Усредненные характеристики соболевских функций на IRn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДКМИЯ НАУК СИБИРСКОЙ ОТДЕЛЕНИЕ • ИНСТИТУТ: МАТШАТ1ПШ

На праваг рукописи

МАГАРКЛ-ЖЬЯЕЗ Гёоогий Георгиевич .

' * ■ ■ У

УСРЕДНЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ' СОБОЛЕВСКИХ КЛАССОВ ФУНКЦИИ НА

01.01.01 •• математический анализ.

Ни

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математячеоких наук

Новосибирск - 1.9УЗ

_ Работа выполнена в Московском институте радиотехники, .; електрониаи и автоматики. .-

, Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, "• профессор В.И.Буренков;

доктор физико-математических наук . . С.К.Водопьянов;

' : ...... " доктор физико-математических наук,

1 , . профессор Р.С.Исмагилов.

Ведущая организация - Математический институт им. З.А.Стеклова РАН.

; • ' Залита диссертации оостоится "_"__ 1993 г.

; в'_часов на заседании специализированного совета

*: Д ОСЕ.23.СЕ по защите-диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией мо;:;но ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

. Автореферат разослан "_"__ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного .совета при Институте математики СО РАН . доктор физико-математических наук

В.А.И&рафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

• Актуальность темп. В работе рассматривается следующая группа вопросов: аппроксимативные характеристики (усредненные и гармонические поперечники) соболевских классов функций на К. , их свойства, точные и асимптотически точные значения, экстремальные пространства и операторы, приближающие эти классы; сптшалыюе восстановление функций из соболевских классов; нор«ш некоторой функционалов и операторов в пространствах гладких функций на прямой и полупрямой, связанные с точными результатами в неравенствах для производных.

Проблематика приближения функций, определен них на всей вещественной оси возникла в конце 30-х годов и первые результаты здесь были получены С.Н.Берштейном, И.Г.Крейнои, Н.И.Ахиезером и Б.Нп-дем. В качестве аппроксимирующих мнокеств в стих работах использовались пространства целых функций конечной степени, изучению свойств которых посвящены были более ранние исследования Бераптеи-на. При этом обнаружилась тесная связь мезду задача:.«! приближенна классов гладких функций на прямой и соответствующими результатами для периодических фикций, где аппаратом приближения служили тригонометрические полиномы. "

В 1946 году в серии заметок, опубликованных в ДАН СССР, С.П, ьернштп|1н выдвинул широкую программу исследований аппроггешйлии Функций, заданных на прямой подпространствами црлых Фулкций попочкой стегени, Некоторые итоги ооудаствлен.уг- этой nporpaia.ni были подведены в обзорном докладе С.М.Ршиольского на Амстердамском математическом конгрессе (см, сб. "Мездународгшй мзтеыати^ьоюй вон»

' С.Н.Еорни'.таГ'Л. Собрание сочинен:..';, т.2. И.: Кэ-ло АН Т&1, е.У,'1-390,

гресс в Амстердаме", 1,1.: шзма.тгиз, 1961, С.259-2Е2) и в монографии Н, И, Ахиезера "Лекции по теории аппроксимации".М.: Наука, 1965.

Дальнейшее развит::? 4:ечы связано с работами С.М.Никольского и его школы, посвящешь,« вопросам влокения и приближения различ-. ккх классов гладких функций на К. . Основные результаты изложены г монографиях С,!,[.Никольского "Приближение функций многих переменных и теореш влокения". М.: Наука, 1977 и 0.В.Бесова, В.П.Ильина, С.М.Никольского "Интегральные представления функций и теоремы вложения". И,: Наука, 1975.

В последние 30-40 лет в теор :и приближений в качестве аппарата аппроксимации стали использовать иные ("негармонические") средства - сплайны, вейвлетсы и т.п. При этом выяснилось, что, например, сплайны, как атг эат приближения периодических функций, не уступают, вообще говоря, тригонометрическим полиномам. Возникает естественный вопрос: что является аналогом подобного высказывания для функций нг прямой? Как сравнить по "массивности" два столь разнородных объекта: пространство целых функций данной степени (Г и, скажем, пространство кусочно-постоянных функций с фи нскрованннм шагом & ? Талой мерой массивности, определенной для достаточно широкого класса пространств (включающего, сплайны и цс лне функции конечной степени), может слунить понятие средней рас верности и его модификации.

Один из возможных подходов к определению средней размерное связан с теорией информации и восходит к К.Шеннону (1948 г.), К1 торнй дал определение "энтропии на единицу времени" случайного сигнала на прямой с ограниченным спектром. В 1956 году А.Н.Коли горой модифицировал это определение для подпространств обычных (не случайных) функций на прямой, и первый результат в этом нал г - энтропия на единиц времени пространства целых фуша

конечной степени ограниченных на всей оси - был получен В.Н.Тихомировым. Впоследствии Тихомиров предлояил использовать аналогичную Колмогоровской характеристику для подпространств функций на , но отправляющуюся не от энтропии, а зт поперечника по Колмогорову. Введенная величина была названа £~раа'.шрпоетыо, а если она не зависела от £ - тс средней размерностью. &т:ч вели-Ч1ша является естественной мерой массивности многих бесконечномерных пространств-(включая целые функции, сплайны, вейвлетсн и т.д.) и слукит аналогом размерности конечномерного пространстг.а. В работах Динь Зунга, Г.Г.Магарил-Ильяева, Ле Чыонг 'Гунга и А.Е. Гулисадшшга изучалась ¿-средняя размерность различных классов функций.

Другой подход к определению мери "массивности" бесконечномерного пространства исхает быть предложен исходя из следующих соображений. Подпространство функций, определенных на Уь-«ерном торе Т*", являющееся линейной оболочкой конечного числа гармоник, эквивалентным образом описывается как множество функций, преобразование шурье которых принадлежит некоторому конечному подмножеству Ж и его дискретная мера (т.е. число элементов в этои мнохег-тЕе), очевидно, равна размерности пространства, о ту ситуацию, по аналогии, мо;лго перенести.на некоторый класс подпрост-

ранств из А именно, если А - шо;кество конечной леек

говой мери в , то ому ис-»но сопоставить совокупное?: тех функций из(рассматриваемых как обобщенные функции),

но-

^ В. 1.1.Тихомиров. Об аппрокешативлих характеристиках гла,пк;1\ функций мнохчег перелепит://?; уде конференци1 по дифферм иг альнш уравпешш.! и внчиелт-ельной математике (Нсвосисиздг Г..;7В г.). И'онослбирс:!'., Наука, 1960.

- б -

ситель преобразований ^урье которых принадлежит А . Ясно, что это подпространство в Ьр(М.К) и в качестве его "размерности" естественно принять (в соответствии с периодическим случаем) меру множества А . Назовем эту величину гармонической размерностью дашо-го подпространства. Важно отметить, что для множеств измеримых по Йордану (скакем, выпуклых компактов в М. ) соответствующие прос-транстза имеют и конечную среднюю размерность и она совпадает (с точностью до множителя, зависящ&го только от ^ ) с мерой множества, т.е. с гармонической размерностью этого пространства.

■ Понятия средней и гарлонической размерностей (и их модификации) позволяют сравнивать аппроксимативные возможности различных бесконечномерных пространств функций и для некомпактных классов ставить те ке вопросы о наилучших приближениях, что и в компактной ситуации: асимптотика и точные значения соответствующих поперечников, экстремальные"пространств5; оптимальное восстановление функционалов и операторов на этих классах функций и т.п.

Цель работы - систематическое рассмотрение вопросов наилучшего' приближения соболевских классов функций на Ль. (и их обобщений), основанное на понятиях средней и гармонической размерностей: средние поперечники по Колмогорову яТельфщцу, средние линейные поперечники и гармонические поперечники, их свойства, точные и асимптотически точные значения, описание соответствующих экстремальных пространств ц операторов; оптимольное восстановление функций из соболсЕскп:: классов; нормы некоторых фунта июналов на пространствах гладе»*" "уикций на прямой и полупрямой л не^лвенст.во ^л* х: :о;:.гвол;и

••■■■■:>]■:■■■- Всо получи ши; ь д^олертагши результаты -о1-

а) Теорем, связанные с пространствами сплайнов на пряиий их аннуляторемн: точная оценка погрешности интерполирования гладких функций сплайнами, описание аннулятора к пространству сплайнов, точные II асимптотически точные неравенства типа Бора-Фаваре,' соотношение двойственности для расстояния от точки до подпрост- ,.' ранства сплайнов.

б) Неравенство типа Бернштейна для некоторого £и.-мсрчого подпространства соболевского пространства функций на окружности, являющегося экстремальным для соответствующего поперечника по Бернштейну.

в) Определение У-среда ей размерности и Ч'-средне!: коразмерности подпространства, ^-средних V-поперечников по Колмогорову и Гелсфанду и ^-средних линейшос поперечников. Условия конечности, точные и асимптотически точные значения этих попьречншеон для соболевских классов функций на ЯЛ (и их обобщений) и описание экстремальных пространств и операторов.

г) Точное решение одной задачи оптимального восстанозлелпя пункций из соболевских классов на прямой, являщейся обобщенна; задачи о восстановлении функций из этих классов по их значения!! в счетном числе точек.

д) Определение гармонических и линейных гармонических i)~no-■ перечников и вычисление их асимптотики я точных значений дчя соболевских классов функций на ff^ ,

е) Соотношение двойственности для ¿тлуята конст<ы? и око-тржачымх функций в неравенствах для арспзоодоих код.могороьс»мго типа на прямой и полупрямой и, каьЧ'ледстпио, ислу «иачм ряда но- . piu '-очных vohctpii? п подобных ийравен.сгер;', а тг'.и.о 1 ¡.пислеж'д дзоас'ШШШОСТ!'. ДЧй '¡асМОГО СлучЯД «»ЛП'ЙГ С.Ь.Оч .'(¡CiJ.;'. и -ГчОлИ-

: г.адии t«;c..;i4of;, дг> ,ч.иг.г.1<э?ииич»

- О -

Апробация работы. Результаты диссертация докладывались на Ыекдународной конференции по теории лрийлкаения функций (Киев--19ЙЗ), на Международной симпозиуме по оптимальным алгоритмам (Болгария, Варна-198^), на Всесоюзной школе "Теория, приближенна ■! функций" .(КиеЕ-1989), на Республиканской конференции "Экстремальный оадади""теории приближения,иих лрилог.;рния" (Киев-199С), на Рсесоюзных школах по теории Операторов 3 функцйональньрс простран-ствоос" (йркутскт*1981,*Минск—19Й2, Рига-1983, Тернополь~1984, Челябинск-1986, Тамбов-1937, Куйбышев-1988Новгород-1289)', а также на семинарах Математического института им. В.А.Стеклова, .."основ- ■

п " ■ ■ ...... ....

ского государственного университета и Университета,дружбы народов; ■ ' ■ Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в . работах [1-15] , список которых приведен в конце автореферата1.

Структура. диссертации.. Диссертационная работа, состоит из ; списка основных обозначений, 'введения, .трех глав и списка л'итера-•гуры, содержащего Кб наименований. Каждая глава имеет собственную н^ерацию параграфов, начинающуюся с 50, где собраны предварительные сведения, необходимые для доказательства утверждений данной главы. Библиогрефкаесжи^ «оммедтарют помещены в конце параграфов; Обцрй объем диссертации - 273 страницы.

ОБЗОР ('ОДШАНИЯ РАБОЙ . "'.у' ]

Во введении приведены основные определения и сформулирована основные утверкдени.ч диссертационной работы; данн необходимые поя знак и: г и комментарии. ,"..',■ '.'■■-..

■ Б гк.1 докапывается ряд теорем, саязшашх со сплайнами мини-.'л'.'Ьчог о дефекта на прямой и окружности, вводятся понятия Ч^-сре-глО5. | г "лс-рносги и »/-средней коразмерности, определяются У-сре-днкг- но Колмогорову, Гельфапду и лигейше.

Основные результата главы - необходимые недостаточные условия конечности ^-срерщк л)-поперечников по .Колмогорову и их -слабая'асимптотика, вычисление точны?:' знамени!" .средш«с V -поп з-' речников'по Колмогорову, Гельфалду и линейных н-согласованных метриках и' описание соответствующе экстремальных пространств и . операторов.-'; , о ■: . ./..!.■/> '■',''' .'.-'><-..-■

В этой же главе дано точное рвение одной задачи оптимального восстанозлсниЕ функций из срболеяских классов на , частным случаем которой является задача о восзтакоЕлении гладких функций по их значениям в счетном числе точек.. ./:..-■ •

В §1 гл.1 приводится ряд утверждений о. пространствах сплай- . нов на прямой и. их аннуляторах, которые (представляя и самостоятельный интерес) играют важную роль при-получении точных оценок' средних "■■) -поперечников. , .

Обозначил через 2' совокупность таких последовательностей |: - 1 чочех из Я:, "то < , |£ 1 и~ (-1 ^ )

при - со + Если не М 2 , то прос-

транством сплайнов на К. порядка |У1 дефекта I с услыми в точках , ин называем множество (Я) тех функций X (-; на1 ^ , у которых (й1-1)-ая производная." хсЛМ)0 непрерывна на Н и сужение х(.) на интервал' (Ь ^¡-ц)* /6 % , есть полином степени ¿Ы.

По определению, 5| 0&.) - шкжестьо кусошю постоянных фрикций на Я. с интервалами постоянства ) д'е X .

В случае, когда, и Я>0, т штлем впае-

Дня сокрашшня записи вБ'дем ооозпачениа Ьг • -

- буСвОп.ЦСЮ , ь^СЮ-З^РОа^скГ,

!>устМУ1.е 7с п 1 > 0. ЛкпеПпое нространслю (Ю»

пое локально .выпуклой топологией Ч. , которая определяется семейством полунорл рл (хб)): = $ир [ ¡х({)1 ( } , ¡1 е

обозначш через (_ (Ю^) •

Теорема I. 1(усть « & > О и , Тогда - '

I) полное метриэуемое пространство, каждое ограни-

ченное мнокес.тво которого относительно компактно,. ;

?:> б^^СЯ) ткнуто В

„(*) .замкнуто в топологии

Пусть 1 ^ ¿оз и ЧеМ . Соболевским пространством Шр^Ш) называется совокупность таких (хуилций эсО) ь 1~р(!к), у которых X 61 локально абсолютно непрерывна на М. и

х%ирСЮ, а

(соответствующим) соболевским классом - множество

Теорема 2. Пусть 1 , ге М , и х(-)ё Существу-

ет единственный сплайн Б(К)« такой что 5 (х(Л

где С^А) - значение следующей экстремальной задачи г"1 и«, и ИнС^)

гг.: "б)- вариация ^ ^С-) ка[о,Л).

Ч0^ Гб,0

А С10

в часмос™,ъе(±,1) = ж.6>°,1)=х:гКг. - 1

- константа Фааара),3€ К (р,I) - рЗСк^¡2жСр-1)^ Л<гргоо.

Оценка (I) является наилучшей с точки зрения среднего линейного ' (¿/^-поперечника (см, ниже).

Доказательство теоремы 2 использует соответствующий периодический аналог, который при р- со получен В,М,Тихомировым, при"|э=1-Н.П.Корнейчуком и при о'сталышх значениях -¡э - А.П.Буслаевым и В.М.Тихомировым.

Случаии 1 ранее были доказаны соответственно Сунь Ш-шеном1^ Сунь Лмпеном и Ли Чуием (преприит)иЛи Чунег,- (препринт).

Цусть со М и $>0 , Обозначим через (КД) сово-

купность таких функций х (■) на Л , у которых Х''1'1^-) локально абсолютно непрерывна на К , х^С-) € 1~р СЮ и х {¿Д.) = 0, Ъ ■

Теорама 3. Пусть 1 е Ы ,ке7>+ , Ыг-1 я ЦуО . Тогда, если к-0/ то неравенство

справедливо для всех х0)£ где , а если

- то для всех эсс-) € ШрС^Л') » Щв р= ¿,2. • Соотношение (3) мои..о рассматривать как неравенство типа Бора-Фавара для пространства образ которого гфи операг

торе X-кратного дифференцирования совпадает о адаулятором к прог» странству сплайнов (см, теорему 4 ниже).

13))

^"Зшя ВяядаЯдагги За ор-11тг& Фиг (ЗЛГГюгавЛЛаЫ« .

Лшс-Ыоя с1воавв//^ргс«. Тавоту 1986, 2» р-49-54•

Теорема 3 при1< = 0 есть непосредственное следствие теоремы 2, а если к?0 - то'.теоремы 2 и известных точных неравенств для производных на прямой: .Колмогорова (•{'"о0), Харди-Литтльвуда-По-лиа ({>=2 ) и Стейна (р = 1).

Для случаев -р-1,2, оо эта теорема доказана также в работе" Сунь Ш-шена и Ли ЧуняЯ ' м (п

Цгсть1^£оо и&>0 . Обозначим])

отображение, которое сопоставляет =сОбфункцию х.

Теорема 4. Е^сть ,26 и^><?. Тогда • ■

где + и - аннулятор ¿^ОЮ.

Теорема 5. ПустЫарч^оо Л>Оя

Тогда

. >

Этот результат есть, следствие известного соотношения двойственности для расстояния от точки до подпространства в нормированном пространстве, теоремы 4 и асимптотических свойств функций из соболевских классов на "прямой* . ■'••'•

л

Аналоги теорем 4 и 5 установлены также в работе '

^ Сунь ¡Стен, Ли Чунь. Наилучшее приближение некоторых классов ■ гладких фикций на действительной оси сплайнами высшего порядка/ /Матем. заметки, 1990, т.48, вып.4, с.100-109.

В §2 гл,1 доказывается точное неравенство типа Бернштейна для некоторого 2к-мерного подпространства соболевского пространства функций на единичной окружности Т (котоъую реализовываем в виде отрезка [-Х,ХИ с идентифицированными концами), доставляющее .точную оценку снизу в соответствующем поперечнике по Вернштейну.

Цусть оо и ЙС-)t-íOifA) - решение задачи (2) (оно существует и единственно). Для каждого !i6 Я/ определим функцию по правилу

\zx)i/p(znfx)zi л/гк

И -хлдля всех 4

Обозначим через Тш ф,г.) такое подпространство функций xt-J

на Т что = Zp ^Xjti^O - А) , где

я » , X-jfi^j = 0 и 'Xj-(•) - характеристическая

|*>ункция интервала г-ЗГ-t > «X+jx/h.),

Легко видеть, что «¿¿ж. (f>,z) •

Теорема б. Цусть i<f<oо ¡11,46 Af. Тогда для всеххО бП^^Срл) справедливо точное неравенство

где X^l)- значение задачи (2).

Этот результат существенно используется при получении точных оценок снизу средних л)-поперечников по Колмогорову (см, ниже).

Аналогичное неравенство для-^-=оо ранее доказано В.М.Тихомировым, адля-)э-£ - Ю.Н.Субботлым.

Сочетание теоре^г 6 j точными значениями поперечников по^ Колмогорову соболевских классов функций на окружности, полученные: А.П.Буслаевым и В.М.Тихомировым приводит к точным значениям нечетных поперечников по Бернштейну для этих классов.

В §3 гл.1 вводятся понятия ff-средней размерности и коразмерности подпространства функций на прямой и рассматриваются основные примеры.

ис1>0. Обозначим через Р^ оператор, который сопоставляет х(-)ё Lp(R) функцию хСо'УдС), где"Х^С-З - характеристическая функция отрезка 1-<>1,<1]. Ясно, что - непрерывный линейный оператор в Ц00.

Обозначим, далее, через (¡-¡¡(к))совокупность тех подпространств L из Lp (К) , для которых при каждом ¿>0 сужение на L есть компактный оператор,.

Пусть L 6 (Lp 0?)) ,и ¿> 0 . Тогда множество £¿(10 Л Bip (R)) ( BLp (Ю - единичный шар в Lp (К) ) ограничено к относительно компактно в Lp (Я) и поэтому величина

(где ¿^(С,Х) обозначает К-поперечник по Колмогорову множества С в нормированном пространстве. X ) конечна для всех <¿.>0 и£>0. функция ¿-»К^&Л.ЬрСК^не убывает при каждом £>0 , а Функция i К£(A, L, Ц 00) не возрастает при каждом ¿>0 ,

Обозначим через Ф множество всех неубывающих полозштель-шк функций f (•) на (о, со) , для которых Т(сЬ^ОЗ при ¿-5» ОС •

Определение. Пусть , Л (¡-.¡>(¡1)) и Уб) € Ф . Величк?;

,. . г £->0 Л =>00,

назовем ^-средней размерностью

Если , то эту величину будем называть средней раз-

мерностью I, в (4?} и обозначать с/ип 1-р (Ю) •

Допредельное (по £ ) выражение ;з (4) называем ^-средней (соответственно средней) £ -размерюстыо

Приведенное определение средней размерности (¿-размерности) . есть некоторая модификация (удобная для наших целей) первоначальных определений, данных В,М,Тихомировым (см. сноску на стр.5).

Пусть 1 ^-[з^ оо и <Т>0, Обозначим через (^^рСК) подпрост-. ранство в образованное сужениями ка Ц целъэс функций эк-

споненциального типа 0~ .

Напоммм, что пространства сплайнов (Д) определены выше. Обозначим число точек последовательности | в интерва-Г-

'Лемма 7. Пусть оо ,Г>0 , (не2.+ ,| € ££ и. Ф . Тогда пространства и принадлежат сйис(^-р (Ю)

(5)

1) ¿с*. ц ОС, - Ш)

В частности, если |ь>0, то

2) К ^

Форлула' (?) при оо фактически доказана В.М.Тихомировым. Для остальных значений она следует из результатов Динь Зукга и Ле %онг Тунга.

Отаетим, что согласно (б) и (7), для каздого ^ > О прострачс- ' гва СЮ (ю имеют одну и ту же среднюю размер-

кость 9 и с. этой точки зрения, одну и ту же меру массивности, о которой говорилось выше. -

Введение понятия ^-средней размерности позволяет сравнивать аппроксимационные возможности различных бесконечномерных пространств и, следовательно, неизбег-ю приводит к определению соответствующего аналога поперечника по Колмогорову (см. ниже), Двойственным (в определенном смысле) объектом к этому поперечнику является, кап известно, псп^печник по Гельфанду, историй играет важную роль в задачах восстановления. Подобные задачи естественным образом возникают и для классов функций на прямой и здесь также существенную роль играет соответствующий аналог поперечника по Гельфанду. Для его определения необходимо сначала ввести понятие -средней коразмерности пространства.

Дусть У - некоторое нормированное пространство функций на К. и У* - его сопряженное. Для каздого <С>0 положим ,

- {3(0 еУ1'^рр ^С-)сI, где ^р^О) - носитель-^С-).

Обозначим через (У) совокупность таких подпространств I. из У , что 1„ Л имеет конечную коразмерюсть в У^ (которую обозначаем (X ЛУг..^.)) для ка-здого ¿.>0.

Пусть

Ч). Нетрудно проверить, что функция л.

сос/ш ) не Убьгаает'

Определение. Пусть У - нормированное пространство функций на!^,

(Г) к ЧшФ .

Величину

ГУ -

оо т W.J

назовем -средней коразмерностью L в Y.

Если УГсС) , то ш говорим просто о средней коразмерности L BY и обозначаем оту величину coat'fn. (X,YJ.

Приведем, важный ддя дальнейшего, пример пространства фукк- ' ций конечной средней коразмерности. Пусть i*p£c<>,ï€/V , JcfZ -г, ; к^г-i- и С - Положим "

и обозначим Легко видеть, что соdi'm (IilУ^^)-(hi)V(l,j).

Отсюда и из опредзленид сразу следует, что

codent (l ~ W

и, в частности, если^=9+д£,^.TL ,jt>0 K06ÎR, , то

(L, 1/J^ (£)) = (к+ lj[Ç1 (9)

В §4 гл.1 приводятся определения ^-средних -поперечников и доказывается общая теорема об оценке снизу ^-среднего V-поперечника по Колмогорову.

Цусть оэ , С - центрально симметричное подмножество

Ц, (R)и^О. , "

Определение. ^-средним V -поперечником по Колмогорову множества С в Lp (К) называем величина

Г L xOeC ^itL ' LPLRj

где нижняя грань Дерется по всем подпространствам е&'к^ чакт ч?с сСш Ск)^^^)^^.

Подпространство, - на! -отором эта нижняя грань достигается назовем экстремальным для

■ ■ " Ч -средни.! линейным -поперечником' множества С-в [¿^(й) называем величину ' ■ ■ '

г (У,Л) 2сС-)еС -р

где нижняя грань берется по всем парам (Т, А) , таким что У -нормированное пространство, СрУ •, А - линейный непрерывный оператор иэ У в СКу, ЪкЛ ^ с(Хр (Я)) и. сСсйг (1т

Пару, на которой вта нижняя грань достигается будем называть экстремальной для (С, Ьр (Ю ,¥(•)). '

. ^ -средним У-попзречниксм по Гельфанду множества в ¿-^(к) называем величину

где ншяяя грань берется по всем парам Ц) , таким что V * нормированное- пространство, С С-У , Сос1С/к (Л,У,

Пара, на которой з'1а нижняя грань достигается называется экстремальной для

Из определений сразу следует,-что

± ^ (с^рСЮ.т). -

Если , то !.ш говорим просто о средних '9-попереч-

никах и обозначаем юс соответственно через ¿vCc.Lpte)),.

Xie^m, ¿"Cc.LpCR)). :

- Следует?™ результат используется при. получении точных оценок i •снизу для средних V -поперечников по Колмогорову, • ]

Теорема 8. ¡fy-сть 1 ¿ -р í со , С - центрально симметричное подано..... кество и для каждого ¿>0 существуют

>0 , конечномерное подпространстзо $(сС) в Lp(K )'■'и А^ . .. i .. а'ЮSCd)/Lp(R))) такие что !¡ A¿ l[ < ] A¿(£ (¿) П fí¿)x' ' .

. x £>Lp([-¿,¿3)) С. С и (d-wZfaMtí) > У . Тогда 'a

Г .... JL^oo ■ - ' , _

• oo •

Б §5 гл..| доказываются три теоремы, которые являются основными результатами втой главы. .

Теорема 9. Дгсть 1 é р =£{, ¿ со или' 1 , Ъ € Л/. е и

S> > О i Тогда civ (R),, < в том и только в тгм >■

случае, когда fcvr.Cv^ C¿/4>(d.)\ < <*> • ■

Если, дополнительно,

>0 ,ю

<t-»oо

. ÍV""1 ) iff'H wee

-1 +

Р г

^ 1 >,

Отметим, что характер асимптотики с точностью до замены V на УЪ , такой же как у соответствующего- ч К-поперечник'а по Колмогорову, скажем, соболевского класса функ-', • цкй на окруляости

Теорзма 10. Цусть1^|>^оо ,2 6 0 и Тогда

2) Пространство £ , (¡0 экстремально для дай 1 ^ < С*> •

Сели Ь = 1(2,оэ , то пространство ^ (ач) для каждого Ь\> >,1-1 и кгоострадство (^^(Д) также экстремальны для

Пара » где А •» оператор, который сопоставляет

С* (ОС- (Я) одинстьенный сплайн из ^р СК) , интерполирующий х (•) в точках

, экстремальна Пера (Шад(Ю,Н), где И определяется формулой

РН

-"^(•З Рх (•) ( Р - преобразование Фурье в ха-

рактеристическая функция отрезка [-то>,1СУЗ ) так&е экстремальна

^ сюг,

, Дара О^&Ш. где I Ф^М

. экстремальна для с(/ (У/^(К),1.р(К)) при сх> ■

' рш оценки снизу средних.^ -поперечников используются теоремы 6 и,9, а сверху - теоремы 2 и 3.

Отметим, что периодический аналог утверждения о том, что для йсех к =-1,£, со пространства 0&) доставляют .наилуч-

шее приближение классам У/^ (к), ранее установлено "АД.Лигуном, а на прямой оно доказано также ~ работе Сунь Юншена и Ли Чуня (см.

сноску на стр.12), ._ ,

Экстремальность р для следует из теоремы М.Крейна о приближении соболевских классов на К. целыми, фикциями экспоненциального типа и лемш 7.

. Экстремальное«, пары (Щ,гр(к)/А) дня Ау Ц(К))

есть следствие.теоремы 2. - ^ г

" Экстремальность пари (^,|.(К),Ь)для ¿у (М^ОЮ^ЬрОО) сразу вытекает кз теоремы. 3_

Обозначим через ВЬр (¡К.) единичный шар в

Теорема II. Цусть ,иУ>0. Тогда

I) еслиьи2+,|е£и ™

А.-*? со

(п.

2) если "3> О и (г/г> V , то ' .

■ ;.■ , ¿Д^^пвЬрС^Ьрбю)--!'. ;

Эту теорему с учетом лачда 7 мохно рассматривать как е::алог теоремы В.М.Тихомирова о поперечнике шара для подпространств

В §6 гл,1 точно реиа тря одна задача опт;шги/ьного восстановления функций из соболевского класса на прямой. ;

Цгеть 1 ^ р й- ео ,7. ё // и ч?> О , Обозначим через ^ совокупность всех таких, троек (У, ? , чтоТ- нормированное пространство I 2 ~ линейное пространство, I У 2 ~ " линейный оператор и со ¿С т. >У) - ^ . Множество всех отображений из

(я)) обозначим-'- Т

через Тр (У,2,1),

Определение. Погрешностью оптимального восстановления элементов пз ) в метрике по информации ^у называем величину |

• Г Г [10) ;

С л л л { 2 .1)6

лн Л л~ гл л С Л -Л )

б 7 у и (У,?. , ТО ЫЫ говорш, что (Уу - опти-

мальная информация, а Г - оптимальный метод восстановления.

Теорема 12. Цусть з^^оо Тогда

Информация (У}Ъ,1) , гдеУ-Шр^ (К),И - I (линейное пространство всех функций на X ), а I- оператор, сопоставляющий

•. * последовательность { х (^/У + е является

-"ОПТИМаЛЬНОЙ,

Отображение /- , которое соотносит последовательности

единственный сплайн

' ^ С ¡такой что 5 (¡Ь*

де Ъ) является оптимальные методом восстановления,

■Этот результат фактически ерть следствие теоремы 10 - сред-•ний 'V-поперечник по Г'едьфанду оцени дет снизу величину (10), а •'средний линейный "У-поиеречник оценивает- ее сверху.

Для частного'случая, когда информация состоит из троек

щ:г сю ,сш, т,), |-е , < 1

и (из формулы (8) следует, эти тройни дей-

ствительно принадлежат ^ , а из формулы (9) - >1то они образуют собственное подмножество в У у , так как мы можем' "считывать" с функции хО) не только ее значения, но и производный и тогда увеличивая ^ , сохраним прежнюю коразмерность) теорема 12 для })-= оо доказана Сунь Юншеном (см. сноску на стр.11), для - Сунь

Юншеном и Ли Чунем (препринт) и для всех остальных значений -Ли Чунем (препринты).

В гл.2 изучаются средние и гармонические V-поперечники со- ' болевских классов функций на К*' и их обобщений

В §1 гл.2 находится точная асимптотика среднего V-поперечника по Колмогорову и среднего линейного V-поперечника анизотропного соболевского класса функций на в смешанной норме.

Обозначим для краткости через 0 , 4 , 2, и вектора, состоящие соответственно из К, нулей, единиц и т.д. Неравенство меж- ,; ду векторами понимается покоординатно. ' 1

Пусть-2«рчхи . божество всех измеримых функций на К.*1", для которых конечна норма ,•:.;■

1Мь иЧИЧ(и) ■/

' 1 к. ', к ■ ■ • (

' обозначим

иСяЧ. -

Норма (II) называется смешанной, или векторной. Если ¡р^/л •' -(■{>,«...-р), то Ь|>(КП') совпадает о обычным пространством !_р

Понятие у -средней (средней), размерности для подпространств I из и £ определяется аналогично одномерному случаю: оператор.

Pi мы определяем как оператор умножения на характеристическую

г Н- ' 1

функции куба , а все остальные построения остаются без из- ]

иенекия. ' ' " ' ;

Если (f (А) = (ll) - объем куба , то ш говорим о сред-

ней размерности подпространства, ■ !

Средний V-поперечник по Колмогорову и средний линейный ' \ N> -поперечник центрально симметричного множества с £ lg> (К^) определяются аналогично предвдуиеьгу и обозначаются соответственно :

Avfc.Lt Ш ' •

Цгсть i ^

* Анизотропным сободевс-ким адгассоы функций на JR.*" да называем множество

Теорема Яб Af, г- &< Р = = % =

ytyurfa)*??:еслиfftfy ^«Г-f^'^O^

<1 .Тогда 0-,. •

V 1'

<

.-ДО; 1 и (к"&)

/У1. ■ - оценки сниду » этой теореме ш лользуемся методом дщ;к-рб1-Из.шдав-,;-о§1)дя,'-8 конечном счете, задачу к оценке снизу обычно-

'го поперечника по Колмогорову некоторого множества в конечномерном пространстве со смешанной нормой.

Оценка сверху следует из результатов автора о вложении и, 'г- -V приближении обобщенных соболевских пространств (сформулировашшх в §0 гл.2) и из оценки средней размерности О^*1) - подпрост-' ранства в'¡~р(Кк), образованного "сужениями на Ж^ целых функций экспоненциального типа 0" . ..-•;.■' ' , 1

В §2 гл.2 доказывается один точный.результат для средних -поперечников. , '

Пусть Я. иЛ^^са .Положим

/ ' ' :: к.

где 5 (¡К*1) - пространство Л.Шварца обобщенных функций на -Я ,

Р и Г 1- прялоэ и обратное Преобразования Фурье в 2 (К11) и !

^ - оператор умножения на функцию (*1 + |<г/23^ Ч <Г=(<Г11.,,)<ГК_)) ',

Пространство (Кк) является банаховым. Его называют прост- ' ! ранством бесселевых потенциалов или яиувиллевским пространством. .. Обозначим через

единичный шар в Теорема 14. Пусть ¿>0 и 0, Тогда •' < «Л; /

где Г(•)- гамма-футсция Эйлера. ., '" "I

В §3 гл.2 определяются гармоническио'4)?-поперечники и вычис- .

Я- \ь ■

- 2й -

смешанной норде.

Пусть А " некоторое подмножество iR. £ «xz> , Поло-

жим

Mj?CA);={^o6LpCKtl)| surpFxvcA] ,

F

где suppFxfy - носитель преобразования Фурье функции xCj как элемента SХ-Я.'^) • Ясно, что Мд> (А) - подпространство в Ljp (RK).

Пусть, далее, С - центрально симметричное подмножество L /р (R^), ^ >0 у, 01 у - некоторое семейство измеримых подмножеств Л из Я.К , таких что V ( mes - мера Лебега на RK ).

Определение.' Гармоническим ^-поперечником множества С в L^Ot относительно ,аем,зйо*гва "ifL у называем величину

4 (с, l £,>= ¿4 ^г л Ч u лзс\

хсоеС

J4

Гармоническим*, линейным -поперечником множества С в относительно семейства назове;.. величину

' * £ \(У,л) *о«с

где шр'няя грань берется,по всем парам , таким что У -

' йодированное 'пространство,

линей, > нй непрерывны!, оператор и для некоторого ас УЦ'.

Из .'определений ясно» Ч1&

;. • 1<"4ЪрыЬ*шодский поперечник является аналогом трчгонометрич»ес- . ^ого попероедика, введенного в рассмотрение Р.С.Исмагиловкм и в .

ряде случаев представляе-г сабой "сужение" среднего поперечника по Колмогорову на подпространства типа М|>СА), подоб ю тог/.у как' тригонометрический ^-поперечник есть сукснно //-поперечника по . Колмогорову на подпространства, образованные линейными комбинаци- '•* ями /V гармоник.

о 1 /■ к. , Пусть < ФО ,сС>0,с1 = ($1с1 = о,,.. ,0).....<1 =» (0/

- О; ) ._Лиувшшевским классом пь; называем множество

где X) х (•) - обобщенные лнувиллевские производные функции

Отметим, что обобщенное лиувиллезское дифференцирование и лнувиллевские пространства, являющиеся естествекшга обобщением классических соболсвскчх пространств, введен;.! и изучены П.'И.Ли-зоркиннм.

Цуст7 > 0. Обозначил через К-р совокупность всех компактов в К.'1', мера которых не превосходит ^ , а через Со (К у - подсемейство , состоящее из гапужльк компактов. '

Теорема 15. I). Цусть Ке N . 1 < ¡Р = Сри-г^п.)-< <РЯ>

И»

или если и oL>Z¿.xi(yr. ~. Тогда

4 1К„) X fДW[p1CJЯl•)>Lг(Яh-), ¡О- /

( -к ' .

Ч-г-

<

■ ---^

- % - ,

2), Пусть Н-€ Ы , 1 <-£~Ср*>-,рк) ¿ ^¿р^-.^к) < С™ и ¿> ',: Тогда \ : , ,'_ , ..

;Кз сравнения первой части этой 'уеоремы с теоремой 13 видно,

• что .цля еоохветсавуащих значений параметров асимптотики средних

и гармонических ^-поперечников совпадают, ! ^ ■:

Во второй части рассматриваются лиеьвыпуклые компакты, но . '

это позволяет получать асимптотику для всех возможных значений ;

параметров. .'-''•",■ '. -■•' \

' 'Для оценки сиерху в теореме 15, как и в теореме 13, исполь- . |

зуктся результаты о вложении и приближении обобщенных Соболев с- | ' ' ' ' ■ ( ких пространств, При оценке снизу существенно используются сооб- ■

радения двойственности к лемма о плотьости гладок функций в ;

(Л) , ког;:,а Д *■ выпуклый компакт, * • |

'■ ■: В §4 гл.2 доказывается следующий точный результат.

Теорема 16. Пусть О и - совокупность всех из-

меримых подою^е-зтв мера которых не превосходит ^ . Тогда ;

•где йЬ-Х'^^ГСг,"П'. и Г(•}-• гамма«функция Эйлера,

В г л, Б рассматриааются некоторые пкетремалььи.- задачи на кл'&есаог 1'ладшсс функций на прямой К. ч полупрямой Д. + , щшйодй-

щие к точным результатам^ неравенствах для пролзво^ньк. Доказываются 'соотношения двойственности мезду наилучшими константами и?.' ■ экстремальными фун'га^иями ¿ подобных 'неравенстяах. ■ . ; ,м-"

- IfyCTb s?.oor't<r/V ,I~R. или К f.„. Обозначим через ,

Kfp^Q-) совокупность TaKIEC функций xí-jfi.'^^, ЧТО ОС локаль- ! , 'НО абсолютно непроршна на'-I и Lp(l). Еслк£е2+ и lc< М , ",

. то для константа /^ -

f,<l',l)>0 » что: ' У- . ví.. . :

; ' где <L^Qi-k-n\->, когда /p'-ri/у, = О. V, Наименьшую из, возмогших констак""'^ в <12) обозяачш через

' , •. Пус::^> Ó'fc)--t-¿j й Q - некоторое (возможно пустое) под-мнокество , Полояим. . г - 'Г' ' . . ' •. i

: . :

Ясно, что (1)0) = (i) ■ ; .

Наряду" с (Х2) рассмотрим также неравенство- вида

; |>о»| * ¿tóf с«)

Я- Р

и наименьшую константу в нем обг-начимчерез К (ъ/^Ф)«?, ■>X,Q_).

/\ А ' ' !

Нетрудно провесить, что К С^^'р'^Л,0) ~ Т). ; -

Оксгрэиальяоп фуякгией в (13) нашгеаем люйуга нетривиальную ' . фушядаз из !(£<- (J$)t на которой это неравенство с нгг.и/енынзй

константой обращается в равенство.

Пус;ь ¿еА' nJce^J. Положим ftk г [к+2п Ikfi],..'./i, i.„,обозначим через Ж- совокупность'Наборов | =

' iX i)' где »1 * M ~ 00 •ф*,г c %>k,t. Элеминти множестваtii. и неравенства вида (13) находятся в естественном взаимно однозначном соответствии v поэтому далее, мы их отождествляем.

Пусть | - (i/k,Ы-.l ^• Сопоставим | илскент ^-

- (г, г-V-ij aj> f>',1). Здесь и - сопряженные показатели к и р coots экстренно, I'-R+j -если /-i? и f-J? , если а

Qktг - , где 'J:подстановка, такая что

= >ш\Ку-' • (

Легко проверить, что Qkx^^i-V- т'0, ^

€ (it ' Тским образом, на Jit определено инволктивиое

отобвдкеиье ф , Ф(V J* , которое мы называем отображением ¿у с-

двойственности, а неравенства | и - двойственными друг к другу.А

. |\Г|] ооонначает наименьшую константу в неравенства | .' Теорема 1?. Пусть 1е /У, к с- 1 ,4* р, oo,i/p- с i ,

' гс | = Ь 'р - Тогда

. I) 1<С*)КСГ)-*

где • ' .

, .. I- к - у,, ft-*)/?,

'2) если ^/ся п 1 , то . лупт тв'гче экстремальные ¿ункцпа х(-) и в неравенствах | и £ соответственно, что х ('■)'ип'на 1л'.".-лна), со.ш ¡с четно (нъчв1. ло) и почти всюду на JR.,.

А .Л

Из первой части, этой теоремы тг уже известных результатов,;,;'," еледуег, что ' 1 _ •,'-'• ,-л .''

Сг+О^' > ¿П* 00 :••'.'

1/1/3?, ЬИ

№, 1-Я+-

В качестве еще одного следствия теореин 17 устанавливается

9

соотношение двойственности для частного случая задачи С.Б.Отечкя-на о приближении оператора дайреренштрованкл. *

Пусть ъхя Е.+, (¡/¿¿С. ■

- сопряженное пространство к ¡-с^О^) и V> 0 Величина :

'-"-Г ' \А)-<«,*с>>Г Л 1\й) .

ц-хЯМ

(где <%*х(.)> - зпачгяи* лпнспного функционала х*с (?) на момента хО) характеризует ; оидтее пркйлмачеио лакоЛного ¿¡ункд'го-

'}■' ' ' 1 ''Г ■•> \

пала х(,)-> с1 ^ к,, я •тсс.'! \'ч, с к»/ ин.чреияякггп

функционалами на Lc^íJj, норма которых не превосходит . Задача (14) полностью определяется набором (i,¡c,

Сопоставим ему набор (задачу) (i, i-k-í, у f>', ¡ ^-á/ü-J.)^ Где d определено в теореме 17. Обозначим через Е fy) и значения ве "ичины (14), соответствующие ^ и ^ .

Teopc-t. а 18. Пусть té /У , Ь? 2, + , Je £ t-1 , с*>, l^d ¡^ t,

где c¿ и ^ те же, что и в теореме 17.

3 доказательстве теоремы 17 - основном результате гл.З -нрыщшшальну» роль играют метода теории двойственности в экстремальных еэдечах. Воцрос о вичислешш точной константы в неравенстве (13) редуцируется к нахо;.;дениа точного значения некоторой .задачи выпуклого программирования. К этой задаче выписывается двойственная, причем "возмущение" подбирается так, чтобы получен.. пая задача такке соответствовала какому-либо неравенству вида

■:(гз).

В §'¿ гл.З изучаются двойственные друг к другу экстремальные задачи, связанные с неравенствами вида (13).

В §3 гл.З, основываясь на результатах полученных в §2, до... изливается теорема 17,

' . ЛИТЕРАТУРА

I. Магарил-йльяея Г.Г» Обобщенные соСолевские классы л нераьеп-0?ва тина Берщт^йна-Никольского//,!^! СССР, 12сй, F'O,

■ "vceb-rocs.

2. Магарил-Ильяев Г.Г. Неравенства для производных и двоЯствен-ность//Тр. Ж® СССР, 1983, т.161, с. 183-194.

3. Магарил-Ильяев Г.Г. Неравенства типа Бермштейна-Никольского , и приближение обобщенных соболевских классов//1р. МИАН СССР» .1966, т. 173, с. 150-204,

4. Магарил-Ильяев Г.Г. Аппроксимативные характеристики некомпак-' тньс; классов функций//Тезисы докладов XII Школы по-теории

операторов в функциональных пространствах, Тамбов, 1987.

5. Магарил-Ильяев Г.Г. О наилучших приближениях соболевских классов функций на-К^У/Тр. МИАН СССР, 1967, т. 160, с.154-155.

6. Магарил-Ильяев Г.Г. Тригонометрические поперечники соболевских классов функций на£*У/Тр, МИЛН СССР, 1988, т. 181, с.147-155.

7. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на трямой//Тезисы докладов Всесоюзной школы "Теория

приближения функций", Киев, 1989. *

8. Магарил-Ильяев Г.Г. Оптимальная сплайн-аппроксимация классов функций на прямой//Теэисы докладов Х1У Школы го теории операторов в функциональных пространствах, Новгород, 1969.

9. Магарил-Ильяев Г.Г. ^-средние поперечники классов функций на прямой//УШ, 1990, т.45, вып.2, с.211-212.

10. Магарил-Ильяев Г.Г. О поперечниках классов функций на прямой ; //Тезисы докладов конференции "Экстремальные задачи теории '; приближения и юс приложений", Киев, 1990. ., ;

' II. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность и поперечники классов ' функций на прямой//ДАН СССР, 1991, т.318, И, 0.35-26. _ ' ^

12., Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность, поперечники и опти-' , ¡,' мальное восстановление соболевских классов функций на прямой-', .у //Матем. сб., 1991, т.КЙ, ГЦ, с. 1635-1656.

13. Магарил-Ильяев Г.Г. О наилучшем приближении сплайна1'1-! классов

*

■ , функций на пряы-ой//Тр. ЫИРАЯ, 1992, а.194, с.148-159.

14. Магарил-Илья.ев Г.Г., Тихомиров В.М. О приближении классов функций на'прямой сплайнами и целили функцшши//В сб. "функциональные пространства к их приложения к дифференциальным уравнением". U.: Из-зо ЩЦ, 1992.

-15* fcsgaril—XX-'yaev G.O. and Tikbcnleov V.M. Average diaansion end V-widths of classes of functions on the vihola Iinf}//Journal •of CQEpleiity, 1992, 8, p .64-71 •

Подписано к печати.05,05.93 Формат бумаги 60x34 1/16 Объем ^д п.л.; уч.изд.л. 'Заказ 47 . ' '. _Тир.?ж 100 экз. .

. Отпечатано в Институте ч.атематикн СО, РАН 630090.,Новосибирск, 9Э ' '