высокотемпературной частично-ионизованной среде.

4. Разработанная термодинамически самосогласованная модель успешно применена для описания термического и калорического уравнения состояния ударно-сжатых цезия и инертных газов. Выявлена ключевая роль эффектов короткодействующего отталкивания атомов и ионов при описании термодинамических свойств ударно сжатого вещества.

5. На основе развитой термодинамической модели плазмы Солнца, проанализировано влияние кулоновского взаимодействия частиц с учетом квантовых и обменных эффектов, релятивистских эффектов, вырождения электронов, эффектов излучения и вариации элементного состава на основные термодинамические параметры, используемые при построении моделей эволюции Солнца.

6. Для описания вещества в условиях многократной ионизации, сильного взаимодействия между частицами и вырождения свободных электронов построена термодинамическая модель, с помощью которой удалось адекватно описать всю совокупность экспериментальных ударно-волновых данных по пористым никелю, железу, меди и алюминию.

7. На основе модифицированного псевдопотенциального приближения для описания заряженной компоненты и приближения мягких сфер, обобщенного на случай смеси различных сортов частиц, развита модель ударно-сжатых инертных газов и дейтерия мегабарного диапазона в области ионизации давлением.

8. В рамках единой термодинамической модели для газа и жидкости разработаны методы расчета термодинамических параметров неконгруэнтных (с различной стехиометрией для газа и жидкости) фазовых переходов газ-жидкость для химически реагирующих систем сложного состава с учетом ионизации.

9. Созданы универсальные алгоритмы, комплексы программ и базы данных для расчета компонентного состава и термодинамических функций высокотемпературных сред в широком диапазоне термодинамических параметров и программы для расчета сжатых атомных структур методом Хартри-Фока.

Научная и практическая ценность работы:

1. На основе результатов, полученных при применении самосогласованной модели ограниченного атома, показана важность эффекта конечности объема, необходимого при реализации связанных состояний частиц и вызванного этим короткодействующего отталкивания при расчете термодинамики сильно-сжатых высокотемпературных сред.

2. Разработанный аппарат для расчета сжатых атомных структур и расчета компонентного состава и термодинамических характеристик газо-плазменных химически реагирующих смесей высокой плотности открывает возможности для расчетно-теоретического исследования термодинамических свойств вещества при высоких концентрациях энергии.

3. Развитые модели для описания ударно-сжатых металлов, инертных газов и водорода позволили проанализировать механизмы влияния межчастичного взаимодействия на термодинамические величины в той области фазовой диаграммы, где это практически сложно сделать другими методами.

4. Разработанные универсальные алгоритмы расчета параметров фазовых переходов в химически реагирующих смесях позволили исследовать нестандартные для высокотемпературной теплофизики фазовые переходы газ-жидкость (с различной стехиометрией для газа и жидкости) и на основании расчетов, выполненных для диоксида урана, изменить представления о возможных сценариях развития тяжелых аварий на объектах ядерной энергетики.

5. При помощи детального анализа влияния плазменных эффектов и вариации элементного состава на адиабатическую сжимаемость солнечной плазмы оценены источники погрешностей при построении современных моделей химической эволюции Солнца.

6. Комплексы программ и накопленные базы данных предоставили возможность проводить многовариантные расчеты термодинамических величин и параметров различных процессов с использованием разных моделей взаимодействия частиц. Результаты этих расчетов использованы в качестве опорных данных при создании полуэмпирических уравнений состояния, планировании и интерпретации экспериментов, анализе поведения вещества при экстремально высоких температурах и давлениях для широкого класса простых и многокомпонентных систем.

Автор выносит на защиту:

1. Методы расчета компонентного состава и полного комплекса термодинамических характеристик газо-плазменного состояния вещества с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации в широком диапазоне температур и давлений, вплоть до экстремально высоких значений.

2. Методы и алгоритмы расчета в приближении Хартри-Фока электронной структуры сжатых атомов и ионов и деформации их энергетического спектра под влиянием плотного газо-плазменного окружения.

3. Термодинамически самосогласованная модель, в которой характер поведения термодинамических величин определяется взаимозависимостью параметров высокотемпературной частично ионизованной плотной среды и величин сдвига и деформации энергетического спектра атомов и ионов.

4. Термодинамическая модель солнечной плазмы, с высокой точностью описывающая данные гелиосейсмологических наблюдений. Результаты анализа влияния эффектов многократной ионизации, кулоновской неидеальности, образования связанных состояний, релятивистских эффектов, вырождения электронов, равновесного излучения и расширения элементного состава на термодинамику Солнца.

5. Термодинамическая модель и результаты расчетов ударных адиабат для случая сильной неидеальности и многократной ионизации, позволившие успешно описать все известные экспериментальные данные по ударно-сжатым пористым никелю, железу, меди и алюминию.

6. Термодинамические модели сильно-сжатой высокотемпературной среды в области ионизации давлением и результаты расчетов термодинамических функций и уравнения состояния ударно-сжатых инертных газов и дейтерия.

7. Методы расчета термодинамических параметров сложных химически реагирующих частично ионизованных сред в условиях неконгруэнтного фазового перехода жидкость-газ в рамках единой модели межчастичного взаимодействия в газе и жидкости и результаты расчета параметров фазового перехода в диоксиде урана.

8. Комплексы программ расчета компонентного состава и термодинамических характеристик многокомпонентных сильно взаимодействующих сред с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации в широком диапазоне термодинамических параметров и программы расчета сжатых атомных структур методом Хартри-Фока.

Апробация работы:

Основные результаты работы докладывались на Всесоюзных конференциях по теплофизическим свойствам веществ (Киев 1974 г., Минск 1978 г.), Всесоюзных конференциях по физике низкотемпературной плазмы (Киев 1975 г., 1979 г., Ташкент 1988 г.), Всероссийской конференции по физике низкотемпературной плазмы (Петрозаводск 1995 г.), Всесоюзных конференциях по теории атомов и атомных спектров (Ленинград 1977 г., Воронеж 1980 г.), Всесоюзных школах-семинарах по моделям механики сплошной среды (Красноярск 1977 г., Рига 1979 г., Алма-Ата 1981 г.), Научных сессиях секции низкотемпературной плазмы (Москва 1978-2004 гг.), Международных конференциях по уравнениям состояния вещества (Терскол 19822004 гг.), Международных конференциях по физике неидеальной плазмы (Вюстров, Германия 1982 г., 1989 г., Бинц, Германия 1995 г., Грейфсвальд, Германия 2000 г., Валенсия, Испания 2003 г.), Международных конференциях по инерциальному термоядерному синтезу (Гейдельберг, Германия 1997 г., Москва 2002 г.),

Международной конференции по уравнениям состояния и фазовым переходам в моделях вещества в астрофизике (Лейден, Нидерланды 2004 г.). Публикации. Список публикаций по материалам диссертации содержит 82 работы, среди них 4 монографии.

Выводы по Главе 5

1. На основе варианта псевдопотенциальной модели для описания кулоновского взаимодействия частиц и модифицированной модели мягких сфер для короткодействующего отталкивания атомов и ионов предложена термодинамическая модель сильно-сжатой высокотемпературной среды в области ионизации давлением.

2. Проведены расчеты термодинамических свойств ударно-сжатых аргона, криптона и ксенона в субмегабарном диапазоне давлений, и сопоставление расчетов с экспериментальными данными, которое показало удовлетворительное согласие расчета с экспериментом.

3. Построена термодинамическая модель сильно сжатого водорода (дейтерия) для области, соответствующей сжатию высокоплотного дейтерия сверхмощными ударными волнами.

4. На основе разработанной модели проведены расчеты ударных адиабат ударно-сжатых жидкого, твердого и газообразного дейтерия высокой плотности и сопоставление расчетов со всеми существующими экспериментальными данными.

5. Показано, что в рамках предложенной модели для водорода ключевым параметром для описания ударно-волновых данных является отношение размеров атома и молекулы дейтерия.

Глава 6. Совместный расчет ионизационного, химического и неконгруэнтного фазового равновесия в химически активной плазме продуктов экстремального нагрева диоксида урана.

Одним из источников высокоэнергетического воздействия на вещество может быть незапланированный инцидент на ядерной электростанции. Согласно существующим сценариям такого инцидента это может привести к почти мгновенному разогреву (и частичному испарению) до температур в несколько тысяч градусов ядерного горючего и материалов реактора. Учитывая низкие потенциалы ионизации уран-содержащих, и вообще, металло-содержащих компонент, и высокое сродство к электрону многих из потенциальных составляющих смеси, такая смесь имеет все основания относиться к категории сильно неидеальной химически реагирующей ионной среды. В связи с этим одной из фундаментальных задач теплофизики вещества и физики высокотемпературных сильно-сжатых сред в рамках проблемы безопасности ядерной энергетики является исследование уравнения состояния частично ионизованной высокотемпературной химически реагирующей смеси образованной из нескольких химических элементов (урана с кислородом в первую очередь), в которую превращаются при импульсном разогреве ядерное горючее и материалы реактора. Прежде всего, это относится к характеристикам фазового перехода газ-жидкость в такой смеси. В настоящей главе представлены результаты расчетно-теоретического изучения свойств фазового равновесия в продуктах нагрева типичного ядерного горючего - конденсированного диоксида урана U02 -до температур Т ~ 104 К и давлений Р ~ 104 бар, включая район предполагаемой критической точки этого перехода.

Одной из главных проблем, создающих принципиальную трудность для данного объекта, именно как для сильно неидеальной системы, является неопределенность в существующих представлениях о структуре жидкого состояния диоксида урана. Согласно господствующей точке зрения твердый диоксид урана является ионным кристаллом, причем, высоко-ионным, состоящим преимущественно из ионов U4+(5f)2 и 02"(2р)6. Есть достаточно оснований полагать [230, 55], что диоксид урана в значительной мере сохраняет ионный характер связи при плавлении. (При этом изменение стехиометрии жидкой системы уран-кислород по сравнению с U02 считается возможным за счет реакций обмена электроном между ионами урана

4 j f j 4 1

2Lr U (5f) + U (5f)). В то же время находящаяся в равновесии с жидким диоксидом урана вблизи его точки плавления (Т = 3120 К) газовая фаза определенно считается слабонеидеальной ионно-молекулярной смесью, состоящей преимущественно из молекул и молекулярных ионов U, UO, UO2, U03, U1", UO+, UC>2+, 1Юз~ и др. Таким образом, в рамках представленной ниже модели структура равновесной смеси уран-кислород при обходе фазовой границы перехода газ-жидкость от тройной точки до парового состояния, включая критическую точку, меняется от высоко-ионной жидкости до ионно-молекулярного газа. Как именно происходит этот переход, является ли он непрерывным, либо сопровождается скачкообразным изменением состава и дополнительным разрывом первого рода в термодинамических зависимостях, является открытым вопросом.

Вместе с тем теоретические результаты [231], как и непосредственные расчеты [232], а также представления об условности понятия "состав" в условиях конденсированного состояния и аналогии всей проблематики в целом с известной проблемой принципиальной эквивалентности физического и квазихимического описания неидеальной среды ("физическая" и "химическая" модели плазмы [42]) оправдывают попытки поиска альтернативного описания жидкого диоксида урана, как плотной ионно-молекулярной смеси, (или даже чисто нейтральной химически реагирующей молекулярной смеси). Требование, предъявляемое при этом к модели конденсированного состояния, это возможность эффективного описания термодинамических свойств жидкого UO2, включая известную экспериментальную информацию, например результаты измерения теплоемкости жидкого UO2 [233]. Пример диоксида урана подчеркивает более общую проблему допустимости существования нескольких эквивалентных описаний термодинамических свойств вещества в конденсированном состоянии. Единственно, что определенно не может воспроизвести многие принципиальные черты фазового равновесия в продуктах нагрева диоксида урана, это описание термодинамики конденсированного U02 как однокомпонентной жидкости [234]. Помимо известной неконгруэнтности испарения U02±x, многокомпонентность обеих сосуществующих фаз, жидкой и газовой, приводит, как показывают расчеты [230, 235], к существенно отличной форме термодинамических зависимостей на фазовой границе по сравнению с "простыми" жидкостями. Это в значительной мере обесценивает многочисленные попытки (см. обзоры [236, 237]) оценить неизвестные параметры критической точки диоксида урана, используя те или иные соображения подобия диоксида урана с простыми жидкостями или же полуэмпирические закономерности типа правила "прямолинейного диаметра", или же правила линейности логарифма давления насыщения как функции обратной температуры и др.

Другой принципиальной проблемой задачи является значительная неопределенность в знании параметров взаимодействия компонент газообразной ионно-молекулярной смеси в системе U-О. Это тем более справедливо в отношении компонент, составляющих в ионной или молекулярной модели диоксид урана в конденсированном состоянии. Попытки прямого расчета мегом Монте-Карло свойств конденсированного диоксида урана в ионном (U4++02~) представлении с использованием теоретически оправданных (неэмпирических) ион-ионных потенциалов [238] оказались достаточно неудачными с точки зрения способности воспроизвести свойства реального диоксида урана в жидком состоянии.

На основе квазихимического подхода в настоящей главе был проведен расчет уравнения состояния и термодинамических функций в районе фазового перехода жидкость-пар диоксида урана. Выбор параметров и обоснование вариантов термодинамической модели для описания диоксида урана в области фазового перехода жидкость-пар подробно описан в книге [55]. Прежде всего заметим, что в отличие от большинства развитых ранее для решения этой задачи подходов в настоящей работе газовая и жидкая фазы описывались в рамках единого уравнения состояния как многокомпонентная частично ионизованная химически реагирующая неидеальная смесь взаимодействующих атомов, молекул, атомных и молекулярных ионов, а также электронов ("химическая модель) включающая компоненты

U, U+, u \ UO, U02, U03, {U2On} (п = 0,1,2,3,4,5,6),

О, О", 02, UO+, U02+, U02", U03". (6.01)

Итак, согласно [54] термодинамическая модель для описания термодинамических свойств диоксида урана в области жидкость-пар строилась на основе квазихимического подхода. В этом случае свободная энергия системы имела обычный для этого представления вид (1.2.02).

Идеальногазовая часть для электронной подсистемы имела вид (1.3.01), то есть электроны рассматривались, как частично вырожденный Ферми-газ. Величины статистических сумм атомов, ионов (атомарных и молекулярных), как и величины потенциалов ионизации, диссоциации и др., были взяты из [230]. Расчеты этих величин были проведены В.С.Юнгманом с сотрудниками в отделе термодинамики ИТЭС ОИВТ РАН. Искажение и ограничение внутренних степеней свободы молекул в условиях плотного окружения, соответствующего конденсированному состоянию, не учитывалось. Для описания эффектов неидеальности использовалось приближение, важнейшими элементами которого являются следующие:

- Интенсивное отталкивание частиц на близких расстояниях ("собственный объем") описывалось моделью смеси твердых шаров разных радиусов [163].

- Кулоновское взаимодействие заряженных частиц (в первую очередь молекулярных ионов) описывалось в рамках дебаевского приближения в большом каноническком ансамбле [74, 75], а так же модели заряженных твердых сфер, модифицированной на случай смеси заряженных шаров разных радиусов и разной кратности заряда. Это приближение совпадало с известным "средне-сферическим" приближением (MSA) [239] в пределе слабой неидеальности (TD« 1; х = <j/Rd« 1) и было скорректировано в противоположном пределе х» 1 в рамках той же функциональной формы, что и приближение MSA, с целью правильного описания кулоновского вклада в квазикристаллическом пределе. Результирующая зависимость является в этом пределе промежуточной между даваемой приближением MSA и известным приближением Дебая-Хюккеля для заряженных твердых сфер, оказавшимся, как показывает детальный анализ [240], достаточно эффективным в описании фазового перехода в модели заряженных твердых сфер.

- Учитывалось короткодействующее притяжение частиц с использованием как модификаций приближения Ван дер-Ваальса, (так и варианта термодинамической теории возмущений [241].

Параметры, описывающие все взаимодействия в указанных выше приближениях, (собственные размеры, константы притяжения) оценивались в рамках специальной процедуры. Часть параметров, в наибольшей степени влияющих на уравнение состояния жидкого U02+x, корректировалась ("калибровалась") по известным опытным данным о плотности, давлении паров и кислородному потенциалу жидкого диоксида урана вблизи его точки плавления (Г « 3120 К). Выбранные параметры взаимодействия в рамках эмпирического уравнения состояния считались независящими от температуры и плотности.

Специфика неконгруэнтного фазового перехода в системе уран кислород приводит к расщеплению единой зависимости давления насыщенных паров от температуры, на две различающихся границы: - кривой кипения (boiling curve - ВС) и кривой насыщения (saturation curve - SC). Первая граница (ВС) соответствует равновесию (химическому, ионизационному и фазовому) жидкого диоксида урана стехиометрического состава, U02.o, с нестехиометрической (обогащенной кислородом) паровой фазой, U02+X (х > 0). Динамически это соответствует режиму медленного, полностью термодинамически равновесного испарения UO20, наиболее близкому к режиму, который действительно может реализоваться в процессе гипотетической аварии на ядерном реакторе. Вторая граница (SC), напротив, соответствует равновесию уже паровой фазы стехиометрического состава, U02.o, с нестехиометрическим (кислородно-обедненным) жидким U02+^ (х < 0). Динамически это соответствует режиму сверхбыстрого принудительно-конгруэнтного режима лишь частично равновесного испарения, при котором стехиометрия пара не успевает измениться при испарении («Forced Congruent Mode» - FCM) [242].

На рис 6.01 приведены результаты расчета состава газовой фазы диоксида урана вдоль кривой кипения для случая конгруэнтного (стехиометрия жидкой и газовой фаз совпадают, [0/U]=2) фазового равновесия начиная с температуры, соответствующей точке плавления (ТП=3120К) вплоть до критической точки (Тк=8800 К).

В качестве примера результатов расчета неконгруэнтного фазового перехода в диоксиде урана на рис.6.02 приведены зависимости отношения кислород-уран [0/U] вдоль кривых кипения и насыщения. На этом рисунке отчетливо видна одна из главных особенностей описываемого явления - чрезвычайно высокая степень максимального кислородного обогащения паровой фазы, находящейся в равновесии с кипящим диоксидом урана стехиометрического состава, U02Q. {max (0/U)BC~ 7 при Т

Рис. 6.01 Состав газовой фазы вдоль кривой кипения

Первая граница (ВС) соответствует равновесию (химическому, ионизационному и фазовому) жидкого диоксида урана стехиометрического состава, U02Q, с нестехиометрической (обогащенной кислородом) паровой фазой, U02+^ (х > 0). Как уже говорилось динамически это соответствует режиму медленного, полностью термодинамически равновесного испарения U02Q, наиболее близкому к режиму, который действительно может реализоваться в процессе гипотетической аварии на ядерном реакторе.

Вторая граница (SC), напротив, соответствует равновесию уже паровой фазы стехиометрического состава, U02Q, с нестехиометрическим (кислороднообедненным) жидким UO (х < 0).

Рис. 6.02 Отношение O/U сосуществующих фаз в условиях кипения и насыщения

1 - вычисления Green, Leboitz [243];

2 - реконструкция Fisher [244];

BCIiq и BCvap - сосуществующие жидкость и пар в условиях кипения; SC1'4 и SCvap - сосуществующие жидкость и пар в условиях насыщения; CP - критическая точка; РСР - псевдокритическая точка из [244]; ССТ - точка максимальной температуры на кривой насыщения; ССР - точка максимального давления на кривой кипения; Tmeit - температура плавления

Необычный характер некогруэнтного фазового перехода по сравнению с фазовыми переходами в простых жидкостях, выражающийся в иной структуре предсказываемой фазовой границы процесса испарения диоксида урана можно наблюдать и на рис. 6.03. Это отличие является прямым следствием указанного выше неконгруэнтного характера испарения в неидеальной химически реагирующей среде, и в частности, в плазме диоксида урана. Непосредственным следствием неконгруэнтного характера испарения в диоксиде урана является примечательно высокий уровень максимального давления паров, теоретически предсказываемого на кривой кипения (Р ~ 1 ГПа).

Рис 6.03 Полное и частичное равновесие в диоксиде урана

1 - равновесие газ-жидкость в конгруэнтном случае (BC=SC);

2 - полное давление паров диоксида урана из работы [244];

ВС и SC - кривые кипения и насыщения при полном термодинамическом равновесии (неконгруэнтный случай);

РСР - псевдокритические точки; CP - критическая точка; MP -точка плавления

Как видно из этого рисунка кривая 1 фазового равновесия, соответствующая принудительно конгруэнтному равновесию (то же для одножидкостной модели) трансформируется в область ограниченную кривыми кипения и насыщения, что сопровождается ростом критических параметров.

Различие в характере конгруэнтного и неконгруэнтого фазовых переходов видно и на диаграмме температура-плотность. В соответствии с предыдущими иллюстрациями зависимость плотности от температуры оказывается вытянутой в область более высоких температур по сравнению с конгруэнтным случаем.

9 8 7 6

I 5 ьЬ 4

CL

3 2 1 О

Рис 6.04 Сравнение вычисленных плотностей с результатами эксперимента и компьютерного моделирования

1 - эксперимент [245];

2 - аппроксимация эксперимента [245], предложенная авторами в [246];

3 — «наилучшая» экстраполяция эксперимента [239];

4 - результаты моделирования ионной модели диоксида урана методом молекулярной динамики [238];

5 - расчет для случая конгруэнтного фазового перехода в UO2;

6 - плотность кипящей жидкости UO2.0 в неконгруэнтном случае;

7 - плотность насыщенного пара с О/U > 2 над кипящей жидкостью UO2.0 в неконгруэнтном случае.

РСР- псевдокритическая точка; CP - критическая точка. Выводы по Главе 6.

1. На основе термодинамической модели для газо-плазменной химически активной смеси проведен совместный расчет ионизационного, химического и фазового равновесия продуктов нагрева диоксида урана.

2. Показано, что разработанные методы совместного расчета ионизационного, химического и фазового равновесия позволяют вычислять параметры нестандартных (неконгруэнтных) фазовых переходов в веществах сложного химического состава.

3456789 10 11

Т, 103 К

Заключение и выводы.

Обобщая изложенное выше, сформулируем наиболее важные результаты, полученные в данной работе

1. Разработаны методы расчета компонентного состава и термодинамических функций многокомпонентных химически реагирующих газо-плазменных смесей с произвольными химическими реакциями и степенями ионизации в широком диапазоне температур и плотностей.

2. Предложена термодинамическая модель плазмы Солнца, проведены термодинамические расчеты и выполнен последовательный анализ влияния различных плазменных эффектов и вариации элементного состава на термодинамические характеристики солнечной плазмы. Сравнение полученных результатов с данными гелиосейсмологических наблюдений показало высокую точность произведенных расчетов.

3. Впервые развита модель, где на основе квазихимического подхода самосогласованным образом учтена взаимозависимость термодинамических параметров и внутренней электронной структуры атомов и ионов плотной высокотемпературной частично ионизованной среды. С использованием модели проведены расчеты параметров термического и калорического уравнения состояния высокотемпературных неидеальных сред инертных газов и щелочных металлов, демонстрирующие хорошее согласие с существующими экспериментальными данными.

4. Для случая сильной неидеальности и многократной ионизации построена термодинамическая модель, в которой наряду с эффектами кулоновского взаимодействия заряженных частиц учтены короткодействующее отталкивание, Ван-дер Ваальсово притяжение частиц на близких расстояниях и вырождение свободных электронов. Выполненное сопоставление рассчитанных ударных адиабат пористых алюминия, никеля, железа и меди с данными эксперимента для различных значений пористости показало, что в рамках единой модели для всех металлов удается удовлетворительно описать экспериментальные данные как качественно, так и количественно.

5. На основе варианта псевдопотенциальной модели для описания кулоновского взаимодействия частиц и модифицированной модели мягких сфер для короткодействующего отталкивания атомов и ионов предложена термодинамическая модель сильно-сжатой высокотемпературной среды в области субмегабарных давлений. Проведенное сопоставление расчетов термодинамических свойств ударно-сжатых аргона, криптона и ксенона с экспериментальными данными показало, что разработанная модель демонстрирует удовлетворительное согласие расчета с экспериментальными ударными адиабатами, а наблюдаемое в эксперименте поведение электропроводности может быть объяснено эффектом ионизации давлением.

6. Построена термодинамическая модель сильно сжатого водорода (дейтерия) для области давлений, соответствующей сжатию сверхмощными ударными волнами, проведены расчеты термодинамических свойств ударно-сжатых жидкого, твердого и газообразного (высокой плотности) дейтерия и сопоставление со всеми существующими экспериментальными данными. Показано, что ключевым параметром в рамках данной модели при описании эксперимента является отношение размеров молекулы и атома водорода (дейтерия).

7. Предложены методы расчета термодинамических свойств многокомпонентных систем в условиях фазового перехода газ-жидкость в рамках единой физической модели для газа и жидкости. На основе термодинамической модели для газоплазменной химически активной смеси проведен совместный расчет ионизационного, химического и фазового равновесия продуктов нагрева диоксида урана в условиях различной стехиометрии газовой и жидкой фаз и оценены параметры кривой фазового равновесия.

8. На основе разработанных методов расчета термодинамических свойств высокотемпературных сильно-сжатых сред и развитых методов решения системы уравнений Хартри-Фока для сжатых атомных структур созданы универсальные алгоритмы, комплексы программ и базы данных для расчета компонентного состава и термодинамических функций высокотемпературных сред в широком диапазоне термодинамических параметров и программы для расчета методом Хартри-Фока электронной структуры, энергетического спектра и других атомных характеристик сжатых атомов и ионов.

Автор выражает благодарность Игорю Львовичу Иосилевскому, в сотрудничестве с которым автор проработал многие годы, Авигее Николаевне

Ивановой, с которой обсуждалась значительная часть математических проблем, возникавших в ходе работы, Виктору Борисовичу Минцеву и Андрею Никоновичу Старостину за плодотворное обсуждение многих вопросов, касающихся теории и эксперимента, сотрудникам Отдела экстремальных состояний вещества ИПХФ РАН и его руководителю академику Владимиру Евгеньевичу Фортову за внимание к работе и плодотворные обсуждения.

1. Absolute Equation of State Measurements on Shocked Liquid Deuterium up to 200 GPa (2 Mbar)/L.B.Da Silva, P.Celliers, G.W.Collins et al// Phys.Rev.Lett.- 1997.-Vol.78.-P.483-486

2. Ударно-волновое сжатие жидкого дейтерия при давлении 120 ГПа /Г.В. Борисков, А.И. Быков, Р.И. Илькаев и др.//ДАН.-2003, Том 392, №6.- с.755-757.

3. Trunin R.F., Simakov G.V., Panov N.V. Shock compression of porous aluminum and nickel at megabar pressures //High Temp.- 2001.-Vol 39.-C. 401-406

4. Норман Г.Э., Старостин A.H. Термодинамика сильно неидеальной плазмы//ТВТ.-1970.-Том 8; №2.- С.413-438

5. Jorgen Christensen-Dalsgaard Helioseismology// Rev.Mod.Phys.-2002.- Vol 74.-P. 1073-1129.

6. Жарков B.H. Геофизические исследования планет и спутников. Первое чтение им.О.Ю.Шмидта.- ОИФЗ РАН, 2003. 102с.

7. Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный том I /Под Ред. В.Е.Фортова.- М: Наука, 2000.- 586с.

8. Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный том III /Под Ред В.Е.Фортова.- М: Наука, 2000.-576с.

9. C.Pierleoni, W.G.Magro, D.M.Ceperley, Path integral Monte-Carlo simulation of hydrogen plasma, In Physics of Strongly Coupled Plasmas// Ed.by W.D.Kraeft, M.Shchlanges, Singapore-London:World Scientific, 1996.- P.l 1-26.

10. B. Militzer and D. M. Ceperley Path Integral Monte Carlo Calculation of the Deuterium Hugoniot//Phys.Rev.Lett.-2000.- Vol 85, No 9.-P.1890-1893.

11. Monte Carlo results for the hydrogen Hugoniot /V.Bezkrovniy, V. S. Filinov, D. Kremp et al//Phys.Rev.E.- 2000.- Vol 70.-P. 057401-4.

12. Quantum molecular dynamics simulations of hot, dense hydrogen /L. Collins, I. Kwon, J. Kress, N et al // Phys.Rev.E.-1995.-Vol 52, No.6.- P. 6202-6219.

13. Экспериментальные данные по ударному сжатию и адиабатическому расширению конденсированных веществ/ Р.Ф.Трунин, Л.Ф.Гударенко, М.В.Жерноклетов, Г.В.Симаков.- Саров:РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2001.- 446с.

14. Теплофизические свойства рабочих сред газофазного ядерного реактора /В.К.Грязнов, И.Л.Иосилевский, Ю.Г.Красников и др.-М. Атомиздат 1980.- 304с.

15. Батурин В. А., Дэппен В. Уравнение состояния в задаче о внутреннем строении звезд солнечного типа//Астрономический журнал.-2003.-Том 80; №8.-с. 579-587

16. Шпатаковская Г.В. Ячеечный подход в описании термодинамических свойств НТП//Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный Том I/Под ред. В.Е.Фортова.-М.:Наука, 2000.- с.313-322

17. Киржниц Д.А. Квантовая поправка к уравнению Томаса-Ферми.//ЖЭТФ.-1957.-Том 32; № 1.-С.115-123.

18. Калиткин Н.Н. Модель атома Томаса-Ферми с квантовыми и обменными поправками.// ЖЭТФ.-1960.- Том 38; № 5.-С.1534-1540.

19. Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.З., Рогов B.C. Таблицы термодинамических функций и транспортных коэффициентов плазмы. М.:ИПМ АН СССР, 1972.- 35с.

20. Воропинов А.И., Гандельман Г.М., Подвальный В.Г. Электронные энергетические спектры и уравнение состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах.// УФН.- 1970.- ТомЮО; № 2.-С. 193-224.

21. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Описание состояния вещества в области высоких температур на основе уравнений самосогласованного поля// Числ. мет. мех.спл.среды.- 1973.- Том 4; № 4,- С.114-119.

22. Синько Г.В. Использование метода самосогласованного поля для расчета термодинаимческих фунций электронов в простых веществах// ТВТ.-1983.- Том 2; №6.-с. 1042-1051

23. Киржниц Д.А., Лозовик Ю.Е., Шпатаковская Г.В. Статистическая модель вещества.//У ФН.-1975.- Том 117; №.1.-С.З-48.

24. Шпатаковская Г.В. Оболочечные эффекты в уравнении состояния холодного сильносжатого вещества. Препринт ИПМ АН СССР № 54.- М. 1975.- 20с.

25. А.Ф Никифоров., В.Г. Новиков, В.Б. Уваров, Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы. Методы расчета росселандовых пробегов и уравнения состоянияю.- М.:Физматлит, 2000.- 400с.

26. Иосилевский И.Л Общая характеристика термодинамического описания НТП// Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный Том1/Под ред. В.Е.Фортова.-М.: Наука, 2000.-C.275-292

27. Уравнения состояния газов и жидкостей /Семенов A.M., Шпильрайн Э.Э. Уравнение состояния химически реагирующего газа. М., Наука.-1975.- С.77-104

28. Теплофизические свойства щелочных металлов / Шпильрайн Э.Э., Якимович К.А., Тоцкий Е.Е. и др. М. 1970.-Изд.стандартов.-С.487.

29. Physics of Strongly Coupled Plasmas /еd. Van Horn H.M. & Ichimaru S.-University of Rochester Press, 1993.- 506p.

30. Physics of Nonideal Plasmas /ed. Ebeling W., Forster A., Radtke R.- Teubner Verlagsgesellschaft, 1992.-318p.

31. Веденов А.А., Ларкин А.И. Уравнение состояния плазмы.//ЖЭТФ.-1959.-Том 36, Вып 4.-С.1134-1142.

32. Красников Ю.Г.К термодинамике плотной плазмы// ЖЭТФ,-1967.-Том 53.-С.2223-2232.

33. Копышев В.П. Второй вириальный коэффициент плазмы //ЖЭТФ.-1968.-Том 55.- С.1304-1310.

34. Alastuey A., F.Cornu, A.Perez, //Physics of Strongly Coupled Plasmas /ed. Van Horn H.M. & Ichimaru S.- University of Rochester Press, 1993.- P.91-99

35. G.M.Harris, I.E Roberts., J.G Trulio. Equilibrium Properties of a Partially Ionized Plasma //Phys.Rev.-1960.-Vol 119; No.6.- P. 1832-1841.

36. Ebeling W. Coulomb Interaction and Ionization Equilibrium in Partially Ionized Plasma.//Physica.-1969.-Vol 43; No.2.-P.293-306.

37. Грязнов B.K Термодинамика ударно-сжатой плазмы в представлениях химической модели //Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный Том 1 /Под ред. В.Е.Фортова.-М.:Наука, 2000.- С.299-313

38. Thermophysical Properties of Hot Dense Plasmas/Ebeling W., Forster A., Fortov V. et al.- Stuttgart-Leipzig: Teubner, 1991.- 315p.

39. Я.Б Зельдович., Ю.П. Райзер Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.- М.: Наука, 1968.- 686с.

40. Эбелинг В., Крефт В., Кремп Д. Теория связанных состояний и ионизационного равновесия в плазме и твердом теле.- М.: Мир, 1979.- 282с.

41. Ларкин А.И. Термодинамические функции низкотемпературной плазмы.// ЖЭТФ.- 1960.-Том 38.- С.1896-1898.

42. Graboske Н.С., Harwood D.J., Rogers F.J. Thermodynamic Properties of Nonideal Gases.//Phys.Rev.- 1969.-Vol 186, No 1.-P.210-225.

43. Moore C.E. Atomic Energy Levels. Washington:- NBS, Vol. 1, 1949. 308 p.; Vol.2, 1952.-250 p.

44. S. Bashkin, J.O. Stoner, Jr Atomic Energy Level and Grotrian Diagrams.-Amsterdam:North-Holland, Vol. 1,1975, Vol.2, 1978, Vol. 3,1981.

45. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание в 4-х томах /Л.В.Гурвич, Г.Б.Хачкурузов, В.А.Медведев и др, М.: Наука.- Том.1, 1978.- 496с.

46. Хьюбер К.П., Герцберг Г. Константы двухатомных молекул. В 2-х частях.-М.: Мир, 1984.- Ч.1.- 408с.; Ч.2.-368с.

47. И.Н. Годнев. Вычисление термодинамических функций по молекулярным данным.- М.: Гостехиздат, 1956.- 419с.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М Статистическая физика.- М.: Наука, 1964.- 565с.

49. Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В. Интерполяционные формулы для функций Ферми-Дирака, Препринт Ин-т Прикл. матем. АН СССР: Т-16636 М., 1972.- 22с.

50. Расчет неконгруэнтного фазового равновесия в высокотемпературной неидеальной плазме // В.К. Грязнов, И.Л. Иосилевский, А.С. Семенов и др. /Изв. РАН, Сер. «физическая».- 1999.-№ 63 -С. 2258-2262

51. Iosilevskiy I., Gryaznov V., Yakub Е., Ronchi С., Fortov V. Non-congruent phase coexistence in strongly coupled chemically reactive plasmas //Contrib.Plasma Phys.-2003.-Vol 43, No.5-6 p.316-320

52. Ronchi C., Iosilevskiy I., Yakub E. Equation of State of Uranium Dioxide.-Springer, 2004.- 366p.

53. Расчет параметров детонации смесей горючих веществ с воздухом/ Васильев В.М., Вольперт А.И., Клычников Л.В. и др. // ФГВ.-1960.- .Том 16; № З.-С. 127-134.

54. Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания. Справочник, Том 1./ В.Е. Алемасов, А.Ф. Дрегалин, А.П. Тишин и др.; Под ред.акад.В.П.Глушко и др. М.:Изд.ВИНИТИ АН СССР, 1971.- 266с.

55. Применение ЭВМ для термодинамических расчетов металлургических процессов. /Синярев Г.Б., Ватолин Н.А., Трусов Б.Г., Моисеев Г.К. М: Наука, 1982.-100с.

56. Состав и термодинамические функции плазмы./ Б.В.Замыщляев, Е.Л.Ступицкий, А.Г.Гузь, В.Н.Жуков.- М.:Энергоатомиздат, 1984.- 144с.

57. Химическое равновесие в неидеальных системах /Байбуз В.Ф., Зицерман В.Ю., Голубушкин Л.М., Чернов Ю.Г., Под ред. В.С.Юнгмана.-М.:ИВТАН, 1985.-227с.

58. Волокитин B.C. Расчет термодинамики и состава неидеальных газоплазменных смесей, Препринт ИПМ АНСССР № 14.- М., 1991.-11с.

59. Широкодиапазонная модель смеси для неидеальных и плазмы сложного состава с химическими реакциями/Муленко И.А., Олейникова Е.Н., Соловей В.Е., Хомкин А.Л. //ТВТ.- 2001.- Том 39.-С.13-25.

60. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М., Практическая оптимизация.- М.: Мир, 1985.-509с.

61. Э.Ф.Брин, Б.В.Павлов. О новой модификации градиентного метода поиска экстремума// Материалы Всесоюзного симпозиума "Математические методы в химии".-Новосибирск:СО АН СССР, 1973.- С.185-191.

62. Зельдович Я.Б. Доказательство единственности решения уравнений закона действующих масс//Ж.физ.хим.-1938.- Том 11, № 5.-С.685-687.

63. Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В., Модели неидеальности плазмы, Препринт ИПМ АН СССР № 16.- М., 1989. -38с.

64. Helioseismic inversion and the Equation of State//Equation-of-State and Phase-Transition Issues in Models of Ordinary Astrophysical Matter. Ed. by V.Celebonovich, W.Daeppen, D.Gough, Melwill-New York: American Institute of Physics, 2004.- p.47-63.

65. The Current State of Solar Modeling /J. Christensen-Dalsgaard, W. Dappen, S.V. Ajukov et al.// Science.-1996.-Vol.272.- P.1286-1292

66. Planck M. Quantum statistics of Bohr atom model // Ann.der Phys.-1924.-Vol.75.- P.673-684.

67. A.N. Starostin, V.C. Rorich, R.N. More. How correct is the EOS of weakly nonideal hydrogen plasmas?// Contrib. Plasma Phys.- 2003.-Vol.43.- P.369-372.

68. Ликальтер A.A. Взаимодействие атомов с электронами и ионами в плазме// ЖЭТФ.- 1969.- Том. 56, № 1.- С.240-245.

69. В.К.Грязнов, И.Л.Иосилевский, В.Е.Фортов, Расчет ударных адиабат аргона и ксенона// Ж. прикл. мех. тех. физ.-1973.- № 3.- С.70-76.

70. Christensen-Dalsgaard J., The "standard Sun". Modelling and helioseismology// Space Science Review.- 1998.-Vol. 85.-P. 19-36

71. Хилл Т. Статистическая механика. М.:ИИЛ, I960. - 487с.

72. De Groot S.R., Ten Seldam С. A. On the Energy Levels of a Model of the Compressed Hydrogen Atom // Physica.- 1946.- Vol. 12, No. 10.-P. 669-683.

73. Rouse C.A. Screened Coulomb Solution of the Shroedinger Equation// Phys.Rev.-1967.-Vol. 159, No. l.-P. 41-46.

74. Rogers F.J., Graboske H.C., Harwood D.J. Bound Eigenstates of the Static Screened Coulomb Potential//Phys.Rev. 1970.- Vol. 1, No. 6.-P.1577-1585.

75. Lam C.S., Varshni Y.p. Energies of Eigenstates in Static Screened Coulomb Potential// Phys.Rev. A.- 1971.-Vol.4, No.5.-P.1875-1880.

76. Савукинас А.Ю., Чижюнас А.Р. О сжатом атоме водорода// Лит.физ.сб.-1973 .-Том 13, № 3.- С.349-353.

77. Савукинас А.Ю., Чижюнас А.Р. Радиальные интегралы и тонкая структура уровней атома водорода// Лит.физ.сб.-1974.- Том 14, № 3.-С.478-489.

78. Савукинас А.Ю., Чижюнас А.Р. Воздействие экранирования и сжатия на уровни энергии атомов в плазме//Лит.физ.сб.- 1974.- Том 14, № 1.- С.73-83.

79. Хартри Д. Расчеты атомных структур.-1960. М.: ИИЛ. - 272с.

80. Фок В.А. Начала квантовой механики.- 2-е изд. доп.- М.гНаука, 1976 376с.

81. Слэтер Дж. Методы самосогласованного поля для молекул и твердых тел. -М.:Мир, 1978.- 664с.

82. Цюлике Л. Квантовая химия. Том.1. - М.:Мир, 1976. - 512с.

83. Сафронова У.И., Иванова А.Н., Толмачев В.В. Расчет корреляционных диаграмм второго порядка для энергии основного состояния двух электронных атомных систем// Лит. физ. сб.- 1967.- Том 7, № 1.- с.35-53.

84. К теории энергетических спектров многоэлектрошшх атомов и ионов/ Богданович И.О., Богдановичене М.И., Грудзинскас И.И. и др. //Спектроскопия многозарядных ионов.-1980.- М.-С.30-64.

85. Fischer C.F. The Hartree-Fock Method for Atoms. New York: John Wiley, 1977.-308 p.

86. Desclaux J.P., Mayers D.F., O'Brien P. Relativistic Atomic Wave Functions// J.Phys.B.-1971.- Vol. 4, No. 5.- P. 631-643.

87. Гандельман Г.М. Квантовомеханическая теория уравнения состояния калия, алюминия и железа//ЖЭТФ.- 1966.- Том 51, №1, с.147-155.

88. Давление в металлах в приближении Хартри-Фока/ Воропинов А.И., Гандельман Г.М., Дмитриев Н.А., Подвальный В.Г.// ФТТ.-1977.- Том 19, № 11.-С.3332-3338.

89. Mann J.B. SCF-Hartree-Fock Results for Elements with Two Open Shells and for Elements Francium to Nobelium// At.DataNucl. Data.- 1973.-Vol.12, No.l.- P. 1-86.

90. Расчеты электронных оболочек некоторых атомов методом Хартри-Фока / Иванова А.В., Иванова А.Н., Прихоженко и др.// Лит.физ.сб.- 1963,- Том 3, № 1-2.-С.129-138.

91. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Наука, 1973. - 400с.

92. Братцев В.Ф. Таблицы атомных волновых функций.-М.:Наука, 1966.- 192с.

93. Чернышева Л.В., Черепков Н.А., Радоевич В. Система математического обеспечения атомных расчетов "Атом". Препринт / Физ.техн,ин-т им.А.Ф.Иоффе: М-03907.-СП6, 1975-32С.

94. Froese С. Numerical Solution of the Hartree-Fock Equations// Can. J. Phys.-1963.- Vol. 41, No. 11.- P. 1895-1910.

95. Богданович И.О. Программа численного решения уравнений Хартри-Фока// Сборник программ по математическому обеспечению атомных расчетов. Вып.2.-Вильнюс, 1978.- 80с.

96. Griffin D., Cowan R., Andrew K. Instabilities in the Iterative Solution of the Hartree-Fock Equations for Excited Electrons// Phys.Rev.A.- 1971.- Vol.3, No.4, P.1233-1241.

97. Cowan R.D., Mann J.B. Stabilization of Solution of the Hartree-Fock Equations// J.Comput.Phys.- 1974.-Vol. 16, No. 2, P. 160-166.

98. Cayford J.K., Fimple W.R., Unger D.C. A Finite Difference Newton-Raphson Solution of the Atomic Hartree-Fock Problem// J. Comput. Phys.- 1974.- Vol. 15, No. 1, P. 81-97.

99. Обухов A.B. Некоторые аспекты приближения Хартри-Фока для атомных систем с открытыми электронными оболочками. Авто-реф. Дис. канд.физ.-мат.наук. 1977.-Москва.

100. Ландау Л .Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. 2-е изд.пере-раб. и доп. -М.:Физматгиз, 1963.-703с.

101. Юцис А.П., Савукинас А.Ю. Математические основы теории атома.-Вильнюс:Минтис, 1973.-479с.

102. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.:Наука, 1967. -436с.

103. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений.- М.:Наука, 1969. 527с.

104. Титчмарш Э.И. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Том 1.-М.: ИИЛ, I960. 279с.

105. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.:ГИТТЛ, 1953. 468с.

106. Березин И.С., Жидков Н,П. Методы вычислений. 2-е изд. Том 1.-М.:Физматгиз, 1963. - 464с.

107. Глембоцкий И.И., Петкявичус И.Ю. Уравнения Хартри-Фока с учетом корреляции//Лит.физ.сб.- 1973.-Том 13, № 1,С.51-61.

108. Фриш С.Э. Оптические спектры атомов.- М.:Физматгиз, 1963.- 640с

109. Desclaux J.P. Relativistic Dirac-Fock Expectation Values for Atoms with Z=1 to Z=120// At.Data NucI.Data.- 1973, Vol. 12, No. 4.- P. 312-406.

110. А.А.Радциг, Б.М.Смирнов, Параметры атомов и ионов. Справочник.2-у изд., пераб и доп.-М.:Энергоатомиздат, 1986. -344с.

111. Alder B.J., Wainwright Т.Е. Studies in Molecular Dynamics. II. Behavior of a Small Number of Elastic Spheres// J. Chem.Phys. I960.- Vol. 33, No. 5.- P. 1439-1451.

112. Young D.A., Alder B.J. Critical Point of Metals from the van der Waals Model// Phys.Rev.A.-1971.-Vol. 3, No. 1.- P. 364-371.

113. Термодинамика неидеальной плазмы цезия / Бушман А.В., Ломакин Б.И., Сеченов В.А. и др. // ЖЭТФ.- 1975.- Том 69, № 5.- С.1624-1633.

114. Дихтер И.Я., Зейгарник В.А. Экспериментальное уравнение состояния сильноионизованной цезиевой плазмы// ТВТ.- 1977.- Том 15, № 3.- с.471-477.

115. Ломакин Б.Н., Фортов В.Е. Уравнения состояния неидеальной цезиевой плазмы// ЖЭТФ.- 1972.- Том 63, № 1.- С.92-103.

116. Динамическое сжатие неидеальной плазмы аргона / Беспалов В.Е., Грязнов

117. B.К., Дремин А.Н., Фортов В.Е.//ЖЭТФ,- 1975.- Том 69,№ 6.- С. 2059-2066.

118. Генерация неидеальной плазмы мощными ударными волнами / Фортов В.Е., Леонтьев А.А., Дремин А.Н., Грязнов В.К.// ЖЭТФ.- 1976.- Том71, № 1.- С.225-236.

119. Термодинамические свойства неидеальной плазмы аргона и ксенона / Грязнов В .К., Жерноклетов М.В., Зубарев В.Н. и др.// ЖЭТФ.-1980.- Том 78, № 2.1. C.573-585.

120. Иосилевский И.Л. Об уравнении состояния неидеальной плазмы// ТВТ.-1980.- Том 18, № 3.- С. 447-453.

121. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.- М.:Наука, 1973.- 300с.

122. Гиршфельдер Дж., Кертис К., Берд Р. Молекулярная теория жидкостей и газов.- М.: ИИЛ, 1961.- 929с.

123. Свойства конденсированных веществ при высоких давлениях и температурах/ Под ред. Р.Ф.Трунина.- ВНИИЭФ, 1992.- 398с.

124. В.Е.Фортов, Динамические методы в физике плазмы// УФН.- 1982.-Том 138 № 3.- С.361-412.

125. Compendium of shock wave dataI Ed. by M.Van Thiel, Livermore Lawrence Laboratory Report UCRL-50108.-1977.- Vol.1-3.

126. LASL Shock Hugoniot Data/ Ed. by S.P.Marsh.- Berkeley- LA-London: Univesrsity of California Press, 1980.

127. Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатическому расширению конденсированных веществ при высоких плотностях энергии/ М.В.Жерноклетов, В.Н.Зубарев, Р.Ф.Трунин, В.Е.Фортов.-Черноголовка, 1996.-385с.

128. Л.В.Альтшулер, Применение ударных волн в физике высоких давлений// УФН.-1965.-Том 85, Вып.2.- С. 197-258.

129. Изэнтропы разгрузки и уравнение состояния металлов при высоких плотностях энергии/ Л.В.Альтшулер, А.В.Бушман, М.В. Жерноклетов и др. // ЖЭТФ.-Том 78, Вып. 2.- С.741-760.

130. Взрывные лабораторные устройства для исследования сжатия веществ в ударных волнах// Л.В.Альтшулер, Р.Ф.Трунин, К.К.Крупников, Н.В.Панов.- УФН,-.- 1996.-Том 166, Вып.5.-С.575-581.

131. А.Н. Jones, W.H. Isbell, C.J. Maiden, Measurement of the Very-High-Pressure Properties of Materials using a Light-Gas Gun, J.Appl.Phys, 37 (9), p.3493-3499 (1966).

132. С.И. Анисимов, A.M. Прохоров, В.Е.Фортов, Применение мощных лазеров для исследования веществ при сверхвысоких давлениях//УФН.- 1984.-Том 142, вып 3, С.395-434.

133. Generation of shock waves by soft X-radiation from Z-pinch plasma/ V.Fortov, M.Lebedev, K.Dyabilin et al// Shock Compression of Condensed Matter-1995, Ed by S.C.Schmidt, W.C.Tao.- 1996.- AIP Conf. Proc. 370.- P.1255-1258.

134. Shock-wave physics experiments with high-power proton beams. K. Baumung, J.H. Bluhm, B. Goel et al// Laser and Particle Beams.- 1996.-VoL 14, No.2.- P.l81-209.

135. A.B. Бушман, И.В. Ломоносов, B.E. Фортов. Уравнение состояния металлов при высоких плотностях энергии.- ЧерноголовкагИХФЧ РАН, 1992.- 196 с.

136. В.Е.Фортов, И.Т.Якубов. Неидеальная плазма.- М.:Энергоатомиздат, 1992.-368с.

137. Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В. Таблицы термодинамических функций вещества при высокой концентрации энергии, Препринт №35/ ИПМ АН СССР: Т-08502.- М., 1975-73с.

138. Я.Б.Зельдович, Л.Д.Ландау. О соотношении между жидким и газообразным состоянием у металлов// ЖЭТФ.-1944.-Том 14.- С.32-34.

139. Методы исследования свойств материалов при интенсивных динамических нагрузках// Под ред.М.В.Жерноклетова.-Саров: ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2003.-403с.

140. Сжимаемость пористых металлов в ударных волнах/ Р.Ф.Трунин, Г.В.Симаков, Ю.Н.Сутулов и др. // ЖЭТФ.-1989.-Том 96, С.1024-1038.

141. Р.Ф.Трунин, Г.Ф.Симаков. Ударное сжатие никеля сверхмалой плотности// ЖЭТФ.- 1993 .-Том 103.-С. 2180-2188.

142. Ударно-волновое сжатие неидеальной плазмы металлов/ В.К.Грязнов, М.В.Жерноклетов, И.Л.Иосилевский и др.// ЖЭТФ.-1998.-Том 114, Вып. 4.- С.1242-1265.

143. Л.В.Альтшулер, С.Е.Брусникин, А.С.Марченко. Об определении коэффициента Грюнайзена сильнонеидеальной плазмы//ТВТ.-1989.-Том. 27, №4, 636-641.

144. V.K.Gryaznov, I.L.Iosilevski, V.E.Fortov. Calculation of Porous Metal Hugoniots //Physics of Strongly Coupled Plasmas/ Ed. by W.D.Kraeft, M.Schlanges.- Singapore: World Scientific, 1996.- P.351-356.

145. И.Л.Иосилевский, В.К.Грязнов. О сравнительной точности термодинамического описания свойств газовой плазмы приближениях Томаса-Ферми и Саха//ТВТ,-1981 .-Том 19, Вып. 6.-С. 1121-1126

146. M.Baus, J.P.Hansen. Statistical mechanics of simple coulomb systems// Phys.Rep.-1980.-Vol. 59.-P.1-94.

147. Термодинамические свойства неидеальной плазмы аргона и ксенона/

148. B.К.Грязнов, М.В.Жерноклетов, И.Л.Иосилевский и др.// ЖЭТФ.-1980.-Том 78, № 2.- С.573-585.

149. В.К.Грязнов, И.Л.Иосилевский, В.Е.Фортов, Термодинамика сильносжатой плазмы мегабарного диапазона давлений// Письма в Журн. тех. физ.-1982.-Том 22.1. C.1376-1382.

150. В.К.Грязнов, В.Е.Фортов, Термодинамика плазмы алюминия при ультравысоких плотностях энергии// ТВТ.-1987.-Том 25, № 6.- С.1208-1210.

151. В.К.Грязнов, И.Л.Иосилевский, В.Е.Фортов. Термодинамический расчет ударных адиабат пористых металлов//Уравнения состояния вещества/ Под ред. В .Е.Фортова.-1995.- Москва.-С.38-51.

152. S.Ichimaru, H.Iyetomi, S.Tanaka, Statistical physics of dense plasmas: Thermodynamics, transport coefficients and dynamic correlations// Phys.Report.-1987.-Vol. 149.-P.91-205.

153. И.Л.Иосилевский. Фазовый переход в простейшей модели плазмы// ТВТ.-1985.-Том 23, Вып. 6.-С.1641-1649.

154. Т. Kahlbaum, A. Forster. Generalized thermodynamic functions for electrons in a mixture of hard spheres: Application to partially ionized nonideal plasma// Fluid Phase Equilibria.- 1992.-Vol. 76.-P.71-86.

155. Equilibrium Thermodynamic Properties of the Mixture of Hard Spheres/ C.F.Mansoori, V.Carnahan, K.E.Starling, T.W.Leland//J.Chem.Phys.- 1971.-Vol.54, No. 4.- P. 1523-1525.

156. В.К.Грязнов, Термодинаимческие свойства сильносжатых высокотемпературных сред//Дисс. канд. физ.-мат. наук.-1981.-ЧерноголовкаЮИХФ РАН.-118 с.

157. Программа расчета атомов по методу Хартри-Фока. Отчет/ ОИХФ АН СССР. Иванова А.Н., В.К.Грязнов.- Черноголовка, 1975.-54 с.

158. В.К.Грязнов, ИЛ.Иосилевский, В.Е.Фортов. Расчет ударных адиабат металлов в химической модели плазмы//Физика и техника плазмы.- Минск: Изд.-во БГУ, 1994.-1 6.

159. В.К.Грязнов, И.Л.Иосилевский, В.Е.Фортов. Расчет термодинамических свойств ударно-сжатой плазмы металлов// Физика низкотемпературной плазмы.-Петрозаводск, 1995. С. 105-107.

160. N.W.Ashcroft, J.Lekner, Structure and Resistivity of Liquid Metals// Phys.Rev.-1966.-Vol. 145.-P.83-90.

161. А.АЛикальтер. Уравнение состояния ионизированных паров щелочных металлов//ДАН СССР.-1981.-Том 259.-С. 96-99; Газообразные металлы//УФН.-1992,-Том 161.-С. 119-148.

162. R.G. McQueen, S.P. Marsh, Equation of state for nineteen metallic elements// J. Appl. Phys.-1960.-Vol. 31.-P.1253-1269.

163. Shock-wave compressions of twenty-seven metals equations of state of metals/ J.M.Walsh, M.H.Rice, R.G.McQueen, F.L.Yarger// Phys. Rev.-1957.-Vol. 108.- P. 196216.

164. Л.В.Альтшулер, А.А.Баканова, Р.Ф.Трунин, Ударные адиабаты и холодные кривые семи металлов при высоких давлениях// ЖЭТФ.-1962.-Том 42.-С. 91-104.

165. Динамическое сжатие пористых металлов и уравнение состояния с переменной теплоемкостью при высоких температурах/ С.Б.Кормер, А.И.Фунтиков, В.Д.Урлин, А.Н.Колесникова//ЖЭТФ.-1962.-Том 42.-С. 686-701.

166. Ю.Л.Алексеев, Б.П.Ратников, А.П.Рыбаков. Ударные адиабаты пористых металлов//Ж.прикл. мех. тех. физ.-1971.- №2.-С. 101-106.

167. Ударная сжимаемость и уравнение состояния меди в области высоких давлений/ Зубарев В.Н., Подурец М.А., Л.В.Попов и др.// Детонация.-1978.-Черноголовка.- С.61-65.

168. А.А.Баканова, И.П.Дудоладов, Ю.Н.Сутулов. Ударная сжимаемость пористых вольфрама, молибдена, меди и алюминия// Ж.прикл.техн.физ.-1974.-№ 2, С.117-122.

169. N.F. Mott, Е.А. Davis. Electronic processes in non-crystalline materials. 2nd ed.-Oxford: Clarendon Press, 1979.-590 p.

170. F.Hensel, E.U.Frank. Metal-Nonmetal Transition in Dense Mercury Vapor// Rev.Mod.Phys.- 1968.-Vol.40, No. 4.- P.697-703.

171. Е.Г.Максимов, Ю.И.Шилов. Водород при высоких давлениях// УФН.- 1999, Том 169.-С.1223-1242.

172. N.W.Ashkroft. Metallic Hydrogen: A High-Temperature Superconductor?// Phys. Rev. Letters.- 1968, Vol.21, No. 26.- P. 1748-1749.

173. Е.Г.Бровман, Ю.Каган, А.Холас.О структуре металлического водорода при нулевом давлении// ЖЭТФ.- 1971, Том.61, Вып.6.- С.2429-2458.

174. В.П. Трубицын. Фазовый переход в кристалле водорода//Ф7Т.- 1966.-Том. 8, Вып.4.- С.862-865.

175. M.Ross, A.K.McMahan. Condensed xenon at high pressure// Phys. Rev.B.-1980.-Vol. 21, No.4.- P.1658 -1664.

176. D.A.Young, A.K.McMahan, M.Ross. Equation of state and melting curve of helium to very high pressure// Phys. Rev. В.-1981.-Vol. 24, No.9.-P.5119-5127.

177. J.C. Boettger. Equation of state and metallization of neon// Phys.Rev.B.- 1986.-Vol.33, No. 10.- P.6788 -6791.

178. Optical Evidence for the Metallization of Xenon at 132(5) Gpa/ K.A.Goettel, J.H.Eggert, I.F.Silvera, W.C.Moss// Phys. Rev. Letters.- 1989.- Vol.62, No. 6.-P.665-668.

179. Мощные ударные волны и экстремальные состояния вещества/ Е.Н.Аврорин, Б.К.Водолага, Б.А.Симоненко, В.Е.Фортов// УФН.- 1993.-Том 164.-С. 1-34.

180. Phase transition in dense low-temperature molecular gases/ I.A.Mulenko, E.N.Olejnikova, A.L.Khomkin et all/Physics Letters A- 2001.- Vol.289.- P. 141-146.

181. Ударное сжатие и яр костная температура фронта ударной волны в аргоне. Электронная экранировка излучения/ Ф.В. Григорьев, С.Б. Кормер, O.JI. Михайлова и др.// ЖЭТФ.- 1978.- Том 75, Вып.5.- С.1683-1693.

182. Ударно-волновое сжатие твердого дейтерия/ С.И.Белов, Г.В.Борисков, А.И.Быков и др.// Письма в ЖЭТФ.-2002.- Том 76, Вып.7.- С.508-510.

183. Observation of Electrical Conductivity of Isentropically Compressed Hydrogen at Megabar Pressures/ P.S.Hawke, T.J.Burgess, D.E.Duerre et al// Phys.Rev.Lett.- 1978.-Vol.41, No. 14.-C. 994-997.

184. Reflected Shock Experiments on the Equation-of-State Properties of Liquid Deuterium at 100-600 GPa (1-6 Mbar)/ A. N. Mostovych, Y. Chan, T. Lehecha et al// Phys. Rev. Let.-2000.-Vol.85, No. 18.- P.3870-3873.

185. N.S.Holmes, M.Ross, W.J.Nellis, Temperature measurements and dissociation of shock-compressed liquid deuterium and hydrogen// Phys.Rev.B.- 1995.-Vol. 52, No. 22, 15835-15845.

186. S.T. Weir, A.C. Mitchell, W.J. Nellis. Metallization of Fluid Molecular Hydrogen at 140 GPa (1.4 Mbar)// Phys. Rev. Let. -1996.- Vol.76, No.l 1.- P. 1860-1863.

187. Ионизация давлением неидеальной плазмы в мегабарном диапазоне динамических давлений/ Фортов В.Е., Терновой В.Я., Жерноклетов М.В. и др.// ЖЭТФ.- 2003.-Том 124, вып.2.- С. 288-310.

188. Young D.A. A soft-sphere model for liquid metals, UCRL-52352.-1977.- LLNL, Univ.California.- 15 p.

189. V.D.Urlin, M.A.Mochalov, O.L.Mikhailova. Liquid xenon study under shock and quasi-isentropic compression// Hiqh Pressure research.-1992.-Vol.8.-P.595-605.

190. R.Keeler, M. Van Thiel, B.Alder. Corresponding states at small interatomic distances// Physica.- 1965.- Vol.31, No.9.- P.1437-1440.

191. W.Nellis, M. Van Thiel, A.Mitchel. Shock Compression of Liquid Xenon to 130 GPa (1.3 Mbar)// Phys. Rev. Lett.- 1982.- Vol.48, No.12.- P.816-818.

192. В.Б.Минцев, В.Е.Фортов, В.К.Грязнов. Электропроводность высокотемпературной неидеальной плазмы// ЖЭТФ.-1980.-Том 79.- С.116-124.

193. Электропроводность неидеальной плазмы/ Ю.В.Иванов, В.Е.Фортов, В.Б.Минцев, А.Н.Дремин// ЖЭТФ.- 1976.-Том 71, вып.1.- С.216-224.

194. В.Б.Минцев, В.Е.Фортов. Электропроводность ксенона в закритических условиях// Письма в ЖЭТФ.- 1979.-Том 30, Вып.7.- С.401-404.

195. Electrical conductivity of shock compressed xenon / V.B.Mintsev, V.Ya.Ternovoi, V.K.Gryaznov et al.// Shock Compression of Condensed Matter-1999, Ed. by S.C.Shhmidt, D.p.Dandekar, J.W.Forbes.- NY, 2000.- P.987-990.

196. Коэффициенты поглощения плотной плазмы аргона/ М.И.Кулиш, В.К.Грязнов, Минцев В.Б. и др.// ТВТ, 33.-1995.- №6.-С.967-971.

197. Electrical Conductivity of Xenon at Megabar Pressures /Mikhail I. Eremets, Eugene A. Gregoryanz, Victor V. Struzhkin et al// Phys.Rev.Lett.-2000.-Vol.85. No. 13.-P.2797-2800.

198. Optical Evidence for the Metallization of Xenon at 132(5) Gpa/ K. A. Goettel, J. H. Eggert, I. F. Silvern, W. C. Moss//Phys. Rev. Lett.-1989.-Vol. 62, No. 6.-P.665-668.

199. Evidence for the Insulator-Metal Transition in Xenon from Optical, X-Ray, and Band-Structure Studies to 170 Gpa/ R.Reichlin, K.E.Brister, A.K.McMahan et al// Phys. Rev. Lett.- 1989.-Vol.62, No. 6.- P.669-672.

200. H.B.Radousky, M.Ross. Shock temperature measurements in high density fluid xenon// Phys .Lett. A.- 1988.-Vol.129, No.l.- P.43-46.

201. Thermophysical Properties of Shock Compressed Argon and Xenon/ V.E.Fortov, V.K.Gryaznov, V.B.Mintsev et al.// Contrib.Plasma Phys.- 2001.-Vol.41, No.2-3.- P.215-218.

202. Ударное сжатие и яркостная температура фронта ударной волны в аргоне. Электронная экранировка излучения// Ф.В.Григорьев, С.Б.Кормер, ОЛ.Михайлова и др.// ЖЭТФ.- 1985,-Том 88, Вып.4.- С. 1271-1279.

203. Свойства ударно-сжатого жидкого криптона при давлениях до 90 Гпа/ В.Д.Глуходедов, С.И.Киршанов, Т.С.Лебедева, М.А.Мочалов// ЖЭТФ.- 1999.- Том 116, Вып.2.- С.551-562.

204. Equation of State of the Hydrogen Plasma by Path Integral Monte Carlo Simulation/ C. Pierleoni, D. M. Ceperley, B. Bernu, W. R. Magro// Phys.Rev.Lett. -1994.- Vol.73, No. 16.- P.2145-2149.

205. Knaup M., Reinhard P., Topffer C. Wave Packet Molecular Dynamics Simulations of Hydrogen Near the Transition to a Metallic Fluid// Contrib.Plasma Phys.-1999.-Vol. 39.- P.57-60.

206. Militzer B. & Ceperley, D. Path Integral Monte Carlo Calculation of the Deuterium Hugoniot// Phys.Re v.Lett.- 2000.- Vol.85, No.9.- P.1890-1893.

207. Яку б Е.С. Уравнение состояния ударно сжатого жидкого водорода// ТВТ.-1990.-Том 28, №4,- С.664-671; Diatomic fluids at high pressures and temperatures: a non-empirical approach// Physica В.- 1999.-Vol.265, No.l.- P.31-38.

208. G.I.Kerley, A Theoretical Equation of State for Deuterium// National Technical Information Service, Springfield, VA, NTIS Document No.LA-47766.- 1972.

209. Equation of state for hydrogen below 10000 K: From the fluid to the plasma/ D.Beule, W.Ebeling, A.Forster et al.// Phys. Rev.B.-1999.- Vol.59, No.22.- P.14177-14181.

210. M.Ross. Linear-mixing model for shock-compressed liquid deuterium// Phys. Rev.

211. B.-1998.- Vol.58, No.2.- P.669-677.

212. Ree F., Ross M., Young D. The equation of state of molecular hydrogen at very high density//J.Chem.Phys.- 1983.-Vol.79.- P.1487-1494.

213. Экспериментальное измерение сжимаемости, температуры и поглощения света в ударно-сжатом плотном газообразном дейтерии/ С.К.Гришечкин,

214. C.К.Груздев, В.К.Грязнов и др.// Письма ЖЭТФ.-2004.- Том 80, Вып.6.- С.452-458

215. Shock compression of liquid deuterium up to 109 Gpa/ G.V.Boriskov, A.I.Bykov, R.I.Il'kaev et al// Phys. Rev.B.- 2005.-Vol.71.- 092104(1-4).

216. Теплофизические свойства неидеальной плазмы аргона и ксенона/

217. B.К.Грязнов, Ю.В.Иванов, А.Н.Старостин, В.Е.Фортов//ТВТ.-1976.- Том 14.1. C.643-645.

218. Квазиизэнтропическое сжатие жидкого аргона при давлениях до 600 килобар/ И.А.Адамская, Ф.В.Григорьев, О.Л.Михайлова и др.// ЖЭТФ.-1987.- Том 93.- С.647-651.

219. Thermophysical Properties of Helium under Multiple Shock Compression/ V.Ya.Ternovoi, A.S.Filimonov, A.A.Pyalling et al.// Shock Compression of Condensed Matter-2001, Ed. by M. D. Furnish, N. N. Thadhani, and Y. Horie.- NY:AIP Press, 2002.- P.107-110.

220. Construction of the equation of state of uranium dioxide up to the critical point//Final Report on Project INTAS 93 - 0066.- Karlsruhe, 1997.- 298p

221. Stillinger F.H., Kirkwood J.G., Woitowitcz P.J. Theory of Fused Salts// J. Chem. Phys.- 1960.-Vol.32.- P.1837-1945.

222. Coperstake A.P., Evans R. Charge ordering and the structure of ionic liquids: screened Coulomb versus Coulomb interionic potentials// J. Phys.C.- 1982.-Vol. 15.-P.4961-4974.

223. Laboratory Measurement of the Heat Capacity of urania up to 8000К/ Ronchi C., Hiernaut J-P., Selfslag R., Hyland G.J.// Nucl. Sci and Eng.-1993.-Vol.113.- P.l-119.

224. Mistura, L., Magill, J., Ohse, R.W. A perturbed hard core equation of state for oxide nuclear fuels//Journ. Nucl. Mater.-1985.- Vol.135.- P.95-104.

225. Ionic Model for Liquid Uranium Dioxide/ Gryaznov V.K., Iosilevski I.L., Yakub E.S., et al.// Physics of Strongly Coupled Coulomb Systems, Ed. G.J. Kalman, K.B. Blagoev, и J.M. Rommel.- Plenum Press, 1998.-P.147-151.

226. Equation of state of uranium oxide/ Ohse R.W., Babelot J-F., Cercignani C. et al// Journ. Nucl. Mater.- 1985.- Vol.130.- P.165-170.

227. Ohse, R.W., Tippelskirch H. The critical constants of the elements and of some refractory materials with high critical temperatures// HighTemp.-High Pressures.-1977.-Vol.9.- P.367-385

228. Sindringre P.,Gillan M.J. A molecular dynamics study of solid and liquid U02// J.Phys.C Solid State Phys.-1988.- Vol.21.- P.4017-4031

229. Waisman E., Lebowitz J.L. Mean Spherical Model Integral Equation for Charged Hard Spheres I. Method of Solution// J.Chem.Phys.- 1972.- Vol.56.- P.3086-3093.

230. Fisher M.E., Levin Y. Criticality in ionic fluids: Debye-Hiickel theory, Bjerrum, and beyond// Phys.Rev.Lett.- 1993,- Vol.71.- P.3826-3829; Fisher M.E. The story of Coulombic criticality//J. Stat. Phys.-1994.- Vol.75.- P.l-36.

231. Bober М., Breitung W., Karow H.U., Schretzmann К. On the interpretation of vapor pressure measurements on oxide fuel at very-high temperatures for fast reactor safety analysis// Journal of Nuclear Materials.-1976.- Vol. 60.- P.20-30.

232. David W. Green and Leonard Leibowitz. Vapor pressures and vapor compositions in equilibrium with hypostoichiometric uranium dioxide at high temperatures// Journal of Nuclear Materials.-1982.- Vol.105.- P.184-195.

233. E. A. Fischer, Evaluation of the Urania Equation of State Based on Recent Vapour Pressure Measurements// Nuclear Science and Engineering.- 1989.-Vol.101,- P.97-116.

234. J. A. Christensen. Thermal Expansion and change in Volume of Uranium Dioxide on Melting// J. Am. Ceram. Soc.-1963.- Vol.46.- P.607-608

235. W.D.Drotning. Thermal Expansion of Molten Uranium Dioxide// Proceedings of the 8th Symp. On Thermophysical Properties, Gaithersburg, Maryland, VII.-1981.-P.245.

236. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Учеб.пособ, для гос.ун-тов. - 4-е изд. -М.:ГИТТЛ, 1956.- 420с.

237. Гуцев Г.Л., Грязнов В.К., Фортов В.Е. Расчет равновесного расстояния и энергии сродства к электрону молекулы Cs2 дискретно-вариационным DVM-Хд методом// ТВТ.- 1970.- Том 18, № 4.- С.733-737.

238. Гуцев Г.Л., Левин А.А. исследование электронной структуры молекул самосогласованным дискретным вариационным методом в базисе численных Хартри-Фоковских функций. I. Общее описание процедуры// Журн.структ.химии.-1978.- Том 19, №> 6.- С.967-981.

239. Gutzev G.L., Levin A.A. SCF DVM-Xa with Basis Set of Numerical Hartree-Fock Functions and Its Applications to MoF6, WF6, and UF6.// Chem.Phys.- 1980.- Vol. 51, No.3.- P. 459-473.

240. Мотг H., Месси Г. Теория атомных столкновений. М.:Мир, 1969.- 756с.

241. Шифф JI. Квантовая механика. -М.:ИИЛ, 1959. 475с.

242. Уитгекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. 2-е изд. - Том 2.-М.:ГМФМЛ, 1963.-516с.

243. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. -М.:Наука, 1977.-320с.