Топологические методы теории регулярных операторов в пространствах Канторовича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

-МИНИСТЕРСТВО ПЛУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ СО РАИ

РГ5 ОЛ

Па правах рукописи

ШАМАЕВ Иван Иванович

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ КАНТОРОВИЧА

01.01 01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ днг<рртацпн на гпигнанир умений гт^пгии локторя

фиткочятгмягичесни* ляук

ЛШШГСГЕРСТПО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИГИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С.О РАН

На правах рукописи

«и лмдГц Иван Иванович

УДЛ Э! 1 "п

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ КАНТОРОВИЧА

01.01.01. ■ математический анализ

АПТОРПФЕРЛТ диссертации на соискание ученой степени доктора

физико-матгматических наук

Работа выполнена в

Якутском государственном университете им. М, К. Аимосова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А, Г. Кусраев, доктор физико-математических наук, профессор Ю. Э.Линке доктор физико-математических наук, профессор В.Д.Степанов

Ведущая организация; Воронежский государственный университет

Защита диссертации состоится "'__.. 1995 года

в х2_ часов на заседании специализированного Совета Д 002. 23.02 при Институте Математики СО РАЙ по адресу: 630090. г. Новосибирск, 90, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМ СО РАН. Автореферат разослан '' 1993 г

Ученый секретарь специализированного Совета, доктор физико-математических наук ДМ/"") • В. А. Шарафутдшюц

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Состояние вопроса и актуальность тепы. Новый отсчеч времен» в развитии теории упорядоченных пространств, основа которой была заложена в трудах Л.В.Канторовича, Ф. Рпсеа. М.Г.Крей-на, А. Заанена, начался после публикации М. Стоуном п 1935 году теоремы о реализации полной булевой алгебры как алгооры псох открыто-замкнутых подмножеств некоторого экст11Рмалшо несвязного компакта Л/. Значение теоремы Стоуна, область применения «пторой 11ЦОсгираС7СЯ ПТ СР«?» м»г«ыа 1 ичьониП Р." яис.ип-

матики квантовой механики, трудно переоценить. И теории упоря доченных пространств это открытие позволило реализовать векТорные решетки в виде пространства непрерывных функций и стало не только мощным инструментом изучения упорядоченных пространств, но и неразрывной частью самой теории. Методология исследования векторных решеток и булевых алгебр с помощью их стоу-(ФВских компактов, заложенные в трулах Дж. Келли. Д. Магарам, А. I . Пинскера, X. Диксмье, Р. Сикорского, были развиты 3.'Г. Дика-новой, Д. А. Владимировым, И. Райтом, К. Маттесом.

В разработке теории регулярных операторов приняли участие ленинградская ( Г. Н. Лкилор, А. В. Бухвалов, А. 1!. ГСвкслер, Б. 3. Ву-лнх, Г. Я. Лозановский, Б.М.Макаров), японская ( И. Амемия, Т. Лило. К. Носила. С. Кпкутанн. X. Накяно). голландская (А. Заа-иец, В. Люксембург, А.Иепп, Б. де Цаггер), ткОингенская (X. Шеф-фер, В. Арендт), новосибирская (В. Б. Коротков, А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе, В. Д. Степанов), воронежская ( П. П. Забрейко, И. Г. Красносельский, Е.И.Семенов) школы по теории операторов и упорядоченных пространств, а также такие математики как С. Али-ирантис п 0. Буркпниоу, А. Ионеску-Тулчеа, С. Ионеску-Тулчеа,

X. Лотц, А. Нелчинский. Д. Фремлнн и др.

В совокупности работ этих авторов, охватывающей йось разнообразнейший спектр задач теории операторов, оыдц гдзенти самые разные методы исследования формулируемые в основном на внутреннем языке, описывающем как само пространство операторов и его элементов, так и упорядоченное пространство на катаром' действуют эти операторы.'

Эффективность топологического подхода в решении задач теории операторов впервые была показана на следующем примере из теории распространения положительных операторов. В связи с известной теоремой Л. В.Канторовича о существовании распространения положительного оператора /2/, Р.Сикорским в 1964 г. была сформулирована проблема: существует ли булава алгебра, обладающая свойством слаоой продолжаемости , но не являющаяся слабо с -дистрибутивной. Этот интересный круг задач, синтезирующий идеи алгебры и функционального анализа, представленный работами К. Маттвса, В. Райта, Д. Фремлина и самого Р. Сикорскаго, был завершая решением вышеупомянутой проблемы Р. Сикорекого М.Райтом, который Сил воспринят как успех топологических методов исследования ( Терла, Флаксмайер /3/).

Еще в середине 70-х годов была поставлена проблема Акнло-ьа-Кутателадзе об описании стоуновского компакта /('Пространства всех регулярных операторов действующих между заданными к-пространствами /А/. Значительным шагом в решении этой задачи является теорема о разложении порядково-непрерывного оператора действующего па идеала измеримых функций стандартного измеримого пространства па три дизъюнктные составляющие. Эта теорема являющаяся продолжением большого цикла, включая статьи Л- Ду-оинса-Л. Фридмана /5/, А. Соурура /б/, Л.Вайса /7/, Н. Кэлтона /в/ и основанная на использовании техники ' - компактных метрн-

ческих пространств и сепарабелышх измеримых пространств нашла применение в исследовании самых различных вопросов теории регулярных операторов. -----------------------------------------

Исходным пунктом этого этапа структурной теории регулярных операторов явилась теорема Соурура о так называемом ядерном представлении порядково-непрерывного оператора (восходит к понятию псевлоинтегралыюго оператора, введенного Р Арвеооном /9/), и теорема Дубинса-Фридмана об измеримости чиера гора рл:з-ложрпнч upp- этих идей нашли II. Кэлтои.

которыП обобщил теорему С. Кмаеяя >> пиниаi^ua,

действующего из ь в ь , а также теорему Т. Старбнрда-И. Энфло

о о

о примарности (если h^ х 9 у, то х или y »i.f), а также Л. Barte, применивший теорему о разложении в теории линейных уравнений переноса и обобщил результат Д. Оогрлина о мерах, заданных на локально-компактных группах.

Исследования по теории решеточио-упорялоченных алгебр бн-ли начаты Б. 3. Вулнхом в 1940 г /1!/. Дальнейшие исследования по теории решеточно-упорядочешшх алгебр, проведенные Бпркго-фом и Пирсом, также посвящены в основном коммутативному аспекту теории /12/.Ими был введен класс /-алгебр и доказана теорема о коммутативности этих алгебр. Абстрактные характеристики реализационного умножения в векторных решетках получил А. И. Веке лор /13/.

Топологические методы позволяют развить достлочни сильный математический аппарат, с помощью которого удается обобщить структурную теорию регулярных оператороп на случай любых пространств Канторовича, а такте решить ряд задач теории операторов п функциональных пространствах. Поэтому данная работа, главной целью которой является разработка топологических метопов теории регулярных операторов, представляется актуальной.

Цель работы. Предложить и изучить моголы, позволяющие исследовать порядково-алгебраическую структуру пространства регулярных операторов, действующих в упорядоченных векторных решетках.

Основная методика исследования. В работе развивается топологический метод исследования структурных и порядково-алге-браических свойств регулярных операторов действующих в пространствах Канторовича. При этом используются классические методы теории меры, векторных решеток, решеточно-упорядоченных алгебр, операторов, действующих в Функциональных пространствах.

Научная новизна п практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построена структурная теория пространства регулярных операторов. При этом получоио разложение на три дизъюнктные конгюиантк стоуновского компакта А'-пространства всех регулярных операторов, проблема описания которого была поставлена Г. II. Акиловим ц С. С. Кутателадзе.

2. Дано разложение положительного оператора атомического типа а виде ряда суммы решеточных гомоморфизмов, являющееся' обобщением теоремы Кэлтона-Вайса.

3. Теорема Вайса об интегралыюсти произвольного оператора диффузионного типа на подходящей о-подрешетке обощена на случай произвольных измеримых пространств.

4. Построена теория представления решеточно- упорядоченных алгебр. Введены и изучены свойства абстрактных ортоморфизмов и гомоморфизмов решеточно-упорядоченных алгебр.

5. Доказана эквивалентность свойств Д. Ф. Егорова, счетного распространения оператора и счетного распространения меры. По-

лучена топологическая . характеристика стоуиовского компакта «•^-пространств. обладающих этим свойством.

6. Решена задача АгГ. Кусрлева-о--суиествоваши: оператора лизыснктного всем интегральным операторам, гомплор;[.пз:и'.ы и операторам Магэрам.

7. Получена оценка нории оператора взвевонного с дни г;«, дейстнуияего из Lp в

¡i V

8. Получена оценка расстояния «луду aji0jjaic>wt-:;i оОиОЩнп-

::crn f-nmii ri U ii.iii,. ..... "^тотагаш!, УСИЛИВЗК'ВДЯ 1! ОбоОЧЭ-

ющая оценку Халмоша-Сандера, p-i> . i..,,,,.,^ ...с:;:;;у -»«^топяич умножения и интегральными операторами /1-1/.

Все основные результаты диссертации яплям-я новыми и применяются в теории операторов в функциональных пространствах. Метода данной работы могут быть использованы при решении прикладных задач.

Агробация работы. Результаты диссертации д'жллднвпли^ь на семинарах Отдела функционального анализа UM СО АН СССР, в школе по теории операторов и функниолалышх пространствах 'Минск, 1982), в vil цда-ле по теории операторов в функцией.-) чмп«х пространствах (Минск, 1982), на vi 11 акол<- по т>'о:чгл одораторов в функциональных пространства:: <vPiira. 19;;.:'). пт ci-ипнаре по математической Физик- yimpejvinwra им. Карла Маркса (Лейпциг. 198В}.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы п работах /26-42/.

ОС'Ьом и структура juiccepiainr:. Дисе-ттацпч ичя«-.. »¡ но 213 страницах и состоит »:* тппття, г лап и списка лите-

ратуры па 247 нзпменонашш.

Глава 1.

В этой главе собраны и доказаны вспомогательные сведения из теории мер на стоуновских компактах, векторных решеток и решеточных гомоморфизмов.

В первом параграфе этой главы доказаны технические факты о мерах, заданных на экстремально-несвязных компактных пространствах, некоторые из которых могут иметь самостоятельное значение. Сформулируем один из них. Пусть и такая регулярная Оорелевская мера на экстремально-несвязном компакте 0, что ее сужение на полную булеву алгебру н(Й) всех открыто-замкнутых подмножеств Я строго положительно и порядково-непрерывно, \> - произвольная оорелавская мера на 0. Пусть - сингулярная составляющая »> относительно у.

Теорема 1. Для произвольного е>0 существует Ро б {/(0) та-

кой, что

\>"(р) >>(р Л ро) * Е,

для всех р е

Во втором параграфе дается описание этого свойства слабой б -дистрибутивности счетного вида векторной решетки с точки зрения стоуновского компакта данной векторной решетки.

Теорема 2. Для к -пространства X следующие условия эквивалентны:

и) х обладает свойством слабой б-дистрибутивности счетного вида;

(¿¿} X обладает свойством Д.Ф.Егорова;

(Щ) х обладает условным свойством, подвешенной диагонали ;

(XV) в стоуновском компакте о главного идеала х всякую

и У

последовательность нигде не плотных замкнутых множеств типе g

У

можно погрузить в одно нигде но плотное множество типа с: .

13 л ретьем" па1)^гра(Ге~гтг):!пол!,тоя---характорнст11ка__конечньгх сумм рошеточных гомоморфнчг'он, отличная от хзракистики данной С. Берна*/, С. Хьюпсманом и В, до Питороп.

Теорема 3. ЛкОая конечная ^уммя гопоксрфизмсп ил к у ;-' есть jioKii.nbii'jn гомоморфизм.

Глава посвящена систем.»гочкскоиу цзуче.шм s.....«.очко-упорядоченных алгеор и их представлений п виде упорядоченных алгебр регулярных операторов.

Начнем с описания результатов первого параграфа. Пусть X есть решеточно-упорядоченнов кольцо с кольцевой единицей 1, яв п яюесося полохьтол'ьпым ол"!.;енто!:.

Предложение. î.ii:охеп W ъсо:: -л.'оь гон Л' г< m

порядка, пндуцппои.-'.нь''!,.; г,:; X, оГо.'зуо оу-о;./ а я, ,::);<■/, Предложение. Если coui. а, в в X. то

Я ( .4 V Б) .Ol л) V огв>;

(а у б)я ' {ал : v käli ; .

( Л Л з » л -- . Л Л ) д ' .5 г, .

;iUi - 1ял! . - .

Следующее предложение обобщает Формулу де Пагтерл,

нонлвшг.'!'! для оь'о'р.этогпях алгебр п юн/чае д » в / !5/.

Предложение. Длл лопых г. <j s .у к л, в t ,v' o;i равенства :

(РЛ) л сов; ■- ;Р л с^ i/< л ßj; <ДР) л (3<?> - (Л л В) (Р л р).

(О ( 'i t (3)

усча-

(6) (?)

Q

В дальнейшем х обозначает произвольную рейетечйо-упоря-дочзиную алгебру с алгебраической единицей lex*.

Определение !. Элемент яех называется (ограниченным) абстрактним ортоморфизмом, если (существует число л>о такое, что |л i <лi ) л б {1}аа■

Множество всех абстрактных (ограниченных) ортоморфизмов X обозначим (Orth х) Orth X.

О

Определение 2. Элемент тех* называется абстрактным левым гомоморфизмом, кратко а!-гомоморфизмом (абстрактным правым гомоморфизмом, кратко аг-гомоморфизмом),если для любого sex* такого, что o<s<t существует я е £ такой, что о<яи и s -ят (s-гл).

В следующем предложении пункт (iii) есть абстрактный вариант алгебраического описания гомоморфизма С. С. Кутателадзе /16/.

Предложение. Справедливы следующие утверждения:

(i) любой абстрактный ортоморфизм я есть al-гомоморфизм;

Ш) любой al-гомоморфизм г есть экран;

(iii) если т есть а1-гомоморфизм, о < s < т. где sex, то s есть а.г-гомоморфизм;

(iv) « т п т п есть al-гомоморфизм, если г есть al-гомоморфизм, я е

Теорема 4. Если г | Г, где ; (i е т) есть сеть ai-ro-моморфпзмов, то г есть al-гомоморфизм.

Второй параграф посвящен представлению, решетачно-упорядо-ченных алгебр порожденных абстрактными гомоморфизмами.

Пусть х есть реыеточно-упорядоченная алгебра, f ■■ к-про-странство. Обозначим i тождественный оператор f на себя, s-т -суперпозицию s, т е i°(F).

Определенно 3. Порядково-непрерывный изоморфизм векторных

решеток А;х -♦ L°(F) называется представлением х над г. если i-X и а(аз)'Л-в для любых а. в е х.

Определение 4. Прелстаплетто"'Л:х~-*г--называется идеаль-___ ним, если обра:; х ость порядковый и,"."пл r,°iF"i.

В дальнейшем всюду Л' обозначал' полную решет очно - упорядоченную алгебру с условием порядковой непрерывности произведения и с алгебраической единицей i <= Л'*; F eO'raiwnwr множество Orth^X вссх ограниченных абстрактных ортоморфизмов х, W - нол-

пуг «у.попу яцгнйцу ьсел .V. Hl HIMI» 4СЛ CjAwi»

называть идеальной подалгеброй х. если z есть порядковый идеал Х- Множество всех al-гомоморфизмов х будем обозначать через al-Hom X. Линейную оболочку ai-Ho.n X обозначим Н(Х¡.

Определение 5. Полугруппа а aJ-гомоморфпзмов х называется (сильно) марковской, если i е а и для любого ненулевого т е

al~Hom х существует единственная пара (n.Si такая, что s е Я, (лея), тт € ort!i х и р -р -Р и T-US,

п S т

Теорема 5. Если в Л' каждый экран есть а!-гомоморфизм и существует сптп.гп марковская полугруппа а1 -гомоморфизмов, то идеальная подалгебра п(х) идеальна представила нал е.

В параграфе 3 дани применение одномерного элемента реше-топно- у иорядопеппоА апг°брн в ео представлении. Понятие одномерного еломента оыло введено fi. Очшачкп л / 17/. Ключевой идеей доказательства теоремы о представлении оказалось применение понятий элементарного и простого осколков регулярного оператора, введенных до Напором /15/. 11м оыло доказано, что при наличии некоторых условна, булева алгебра всех простых осколков положительного оператора т порождает a-a.ni сору всех осколков данного оператора. Потом эта теорема уточнялась С. Алппрантисом

и О. Бурклнчоу. 3 гораздо солее общей форме эта теорема была установлена А. Г. Кусраепим и Ь. 3. Стрижевеким /18/.

Пусть х - полная ресетачно-упсрядоченная Алгебра с условием порядковой непрерывности произведения и единицей 1>о. ь°(е) - множество всех псрядково-непреривных эндоморфизмов е, е° - множество всех порядково-непрерывных линейных функционалов на Для ?>о обозначим через а полную булеву алгебру всех ссколков т, т.е. таких элементов А^о, что А л (г-А)»о.

Определение 6. Каждый элемент вида рто. где р,о ем,

называется элементарным. Каждый элемент вида эир " г, где

I -1

т - элементарны, называется простым.

Эти определения являются абстрактными вариантами соответствующих определений введенных до Пагтером для операторов /15, 17/. Обозначим через еи множество всех элементарных и простых осколков

Кг) - { а б х: существует \>о такой, что }а(<л27,

т. е. 1(т) -главный идеал х, порожденный т. Если м с то мр

обозначает о-подалгебру в^, порожденную м, Для и с х пусть й

м -{Л е и: А>о;. "

Сформулируем основной результат этого параграфа.. Теорема 6. Чтобы для данного одномерного элемента г е х® существовал порядковый алгебраический изоморфизм (£),

удовлетворяющий следующим условиям:

Ш г - одномерный элемент х,°(в) вида <р 0 у, где у е Ф е Е° и вирр (|>- £Црр у - й. 4

(■¿-О л - Г(Г).

необходимо и достаточно, чтобы т#г>о для всех а е и и

(»1 ) -В .

г Т <7 Т

Глава 3.

В главе развиваатся теория распространения imnnv.i г>.>>;ьи'х операторов с помойью*топологических- методов, _ссиоьн ::<•:.>р.<Л были зало*^ни Р Г tin он. Результаты иерыи iîbvx iv. и : . > •!» ::pmv whh в lecpmi распространит«! векторных мер, чю oooiuiiii-ло содержании третьего параграфа главы.

In■!!■.:а; ;:ара; риф пил-ы i:oc ьяи.>'П vvtihop "^н'Ч" условии

суаостзования счетного расарост; ки-ния ..¡:- ; ••»

1> —-топома: - пространство г обладает свойством распространит.....г--"-» м .¿Г",

когда £ слабо e-дистрибутивно. Во многих вопросах теории операторов и мер полезно иметь, в известном смысле, конструктивный способ распространения, т. е. счетное распространение. Известная теорема JI. В. Канторовича о распространении оператора, которая, кстати говоря, является предтечей всех теорем о распространении положительных операторов и иск п.рнп ;>••»>■> гочно-аначных мор с сохранением б -н«пр<"рмвности, оолэл.ич ..¡и достоинством. но доказана только дня опора торив со »'¡ониями в регулярных к-пространо гвах. Здггь ноы.чано. чи> яи

К -пространство ОПЛАД-МЧ свойством С ЯЛ ООЙ е - ЛИС i Г ИОVTHBHoC г» с

счетного вила, то оно оелала.-т свой»'!»- м .¡чсиют р.« г

нопнл сп°рятлра.

Но Blopi-м пара i рафе (.»или Г с Я ш>НЯ t Кг Д(,Д>Ч' пнлоьа р .< траненпя положительного оператора и изучаются у -;! !.;и, п( и которых это распространение возможно. Дедекиндово распространение оператора является операторным аналогом лебегавского расширения мери и поит ому здесь речь плот но cyan i »•; с и«.', :î:i ково-непрерывном распространении положительного оператора. С

солеи об-доЛ точки зраиия аналогичный вопрос был изучен Г. И. Акилоьым. Е. Б. Колесниковым п А. Г. Кусраевым в статье /20/.

Центральным результатом параграфа является следующая теорема.

Теорема 7. Для Л'-проетранства у следующие утверждения эквивалентны:

и) У обладает свойством дедакнндова распространения оператора:

(И) для любого к^-пространства х, любой строго положительный линейный порядковс с-непрерывный оператор 1:х У порядком непрерывен;

(Ш) У счетного типа;

(.¿у) для любого к - пространства х. положительного линейного порядково о -непрерывного оператора их •» У. если х - {х е 1*1) -о}, о:к - х/хг каноническая гомоморфизм,-Хд (в(х)) *1{х) для любого х е х. то пара (х/х^,1д) является дедекиндовьм распространением пары (х,I).

В этой теореме доказательство опирается ка гипотезе-контпнуум.

Третий параграф посвящен применению результатов двух предыдущих а теории распространения векторнорешаточнозначных мер. Здесь введены понятия счетного и дедекиндова распространения мер со значениями в векторных решетках, аналогичные соответствующим понятиям для операторов, а также свойства счетного и дедекиндова распространения мер для к - пространств,

Основным из результатов этого параграфа является:

Теорема 8. Для к^-пространства У с сильной порядковой единицей следующие условия эквивалентны: \

(л) У обладает свойством счетного распространения оператора ; \

(ii) У обладает свойством счетного распространения меры;

(iii) стоуновский компакт К^-пространства у обладает ..свойствоы погружения бэровского гояого множества в замкнуто«

нигде не плотное множество типа g.; ~ — ------------

о

(iv) стоуновский компакт К -iipyrtMiicriio у обладает свойством погружения в-тощего множеств.-, а замкнут ос ангдо не клгт-

ное множество типа :

Ù

(v) V обладает свойством слаб он о дпстркоу iii;ai<>'"i п счс-г-ного вида.

> v oojidiiu^è -сс'гт""" <чк>тнии »«»« im.^::::"' ««плкскпа

меры ira компакте.

Теорема 9. Для х-простраиства у следующие условия эквивалентны :

(i) у обладает свойством дедекиндова распространения меры;

(ii) для любой о -полной булевой алгебры л, мери т:4 ■* У из строгой положительности к на следует порядковая непрерывность и;

(iii) г счетного типа;

(iv) ДЛЯ ЛЮООЙ О -ПОЛНОЙ оу Ч<»Ы>Й й ЯП'ОУ'7 rl. I.U4-II m'.si -> Y, если А = СА € я; тА=0}, 0.,1 - \'А -аноппче''

тд(0(А))=тА для любого л е J, тс mp.i ,!„,-"'о кшшоыш распрос i ранением парк '

141 гомоморфизм, яилчеюя деле-

Глава 4.

В результате чикла раоот Л. ДуОяпса - Д. Фригаыпа по разложению семейе г ва мер /!>/. Л. ''••ур-р» <■< ¡:\yn,ni',ui,"r{'-!ii;.4,i:< операторах /С/ п Л. R'firn о рпг(г.«т«нип поряакопо- непрерьшин:; онорл • торов /7/ он ко покаьано, " ;е г.к><>6 потохца-льнш! 1:е;.>ш.<»во-»<з-

прерывный оператор, действующий в идеальных пространствах функций на сепарабельных пространствах с мерой, можно разложить на три дизьюнктные составляющие: интегральную, диффузионно-сингулярную и атомическую части.

В данной главе дается обобщение этих и связанных с ними понятий для произвольных к-пространств и доказано существование разложения регулярного оператора. Отметим, что основным инструментом доказательства существования разложения регулярного оператора служит стоуновский компакт х-пространство значений данного оператора.

§1. Если допустить, что е и f векторные решетки функций над стандартными измеримыми пространствами (х,а, и) и (.У, В, -»> соответственно, то каждый порядково - непрерывный оператор т:е -> F может быть представлен как

Tilt) - / { dit, <t)

где {<>c}ttiv семейство мер на (х,я). а равенство (1) выполнено почти для всех t € Y. Теперь характеризация операторов производится, естественно, по типу семейства мер {*>tJ< т.е. если "для почти всех" t е у мера атомическая, то т является

оператором атомического типа. Отметим, что представление (1) основано на конструкцию А. Соурура, которая существенно опирается на сепарабельность (х.3,ц).

Возникает естественный вопрос - имеет ли место аналогич--пая типизация регулярных операторов, действующих в произвольных х-пространствах? Будет ли эта типизация эффективным инструментом изучения общей структуры пространства регулярных операторов ?

Теперь предположим, что Е и г порядковые идеалы расширенных х-пространств с (П) и с (й) соответственно, где I! к 1 -

экстремальные- компакты без изолироаанных точек, т: е - f - регулярный оператор. Тогла

Тх(t) ' í X d»(t,Г).

--- _______ _________ _____________________а_____

для всех х е с(й), где {*{t,r)} сеиоПство боролгвсквх'иор—сп-ределенное за исключением некоtoporo нсгд» не плотного г,apon ского множества. Значит, типизацию операторов можно производить с псмоаьп соответствующих семейств мер; т мзиваотс.! они-ритором типа о, если. x)(t,rj является Оореледской о-морои на Й для всех te Д \К, где к - множество первой категории. Здесь

С'Д.-^Г/Í, =\ Hiiluubo --"""»тгтямини imi<,iKu«L.J*

сингулярный, диффузионно-сингулярный, диффузионный атомический.

С помощью известной теоремы А. В. Бухвалова доказывается следующий результат:

Теорема 10. Оператор т'.в -» f интегрального типа в том и

только в !<>м случае, сети т является элементе:.! полосы порожденной конечномерными операторам;!.

•Я Ol'ОН параграф ¡'осьяиеи доказательству тоорад'н о ¡м зло-тонн:: регулярного оно;.,-лopa т: г ••» г на диТ'^узпонпу:-" и • гоми-ческу:'' чзегп, гдп Е и F - порядковое ило.1 пн с <Ü¡ и с со-

от ао i ствонно. í i м i у е к а.:, что т - по г, о • ителвш;н f/i;"|.oiop на í'!f)\ BF, ЛИГ СООТВЭТСЧЫзНЬо разопсип.ч й И t¡, 5>0 - '¡еГнл В.П еПЬ по'"' чно о о11]..,-'Д1.''IHM

т . • У ö 7 ¡тг. г п '.с Vfi'i < ;. ¡2>

К. Г . S i. Vt( í, ¡ ^ i ' •

i = 1

где Z - {Q ,Q , . . . ,Q }, S>0.

Ввело:.! Tb'¡sup{T „ , «6 П í fi ¡ . t e Tlt'i-!;. Tc - 1 Pf T

n . T . Л л . , ,S

Следующее предложение ключевое.

Предложение. Оператор т^ тянется тлтн <ше;г)го,о,,.,1 ае>мн-

ческого типа, что все атомы г^) не мельче чем Ь для всех t е Д.

Основным результатом этого параграфа является доказательство следующих фактов.

Теорема И. Множества 1Г (Е .Р ) и 1Г (Е ) образуют

а о о' а о о г ^

в ьг(Еа,]?о) дизьюнктные полосы. При этом имеет место разложе-

ние

l (е ,f )-lt.(e ,f ) * it (е ,f ).

О О а О О & П> о

Следствие. Множества l°(e,f) п l^(e,f) образуют в l°(E,f) дизьюнктные полосы. При этом имеет место разложение

L° (Е, F) 'L° {Е, f) L° (F.F).

1 Л

г

I

В третьем параграфе этой главы доказывается теорема о разложении регулярного оператора на интегральную И сингулярную

части. В этом параграфе всюду предполагается, что на s задана

регулярная мера и, сужение которой на w(Q) строго положительно и порядково-непрерывно. Сформулируем основной результат.

Теорема 12. Множества и l^(eo.Fo) образуют

в iT (Е ,F ) дизьюнктные полосы. При этом имеет место разло-

о о

жение

- + <*>

Следствие. Множества l°(e,f) и l°(E,F) ооразуют в l°(e,f) дизьюнктные полосы. При этом имеет место разложение

l°(e,f) - l°(e,f) + l°(e.f).

I s

Допуская, что т:с(Q) -» у положительный оператор, • для каждого открыто-замкнутого р с Q и натурального л определим

т Р ' sup fr(Q); 0 е uQ<,i/n},

га Р - ап£ и Р, ш»и-ш . (2)

о по

ПШ1,3,...

где т'.Р - г(Р,| -векторная мера, определяемая оператором Т. Доказательство^ теоремы орэзложенпи сводится к установлен!!.; сингулярности и диффузионноеги операторов

Я (х) > [ х Л , X (х) » / х <3т

° Ь ° ° п соответсгвенио,где интеграл понимается в смысле М. Райта. Отсю-сюда, как следствие получаемся аналог формулы С. Ллипрднгиоа -С. определяющего операцию проектирования регулярных

опора!еров- Не- ишь! ралишх сгтор>.торо» /Я4/ :

хоср> * лпг зир (Т(о); о е н(р); и(Р\о) < 1/я} (3)

п. Г .2, . . .

Отметим, что аналог формулы (3) для скалярных мер можно найти в /5/, которая использована Л.Дубинсом и Д.Фридманом при доказательстве измеримости разложения семейства мер.

Глава 5.

Эта глава посвящена основным структурным свойствам атомических и диффузионных операторов.

§1. Центральным результатом этого параграфа являоюя теорема о представлении оператора атомического типа в виде суммы ряда от решеточных гомоморфизмов. По видимому первый результат подобного гипа, правда с несколько иной точки зрения, доказан С. Квапышм в 19?о г. Он доказал, что если X - польское пространство с конечной мерой ц на борелевской о - алгебре л, (у, в. о) - коночное измеримое пространство, а г: Ьо(х, а, р) -» непрерывный (ни мере) оператор, то

тх(ь ) - Г у и) х(а '.О 1 (1)

для н. в. £ б у при каждом х е ьо(х) /21/.

В 1978 году Н. Кэлгон существенно усилил этот результат, доказав аналогичную представимость любого ограниченного линейного оператора т:ьр(х, а. ц) ь (у, Б, *>) лри о<р<1 /8/. Этот результат применен им при обобщении теоремы Энфло о примарности ь^. Точнее говоря, он доказал, что примарен при любых р, удовлетворяющих условию о<р<1. Затем, б 1984 г. Л.Вайс нашел очень простое доказательство представимости оператора атонического типа в случае стандартных измеримых пространств (х,а, ц) и (у.е,\>) /7/. На основе этого и других своих результатов он доказал для регулярных операторов эквивалентность атомичности типа и непрерывности по мере, что перекликается с вышеупомянутой теоремой С.Квапеня.

Сформулируем основной результат параграфа.

Теорема 13. Если Т:С(й) с(й) - оператор атомического

типа, то существует ук е с(й) и непрерывные отображения

Ф : Д -» Й, к—1.2... . такие, что £

со

Тх » I Ук(Хо19ь>

ь* I

для всех х € С(П).

§2. Весьма неожиданной, но и очень полезной оказалась теорема Л. Вайса о том, что в случае стандартных измеримых пространств сужение любого оператора диффузионного типа на подходящей б-полной векторной подрешетке является интегральным оператором. Доказательство Л.Вайса полностью опирается на условие сепарабельности и использует технику мартингалов. Второй параграф посвяцен обобщению это:; теоремы для произвольных к-про-странств. Пусть Е и Г идеалы в См(й) и СМД) соответственно, у п 1> строго положительные порядково непрерывные функционалы на а т\Е -» г - оператор диффузионного типа.

Теорема J4. Для любого яорядково-непрорывног'о оператора р.- следующие условия эквивалентны:

1. г диффузионного типа;

---------2. Существует полная подрешетка G с £__такая, чю_:

а) 1 ев; ь) сужение п на с также является eipoio пиж.жл-тельным порядково-непрерышшм диффузионным функционалом; с) т: g ■* f является оператором интегрального типа; d> полная булева алгебра с мерой (wc.i0 сопарабельпа

Теорема 15. Для регулярного оператора т: £ -> у лидуюшие ?v«Hna яйнтны :

Ii) т - лидодкиво нвпрорыышЛ оператор отогпче-к^г" тип»: Iii) существуют такие я 6 f и непрерывные открытые ото-

Оражения supp yfc Cl, k-1.2,.., что тх = X >r (xo<q )

tt-1

И Z |Я I 6 F.

Далее зафиксируем измеримые пространства (х, л. и) и (у,3,^), где о и v конечные безатомные меры. Как ооычно, и .«(у) обозначает пространства всех А и s - измеримых функций на X и у соответственно, где измеримые почти всюду совпадающие функции тождественны. Пусть L и к идеалы в .и(х) и jH(Y) соответственно, каждый из которых содержит постоянные функции равные л.

Для о-подалгебры £ с J пусть Lj. обозначает множество всех Х-измеримых элементов L. Следующее следствии обобщает упомянутую выше теорему Л.Вайса /22, V/.

Следствие. Для любого порядково-непрерывного оператора vi р+к существуют операторы s. т{; ь->к, п ек, 1=1.2..,, и о-подалгебра 2 с л такие, что

0U

(i) 1 Inj е к,

(И) т - порядково-непрерывные решеточные гомоморфизмы,

отображающие единицу ь в единицу к, 1=1,2,...,

(Ш) я такой порядково-непрерывиый оператор диффузионного типа, что я: ь^ -» к является интегральным и (IV) справедливо представление

ю

т = £ Я(т( . §3. Известная теорема А. В. Бухвалова устанавливает эквивалентность интегрального оператора с типом непрерывности оператора /23/. Возникает естественный вопрос: имеет ли место аналог теоремы А.В. Бухвалова характеризующий операторы атомического типа? Первой теоремой такого сорта являетвя вышеупомянутая теорема Квапеня. Л.Вайс предложил :всю характеристику операторов атомического типа в том случае, когда (к,Б,а) стандартное измеримое пространство /22/.

Этот параграф посвящен обобщению теоремы Л.Вайса о харак-теризации операторов атомического типа на случай произвольных измеримых пространств. Результаты предыдущих параграфов (теорема о разложении регулярного оператора на атомическую и диффузионную части, теорема о представлении оператора атомического типа на сумму ряда от операторов взвешенного сдвига и теорема о характеризацни операторов циффузионного типа") позволяют освободиться от ограничивающих условий на пространство (к,Б, л) п доказать сформулированную выше теорему Л. Вайса для произвольных измеримых пространств.

Пусть х и к идеальные пространства над измеримыми пространствами (X, л. и) и (У,В. *>) соответственно. Предполагаем, что /.'ера и безатомна, к. Следующее определение

является слегка измененным вариантом соответствующего определяй л из /22/.

Определение 7. Линейный оператор T'-t ■* К называется (условно) непрерывным по мере, если для любой (ограниченной по

L -норме) последовательность fe í Л I сходяиейся по ис-ие ч

! П и

нулю, последовательность tí сходится по muí,с к ну.м.

Отметим, что если peí, о е ii, a T'.í -» к является усдоа-

но непрерывным по мере оператором, то опера top ptq iai.:t.u явля ется условно непрерывным по море.

Сформулируем основной результат этого Нлрлраф i Теорема 16. Для того, чтобы порядково-непрерывный опора-

• ГА . у aTrtllinrünlínrn TKlIri HQnn Vi > IIпм<1 И ШН'-

таточно, чтобы для любого е>о существовало множество q с х такое, что н(х\(?)<е и то является условно непрерывным по мере.

Глава 6.

В этой главе построен пример регулярного оператора, являющегося дизъюнкт ним всем гомоморфизмам, операторам й<н .ц-ль и интегральным операторам, вычислена норма оператора ь .ьс лчнно! <. сдвига определенного на пространстве ь". Нил/ченл ^ц.-нка рт-стояния от оператора обобщенного спшиа до mi rol pajil.п.,г о „tu» ратора.

51. В .атом параграфе дастся нодсшиильний ответ н , в.шрос А. Г. Кусраева: существует ли положительный оператор, являющийся

ДНЗЫШКТШЛ) НС >М ГОНШОрфПММП, ! opo/i U,1( 1¡,..|1 i; lllllr!

l'fJuMbllLJil опорчторам.

Из теоремы о разложении следует, что пример такого опора-тора нужно искать в пространстве операторов диффузиошшги типа. С другой стороны ИЗВЕСТНО, ЧТО iillf-p.t I ори Н..ГЛ) ••») ¡1 1 •.!"■ морфятто порядково взаимно гопрячсенн Значит дня построения соогветс гвующего примера нужно плат порндкоь. самое.пр-itoioíloí

оператор диффузионного типа.

Для построения примера фиксируется борелевская, диффузионная, сингулярная мера i> на [0,1]. При этом единичный интервал стандартным образом превращен в компактную коммутативную группу G. Для t е g сдвиг меры ■> на t обозначим v , т.е. -- (+в) для борелевского множества в с G. Для ограниченной борелевской Функции f пусть (Tf)(t)- J / d*> . При доказатеяь-

а

стве самосопряженности используется Формула

J »(t+B) dn(t) - / tf(t+A) du(t),

.1 в

где у - мера Лебега на [0,1], А и в - произвольные борелевские множества.

Предложение. Оператор т является положительным порядково-непрерывным самосопряженным оператором и дизыонктным всем гомоморфизмам, оператором Магарам и интегральным оператором.

§2. Этот параграф посвящен вычислению нормы оператора взвешенного сдвига действующего в пространстве ьр. Пусть (х. Я, М) и (у, Б, v) измеримые пространства с конечными мерами, -»

оператор взвешенного сдвига, т.е. sx-irfx-ip), где л е

ф: у -> х измеримое отображение, 1<р<и .

Для ip-id норма оператора умножения на функцию для произвольных банаховых решеток вычислена В. Фельдманом и Дж. Портером Норма оператора взвешенного сдвига в общей ситуации дана А. Б. Антоневичем /24/.

Обозначим Ту оператор сдвига х х-ф, Т° - оператор по-рядково-сопряженный к Г .

Теорема 17. Если л Г ~ ограниченный оператор

взвешенного сдвига, где 1<р<со , пеь£ , mo iln|p)6 и

»« г;И - ( (\л\р) ,"Р.

Следствие. Если s:i£ -» - ограниченный оператор взвешенного сдвига, то для любого е>о найдется множество q

такое, что ро<с и Üsol " Isl.

Одним из первых результатов в проблематике рассмотренной в третьем параграфе является работа И К.Даугавета /25/. опубликованная в 1963 г. Он доказал, что если к : с с

: и, i j Í о , i j

- kGÑíiicin i iiiin ^¿¿¿píüTGp, ТС

Ilfeld II - «Ki • 1

В 1981 г. формула Даугавета была распространена для компактных операторов, действующих в В. Ф. Бабенко и С. А. Пичу-говым, Затем эти результаты неоднократно обобщались X. Камови-цем, Дж. Холубом, ¡0. Сынначке, К.Шмидт.

К результатам подобного типа относится теорема Халмоиа-Сандера (/14/. теорема 8.6) о расстоянии между оператором умножения и интегральным оператором, действующими ь is :

IIЛ + Т [I > II я II

т.

где т • интегральный оператор, и - оператор умножения на ограниченную функцию л.

Теорема 18. Для .«убого ограниченного интегрального оператора Г. i Ly при всех о < р < и> выполнено н.<р.и>епс i во Ils-Tll > Iis».

Заметим, что роля s есть оператор умножения ¡¡а функцию »fei-", то llsíMinlK поэтому в случае р-2, теорема Iß усиливав!

оценку Халмоша-Сандера.

гь

Список использованной литературы-

1. Stone М.Н. The theory of representations for Boolean algebras. // Trans. Amer. Hath. Soc. -1936. -40. -p. 37-111.

2. Канторович Jl. В. , By лих Б. 3. , Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. -М.;Л.: Гос-техиздат, -1950.

3. Терне Ф. , Флаксмайер Ю. 0 некоторых приложениях теории расширений топологических пространств и теории меры. УМН. -1977. т. 32. 5(197). -с. 125-1S2.

4. Акилов Г. П. , К.утателадзе С. С. Некоторые задачи теории упорядоченных векторных пространств. Теория операторов в функциональных пространствах, Новосибирск: Науч-г, 1077'. -с. 6-19.

5. Dubins i,., Freedman D. Measurable sets of measures. // Pacific J. Math., -1964. -14. -p. 1211-1223.

6. Sourour A.R. Characterization and order properties of pseudo-integral operators. // Pacific J. Math. -1982. -99. -p. 145-159.

7. Weis L. On the representation of order continuous operators random Measures. // Trans. Amer. Math. Soc. -1984. -285. If 2. -p. 535-563.

8. Kalton N.J. The endomorphisms of L (0<p<l). // In-

p

diana Univ. Math. J. -1978. -27, If 3. -p. 353-381.

9. Arveson W.B. Operator algebras and invariant subspaces. // Ann. of Math. -1974. 100,2. -p. 433-532.

10. Enflo P., Starbird P. Subspaces of l' containing L'. // Stud. Math., -1979. -65. -p. 203-225.

11. Вулнх Б. 3. Обобщенные полуупорядоченные кольца. - Нагом. сб. -1953. 33(75). -с 343-358.

12. Birkhoff G., Pierce P.S. Lattice-ordered rings. //

гь

An-. Acad. Braail. Sei. -1956. -20. -p. 41-69.

~-------13—-Векслер А. И. Реализационные частичные умножения в линейных структурах. // Изв. АН "СССР.--Сер,-.мат.- -196?. -31, 6. -с. 1203-1228.

1-i. Халмом 11., Сандер В. Ограниченные инте) радыше miepa торы в пространствах ь3. U. : Наука, 19Ь5.

15. de Pagter В. The components of a positive operator, // Math. —1983. -86. -p. 229-2 5 0.

¡'С. Г.у'тянаДйй С v г'"т»ества сублинейных опера-

торос. //Докл. АН СССР. - i 976. т. ¿S^, Г.' ¡025

17. Synnatzchke J. Uber eindimensionale Elemente halbgeordneter Algebren. // Math. Nachr. -1982. -10?. -p. 263-266.

10. Кусраев А. Г., Стрижевский В. 3. Решеточно нормированные пространства и мажорируемые операторы. // Исследования по геометрии и Функциональному анализу. -Новосибирск. :Наука, 1987. -с. 132-157.

19. Wright J.D.M. The measures extension problem for vector jactiees. //Ann. Inst. Fourier. -1971. -21,4, -р.бэ-85.

20. Акилои !'.!!., Колесников E. В. , Куераев Л. I 0 порядков« непрерывном [ „^прении иоложителыюг о оператора. // СиО. мат. асурн. -19ÖÖ. -i.29, If 5. -с 24-39.

21. Kwapion 5. On the form of a linear operator in the space o£ all measurable t'wnetions. // Bull. Acau. Polen. Sei. Ser. Sei, Math. Phys. Astronom, -1973. -21. -p. 9 ь; e. s .

22. Weis L, A note on diffuse random aeasures. // 2. Wahrf.ch. Gebiete. -1983. -65. -p. 249-244.

23 Бухвалов A.b. Oo muei ральном првясышкшим линейных операторов. // Зап. научи, семинаров Лоштпгр. отд. Maiuii пи та АН СССР. -1974. -47. -с, 5-М

24. Антонович А. Б. Условия ограниченности и норма опера

тора внутренней суперпозиции в пространстве вектор функций. // - Мат. заметки. -1989. т. 45, # 1. -с. 3-9.

25. Даугавет И. К. Свойство компактного оператора в пространстве с. И УМН. -1963. -18. -с. 157-158.

Работы автора по теме диссертации

26. Шамаев И. И. Некоторые порядково алгебраические свойства векторных решеток и их связи. -Новосибирск. Б. и. -1980. Препринт ИМ СО АН СССР.

27. Шамаев И. И. О счетном распространении меры со значениями в векторной решетке. // Сиб. мат. журн. -1981. т. ХХи, № 3. -с. 197-203.,

28. Шамаев И. И. Дедекиндово распространение мер со значениями в векторных решетках. // Сиб. мат. журн. -1982. т. ХХхи. »1.

29. Шамаев И. И. Дедекиндово распространение положительных операторов. // Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Минск. -1982. с. 201.

30 Шамаев И. И. Свойство Д. Ф. Егорова в векторных решетках. // VIII Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Рига. -1983. с. 121.

31. Шамаев И. Я. Абстрактные ортоморфизмы и гомоморфизмы решеточно-упорядоченных алгебр. // Докл. АН СССР. -1985. т. 280, № 5. -с. 1075-1078.

32. Шамаев И.К. Абстрактные ортоморфизмы и гомоморфизмы решеточно-упорядоченных алгебр и их представления. //Сиб. мат. журн. -1987. т. 28, № 1. -с. 214-224.

33. Шамаев И. И. Счетное распространение мер и о-интегра-лов со значениями в векторных решетках. //Мат. заметки. -1986.

гв

т. 39, в. 5. -с. 737-765.

34. Шамаев И.И. Одномерные элементы и их применение в представлении рететочно упорядоченной алгебры. // Сип. мат. tyрн -1988. т. 29, It 4. -с. 189-194.

35. Шамаев й. И. О разложении и ¡¡радставлннип pei унарных операторов. // Сиб. мат. журн. -1989. т. 30, (f '¿. -с. '¿42.

36. Шамаев И. И. Операторы диффузионного чипа. // Докл. АН СССР. -1991 т. 316, If 1. -с. 47-Ь0.

Шяыаеэ И. И. Оператор, дизъюнктный гомоморфизмам, опораторчм гп*пьчыи "

-1990. -48(65). -с. 154-159.

38. Шамаев И. И. 0 конечных суммах гомоморфизмов. // Оптимизация, -1992. -51(68), -с. 26-33,

39. Шамаев И.И. Расстояние между оператором взвешенного сдвига и интегральным оператором, // Сиб. мат. журн. -1993. т. 34. If 2. -г. UM-iOu.

10 инпаей ¡1.!! К одной харлктырисшкб one;,., i opoii цнф Фу,--алойного (ина. // Учишш запуски. Серил Мл итатга Фа «жа Нкуги;. i'.aii-iio Яку ; екаго университета -!if'j4. -е. о

4 1. lii.iMJeo И.!; I) произведении Мор со оалч.-ть-аи ь уи., рял,.'-ч>>11««;:< й«кю|.|1;«л ¡¡;jacrpdHoibl-,x ,'/ Уч-'.чы-- яьи.-ли i im Математика. Физика. ' Якутск. у!зд-ьи ¿¿кутск'-,: а . а.о-, ,. .i ,i

42. Shamaev i.i. una « c^-iai), %.и,м-л-л, . ,..,u..... i .. ; =

rators of integral type. // Мат. заметки ЯГУ\ -1994. в.!. с

/

аа