Управление и стабилизация вращательного движения твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

•■> * (.. •

лвдшн нт< укрдяш ежшш пгаищноя ¡шиитски и икшсш

0а прабаг рукописи

НССА Сааем Лвлаллл

УПРАВЛЕНИЕ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.02.01. - теоретическая кэхвпгаа

Д э т о ? в 0 в р а г

дэосортЕцтэ на соасяазшо ггпксй ствгмиэ канжадата фгажо—изтиятотвсгаи ввуя

Довацк-1992

Работе лаполпйнз в Дояацком госудэрствэщгоь! уштрахтахь.

Научный рукоьодюгаяь: яэкгор фю^ко-кштедатячесгая наук,

профессор А.И.Квэаш»

ОЕуца&льшв ошювимти: доктор фгашш-матемптичвскюс наук,

профессор ¿.Я.Ситша»

доктор бмэино-матэыатачешя: тук Л.Г.Яобас

Ваду^ая организация:

Хариорскна государотаяшй ушшаринм*.

Ведав состоится »/3 -" 1593 г. & ) ¡у час.

ьа а&седашга сдацнвлткмфоваяного совета К 016,46.01 но пржяусй&нкв ушной сюпшю кандкдста физико- ызтокатач&скжх каук прл Кискпутв пришдаой математики и кэхакикн АН Укрзшг по адресу: 340114, г.Допецк-т, ул. Розы Лкссвкбург, 74.

С диссертацией шкет ознакомиться в научной бзйезткэ Енсга-уута прикладной ыагвмагшш е юташаш АН Укракна.

Автореферат рааосдая "/) " ^/Са,^?^ 1993 г.

Учений секретарь

спацкалязированвюго совете кввдадат фвзЕко-матеиатнчвскст наук /} А.к.иарашвсюйк

' . !v • » » - í "■! Л

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Задача о движении тоордого тело вокруг неподвижной точка является одной из важнойших проблем дшдалики. Ее исследованием занимались и продолжают заниматься шогио аяторн. Первые работы были посвгацэны вопросам аналитического построения решений и roc геометрической интерпретации. Позднее много вникания было уделено язучешто устойчивости различных дгестоний твердого тола. Последние несколько десятилетий большое развитие получали задачи активного управления вращательным движением.чему в значительной море способствовало интенсивное освоение космического пространства. В качестве управляющих устройств в задачах управления космическими летательншн аппаратами наибольшее распространение получали реактивные двигатели, кяховика и двусгепошше гироскопы -гкродшм. Возникавдие в процессе исследования задачи по своей сутп относятся к классу задач управления и стабилизации по части пера-квнных, что наряду с нелинейность» является источником дополнительных трудностей и требует развитая hobui а совершенствования уге известных методов.

Понятие управляемости является одним из оспошшг дтгакичвсют свойств систем. Наряду с управляемостью (по всем перешзннш), гдз <$унд8мэяталышз результаты для лнейшх систем принадлежат Р.Е.Кад капу, исследуется больное число различных видов управлявжсти.Достаточное развито получила задача об управляемости по часта гюре-кетшх, что паяло отраяониа в монографиях Р.Габасооа и Ф.Кирилловой, А.А.Крэсовского, Н.Н.Красовского, Я.Н.РоЯтенберга. Решение задачи управляемости часто дополняется исследованием устойчивости нолучевного решения. Постановка задача об устойчввоста по отношении к части переменных пршадлеетг А.Ц.Ляпунову. Ввиду теоретической я прикладной ваетоста она привлекла внимание ученых и получила достаточно большое развитие, став сагостоятелышм разделом теортл устойчивости. УК820М давографак В.й.Воротникова, В.В.Рукяшюпа д А.С.Оз-лрянера, а такхэ работы А.С.Андреева, К.Кордувпну, К.Ряззто, К.ПеЬф|»ра. В задаче стабилизации по части перекэшых хорош разработан ко год Функций -Ляцукопа и вопросы стейштажруеглостя по горшку пркблигешта, полностью рошека задача о стеСщпплтруетастл ш час та по ре та пш л дкнейш,« автошждах сястеи (В.й.Воротнзков, В.П. Зубов, В.й.Коробов, В.В.Гук-тадов, Е.Я.ОяфНов).

Практически все теоретические результаты использовались, а часто н илщшфовелись прз гонения рззличтчх вопросов упрсшзшш

ч

ьратытолышы даихшшшм тььрдого тела. Подробно изучена эта п;юбла-ма в школе В.И.Зубоза, гд» развиты метода стабилизации и решены различные задачи управления с помощь» реактивных двигателей, ыахоняков и гироскопов, отраженные в монографиях В.И.Зубова, Е.Я.Смирнова. Широкий круг вопросов активного управления ориентацией космических аппаратов рассмотрен в книгах В.В.Кремоптуло, И.Д.Крутько. Б.В.Раушэнбаха.

Данная диссертация посвящэна исследовали» теоретических вопросов управляемости и стаоилизируемостн по части перемешал: лшшК-1Ш и нелинейных динамических систем я решению различных задач управления вращательным дежкэнием твердого тела при помощи реоктав-них двигателей, маховиков и гироданов.

Цель работа - получепие условий управляемости по часта перо-ыошшх линейных и нелинейных автономных динамических систем;

- получение условий стабялязируемости по час-га переменных линейных и нелинейных систем на основе понятая условной асимптотической устойчивости;

- исследование управляемости и стабилизируемое™ систем даКорен-циалыых уравнений, описывающих движение твердого тела под действием реактивной силы, маховиков и гироданов.

Методы исследования. Исследования, проводимые а дассертаци-онной работе, основаны на методах аналитической механики, теории управления и устойчивости движения. Использованы обобщенная то о рома А.М.Ляпунова об условной устойчивости,метод А.М.Ковалева ориен-тировашшх многообразий в теории управления, уравнения В.И.Зубова и П.В.Харламова движения систем твердых тел.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие основано результаты;

- доказаны необходимые и достаточные условия унрввллекадтк но часта церемонии линойных автономных систем, получен рад теорем о частичной управляемости нелинейных автономных систем;

- доказаны нэобходамив и достаточные условия стрболизнрувмостя до части порокэтшх лилейных автономии систви ш теорема о стабилззк-руомоотн по порвоцу приблиаовив нелинейных автономны* систем, при втоя опродэлешю частичной стебшшзяруемоста опирается по понятие условтюй асшеттогнческой устойчивости;

- вндэлокн случаи управляемости в стабшшвруошста в задачах упрощения вращательным движением твердого тела при покоада одного ро&ктяшого двигателя, одного маховяка, одного гиродгпа-

Практическая ценность. Получошш» и раската результата могут Онть использованы при разработке систем унро;шлгал совромегошми технически?® объектами, мишчвл искусственные спутника, космические лэтатолыше аппараты, роботы-маишуляторн и др.

■Апробация работы. Основные результата диссертации были доло-занн на Республиканской когс^ореицист "Динадако твердого тола л устойчивость ди'.гавнил" (Донецк, 1990 г.), на семинарах кофодрн даф-ференциалыш уравнений Донецкого государстаглишго угатиорситета п отдела прикладной механики Институте прюишдаой матомятшш и мохо-mirai All Украины.

Структура диссертации. Работа состоит из шли глав, зяклоте-тя, списка литературы из 56 наименований и содержит f/'jZ страпгц машинописного текста, 4 рисунка.

СОДЕРХАНИЕ ДИССЕРТА1Ш

Парная глава является вводной.В ней рассмотрены пктуальность тематики, история вопроса, предмет и метод исследования,дана крепкая аннотация работа.

Во второй главе рассмотрены вопроси управляв),¡ости и стабя-лизируемостн по часта перемэшшх динамически систем, онясмваекмх оОнкновенннш дифферешшалънымг уравнениями

х = i(r,u), (1)

гдз i { J с В", и ■ u(t)c U с if, t е Т= [0.»).

Для введения свойства управляемости но части переменных ф8-зоша вектор разбивается на два ггодпекторо хт= где ха£

€ Drac If, Xpt D^c if. Пржтмается следующее определение.

Определение 1. Система (1) называется управляемой по переменной ха в области D, если Чхао, XaieDa существует момент t(e Т а допустимое управление u(t) текоо, что соотаетствундво еиу решен® x(t) система (1) удовлетворяет условиям xtl(0)= ia(ti) - xal, x(t)e D при 0 t,.

Изучение системы (I) опирается на анализ лютарнзованяой система '

х = Ах + Ви. (2)

Доказаны необходимые я достаточные условия управляемости снствья* (2) да координате ха= аТх я по нереиешюа ха» (af.....a^ )Тг, взрезе шше в ранговой форда. Получены различные следствия в пршвдде-

ш шшютративние иршьри.

Исследование нелшейноа системы (1) проводится ыотодоы ораон-■»ированшх многообразий. Необходимые условия подучены с использованием инвариантах многобразиЗ систем управления. Для получения нэобходзшх и достаточных условий вектор f(i.u) представлен в ввда линейной комбинации векторных полей It(x),..., 1в(х)

í(x,u) •= fe,(x,u)f,(х) + ... + K,(í,u)í,(x) +

+ KNl(x,u)í,^(i) + ... + kJx,u)íB(x),

где k,ft(x,u)?0.....ka(x,u)*0 V(x,u)e D*U,a коэффициента ls^x.u),

.....k{(x,u) принимают как положительные, так и отрицательные значения.

Доказана следующая теорема.

Tuopaua I. Если система (1) локально управляема ю переменной хд = (at.....с^ >i, то система уравнений в частных производим

(f,(x). ^(х)) - A((x)V(i) + 0t(í),

(0t « Qt - ...= 0г» 0, I = 1,...,а)

т имеет решения У(х)= а*х для любого a (.tí* л любых непрерывных в

D функций (х) (í * 1.....а) и знакопостоянных одного знака в D

функций ü((l) (3 » I + 1,,.., в).

Свойство стеОшшзяруэмоста ш части переменных исследуется на основе понятия условной устойчивости в вводятся следущкм определением.

Определение 2, Система (1) называется стабилизируемо! по переменное ха, если существует управление u(x(t)) гаков, что соответствующее ему решение систета х - f(x,u(x)) удовлетворяет условиям: V е>0 3 ö>0 V хо<0) : l^jcö V t>0 gxaít)|<e ;

Доказаны необходимые и достаточные условия ствбшданруемости састеш (2) ш часта перэменных. С исшлкюванива обобщенно! тео-peteu Ляпунова об условной устойчивости доказана теорема о стабшй-eipyemcTs по первому приближена».

Теораш 2. Пусть яивааризовашая систеаа (2) ствбшшзвруоыа по переменной ха в ф(х,и) » 0(|х|.|и|).Тотжв система i « Ах + Bu + f(i,u) стабилизируема по переменю! ха.

В третьей глава исследуется задача о стабилизации равномерна вращений твердого тела вокруг главной оси с подащью одного рч-активного двигателя. Записана уравнения иоямуданного двитапял

х±= а4и )■ а1хгхг,

х2= ахш:г+ а2и + (3)

ха= а,и +

где ы - угловая скорость равно?,¡арного вращения , а{ - динамические параметра, а{ - координаты единичного вектора момента реактивной с&ш.

Показано, что система (3) управляема и ствСшжзируена по линейному приближению, если еэ параметры не удовлетворяют следующим условиям:

1. ш = 0, 2. О, 3. а4= О, 4, ага£ - а,а* = О,

которав определяет крятические случаи. Для исследования управляемости в этих случаях применены «этода нелинейной теории и доказано, что система (3) управляема в случаях 1-3 за исключением значений аг= 0, аг= 0 я а(= 0, прл которых , а таюю в случве 4, система (3) неуправляема. Причиной неуправляемости является существование инварианта« многообразий системы (3), которые соответствует либо равномерным вращениям вокруг второй главной оси, либо двигениям в плоскости а21з- аяхж* 0.

Для исследования стэбшшируешети праменэиэ теория критически случаев. Положение равновесия изучено с помощью теоремы Барба-шина-Красовского. В качестве функции Ляпунова выбрана кинетическая энергия 2В = А,, а в качество стабилизирующего уп-

равления принято и = -(Л1а1х,+ кгажхг+ ). Показано, что при а/ 0 положение равновесия является стабилизируемым. В случаях 2,3 установлено, что при любом выборе управления в виде и а с,!, + + с1х1 + с>11 + <р(а?,где функция ср нелинейно зависит от х, нулевое решение систем» (3) нельзя сделать асимптотически устойчивым, можно лишь подобрать значения с{ так, что нулевое решопне будет устойчиво неасимптогическн. В случае А при приведения лиявари-йованной сястекы (3) к каяошггоейому виду оказывается, что собственное значение X, соответствующее неуправляемому подпространству, равно А. = -а^с^'ш и, в отличив от предыдущих случаев, отлично от нуля. Поэтому вопрос о ствбшшзируемости решается по

лгнзйпоку приолшвьнми : ?.<0 - дшашше сте(5а.ттлрувш, ЪО - даа-

ЕЬКлУ НеСГis0«UKBilpyомо.

Для управления ориентацией твердого тела динамические урбвдеаал (3) рассмотрены сссмо стнс с кинематическики уравнэншш Эйлер«, В лулвйной постановке показано, что расшреннан система управляема и стабилизируема при тех же условиях, что ш система (3). '

Чйтовртая глава посвящена задаче управления вращательным дшжэнкэм твердого тела ври помощи одного маховика. Управление кра^йтельыы движением тела-носителя при помощи установленных на нем маювяков основано на перераспределении кинетического момента механической система "носитель - управляющее устройство" кевду составляющими систему толами при изменении кинетического момента И8С0МШС тел. При этом суммарная кинетический комэнт тела-носителя и маховиков остается постоянным во время движения. Это приводит к но упра вля s мо сти (по всем перемешшм) системы уравнений, описывао-щой двнжэнаэ данной механической систеш, к вызывает необходимость рассмотрения вопросов управляемости н стабялвзируешсти по чести переыэшш.

В качестве опорного движения набрано равномерное вращение телэ-носктеля вокруг первой главной оси при покоящемся маховике. Уравнения возмущенного дотация имеют вид

А Х= (кг- (еах,- еяхг е,и,

АА" А,Нг»+ Ш)Х«+ {0.Ш + е»Г4~ в.1» К." eaU-Авхз= (А1- А,Нх1+ ш)хж+ (-е^ш + ejxt )xt- е и,

и,

где ш - угловая скорость равномерного вращения, At - моменты инерция, в{- координата единичного вчкторв оси вращения маховика.

Вышлем матрица управляемотк Q линеаризованной система (4). На основа ее анализа выделены четь-ре случая:

1. а 0: rank Q = 3

2. а = 0, е*+ е** 0: rank (1 = 2

3. е*+ е*= 0: rank Q = 1

4. и = 0: rank Q = 1.

Здэсь а = A, <At- а, )о*+ ht (А,- а,)в*.

о

Систома (4) неуправляема по ясен переметам. Для исходной сисгагаа представляет шггорос тучэяпа вп управляемости и стебкли-знруы'осги но отнсиедаю к углсрой скорости тела-носителя, что для систем« (4) соответствует управляемости л стабялкзируаь'оета па по ррм&ппш х±,х1,х>. Применяя результата второй глава к исследоввгип линеаризованной систагя!, получаем, что система (4) в линеЯпок приближении управляема п слуаж 1, 2 при о^ О, а осталыилс случая*

система (4) в линейном прнЛпаинта неупрзпляема по переменим« г , » •

Исследование локальной управляемости система (4) по перемоч-¡т?1 х1,хг,хя в «фэстяостя по.тсетт'я равновесия ш = 0 проведано с помощью теореш 1. Анализ свелся к изучения гопроса о существовании решений V = К1 хх у система уравнений в частит щюязводкнх

е1 37 ег 67 еа 64 07 А 6х А. (9г А <3г 1

11 X 2 Э 9 4

7Г- [«V \ (еЛ~ +

+ -4 [<А,- А,)®,*.* (е,*4-

2 Ж

- + -4-[(А,- {0%хг

= +

где КЛх.х.,х.,хл), >. {?. ,х. )- непрерывные фуикцул в не ко-

1 1 { 8 4 1 *

торой окрестности нуля, а й(х1,хг,хя,хл) - знакопостоянная футщдя в той яэ окрэсткоста.

Доказано, что данная скстею так»ас рояеннй пэ допускает, я псслздуоиая система (4) является управляемой во угловой скорсстя тела-носителя пря любом пологотш маховяка относительно тала-носа-

7 ЗЛЯ.

Для ясогадованяя стабалкзЕруотстй пршвнеаз таорпич ?.. Доклеило, что в случав 1, 2 возмоета стобшпгемдо! по дормюпияч х9,х . л;, случай 3 является критическим. Ствбг.;п!зшпч гкшяеяяя равзеге-см (случай 4) изучена с момоздр ог5обо;9гтпя тпор»?и Карбттэтм-Кря-совгкото на задачи устойчивости по части п?рож>нпнх.

Пятая глява поспгцопо одаочу вз ппкОолео э<М,?!?7;*п""';т егого-Со» управления врпздчтаяьным депзянкзм таордого трлз - иря !ю?*,гч

диустопешшх гироскопов - гиродшов. В отличив от кааовяков, влия-Ш19 которых на суьксршй кинетический момент осуществляется за счат их ускорения ш торетвння, изменения суммарного кинотичес-кого момента при использовании гиродшов происходит в основном за счет поворотов оси врацония ротора при поворотах гарокакерц в под-восо. Управлениями tipa атом являются проекции прикладываемых к раже гироскопа моконтов аел на соотвотстиущие оса вращения. l'pamoiBiH даижвжм твла-аоснтехя с одним гиродшок; имээт пятый порядок u является достаточно громоздкими. Рассмотрен случай динамически симмотричиод гнрокамари и сферического ротора. Вместо угловой скорости гирокашры введена новая шронанаап равная "абсолютному кинетическому моменту гирокаьирц относительно ее центра касс. Это позволило преобразовать уравнения деагекня к удобному виду

6иш = (0ош + Kl0 + li[n»u - кты10 + + -^Í-J - ulo, к = Ъктш + и,

Вф = А. =

к = КоС03 ф - Ilo8ln Ф, П = Koeln ф + ПоС03 ф,

где tú - угловая скорость тела-носителей, <р - угол поворота гнрока-меры, h - кинетический мо.чэнт ротора, во- тензор инерпда носителя с гироскопом, В - мокеыт инерции гирокашры с ротором относительно оси вращения хирокаморы, lin>lo,no - тройка взаимно ортогональных ортов, задащих начальное располохешш гародшю в теле-носителе.

В качестве невозмуденного движения выбрано полосенке равновесия тэла-косителя и гирокамары. Записаны jравнения возмущенного двшю1ыя. О использованием результатов второй глапи показано, что в линейном приОяшнии система уравнений юзмущэнного двшенвя является неуправляемой и ностабилязируемой как по перомэннвм xt, хж, хв, х€, так и но шремиишм xt, xt, хщ. На основа теорема 1 установлено, что для системы уравнений возмущенного дввхеняя выложены необходимее условия локальной управляемости по угловым скоростям tоло-восителя и ги{юкаг<мры (по переданным xt, хг, xt, ).

В вакядчэиш дана сводка осношш результатов дассертвцгш:

- доказаны необходимые Е достаточный условия управляемости по часта порекввных лилейных Е вахинкЯных автономных систем;

- доказаны ввовходшш к достаточные условия ста&шгзируешсти ко часта порвменншс линейных ввтошвдых скствк н теорема о стабшшза-

руешэста по первому прайшкежш Евдшнейных автономных систем;

- выделены случаи стабилизнруемости равнодарянх вращений, изучена задача управления ориентацией твердого тела при помощи одного реактивного двигателя;

- указаны случаи управляв!,юста и стабилизпруемоста по угловоа скорости толя-носителя в задаче управлеття вращательным двтганиеи твердого тола при повода одного моювика шш одного гвроданя.

Оспсешо результаты двссертацяа спубяшсовмщ в слвдугазх работах:

1. Ковалев A.M., Исса Салем Абдвлла. Стабилизация равномерных вращений твердого тела // Динамика твердого тела н устойчивость двихепия: Тез. докл. Республиканская конференция (Донецк, 4-6 сон-тября 1S90 г.). - Донецк: Ка-т npmui. математики и механики АН УССР, 1990. - С.41.

2. Исса Салом Абдалла. Управление угловнм движением твердого тела при по?юпя гиродиго // Исследование прэцессиопвнх и управляемых двзжшиЯ твердого тала: Препршгг » 00, Донецк, Кн-т прикл. иатеиатвки и механика АН Украяш. - 1392. - С. 35-41.

3. Ковслйв A.M., Исса Салем Абдадла.' Стабилизация рякю\тар;пл: Ера'поииЯ тээрдого тола вокруг глэвпо!* оса // Праги, voxeinwn. -1992.- 01.28, Ю. - С.03-89.

4. Ковалев A.M.. Исса Салэм Абдадла. стабилизация регтсморм« врбщэннй твердого тела при по«оща одного роторя // Кэхвннка твор-дого тела. - 1994.- Вил. 2б(в печати).

Подпиоано в печать 02.Г2.92. Усл..п.л. 0,75. Бумага писчая. Офсетная печать. Формат 60х8'»/1б. Заказ £88. ЮОэкз. Бзсплэтно. Р-т НЭП АН Украины. 3'MJ0W, г.Ьонецк, ул.Уннпроитчтоки,??.