Усредненные характеристики соболевских классов функций на Rn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

■' российская акл'цгл.'! шк сибирской отдеяещ-м

■ институт гштгпшт

На правам рукописи

МАГЖЛ-ИЙШЗ Георгий Георгиевич' . ¡/У

А/ ^

болтзвских классов

функции'НА

усредненные характеристиюг соболевских классов

01.01.01 •• математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических яаун

Новосибирск.. - 1993

Работа выполнена в Московском институте радиотехники, рлектронжси и автоматики.

Официалыше оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Буренков;, доктор физико-математических наук С.К.Водопьянов;

' ; доктор физико-математических наук,

, профессор Р.С.Исмагилов.

'Ведущая организация - Математический институт

ш. З.А.Стеклова РАН.

Занята диссертации состоится "__"_^_ 1993 г.

к в' __ часов на заседании специализированного совета *: Д ОСЕ.23.СЕ по заюрте диссертаций на соискание ученой степени ' доктора наук при Институте математики СО РАН по адресу: 630030,г, Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН, . ' "

; Автореферат разослан "_"___ 1993 г,

Ученый секретарь

специализированного .совета при

Институте математики СО РАН

. доячор физико-математических наук , ( . -

у В.А.Иарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■ . Актуальность томи. В работе рассматривается следующая группа вопросов: аппроксимативные характеристики (усредненные и гармонические поперечники) соболевских классов функций на , их свойства, точные и асимптотически точные значения, экстремальные пространства и операторы, приближающие ети классы; сптшалыюе восстановление функций из Соболевских классов; норды некоторых функционалов и операторов в пространствах гладких функций на прямой и полупрямой, связашыз с точными результатами в неравенствах для производных.

Проблематика приближения функций, определенных на всей вещественной оси возникла в конце 30-х годов и первые результаты здесь были получены С.Н.Берштейном, М.Г.Крейном, Н.И.Ахиезером и Б.На-дем. В качестве аппроксимирующих шюкеств в этих работах использовались пространства целых функций конечной степени, изучению свойств которых посвящены были более ранние исследования Беряптен-на. При этом обнарунилась тесная связь между задачами приближении классов .гладких функций на прямой и соответствующими результата.;« для периодических функций, где аппаратом приближения служили тригонометрические полиномы. "

В 1546 году в серии заметок, опубликованных' в ДАН СССР, С,II, Берпптойч выдвинул широкую програшу исследований аппро:;сима,тн функций, заданных на гфямой подпространствами целих оулкцин кепочкой стегни. Некоторые итоги ооуществленлл .этой программы были : подведены в обзорном докладе С.МДшкольского на Амстердшсжои ца-

тематическом конгрессе (см. сб. "Неядународгшй ьтта:атйг-«е<зкМ кон-_

' С.И.Боря(ЕТвйн. Собрание сочпненп!':, т.2. V.,: Из-во ЛИ ГХ4, с.371-390. ;

гресс в Амстердаме". L1.: йиаматгиз, 196Г, с.259-2®) и в монографии Н.И. Ахиезера-"Лекции" по теории аппроксимации".M.s Наука, 1965.

Дальнейшее развит:« Фечы' связано с работами С.М.Никольского и его школы, посвящение вопросам вложения и приближения различ-. ннх классов гладких функций на IR, . Основные результаты изложены л монографиях С.Н.Никольского "Приближение функций многих пере-меълых и теоремы вложения". М.: Наука, 1977 и 0.В.Бесова,. В.П.Ильина, С.М.Никольского "Интегральные представления функций и теоремы вложения". IK: Наука, 1975. •

В последние 30-40 лет в теории приближений в качества аппарата аппроксимации стали использовать иные ("негармонические") средства - сплайны, вейвлетсы и т.п. При этом выяснилось, что, например, сплайны, как аппгтат приближения периодических функций, не уступают, вообще говоря, тригонометрическим полиномам. Возникает естественный вопрос: что является аналогом подобного высказывания для функций на прямой? Как сравнить по "массивности" два столь разнородных объектаг пространство целых функций данной сте пени (Г* и, скажем, пространство кусочно-постоянных функций с фи ксированннм шагом "Я ? Такой мерой массивности, определенной для достаточно широкого класса пространств (включающего, сплайны и цс лые функции конечной степени), может служить понятие средней par мерности и его модификации.

Один из возможных подходов к определению средней размерное связан с теорией информации и восходит н К.Шеннону (1948 г.), к торнй дал определение "энтропии на единицу времени" случайного сигнала на прямой с ограниченным спектром. В 1956 году А.Н.Колм горов модифицировал это определение для подпространств обычных ¡не случайных) функций на прямой, и первый результат в этом наг - энтропия на здиниу времени пространства целых фунга.

конечной степени ограниченных на всей оси - был получен В.М.Ти-

1)

хошровым. Впоследствии Тихомиров предложил использовать аналогичную колмогоровской характеристику для подпространств функций на Л , но отправляющуюся не от энтропии, а от поперечника по Колмогорову, Введенная величина была названа Е-раатерностью, а если она не зависела от £ - тс средней размерностью. Эта величина является естественной мерой массивности многих бесконечномерных пространств.(включал целив функции, сплайны, вейвлетси и т.д.) и служит аналогом размерности конечномерного пространства. В работах Динь Зунга, Г.Г.Магарил-Ильяева, Ле Чыонг Тунга к д.Е. Гулисашвили изучалась ¿-средняя размерность различных классов функций.

Другой подход к определению меры "массивности" бесконечномерного пространства (.юает бить предложен исходя из следующих соображений. Подпространство функций, определенна на Камерном торе ТГ*, являющееся линейной оболочкой конечного числа гармоник, эквивалентна.! образом описывается.как множестзо функций, преоб-

разование Фурье которых принадлежит некоторому конечному подьно-лсеству 2 н его дискретная мера (т.е. число элементов в этом множестве), очевидно, равна размерности пространства. Эту ситуацию, по аналогии, ыото перенести.на некоторый класс подпространств мз ЬрО^). А'именно, если А - множество конечной лебеговой меры в , то ему мс-чю сопоставить еовокушост: тех функций из (рассма-гривасмпх как обобщенные функции), но-

" ' 1) 1 ' ~ ~

' В. 1.1.Тихомиров, Об аппроксшатишшх характеристиках гладки;.

Функций многих перс; !ешш;://Т.^7ди конференци' по диверсии- • альнш уравнениям и виьислт'ельной математике (Нсвосибиоа , Ш г.). Новосибирск, Наука, 1900.

ситель преобразований Фурье которых принадлежит А . Ясно, что это подпространство в Lp(K.K)и в качестве его "размерности" естественно принять (в соответствии с периодически! случаем) меру мно-г.ества А . Назовем эту величину гармонической размерностью дашо-го подпространства. В&чшо отметить, что для множеств измеримых по

Жордалу (скажем, выпуклых компактов в ) соответствующие прос-

*

транства имеют и конечную среднюю размерность и она совпадает (с . точностью до множителя, зависящего только от It ) с мерой тожества, т.е. с гармонической размерностью этого пространства.

Понятия средней и гарлонической размерностей (и их модификации) позволяют сравнивать аппроксимативные возмокности различных бесконечномерных пространств функций и для некомпактных классов стазить те же вопросы о наилучших приближениях, что и в компактной ситуации: асимптотика и точные значения соответствуювщх поперечников, экстреыальные"пространо.твэ; оптимальное восстановление функционалов и операторов на этих классах Функций и т.п.

Цель работы - систематическое рассмотрение вопросов наилуч-шего'приближения соболевскюс классов функций иа JR. (и их обобщений) , основанное на понятиях средней и гармонической размерностей; средние поперечники по Колмогорову и Тельфанду» средние линейные поперечники и гармонические поперечники, их•свойства,•точные и асшптот.лчески 'точные значения, описание соответствующих экстремальных: пространств. и операторов; оптимальное восстановление функций из соболевски:; классов; нормы некоторых функшюналов на пространствах гладки;: функций на прямой и полупрямой л неравенства

'/■ЛЯ Г."С-К580Д:ЦК.

--- IV.: о по.иучо пи.i j ь 'дкозсрпспш результаты :«»-

мr:.vi;.■;•; (':■,':'//, Г'1 сбтг c.4a:';-r":i[-'!f I'Wms;.

а) Теоремы, связанные с пространствами сплайнов на прямой их аннуляторами: точная оценка погрешности интерполирования гладких функций сплайнами, описание аннулятора и пространству сплай-ноз, точные и асимптотически точные неравенства типа Бора-Фавара,• соотношение двойственности для расстояния от точки до подпространства сплайнов.

б) Неравенство типа Бернштейна для некоторого 2n.-nep.4oro подпространства соболевского пространства функций на окружности, являющегося экстремальным для соответствующего поперечника по Бернштейну.

в) Определение ^-средней размерности и ^-средней коразмерности подпространства, '/'-средних V-поперечников по Колмогорову и Гелсфанду и ^-средних линейных поперечников. Условия конечности, точные и асимптотически точные значения этих поперечников для соболевских классов функций на -КЛ (и их. обобщений) к описание экстремальных пространств и операторов.

г) Точное решение одной задачи.оптимального восоланогшешш пункций из соболевских классов на прямой, являющейся обобщенна; задачи о восстановлении функций из этих классов по их значениям в счетном числе точек.

д) Определение гармонических и линейных гармонических -^-поперечников и вычисление их ас-ч^птотикн и точных значений дчя со-оолевских классов функций на ]!\ .

е) Соотношение даойетаешюстл для »¿тлучыпх талнетаа? и око.~ трзмальиих функций в неравенствах для производные ко.чмогоровечого типа на ирдоо?. ч полупрямой и, каьч-ледстпир, нсл^ичм рядь но-пк точите !<онст;шт в подоб-ш ийрдв%нс?вр;', а тг".г,:о • ¡.пислсш'д дзойсч'веииое'П'. дчл чаемого случая «¡>дяч1г С.Ь.Сч .»к:.ий и а: ¡/»ли»

:хчшп ок'суа'г!ч'л-. ди.члпч'ро ■ ■¿■»нпч.

- с -

, Атгробация работа. Результаты диссертация докладывались на ¡яекдуиародной конференции по теории приближения функций (Киев--19ЙЗ),. на. Мевднародной симпозиуме по оптимальным .алгоритмам.'.: (Болгария, Варна-1985)., на Всесоюзной школе "Теория.приближен^ ¿-функций" (Киев-1989), на Республиканской конференции"Экстремаль-ныо задачи'теории приближения .н их 11рило7;ония"(Киев-199С), на. Г с есоюзш« школах по, теории операторов 3 ^щфоналывд,.'пространствах ' (Ирку тек-1581, ■ Мшск-19£Й, Рига-1983, 'Гернополь-1984, Челя-бинск-1986, Тамбов-1987,' Куйбыаев-1988, Новгород-1969)', а также на семинарах Математического ин^ти^ута им. В.А.Стеклова,.Московского государственного университете и Университета дружбы народов ■ ' Публикации. Основные результаты диссертации .Опубликованы в . работах [1-15] , список которых приведен в конце автореферата. -

Сто/хстург. диссертапии. Диссертационная работа состоит из -списка основных обозначений, 'введения, трех глав и списка литературы, содержащего Кб наименований. Каждая глава имеет собственна нумерацию параграфов, начинающуюся с §0, где собраны предварительные. сведения, необходимые, для доказательства утверждений данной главы.: Библиографические, комментарии помещены в конце па-раграфов^ Общи}'! объем диссертах^ии - '273 страницы.

ОБЗОР ('ОДЗРШЙЯ РЛБОЩ , '-ЛУ^'Щ

Во введении приведены основные определения и сформулированы основные утверждения дпезертшцгонной работа; данн необходимые по-ионеки:; и комментарии. . '

• Б г.ч.1 доказывается рдц георем, связанных со сплайнами мини-ма/гьчого дефекта на прямой и окружности, вводятся понятия Ч'-сре-г■г.с.-мс-рнооти и .^средней коразмерности, определяются. Ч'-оре-днг.е ^-'.эперачники'-ио. Каяисгороуу, .Гельфачду и лигейше.

Орновше результата главы: г нейбход*!ыые и.,доетаточныб условия конечности f-cpefifiiK '^-поперечников по Колмогорову и их • слабая'асимптотика, .вычисление '»очных' значениГ средаах -V -поперечников' по Колмогорову, Гельфанду.и.'лииейгак н-согласованных метриках и описание срответствующ^ экстремальных,, пространств и , операторов, ' ', •

•'• •. В этой же главе дано точное , ранение одной . Вадачи оптшально-го восстановления функций из соболевских классов на , частным случаем которой является . задача . о' восстановлении .гладких функций по их значениям в счетном числе точек. . • • .

В §1 гл.1 приводится ряд утзеруденкй о, пространствах сплай- . нов на при ой и. их аннуляторах, которла {представляя и самостоятельный интерес) играю? важную роль при-получении точных оценок-средних S-поперечников. !

.Обозначим через 2 совокупность таких последовательностей |: = \'iточек из R ., что ij < ijtl, j 61 и - (ij i .<*> )

при - со (j -> -f-op ). Если meN и 1 = t E , к прос-

транством сплайнов на IR. порядка hi дефекта I с услами в точках £ I• ' ш называем'множество (R) тех функций X(■) на' JR , у которых (н-i)-ая производная" cc^'^f) непрерывна на JR. и сужение х(.) на интервал , ^£ 2. » есть полином степени ¿Ы.

По определении, (Ж) ыиожеотьо' кусочно постоянных Функций на R- с интервалами постоянства' Оч ) »J £ .

В случае, когца^'='/&.' и $>0, мц' пишем' bpYiO внес:-

■VO G*(R).

* ■ ' о ritn /' \

Для сокращения записи вв' дем обозначения о t j, (JR j '■ -

= SjCR)r,Lp(R)

0 • ' г* л ^ \ *

Пусть hte"£.Kjl>0. .Линейное цространслю ^ (JR), ч цеп

JO -

ltoe локально .выпуклой топологией '(. , которая определяется семейством полунорм (хб)): - Sи.р [ /х(-i)l l-kiii^k-A } } II е Al/', обозначил через . (_ (Ю^) •

Теорема I. lfyc-ть »О и i^f^-oo t Тогда - '

I) - полное метриэуемое пространство, каждое ограни-

ченное множество которого относительно компактно,. -V. 2j S^ (JRJ замкнуто в Lзамкнуто в топологии

(г(11(Ю,и(Ю). ' .'

Пусть i^jiioo п lelif . Соболевским пространством (R) называете? совокупность таких фунлцМ хб) t Lpfft), у которых X С") локально абсолютно непрерывна на JR. и (соответствующим) соболевским классом - множество

Теорема

2. Пусть! ,-гбД/ ,и Существует единственный сплайн 5 [хС),-)ё Бц р (&)» такой что

И при этом,

. .'СО

где ЭС - значение следующей экстремальной задачи.

^'«•■»цемГ"" УЧ^п)*1' (г)

г ::ось. чтоjl'i '(•)',!, - .-Vol! (■)- вариация £ (■) каto.il). '••Г-1 Го,.Я

В частности,= CooД)=хТг/чг. ((фую. ' ' - константа Фавара), 21 (2,1) =Х * ¡C(f>,i) = pSttt-/¿жCp-lf^ Up^oa.

Оценка (i) является наилучшей с точки зрения среднего линейного " (¿Д)-поперечника (см. ниже).

Доказательство теоремы 2 использует соответствующий периодический аналог, который при-^со получен В.М,Тихомировым, при-|>=1-; Н.П.Корнейчуком и при остальных значениях - А.П.Буслаевым и В.М.Тихомировым.

Случаии i ранее были доказаны соответственно Сунь Ш-шеном1^ Сунь Ш-шеном и Ли Чзшем (препринт)иЛи Чунег (препринт).

Пусть со /V и п> 0 , Обозначим через

совокупность таких функций х (■) на JR. , у которых х^'^О) локально абсолютно непрерывна на R , x^V-J6 Ц,6R) и х QfL) = 0, 7L .

Теорема 3. Цусть N ,keZ+ , и , Тогда, если к = Оу

то неравенство . .

справедливо для всех х6)€ KJj. (jR Д), где , а если

¿г-i - то для всех хО) € lO~pQ\,£)» гДе Р=

Соотношение (3) мок:.о рассматривать как неравенство типа Бора-Фавара для пространства К)^ (L), образ которого при операг торе 1 -кратного дифференцирования совпадает о вннулятором к пространству сплайнов (см, теорему 4 ниже). ■ •

^Sm ЯагедезЯцагд» Sa optimal ЗЫивга&вй&вв .iter ■

function classes//¿изгоя. Theory aad tS86, 2, p.4^-54.

Теорема 3 при1<=0 есть непосредственное следствие теоремы 2, а если к?0 - то',теоремы 2 и известных точных неравенств для производных на прямой:.Колмогорова ), Харди-Литтльвуда-По-

лиа ({)=£} и Стейна , . -'"''.,

Для случаев I, со эта теорема доказана также в работе" О/нь Ш-иена и Ли ЧуняЯ ы к

Цусть ^ со ,>п€А/ к&>0 .Обозначим Ъ

отображение, которое сопоставляет (/?Д) функцию зс^О.

Теорема 4. Цусть и&>0 . Тогда ■

где + и (5ц,(Ю) - аннулятор (Е).

Теорема 5. ИустьЫрч^ъо къ.Ы Л>Ои

Тогда \ . : ' ' ;

Этот результат есть^ следствие известного соотношения двойственности для расстояния от точки до подпространства в нормированном пространстве, теоремы 4 и асимптотических свойств функций из соО'оловских классов на "прямой.

Аналоги теорем 4 и 5 установлены также в работе1^

9Сукь йвзен, Ли Чунь. Наилучшее приближение некоторое классов ■ гладких функций на действительной оси сплайнами высшего по-рядка//1.!атем. заметки, 1990, т.48, вып.4, с.100-109.

В §2 гл,1 доказывается точное неравенство типа Бернштейна для некоторого 2и-мерного подпространства соболевского пространства функций на единичной окружности т (которую реализовываем в виде отрезка [-Х,Х] с идентифицированными концами), доставляющее . точную оценку снизу в соответствующем поперечнике по Бернттейну.

г Л - А ,

Цусть 1<|>< оо ,16« и " решение задачи (2) (оно .

существует и единственно) . Для иавдого Кб Д/ определим функцию х^О^Хц^^ь) по правилу

{о^)*19 Ых)Ч кЫ/х+г),*/**.

И Ф =ДЛЯ всехеТ/

Обозначим через 1]п Ср, I) такое подпространство функций х^;

на Т что - ЭД'О*?^ ' ) . где

^•¿К , | Л= О и (-) - характеристическая

функция интервала [■-X 4 ~X /к) >

Легко видеть, что = ■

Теорша 6. Пусть 1 °° Тогда для всех *(■)еТ^ (рл)

справедливо точное неравенство

где "Ы ("¡5,значение задачи (2).

Этот результат существенно используется при получении точных оценок снизу средних л)-поперечников по Колмогорову (см, ни-, не).

Аналогичное неравенство для = сх? ранее доказано В.М.Тихомировым, а для ^ - £ - Ю.Н.Суббот1-шм.

Сочетание теоре.'б j точными значениями поперечников по Колмогорову соболевских классов функций на окружности, полученных А.П.Буслаевым и В.М.Тихомировым приводит к точным значениям нечетных поперечников по Бернштейну для этих классов.

В §3 гл.1 вводятся понятия ff-средней размерности и коразмерности подпространства функций на .прямой и рассматривается основные примеры.

Пустьи <L>0 . Обозначим через Р^ оператор, который сопоставляет xC-)£Í_p(R)Функцию xCoT^C-S. гдеУ^С) - характеристическая функция отрезка [-¿,«1] . Ясно, что P¡_ - непрерывный . линейный оператор в Lp СЮ.

Обозначим, далее, через (¿p(í?J)совокупность тех подпространств L из Lp (к) , дйя которых при каждом <L>0 сужение P¿ на L есть компактный оператор..

Пусть L 6 (Xp.ÚR-)) .-и ¿> 0 . Тогда множество jF^ (i П ílBLpO?)) ■■'( BLp(R.) - единичный шар в Lp (R) ) ограничено к относительно компактно в и поэтому величина

L, Lp ь I HBLpCK)!,

(где обозначает К-поперечник по Колмогорову множества

С в нормированном пространстве X ) конечна для всех 0 и£>0.

функция ¿-5> К £ (cJ-y i—, Lp (Я))не убывает при каждом ¿ > 0 » а функция Q-, L, Lp (R-)) не возрастает при каждом <L>0 .

Обозначил через ф множество всех неубывающих положительна функций (■) на (о, оо) , для которых V(cL)-» w при cLсо .

Зпределенне. Пусть К {^т*? , I(ХрГ*?;) и € Ф . Ваг/.'«-.

^(иио».«.)).--^^ШЬЬШ ■ ш

зазовем У-средней размерностью

Рели , то эту величину'будем называть средней раз-

мерностью!, в (К) и об означать £¿(.',4 (1-, ¿.(0 О?]) •

Допредельное (по £. ) заражение-а (4) называем '/'-средней (соответственно средней) £-размерностью !-. в

Приведенное определение средней размерности ( £ -размерности) есть некоторая модификация (удобная для наших цел&й) первоначальных определений, данных В.М.Тихомировш (см. сноску на стр.5).

Цусть 1 £|> £ оо и 00. Обозначим через ^^рСК) подпрост-. ранство в образованное сужениями на Л целкх функций эк-

споненциального типа (Г ..

Напом- ж, что пространства сплайнов определены выше. Обозначим число точек последовательности | в интервала „ . . . ..............

■Лемма 7. ЦустЫ*-}?* со ,(Г>0 ,Ж£2,+ )|<?Е я ¥(•)£$>, Тогда

пространства и ярщадлежат и

I) Лт(б'^Ск),ЦОкУ^о)-^-Ц •

В частности, если|ь>0, то

С5).

2) ¿ик Г^Л^ЬиИ^А-

- 16 -

1

Формула' (7) при |>- оо фактически доказана В.М.Тихомировым, Для остальных значений она следует из результатов Дшь Зукга и Jie '1ыонг Тунга. •

Отметим, что согласно (6) и (7), для .каждого т?> 0 пространства <Oj/J}ip СЯ) и Ajc-j)^ (Ю Имеют одну и ту т среднюю размерность V и с. этой точки зрения, одну и ту же меру, массивности, о К', торой говорилось вше. •

Введение понятия у-средней раамерности позволяет сравнивать аппроксимационнне возможности различных бесконечномерных прост- : ранств и, следовательно, неизбепо приводит к определению соответствующего анатога поперечника по Колмогорову (см, нине). Двойственным (в определенном смысле) объектом к этому поперечнику яв-

9

ляется. кал известно, псп^печник по Гельфадцу, который играет важную роль в задачах восстановления. Подобные задачи естественным образом возникают и для классов функций на прямой и здесь также существенную роль играет соответствующий аналог поперечника по Гельфанду. Для его определения необходимо сначала ввести понятие -средней коразмерности пространства. Цусть Y - некоторое нордароваккое пространство функций на R и Y* - его сопряженное. Для каждого <L>0 положим Y^= - {^OsYj'sfcf-p.^QcbM^, где ¿Vfp^O) - носитель-^fo.

Обозначим через (Y) совокупность таких подпространств L из Y , что L Л Уд. имеет конечную коразмерность в YA (которую обозначаем codCi* (L ПУ^Уд)) для каадогооС> 0 »

Цусть LeXtHfCf)* Нетрудно проверить, что Функция i->; -> Ccditn (I/JXchCl ) не убнзает.

Определение. Цусть Y - нормированное пространство функций на ft,

Величину'/,.- .

г* -

0О 1 ад

назовем '1" -средней коразмерностью 1, в ^Г,

Еслито ш говорт просто о средаей коразмерности • [_• в У и обозначаем оту величину Соа,Сы.

Приведем,' важный дця дальнейшего, пример пространства функ- ' ций конечной '/'-средней коразмерности. Пусть № , 1се2 ^,

к¿VI- и 1 = Е ... Положим

и обозначимЛегко видеть, чтосоа^'ж Отсюда и из определения сразу следует, что

сокт-Ь^ММ^^Н^ (8)

и, в частности, если^-=б+^,, , то

В §4 гл.1 приводятся определения Ч-средних V-поперечников и доказывается общая теорема об оценке снизу У -среднего у-поперечника по Колмогорову. 1 '

Цусть , С - центрально симметричное подмножество

Определение, ^-средним V -поперечником по Колмогорову множества С в (К) называем величину-

Ц"Цхо-^оН г ,

г I хс/е С у-кЬ ' и

где шганяя грань берется по всем подпространствам

ткккм что ctc.fi ("Ь/Др V.

Подпространство,-нй "отором эта нинняя грань достигается назовем ¿экстремальным для

; * ^-средним линейным "^-поиеречником множества С- в /-.^г.у называем величину- '

У ' (У,Л) *с«С . р '

где нижняя грань берется по всем парам (Л/,А) , таким что У-нормироваяно-!, пространство, С с А - линейный непрернв-

ный оператор из

У в Ц , ь

(ЦбЮ) и.

¿¿нйпхК, №),¥(■)) 1

Пару, на которой эта нижняя грань достигается будем называть экстремальной для (С, (Я), '{'О)). <

у -средним У-попзречнпксм по Г&тьфанду множества

с в уф

называем величину

где нижняя грань берется по всем парам , таким что У - ,

нормированное пространство, С С- ^Г , Сос[Сы. (¿.,У,

Пара, на которой эта нижняя грань достигается называется экстремальной для

Из определений сразу следует, что

Если 4(1) , то ми говорим просто о средних '9-попереч-

никах к обозначаем их соответственно через cLy ÇC,Lp(K)), .

z^cc.Lpte)). :

результат используется при получении точнж оценок •снизу для средних \> -поперечников по Колмогорову,

Теорема 8. Цусть l-é-jbi со , С - центрально симметричное подмножество и для каждого J. > 0 существуют > О | конечномерное подпространство b LP(K) „ A^ ...

> такие VT0 *ир 11АгЦ^оо) (к) Л f&)x

№ t'KCrv?(¿îmЯШ/ча))>y. Тогда

J,

00

Б §5 гл.,1 доказываются три теоремы, которые являются основ-ншга результатами этой главы.

Теорема 9. Цусть р ^ со шф * ^ Д € Л/, ,Ч(-)е Ф и > 0 :. Тогда

в том и только в тем

случае, когда ^лулск^ (к/</&)) < ; ' ''

Если, дополнительно, & (А)) > 0 , то

оа

,

^ р ч.

Оететш, что характер асшятотияк с точностью до замены-V на К , такой же как у соответствующего - ч К,-поперечника по Колмогорову, скажем, соболевского класса функ-'^ ; цкй на окружности

ГЬЦСТ),.

Теорзна 10. Цуеть 1 < оо и V? О, Тогда

2) Пространство ^ГЯ) экстршальио ддя с1у (и*,^ (К))

при 1

Если £> = 4,2,00 , то пространство ^ (К^ для каждого к> и ¡гоострацство у ^ (Д) также экстремальны для

Пара , где Л - оператор, который сопоставляет

единственный сплайн из С.КО > интерполирую-

щий х (•) а точках

, экстремальна

до IV б^Хк^ ¡-р ГЮ) -т 1 * р 4 00 •

Бэра (И1ад(Ю,Н)| гда Н определяется формулой РИх£)~ -^^ОРхб) (Г - преобразование Фурье в 1-г{%) иУ}()[(-)~ характеристическая функция отрезка [-"Х^ТУЗ ) такие экстремальна

; Пара где I

экстремальна дня с!*(У/^(¡К ), I- ^ (К) ) при 1 ^-{э ^ сх? • ■■ ¡ли оценки снизу средни?. ^ -поперечников цсиользуюгея теоремы б и .9, а сверху - теореын 2 и 3. |

Откетик, что периодический аналог утверкдения о ток, что для всех Ы>, 1-1 исо пространства Доставляют наилуч-

;шее приближение классам ранее установлено А,А.Лигуном,

а на прямой оно доказано также работе Сунь Юншена и Ли Чуня (си.

сноску на стр.12). _ .

Экстремальность &) для С^у при

следует из теоремы И.Крейна о приближении соболевских классов на К. '.целыми-функциями экспоненциального типа и леммы 7.

Экстремальность пары для Х-у (Мр.рС&^ЬрОЮ)

есть следствие теоремы 2. • ' _

Экстремальность пара Ь)ддя ¿-у (Й^ЬрОО)

сразу .вытекает из теоремы 3„ ;..'.

Обозначим через В Ьр (Д) единичный шар в

Теорема II. Цусть Крёоо и У > 0 . Тогда

1) если №¿2+,£ , ТО^Ф и ¡¿ЫСЦ то

2) если '3>0 и Ъ¡Ж > V , то

Эту теорему с учетом леммы 7 мокно рассматривать пак е::алог -теоремы В.М.Тихомирова о поперечнике пара -для псдпрострьнстл

В §6 гл.1 точно реша тря одна задача оптимального восстановления функций из соболевского класса на прямой.

Цгеть ,16 /V и ")>0 . Об о значка через ^ созокуп-

нбсть всех таких троек , 2 ; ^ } , что У- нормированное пространство СУ г 2 " Л!НейН0е пространство, 2. ~ ' линейный оператор и сс<Алгл- (/КедД,У) ^ ^

Множество всех отобреЕКмиЙ из IСЮ) в 1-рб£) обозначим-- 1

через Щ> LY^J).

Определение. Погрешностью оптимального восстановления элементов

i

га Wj^Ût) в метрике Lp (к) по информации ^v называем величину

Д'/iob ; . '

r , Lío)

(F.I)xfo|¡ v

CW>'Jy РсТр(у,гд) *c-*W¿ffc) Lp(K)

.Л Л А

Если д (10) нылняя грань достигается на некоторых (У 2 I )é

Н О Л~/Л Т / Л I '

6 J V и F € jr>(Y,?. ,1 ) , ТО мы. говорим, что (У Е.Г) - опти-[ / i '

мальная информация, а Г - оптимальный метод восстановления. Теорема-12. Пусть û <f + oo ,%е f¡¡ и 0 . Тогда

■ г л ■ л ■ л Ir Л л"0/*

Инфор,1?цкд {.Yjí,l) , гдеУ-Щр,^ (K)tî. ~ Í ) (линейное пространство всех-функций на IL ), а I- оператор, сопоставляющий

. a fe) последовательность [ * Q/У + O'C'ifj/^ïj^^^ является ' -оптимальной. .

Отображение F , которое соотносит послодоватачьности

единственный сгшайн

с -акой одо s í-ifrM**СЦ'-Р+О-СНМ)t

je является оптимальный методом восстановленкя.

Этот результат фактически ерть следствиэ теорвлы 10 - сред-• ний 4V—поперечник по Гельфанду оценк лет снизу величину (10), а , -'средний линейный V1 -поперечник оценивает- ее сверху.

Для частного'случая, когда информация состоит из троек

(из формулы (8) следует, п^а эти тройки действительно принадлежат ^ , а из формулы (9) - ;гго они образуют собственное подмножество в , так как мы можем "считывать" с . функции хО) не только ее значения, но и производные и тогда увеличивая ^ , сохраним прежнюю коразмерность) теорема 12 для = со доказана Сунь Шщеном (см. сноску на стр.11), для -р-2, - Сунь Юншеном и Ли Чунем (препринт) и для воех остальных значений -Ли Чунем (препрштн).

В гл.2 изучаются средние и гармонические V-поперечники соболевских классов функций на И и их обобщений

В §1 гл.2 находится точная асимптотика среднего V-поперечника по Колмогорову и средаего линейного V-поперечника анизотропного соболевского класса функций на К в смешанной нор.!е.

Обозначим для краткости через © , 4 ,2, и (РФ вектора, состояние соответственно из 1г нулей, единиц и т.д. Неравенство меж- : ду векторами понимается покоордшатно.

' Пусть. I,'йюжество всех измеримыхфункций на , для которых конечна норлй ' •

■"■"'■Г' & к | .

■ К К •

обозначим

исг). ■■ '

Норма (II) называется мешанной,или. векторной. Если [р51 ' - » то совпадает о обычным пространством Ьр .•' ,

Понятие, ^ -средней (средней) размерности для подпространств « из р определяется аналогично одномерному, случаю: оператор. V-

Р^ мы определяем как оператор умножения на характеристическую функции куба [-¿,¿1 , а все остальные построения остаются без изменения. к.

Если Ч(А) = (2о1) - объем куба [-¿,¿1 , то ш говорим о средней размерности подпространства.

Средний "V-поперечник по Колмогорову и средний линейный ' ^ -поперечник центрально симметричного множества С С Ь^СК.1^) определяются аналогично предыдущему и обозначаются соответственно

Пусть 1 * {^с*3 и Х- }.'..,М « Анизотропным соболевским классом функций на ЖГ" ш называем множество

ц«» |

Теорема 13. ]^сть НеМ Д- &/У*&< £ = (■ри-.'Ы-илк1<р£ если/^ и

<1, Тогда

'1 • ' .

01 оценки онизу в этой теореме ш пользуемся методом дирк-:

; ретизапшг, сводя, в конечном счете, задачу к оценке снизу обычно-

го поперечника по Колмогорову некоторого множества в конечномерно!«! пространстве со смеяанной норлой.

Оценка сверху следует из результатов автора о вложении и. приближении обобщенных соболевских пространств (сформулированных . в §0 гл.2) и из оценки средней размерности (Вб,- подпространства в'1-|р (К'11) , образованного сужениями на целых функций экспоненциального типа (Г »• ' / ;. \

В 52 гл.2 доказывается один точный.результат для средних •■ Л)-поперечников. :'•■•■•.'/■-'"..

Цусть ¿6 И и «-Положки ^

где $ (ЯУ-) - п^странство Л.Шварца обобщенных 'функций на Л ,'■ ;

Р н Г г прямое и обратное Преобразования Фурье в

^¿- оператор умножения на функцию (1-*1г1г) (С- >

и** г,ч,.-^) в - \ ч :-л

Пространство является банаховым. Его называют прост^ ■ '

ранством бесселевых потенциалов или лиувиллбвскин пространством. ' : Обозначим через

единичный пар в Теорема 14. Пусть ¿> О иУ»0. Тогда ■ • :

где ГО)- гамма-функция Эйлера. - *

В §3 гл.2 определяются гармоничсскпе V-поперечники и вычис-,, \

г>(г • -

ляется та асмптотика для лиувиллезских классов функций на К. : и ,1

' смешанной норме. h-

Ir/Cib А • некоторое подмножество JFC и 3L ^ Jp г= схг . Поло-

X ким ■

Mjp (А) ••= {«о в LpCH*) I suFF Fxo С А],

где stLfpFxô) - носитель преобразования Фурье функции xCj как элемента SХЯ'У • Ясно, что (А) - подпространство в

Пусть, далее, С - центрально симметричное подмножество L - некоторое семейство измеримых подмножеств

А из М!1 , таких что Же$А < V ( tneS - мера Лебега на R К ).

, ; Определение.' Гармоническим -поперечником множества С в Lц>{JR->1) относительно :|семгзйства ИСу называем величину

- v хсоеС у>бМг(А). ЬГ 7

<. Гармоническшг линейным -поперечником множества С в .-LijpQ^) относительно семейства UL у назови., величину

'> где нигняя грань берется' по всем парам CYjA} > таким что Т -,'-нормированное тространство, С <-л/" , À • Y^^Os*)- линей- . , гай и^прердашН. оператор и

ЪлЛ cMf(A)

для некоторого А . Из ^определений ясно, чио- сЦ (С } L $ Q^) i ^ .

' ■ 'Л Гармонический поперечник- является аналогом трчронометр^гес- . 'юго поперечни/а', введенного в. рассмотрение Р.С.Исмагиловкм и в

раде случаев представляет собой "сужение" среднего поперечника по Колмогорову на подпространства типа М|>0\)» подоСю то:<у как' тригонометрический //-поперечник есть суксшге //-поперечника по Колмогорову на подпространства, образованные линейными комбинациями /V гармоник.

о 1 /■ У ■

Пусть «то >..,0) , ...,<1 = (0,

О,<1. ) . Лиувиллевским классом ив называем .мпокество

где I) х(■) - обобщенные лпувиллевские производные функции

Отметим, что обобщенное лиувиллевское дифбергтцировшше и лиувиллевские пространства, являющиеся естественным обобщением классических соболевстетх пространств, введена и изучены П.И.Ли-

ЗОрКШШМ.

Пуст^> > С. Обозначил через 1К совокупность всех компактов в К*', мера которых не превосходит ^ , а через Со (К у подсемейство К^ < состоящее-из выпуклых: компактов. 1

Теорема 15. I). Цусть , 1'* Сри-трп-У*^® (^-.ф,) < №

если и Тогда

4 > к £ но -

|Р — %< 2. ■

2). Пусть < -&Р и с6> ■

Тогда .

" Из сравнения первой части этой теоремы с теоремой 13 видно,

• что для соответствуй^^ здачений параметров асимптотики средних и гармонических ^-поперечников совпадают.

Во второй части рассматриваются ликь выпуклые компакты, но, это позволяет .. получить асимптотику для всех возможных значений " параметров. :..'" ; ; ■ ' .

-•".Для' оценки сборку в теореме 15, как и в теореме 13, исполь-■-. зуктся результаты о вложении и. приближении обобщенных соболевс-; ких.'проотршютв. При оценке снизу существенно используются соображения, двойственности к лемма о плошости гладких функций в '•МГСА) » когда Д - вып^ушй компакт,

'• : В §4 гл.2 доказывается.следуш^Ш точный результат.

Теорема 18» Пусть ^ ,'}> 0 и (£Гу - совокупность всех из-

меримых подаюжесто Й*', 1лера которих не превосходит . Тогда'

" .. . "-л V-

•где и. Г(-)-•гамма»функция Эйлера.

. В гл.З рассматриваются некоторые екстрдаальнн-.- задачи на классах- гдадкгсс функций на прягой К. и полупрямой , приводя-

:: щие к. точным результатам ь неравенствах для производных,; Доказываются соотношения двойственности мепду наилучшими кенствнтами и экстремальными Функциями в подобных неравенствах. ' . "• < ItycTb f>j ¿ qo , t e yV r Г-i? или К .. Обозначив через 4 1

^(^^(jfJ совокупность таких функций v-OeL^fl), что о/' ij0) локаль-^ rio абсолютно непрерывна на .1 и Если и ic^l-l , ;

то для каждого ícfíélflp^ (/^суцествуйт :такая константа. К~

» что- _ . . , ■ . гг

гдо cL-O-k-i/pJ/Ct-i/p+yfyaoL-cl, когда t- i/p-ri/% =0. л Наименьшую из возмошшх констаР** К в (12) обозначим через

К

. Пус:^. ^¿„„ji-íj и - некоторое (возможно пустое) под- , мнскество . Положим -..■ , л-:

ясно, что

Наряду с (J.2) рассмотрим также неравенство вида

. . % ^ и наименьшую константу в нем обг^начим черег К , l,Q j.

; - л» " I * ;

Нетрудно проверять", что К fe- KO'^psfi, !)•

Экстремальной фуякгаей в (13) навиваем лю5ую'нетривиальную ."' фующи) из .на которой это: неравенство с ш?иу«5НЫяэЙ ...

константой обращается в равенство.

Пусть и кбУСг). Положим [к'+2т \М[г\,

j. [(г"^-1)/^]} к обозначим через Ж- совокупность .-наборов

Элементы множествасЛ? и неравенства вида (13) находятся в естественном ззеишо однозначном соответствии и поэтому далее, мы их отождествляем.

Пусть ? = Составим | элемент. |С.

- (г, г-к-л,^/, ' $¿1 )• ¡Здесь и ■р/ - сопряженные показатели к и р еоотрз^ствеицо, если 1-К и 1-М. , если 1=Е.+, а

(?кд"^(Ск-дЧ^,). где подстановки, такая что

= -г -м - »кся^' ~Р • 1 .

Легко'проверить, что Фк^^-ькл т»е-

. "(¿9®)?« Теким образом, на определено инволютивное отображение Ф , Ф = ^ , которое мы называем отображением двойственности, а неравенства | и. £ ' - двойственными друг к другу.л

К($) ооовначает наименьшую константу е неравенства | . ' Теорема 17. Пусть 1е /У, /те 2,+, к * 1-1 ,4 * р, оо^/р- 1/у с I, . • 'Ра,^1 и £ = .Тогда

. I) ;

где

'2) если ос? п I , то дуют та-;че экстремальные £ункцав

XI-) и^6; в неравенствах | я соответственно, что х ('•) чотна (л^.-.ына), сели к четно (дошило) и почти всюду' на

у. .

Из первой, части, этой теоремы ж- уже. известных результатов ¡. следует, что ' ^

КСМА^Л)" _

КСМ.адЛ)- , зг_ . т

В качестве еще одного следствия теоремы I? устанавливается соотношение, двойственности для частного случая задачи С.Б.Стзчкз-на о прийлинении оператора дифференцирования. *

Пусть ,1-R илиR+, Щ' С.'-'

ЦСГ)- сопряженное пространство к I ^(i;) Л'"^>0 .■ Величина

(где - значение линейного функционала х*<= на эле-

мента XCJ) хчряктсошус? глилпчее пркбллзяяно лннулного Функдио-

гН Г. - I /Г \

пяля x (■)->'■ '(■) i:'t.. ■си^сс.'! /ч tt U,' * J л'^ь;'" !;i,kf: i - ч) i", J f i ! кг.'г-т^

- SP -

функционалами на L^(JJ, норма которых не превосходит ">> . Задача (14) полностью определяется набором У[= (ъД

Сопоставил ему набор (задачу) (i,i~k-iQ^i > Гд0 определено в теореме 17. Обозначим через Е fy) и Е(<2') значения ве мчины (14), соответствующие ^ и ^ , Теорема IB. Дусть^еЛ^ ,Ы+ , U оо, (р^С ,

V>0 и ^Ь.кфъД&ц,*). Тогда

где oi и ^ те же, иго и в теореме 17.

В доказательстве теоремы 17 - основном результате гл.З -принципиальную роль играют метода теории двойственности в экстремальных задачах. Вопрос о вычислении.точной константы в неравенстве (13) редуцируется к нахо:здениа точного значения некоторой . асдачи выпуклого программирования. К этой задаче вшисшзается двойственная, причем "возмущение" подбирается так, чтобы полученная задача 'такхе соответствовшт какому-либо неравенству вида

: da).

В §2 гл.З изучаются двойственные друг к другу экстремальные задачи,.связанные с неравенствами вида (13).

В §3 гл.З, основываясь на результатах полученных в §2, до, называется теорема 17,

. . -литература

I, Marapwt-Itabfiüß Г Л'. Обобщенные соболевскне классы и нероьш-ства типа Берш,р0йна-Иикольского//(^ЛИ СССР, 19гй, т.261, ГО,

"¿066-10 Ш, .

2. Магарил-Ильлев Г.Г. Неравенства для производных и двойственность/Яр. ЖАН СССР, 1983, т. 161, с. 183-194.

3. Магарил-Ильяев Г.Г. Неравенства типа Бершатейна-Никольского и приближение обобщенных соболевских классов//Тр. МИАН СССР, 19Ь6, т. 173, с. 150-204.

4. Магарил-Ильяев Г.Г. Аппроксимативные характеристики некомпактны;:. классов функций//Тезисы докладов XII Школы по-теории операторов в функциональных пространствах, Тамбов, 1987.

5. Магарил-Ильяев Г.Г. О наилучших приближениях соболевских классов функций на-К^/Тр. МИАН СССР, 1987, т.180, с.154-155.

6. Магарил-Ильяев Г.Г. Тригонометрические поперечники соболевских классов функций наЛ^У/Тр. ШШ1 СССР, 1938, т. 181, с.147-155.

7. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на трямой//Тезисы докладов Всесоюзной школы "Теория приближения функций", Киев, 1989.

8. Магарил-Ильяев Г.Г. Оптшальная сплайн-аппроксимация классов функций на пря;гой//Теэисы докладов Х1У Школы г~> теории операторов в функциональных пространствах, Новгород, 1989.

9. Магарил-Ильяев Г.Г. ^-средние поперечники классов функций на прямой//УШ, 1990, т.45, внп.2, с.211-212.

10. Магарил-Ильяев Г.Г. О поперечниках классов функций на прямой , //Тезисы докладов конференции "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения", Киев, 1990. ¡'

' II. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность и поперечники классов ;

функций на прямой//ДАН СССР, 1991, т.318, И, с.35-38. _ ' | 12.. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность, поперечники и опти* . ■ ]'! мальное восстановление соболевских классов функций на прямой-'■ . !•' //Иатем. сб., 1991, т.1СЙ, Ш, с.1635-1656. • /

13. Магарил-Ильяев Г.Г. О наилучшем приближении сплайна''1-! классов

.. - о4 -

, функций-на прямой//Тр. ЫИРАН, 1992, v.194, с. 148-159. 14;' Магарил-Клья.ев Г'.Г., Тихомиров В,М. О'приближении классов функций на прямой сплайнами и, целыми функциями//В сб. "Зункцио- . нальные пространства и их приложения, к 'дифференциальным урав--■ нениям".' М,;;Иэ-зо ВДГ, 1992. : ,

15» Kagaril—H-'yaav G.O. end 'Xikhcnirov V.M. Average disanaion and V-widths of claBsee cf functions ok the -whoT-a line//Journal •'■'-of CQKpleiity» 1992» В* p «64-71»

Подписано к печати 05.05.93 Формат бумаги 60::В4 I/io Объем и.л.; g уч.изд.л. ' Заказ 47 . Тир.?л; 100 ока.

Отпечатано в Институте \.атематики СО. РАН 630QS0. Новосибирск, 5Э