Точечные и касательные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г

самарскии государственный педагогический университет имени в.в.Куйбышева

^ ^ ^ На правах рукописи

1 О я.-* I и

ТИМОШИН Михаил Иванович

точечные и касательные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений

специальность-01.01.02- дифференциальные уравнения

автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Самара - 1996

Работа вылолненна в Самарском Государственном Университете.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, доцент Л.М.Беркович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор В.А.БаЙКОВ - кандидат физико-математических наук, доцент С.В.Дворянинов

Ведущая организация - Самарский государственный

аэрокосмический университет имени С.П.Королёва.

Защита диссертации состоится " 28 " _1996г в ¿¡Г часовйОмин.

на заседании диссертационного совета по дифференциальным уравнениям (К.113.17.02) при Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 44304,3, Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26, физико-математический факультет, ауд 20!

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан " " апрвАЯ 1996г.

Учёный секретарь диссертационного совета К113.17.02 при СПГУ, к.ф-м.н., доцент В.А.Носов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема аналитического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) возникла практически одновременно с появлением ОДУ в математических теориях и в приложениях. Усилия многих математиков XVIII и XIX в. были сконцентрированы на поисках конструктивных методов точных решений. В XX веке развитие качественных методов ознаменовало поворот от нахождения явных решений. Появление ЭВМ позволило реализовать весьма трудоёмкие численные алгоритмы, что повлекло дальнейший отход от классической постановки задачи.

Однако, вопреки отмеченным тенденциям, с 50-х годов XX века

I 2

возрождается интерес к теории Пикара-Вессио , к теории С.Ли и к

группам Ли-Беклунда° , т.е. к методам теории дифференциальных

уравнений (ДУ), существенно связанных с общей алгеброй. Это

обусловлено, в первую очередь, актуальностью ряда задач ,

появившихся в приложениях - поиск нечисловой информации о решении

(например,симметрии); поиск решений с определёнными априорными

свойствами; построение модельных (эталонных) уравнений, в каком-то

смысле "близких" исходному, решение обратных задач (задач

моделирования) по известному классу решений и т.д. В последние

десятилетия развитие методов решения подобных проблем получило

дополнительный стимул. Усложнение численных алгоритмов для ЭВМ,

рост числа параметров, подлежащих определению, и увеличение

мощности множества перебора привели к необходимости тщательного

аналитического исследования исходных ДУ для того, чтобы в ряде

случаев уменьшить трудоёмкость алгоритмов , а также время счёта на

ЭВМ. И здесь весьма полезным оказывается применение опорных

(промежуточных) уравнений эталонного типа, дающих сравнительно

"хорошее" приближение, и интегрируемых в замкнутом виде.

■'"Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру / Пер. с англ. Под ред. М.М.Постникова. - М.: ИЛ, 1959. - 85с.

о

Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. -399с.

з

Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983. -280с.

Таким образом, рост потребностей ряда прикладных наук, с одной стороны, и необходимость поиска эффективных и экономичных алгоритмов для ЭВМ,с другой стороны,привели к возникновению нового класса задач теории ДУ - задач группового анализа и классификации.

Из задач, касающихся точных решений ОДУ, весьма сложной

является проблема интегрирования ОДУ первого порядка. Сложность

этой задачи объясняется практически полным отсутствием

алгоритмических подходов к её решению, так как поиск допустимой

точечной группы, вычисление интегрирующего множителя и нахождение

общего решения представляют собой эквивалентные задачи.

Аналогичные трудности возникают и при поисках касательных

симметрии, допускаемых ОДУ второго порядка. Поэтому не случайны

многочисленные попытки найти альтернативные способы решения

подобных уравнений как непосредственно связанные с классическими

4 5

идеями Ли, так и основанные на других идеях . Большинство работ в лиевском направлении выполнялось в предположении, что оператор симметрии имеет некоторый специальный вид. При этом строились частные классы уравнений, которые допускали симметрии, например, в виде групп движений на плоскости. При таком подходе приоритет предположения оказывается скорее в области физического смысла.

В отличие от подобных постановок в данной работе упор делается на предположение о представимости инвариантов группы в замкнутом виде.

Цель работы.В соответствии с изложенным,целью работы являлись

1) построение ОДУ 1-го порядка, допускающих точечные симметрии С.Ли;

2) исследование на интегрируемость уравнений Риккати и Абеля (1 и 2 рода);

3) применение касательных преобразований и касательных симметрий к решению ОДУ 1-го и 2-го порядка;

4) реализация алгоритмов С.ли для нахождения точечных и касательных симметрии в системе компьютерной алгебры ЕЕШСЕ.

Беркович Л.М. Факторизация и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Саратов: Из-зо СГУ, 1989. 192с.

5

Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно - групповые метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -Л.: ЛИИАН, IS9I. 240с.

Методы исследования. В работе использовались теория алгебр Ли и групп Ли, теория ОДУ, а также методы компьютерной алгебры.

Научная новизна. Построена классификация ОДУ первого порядка, на основе которой указаны интегрируемые случаи уравнения Риккати, уравнения Абеля как первого, так и Еторого рода. Полученный результат относительно уравнения Абеля второго рода может рассматриваться как обобщение результата Хилла°. Показана принципиальная возможность построения новых интегрируемых классов уравнений Абеля. Указано, что общее уравнение Риккати может быть проинтегрировано сведением дифференциального уравнения к функциональному. Найдены классы характеристических функций (Х.Ф.), допускающих вычисление касательных симметрия: с помощью стандартных процедур. Приведено автомодельное решение одномерного нелинейного волнового уравнения.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы для поиска симметрий ОДУ, поиска решений с определёнными свойствами, построения модельных (эталонных) уравнений.

Апробация работы И публикации. Результаты диссертации по мере их получения докладывались

1) на XI Российском коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования " (Самара, июнь 1993);

2) на Герценовских чтениях (Санкт-Петербург, Российский государственный педагогический университет, апрель 1994);

3) на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, декабрь 1994);

4) на семинаре кафедры алгебры и геометрии Самарского госуниверситета;

5) на семинаре "Дифференциальные и интегральные уравнения" кафедры уравнений математической физики Самарского госуниверситета;

6) на Самарском областном семинаре по дифференциальным уравнениям в СПГУ;

7) на семинаре кафедры высшей математики Самарского государственного аэрокосмического университета.

6 Hill J.M. Abel's differential equation/7 Hath. Scientist.1982. v. ?. № 2. P. 115-126.

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

- Введение. Даётся краткая аннотация работы. Раскрывается тема диссертации, показывается её научная новизна и актуальность, характеризуется место диссертационной работы в области исследования непрерывных симметрий ОДУ.

Б §1 первой главы предложена классификация ОДУ 1-го порядка по виду допускаемых ими нетривиальных генераторов. В основу классификации помимо упомянутого выше принципа представимости инвариантов группы в замкнутом виде положены также принципы вложения и рекуррентности. Предложено рассматривать три подмножества А,В,С обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Типы подмножеств задаются определениями:

Определение I. Множеством ОДУ первого порядка типа А назовём дифференциальные уравнения, допускающие нетривиальный оператор:

для которого разрешила 6 замкнутом биде системаг

Г Хи = о

Определение 2. Ыножестдом ОДУ первого порядка типа В назовём объединение множества А с множеством, приводимым к множеству А преобразованием годографа:

г иЦ) = х

1 ? =у . О)

Определение 3. Множеством ОДУ первого порядка типа С назовём дифференциальные уравнения, допускающие оператор:

X = 1(х,у)%с + Чоо,у)щ , (4)

для которого разрешима в замкнутом виде система (2).

Очевидно, что для построенных множеств А, В, С справедливы вложения: А <= В <= с. Вид оператора (1) и требование разрешимости (2) позволяют организовать рекуррентную процедуру построения ОДУ 1-го порядка, являющихся представителями множества А. Следущие теоремы определяют дифференциальные уравнения первых трёх р'агов бесконечной рекуррентной процедуры:

Теорема I. Дифференцишъные уравнеия первого порядка допускают точечную симметрию с генератором:

I = ,

если и только если их можно представить 6 биде:

аж + aj' = а(х,у)Ф(х) , где: ч)(х,у) = §- .

у

Теорема 2. Дифференциальше уравнения первого порадка допускают

точечную симметрию с генератором;

я а +а(х,у)Ф(х) = X = Кх)% - - % ,

если и только если их можно представить в Виде:

я- JWzJtir

£,(x)Q(x)[as + уау + а ^ 1 = В(а в(х}), где В(х) = е

Теорема 3. Дифференциальные уравнения первого порядка допускают точечную сшиетрию с генератором:

у - г,-Т)д , i(x)r jr__a9' у<9

если и только если их можно представить в виде :

i(x) [ P(aQ)(a^Q + бсу/' + a8') - С'1 = ШР(ав)-С(х)].

Построение представителей множества В, как следует из определения 2, легко осуществляется на основе представителей А с помощью преобразования (3). 3 этом же параграфе указана возможность построения представителей множества С на основе построенных ранее представителей множеств А и В.

§2 первой главы посвящен нахождению симметрия ОДУ первого порядка. Расматриваются два подхода. Первый из них заключается в использовании вместо встречающейся в генераторах симметрии функции а(х,у) некоторого отрезка ряда Лорана:

оо G „ (х) О , (х) „

2Ю С (x)y^ =...+ -^g— + - + С (х) + С (х)у + С (х)уг+... .

У У

С помощью этого подхода доказано утверждение:

Утверждение. Для того чтобы каноническое уравнение Риккати

У + уг= Rix)

было интегрируемо в квадратурах, необходимо и достаточно, чтобы функция, R(x) была представлена в виде:

R(x) = ^ + — - ~ где R,= const, Е = Е(х). ET 2Е 4Er 1

Доказанное утверждение может быть также получено на основе

применения метода факторизации^ к соответствующему линейному уравнению 2-го порядка.

Второй подход связан с более детальной классификацией, выделением из указанных множеств более мелких подмножеств. Рассмотрен простейший случай такого разбиения.

В §3 первой главы на основе второго подхода рассматриваются интегрируемые случаи уравнений Абеля первого и второго рода. Найдено, что уравнение Абеля первого рода

у' = Еэ(х)у3 + Яг(х)г + Я,(х)у + Н0(х) (5)

интегрируется в квадратурах, если функции Я^(Х) ( ± = 0,3) можно представить через 3 функции Ъ, В, К и 4 параметра А,.., (1 = 0,3) :

Ъ% Дз '-ИГ '

(6)

п _ _ о с:

нг--£- '

(31ЖгК+2ШК+1Х, -I/ В)

П _ О ¿1

---,

+%гГК' В

в _ з_г 1 о

до--Л)-.

Относительно уравнения Абеля второго рода

(¥3(х) - у)у' = Рг(х)уг + Т^(х)у + ?0(х) (7)

показано, что оно интегрируется в квадратурах, если функции ( 1 = 0,3) можно представить через 3 функции Ъ, В, К и 3 параметра а = Т73) :

2

ГС -рг = -Щ—3

Ш'В - 21ЖК - 2Л,. + Ъ'Ж

-л _ _о_£_

1 "

Г Ж - Йгл„ - Ял., - л.

р _ _ О_£_]_

0 ьгв

(В)

§

Уравнение (7) при условии (8) преобразованием г у = s(t)u + pft;,

I л? = -T(t), .(э)

приводится к уравнению:

гш - и + at rb = 0, где а,Ь = сопзХ. (10)

Частным случаем класса (7),(8) является построенное Хиллом^ уравнение к^ + Р(х) + Q(x)U = 0 в котором Р(х) и Qfi.) определяются выражениями:

Р(х) = (a-ß)[s'+rsJse2R, QfzJ = fß-7 Яз'+rsJeR, R = JrfTjdT

зависящими от 2 произвольных функций г, s и 3 параметров а, ß.

Указано, что уравнение Абеля первого рода (5) при условии (6)

преобразованием (9) приводится к каноническому виду:

3

^

и = и + (ах + Ъ) . (11)

Совместное рассмотрение построенного уравнения Абеля (5),(6), а также преобразования

f у = [s(t)и + p(t)]-\

{ X=l(t). ^

переводящего уравнения первого рода при Ro(x)=0 в уравнения второго рода позволяет найти новый интегрируемый класс уравнений Абеля:

_

U^ + u + %t+Atz+Btz + C= 0,

где А,В,С - const. Полученное уравнение обобщает известный ранее 7

результат .

с

В работе показано, что уравнения Абеля могут допускать генераторы вида

X = (Ъ3(х)у3 + Ъг(х)уг + Ь1(х)и + Ь0(х))щ .

Теорема I позволила на основе некоторого обобщения приведённой симметрии построить интегрируемые случаи уравнений Абеля. Например

'Зайцев В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. М.: Наука 1933.

о

Коновалов С. П. Дифференциальные уравнения первого порядка, допускающие операторы степенного типа// Труды XI Рос. кол. 1993. М.: Изд-во МФТИ.

\

уравнение Абеля первого рода (5) интегрируется в квадратурах, если

функции ^(Х) (1 = 0,3) можно представить через 4 функции I ,Ь2,ЬЭ,Ф и 2 параметра ^ Д :

3 " УгУУУ" ' г ' УгУУУ"

(Ц -ц.) г д1 -д2 я, х£13- (Ъ'3-13Ф) д% +211д£^ ^ дг уфг; = -2- ,

я = У; ^ У ^ У У У у ¿л 2,

или в случае представимости функций ¿аГ,? ('1 = 0,3.) через 4 функции Ь ,Д ,Ф и параметр А, :

н д _ (¿з-ву^уу

3 ' 2 ^лад^8

«1

=

г Д- -д3Ф; (д^гд0д1 д, ДзЛ, -д; д^ -д^ Дз^ ^Д0Д3^ Ус/УУ"

у 1 -у2 у 1 у 12у 1у у 1 у 1

° Уз УгУ'

Аналогично уравнение Абеля второго рода (7) интегрируется в квадратурах, если функции (1 = 0,3) можно представить

через 3 функции Д^.Д ,Д2 и 2 параметра

Р = у2^1 +у 1 у ¿1 У У ^ р = ¿оУУгУгУг ¿оУУтУУУ ' 2 ~ ¿оУУтУУЛ

р = У1 \ +У1У У г*ч +У гУ-Ц У1 У У1 ^

¿оУУтУг-У1

р = у 1 у 1 ^у 1 у у2^ -^у 1 ^ ,

0 ЬоУУтЬгУУ1

или если функции Р^х) (± = 0,3) можно представить через 3 функции Д0,Д1,Д£ и параметр к^:

Ю

ъг+10кгъ^

Вторая глава посвящена касательным преобразованиям (К.П.) и касательным симметриям . В §1 вводится понятие канонического преобразования.

Определение 4. Преобразование, переводящее генератор точечной симметрии в генератор переноса, назовём каноническим, если оно явно определяется через дифференциальный инвариант нулевого порядка.

Теорема 4. Для того чтобы каноническим преобразованиел перевести произвольный оператор точечной симметрии в переменных (х,у,у' ) о оператор переноса 6 переменных (*,и,й), необходгшо и достаточно использовать либо точечное преобразование, либо касательное преобразование вида:

Следствие. Касательное преобразование (13) ложно представить в виде последовательного применения преобразования Лежандра:

(13)

I Щ = а(х,у).

и = х у' - у

йи _ -Ш - х

(14)

и точечного преобразования,

■ х = а(х,у) у = (3 (х,у)

Ту-^М

<> а + а и'

^ з: з*-

у'

При этом оператор точечной симметрии^ (4) преобразованием (15)

переводится в оператор переноса X = — .

ду

Ещё В.П.Ермаковым было показано, что К.П. целиком определяются с помощью уравнения:

Я(х,у,г,и) = о, (16)

где связь между производными определяется формулами:

<35 . _ п эд ... дСЗ _ п

Рассматривая дифференциальное уравнение вида:

Р(Х,у,у') = 0, (17)

он сделал интересное наблюдение, что в ряде случаев преобразованное уравнение не содержит производной, а является функциональным уравнением, которое в явном виде можно записать как и = ®(t). Общий интеграл при этом задаётся формулой:

,Ш(С1)) = 0. (18)

Таким образом, К.П. типа (13) позволяют говорить не только об использовании точечных симметрий путём приведения дифференциального уравнения к видам:

§=Г(и) или § =

но и о сведении исходного дифференциального уравнения к функциональному уравнению:

и = ■$(t).

В случае преобразований (13) формула (1б) принимает вид:

и - а(х,у№ + $(х,у) = 0. В качестве примера показано, что общее уравнение Риккати

У'= ЯгУ2 + V + й0 интегрируемо указанным способом,если функции Н± (1=1),с) можно представить в виде:

ск' х, -с кх, съ' х, ~с IX, +с х^-в' кх, +к' т., +к' л„ ^ _ _1_1_ ^ _ _]_1_^_]_]_

2_ 01Х,- КХ0- ВКХ,- Са/ 1 С1Х - КХ - ВКХ ~ Сл

1 2 1 о 1 с: 1 о

В' Х^+Ъ' УХлЪ' Х^-д' 1ХЛ п = 3 1 ^ -------1

0 CLX,- лА.0- ШХ - СХ.

12 1 о

где X, - const, С(Х),В(Х),К(Х),Ъ(Х) - функции переменного г.

13

При этом общее решение задаётся формулой:

К^К(х)у + X^L(x) - k^t(C(x)y + dfx)) - %Л - К = О t = const.

В §2 рассматриваются касательные симметрии ОДУ 2-го порядка. Сформулировано и доказано предложение.

Предложение 2. Для того чтобы инвариант 1г(х,у,у',у") группы касательных преобразований находился в замкнутом виде при условии, что существуют инварианты 1^0(х,у,у'), Г 1 (х,у,у' ), задающие пару явных функций, например, у=у(х), у'=у'(х), достаточно,чтобы характеристическая ¡функция й(х,у,у' ) имела один из следующих видов:

Q = у'<х(х,у) + ¡3 (х.у), (19)

П = ха(ху'-у,у' ) + ¡3(ху'-у,у'), (20)

П = ха(Ъу^- ,Ьх-ау') + (3(Ьу-^^,Ъх-ау' ), (21)

где а,(3- функции двух переленных, а, й- в общем случае колтлексные констаяш.

Каждой Х.Ф. можно поставить в соответствие поверхность П(х,у,у') = О.

Замечено, что, подействовав на указанную поверхность с С вида (20) преобразованием Лежандра (14), получим поверхность вида (19). Аналогично, подействовав на поверхность с Q вида (21) К.П. :

t = Ьх - ау'

u=by-f-'d (22)

du

Щ = У

также получигл поверхность вида (19). Кроме этого замечено, что К.П. (14), (22) переводят соответствующие симметрии в точечные. Указанные факты позволили прийти к теореме.

Теорема 5. Произвольная касательная. симметрия с характеристической функцией U(х,у,у') под действием касательных преобразований (14), (22) и точечных преобразований вида:

t = Dfx) и = су + К(х)

ù = aeil 1231

и

\ъ

к переносам X = , К.П. должно тлеть вид

преобразуется так же, как. и соответствующая поверхность

й(х,у,у' ) = 0.

Теорема 5 позволяет размножать касательные симметрии, преобразуемые соответствующим К.П. в точечные. Для этого можно использовать последовательное применение указанных преобразований. Отмечено, что Х.Ф. (21) может быть записана в форме

Q = У zjbx-ay ,Ьу-^ d )-т\(Ьх-ау' *)

и содержит е себе все точечные симметрии, так как при О=0, Ъ=1,

(22) определяет тождественное преобразование.

В §3 рассмотрен вопрос о построении К.П. , переводящего

касательную симметрию в точечную. Показано что в случае приведения в

Ш,

г = 1ю(х,у,у') и = ф(х,у,у')

дф

Ш= М-

51ю

W

при дополнительном требовании:

ш , + у' 1,Л ) - / Гф г Уф ,) = 0.

Чу 1 10s d 1 Cry 10y a ry*

Третья глава посвящена составлению алгоритмических процедур и соответствующих программ для нахождения в диалоговом режиме точечных и касательных симметрии ОДУ порядка п. Программы реализованы в системе компьютерной алгебры REWCE и могут быть использованы на ПК типа IBM. Помимо рассмотренных тестовых примеров были найдены точечные симметрии уравнения

У" = у + Рr(X)yVy' +Г' (Х)У^\ (24)

которое возникает в различных приложениях. Уравнение (24) допускает точечные симметрии в следующих двух случаях:

С- С .X я .. я

a) г(х)=(с1х+сг) 4 , X = (c1x+cz)^s - ро,с3+с1сАх^с1+сгсл)щ ,

2

С' X +С^Х Я II я

b) г(х)=с,е » , Х = 1(2сгх+с3)°щ .

Полученный результат охватывает соответствующий материал из работы? В работе® показано, что нелинейное волновое уравнение:

= 0гГи) afu dt* ' дог

(25)

где с(и) произвольная функция и, позволяет искать автомодельное решение вида:

u(x,t) = Ф(хГ-)

(26)

При этом уравнение (25) преобразуется к обыкновенному дифференциальному уравнению:

С£Ф" + ЕСФ' = ог(Ф)Ф" (27)

С помощью разработанных процедур найдено, что уравнение (27) допускает точечные симметрии в случае, если функция С(Ф) принимает один из следующих двух видов:

а) от = г^ф + к2) 3, х ^ДдС ^ + сн,® + д£;

1 д

Д£ф

'О

+ TL

Й1 Д£ Д3 =const.

ъ) cf®J = йпе

В случае Ь) решение уравнения (27) определяется квадратурой

In-

z=(Rsp-1)

С.

Г г{[ейгР± /е^ИюХ/ J/tSC.fl^p.)}

fj -----1-lL-U- dp

(RoP

If

и касательным преобразованием:

Ф' = ре'

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико - математических наук Берковичу Л.М. за постоянное внимание к работе.

9

Leach PGL, Govinder K.3., Abraham-Shrauner B. Integration of second order ordinary differential equations not possessing Lie point symmetries// Physics Letters .4 203. 1995. P.-¡67-174.

Список работ автора по теме диссертации

1 ТИМОШИН М.И. О точечных симметрия! ОДУ первого порядка.-В кн. "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования." XI Российский коллоквиум. Тезисы докладов. Самара,1993, с.45.

3 ТИМОШИН М.И. О точечных симметриях ОДУ первого порядка.-В кн. Труды XI Российского коллоквиума. Самара,1993, с.174-180.

3 ТИМОШИН М.И. Касательные симметрии ОДУ второго порядка.- В кн. "Дифференциальные уравнения и их приложения." Саранск 1994, с.157.

4 Тимошин М.И. Касательные симметрии ОДУ//Математическое моделирование, 1995, т. 7, № 5, с.76-77.

5 Тимошин М.И. Непрерывные точечные симметрии ОДУ первого порядка /СГПУ - Деп. ВИНИТИ. № I03-B96 от 10.01.96., 36с.

6 Беркович Л.М., Тимошин М.И. Использование системы компьютерной алгебры REDUCE для нахождения однопараметрических групп Ли обыкновенных дифференциальных уравнений. Труды VI межвузовской научной конференции "Математические модели и краевые задачи", т. 3, Самара, 1996.