Устойчивость и асимптотическое поведение поверхностей нулевой средней кривизны в пространствах Лоренца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение. 5.

Глава I. Используемые понятия и вспомогательные утверждения. 34.

§1.1 Лоренцевы многообразия

§1.2 Емкость в метрике пространственно подобных поверхностей

§1.3 Поверхности типа трубки и ленты

§1.4 Вспомогательные утверждения

Глава II. Вариационные свойства поверхностей нулевой средней кривизны в лоренцевых многообразиях

§2.1 Общее уравнение для второй вариации

§2.2 Вариации пространственно подобных и времениподобных поверхностей

§2.3 Общий емкостный признак неустойчивости

§2.4 Некоторые приложения к поверхностям в искривленных лоренцевых произведениях

Глава III. Примеры трубок и лент нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых произведениях

§3.1 Вспомогательные вычисления

§3.2 Построение поверхностей в искривленном произведении

§3.3 Примеры максимальных трубок и лент в конформно плоском пространстве-времени

Глава IV. Строение поверхностей нулевой средней кривизны в окрестности изолированной особой точки

§4.1 Максимальные гиперповерхности в Rf

§4.2 Строение времениподобных поверхностей нулевой средней кривизны в окрестности особой точки

§4.3 Асимптотическое поведение гауссового отображения в окрестности особой точки

§4.4 Устойчивость класса максимальных поверхностей вращения с особенностью

§4.5 Максимальные трубки и ленты коразмерности выше единицы

Глава V. Поверхности нулевой средней кривизны со знакопеременной метрикой

§5.1 Гиперповерхности в R^

§5.2 Поверхности нулевой средней кривизны коразмерности выше единицы

Глава VI. Многомерные максимальные поверхности являющиеся проекциями комплексных подмногообразий в Cn+

§6.1 Построение класса многомерных максимальных поверхностей

§6.2 Примеры многомерных максимальных поверхностей в пространстве Минковского

§6.3 Асимптотические свойства максимальных поверхностей вида М. = (Л4,7г)

А. Общая характеристика работы.

Настоящая диссертационная работа выполнена в русле геометрического анализа - наиболее бурно развивающегося в последнее время раздела математики, сформировавшегося на стыке математического анализа, дифференциальных уравнений в частых производных и геометрии. Основным объектом исследования в работе являются поверхности нулевой средней кривизны в пространстве Минковского и его обобщениях - лоренцевых пространствах. Круг рассматриваемых задач тесно связан с проблемами устойчивости и асимптотического поведения исследуемых поверхностей. Используемые в данной работе методы, в основном, базируются на методах математического анализа, теории функций и дифференциальных уравнений в частных производных.

Актуальность темы.

В последнее время в исследованиях все больший интерес проявляется к поверхностям нулевой средней кривизны в псевдоевклидовых пространствах. Это объясняется, с одной стороны, традиционными связями этих поверхностей с минимальными в евклидовом пространстве (которые можно считать частным случаем рассматриваемых здесь поверхностей), а с другой - множеством физических интерпретаций. Например, эти поверхности моделируют колебания релятивистских струн и мембран [6], [16]. Известна также гипотеза Нильсена [62], согласно которой, среди метрик, являющихся решениями уравнений тяготения Эйнштейна, физически содержательны лишь метрики, реализующиеся в виде поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Минковского То обстоятельство, что данные поверхности могут иметь изолированные особые точки в Ri+1, и возникающая в этой связи возможность моделирования посредством трубок и лент нулевой средней кривизны отдельных аспектов "большого взрыва" [82], стимулирует дополнительный интерес к рассматриваемому объекту.

Исследования последних десятилетий обнаруживают тесную связь между классическими проблемами математического анализа, теории эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных и внешней (и внутренней) геометрией как римановых, так и псевдоримановых подмногообразий, погруженных в псевдоевклидово пространство. Достаточно широкий спектр задач, относящийся к этому кругу проблем рассматривался в работах Ю.А.Аминова, Р.Бартника, С.Н.Бернштейна, Э.Джусти, С.Ченга, А.О.Иванова, В.М.Миклюкова, Б.Нильсена, Й. Ниче, Р.Оссермана, Ю.Г.Решетняка, И.Х.Сабитова, Л.Саймона,

B.Г. Ткачева, Р.Финна, А.Т.Фоменко, Е.М.Чирки, Е.В.Шикина ,

C.Яу и др.

В настоящее время получен ряд результатов характеризующих пространственно подобные поверхности в пространстве Минковского. Задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей решена в работе Р.Бартника и Л.Саймона [8]. В ряде работ А.А.Клячина и В.М.Миклюкова [26],[27],[28] для указанного уравнения доказана разрешимость задачи Дирихле с особенностями в ограниченных и неограниченных областях. В работе С.Ченга и С.Яу [83] доказан аналог теоремы Бернштей-на для решений уравнения максимальных поверхностей. Асимптотические свойства решений этого уравнения в неограниченных областях исследованы в работах В.М.Миклюкова [55],[53]. Внешнее строение максимальных поверхностей трубчатого типа в пространстве Минковского и искривленных лоренцевых произведениях изучены в работах В.А.Клячина и В.М.Миклюкова

30],[39],[41]. Кроме этого, К.Экером в [24], О.Кобаяси в [44],

Р.Бартником и Л.Саймоном в [8] выявлено наличие у поверхностей нулевой средней кривизны различного типа сингулярно-стей (изолированные особые точки, световые лучи, изотропные поверхности). В этом состоит важнейшее отличие рассматриваемого в настоящей работе случая от минимальных поверхностей в евклидовом пространстве. Данное явление специфично для поверхностей в лоренцевых пространствах и не имеет места в ри-мановом случае.

Кроме указанных выше работ следует указать работы, в которых исследованы геометрико-топологические аспекты строения лоренцевых многообразий с сингулярностями (см., например, [82],[4] и цитированную там литературу).

Известно [3, §1], [75, Гл.1, §2], что поверхность в евклидовом пространстве имеет нулевую кривизну тогда и только тогда, когда она локально имеет минимальный объем. Поэтому естественной проблемой теории поверхностей нулевой средней кривизны является проблема устойчивости.

Проблема устойчивости подмногообразий нулевой средней кривизны в римановых многообразиях изучена весьма глубоко. Только в последние годы этой проблеме были посвящены статьи Дж. Барбосы и М. до-Кармо, X. Лоусона, X. Мори, А.В.Погорелова, Дж.Саймонса, А.А. Тужилина, А.Т.Фоменко и др.

Соответствующая проблема в псевдоримановых многообразиях практически не исследована. Следует, однако, отметить работы В.П.Гороха[21], Й.Шена [88]. В статье В.П.Гороха [21] доказана локальная максимальность пространственноподобных графиков нулевой средней кривизны, а в случае времениподобных поверхностей нулевой средней кривизны в Rf установлено существование локальных вариаций как уменьшающих, так и увеличивающих площадь. В статье Шена [88] показано, что всякое пространственно подобное подмногообразие М с нулевым вектором средней кривизны в псевдоримановом многообразии неотрицательной секционной кривизны является устойчивым, и что если объемлющее многообразие является полным односвязным с постоянной неотрицательной кривизной и М полное, то М есть вполне геодезическое подмногообразие.

В связи с наличием у рассматриваемого класса поверхностей различного рода сингулярностей, естественной и актуальной задачей является задача описания асимптотического строения поверхностей нулевой средней кривизны в окрестности этих особенностей (конечных или бесконечных). Вопросы, связанные с теоремами типа Фрагмена-Линделефа, с описанием целых решений указанного выше уравнения, с исследованием целых решений с одной конической особенностью, рассматривались в работах В.М.Миклюкова [53], [54], [55], С. Ченга и С.Т.Яу [83], К.Экера [24], С.Нишикавы [64], И. Шоке-Брюхат [86].

Цель работы. Целью данной работы является исследование вопросов, связанных с проблемами устойчивости и асимптотического поведения поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Минковского и некоторых лоренцевых многообразиях. В частности, нас интересуют вопросы, связанные с внешним строением рассматриваемых поверхностей в окрестности их особых точек (конечных и бесконечных), а также вопросы, связанные с процессами перехода от пространственно подобных подмногообразий к времениподобным через их точки сингулярности.

Методика исследований.

В работе применяются следующие методы:

- емкостная техника оценок решений эллиптических дифференциальных уравнений в метрике пространственно подобных поверхностей, а также интегралов от кривизн максимальных поверхностей;

- принципы теории функций комплексного переменного и техника многомерного комплексного анализа;

- граничные оценки градиента решений нелинейных дифференциальных уравнений.

- для вычисления геометрических характеристик погружения, а также, для построения иллюстрирующих примеров широко используется аппарат ковариантной производной.

Научная новизна и практическая значимость. В настоящей работе получила дальнейшее развитие техника использования методов действительного и комплексного математического анализа для исследования устойчивости и асимптотического поведения поверхностей нулевой средней кривизны в псевдоевклидовых пространствах.

Опираясь на указанные методы, автором получены следующие результаты:

• получены емкостные признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны. Как следствие, доказаны теоремы единственности в классах устойчивых поверхностей.

• дано исчерпывающее описание асимптотического строения максимальных поверхностей в окрестности изолированной сингулярности.

• получен ряд результатов, характеризующих асимптотическое поведение решений уравнения поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Минковского в точках перехода от пространственно подобным к времениподобным точкам.

• найден новый класс поверхностей нулевой средней кривизны, характеризующий тесную связь с минимальными погружениями в единичную сферу.

• на основе связи многомерных максимальных поверхностей в пространстве Минковского с комплексными подмногообразиями многомерного комплексного пространства получены некоторые асимптотические свойства максимальных лент на бесконечности, ранее известные только для двумерного случая.

Структура диссертации.

Диссертация содержит 215 страниц и состоит из введения и шести глав. Библиография содержит 89 наименований.

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969.

2. Alias L.J., Palmer В. On the Gaussian curvature of maximal surfaces and the Calabi Bernstein theorem. // Bull, of the London Math. Soc. 2001. v. 33, N 163. p. 454 - 458.

3. Аминов Ю.А. Минимальные поверхности. Цикл лекций.// Ротапринт, ХГУ. Харьков 1978. 126 С.

4. Артыкбаев А., Соколов Д.Д. Геометрия в целом в плоском пространстве — времени. Ташкент: ФАН. Узб. ССР, 1991.

5. Bandle С. Isoperimetric Inequalities and Applications. Pitman Advanced Publishing Program. Boston; London; Melbourne, 1980.

6. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Суперструны — новый подход к теории фундаментальных взаимодействий // УФН. 1986. Т. 150. N 4. С. 489-524.

7. Barbosa J.L., М. do Carmo On the size of a stable minimal surface in R3. // Amer. J. of Math. 1976. V. 98 N2. p.515 -528.

8. Bartnik R.,Simon L. Spacelike Hypersurfaces with Prescribed Boundary Values and Mean Curvature. Comm. Math. Phys., 1982, v.87, n.l, p.131-152.

9. Бессе А. Многообразия Эйнштейна, в 2-х т. T.l. М.: Мир, 1990.

10. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985.

11. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.

12. Бицадзе А.В. Введение в теорию аналитических функций комплексной переменной. М.: Наука. 1984. 320 С.

13. Бринк JL, Энно М. Принципы теории суперструн. М.: Мир, 1991.

14. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. JL: Наука, 1980.

15. Веденяпин А.Д., Миклюков В.М. Внешние размеры трубчатых минимальных гиперповерхностей // Мат. сб. 1986. Т. 131. С. 240-250.

16. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1988. 512 С.

17. Vuorinen М. Conformal Geometry and Quasiregular Mappings. Lectures Notes in Math. 1319. Springer. Berlin-Heidelberg-New York. 1988.

18. Hildebrandt S. Maximum principles for minimal surfaces and for surfaces of continuous mean curvature // Math. Z. 1972. V. 128. p. 253-269.

19. Hildebrandt S. Liouville theorems for harmonic mappings and approach to Bernstein theorems // Ann. Math. Stud. 1982. V. 102. p. 107-131.

20. Гольдштейн B.M., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

21. Горох В.П. Об устойчивости минимальной поверхности в псевдоевклидовом пространстве //Укр. геом. сб. 1990, N33. С.41-46.

22. Грей А. Трубки. М.: Мир 1993.

23. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

24. Клячин А.А. Разрешимость задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхностей с особенностями в неограниченных областях // Докл. РАН. 1995. Т. 342. С. 161-164.

25. Клячин А.А., Миклюков В.М. Следы функций с простран-ственноподобными графиками и задача о продолжении при ограничениях на градиент // Мат. сб. 1992. Т. 183. N 7. С. 49-64.

26. Клячин А.А., Миклюков В.М. Существование решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей в пространстве Минковского. Матем. сб., 1995, Т.80, N1, С.87-104.

27. Клячин В.А. Оценка протяженности трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности //Сиб. мат. ж. 1992. Т.33,N5. С.201-206.

28. Клячин В.А. Максимальные трубчатые поверхности произвольной коразмерности в пространстве Минковского // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. Т.57, N4. С. 118-131.

29. Klyachin V.A. A behaviour of the tubular maximal surfaces on the infinity in Minkowski space, Abstracts of the Conference on Differential Geometry, Budapest, July 27-30,1996.

30. Клячин В.А. Новые примеры трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности // Матем. заметки. Т.62, N1, 1997. С. 154-156.

31. Klyachin V.A. Some geometric estimates of constant in Poincare's inequality on the geodesic spheres in Riemannianmanifolds // Reports of the Department of Mathematics, University of Helsinki, Preprint 181 April 1998.

32. Клячин В.А. Об устойчивости максимальных поверхностей с изолированной особенностью. // Вестник ВолГУ, Сер. 1: Математика, Вып. 4. 1999. С. 10 12.

33. Клячин В.А. Об асимптотических свойствах максимальных трубчатых поверхностей в окрестности изолированной особенности в пространстве Минковского// Вестник ВолГУ Серия 1: Математика, Вып. 5, 2000, С. 34 42.

34. Клячин В.А. Об асимптотических свойствах максимальных трубок и лент в окрестности изолированной особенности в пространстве Минковского. // Сиб. мат. ж. 2002. Т. 43 , N 1 . С. 76 89.

35. Клячин В.А. Поверхности нулевой средней кривизны со знакопеременной метрикой. // Труды кафедры математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета. Волгоград. Изд-во ВолГУ, 2002. с.56 -77.

36. Клячин В.А. Строение поверхностей нулевой средней кривизны в окрестности изолированной особой точки. // Докл. РАН 2002. Т. 383. N 6. С. 727 730.

37. Клячин В.А., Миклюков В.М. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Минковского //Изв. АН СССР. Сер. Матем.1991. T.55,N1. С.206-217.

38. Клячин В.А., Миклюков В.М. Об одном емкостном признаке неустойчивости минимальных гиперповерхностей // ДАН России. 1993. Т.ЗЗО. N4. С. 424 426.

39. Клячин В.А., Миклюков В.М. Условия конечности времени существования максимальных трубок и лент в искривленных лоренцевых произведениях // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. N 3. С. 196-210.

40. Клячин В.А., Миклюков В.М. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых произведениях // Матем. сб. 1996. Т.187, N11. С.67-88.

41. Клячин В.А., Миклюков В.М. Геометрическое строение трубок и лент нулевой средней кривизны в пространстве Минковского. // В сб. "Научные школы ВолГУ. Геометрический анализ", Волгоград. Изд-во ВолГУ, 1999. С. 204-244.

42. Kobayashi О. Maximal surfaces in the 3-dimensional Minkowski space L3. // Tokyo J. Math. 1983. v. 6. p» 297 309.

43. Кобаяси HI., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М.: Наука, 1981.

44. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск, "Наука", 1983.

45. Лосев А.Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Математика. 1991, N12. С.15-24.

46. Lawson Н.В. Some intrinsic characterizations of minimal surfaces. // J. Analyse Math. 1971. V. 24. p. 151-161.

47. Миклюков В.М. О некоторых свойствах трубчатых в целом минимальных поверхностей в Rn // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. N 3. С. 549-552.

48. Миклюков В.М. Об одном новом подходе к теореме Берн-штейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности // Мат. сб. 1979. Т. 108(150). N 2. С. 268-289.

49. Миклюков В.М. Минимальные ленты типа геликоида// 1Х-я Всесоюзн. геом. конферен., Кишинев, 1988, С.213.

50. Миклюков В.М. Некоторые особенности поведения решений уравнений типа минимальной поверхности в неограниченных областях // Мат. сб. 1981. Т. 116(158). N 1. С. 72-86.

51. Миклюков В.М. О критических точках решений уравнений типа максимальных поверхностей в пространстве Минковского // Теория отображений и приближения функций. Киев: Изд—во Наук, думка, 1989. С. 112-125.

52. Миклюков В.М. О конформном типе концов максимальных пространственноподобных поверхностей с особенностями // Актуальные вопросы комплексного анализа / Тезисы докл. школы-семинара. Ташкент, 1989.

53. Миклюков В.М. Максимальные трубки и ленты в пространстве Минковского // Мат. сб. 1992. N 12. С. 45-76.

54. Миклюков В.М., Ткачев В.Г. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности // Мат. сб. 1989. Т. 180. N 9. С. 1278-1295.

55. Миклюков В.М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей // Изв. РАН. Сер. Мат. 1996. Т. 60. N 4. С. 111-158.

56. Miklyukov V., Tkachev V. Denjoy—Ahlfors Theorem for Harmonic Functions on Riemannian Manifolds and External Structure of Minimal Surfaces. // Communications in Analysis and Geometry. University of California. Irvine. 1995.

57. Milnor J. On deciding whether a surface is parabolic or hyperbolic // Amer. Math. Monthly. 1977. V. 84, N 1. p. 43-46.

58. Mori H. Stable complete constant mean curvature surfaces in R3 and H3, Transactions of the American Math. Society. V. 278 N2. 1983. p. 671-687.

59. Никольский C.M. Курс математического анализа, т.1-2. М.: Наука. 1990.

60. Nilsen В. Einstein's equations and Mach's principle // J. Geom. Phys. 1987. V. 4. N 1. p. 1-20.

61. Nitsche J.С.С. A characterization of the catenoid // Journal of Math. Mech. 1962. V. 11. p. 293-302.

62. Nishikawa S. On maximal spacelike hypersurfaces in a Lorentzian manifold // Nagoya Math. J. V. 95. 1984. p.U7-124.

63. Osserman R., Schiffer M. Doubly connected minimal surfaces // Arch. Rational Mech. Anal. 1975. V. 58. p. 285-306.

64. Погорелов А.В. Об устойчивости минимальных поверхностей// ДАН СССР, 1981. Т. 260, N2. С.293-295.

65. Решетник Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск, Изд-во СО РАН. 1999.

66. Решетняк Ю.Г. Двумерные многообразия ограниченной кривизны // Итогои науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. 1989. Т. 70.

67. Simons J. Minimal varieties in riemannian manifolds // Ann. of Math.1986. V.88,N2.P.62-105.

68. Соболев С.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд. СО АН СССР. 1962. 256 С.

69. Суворов Г.Д. Семейства плоских топологических отображений. Новосибирск.: СО АН СССР, 1985.

70. Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев: Наук, думка, 1985.

71. Ткачев В.Г. Минимальные трубки с конечной полной кривизной // Сиб. матем. ж. 1998. Т.39, N1. С.181-190.

72. Tkachev V.G. Minimal tube and coefficients of holomorphic functions // Bull, de la Soc. Sci. de Lodz, v. XX, p.19-26.

73. Тужилин А.А., Фоменко A.T. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей. М.: Наука, 1991.

74. Тужилин А.А. Индексы типа Морса двумерных минимальных поверхностей в R3 и Н3 // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. т.55, N2. С.581-607.

75. Уорнер Р. Гладкие многообразия и группы Ли. Бибфизмат. 1987.

76. Федерер Р. Геометрическая теория меры. М.: Наука. 1984.

77. Фоменко А.Т. Вариационные методы в топологии. М.:Наука, 1982.

78. Фоменко А.Т. О скорости роста и наименьших объемах глобально минимальных поверхностей в кобордизмах // Тр. семинара по вект. и тенз. анализу, Вып. 21, М.:МГУ, 1985. С.3-12.

79. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. Пер. с англ. М.: Мир, 1980.

80. Hawking S.W., Ellis G.F.R. The large scale structure of Space Time // Cambridge University Press. 1972.

81. Cheng S., Yau S.-T. Maximal spacelike hypersurfaces in the Lorentz—Minkowski space // Ann. of Math. 1976. V. 104. N 2. p. 407-419.

82. Чирка E.M. Комплексные аналитические множества. M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1985.

83. Choi H.I., Treibergs A. Gauss map of spacelikeconstant mean curvature hypersurfaces of Minkowsky space //J. Diff. Geom. 1990. V. 32. p. 775-817.

84. Choquet-Bruhat Y. Maximal submanifolds and submanifolds with constant mean extrinsic curvature of a Lorentzian manifold // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, N3 1976, p. 361 376.

85. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1985.

86. Shen Y. On maximal submanifolds in pseudo-Riemannian manifolds// J. Hang-zhou Univ. Natur. Sci. Ed. 1991. V.18, N7. P.371-376.

87. Yau S.-T. Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Comm. Pure Apple. Math., N28. 1975. p. 201 228.