Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

// /'/f- f/tajz-v

/ J1/7 /\

ЛЕЕ'П1ТАДС1ГЛ1'1 ОРДЕНА ЛШНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО i-СРАСНОГО ЗНАЛЕНИ ГОСУДАРСТВЕН! 1ЫД ЖШШ им. А.А.ЖДАНОВА

На правах рукописи УДК 62-50

ГЕЛИГ Аркадий Хаимович

УСтОЛчЖОиТЬ 1ШЛЮ/Й-ШХ СИСТШ С ШЕДНКСТВЕШШ СОСГОЯШШ РАВНОВЕСИЯ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени доктора ишзико-мат ематлчес кпх наук

Ленинград 1983 г

0riA3JEH?IE

стр.

Глава I. ВВЕДЕНИЕ................................. к

Часть I. НМГРЕРЬШШЕ СИСТЕМЫ Глава 2. ШШЕПНЫЕ СИСТЕМЫ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТИЛИ

§ 2.£. Системы с многозначными правыми частями.

Свойства решений. Скользящие режимы .... § 2.2. Определение устойчивости и лемш ляпунов-

ского типа ............................. ЪЪ

§ 2.3. Частотные теоремы ......................

Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ОДНОЙ ШМИЗлНОСТБЮ

§ 3.1. Некритический случай................... 41

§ 3.2. Критическим случай пары чисто-мнимых

корней.................................

§ 3.3. Критический случай одного нулевого корня... 61 § 3.4. Критический случай .двух нулевых корней ... 71 Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ 11Ы1ИНЕП-

НОСТНМИ

§ 4.1. Устойчивость ........................... 84.

§ 4.2. Дихотомия.............................. 99

' Часть П. йуЖЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ Глава 5. ПРЩВАРИТЕЛЬШЕ СВИДЕШ1Я

§ 5.1. Примеры импульсных систем .............. 110

§ 5.2. Классификация и описание импульсных

систем ............. .................... 116

Глава 6. СИСТЕМЫ С шИУЛЪСАМЙ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ § 6.1. Устойчивость систем с импульсами конечной длительности ......................

стр.

§ 6.2. Широтно-ишульсная система фазовой синхронизации ............................. 156

§ 6.3. Системы с высокой частотой импульсации... Глава 7. СйСТЕШ С 1ЛГН0ВЕ1ШЫМИ ШУЛЪСАМЙ

§ 7.1. Устойчивость систем с частотно-импульсной модуляцией первого рода ........... 182»

§ 7.2. Устойчивость систем с частотно-импульсной модуляцией второго рода ........... £04

§ 7.3. Устойчивость асинхронных импульсных

систем................................ Е'Ьй

ЦИТИРОВАННАЯ МГЕРАТУРА ........................... £5 2,

Глава I* ВВЕДЕНИЕ

Изучению нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия (механических систем с сухим трением, систем автоматического регулирования с нечувствительностью и др.) посвящена обширная литература. Среди точных методов их исследования наибольшую популярность получили метод припасовывания, метод фазовой плоскости и фазового пространства, метод точечных отображений С их помощью изучено много нелинейных систем, главным образом второго и третьего порядка. Эти методы зачастую позволяют исследовать не только устойчивость, но и построить всю качественную картину системы. Однако их применение ограничено трудноетями, связанными с размерностью системы и со степенью сложности нелинейности.

В диссертации развивается новый подход к исследованию нелинейных (непрерывных и импульсных) систем с неединственным состоянием равновесия, заключающийся в разработке точных (не приближённых) достаточных частотных критериев устойчивости в целом, применение которых не связано с указанными выше трудностями.

В рамках общей теории устойчивости движения, большой вклад в развитие которой внесли А.М.Ляпунов, Н.Г.Четаев, И.Г.Малкин, Н.Н,Красовский, В.В.Румянцев, В.И.Зубов, В.А.Якубович, В,М.Матросов и многие другие отечественные и зарубежные учёные, с выходом монографии А.И.Лурье [109] возникло новое направление - теория абсолютной устойчивости нелинейных систем, математическое описание которых (в случае одной нелинейности) может быть представлено в виде уранения

со

где Г - постоянная матрица размерности П * П , и 1 постоянные 1Ъ - мерные столбцы, X Ob) - ft-мерный вектор,

и 1

описывающий состояние системы в момент "t , аФ((э) - скалярная функция» С помощью предложенной в [110] функции Ляпунова

GT

Y(x) - зс*Нх + # Ае', (Ю

ГДе Н специально подобранная полож&ельно определённая матрица, ffi - скаляр, А»И* Лурье были установлены такие условия на параметры системы (I), предварительно приведённой к каноническим

переменным [145 146] .(условия существования вещественного реше-

' и

ния у системы квадратных разрешающих уравнений), которые гарантируют устойчивость в целом состояния равновесия Х=0 для всех систем (I), у которых график нелинейности лежит в некотором секторе на плоскости <э, • Эти условия были исследованы для систем до 6-го порядка включительно Б работах [88,11^155,141] и др.

за счёт выбора того или иного частного вида матрицы Н в (2) были развиты упрощенные критерии абсолютной устойчивости,.получены

/которые?

для любого it , но зато дают область устойчивости,более узкую, чем метод "разрешающих уравнений".

Новый этап (частотный) в развитии теории абсолютной устойчивости начался с конца 50-х годов после выхода работ румынского учёного В,М.Попова [1?8"180] , в которых с помощью метода априорных интегральных оценок были получены достаточные условия абсолютной устойчивости в виде требований, предъявляемых к передаточной функции (от "входа" Ср к "выходу" — (э )

jCix>-%*iP-HT\ с»

линейной части системы (I). Эти ("частотные") критерии удобны для приложений, не зависят от порядка системы, имеют простую геометрическую интерпретацию на плоскости амплитудно-фазовой частотной характеристики^^ tCi)) и?в силу своей инвариантности относительно линейного неособенного преобразования координат не тре-

буют предварительного приведения системы (!) к каноническому виду. В.М.Поповым было показано, что область параметров системы (I), найденная с помощью частотного критерия, не .уже области, которая может быть получена путем анализа функции Ляпунова вида (2).

В 1962 г. В.А.Якубович [1583 ,а затем Р.Калман [1?1] нашли частотные условия разрешимости квадратичных матричных неравенств, к которым сводится анализ функции Ляпунова вида (2) по методу А.й. Лурье, и показали, что области абсолютной устойчивости, получаемые с помощью частотного критерия В.М.Попова и метода разрешающих уравнений А.И.Лурье,идентичны. Тем самым было показано, что оба подхода (А.И.Лурье и В.М.Попова) эквивалентны.

С этого времени теория абсолютной устойчивости как непрерывных систем (I), так и дискретных систем вида

XrLM^PXrv+Q^qKGVJ, (Эа (4)

начинает бурно развиваться как в СССР, так и за рубежом '. Достаточно сказать, что теории абсолютной устойчивости посвящено

монографии [2,30,ЪЪ,ЗМОМО?,Ш, {Ъй, 154,1??, 186,188]

и обзоры 108,1М1.

Следует отметить, что интерес к теории абсолютной устойчивости .^стимулируется и тем обстоятельством, что класс абсолютно устойчивых систем вида (I) совпадает с классом нелинейных систем, для которых справедлива гипотеза М.А.Айзермана fll , состоя-

^ Теория абсолютной устойчивости, естественно, не является единственным направлением обк,ем теории устойчивости движения в последние десятилетия. Так,например,В.М.Матросовым и его учениками развивается метод сравнения, основанный на анализе вектор-функций Ляпунова

[5,116, 11?! .

щая в том, что из асимптотической устойчивости линеаризованном системы (I) при Ф(в) = 0 < к < to вытекает устой-

чивость в целом нелинейной систеш (I), если нелинейность принадлежит сектору

Ф(<=0

0<

<э

<fco.

(5)

Как известно [12.63 в общем случае эта гипотеза несправедлива.

Автор начал заниматься теорией абсолютной устойчивости с середины 60-х годов в направлении развития частотных критериев устойчивости систем с разрывными и многозначным! нелинейноетями и неединственным состоянием равновесия, а также нелинейных импульсных систем, математическое описание которых не сводится к уравнениям вида (4). Основные результаты автора, подытоженные в монографиях [6$, 683 составляют содержание этой работы.

В первой части диссертации изучаются систеш, математическое описание которых может быть сведено к уравнениям- вида (I),

где

1

и X - матрицы размерности

<5t

" » =

€Г=

m

П* пг,

(его %

ФпгСбпг)

Пусть для простоты ГГЬ = i » то-всть в (I) и *L - столбцы, а Ф(<э) - скалярная функция. Систеш с неединственным состоянием равновесия часто описываются уравнением (I), в котором функция ф (€0 не является непрерывной. Например, если ф (<э) - характеристика силы сухого трения, то она может иметь вид ф((э) = sorts' и, следовательно, является разрывной функцией. Наличие разрыва у ф в ряде случаев приводит к появлению неклассических решений системы (I) - так называемых скользящих режимов.

Теория дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями развивалась рядом авторов55^. Наибольшую популярность у прикладников приобрели подходы А.Ф.Филиппова [149] и М.А.Айзер-мана и Е.С.Пятницкого [31 . Согласно этим подходам поведение системы на гиперплоскости разрыва правой части определяется теми значениями, которые принимает правая часть в окрестности этой гиперплоскости. Для систем с сухим трением это не совсем удобно, поскольку при таком подходе системы (I) с нелинейноетями, графики которых изображены на рис. I.I (трение несрывное) и рис. 1.2 (трение срывное) отождествляются.

Более адекватным существу систем с сухим трением является на наш взгляд теория дифференциальных уравнений с многозначными правыми частями. При этом под Ср Со") понимается отрезок [ср ^ ф+1 » изображенный на рис. 1.1 и 1.2 шорной линией. Теория уравнений с многозначными правыми частями была развита в 30-х годах Зарембой [190,191] и Марию [i?3,l?41 . В СССР элементы этой теории изложены в статье Е.А.Барбашина и Ю.И.Алимова [191 , а также в написанной автором второй главе монографии [683 . Необходимые сведения содержатся в § 2.1 этой работы. Там же приводятся исследование скользящих режимов и устанавливается простая связь мезду характеристическим полиномом системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих скользящий режим и передаточной функцией (3) (матрицей, если Гп > 1 )•

В работе исследуются следующие свойства систем с неединственным состоянием равновесия: дихотомия (все ограниченные при

■fc "> Q движения стремятся при -fc ->-+ос к стационарному множеству - множеству состояний равновесие и, следовательно, не

^ Обзор этих работ имеется в статье В.М.Ыатросова [1151 .

lY

-б"

Ч

Рис .1.1

<Р+

</L

Рис. 4.2

-МС/-

может быть автоколебаний),глобальная асимптотика (все движения при "Ь—стремятся к стационарному множеству, которое

П

может не быть устойчивым в малом по Ляпунову [14£]), устойчивое- .

ти в целом (стационарное множество устойчиво.по Ляпунову и все

. 1 движения стремятся к нему при t —+ оо ), точсчная^усте^и- -

вость в целом (стационарное множество устойчиво по Ляпунову и каждое движение при "Ь —»■•»-©© стремится к некоторого состоянию равновесия). При устойчивости в целом все движения могут стре-■ мится к "отрезку покоя", навиваясь на него, например, как изображено на рис. 1.3. Рис. 1.4 соответствует случаю точечной устойчивости в целом.

Леммы ляпуновского типа, гарантирующие наличие у системы того или иного из перечисленных выше свойств приводятся в § 2.2. При этом для исследования точечной устойчивости в целом оказа-. лись полезными семейства функций Ляпунова вида V (х,с) , где С ~ произвольный вектор из стационарного множества.

В последнем параграфе второй главы приводятся необходимые . для дальнейшего алгебраические результаты В.А.Якубовича Г 68] и К.Мейера [1?5] (частотные теоремы).

Глава 3 диссертации посвящена исследованию устойчивости системы вида (I) с одной кусочно-однозначной нелинейностью (однозначной и непрерывной всюду, кроме отдельных точек S^ , в каждой из которых Ф Св'ц.} является отрезком).

В § 3.1 рассматривается некритический случай, когда матрица Р в (I) гурвицева. Устанавливаются достаточные частотные условия глобальной асимптотики системы (I) и точечной устойчивости в целом отрезка, покоя. Последние имеет следующий вид: должно существовать такое &5s 0 ,что

при всех 60 ^ 0 ,где

у (Led) - частотная характеристика, вычисляемая по передаточной функции (3), a ju. - параметр, характеризующий меру^срывности^треьшя (см.рис.1.5),если Ф(еО - характеристика силы трения. ^ Очевидно, что передаточная функция (3) является дробно-ра- <7 циональной и поэтому неравенство (6) сводится к виду

CLafe > О V со ^ О (?)

в котором коэффициенты 0L2^. зависят от параметров системы (I) и -ty • Трудности, связанные с проверкой этого неравенства такие ке, как и при исследовании условий того, что полином имеет все корни в левой полуплоскости: согласно алгоритму Шилака С183] составляется соответствующая таблица Рауса и требуется, чтобы в первом ее столбце было (J, перемен знака95). Частотный

критерий (6) в § 3.1 применяется к исследованию устойчивости системы регулирования паровой турбины с учетом сухого трения в золотниковой буксе.

В §§ 3.2 и 3.3 аналогичные частотные критерии глобальной асимптотики и точечной устойчивости в целом отрезка покоя выведены для двух критических случаев: пары чисто мнимых корней и одного нулевого корня у характеристического полинома матрицы Р . Полученные результаты применяются к анализу нелинейного

^ В ряде организаций, в том числе в лаборатории теоретической кибернетики ШШМ ЯГУ, где работает автор, имеются программ для ЭВМ, реализующие этот алгоритм.

i <P

0

- L--—. — - f-

pMC.i.5-

осцкллятора и релейной гироскопической системы управления ориентацией космического аппарата, причем для последней системы в отличие от ранее исследовавших ее Л.И.Каргу и В.А.Яблонской [813 удалось найти в пространстве параметров область глобальной асимптотики, при которой незатухающие колебания невозможны.

В § 3.4 получен достаточный частотный критерий устойчивости в целом отрезка покоя в критическом случае двух нулевых корней. С помощью этого критерия найдены области устойчивости в целом отрезка покоя системы регулирования паровой турбины с сухим трением в поршне сервомотора, а также системы регулирования курса самолета, снабженного автопилотом с сервомотором постоянной скорости, при наличии нечувствительности. Последняя система исследовалась методом точечных отображений А.А.Андроновым и Н.Н.Бау-тиным в работах [6,?, 8] ,где,однако, условия устойчивости были найдены лишь при отсутствии нечувствительности.

Заметим, что проверка частотных критериев не всегда приводит к алгебраическому неравенству (7). Для систем второго-третьего порядка, у которых все корни характеристического полинома, леаат на мнимой оси,проверка частотных критериев весьма проста и не требует анализа неравенства (7). Так, например, если система второго порядка имеет двойной нулевой корень и, следовательно, передаточная функция (3) имеет вид

то для устойчивости в целом отрезка покоя, как следует из резуль-

Рассмотрим в качестве примера гироскопический креновыравни-

сю

татов § 3.4, достаточно, чтобы об > О, Р 0 .

ватель, описываешй уравнениями С ВО]

где ^ - угол крена объекта, (=> - величина, пропорциональная

CL-

углу поворота внутреннего кольца кдрданового подвеса гироскопа (/ относительно внешнего, Ф((э) - функция, определяющая закон

изменения корректирущего момента. Если

при

I 0 при | (э\ ^б'*

то система (9) обладает отрезком покоя

= - в', - <5* ^ <э ^ еГ* .

Для определения передаточной функции заменим в (9) символ ji- на и, исключив , придем к равенству

cL-fc

^--(VtW

Поэтому передаточная функция имеет вид (8) с Л. ~ i и, следовательно, отрезок покоя устойчив в целом.

Глава 4 посвящена исследованию систеш (I) при ггь>{ (со многими кусочно-однозначными нелинейностягли).

В § 4.1 получены частотные условия глобальной асимптотики и точечной устойчивости в целом стационарного множества системы (I) в предположении, что оно принадлежит многообразию 6" = 0. В § 4.2 выводятся частотные условия дихотомии систеш (I) при произвольном расположении стационарного множества.

Радом авторов С 8fl, 91, 92,"] изучалось влияние сухого трения на динамику гироскопических систем,в том числе и на их устойчивость

[28, 8 5-8?, 15*0, 15?].

Для проверки эффективности полученных в четвертой главе частотных критериев были рассмотрены две гироскопические систеш:

установленный неподвижно на земле свободный гироскоп с сухим трением в обеих осях и некорректируемый гиростабилпзатор с принудительным вращением карданового подвеса и сухим трением в. осях_

стабилизации и прецессии. Первая система изучалась методом фазового пространства Н.В.Бутениным , а вторая - В.Л.Яблонской [15?] , причем лишь в предположении, что скорость принудительного вращения достаточно велика. С помощью установленного в § 4.2 частотного критерия для последней системы удалось получить условия глобальной асимптотики при произвольной скорости принудительного вращения карданового подвеса.

Все частотные критерии в первой части работы получены на основе анализа свойств функций Ляпунова с помощью частотных теорем. Следует отметить, что частотные критерии, выведенные в главе 3, необходимы для существования функций Ляпунова используемых

классов. Иными словами, их нельзя улучшить, варьируя параметры

<

функци^Ляпунова.

Для демонстрации полученных критериев используются не только оригинальные примеры, но и системы, изучавшиеся другими авторами с помощью нечастотных методов. Это сделано для выяснения эффективности частотных критериев по сравнению с другими точными методами исследования устойчивости.

Анализ примеров приводит к выводу,