Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Основные результаты, выносимые на защиту.

Глава I. ГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ.

§ 1. Уравнения движения изображающей точки голономной механической системы

§ 2. Уравнения Лагранжа первого и второго рода.

§ 3. Некоторые замечания о множителях Лагранжа.

§4. Принцип Даламбера-Лагранжа.

§ 5. Применение уравнений Лагранжа первого рода для исследования собственных колебаний механических систем с распределенными параметрами

§ 6. Специальная форма уравнений динамики системы твердых тел

Глава II. НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Реакция неголономной связи

§ 2. Уравнения движения неголономных систем

§ 3. Примеры применения различных видов уравнений неголономной механики

§4. Принцип Суслова-Журдена

§5. Определение возможных перемещений по Четаеву

Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИЛ

§ 1. Некоторые общие замечания

§ 2. Теорема о силах, обеспечивающих выполнение голономных связей

§3. Пример применения теоремы о силах, обеспечивающих выполнение голономных связей

§4. Постулаты Четаева и теорема о силах, обеспечивающих выполнение неголономных связей

§ 5. Пример применения теоремы о силах, обеспечивающих выполнение неголономных связей

§6. Линейные преобразования сил и принцип Гаусса

Глава IV. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАСАТЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ НЕСВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ.

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ

§ 1. Разбиение уравнениями связей касательного пространства на два подпространства. Идеальность связей

§ 2. Взаимосвязь дифференциальных вариационных принципов механики

§ 3. Геометрическая интерпретация линейных и нелинейных неголономных связей. Обобщенный принцип Гаусса.

§ 4. Уравнения движения в квазикоординатах. Уравнения

Пуанкаре-Четаева.'.

§ 5.' Идеальные неголономные связи п-го порядка. Смешанная задача динамики.

§ 6. Движение спутника Земли с постоянным по модулю ускорением

§ 7. Линейные неголономные связи общего вида при порядке п >

Теории движения неголономных систем всегда уделялось достаточно большое внимание. Еще в исследованиях И.Ньютона, Л.Эйлера, И.Бернулли, Я.Бернулли, Ж.Даламбера, Ж.Лагранжа встречались элементы задач о качении твердых тел без проскальзывания, являющиеся характерными для движения систем с неголо-номными связями. С.Пуассон [353, 1833 г.] при решении подобных задач использует общие теоремы динамики. Е.Раус в книге [357, 1884 г.] рассматривает задачу о качении твердого тела без скольжения по неподвижной поверхности и приводит ее к квадратурам для многих сложных случаев, например, для случая качения тяжелого однородного шара по цилиндрической поверхности, имеющей циклоидальное сечение. Движение катящихся тел рассматривает и П.Аппель [253, 1899 г.]. Интересную задачу о качении без скольжения шара с имеющимся внутри гироскопом рассмотрел Д.К.Бобылев [13, 1892 г.]. Для случая, когда центр масс всей системы находится в центре шара, ему удалось довести задачу до конца, выразив все искомые неизвестные через эллиптические функции. Н.Е.Жуковский [52] показал, что если в сферическую оболочку ввести дополнительное кольцо и подобрать специальным образом моменты инерции, то изучение задачи упрощается. При этом он привел геометрически наглядное исследование.

Все эти задачи различными авторами разными способами решались верно. Однако на рубеже XIX-XX веков попытки решить типично неголономные задачи привычными методами голономной механики привели к ряду знаменитых ошибок, сыгравших существенную роль в становлении неголономной механики. Так, в 1885 и 1886 годах К.Нейман [341, 342] для составления уравнений движения тяжелого тела, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости, применил обычные уравнения Лагранжа второго рода. Правда, вскоре он понял, что в подобных задачах следует пользоваться более сложными уравнениями Лагранжа с множителями [343, 1887, 1888 г.г.]. Поставленную им задачу он этим аппаратом решил до конца в 1899 г. [344].

Более частную задачу решал Э.Линделёф [326, 1895 г.]. Он рассматривал тело, ограниченное поверхностью вращения, у которого центр инерции расположен на оси вращения, являющейся динамической осью симметрии тела. Силы предполагались консервативными, причем силовая функция зависела лишь от координат точки касания тела. Обращаясь к работе С.Пуассона [353], Э.Линделёф предлагает вместо общих теорем динамики исходить из принципа Гамильтона или из уравнений Лагранжа второго рода, которые можно из него получить. Составив два уравнения неголономных связей, он использует их при составлении кинетической энергии и ошибочно считает, что этим полностью учтена неголономность задачи, а поэтому можно составлять уравнения Лагранжа второго рода. Естественно, что полученная таким образом система дифференциальных уравнений оказалась проще истинной и могла быть решена в квадратурах.

Аналогичные ошибки допустили Э.Кречини [277, 1889 г.] и Г.Схоутен [359, 1899 г.]. Первый незаконно пользовался для неголономной системы уравнением Гамильтона - Якоби, а второй — уравнениями Лагранжа второго рода. Пренебрегали дифференциальным характером неголономных связей также П.Моленбрук [339, 1890 г.] и ряд других ученых. Даже один из будущих создателей неголономной механики Л.Больцман в 1885 г. допустил подобную ошибку [261]. Он применил уравнения Лагранжа к исследованию вращения зубчатых и фрикционных колес, на движение которых наложена неголономная связь, выражающая пропорциональную зависимость угловых скоростей колес. Свою оплошность Л.Больцман исправил лишь в 1902 г. [262].

Внешне изящное, но неверное решение Э.Линделёфа настолько понравилось П.Аппелю, что он в качестве примера на применение уравнений Лагранжа второго рода поместил его в § 452 своего первого издания учебника по теоретической механике [252, 1896 г.]. Во втором издании 1898 года, ссылаясь на исследования Ж.Адамара [294] и А.Фиркандта [371], он пишет: ". результаты Линделёфа ошибочны. Я указал на эту ошибку Линделёфу в 1898 г. и сделал исправление в следующих изданиях моего " Traité" ".

Допущенную Э.Линделёфом существенную ошибку по-видимому первым заметил С.А.Чаплыгин и сообщил об этом автору. 25 октября 1895 г. С.А.Чаплыгин сделал об этом доклад на заседании отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. С.А.Чаплыгин отмечает, что в своей работе ". на первых же страницах . Линделёф допустил важную ошибку, вследствие которой найденные им уравнения оказались проще истинных, чем и объясняется весь кажущийся успех автора". В этом же докладе С.А.Чаплыгин впервые приводит свои уравнения движения неголономных систем. Через два года он нашел правильное решение задачи Линделёфа и опубликовал свои результаты в статье [231].

Интересно отметить, что видимо для наглядности решения С.А.Чаплыгин уравнения движения задачи Линделёфа выводит не с помощью своих уравнений, а применяя теоремы о движении центра масс и об изменении кинетического момента системы, при этом он вводит в рассмотрение силу трения, которую потом исключает из полученных уравнений. Для большей общности С.А.Чаплыгин присоединяет к телу гироскоп и сводит решение к квадратурам, причем они упрощаются в случае, рассмотренном ранее Д.К.Бобылевым [13].

После С.А.Чаплыгина задачу Линделёфа решали Д.Кортевег [315] с помощью уравнений Рауса со множителями связей, n.Am^bv [256] и П.В.Воронец [27] на основе предложенных ими уравнений, а так же ряд других ученых. Таким образом, мы видим, что работа Э.Линделёфа [326] в большой степени способствовала становлению и развитию неголономной механики. При этом важно отметить, что правильный учет дифференциальности связей в этих первых задачах удавалось провести до конца с большим трудом. В этом отношении весьма показательна упоминавшаяся выше работа [315], в которой Д.Кортевег подробно описывает ошибки Г.Схоутена, Э.Линделёфа, П.Моленбрука, П.Аппеля, но в то же время сам допускает аналогичную ошибку при попытке создания теории малых колебаний в случае наличия неголономных связей.

Как самостоятельный раздел механики Ньютона неголономная механика оформилась в работе Г.Герца "Принципы механики, изложенные в новой связи" [299, 1894 г.]. Именно ему принадлежат термины голономные и неголономные системы. Одними из первых правильные уравнения движения при наложении неголономных связей предложили М.В.Остроградский [165, 1834 г.], М.Феррерс [289, 1872 г.] и Е.Раус [357, 1884 г.]. Эти уравнения содержали множители Лагранжа, причем Е.Раус для линейных связей ввел форму, которая в настоящее время в литературе обычно называется уравнениями Лагранжа второго рода с множителями [42]. Отметим, что первоначальную редакцию этого метода Е.Раус предложил в 1877 г. в третьем издании своей " Динамики системы твердых тел".

Первым уравнения движения без множителей Лагранжа предложил С.А.Чаплыгин [231, 1895 и 1897 г.г.]. Он ввел некоторые условия, которым должны удовлетворять линейные уравнения связей, силы и выражение кинетической энергии (такие системы позже стали называть системами Чаплыгина) и преобразовал с помощью уравнений связей вид кинетической энергии. В результате ему удалось выделить в левой части уравнений движения группу слагаемых типа оператора Лагранжа, а оставшиеся слагаемые характеризовали неголономность системы и обращались в нули в случае интегрируемости дифференциальных уравнений связей. Следует отметить, что практически все рассматривавшиеся тогда задачи неголономной механики подпадали под тип систем Чаплыгина, так что эти уравнения имели весьма широкое применение. В 1901 г. П.В.Воронец [24-26] обобщил уравнения Чаплыгина на случай нециклических голономных координат и на случай нестационарных связей.

Работа С.А.Чаплыгина привлекла большое внимание многих выдающихся ученых своего времени. Было предложено значительное количество различных форм уравнений движения неголономных систем без множителей Лагранжа. Это уравнения В.Вольтерра [372, 1898 г.], Л.Больцмана [262, 1902 г.], Г.Гамеля [295, 1904 г.] и др. Установленные ими различные виды уравнений движения неголономных систем составлены в квазикоординатах и имеют общую структуру уравнений Лагранжа второго рода с корректирующими аддитивными членами неголономности. Интересно отметить, что параллельно с обобщением уравнений Чаплыгина в тех же работах [24-26] П.В.Воронец выводит и уравнения движения в квазикоординатах. Эти исследования обобщаются в его магистерской диссертации [27]. Уравнения, полученные П.В.Воронцом, Л.Больцманом, Г.Гамелем, весьма похожи по внешнему виду и выводились почти одновременно. Этим объясняется тот факт, что в современной научной литературе у различных авторов они имеют разные наименования.

Для изучения динамики неголономных систем предлагались и иные формы уравнений, в которые так же не входили множители Лагранжа. Это прежде всего уравнения Аппеля, приведенные им с краткими пояснениями в работах [254, 255, 1899 г.] и изложенные полно в 1900 г. [257]. Эти уравнения используют понятие энергии ускорений (название предложено А.Сен-Жерменом [358]). Интересно, что в работе [256] этим методом Аппель решает задачу Линделёфа. В 1924 г. И.Ценов [367] вывел уравнения смешанного типа, содержащие как энергию ускорений, так и кинетическую энергию. Несколько позже И.Схоутеном [360, 1928 г.] были предложены уравнения, имеющие контравариантную структуру.

Для уравнений Аппеля, как и при выводе уравнений Больцмана - Воронца -Гамеля, можно проследить параллельные исследования и у других ученых. Так, собственно говоря, эти же идеи высказывались и в работах [334, 292, 299 с.224], правда, в статье Дж.У.Гиббса рассматривалось движение лишь голономных систем. По-видимому, независимо от Аппеля аналогичные уравнения получил и Р.Журден [309].

Следует обратить внимание на уравнения Г.Маджи [329, 1896 г.], предложенные им фактически одновременно с С.А.Чаплыгиным и почти не замеченные современниками. Эти уравнения не содержат множителей Лагранжа, записаны они в квазикоординатах и являются линейными комбинациями уравнений Лагранжа второго рода. Ими весьма удобно пользоваться при решении задач нелинейной неголономной механики [402, 414], однако и в настоящее время они недостаточно известны. Например, в работе [212] выведены обобщенные уравнения Лагранжа, являющиеся, собственно говоря, уравнениями Маджи. Сам Г.Маджи в 1901 г. опубликовал заметку [330], в которой показал, что уравнения Вольтерра, так же как и уравнения Аппеля, могут быть получены из уравнений, предложенных им еще в 1896 г. в его книге по механике. В работе [205] Ш.Х.Солтаханов из уравнений Маджи получает все остальные основные формы уравнений движения неголоном-ных систем. Уравнения Маджи и выражения для реакций неголономных связей обсуждаются в работе Дж.Папаставридиса [347].

Новое направление в получении уравнений движения дала статья А.Пуанкаре [352, 1901 г.]. Как пишет В.В.Румянцев [195, с.З], "замечательная идея Пуанкаре [352] представлять уравнения движения голономных механических систем с помощью некоторой транзитивной группы Ли бесконечно малых преобразований была развита Четаевым [239, 240, 274] на случай нестационарных связей и зависимых переменных, когда группа преобразований интранзитивна. Четаев преобразовал уравнения Пуанкаре к виду канонических уравнений и разработал теорию интегрирования этих уравнений". Теория Пуанкаре - Четаева работами Л.М.Мархашова, В.В.Румянцева, Фама Гуена [132, 133, 195-197, 218-220] была распространена и на неголономные системы. Как отмечает В.В.Румянцев [196], эти уравнения являются наиболее общими уравнениями неголономной механики, из них могут быть выведены все остальные виды уравнений движения.

Параллельно с получением различных форм уравнений движения велась работа по созданию вариационных принципов, применимых для неголономной механики (детальному обзору вариационных принципов механики посвящены работы В.Н.Щелкачева и Дж.Папаставридиса, имеющие весьма обширную библиографию [249, 349]). В 1894 г. в своих знаменитых "Принципах механики" [299] Г.Герц показал, что в классической формулировке принцип Гамильтона не применим к неголономным системам. Он поясняет это во Введении на примере шара, катящегося по инерции без скольжения. Изящное доказательство этого же положения дает и А.Пуанкаре [351, 1897 г.].

Принцип Гамильтона - Остроградского впервые обобщил на стационарные неголономные системы О.Гёльдер [300, 1896 г.]. Этот результат при использовании криволинейных координат А.Фосс [373, 1900 г.] распространил на случай нестационарных связей. Почти одновременно с ним аналогичные исследования провели также П.В.Воронец [24, 1901 г.] и Г.К.Суслов [210, 1901 г.], причем любопытно, что их работы были напечатаны в одном и том же номере журнала. Следует отметить, что принцип Гамильтона - Остроградского обобщал на случай неголономной системы с двумя свободными параметрами и С.А.Чаплыгин. Возможность применения интегральных вариационных принципов механики для исследования движения неголономных систем исследована в работах В.С.Новоселова, В.В.Румянцева, A.C.Сумбатова и др. [157-159, 187, 188, 191, 208].

Многие исследователи для вывода уравнений движения неголономных систем использовали принцип Даламбера - Лагранжа, но тогда требовалось доопределить понятие возможных перемещений при наложении неголономных связей. П.Аппель [252] и Дж.У.Гиббс [292] для этого случая вводили возможные перемещения по правилам, фактически отождествлявшим их с возможными скоростями, что является вполне естественным. Но именно с понятием возможных скоростей связал соответствующий принцип неголономной механики Ф.Журден [310, 311, 1908, 1909 г.г.]. Отметим, что практически этот же принцип, но с несколько видоизмененной терминологией сформулировал и Г.К.Суслов [209, 1900 г.]. В связи с этим вариационный дифференциальный принцип для неголономных систем справедливо было бы называть принципом Суслова - Журдена [398]. Е.Делассю [279] предлагал называть полученное утверждение аналитической формой обобщенного принципа Даламбера. Исследования по использованию принципа Суслова - Журдена продолжаются и в настоящее время (см., напр., работу [269]).

Применение в неголономной механике одновременно и принципов Даламбера -Лагранжа, и Журдена, и Гаусса ставило вопрос о взаимосвязи дифференциальных вариационных принципов механики. Уже в начале XX века этому вопросу уделялось внимание (напр., статья Р.Лейтингера [320, 1913 г.]), однако всестороннее изучение этой проблемы было начато работой Н.Г.Четаева [237] и завершено исследованиями В.В.Румянцева [186]. Этому направлению и в настоящее время уделяется большое внимание [271, 363].

Н.Г.Четаев в той же статье [237] вводит важнейшее понятие для неголономной механики — возможные перемещения системы при наличии нелинейных неголономных связей (связи типа Четаева). Эти условия являются основным аппаратом исследований в неголономной механике (см., напр., работы В.С.Новоселова [151156], статьи последнего времени [323, 340, 420]; в работе [324, 1994 г.] устанавливается связь между моделями Четаева и Вакко).

Задачи, поставленные классиками неголономной механики, привлекают большое внимание ученых. Так, движение тяжелого тела вращения в постановке С.А.Чаплыгина [231] изучали А.С.Сумбатов [207] и А.П.Харламов [227] (о других аналогичных исследованиях см. ниже), развитие теоремы о приводящем множителе [234] вошло в ряд статей и в монографию Ю.И.Неймарка и Н.А.Фуфаева [148], видоизменение принципа Гаусса, предложенное Н.Г.Четаевым [238] (принцип Четаева), расширено В.В.Румянцевым [185, 186] и т.д. Большое внимание уделялось и уделяется созданию новых форм уравнений движения неголономных систем и расширению имеющихся видов уравнений на более широкий класс связей: А.Пшеборский [354] распространяет уравнения Маджи на случай нелинейных неголономных связей, В.С.Новоселов [152] предлагает уравнения типа Чаплыгина и уравнения типа Воронца - Гамеля, позволяющие применять уравнения Га-меля [295, 296] при нелинейных связях для нестационарных неконсервативных систем, Дж.Папаставридис [348] увеличивает область применения уравнений Больц-мана - Гамеля, свои формы уравнений предложили Я.Нильсен [345], Д.Манжерон и С.Делеану [333], Бл.Долапчиев [282, 284], Г.С.Погосов [170], Н.Н.Поляхов [173, 174], М.Ф.Шульгин [245], И.М.Шульгина [247], А.И.Родионов [179] и др. Имеется большое количество работ, посвященных обсуждению различных форм уравнений движения (напр., [283, 285, 293, 318]),

Заметный резонанс, особенно в западной литературе, получили уравнения Кей-на [313]. Их геометрическую интерпретацию дает статья M.JIeccepa [322], с их помощью решен целый ряд задач неголономной механики. Многочисленными исследованиями [263, 281, 322, 338, 361, 379] показана прямая связь уравнений Кейна с уравнениями Маджи и Гиббса - Аппеля.

В 1906 г. Ж.Куанжель [356] получил каноническую форму уравнений движения неголономных систем, исходя из уравнений Рауса. Эти результаты развивали С.Дотевиль и Т.Пёшль. Метод Якоби при двух криволинейных координатах обобщал на неголономные системы С.А.Чаплыгин [234]. Каноническую форму уравнений для неголономных систем получил и Н.Н.Поляхов [173]. Одна из теорий интегрирования дифференциальных уравнений неголономной механики была предложена И.С.Аржаных [3, 4]. В 1939 г. В.В.Добронравов [40] обобщил теорему Гамильтона - Якоби на случай канонической системы неголономных уравнений. Однако, опираясь на свои исследования [142, 143, 145], Ю.И.Неймарк и Н.А.Фуфаев в статье [144] подвергли критике работу В.В.Добронравова [40], считая, что полученные им результаты относятся лишь к голономным системам. Одновременно они подвергли сомнению и правильность вывода уравнений В.Вольтерра [372]. Следует отметить, что В.В.Добронравов не согласился с выдвинутыми против него и В.Вольтерра возражениями [41]. Эта дискуссия подчеркивает, насколько сложной является теория движения неголономных систем.

Движению при наличии неидеальных связей посвящены работы Е.А.Болотова [14, 1904 г.], Г.К.Пожарицкого [171, 1961 г.], В.В.Румянцева [180, 182, 1961 г.] и др.

Специальными задачами аналитической механики являются задачи с неудержи-вающими связями. По-видимому, понятие о таких связях впервые ввел М.В.Остроградский, который обобщил на подобные системы принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера [165]. Движение при освобождающих связях рассматривал и Г.К.Суслов [211]. Однако особенно полно с привлечением современного математического аппарата общий случай движения при неудерживающих связях изложен в монографии В.Ф.Журавлева и Н.А.Фуфаева [58]. Указанная книга подытоживает многочисленные работы в этой области (см. библиографию в конце монографии) и позволяет использовать мощную теорию аналитической механики для исследования обширного класса различных практически важных задач: движение виброударных и виброперемещающих систем, качение различных систем при учете возможного проскальзывания и т.д. Среди подобных задач всесторонне рассмотрены, например, вопросы повторных соударений в монографии Р.Ф.Нагаева [141], возможность бокового скольжения автомобиля в книге М.А.Левина и Н.А.Фуфаева [109].

Классическими задачами неголономной механики являются задачи о качении тел по твердой поверхности. После более ранних работ Х.М.Муштари [139, 1932 г.] и Ю .П.Бычкова [18, 1965 г.] такие исследования активно проводили А.В.Карапетян [69-75], А.П.Маркеев [120-125, 127-130], В.К.Пойда [172], В.В.Румянцев [181, 189, 190], В.А.Самсонов [199], Я.В.Татаринов [214], В.Н.Тхай [217], Н.А.Фуфаев [225, 226], Е.И.Харламова [228], В.Я.Ярощук [250], Ян Хайсин [286, 381], Т.Ямамото [380] и др. (напр., Л.Д.Акулен'ко и Д.Д.Лещенко [1]). Современное состояние этого вопроса и обширная библиография имеются в монографии А.П.Маркеева [128, 1992 г.].

Большие трудности долгое время вызывало исследование устойчивости неголо-номных систем. Так, например, даже Е.Уиттекер [376], повторяя ошибки Ф.Клейна и Д.Кортевега [315], считал, что дифференциальные уравнения малых колебаний при голономных и неголономных связях пишутся одинаково. Одним из первых влияние неголономности системы на ее устойчивость правильно объяснил О.Боттема в 1949 г. (см. и более позднюю работу [265]). Детальное изучение устойчивости неголономных систем было проведено в работах М.А.Айзермана и Ф.Р.Гантмахера [251], Р.М.Булатовича [15], Д.В.Зенкова [63], А.В.Карапетяна [6975, 198], Г.Н.Князева [86], В.В.Козлова [90, 93], Ю.И.Неймарка и Н.А.Фуфаева [147, 148], А.Н.Обморшева [163, 164], В.В.Румянцева [181, 183, 184, 189, 190, 198], Л.Н.Семеновой [201], Лилона Кая [325], Жу Хайпина и Мэя Фунсяна [384] и др.

Изучению, движения неголономных систем с переменными массами посвящены работы В.С.Новоселова [161], В.А.Сапы [200], М.Ф.Шульгина и И.М.Шульгиной [248] и ряда иностранных ученых ([291], Лю Шаокая, Мэя Фунсяна, Као Ионгфена, Чанга Ефана и др.). Новое направление в изучении стохастических неголономных систем открывают работы Н.К.Мощука и И.Н.Синицына [137, 138].

Теория движения неголономных систем успешно применялась и применяется при решении различных технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла (М.Бурле, М.Буссинеск, Е.Д.Дикарев, С.Б.Дикарева, Е.Карвалло, А.М.Летов, И.И.Метелицын, В.К.Пойда, Н.А.Фуфаев [172, 266, 267, 272]), в теории движения автомобиля (Н.Е.Жуковский, П.С.Линейкин, Л.Г.Лобас, Ю.И.Неймарк, В.К.Пойда, Н.А.Фуфаев, А.А.Хачатуров, Е.А.Чудаков [53, 58, 110, 111, 148, 172]), в теории взаимодействия колеса и дороги (В.Г.Вильке, В.Гоздек, М.И.Есипов, А.Ю.Ишлинс-кий, М.В.Келдыш, М.А.Левин, И.В.Новожилов, П.Рокар, Н.А.Фуфаев [23, 58, 76, 109, 149]), в различных машинах с вариаторами скорости (И.И.Артоболевский, И.И.Вульфсон, Я.Л.Геронимус, В.А.Зиновьев, А.Й.Кухтенко, А.В.Мальцев, В.С. Новоселов, Б.А.Пронин, И.И.Тартаковский [7, 32, 106, 154]), в теории движения электрических машин (А.В.Гапонов, В.А.Диевский, О.Енге, Г.Килау, А.Ю.Львович, П.Майссер, Ю.Г.Мартыненко, Ф.Ф.Родюков, И.Штайгенбергер [29, 30, 39, 114, 115, 131, 287, 332]) и в целом ряде других областей техники (напр., обкатка ротора по жесткому подшипнику [36]).

В 1981 г. в работе [395] было показано, что ускорение системы можно разложить на две ортогональные составляющие, одна из которых полностью определяется уравнениями нелинейных связей. Аналогичные разложения в основном для линейных неголономных связей получают в 1991 г. Г.Брокли(Браухли) и В.В.Ве-личенко, в 1992 г. — В.Блайер, М.Борри, К.Ботассо, П.Мантегаца, Г.Эссен, И.Шторьх, С.Гатес, Ф.Удвадиа, Р.Калаба [20, 260, 264, 268, 288, 366, 368]. Они пользуются матричным исчислением и получают уравнения, позволяющие определить движение и реакции голономных и неголономных связей для системы соединенных друг с другом тел. Предлагаемый ими проективный метод фактически является своеобразной формой записи уравнений Маджи и оказывается приспособленным для использования компьютеров. Для применения методов компьютерной алгебры в задачах механики особенно полезна монография Д.М.Климова и В.М.Руденко [85].

Подобные задачи весьма актуальны при решении проблем робототехники. При этих исследованиях удобно опираться на монографии Г.В.Коренева [104], Г.Ф.Мо-рощкина [136], Д.Е.Охоцимского и Ю.Ф.Голубева [167], И.С.Виттенбурга [377], на работы В.А.Малышева [117, 118]. Новый эффективный подход к составлению необычайно компактных уравнений движения агрегативной механики системы твердых тел был предложен В.А.Коноплевым в работах [96-102] и обобщен в монографии [103]. Предлагаемые здесь алгоритмы оказываются по отношению к известным методам наиболее экономичными в вычислительном отношении.

Отдельным вопросом неголономной механики является вопрос о возможности реализации неголономных связей (исследования А.В.Карапетяна, К.Каратеодори, В.В.Козлова, И.В.Новожилова, В.В.Калинина, Н.А.Фуфаева, В.Вальковича [71, 87, 94, 150, 224, 270, 369]). Еще на заре неголономной механики он активно обсуждался в работах П.Аппеля, Е.Делассю и др. [258, 259, 278, 280]. Особенно большой интерес вызывал пример Аппеля - Гамеля [258, 259, 297], рассматриваемый с точки зрения возможности создания механическим путем нелинейной неголономной связи. К обсуждению этого примера часто возвращаются и современные исследователи [157, 273, 355, 379]. Некорректность предельного перехода, проведенного П.Аппелем и Г.Гамелем, показана Ю.И.Неймарком и Н.А.Фуфаевым [146]. Таким образом, в неголономной механике считается, что при движении твердых тел без проскальзывания и при наличии острых краев могут осуществляться лишь линейные неголономные связи.

Пределы применения теории движения неголономных систем значительно расширились при рассмотрении сервосвязей, введенных в изучение А.Бегеном и П.Аппелем [10, 2]. Теорию сервосвязей активно развивал В.И.Киргетов [81-83]. Еще более аппарат неголономной механики оказался востребованным в связи с решением ряда задач управления (см., напр., работы С.Деневой, В.Диамандиева, В.В.Добронравова, Ю.Г.Исполова, Б.А.Смольникова, К.Янковского, Е.Яржебовс-кой, Л.Штейгенбергера, Мэя Фунсяна, В.Блейера, И.Парчевского [35, 44, 67, 303, 304, 336, 350]). В этом случае роль неголономных связей играет программа движения, а реакция таких связей является управляющей силой. Важно отметить, что программа движения может быть задана в виде дифференциального уравнения, имеющего порядок выше первого, поэтому актуальной становится теория неголономных систем со связями высокого порядка.

Движению при связях высокого порядка были посвящены работы Бл.Долапчие-ва, Д.Манжерона, С.Делеану, И.Ценова, Г.Гамеля, Л.Ионсена, Я.Нильсена, Л.Нордхайма [45, 46, 119, 229, 230, 282-284, 296, 297, 305-308, 333, 345, 346, 367]. Эту теорию продолжали и продолжают активно развивать, например, исследования Ю.А.Гартунга, В.В.Добронравова, До Шаня, Ю.Г.Исполова, В.И.Киргетова, Б.Г. Кузнецова, М.А. Мацура, Мэя Фунсяна, П.И.Остроменского, А.И.Родионова, Б.Н. Фрадлина, Л.Д. Рощупкина, М.А.Чуева, И.М.Шульгиной, К.Янковского, Ф.Китц-ки, И.И.СтавьЯновского, Р.Хастена и др. [31, 47, 66, 80, 105, 134, 140, 166, 177, 223, 243, 244, 247, 298, 302, 314, 327, 335, 362, 365, 379, 385]. Однако, отсутствовала численная реализация применения данной теории к какой-либо конкретной задаче. Поэтому не удавалось проследить за обоснованностью этой теории.

Применение в начале XX столетия тензорных методов в механике неголоном-ных систем привело к появлению новой области геометрии — неголономной геометрии. На развитие этого направления были направлены работы В.В.Вагнера, Г.Вранчеану, А.Вундхейлера, З.Горака, А.М.Лопшица, П.К.Рашевского, Дж.Синд-жа, И.Схоутена, В.Чжоу [19, 112, 178, 202, 213, 276, 360, 374]. Математические аспекты неголономной механики исследовались в работах В.И.Арнольда, А.М.Вер-шика, В.Я.Гершковича, К.Годбийона, В.В.Козлова, М.Леона, Л.М.Мархашова, А.И. Нейштадта, Н.Н.Петрова, П.Р.Родригеса, Д.М.Синцова, Л.Д.Фаддеева и др. [5, 6, 48, 132, 133, 169, 203, 321, 324, 328, 370, 383]. Особое значение для их понимания имеют монографии В.И.Арнольда [5] и Б.А.Дубровина, С.П.Новикова, А.Т.Фоменко [48].

Отметим, что многие весьма важные и достойные внимания работы, к сожалению, не вошли в данный обзор и в приведенный список основной литературы. Более подробный обзор вариационных принципов механики и уравнений движения неголономных систем и обширную библиографию можно . найти в работах Ю.И.Неймаркаи Н.А.Фуфаева [148], Дж.Папаставридиса [349], Б.Н.Фрадлина [222] и В. Н. Щелкачева [249].

Предлагаемая работйгпосвящена обсуждению и некоторому развитию ряда вопросов неголономной механики и состоит из введения, четырех глав, шести приложений и списка основной литературы.

Во Введении дается обзор основных направлений исследований в неголономной механике и краткое содержание глав и приложений диссертации.

В первой главе вводится понятие о точке, изображающей движение механической системы. Используется подход к выводу уравнений Лагранжа первого и второго рода, показывающий их единство и общность. Этот подход позволяет записать уравнения Лагранжа в форме, которая может быть использована как в случае одной материальной точки, так и в случае произвольной механической системы, имеющей конечное или бесконечное число степеней свободы. С различных точек зрения обсуждается понятие идеальности голономных связей. Анализируется взаимосвязь полученных уравнений движения и принципа Даламбера - Лагранжа. Уравнения движения произвольной механической системы записываются в форме, содержащей множители Лагранжа. На основе этих уравнений строится метод определения собственных частот и собственных форм колебаний упругих систем с распределенными параматрами, а также предлагается специальная форма записи уравнении движения системы твердых тел, связанных друг с другом шаровыми шарнирами.

Во второй главе из закона Ньютона выводятся уравнения Маджи, являющиеся весьма удобными уравнениями неголономной механики. Прослеживается взаимосвязь этих уравнений и принципа Суслова - Журдена. Исследуется понятие идеальности неголономных связей. При изложении материала применяется подход, использованный в главе I для исследования движения голономных систем. Обсуждается роль связей типа Четаева для развития неголономной механики. Для решения ряда неголономных задач применяются различные методы.

В третьей главе в рассмотрение вводятся линейные преобразования сил. Для голономных систем при этом используются понятие идеальности связей и выражение возможной элементарной работы. Из преобразований сил выводятся уравнения Лагранжа первого и второго рода. Формулируется теорема голономной механики, согласно которой движение, заданное по данной криволинейной координате, может быть обеспечено созданием дополнительной обобщенной силы, соответствующей этой координате. Для неголономных систем линейные преобразования сил вводятся с помощью постулатов Четаева. При этом путем введения обобщенных сил, соответствующих уравнениям связей, может быть получен в компактной форме комплекс основных уравнений неголономной механики. Формулируется объемлющая этот комплекс теорема, согласно которой заданное изменение квазискорости может быть обеспечено введением одной дополнительной силы, соответствующей этой квазискорости. Применение сформулированных теорем голономной и неголономной механики демонстрируется решением двух задач на управляемое движение из динамики полета. В конце главы линейные преобразования сил используются для получения принципа Гаусса.

В четвертой главе с помощью введения касательного пространства система уравнений Лагранжа второго рода записывается в векторной форме. Показывается, что уравнениями связей касательное пространство делится на прямую сумму двух подпространств. В одном из них составляющая вектора ускорения системы однозначно определяется уравнениями связей. Анализируется понятие идеальности голономных связей и неголономных связей первого и второго порядка. Оно распространяется на связи высокого порядка. Обсуждается взаимосвязь и эквивалентность дифференциальных вариационных принципов механики. Дается геометрическая интерпретация идеальности связей. Векторная форма представления уравнений динамики используется при выводе уравнений в квазикоординатах и уравнений Пуанкаре - Четаева. Приводятся уравнения, описывающие динамику неголономных систем со связями высших порядков. Они применяются для решения смешанных задач динамики. Различными методами исследуется движение спутника Земли при условии, что его ускорение с некоторого момента времени становится постоянным по модулю. Это условие рассматривается как нелинейная неголономная связь второго порядка.

В Приложении А изучается движение неголономной системы при равенстве нулю реакции неголономных связей, рассматривается случай такого движения для саней Чаплыгина и возможность его осуществления при наличии активных сил.

В Приложении В рассматривается движение автомобиля на повороте с учетом возможности бокового скольжения как неголономная задача с неудерживающими связями, разбираются возможные типы движения, предлагается рациональный выбор квазискоростей.

В Приложении С специальная форма уравнений динамики, предложенная в главе I, применяется для составления уравнений движения и определения реакций шарниров, соединяющих цепочку тел, и для нахождения сил, управляющих движением динамического стенда.

В Приложении Б обобщенный принцип Гаусса, сформулированный в главе IV, применяется для составления уравнений движения в полярных координатах спутника Земли, движущегося с постоянным ускорением.

В Приложении Е принцип Гаусса применяется для построения приближенных решений уравнений нелинейных колебаний, в частности, для решений, получаемых по методу Бубнова - Галеркина.

В Приложении Г методика Пуанкаре - Четаева применяется для вывода уравнений движения неголономных систем. В частности, этот подход дает возможность с новой точки зрения подойти к вопросу о том, почему уравнения движения неголономных систем не могут быть записаны в форме уравнений Лагранжа второго рода без множителей.

Основные результаты работы сформулированы в виде восьми пунктов, выносимых на защиту.

Список основной литературы содержит 385 позиций и 43 работы автора. Часть из этих работ выполнена автором под руководством профессоров Н.Н.Поляхова и С. А.Зегжды; некоторые работы являются составными частями кандидатских и магистерских диссертаций Б.А.Абакирова, Л.А.Бодуновой, Е.Ю.Леонтьевой, Щ.Х. Солтаханова, Л.Г.Федорченко, Н.А.Хорьковой, выполненных под руководством М.П.Юшкова; инженерные аспекты исследований в соответствующих работах принадлежат Г.Е.Иванову и А.А.Малюкову. Под руководством автора материал диссертации, относящийся к движению автомобиля и к движению спутника с постоянным ускорением, выполнен соответственно Ю.С.Шевердиным и Н.Г.Филипповым.

Автор приносит искреннюю благодарность профессорам Н.Н.Поляхову и С.А.Зегжде, являвшимся де-факто его научными консультантами, за постоянное внимательное и доброжелательное отношение к данной работе. Автор также глубоко благодарен академикам В.В.Румянцеву и С.С.Григоряну и профессору П.Е.Товстику за то, что они ознакомились с рукописью и высказали свои -замечания. Все эти замечания были учтены в окончательной редакции работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разбиение уравнениями связей касательного пространства на два ортогональных подпространства, в одном из которых ускорение системы полностью задается как функция времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей. При этом уравнения связей могут быть как голономными, так и любыми неголо-номными связями первого порядка, а также линейными неголономными связями второго порядка.

2. Использование базисов указанных ортогональных подпространств для получения основных форм уравнений движения голономных и неголономных систем.

3. Метод определения собственных частот и собственных форм колебаний упругой системы, основанный на использовании собственных частот и собственных форм ее элементов. Выяснение возможности ограничиться динамическим учетом нескольких первых форм этих элементов, если квазистатически учитываются остальные их формы.

4. Специальная форма уравнений движения системы твердых тел, опирающаяся на возможность применения уравнений Лагранжа первого рода в случае абстрактных связей.

5. Формулировка и доказательство теоремы о силах, обеспечивающих выполнение голономных связей, а также аналогичной теоремы для неголономных связей первого порядка.

6. Уравнения движения неголономных систем с идеальными неголономными связями п-го порядка. Постановка смешанной задачи динамики.

7. Рассмотрение движения спутника Земли с постоянным по модулю ускорением как механической системы с нелинейной неголономной связью второго порядка.

8. Активное использование при исследованиях множителей Лагранжа а) как реакций связей, нахождение которых особенно необходимо при движении систем с неудерживающими связями; б) как сил взаимодействия между элементами упругой системы в методе определения собственных частот и собственных форм; в) как формальных множителей, не имеющих смысла реакций в случае абстрактных связей; г) как управляющих сил при выполнении заданных программ, рассматриваемых как голономные или неголономные связи, наложенные на движение механической системы; д) как сил реакций связей при использовании линейных преобразований сил для вывода уравнений движения; е) как неизвестных функций времени, определяемых из составленных для них дифференциальных уравнений при исследовании движения неголономных систем с линейными связями порядка п ^ 3.