Централизаторно факторизируемые группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Вв е д е н и е

Обозначения,определения и известные результаты.

Глава I. Общие свойства централизаторно факторизуемых групп.

§ I. Централизаторная факторизуемость и абелевость некоторых подгрупп пентрализаторно факторизуемых групп.

§ 2. Пентрализаторно факторизуемые группы с абелевым коммутантом.

§ 3. Локально конечные централизаторно факторизуемне группы. Теорема вложения.

Глава П. Гиперциклические централизаторно факторизуемне группы с конечнопорожденннм коммутантом.

§ X. Предварительные леммы.

§ 2. О конечно порожденной инвариантной абелевой подгруппе гиперпиклической группы

§ 3. Строение гшзерииклических централизаторно факторизуемых групп.

Исследования групп по заданным свойствам системы подгрупп-одно из основных и интенсивно развивающихся направлений современной общей теории групп. Идея изучения групп с теми или иными ограничениями для подгрупп имеет своими истоками работы Дедекинда £ 56 J и Миллера-Морено Q67Д.Этот подход к изучению групп позволяет выделить многие важные классы групп.Так, например, одним из первых был выделен и детально изучен класс гамильтоновых групп - неабелевых групп,все подгруппы которых инвариантны [52, 56Д .В работе [б7^ изучены конечные неабе-левы группы,все собственные подгруппы которых абелевы.Позднее О.Ю.Шмидт [48^ исследован конечные ненильпотентнне группы,все истинные подгруппы которых нильпотентны,ослабив тем самым ограничения для подгрупп работы [ бб] .Ему же принадлежат работы [49 - 51 3 ,составившие существенный вклад в изучение групп с ограничениями для подгрупп, В этой связи С.Н.ЧеР-никовым(см. [ 42 3 )отмечено, что ". в 1983 году О.Ю.Шмидт сформулировал проблему установления всех бесконечных групп,все истинные подгруппы которых конечны, сыгравшую немаловажную роль в развитии общей теории групп.Все абелевы группы такого рода - это всевозможные квазициклические группы". Однако лишь недавно было установлено существование бесконечных неабелевых груш, все истинные подгруппы которых конечны и даже абелевы (см. £19] ).

Исследования груш по заданным свойствам системы подгрупп обогатили теорию групп также многими важными понятиями(локальная конечность, локальная разрешимость, локальная нильпотентность и др.), в значительной степени определивших лигто современной теории групп(см.,например, С 31 - 38 3 )•

Кроме указанных выше в качестве заданных свойств системы подгрупп использовались также разрешимость [ 70 сверхразрешимость [57 , 64 ] цикличность [ 133 »дисперсивн0сть [15, 633 » свойство быть централизатором [603 »различине условия конечности [23, 38 3 и многие другие(см.,например, [41, 42] ). Подобное направление наметилось и в теории топологических групп [ 27 3 .

Иного рода ограничения связаны с именем Ф.Холла.В работе [ 61 3 он получил наиболее известный и существенный результат о конечных группах: конечная группа тогда и только тогда разрешима, когда в ней дополняемы все ее силовские подгруппы.В работе [623 Ф.Холл описал конечные группы,в которых дополняемы все их подгруппы. Оказалось, что эти группы сверхразрешимы и исчерпываются подгруппами прямого произведения конечного числа конечных групп, имеющих порядки, свободные от квадратов простых чисел. Позднее в работе [47 3 были описаны произвольные (как конечные,так и бесконечные) группы, в которых дополняемы все подгруппы. Там они и получили укрепившееся за ними название вполне факторизуемых групп. Как показано в работе [473 «вполне факторизуемая группа гиперииклична,является полупрямым произведением двух абелевых подгрупп и изоморфна подгруппе некото

Doro декартова произведения вполне примитивных групп.

С.НЛерников в работах [34,35] поставил общую задачу изучения групп по тем или иным системам дополняемых подгрупп. Эта задача положила начало систематическому изучению групп с заданными свойствами дополняемых подгрупп и привлекла внимание многих исследователей.Так,например, в работах [ 39, 40 ] изучались бесконечные группы, все бесконечные подгруппы которых дополняемы. С.НЛерников [ 35] , Д.И. Зайцев [э] и др. рассматривали группы, в которых дополняемы все нормальные делители. П.П.Барышевец и С.Н.Черников изучали строение групп, в которых дополняемы коммутанты их подгрупп [з,29] .Ю.М.Горчаков описал строение групп,в которых дополняемы циклические подгруппы простых порядков [ 7 ] .В работе Я.П.Сысака (см. [22] ) изучались группы с дополняемыми нециклическими элементарными абелевыми подгруппами.Отметим здесь также работы [ I, II , 28] .

Вместе с обобщением понятия системы дополняемых подгрупп наметилась тенденция к обобщению и самого понятия дополняемости (см. [ IQ, 21, 26 ] ).

В ряде работ (см.,например, [ 12, 54, 5б] ) были выделены и изучены группы, в которых централизаторы подгрупп удовлетворяют некоторым заданным свойствам. Оказалось, что в этом случя чае иногда возможно получить конструктивное описание исследуемых групп( см.,например, [2, 5, 30, 59, 68] ).

Настоящая работа посвящена изучению групп,в которых дополняемы централизаторы всех их подгрупп.Такие группы названы в работе централизаторно факторизуемыми(см.определение I). Вопрос изучения централизаторно факторизуемых групп предложен автору С.Н.Черниковым.

Диссертация состоит из введения, раздела "Обозначения,определения и известные результаты" и двух глав: главы I -"Общие свойства централизаторно факторизуемых групп " и главы П - "Гиперпиклические централизаторно факторизуемые группы с конечнопорожденннм коммутантом".

1. Алексеева Э.С. Конечные примарно факторизуемые группы. -В кн.:Группы с системами дополняемых подгрупп.- Киев,1971, с.147-179.

2. Антонов В.А. Группы,близкие к группам Гащюца. Изв.высш. уйеб.заведений.Математика. - 1979,206, № 7,с.3-9.

3. Барышовец П.П. Локально разрешимые группы,в которых дополняемы коммутанты всех собственных подгрупп.- В кн.Исследование групп по заданным свойствам системы подгрупп.- Киев, 1974,сЛ31-166.

4. Бусаркин В.М.,Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы.-М.:Наука,1968. 112 с.

5. Васильева А.В. Характеризация группы Р5 L (£ ^ централи-заторной решеткой. Алгебра и логика,15, № 5,г 1976,с.509-539.

6. Виноградов Й.М. Основы теории чисел.-М.:Наука,1965.-172 с.

7. Горчаков Ю.М. Примитивно факторизуемые группы.- Учен.зап. Пермского ун-та,I960,17, с.15-31.

8. Горчаков Ю.М. Локально нормальные группы. Сиб.матем.ж., 12, № 6(1971),с.1259-1272.

9. Зайцев Д.И. Нормально факторизуемые группы. В кн.: Группы с системами дополняемых подгрупп. - Киев,1971,с.6-34.Ю.Зайцев Д.И. 0 дополняемости подгрупп в экстремальных группах.- В кн.Исследование групп по заданным свойствам подгрупп .-Киев,1974,с.72-130.

10. Зайцев Д.И.,Кляцкая Л.М. Группы с некоторой системой дополняемых абелевых подгрупп. В кн.:Группы с системами дополняемых подгрупп. - Киев,1971,с.190-222.

11. Залесский А.Е. О локально конечных группах с условием минимальности для централизаторов.-Изв.АН БССР,сер.физ.-мат. н.,№ 3,1965, с.127-129.

12. Зальманзон М.Е. О группах,у которых все подгруппы циклические. УМНД969, т.16, № 2,с.109-113.

13. Каргаполов М.И.,Мерзляков Ю.М. Основы теории групп. 3 изд.-М.:Наука,1982. - 384 с.

14. Кузенный Н.Ф.,Левищенко С.С. Конечные.разрешимые минимальные недисперсивные группы.- Укр.матем.ж.,1975, т.27,№ 4, с.526-528.

15. Мулдагалиев B.C. Некоторые классы централизаторно факторизуемых групп.- В кн.:ХУ1 Всесоюзная алгебраическая конференция^. Ленинград, 22-25 сентября 1981 г.).Тезисы докладов. 4.1. Л.:МИАН Ленинград.отделение,1981,с.90-91.

16. Мулдагалиев B.C. Централизаторно факторизуемые группы. -В кн.:УШ Всесоюзный симпозиум по теории групп( г.Сумы, 25-27мая 1982 г.).Тезисы докладов.-Киев: йн-т математики АН УССР,1982,с.84-85.

17. Мулдагалиев B.C. Периодические централизаторно факторизуемые группы. Препринт 82.47 Киев:Ин-т математики АН УССР, 1982.- 40 с.

18. Ольшанский А.Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруп-. пами.— ДАН СССР,1979,245, Ш 4,с.785-787.

19. Плоткин Б.Н. Обобщенные разрешите и обобщенные нильпотент-ные группы.-УМН, 13, № 4,:--1958, с.89-172.

20. Сергеев М.И. Вполне F/V факторизуемые группы.-ДАН СССР, 1964,155, JS 3, с.532-534.

21. Сысак Я.П. Группы с дополняемыми абелевыми подгруппами типа В кн.«Строение груш и свойства юс подгрупп.-Киев,1978,с.63-79.

22. Федоров Ю.Г. О бесконечных группах, все нетривиальные подгруппы которых имеют конечный индекс.-УМН,1951,т.6, В I,с.187 189.

23. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы.Т.X.- М.:Мир,1974.-336 с.

24. Холл М. Теория групп. М.:Изд-во иностр.лит.,1962.-468 с.

25. Цыбанев М.В. Разрешимые F -факторизуемые группы. -Сиб.матем. ж.,1980, 21, В 2, с.202-208.

26. Чарин B.C. Некоторые вопросы развития теории топологических групп в Советском Союзе. В кн.:1Ьуппы с ограничениями для подгрупп.-Киев,1971,с.17-39.

27. Черников H.S. Группы с плотной системой дополняемых неэкстремальных абелевых подгрупп.- Матем.заметки,1977,22,с.611ю 620.

28. Черников Н7С. о дополняемости коммутантов бесконечных подгрупп в бесконечных подгруппах.- В кн.:Строение групп и свойства их подгрупп. Киев,1978,с.63-79.

29. Черников Н. С. О бесконечных простых локально конечных группах.-Препринт 82.37.- Киев:Ин-т математики АН УССР,1982.-20 с.

30. Черников С.Н. Бесконечные специальные rpyiпы.-Матем. сб., 1939,6 (48), В 2,с.199-214.

31. Черников С.Н. Бесконечные локально разрешимые группы.-Матем. сб.,1940,7(49) ,М,с.35-64.

32. Черников С.Н. К теории бесконечных специальных групп.-Матем. сб.,1940,7(49), йЗ, с.539-548.

33. Черников С.Н. Группы с системами дополняемых подгрупп.-ДАН СССР, 1953,42, Я 5, с.891-894.

34. Черников С.Н. Группы с системой дополняемых подгрупп. -Матем.сб., 1954,35(77), JS I,с.93-128.

35. Черников С.Н. О дополняемости силовских ^-подгрупп в некоторых классах бесконечных групп.-Матем.сб.,1955,37(79)3, с.557-566.

36. Черников С.Н. О строении групп с конечными классами сопряженных элементов.- ДАН СССР,1957,115, с.60-63.

37. Черников С.Н. Условия конечности в общей теории групп.- УМН, 1959,14, is 5,с.45-96.

38. Черников С.Н. Бесконечные группы с заданными свойствами их бесконечных подгрупп.- ДАН СССР,1964,159,Ш 4,с.759-760.

39. Черников С.Н. Исследование групп с заданными свойствами подгрупп.- Укр. матем.ж.,1969,21, В 2,с.191-206.

40. Черников С.Н. О группах с ограничениями для подгрупп.-В кн.: Группы с ограничениями для подгрупп.-Киев,1971,с.12-39.

41. Черников С.Н. Группы с системами дополняемых абелевых нормальных делителей. В кн.Исследование групп по заданным свойствам подгрупп.-Киев,1974,с.5-71.

42. Черников С.Н. Некоторые виды бесконечных групп с заданной системой дополняемых бесконечных абелевых подгрупп.-Алгебра и логика,1976, 15, с.660-683.

43. Черников С.Н. Конечные СЕерхразрешимые группы с абелевыми силовскими подгруппами. -В кн.: Группы, определяемые свойства- 97 ш системы подгрупп. КиеЕ,1979, с.3-15.

44. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп.- М.:Наука,1980.-384 с.

45. Черникова Н.В. Группы с дополняемыми подгруппами.-Матем. сб.,1956,39 (81), Ш 3, с.273-292.

46. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные.-Матем. сб.,1924,31,с.366-372.

47. Шмидт О.Ю. Группы, имеющие только один класс неинЕариантных подгрупп.- Матем.сб.,1926,33, с.161-172.

48. Шмидт О.Ю. О бесконечных группах с конечной цепью.-В кн.: О.Ю.Шмидт.Избранные труды.Математика.- М.:Изд-во АН СССР, 1959,с.240-246.

49. Шмидт О.Ю. Группы с двумя классами неинвариантных подгрупп.-В кн.:0.Ю.Шмидт.Избранные труды.Математика. М.:Изд-воАН СССР,1959,сг252-269.

50. Baer R. Sitnation der Untergruppen und Struktur der Gruppe,S.-B. Heidelberg.Akad.Math.-Nat.Klasse,1933, 2, p.12-17.

51. Broshi A.M. Finite groups whose Sylow subgroups aer abelian.- J. Algebra,1971,17, N 1, p.74-82.

52. Bryant R.M. Groups with minimal condition on centra-lizers.-J.Algebra, 60, N 2,1979,p.371-383.

53. Bryant R.M., Hartley B. Deriodie soluble groups withminimal condition all centralizers.-J.Algebra, N 2,1979,p.328-339.

54. Dedekind R. Ober Gruppen,deren sammtliche Tieler Normalteiber sind.-Math.Ann.,1897,48,p.548-561.

55. Doerk K. Minimal nicht**uberauflosbare and endliche• 98 Gruppen.-Math.Z.,1966,£1, N 3,p.198-205.Peit W.,Thompson J.G. Solvability of groups ofodd order.-Pacif.J.Math.,1963,13,N 3,p.775-19298

56. Gashutz W. Gruppen deren samtliche Untergruppen ZentralisatiBen sind.- Arch.Math., 1954,,6 , N 1,p.5-8.

57. Gashutz W. Zur Erweiterugstheorie der endLichen Gruppen.-J.Reine angew.Math.,1952.190 , p. 93-107.

58. Hall Ph. A characteristic property of soluble groups.- J.London Math.Soc. ,1937, 1.2, p.198-200.

59. Hall Ph. Complemented groups.-J.London Math.Soc., 1937, 12 , p. 201-204.

60. Hawkes T. On the class of Sylow tower groups.-Math.Z.,1968, 105 , N 5, p.393-398.

61. Huppert B. Normalteiber und maximale Untergruppen cndLicher Gruppen.- Math.Z.,1954, 60 \ N 4,p.409-434.

62. Huppert B. EndLiche Grippen.I.-Springler-Verlag-Berlin-He idelbery-New-York, 1967.- 793 p.

63. Kegel 0.,Wehrfritz B.A.P. Locally finite groups.-Amsterdam-London, North Holland Pablishing Co, 1973.-210 p.

64. Miller G.,Moreno H. Non-abelian group in wich every subgroup is abelian.-Trans.Amer.Math.Soc.-1903, v.4, p.398-404.

65. Redei L. Dei endlichen einstufig nichiipotenten Gruppen. Publ.Math.Debrecen,1956,4,p.303-324.

66. Renther M. Endlicher Gruppen in denen alle das Zentrum euthaltenden Untergruppen Zentralizatoren sind.-Arch.Math.,29,H 1,1977,p.45-64.

67. Thompson J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable.-Bull.Amer.Math.Soc.,1968,v.74,IT 3,p.383 -437.