Топологические солитоны в киральных моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

с?зи друаш народов - \ - ■ гахшсша жшЕЮпгг дшеу ширадрз

Из прэваз рукописи C011G1 Грзгоркй йорзеоввч

/

уда Б39Л2.С1

тоаодогжзсша соаитош в кирашшх нодалх

01.04.02 - тгораггасзгп физика

ABTOPKSEPáT

дасзртацта на сслскггап уп:-:о!1 сгэпзна вшцшдата фязяко-ыатсыага'гэовха ыауа

Кэслза - КЗЭ

Работа выполнена на ка1*;дре теоретической физики ордена Дружбы шчкщов Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: •кандидат фийико-математических наук, доцент Ю.П. Рыбаков

Официальные оппоненты: доктор филико-матем;1тических наук С.И. Биницкий кандидат физико-математических наук В.П. Караоев

Ведуша» органиаашя - Научно-исследовательский центр по изучение свойств поверхности и в;жуума

Зашита диссертации состоится " ?? "___1„иеаА... 1993 г.

в часов на заседании специализированного еоьета К 053.22.01 Ь Российском университете дружбы Нефедов по адресу: 117493 Москва, ул. Ордлоникидае, д.З, вал N 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета друлбы народов но адресу: 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан "Ы"___ЛАЖ. 1993 г.:

Учёный секретарь

специализированного совета, Ю.И. ЗАПАТОВАННЫЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

, Актуальность темы «...*

Ряд нелинейных моделей классической теории ноля допускает существование стабильных локализованных решений полевых уравнений - солитонов. Впервые наблюдаемые Расселом в виде волн на поверхности воды, сейчас подобные объекты исследуются в различных областях физики: механике сплошных сред, нелинейной оптике, физике элементарных частиц, ядерной физике.

Особый интерес представляют топологические солитоны, стабильность которых обусловлена их геометрической природой: в качеству полевого многообразия в этом случае выступает нелинейное пространство. При атом фазовое пространство расщепляется на непересекающиеся секторы - гомотопические классы. Благодаря этому возникает сохраняющаяся во времени независимо от уравнений движения целочисленная величина - топологический заряд. V

В силу стабильности и пространственной локализации топологические солитоны обладают многими свойствами элементарных частиц. Это позволяет, используя солитонный подход, при помощи небольшого числа фундаментальных полей описывать щ:;рс:с;;й спектр элементарных частиц. Примером реализации подобного механизма является модель Скирма, предложенная ей автором в 1961 х-оду для единого описания мезонов и барионов. Удовлетворительные результаты расчетов статических характеристик нуклона, выполненных в рамках модели, позволили говорить о киральной теории нуклона и привели к попыткам воспроизвести потенциал нуклон- ну клонного взаимодейстьия и обобщить модель на случай произвольного числа ароматов.

Для феноменологического описания лсптонов Л. Д. Фаддс-еъим была предложена нелинейная модель, использующая в качестве полевого многообразия двумерную сферу.

Для феноменологического описания долгоживущих возбуждений в магнитно-упорядоченных средах были предложены различные модели, допускающие существование как динамических, так и топологических солитонов. В идейном плане эти модели восходят к микроскопической модели ферромагнетизма Гайзенберга. Примером такой модели мелет служить модель двумерного магнетика, полевым многообразием в которой является двумерная сфера.

ДиЛЬ р£1бОТЫ '

- Поиск устойчивых солитонных решений в нелинейных сигма-моделях, нолевым многообразием в которых является однородное пространство, возникающее при ' динамической реализации спонтанно нарушенной симметрии.

- Лналив сьойств и структуры .полученных солитонных решений в модели Саддеева и модели двумерного магнетика.

- Анализ процесса взаимодействия солитонов в сообщённой на произвольное число ароматов модели Скирма. модели двумерного магнетика и модели Фаддеева.

Научная новизна

В диссертации содержатся следующие полученные впервые результаты:

1. Показано, что нижних грань Функционала энергии в первом и в Солее высоких гомотопических классах модели двумерного магнетика достигается на множестве бесконечно гладких регулярных функций в классе выделенных методом минимизации функционала энергии в расширенном базовом пространстве подстановок. Эти подстановки характеризуются парой целых чисел N и М (N>1, |М|>1). которые определяют топологический заряд СгИМ. при этом минимум функционала анергии достигается в случае N-1, М-Ц.

2. В первом ив более высоких гомотопических классах модели йаддеева методом минимизации функционала энергии в расширенном фазовом пространстве выделены классы гюдсгановок, характеризующиеся парой целых чисел.N и М (N>1, |М|>1). определяющих топологический варяд- О-ИМ. Основным в гомотопическом классе с топологическим зарядом 0 является решение вида N-1, М-С}.

3. Изучен процесс взаимодействия двух солитонов, наделённых единичными топологическими зарядами, в модели Скирма, обобщённой на произвольное . число ароматов,..для случая большого расстояния между солитонными сгустками. Проанализирована зависимость силы взаимодействия солитонов отих взаимной ориентации в случае двух и трёх ароматов.

4. Изучен процесс взаимодействия двух солитонов, наделенных единичными топологическими! зарядами, в . модели Фаддеева ' и модели двумерного . магнетика для случая большого расстояния между солитонными сгустками.

2

Научна* и практически ценность

Результаты, полученные В диссертационной работе, могут найти применение при построении моделей НрОТЯНиИНЫК идем е.ч тарных частиц и при изучении моделей, допускашлк существование стабильных солитонных решений с нетривиальным топологическим зарядом, описывающих явления в ферромагнетика«, в 1Ш1аме, ь конденсированных средах. Они представляют интерес для исследований, проводимых в Институте теоретической и экспериментальной Физики, Институте ядерных исследований РАН, в Лабораторий теоретичской физики и Лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединённого института ядерных исследований, Российском университете дружбы народоь.

Апробация работы

Результаты диссертации были дололены и обсулдены на Международном семинаре по геометрическим аспектам квантовой теории (г. Дубна, сентябрь 1988 1'.), XI И XII Конференциях молодых ученых УДН (март 1988, апрель 1989 г.г.), П Конференция Научно-учебного центра УДИ (февраль 1989 г.), XXVI и ХХУП научных конференциях факультета фиаико-математических и естественных наук УДН (май 1990, 1991, 1992 г.г.). се!^-,нарах ка^дры теоретической физики УДН.

Публикации

Основные результаты диссертации онубликоьсшы в семи печатных работах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введении, четырёх глав, заключения и списка литературы, включающего наименований. Полный объём диссертации составляет 3*1 страниц машинописного текста, ьклю-чаяТ" рисунков.

3

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются основные цели работы, обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе вопросов, кратко излагается структура и содержание диссертации.

В первой главе вводятся основные математические понятия и теоремы, необходимые для изучения кирадьных моделей, допусшо-щих существование солитонов, обладающих топологическими зарядами. Изучается структура топологических варядов различной природы. В двумерной модели магнетика топологический заряд имеет геометрический смысл степени отображения. Такой же геометрический смысл имеет топологический заряд и в SU (2) модели Скирма. В обобщеной SU(N) модели Скирма при N>2 топологический * заряд уже не обладает такой геометрической интерпретацией.

В модели Фалдеева в качество полевого многообразия выбрано однородное пространство Stl(2)/U(l)-S2. При этом топологический ыц1ил. имеет кпд иниарилнто. Хопфа. отображения n.-lî3,—S®.

При построении нелинейной модели, описывающей протяжённые частицы, обладающие топологическим зарядом, при выборе лагранжиана необходимо руководствоваться рядс>м критериев:

1. Теория должна быть лоренц-инвариантной.

2. Уравнения поля должны допускать существование солитонных решений. ...

3. Салитонные решения должны обладать сохраняющимся независимо от уравнений движения топологическим зарядом.

4. Солитонные решения должны быть устойчивыми.

Лагранжианы моделей Скирма:

Фаддеева: ____,

и модели двумерного магнетика: .....

- yf>V*nîM\i * р^уо^-и^п*)']

удовлетворяют указанным требованиям и могут быть получены единым методом построения лагранжианов, опирающимся на факт спонтанного нарушения киральной симметрии. 4

Вторая глава посвящена анализу топологических солитонов в двумерной модели магнетика. Для поиска решений применен метод минимизации функционала энергии в расширенном фазовом пространстве. В основе метода лежит тот факт, чю при наложении связи на переменные минимум функции от этих переменных может лишь возрасти". Производные от полевых функций рассматриваются как независимые расширенные переменные в функционале РСп]-НСп]-кОСп]. Если в точке минимума этого Функционала производные полевых функций совпадают с расширенными переменными, то найденная точка реализует минимум и _ исходного функционала РЕл]. а значит, вследствие постоянства 0, и минимум функционала энергии НСпЗ.

Если параметризовать З1 угловыми переменными (В, Т) " ■ л* • --------- ' 4

£

I П1 « Сол ^ ,

то статический функционал энергии примет вид:

р и-аго "см - угол "едду

V . Минимизирующая конфигурация характеризуется парой целых чисел N и М: N>0, |М|>0 и имеет вид:

где (г, в1) - полярные координаты, функция £>(г) удовлетворяет граничным условиям

^(О)-МТГ

^ г__ о»

Топологический заряд О-ЯМ. Решения, соответствующие случаю N>1, энергетически неустойчивы и распадаются. Основным состоянием в гомотопическом классе 0 является конфигурация с N-1, М-0.

Показана достижимость нижней грани функционала энергии в классе бесконечно гладких регулярных функций £>(г) 4 С°°[0,оо) на подстановке N-1. М-С1. Доказательство проводится в два этапа:

1, Доказывается слабая достижимость нижней грани функционала энергии. ;

2. Доказывается регулярность полученного решения.

Рассмотрен вопрос взаимодействия двух солитонов с единичными топологическими зарядами, разнесённых на большое расстояние друг ог друга. Сила взаимодействия солитонов вычисляется интегрированием тензора натяжений но разделяющей солитоны поверхности. Проекции СИЛЫ на вектор Г» , разделяющий центры ии-литонов имеет вид: г

ч Г, 4,0

где Ь определяется асимптотикий солитона с 0-1, соь ^ - косинус угла взаимного разворота солитонов. Поперечная составляющая силы »0.

В третьей главе рассматривается обобщение модели Скирма на случай произвольного числа ароматов. В качестве полевого-.многообразия используется группа ЯДМ). Односолитонные решения ь секторе 0-1 имеют вид скирмиона - "ежа", лежащего в некоторой Зи(2) подгруппе полевого многообразия.

, Полевая конфигурация, отвечающая случаю взаимодействии двух солУ.тонов, разнесённых на большое расстояние друг от друга, аппроксимируется анзаием

где С) - поле скирмиона. матрица и £ ЕМ(Ю описывает взаимный разворот солитонов. Оказывается удобным представить матрицу и в виде и-и^, где иг описывает пространственную, а и, изотопическую ориентацию солитонов друг относительно друга. Это,-позволяет сравнивать пространственные ориентации ссишто-иоа, лежащих в разных подгруппах.

Силу взаимодействия солитонов находим, интегрируя тензор натяжений: г

где Р '- продольная, - поперечная составляющие силы,

& определяется асимптотикой односолитонного решения, 0-л на- . 6 1

• холится из условия: U XjU - В случае N-2 исследова-

на устойчивость выделенных стационарных ориентации солитонов. Для N-3 показано, что устойчивые стационарные ориентации солитонов В08М0АНЫ лишь в случае, когда окирмионы лежат в одной SU(2) подгруппе полевого многообразия.

Четвёртая глава посвящена исследованию свойств солитонов в модели Фацдеева. Для удобства анализа З1 модель переформулируется как Uf 1 ) калиброночно-инвариантная модель на SUi^^s"5. Если параметризовать SU(2) угловыми координатами (Q.&, Г):

= toaS (coô(r-e) * iin(f-W;6s) + Un'y (соаГ^, ♦ iin Гкзг),

то статический функционал энергии примет вид:

Нш.ь.П = + 2î*Wft

Поиск решения проводится в две стадии. На первой стадии производится редукция гамильтониана методом минимизации в расширенном фазовом пространстве. В качестве расширенн...-. переменных выбраны углы vf и 'Х между вектором «Л и векторами и Минимизирующая конфигурация имеет вид:

е. -M-L + р>сг,9,а) .Г = Tir,«, А),

Выбором Г молно, не изменяя Ни Q, удовлетворить второму граничному условии. На второй стадии прямым вычислением показано, что.минимум функционала анергии реализуется на подстановках

вида: f Q - Й (г.5)

QM) -Ï^—0

Рассмотрен процесс-взаимодействия двух топологических солитонов с единичными топологическими зарядами, разнесённых на большое расстояние друг от друга. Для аппроксимации полевой конфигурации, отвечающей системе двух взаимодействующих солитонов, используется продакт-анзатц в рамках SU(2) реализации модели Фаддеева, поле уединённого солитона при атом аппроксимируется полем скирмиона. Сила взаимодействия между солитонами

имеет вид: ti}i1

^(o/jovo^osj-zoijofj)

где матрици О1 и О1, задают ориеитации солитонов, t определяется асимптотикой решения с Q-1.

В заключении приведены основные результаты, выносимые на

защиту.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Фомин Г.Б. Взаимодействие киральных солитоноь на больших расстояниях //Материалы X] конф. мал. учёных Университета дружбы народов, М., 15 - 19 марта 1988 Г.- УДН. М., 1988.' Ч. 1.- С. 164-167.- Деп. в ВИНИТИ 1 июля 1988г., N 5Э04-В88.

2. Фомин Г.Б. Взаимодействие солитонов в модели Скирма //Тезисы докл. П конф. Научно-учебного центра Университета дружбы народов, М., 21-24 февр. 1989 г.- УДН, М.. 1989.- С. 40.

3. Fomln G.B., Fomin M.В., Kybakov Yu.P.. Kojhevnikov I.R. Topological aspects oí' skyrmians' interaction. -International seminar on Geometrical aspects of Quantum theory, DuLoa 2-4 sept. 1988y.- World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong-Kong. 1989.- P. 333-340.

• 4. 5ом1ш Г.Б. Взаимодействие солитонов в двумерной модели магнетика //Материалы ХП конф. мол. учёных Университета дружбы народов, М.. 17 - 22 апреля 1989 г.- УДН. М.. 1989. Ч.1.-

' С., 2-5.- Деп. в ВИНИТИ 12 июля 1989г., N 4615-В89.

В.^Фомин Г.Б. Взаимодействие двумерных солитонов //Тезисы докл. XXVI научной кон*>. факультета ф^пико матсматичпоких и естес^идлшл iiayjv Упушьдлдехы'с! Дружбы народив,. М., 14 - 1Э мая 1990 г.- УДН. Ы., 1990 г., С. 35.

6. Фомин Г.Б. 0 взаимодействии киральных солитонов //Проблемы статистической физики и теории поля.- М.: Ивд-во УДН, 1990 г.- С. 79 - 86.

7, Фомин Г.Б. Взаимодействие солитонов в модели магнетика.-. Тезисы докл. ХХУП научной конф. факультета физико-математических и естественных наук Университета Дружбы народов, М.,

13-18 мая 1991 г.- М., УДН. 1991 г. с. 6.

8

6.03.93г._QS'bbM In. л._Тир. 100 Зах. ¿93

Тот. К/ЗА Срдаадмздле, ä