Точные границы показателей Ляпунова линейных двумерных систем с ограниченными возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

список обозначений.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Точные границы старшего и младшего характеристических показателей.

§ I, Вспомогательные утверждения.

§ 2. Точные верхняя и нижняя границы множества характеристических показателей.

§ 3. Точные нижняя и верхняя гранивд старшего и мяадшего характеристических показателей.

§ 4. Точные границы характеристических показателей линейных систем с ограниченными вовщщештш одного класса.

ГЛАВА 2. Спектральное множество линейных двумерных систем.

§ I. Лемма о матрице монодромии периодической системы.

§ 2. Спектральное множество периодических систем.

§ 3. Теоремы о спектральном множестве.

Рассматривается семейство всех линейных двумерных систем

X = Alh)X, XeR\ 1>,о, (0.1) с штрицами коэффициентов где M(tü)- множество кусочно-непрерывных матричных функций А ¿/) » принимающих значения из некоторого ограниченного множества СО С Через СО будем также обозначать множество всех постоянных матриц из Pi (СО) . Пусть Xilh) ^ XZ(A) - показатели Ляпунова [7, с. 27; I, с. 17J системы (0.1).

Диссертация посвящена отысканию точных верхней

C*(U))= sup \.(А)

АеМ(со) и нижней границ каждого из показателей fl; (Л ))с=1,1, системы (0.1), а также построению спектрального множества d(v)={(bt(A), к,(А)):АеМ(со)} рассматриваемого семейства систем.

Остановимся на работах, к которым имеет непосредственное отношение рассматриваемая диссертация.

Задача абсолютной устойчивости (см., например, обзор Е.С.Пятницкого [ll] )П. -мерной системы автоматического регулирования х - Ах + 6v(6,t), б = <с,х>, и t- и нелинейностью с постоянными матрицей А , векторами 8 и С ¥(б) ¿) , удовлетворяющей неравенству б ^(б» / Н6? } как было показано в [12], эквивалентна аналогичной задаче для линейной системы х =• Ах, + ßuit)6 при любых измеримых функциях U (éJ, О ^ К у то есть для семейства ti -мерных систем (0.1) с множеством = [ Ái* где flt} fio - некоторые постоянные матрицу. Этим же автором [тз] для множества СОп был получен критерий асимптотической устойчивости всех двумерных систем (0.1) с матрицами

А е ñ(con).

А.Ф.Филипповым [22] рассмотрено семейство систем (0.1) с множеством

ООср - [f. <¿¿A ¿ JLi = i} где

- некоторые постоянные матрицы. Им с помощью правых частей системы

Ф = <Р( A U), г), г/г=R (х, АШ, *), полученной из системы

AU)-xE)g (0.2) переходом к полярным координатам = л COS ^ = ГS¿i7 определены (с точностью до обозначений) множества (Г) * { А е : ± cP(A><f)>o] и функции

RcrJ.v) .- . , R(Z,A,V) s (Xj <f)= sup ф. > i (X,fh Mf .

A 6 «'(« rlA,?) AebJp m T(/i

ТГ эти и некоторые другие аналогичные множества и функции существенно используются в диссертации) и доказан критерий асимптотической устойчивости: для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (0.2) при любых матрицах А е М<сор ) необходимо и достаточно, чтобы множество

Аесо,:}?-пМбВ.1, Ф(А,Ч>)=о, йио} было пустым и выполнялось неравенство гЖ - , \ ) $*(х,<Р)4<р<0 (*,?)€(¥> >0) у

О О если множество СОрСФ) (соответственно 60ф(Ф) ) не пусто при почти всех у0 . При этом величина С^ф) совпадает с нижней гранью %* всех тех вещественных X , для которых система (0.2) асимптотически устойчива при любых штрицах Н.А.Изобовым [б ] для двумерных систем х = Ах +, (о.з) с постоянной матрицей А жорданова вида и ограниченными возмущениями = / ({)!$ £, вычислены все гра (ггах I я«/лг . . ницы Хс- ( Щ (А)) у А/ (п)),£=1,г? характеристических показателей, где СО^(А)= {А +¿2 ' I * £ }. Рассматриваемые в работе [б] сектора собственных векторов матриц А +0. € (¿¿(А) также используются в настоящей диссертации.

Заметим, что семейство систем (0,1) всегда шжно привести к виду (0.3), где матрицы возмущений принимают свои значения из некоторого ограниченного подмножества множества Мг • Отсюда и проистекает название диссертации.

Несомненно, более полную информацию о характеристических показателях семейства систем (0.1) по сравнению с их точными границами дает спектральное множество 6(СО) . Для И -мерной системы (0.1) с непрерывной и ограниченной матрицей А и характеристическими показателями (А)^ • • • ^ Ап (А) М.И.Ра-химбердиевым и Н.Х.Розовым [15] были найдены границы, в которых содержится спектральный вектор Д (Д) = А\п(А)). В работе [ 14 ] тех же авторов для Ц -мерной системы (0.3) с периодическими интегрально малыми в среднем возмущениями указываются возшжные распределения показателей Ляпунова возмущенных систем относительно действительных частей собственных значений матрищ/4 . Н.А.Изобов и Т.Е.Зверева [5 ] для двумерной системы (0.1) с постоянной матрицей А и некоторыми последовательностями моментов {¿с } в которые ее решения подвергаются всевозможным тсннкам-по воротам, построили все множество спектральных векторов. М.М.Феденя Г21] исследовал чувствительность квазиспектра линейной системы с постоянной матрицей к малым возмущениям некоторых классов. х я я

Диссертация состоит из двух глав. В первой главе дяя семейства систем (0.1) с произвольным ограниченным множеством^ выг . тесх х \ . числены границы [19} (СО), А1 (СО) ^ а при некоторых ограничениях на множество СО (не очень существенных; например, в наиболее важном для приложений случае [Т?, 18] СО- СО^(А) с любой матрицей А - без всяких ограничений) вычислены также г .тщ .тах

19/ и границы /)2 (СО), (и)).

Параграф I главы I является вспомогательным: доказанные в нем леммы используются в дальнейшем в качестве аппарата для конструктивных построений и получения основных оценок.

В параграфе 2 сначала устанавливается, что при выполнении неравенства35 X > Р2 (">)), где

Ртах(ш) = SLLP к (А), ртК (А), ¿*х,г, Л * t . /7> так

Ш) = и условия ш*(<?}е (А ем: PcA.V^cjtft, V<PeR\ (0<4) функция У СХ определена при всех fPe R и является непрерывной, периодической по ^ с периодом К и монотонно убывающей по X , а при выполнении неравенства X >?zmqX(UJ) (Х< РГ'П(и})) и условия си~сс?; = [Аесо: ф(А, ч>)<о} , V<eeR , (0.5) функция I (-Х, У)) также определена при всех , является непрерывной, периодической по Ф с периодом Л и монотонно возрастающей по X , где

АесоМ LrCrt>tr/ /\еШ7<Р/

Отметим, что в случае (0= СО<р функции SfCX,(P), £ CX/f) и множества СО±((Р) были определены А.Ф.Филипповым [22/.

Выполнение условия (0.4) ((0.5)) означает существование система (0.1), каждое из решений которой за конечное время совершает полный оборот вокруг начала координат против (по) часовой стрелки.

Z ~Zmtn ^ ./т-глл

Подчеркнем, что величины jt- (си) и (со) есть соответственно нижняя и верхняя границы вещественных частей ^ К' (А) (h * \z (А)} собственных чисел матриц А в Со и могут быть легко вычислены.

Щах

Затем в этом параграфе вычисляются верхняя Л2 (СО ) и \miti нижняя А± (со) границы характеристических показателей:

Теорема 1.2.1, Если выполнены условия (0.4), (0.5), то . так

А2 (со) есть наибольший из корней уравнений хл л

S S+(Z; (f)dCf~ О , (0.6) О

L"(X>if)c((f= О , (0.7) теп а Л1 (со) - наименьший из корней уравнений f ¿+(z,<e)d<e^ о, (о.8) я

J S'(Xi4))c(<e = О. (0.9) о

Если же выполнено условие (0.4) ((0.5)), а условие (0.5) ((0.4)) т<гх не выполнено, то Л2 (&) есть корень уравнения (0.6) ((0.7)), I а Ai (ш) - корень уравнения (0.8) ((0.9)). Во всех остальных так imin omit* случаях имеют место равенства Аг (^)~JZ (¿о),А± (со)~Ух

1тл* \

Заметим, что алгоритм вычисления величины Лz (&>) у по сути дела,такой же, как и у А.Ф.Филиппова ¿22].

Параграф 3 посвящен отысканию границ (oo)>Az Как и в предыдущем параграфе, существенную роль здесь играют условия (0.4), (0.5). Имеет место следующая

Теорема 1,3,1, Если выполнено хотя бы одно из условий (0,4), Wtrt 1 г г А Iталг I кглх

0,5), то fyz ((А)) = х С/Ц ->ря? (ео). Если же ни одно из условий (0,4), (0,5) не выполнено, а выполнено хотя бы одно из условий35

R1: ф(А,Ч>) = 0, vAecü}-0, (o.io)

K(.A)<h(A),VAefi, (о.и) й Невыполнение условия (0,10) означает существование преобразования подобия, приводящего все матрицы из ш к треугольному виду. таг п71'и ^ \тах, , птсех

ТО Л £ (СО)*^ (СО).

В параграфе 4 рассматривается [17-1в] семейство систем (0.1) (или (0.3)) с конкретным 00 = Ш^сА), где, в отличие от/"б/, А - произвольная матрица из /^¡¿(Н) . Доказаны теоремы, конкретизирующие и усиливающие теоремы 1.2.1, 1.3.1; через элементы матрицы А и параметр $ вычислены функции 3±(Х>(Р) ,

• + / ■)/ /л» Г) ч л ж ¿п ✓А . и величины (СО), У; (со ), * = 1,2 , с поющью которых и определяются все границы характеристических показателей. Подчеркнем, что в этом важном для приложений случае они вычислены для любого §>0 и, как уже отмечалось выше, без всяких ограничений на множество Щ (А) .

В главе П изучается [20] спектральное множество 6 (со) семейства систем (0.1). При этом обнаружилось, что структура множества 6>(со) существенно зависит от структуры спектральных множеств б, (ш) -- [(А)): А е /1рШ] соответственно стационарных и периодических систем (0.1), где /Чр(со) множество всех периодических матриц из А1(ш) (содержащее, о чем условимся, и множество СО постоянных матриц). Поэтому первые два параграфа этой главы посвящены изучению периодических систем.

Параграф I содержит специальные леммы о матрице шнодромии

2, с. 183; 3, с. 68; 23, с. 82 ] периодической системы, используемые для доказательства всех теорем о спектральных множествах брНо) и есм) .

Параграф 2 посвящен построению замыкания &р (<*>) спектрального множества периодических систем. Как и при вычислении точных границ каждого из показателей в предыдущей главе, структура множества ) существенно зависит от условий (0.4), (0.5). Имеют место следующие теоремы:

Теорема 2.2.1. Если ни одно из условий (0.4), (0.5) не выполнено, а выполнено хотя бы одно из условий (0.10), (0.11), то справедливо равенство б'р (со) ~ ос (со).

Теорема 2.2.2. Если выполнено хотя бы одно из условий (0.4), (0.5), то бр (со) ={ \г ) : , Лд СО$р + 57/7^ <: тах $ (¡¿пр - СОвр) Аг (СО^)> £ € (Я/4 , Г*/*)}, где со^ =г [А+Е : Аеоо].

В параграфе 3, исходя из вида множества ёР(СО) , строится множество & (со) . Для этого вводятся обозначения б'(со)- + ^бР(со^1в[ол}> б'(со) = [л (\Х) )+(1-4)1^ (СО), Хг): (\,Х)е 6р (СО), и затем доказываются следующие теоремы:

Теореш 2.3.1. Если ни одно из условий (0.4), (0.5) не выполнено, а выполнено хотя бы одно из условий (0.10), (0.11), то имеют место включения б (си) С б (си )с б (ш),

Теореш 2.3.2. Если ни одно из условий (0.4), (0.5) не выполнено, а выполнено условие (0.11),то справедливо равенство

Теореш 2.3.3. Если выполнено хотя бы одно из условий (0.4), (0.5), то справедливо равенство

6(и»= б (со).

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Для семейства всех линейных двумерных систем с кусочно-непрерывными матрицами коэффициентов, принимающими свои значения из некоторого ограниченного подмножества множества всех постоянных вещественных квадратных матриц второго порядка, вычислены точная верхняя и нижняя границы соответственно старшего и младшего показателей Ляпунова;

2. При ограничениях, исключающих из рассмотрения случай, когда все системы из указанного в п. I семейства имеют специальный треугольный вид, вычислены также точные нижняя и верхняя гранипд соответственно старшего и младшего показателей Ляпунова;

3. Для семейства линейных двумерных систем с кусочно-непрерывными матрицами коэффициентов, принимающими свои значения из множества всевозможных штриц, мэдули разностей коэффициентов которых и соответствующих коэффициентов некоторой произвольной постоянной матрицы не превосходят положительного параметра, вычислены точные верхняя и нижняя гранищ каждого из характеристических показателей при любом значении этого параметра;

4. Дня семейства систем, описанного в п. I, и ограничениях, указанных в п. 2, построено замыкание спектрального множества периодических систем-множества всевозможных двумерных векторов, координатами которых являются соответственно младший и старший показатели периодической системы;

5. Для семейства систем, описанного в п. I, и при указанных в п. 2, а также некоторых дополнительных ограничениях построено спектральное множество - множество всевозможных двумерных векторов, координатами которых являются соответственно младтпий и старший показатели системы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете, на Шнеком городском семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям и на семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Института математики АН БССР.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах £17-20].

включение

Но в этом случае утверждение теоремы очевидно.

Рассмотрим теперь случай, когда предположение относительно существования векторов Л ) %не выполняется. Тогда найдутся векторы

Г- (К , такие, что справедливы следующие условия: Л* 5 Дг * Дг - Р ^ /I

2) \ г\а) ] ^ ти> ие условия: Ал се> х<е> в=1,2 . Из леммы 2.1.2 сл иV

Г 1С/ Г (Г/ п± * . Из леммы 2.1.2 следует существование последовательностей матриц [Д- ^}г=:( ) ^ £ с периодами

Ъ > 0 соответственно, таких, что имеют место равенства е,т МАЛ-У , а матрицы монодромии систем (1.0.1) с А-ЛГ имеют один общий собственный вектор И , отвечающий соответственно собственным значениям СХР g (A;**) Tf*'} > CPJ

Обозначим через xt- tf,^) решение систеш (1.0.1) с А = Ai%l>t,i>ATS. начальным вектором £ . Тогда для некоторых чисел di >0 ; при всех будут выполняться неравенства in // K,"'WH/ltflli d, f (тахЬг , fto, (2.3.20)

EnIIi/%hWI/hll$ I-1 (max\}e(А'е')*Г)i . (2.3.21)

Последовательно на промежутках положительной длины построим матрицу А € А1(ш) » Для которой имеет место равенство )\(А)=А, Выберем какой-либо вектор ¡г , не коллинеарный вектору h » и на промежутке, где матрица АШ уже определена, через xaitf)t xc2,(j) будем обозначать решения систеш (1.0.1) с матрицей/^/' и соответственно с начальными векторами h и k .

На промежутке О ), где - О} it = {0 + Щх Т^ положим выберем настолько большим, чтобы выполнялось неравенство С & их'%;// - hz (С) I* '

На промежутке [¿Xt ¿z ) где iz " ¿i U положим Atih х^выберем настолько большим, чтобы выполнялось неравенство

На промежутке £¿¿/-2, ¿zi-i)? , где ia-i = ¿21-2

2) f I £ *

U) положим А(Н* А; (¿-¿21-2) и т; б Ж выберем настолько большим, чтобы выполнялись условия (2.3.6), (2.3.7) и неравенство С, Ы (А?) I ± (2.3.22)

На промежутке [, где /.г/ = ¿¿¿-л + Г; ^ положим Аи) = А!' (¿-¿а-х) и П.1бЖ выберем настолько большим, чтобы выполнялись условия (2.3.6), (2.3.7) и неравенство

С епН£"'(Ъ)Ц- Хг (А"')1 * (2.3.23)

Продолжая этот процесс по индукции, построим всю матрицу А

Из неравенств (2.3.22), (2.3.23) следует, что показатель решения Xхне меньше числа \к , * = . Учитывая неравенства (2.3.20), (2.3.19) и условия (2.3.6), (2.3.7),для ; получим:

Г 1п11г("(Щ/цхе"(0)11 = ¿'Уп 11x4/1 Ц/Цх '%,)Ц* Гх[г * тах *«) < тах (\з е (/!'*% ¿"'){¿г; - +

I i

4ШХ + * (ш<-1)2(т, 1а1 П,т5 мах Г [и. *

Ь" л« так (\г ~ ) + " У/ л таг ' откуда следует, что показатель решения Х-^бб) Не превосходит а показатель решения X не превосходит числа Дг , таким образом равенство доказано. Теорема 2.3.3 доказана.

Для каждого £ € Н*> у3 ^ ^ ^ 171 € ^, определим отображение следующим образом:

Л*(А)= А + Всоу с05./у1 $рА, А6 /V/?;.

В силу линейности отображения Ар замкнутая выпуклая оболочка множества Л в (&>) совпадает с множеством Л ¿(СО) . А тогда из леммы 1.2.3 и теорем 1.2.1, 2.2.1, 2.2.2 вытекает следующая ТЕОРЕМА. 2.3.4. Если условие (1.1.6) не выполнено, либо выполнены условие (1.1.6) и хотя бы одно из условий (1.1.7), (1.1.8), то справедливо равенство бр (со) - 6>р (ел). В свою очередь из теорем 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4 следует ТЕОРЕМА. 2.3.5. Если условие (1.1.6) не выполнено, либо выполнены условия (1.1.6) и (1.1.8), то справедливо равенство ^ (СО) = & (со).

1. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. - М.: Наука, 1969. - 576 с.

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.~ М.: Наука, 1967. 472 с.

3. Ерушн Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн.: Изд-во АН БССР, 1963. - 272 с.

4. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Математический анализ (Итоги науки и техники). М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974, т. 12, с. 71-146.

5. Изобов H.A., Зверева Т.Е. Спектр характеристических показателей двумерной стационарной системы при возгдтщениях-поворотах. Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, Ш II, с. 1965-1977.

6. Изобов H.A. О точных границах характеристических показателей двумерных линейных систем с ограниченными возмущениями. -Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 5, с. 767-772.

7. Ляпунов A.M. Собрание сочинений: В 6-ти т. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - Т. 2. 473 с.

8. Миллионщиков В.М. О неустойчивости характеристических показателей статистически правильных систем. Шт. заметки, 1967, т. 2, В 3, с. 315-318.

9. Миллионщиков В.М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы. Шт. заметки, 1968, т. 4, Ш 2, с. 173-180.

10. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем. Сиб. шт. журн., 1969, т. 10, № I, с. 99-104.

11. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, 1968, № 6, с. 5-36.

12. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем. Автоматика и телемеханика, 1970, № I,с. 5-15.

13. Пятницкий Е.С. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем второго порядка с одним нелинейным нестационарным элементом. Автоматика и телемеханика, 1971, № I, с. 5-16.

14. Рахимбердиев М.И., Розов Н.Х. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, В 9, с. I7I0-I7I4.

15. Рахимбердиев М.И., Розов Н.Х. О локализации спектра линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Изв.

16. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1980, В I, с. 73-76.

17. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 443 с.

18. Сурков А.Г. Точные верхняя и нижняя границы характеристических показателей двумерной системы с ограниченными возмущениями. Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № 9, с. I534-I54I.

19. Сурков А.Г. Точные нижняя и верхняя границы старшего и младшего характеристических показателей двумерной системы с ограниченными возмущениями. Дифференц. уравнения, 1983,т. 19, 16 12, с. 2065-2071.

20. Сурков А.Г. Точные границы характеристических показателей линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями. Дифференц. уравнения, 1984, т. 20, № 5, с. 792-797.

21. Сурков А.Г. О спектральном множестве линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями. Мн., 1984. - 43 с. (Препринт / Ин-т математики АН БССР: № 22 (207)).

22. Феденя М.М. Об экстремальном возмущении квазихарактеристических чисел и квазицультипликаторов.-Вестн. Белорус, ун-та. Сер. I. физика, матештика и механика, 1981, № I, с. 49-52.

23. Филиппов А.Ф. Условия устойчивости однородных систем с произвольными переключениями режимов. Автоматика и телемеханика, 1980, № 8, с. 48-55.

24. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.-М.: Наука, 1972. 718 с.