Устойчивость слабо гиперболического аттрактора автономной системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

■Мо 1 Я ЬзО '

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШУБИН Василий Анатольевич

УСТОЙЧИВОСТЬ СЛАБО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО АТТРАКТОРА АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

01.01.02. Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Российской Академии наук ПЛИСС Виктор Александрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор РОЗОВ Николай Христович;

кандидат физико-математических наук, доцент ИВАНОВ Борис Филиппович.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный

университет телекоммуникаций.

Защита состоится 5 декабря 1 9 9 6 года

в 13 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, д. 2. Математико-механический факультет.

Ауд. 4526.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан _ 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.57.30

Ю.А.Сушков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В 1990 году В. А. Плпссом и Дж. Селлом была рассмотрена автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений в Лп с непрерывно дифференцируемой правой частью. В их статье [ 1 ] дано определение гиперболической линейной системы, одновременно в определении вводятся понятия устойчивого и нейтрального линейных пространств. В определении используются два показателя в экспоненциальных оценках норм решений линейной системы. Первый показатель строго больше нуля, второй показатель строго меньше первого.

Предполагается, что рассматриваемая автономная система имеет аттрактор /С. Дается определение гиперболичности аттрактора 1С: вдоль решения из 1С система в вариациях, соответствующая указанной автономной системе, гиперболична, каждой точке множества /С соответствует к-мерный диск, принадлежащий /С, нейтральные линейные пространства в точках диска касаются диска. Гиперболический аттрактор 1С удовлетворяет условию Липшица, т. е. нейтральные линейные пространства как функции точек множества 1С удовлетворяют условию Липшица. В статье [ 1 ] рассматривается тот случай, когда первый п второй показатели являются постоянными величинами, не зависящими от точек множества 1С. При сформулированных условиях В. А. Плисс и Дж. Селл доказали устойчивость гиперболического аттрактора относительно малых в смысле С1 возмущений правой части изучаемой автономной системы.

В диссертации вводится понятие слабо гиперболического аттрактора, обобщающее понятие гиперболического аттрактора из работы В. А. Плисса и Дж. Селла на тот случай, когда показатели экспонент в оценках норм решений линейных систем зависят от точек множества 1С.

Цель работы

Исследовать устойчивость слабо гиперболического аттрактора автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений при непрерывно дифференцируемых возмущениях правой части.

Научная новизна и практическая ценность

В диссертации получены следующие результаты.

1. Если автономная система на компактном инвариантном множестве К. удовлетворяет условию слабой гиперболичности, то выполняется аналог теоремы Ляпунова-Перрона о существовании нейтрального и устойчивого дисков в точках множества /С с оценками норм решений на вещественной осн. Для заданного отрезка времени существует окрестность изучаемой системы и окрестность точки из множества /С такие, что для возмущенной системы в точках указанной окрестности существуют устойчивый и нейтральный диски с оценками норм решений на указанном отрезке.

2. Вводится понятие (условие 1), аналогичное понятию слабой гиперболичности, показатели экспонент — кусочно постоянные. Для автономной системы с условием 1 доказывается аналог теоремы Ляпунова-Перрона о существовании устойчивого и нейтрального дисков.

3. Если автономная система на К. удовлетворяет условию слабой гиперболичности, то возмущенная система удовлетворяет условию 1.

4. Доказывается, что возмущенная система имеет компактное инвариантное множество КУ в малой окрестности слабо гиперболического аттрактора /С. Возмущенная система вдоль решений из К? удовлетворяет условию 1 на Л.

5. КУ расслаивается на листы; доказывается, что листы гладкие.

6. Л"У гомеоморфно /С.

Апробация работы. Результаты докладывались на заседаниях семинара кафедры дифференциальных уравнений математпко-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы из 15 наименований. Объем диссертации 101 страница.

Содержание диссертации

Во введении формулируются результаты работы В. А. Плисса, Дж. Селла. Излагается основное содержание диссертации.

В первой главе рассматривается автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывно дифференцируемой правой частью в Нп. Автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет компактное инвариантное множество /С из 11п.

В первом параграфе формулируются определения используемых понятий и вводятся обозначения.

Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений с возмущенной правой частью

а)

где I £ Л, г £ й", А' : Я" —► И", X непрерывно дифференцируема. Система (1) имеет компактное инвариантное множество К. а К1.

Автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с возмущенной правой частью имеет вид:

й=Х(у) + У{ у), (2)

у € П.", У : Пп —I• Я", возмущение У непрерывно дифференцируемо. Для некоторого 6 > 0 выполняются оценки

II У ||с. < 6. (3)

На 6 накладываются условия при дальнейших рассмотрениях.

Пусть ¿о € Я, х0,у0 £ Я", >?,£ 6 Я", обозначим ж(Мо,яо),2/(Мо,Уо) максимально продолженные решения систем (1), (2) с начальными условиями х(<0, ¿0, 2о) = ЯО» у{1'0, к, Уо) = Уо-

При £ 1С решения ¡"о, х0) системы (1) продолжимы на все Я. При у0 6 и(К.,р), где и()С,Р) — ^-окрестность К, максимально продолженное решение ¿о, г/о) системы (2) на некотором, содержащем Ц, интервале удовлетворяет условию у(М(Ь?/о) € и (/С, в); этот интервал обозначим 3 — ^(¿о, г/о)-

Запишем системы в вариациях уравнений (1), (2).

= о,*о)Х- (4)

Обозначим через Е единичную матрицу размера п х п, через Ф(£, <ц, Хо) фундаментальную матрицу решений системы уравнений (1), которая удовлетворяет условию Ф(<о,<0!а;о) = Е.

(^г(2/(Мо,2/о))+ ^(у(Мо,Уо))) V- (5)

Фундаментальную матрицу системы (5) обозначим £о>!/о)> Ф(<о,<о,1/о)

Пусть с, Ъ% ¡)" £ Л, 5 > 1, Р > 0, 5" > 0, 10 6 Л", 6 Я, А'(х0), Ап(х0) 6 7?, А'(хо) > А8(х0) - А"(хо) > Ь". Определим слабо гиперболические линейные системы (4) на интервале (¿1,<1,^2 6 Я, на отрезке [< 1, ¿2], € Я, на вещественной оси II. (Ниже J может быть интервалом, отрезком, осью.)

Определение. Будем говорить, что линейная система (4) слабо гиперболична вдоль решения х(£, на 3, Ц е А с константами а, V, б", А*(хо), А"(хо), если существуют линейные пространства 2о,хо) с условиями

Ф(í, *о, з0) ¿о, х0) = <0, х0),

Ф(«, ¿о, *о) ¿/"(«о, к, Х0) = *о, *о) для всех и сИш — А;, (Ига Ы8 =п — к, если £0 € ¿¿5(<о,*о,яо)>

|ФО)<о,хо)(Ф(г,<о,х-о))-1Со| < а|£о|ехр(-Аа(х0)(*- г)) (6)

для * > г;<,г е ,/, если £о £ ип{Т, ¿о, х0), то

|Ф(«1«о,®о)(Ф(7-,*о,®о))"Чо| <о|Ыехр(-Ап(10)(<-г)) (7)

для Кг;<,гб7.

Определение. Компактное инвариантное множество 1С системы (1) называется слабо гиперболическим множеством, если существуют константы а > 1, Ь" > 0, Ь" > 0, не зависящие от х € 1С, и для любых х 6 /С, <о 6 Я существуют А'(я), А"(ж), А«(х) > Ь5, А"(х) - А"(х) > Ьп, такие, что линейная система (4) удовлетворяет условию слабой гиперболичности на Я.

Пусть Lk, Lm — векторные подпространства размерностей к,т < тг векторного пространства R". Далее будем использовать следующие величины.

Определение. Первой величиной угла между Lk,Lm будем называть

¿)(Lh,L"1)1 — min |а: — у|.

14 Ы=1

Определение. Второй величиной угла между Lk.Lm будем называть

MLk,Lm)2 = max min \х - у\.

|i|=i m=i

Еслп к = 1 пли т = 1, то $(Lk,Lm) ${Ьк,Ьт)1 = ¿}{Lk,Lmf.

Во втором параграфе изучаются свойства решений системы (2) в окрестности множества 1С. Доказывается следующая теорема.

Теорема. Для любых Т > 0, е > 0, а Е (0,^min(6*,b")), х0 £ К.

существуют ßXo > 0, 6Хо > 0 такие, что если У Е C1(Rn), j| У ||Ci < 6Хо и уо Е Rn, |t/o — £о| < ßz0i то система (5) слабо гиперболична вдоль решения y(i,<0)2/o) на отрезке [io — Т, tg — Г] с константами

а + е, bs - о > О, If - 2(7, As(^o) - о, *"(*<>) + <*> (А5(а.'о) -а)- (А"(®о) + о) > Ь" - 2а > 0.

В силу компактности окрестности множества К. указанные в теореме ßXo, 8Х0 можно выбрать независимыми от хо Е /С, то есть ß > 0,6 > 0.

Показывается, что в точке из окрестности множества 1С устойчивое и нейтральное линейные пространства системы (5) отделены от нуля. Система (5) удовлетворяет условию слабой гиперболичности на некотором отрезке. Система (5) приводится к блочно диагональному виду заменой Ляпунова. Доказывается аналог теоремы Ляпунова-Перрона, о существовании устойчивого п нейтрального дисков с центрами в точке из окрестности множества 1С.

В § 3 вводится аналог условия слабой гиперболичности — условие 1. Доказывается аналог теоремы Ляпунова-Перрона о существовании устойчивого и нейтрального многообразий.

Условие 1 . Пусть у(<, <о,уо) решение системы (2) с начальными условиями (¿о^ 2/0)5 'о € уо 6 Л" на интервале J = J(to,yo) С -й-Пусть существуют Ь* > О, Ь" > 0,{^|г € € — и > 0},

{^;(Уо)|г € Я, А?Ы € Л, А?(у0) соответствует [<¿,¿¿+0 П -МЫ > Ь5 > 0}, {А;-'(уо)Н € 2, \^{у0) е П,\?ы соответствует

¿,+1) П J,X¡(yo) — А"(г/о) > 6" > 0} и существуют линейные пространства ¿о,Уо), ^'(Мо>Уо), *о,Уо) =

^т ¿/s(í, ¿0^2/0) = п — к такие, что

Ф(*. <0, Ы (*о, (о, Уо) = Уо), Ф(*, ¿о, Уо) «"(<о, ¿о, 2/о) = <0,2/0)

¿ля всея f 6 ./ и ¿о 6 и если т/о € 'о. 2/о)> и» . р

|Ф(Мо,Уо)Ф (Мо.УоЫ < а|чо|ехр(-^ - «0+

+а;Ы(т - *,) + - 0), «>

д,р индексы с условием т € € [<р,4р+1),

если щ е Ип{т,гй,у0), то

, р

|Ф(*, <0, Уо)Ф" (т, ¿о.УоМ < а1'Л>1 ехр(- £ А"(у0){и -

»=«

+Л?(Уо)(<, - *) + А£(у0)(т - «р+О), * < Г,

индексы с условием < € ¿,+1), т 6 [<р, <р+1).

При выполнении оценок условия 1 для решений системы (3) справедлива

Теорема. Пусть система (3) приводится к блочно-диагональному виду и удовлетворяет условию 1. Кроме того, у)~< '|у~у|

и 0) = 0 при всех < £ Е, При любых е > 0 и о 6 (0,-тт{Ьв,Ь"}) и константе Липшица I, удовлетворяющей неравенствам

. , 1 а(Ь" — с) п , г о(Ь" — ст) п , о(Ь" - а)

0<1< ----0 < I <---0 < I < ;-'-,

2 аЬ" а + е аЬ" аЬ"

существуют (п — к)-мерная функция, непрерывная при всех у3,1, и к-мерная функция, непрерывная при всех уп,

У5 = У(Уп,*),У( 0,0 = 0,

удовлетворяющие условиям

2а2/

такие, что решение системы

с начальными условиями (£(ь2/о'Уо)> удовлетворяющими уравнению

Уо = /(Уо! Удовлетворяет неравенству

р

Ш, ¿о, Уо)\ < 0 + е)Ы ехр(- Е(А?(г/0) - -

¡=о

+(Ур{у0) - (г){1р+1 - <)), I > <0, г е Л

а решение с начальными условиями Уо,Уо), удовлетворяющими уравнению ?/д = д{Уо^о)> удовлетворяет неравенству

-1 ¿=9

+ *)(«,-*)). *<*0Лге./.

В четвертом параграфе доказывается следующая теорема. Теорема. Пусть а > 1,Ь® > 0,Ь" > 0. Предположим, что на ограниченном интегральном множестве М = £ II,х £ /С} система (1) для любых начальных условий (<0)жо) 6 М имеет слабо гиперболическую структуру с константами а, ЬЬ", Ля(хо), А"(хо),

Л8(ж0) > Ь$,\${х0)-Хп{х0) > Ьп. Тогда для любыхе > 0,о £ (0, ^тш^.Ь3}) можно указать такие 6 > 0,/3 > 0, что если на интервале 7 решение у — т/)(<) системы (2) с У £ С1(Еп), || У ||с1< находится в (3-окрестности множества М, то для системы линейных уравнений

существует Т > 0 такое, что для любого ¿о € •/ существуют {<,|г € и € ./,¿,4-1 -Ь>Т> 0}, о))|» € г,\\(-ф{Ц)) € Д,А?(^(е0)) соот-

ветствует П \<{ф{к)) > Ь3 - о > 0}, {А?(г/>(<о))|г е

6 Я, А?(0(<о)) соответствует [<¡,<¡+1)0/, Щф{к))-Х'?(ф(г0)) > > — 2<т > 0} и существуют линейные пространства

с1ш1 <0; о)) = п — к такие, что

Ф(*, <0, ^(¿о)) «о, ФУ о)) = Ы"(*, ¿0, \&(*о))

для всех < е 7 м ¿о 6 ^ и если щ £ 1Ав{т,то

< а|чо| ехр(- £ А^(<о))(Ъ+1 - «0+ - «,) + - 0) при « > Г,

индексы с условием т 6 6 ¡¿р,<р+1),

если щ £ ип(т,10,ф(к)), то

< а\щ\ехр(— £ \?{ф{к)){и - «{+1)+

+а^(<0))(*3 - 0 + >%№ожт ' *р+0) * < г, индексы с условием < € [£,,15+1), т € Следствиями указанной теоремы являются неравенства.

|Ф(0Ф-Чг)ч®| - а Ы Р( ?( "л, )( 1+1

- А;)(г - *,) + (А* - а^р+1 - 0), г > т.

- а2шехр(- ?(бп - ^ - +(ьп -2а)х

х(т- *,) + (*" - 2<т)(т - *р+1)) = а2М| ехр(-(Ь» - 2<т)(* - г)).

и

В пятом параграфе определяется слабо гиперболический аттрактор.

Определение. Компактное инвариантное множество К, системы (1) называется слабо гиперболическим аттрактором, если К. удовлетворяет двум свойствам:

1) существуют константы а > 1,6® > 0,6" > 0, не зависящие от хо € /С, такие, что для любого хо 6 /С линейная система (4) слабо гиперболична вдоль решения х(1,х$) на Я с константами

а > 1,Ь' > 0,6" > 0,А*(х0) > б8, А"(х0), А8(х0) - А"(.т0) > 6".

2) существует гц > 0 такое, что для каждого хо 6 ¡С существует к-мерный локально инвариантный дискТ>{хо) С. К. с центром в точке хо и радиуса Гц такой, что если х 6 V, то в точке х диск Т>(хо) касается линейного пространства ¿/"(0, х).

Слабо гиперболический аттрактор удовлетворяет условию Липшица, если отображение хо —> /-/"(0,хо) из множества/С в множество/с-мерных подпространств Я" удовлетворяет условию Липшица с константой Ь.

При условии Липшица справедливо условие единственности дисков в точках аттрактора /С. Для х0 £ /С определим множества ¿^(хд), ^(хв), 'Яз^о)) • • •, ¿>(хо) следующим образом:

£1(10)= и ад,...,^+1(х0)= и £>(х) для г > 1 хеЦх0) хе^(ю)

и

оо

<5(х0) = и 5,-(х0);

1=1

множество 5(.тд) назовем листом.

В шестом параграфе строится окрестность листа п окрестность изучаемой автономной системы (1). Вводится отображение ф. Отображение ф является отображением, проектирующим вдоль нормали к листу точки пз окрестности листа на лист; нормаль проходит через выбранную точку из окрестности листа. Одновременно с построением окрестности листа и окрестности системы выбираем Т > 0. Положительное Т выбирается так, чтобы выполнялся ряд неравенств относительно всех выбранных величин. Обозначим через ¡3 радиус окрестности листа, через <5 радиус окрестности системы (1).

После выбора указанных величин п окрестностей доказывается следующая теорема.

Теорема. Для любых х0 £ /С, у0 £ Я", \уо - х0| < У £ С^Л"), У 11с1 < ^ выполняется неравенство

|»(*.Уо) - Ф{ У(«,»0))1 <РприТ<1<2Т.

В седьмом параграфе строится счетная последовательность функций {/,}+=со- Функции /,• определены на множестве £ — {(и>,х)|ш е /С, х £ ¿>(»)} , / : £ —♦ Л" со свойствами:

1) /(ги,х) определена для всех хи £ 1С, х £ ¿>(и>);

2) /(ги,х) непрерывна для всех ю £ К,, х £ 5(гу);

3) /(м^х) € ]У(х) для всех ш £ К,х £

4) |/(и;,х)| </3 для всех и; € 1С,х £ ^(гч);

5) для любых (ш,а;) € £ существует И^(хи,х) + х) € Я, % > 0 такое, что для любого XI £ с>(и/) при условии

|/(ш, хО + XI - (/(«>, х) + х)| < х) + х)

выполняется неравенство

^(/(ш.ц) - (/Кх) + х),^(/(го,х) + х)) < © ( у) ,

^ (са\ „ са

длина.хорды, стягивающей дугу длины — окружности

единичного радиуса;

6) для любых (ги1,Х1), (и^хг) £ £, х\ ^ х2, выполняется равенство

/(шьХ1) = /(ги2,х2);

7) функция / дифференцируема по х для всех ги 6 /С, х £ £(«;). Построение последовательности функций {/;}Йз проводится по индукции. Множество точек {х+/,(и>, х) |и< 6 1С,х £ называем поверхностью соответствующей функции /,-. Поверхность с номером г переходит в поверхность с номером г +1 при сдвигах точек вдоль решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2).

Доказывается, что последовательность функций {/,}£о имеет предельную функцию д. Функция д удовлетворяет свойствам 1)-4),6). Последовательность {/,}£<£ равномерно сходится к пределу д. Доказывается инвариантность, непрерывность поверхности, соответствующей функции д.

Вводим обозначения к(х) — х + д(х,х),х £ К,КУ = /1(/С),£у — Ь,(5У).

В восьмом параграфе доказываем следующую теорему. Обозначим ^ = {у|ш £ /С, х £ 5(ги), у = х + д(ю, х)}.

Теорема. Функция д : £ —* Я" дифференцируема по х на £. Касательным пространством к множеству Р в точке уо = хд + д(и>, хо) является линейное пространство Цу{уо)-

В девятом параграфе доказываем следующую теорему.

Теорема. Пусть выполняются свойства функции Н, указанные в предыдущем параграфе. Для достаточно малых 0 отображение ¡г : ¡С —► /Су взаимно однозначно.

Итоговый результат диссертации формулируется в следующей теореме.

Теорема. Пусть К, — данный слабо гиперболический аттрактор системы (1), который удовлетворяет условию Липшица. Для любого е > 0 имеется 6 > 0 такое, что если V удовлетворяет (3) для этого 8, то имеется взаимно однозначное, непрерывное отображение /г : К. —+ Я", которое удовлетворяет неравенству —х\<£, и образ КУ = /г(/С) является компактным инвариантным для (2). Более того, для каждого листа ¿С 1С сужение /г является непрерывным отображением из 3 в = С К? и локально удовлетворяет условию Липшица.

В дополнение, система (2) на КУ удовлетворяет условию 1.

Основные результаты опубликованы:

1. Шубин В.А. Поведение решения в окрестности слабо гиперболического множества автономной системы // Ред. ж. "Вестн. С.-Петерб. ун-та". Деп. ВИНИТИ N 2046-В96, 20.0G.96. 47 с.

2. Шубин В.А. Устойчивость слабо гиперболического аттрактора автономной системы // Ред. ж. "Вестн. С.-Петерб. ун-та". Деп. ВИНИТИ N 2478-В96, 22.07.96. 41 с.