Вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса и их приложения

Чеботарев, Александр Юрьевич

Вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Чеботарев, Александр Юрьевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Владивосток МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса и их приложения»

Автореферат диссертации на тему "Вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса и их приложения"

На правах рукописи

Чеботарев Александр Юрьевич

ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ТИПА НАВЬЕ-СТОКСА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Владивосток - 2003 г.

Работа выполнена в Институте прикладной математики ДВО РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Фролов H.H. доктор физико-математических наук, профессор Фурсиков A.B. доктор физико-математических наук, профессор Хлуднев A.M. Ведущая организация Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

ственном университете по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета. ' • ■

Защита состоится 23 2003 г. в часов на за-

седании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государ-

г. в

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Н.Й.'Макаренко

Ь"

<ЮС>5 "А

|Чоо|

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Значительные результаты, полученные в теории вариационных проблем математической физики в 50-70 годы прошлого столетия, привели к бурному развитию этой тематики. В частности, стала развиваться математическая теория управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными и близкая к ней теория вариационных неравенств, причем наиболее интенсивно исследовался случай линейных уравнений. Потребности развития новых технологий в гидромеханике обусловили необходимость исследования вариационных задач динамики жидкости. Примерами таких задач являются вариационные неравенства для операторов гидродинамики, задачи оптимального управления и обратные задачи.

Решение вариационных задач гидродинамики связано со значительными трудностями по сравнению с классическим линейным случаем. Прежде всего это объясняется необходимостью учета эффектов обусловленных нелинейностью моделей гидродинамики. Для нелинейных краевых задач гидродинамики, как правило, отсутствуют теоремы об однозначной разрешимости. Кроме того дополнительные нелинейные эффекты возникают при рассмотрении экстремальных задач гидродинамики с ограничениями. Построение точной теории для задач этого класса, важных с точки зрения приложений, представляет интересную математическую проблему.

Следующий этап в развитии теории вариационных задач для системы Навье-Стокса - исследование задач оптимизации течений. В работах А. В. Фурсикова (1981) впервые рассмотрены задачи управления для нелинейных уравнений гидродинамики в отсутствии теорем об однозначной разрешимости управляемой системы. Затем это направление развивали М.СипгЬш^ег,

Ь.Нои, Т.ЭуоЬосЬу (1989), Р. АЬег§е1, Я.Тетат (1990), З.БгНйагап (1991), М-Бевги, К.Ио (1994). К вариационным неравенствам и задачам управления для уравнений гидродинамики тесно примыкают обратные задачи об определении не только решений гидродинамических уравнений, но также внешних условий определяющих течение, по дополнительной информации о решении. В работах А.И.Прилепко, И.А.Васина (1990) рассмотрены обратные задачи для уравнений Навье-Стокса, заключающиеся в восстановлении плотности внешних сил или некоторых коэффициентов по определенной информации о решении.

Таким образом, возникает проблема разработки единого подхода к вариационным проблемам гидродинамики вязкой жидкости, позволяющего проводить теоретическое исследование указанных постановок и строить алгоритмы их решения.

Цель работы. Целью работы является исследование вопросов корректности постановок вариационных задач гидродинамики, изучение качественных свойств решений этих задач и разработка асимптотических алгоритмов для решения экстремальных задач гидродинамики. Исходя из поставленной цели, в работе сформулированы сдедующие задачи исследований.

1. Исследование класса стационарных вариационных неравенств для оператора Навье-Стокса в моделях однородной и неоднородной, а также теплопроводной вязкой жидкости. Изучение структуры множества решений.

2. Исследование экстремальных задач для уравнений Навье-Стокса. Строгое обоснование принципов максимума (в форме вариационных неравенств). Построение систем оптимальности и нахождение асимптотики их решений.

3. Постановка и исследование субдифференциальных обратных задач для систем типа Навье-Стокса.

Методы исследований. При получении результатов данной диссертации использовались методы исследования разрешимости краевых задач гидродинамики в шкалах функциональных пространств Соболева Wp\ свойства решений эллиптических и параболических краевых задач; теория и методы выпуклого анализа и многозначных отображений; методы регуляризации; методы исследования сингулярных экстремальных задач.

Вариационные задачи гидродинамики исследуются сначала для абстрактных нелинейных операторов типа Навье - Стокса в гильбертовом простран-

стве, что позволяет получать приложения к ряду нелинейных краевых задач гидродинамики. Специфика отдельных моделей проявляется при получении априорных оценок решений вариационных неравенств, а дальнейшее доказательство вытекает из полученных результатов для абстрактных операторов.

Все рассмотренные в работе задачи логически связаны следующим образом. Методы исследования развитые для изучения вариационных неравенств гидродинамики и соответствующие результаты используются для анализа субдифференциальных обратных задач, а также для обоснования систем оптимальности в задачах управления. Научная новизна

1. Исследована корректность класса стационарных неравенств для оператора Навье-Стокса. Получены условия разрешимости (без ограничений типа малости) и единственности (при малых числах Рейнольдса). Описана структура множества решений вариационных неравенств как конечномерного компакта. Даны приложения полученных результатов для односторонних стационарных краевых задач для системы Навье-Стокса.

2. Доказана разрешимость в целом для класса стационарных неравенств в модели неоднородной несжимаемой вязкой жидкости. Получены приложения к односторонним краевым задачам, а также к задачам с классическими краевыми условиями и задачам типа регулирования.

3. Получены достаточные условия существования решений для класса стационарных неравенств с операторами типа Навье-Стокса, связанных с моделью динамики вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости.

4. Обоснован предельный переход по вязкости (проблема исчезающей вязкости) в стационарных неравенствах Навье-Стокса. Описана структура решений предельного неравенства как новой модели динамики идеальной жидкости.

5. Получены условия корректности задач оптимального управления стационарными уравнениями Навье-Стокса, где управляющим параметром являются граничные значения полного напора течения. Описана структура множества решений экстремальных задач и построены системы оптимальности. Приведены условия достаточности принципов максимума в задачах управления для уравнений гидродинамики.

6. Предложен метод получения и обоснования условий оптимальности для

экстремальных задач связанных с нелинейными стационарными системами типа Навье-Стокса и даны приложения для задач оптимизации течений вязкой жидкости. Предложенный метод обоснования принципов максимума не содержит ограничений на оптимальное состояние типа малости или регулярности.

7. Доказаны нелокальные по времени принципы максимума в задачах граничного и стартового управления эволюционными системами Навье-Стокса.

8. Построены субоптимальные управления в экстремальных задачах гидродинамики при малых числах Рейнольдса и предложен асимптотический алгоритм решения задач оптимального управления.

9. Рассмотрены новые постановки обратных задач с субдифференциальным переопределением для уравнений гидродинамики. Получены теоремы о разрешимости, единственности и структуре множества решений обратных задач для стационарных систем типа Навье-Стокса.

10. Исследованы обратные задачи для эволюционных систем типа Навье -Стокса, в том числе класс вариационных неравенств в гильбертовом пространстве для уравнений с квадратичной нелинейностью. Результаты - теоремы о разрешимости, единственности - доказаны в целом по времени.

Все указанные результаты получены автором диссертационной работы. Из совместных работ в диссертации приведены результаты, полученные лично автором.

Теоретическая и практическая ценность работы. В диссертации рассмотрен с единой позиции ряд вариационных задач гидродинамики. Методы и результаты, изложенные в работе могут быть перенесены на широкий класс экстремальных и обратных задач для нелинейных систем. Важной особенностью данной диссертации, по мнению автора, является то, что вариационные неравенства, экстремальные и обратные задачи исследуются сначала для абстрактных нелинейных операторов типа Навье-Стокса в гильбертовом пространстве. Это позволяет сразу изучать целый класс нелинейных краевых задач гидродинамики, пользуясь лишь компактностью нелинейной части оператора Навье-Стокса и другими хорошо известными свойствами таких операторов, например, свойством ортогональности квадратичного члена оператора решению соответствующей задачи.

В диссертации приведены примеры приложения полученных абстрактных

результатов для анализа конкретных краевых задач гидродинамики: задач с односторонними условиями, задач типа регулирования, обратных задач с интегральным переопределением, задач оптимизации течений и т.п.

Практическая ценность работы следует из возможных приложений полученных в диссертации результатов при исследовании инженерных задач оптимизации течений вязкой жидкости. В частности, разработанные асимптотические алгоритмы решения экстремальных задач позволяют заменить трудоемкий процесс моделирования течений на основе нелинейной системы Навье-Стокса на задачу определения субоптимальных управлений, решаемую на основе линейных моделей гидродинамики. Материалы диссертации легли в основу учебно-методических пособий автора (1989, 1996), которые использовались в преподавании курса экстремальных задач математической физики и других специальных курсов для студентов Дальневосточного госуниверситета. Работа выполнялась в рамках темы НИР "Экстремальные задачи математической физики ", номер гос. регистрации 01.9.80.009612. Кроме того работа поддерживалась следующими грантами на конкурсной основе. Грант С.Петербургского Конкурсного центра фундаментального естествознания, проект 2-21-13-15, 1993. Исполнитель.

Грант программы "Университеты России"по направлению "Фундаментальные проблемы математики и механики", проект 1.5.53, 1993-95. Руководитель. Персональный грант Губернатора Приморского края в области науки, 1997. Грант Российского фонда фундаментальных исследований, проект 96-01-00256, 1996-98. Руководитель.

Грант 6-го конкурса - экспертизы научных проектов молодых ученых РАН по фундаментальным и прикладным исследованиям, проект N 5, 1999. Персональный грант международной Соросовской программы образования в области точных наук. 2000.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и представлялись на следующих конференциях, симпозиумах, семинарах: Всесоюзная конференция: Оптимальное управление, геометрия и анализ. Кемерово, 1986;

Всесоюзная конференция по некорректным и условно-корректным задачам математической физики. Алма-Ата, 1989;

Всесоюзная конференция по интегральным уравнениям и краевым задачам

математической физики, Владивосток, 1990;

Международная конференция по задачам со свободной границей в механике сплошной среды, Новосибирск, 1991;

Международные конференции по некорректно поставленным задачам в естественных'науках, Москва, 1991, 1996;

Советско (российско) - японские симпозиумы по вычислительной аэрогидродинамике, Хабаровск, 1988; Владивосток, 1992;

Международный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений, Красноярск, 1992;

Международная конференция по интегральным методам в науке и технике, Сендаи (Япония), 1993;

Международный симпозиум по математическому моделированию, Токио, 1993; Научные семинары в Институте гидродинамики СО РАН под руководством академика В.Н.Монахова, 1984-1987, 1990, 1999, 2002;

научные семинары в Институте математики СО РАН под руководством профессоров A.M. Блохина, 1987; В.Н.Врагова, 1999; Т.И.Зеленяка, 2002; Дальневосточный семинар по математической физике и вычислительной математике под руководством проф. С.М. Велоносова и чл.- корр. РАН, проф. В. П. Коробейникова, 1988-1991;

Научные семинары в Waseda University, Tokyo Denki University, Токио под руководством профессора O'Tani, профессора Fukui, 1993; Семинар по обратным задачам для дифференциальных уравнений в МГУ под руководством профессора А.И.Прилепко, 1998;

Научный семинар в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова под руководством академика O.A. Ладыженской, 1998; Общеинститутские семинары в Институте прикладной математики ДВО РАН. Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-28]. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 145 наименований и изложена на 212 страницах.

В качестве математической модели динамики жидкости будем расматри-вать систему уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости:

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

div и = 0,

(1)

% + = 0. (2)

Здесь и = {m}f=1 - вектор скорости течения, d = 2,3; р - давление, р - плотность, / - плотность внешних массовых сил, р = Const > 0 - коэффициент

динамической вязкости, (и • V)ii = uki£-u. Переменная t означает время,

к=1 к

х = {xt}?=1 - точку в Md. Изучение установившихся процессов приводит к стационарной модели неоднородной вязкой жидкости:

р(и ■ V)u = -Vp + ßAu + pf, div и = 0, uVp - 0. (3)

В случае р = const > 0 (не нарушая общности, считаем р = 1) получаем классические стационарную и эволюционную модели однородной несжимаемой вязкой жидкости:

—vAu + (и ■ V)w = -Vp + /, div и = 0, (4)

Uli

— - i'Au + (и ■ V)u = - Vp + /, div u = 0, (5)

где и = ß/p > 0 - коэффициент кинематической вязкости.

Первое векторное уравнение в (4) (уравнение импульсов) часто удобно записывать в форме Лэмба:

-иАи + ( rot и х и) = -V/i + /.

Величина h = р + ри2/2 в гидродинамике называется полным напором течения.

Рассматривается также модель Буссинеска, учитывающая тепловые эффекты, возникающие при движении среды. В этом случае в модели (4) можно положить

/ = -ßOg, (6)

где в - температура среды, ß - коэффициент теплового расширения, д - ускорение свободного падения, и к системе (4) добавить уравнение теплопроводности

—сгАв + uV0 = q, (7)

где <т - коэффициент тёмпературопроводности, q - объемная плотность источников тепла.

Основным объектом исследований в работе являются системы (3)-(5) и модель (4),(6),(7).

Сформулируем общие постановки задач, рассматриваемых в диссертации. Пусть П С К1' - ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г = д£1. Предположим, что граничные условия для гидродинамических величин {и, р} (соответственно, {р,и,р} в модели (3) или и, в в модели Буссинеска) являются полностью или частично неизвестными и требуется определить эти условия, а также найти отвечающее им течение (решение соответствующей системы уравнений) в области Г2 по дополнительной информации о решении. В качестве указанной информации будем рассматривать следующие типы условий.

(а) Субдифференциальные соотношения между {и,р} (либо между температурой в и другими параметрами течения). В этом случае мы получаем вариационные неравенства для оператора Навье-Стокса. Отметим, что классические краевые условия (например, типа Дирихле) являются частным случаем субдифференциальных граничных условий, а изучение последних позволяет исследовать весьма широкий класс физически интересных задач.

(б) Экстремальные условия. Пусть 3 - некоторый функционал, выбираемый из физических соображений (функция качества или стоимости) и зависящий от гидродинамических параметров течения. Тогда условие

J Ы, {и, р} 6 Нал,

где иа<1 - множество допустимых управлений и течений, приводит к задачам оптимального управления для системы Навье-Стокса.

(в) Задание дополнительных нелокальных условий на гидродинамические характеристики течения. С точки зрения гидродинамики требуется определить внешние условия, определяющие течение, например, плотность внешних сил. Можно также вместо отсутствующего краевого условия на части границы рассматривать переопределение на другой части границы или другую дополнительную информацию о решении. При этом специфика задач протекания приводит к ограничениям в виде неравенств. Задачи такого типа будем называть граничными обратными задачами для системы Навье-Стокса.

новка их в форме вариационных неравенств или экстремальных задач и применение результатов, полученных при рассмотрении проблем типа (а), (б).

В §1 формулируется абстрактная постановка задачи для стационарных неравенств типа Навье-Стокса. Пусть V и Н вещественные гильбертовы пространства такие, что V С Н С V', при этом вложение V С Н непрерывно и компактно; V плотно в Н. Здесь V' - пространство, сопряженное с V. Обозначим, соответственно, через || • ||, || • ||* и | • | нормы в V, V', Н, а через (/, v) - значение функционала f £ V' на элементе v £ V, совпадающее со скалярным произведением в Н, если f G II; ((•, •)) - скалярное произведение в пространстве V.

Рассмотрим в пространстве V' уравнение с многозначным оператором (вариационное неравенство)

-(Au + В [и] -/) 6 дФ(и), (8)

где А : V —> V' линейный непрерывный оператор такой, что

(Av,v)>v\\v\\2, и > 0, {Av, w) = {Aw, v) V v, w € V; (9)

B[w] = B(u,u) и при этом B(u,v) : V x V —► V' билинейный непрерывный оператор. Предполагается, что

(В(u,v),v) = 0 Vu,v£V-, (10)

отображение В{и] : V —► V' усиленно непрерывно. (11)

Ф : V —* К = (—оо; +оо] - полунепрерывная снизу собственная и выпуклая функция на V; ЭФ - субдифференциал Ф,

ЭФ(к) = {д <= V' : Ф(г>) - Ф(и) >(д,у-и) \/у е V},

/ 6 V' заданный элемент.

Уравнение (8) является операторной формой записи различных субдифференциальных краевых задач для системы (4), включающих, односторонние краевые задачи и задачи типа регулирования. Функция Ф при этом тесно связана с энергетическими характеристиками течения.

§2 посвящен вопросу разрешимости абстрактного неравенства (8). Обозначим через К эффективную область Ф и пусть Ф (у) = С (у) + 1к(у), где 1к является индикаторной функцией К, 1к{у) = 0 , если у 6 К, Iк {у) = +оо, если v £ К,

(7 — выпуклый и непрерывный на К, С? Ф ±оо. (12)

Для получения результата о разрешимости требуется дополнительная информация о нелинейном члене В[у\ и множестве ограничений К. Предположим, что

(в^^^^СоЫ-МЧкИ, (Ш

(В(и,у),ги) < СаЦиЦ • ||г«|| • ЦиЦи' 1 и,у,хи Здесь IV - банахово пространство такое, что вложение V в пространство IV компактно и

1Мк<еда1МГ~а> а е (о, 1]. (14)

Относительно множества К будем предполагать, что

> 0 Зад = и>(7) 6 К (В[и\, т) < 7||ы||2 + С7 V« 6 К, (15)

где Су > 0 не зависит от и € К. В частности, условие (15) выполняется, если Об К или К ограничено.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть выполняются условия (12) - (15). Тогда вариационное неравенство (8) имеет, по крайней мере одно, решение.

Доказательство теоремы 1.1 основано на получении априорных оценок решения неравенства (8) и применении результатов о разрешимости для псевдомонотонных операторов.

В §3 изучается структура множества 5R всех решений неравенства (8). Вводится понятие обобщенного числа Рейнольдса R(u) = При ма-

лых числах R(u) доказана теорема единственности. Далее исследуется случай произвольных чисел Рейнольдса. Показано, что решение вариационного неравенства однозначно определяется его проекцией на подпространство пространства V, образованное первыми тп собственными функциями задачи Awj = XjWj, j — 1,2,...; число m может быть указано априори.

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть выполняются условия (12) - (15). Тогда множество TZ гомеоморфно компакту, лежащему в конечномерном пространстве.

В §4 даются приложения полученных абстрактных результатов к исследованию субдифференциальных краевых задач для уравнений Навье-Стокса, описывающих течение однородной вязкой жидкости в ограниченной области. Изучение субдифференциальных краевых задач стимулировалось возникновением постановок, содержащих ограничения в виде неравенств (односторонние условия) на гидродинамические величины. Следствием результатов данного параграфа является, в частности, теорема существования слабого решения и другие свойства множества решений в классической краевой задаче о протекании вязкой жидкости через ограниченную область при заданном перепаде напора. Указанные результаты являются новыми даже для модели однородной жидкости.

Рассмотрим стационарное течение однородной вязкой, несжимаемой жидкости в ограниченной области П пространства Rd (d = 2 или d = 3) с кусочно-гладкой границей Г, на которой известны касательные составляющие скорости и — {i£j}f=i равные нулю. Задача заключается в отыскании решения системы

—vAu + (и ■ V)u = -Vp + /, div и = 0, х 6 П, (16)

иТ = и-(и- п)п = 0, 1бГ, (17)

h € д<р(ип,х), хеГ. (18)

Здесь р = р(х) - давление, h — р + | (и • и) - полный напор, (и ■ V)u = Uk / = f(x) ~ заданная плотность внешних сил, v = const > 0 -

коэффициент кинематический вязкости, ип = (и - п),п - единичный вектор внешней нормали к границе Г. Через ip : К х Г —* R = (—оо, +оо] обозначена заданная функция, обладающая свойством выпуклости и полунепрерывности снизу по первому аргументу, <р(-,х) ф +оо. Под dip(a,x) понимается

субдифференциал <р по первому аргументу. Соотношение (18) рассматривается поточечно, как связь между h(x) и ип(х) в каждой точке а; 6 Г, Наличие второго аргумента у функции <р в (18) связано с тем, что граничные условия могут иметь различный характер на разных участках границы Г. В качестве иллюстрации условия (18) приведем следующий пример.

Обозначим через Гх - участок втекания жидкости в область Q, Г2 - участок вытекания, Го - непроницаемая часть границы. Определим функцию <р(\, х) следующим образом:

<р{\,х) =

Субдифференциальное условие (18) приводит к односторонним краевым условиям:

ип{х) <0, h > l(x), un{h — I) = 0, если х € Гх, Un(x) >0, h < l(x), un(h — I) = 0, если x £ Гг, un(x) = 0, если x € Го.

Запись краевого условия в виде (18) позволяет также рассматривать на части Гх границы неоднородные условия Дирихле, а на участке Гг условия типа неравенств. С энергетической точки зрения функцию ip можно рассматривать как плотность потока энергии через границу Г.

Функция р = р(х) и соответственно h = h(x) определяется в (16) с точностью до произвольной постоянной. Отметим, что добавление в правую часть (18) произвольной константы С приводит к функции <^i(A, х) = <р(\,х) + СА. Однако последняя добавка не играет роли в определении решения краевой задачи. Это отражает тот факт, что при задании давления (или напора) важен лишь его перепад. В том случае, если граница области течения Г не является связной и состоит из конечного числа связных компонент Г= 1,2, ...,m к граничным условиям (17)-(18) естественно добавить нелокальные условия

j unds = 0, j = 1,2, ..,m. . (19)

гы

Условия (19) отражают факт отсутствия источников массы жидкости в областях ограниченных поверхностями Наличие дополнительных скаляр-

0, если х € Го, А = 0,

1(х) ■ А, если х € Гх, А < 0,или х € Гг, А > 0,

+оо в остальных случаях.

ных ограничений (19) обуславливает выполнение условия (18) с точностью до постоянной, своей для каждой компоненты связности. Постоянные определяются в ходе решения задачи.

В заключение §4 приводятся ряд результатов о разрешимости краевых задач для системы (4) с заданным напором на границе, которые являются следствиями §§1-3 и потребуются в дальнейшем при исследовании экстремальных задач для уравнений Навье-Стокса.

§5 связан с решением проблемы исчезающей вязкости для стационарных неравенств Навье - Стокса. Предельный переход по вязкости в уравнениях Навье - Стокса является классической проблемой теоретической гидродинамики. Здесь предлагается новый подход, связанный с моделированием течений с ограниченным вихрем. Последнее позволяет получить априорную оценку решения, достаточную для обоснования предельного перехода и доказательства существования решений для стационарных неравенств в модели идеальной жидкости. В двумерном случае данный подход позволяет в пределе получать течения идеальной жидкости с областями постоянной завихренности.

Шестой параграф посвящен изучению нелинейных краевых задач для системы Навье - Стокса с неоднородным краевым условием для касательной компоненты вектора скорости. Здесь рассмотрены субдифференциальные условия, связывающие величины ит и (п х гоЫ) на некотором участке границы области течения. Это связано с такой постановкой задачи протекания, в которой касательные компоненты вектора скорости не задаются в явном виде, а вместо этого формулируется вариационный принцип, определяющий "недостающее"краевое условие. Для двумерных течений получена теорема существования без ограничений типа малости. В трехмерном случае показано, что достаточным условием существования решения при любых числах Рейнольдса является ограниченность в ¿2(Г) касательных компонент вектор - функций, входящих в эффективную область определения функционала. Это условие, как оказалось, влечет ограниченность решения в более сильной норме. Последнее наблюдение весьма важно для исследования задач оптимизации течений, поскольку априорная оценка решения в слабой норме часто является простым следствием структуры функционала стоимости.

Вторая глава посвящена изучению стационарных вариационных

неравенств относящихся к двум моделям несжимаемой вязкой среды: модели неоднородной жидкости (3) и модели тепловой конвекции (4), (6) - (7). Интерес к указанным моделям обусловлен их важностью для прикладных разделов таких, например, как океанология и гидрология. Следует отметить, что учет неоднородности или тепловых эффектов ведет к дополнительным трудностям за счет новых нелинейностей в указанных моделях. Краевые задачи для данных моделей гидродинамики исследовались для эволюционной модели неоднородной жидкости A.B. Кажиховым, а в стационарном случае - H.H. Фроловым. Эволюционные неравенства также рассматривались A.B. Кажиховым при изучении односторонних краевых задач. В работах Г.В. Алексеева, А.Г. Зарубина рассмотрены стационарные краевые задачи для модели Бус-синеска. Новизна представленных здесь результатов связана с исследованием стационарных моделей гидродинамики, а также с изучением класса обобщенных операторов типа Навье-Стокса и соответствующих им неравенств.

В §1 приводится постановка субдифференциальной краевой задачи в модели неоднородной жидкости, которая заключается в отыскании решения системы (3), удовлетворяющего следующим граничным условиям

Здесь и~ — тах{0, — ип}, /г - полный напор течения, рл - заданная на Г функция.

Рассмотрим множество IV бесконечно дифференцируемых вектор-функций соленоидальных в ограниченной области П со связной границей, имеющих нулевые касательные составляющие на Г. Пространства, полученные замыканием IV в нормах Ь2(П) и (П) обозначим через Н и V, их сопряженные Н' и V', причем II и II' отождествляются. Скалярное произведение и норму в пространствах Н, V обозначаем, соответственно, через (и, и); и ((«,«)); ||и||, при этом

ит = и — ип • п = 0, х е г,

(,р - Pd)u~ = 0, х 6 Г, h = р + (1/2)ри2 е дф(и„, х), х е г.

(20)

(21) (22)

((u,v)) — ( rot w, rot v).

Пусть

а(и,у) = ц((и,ь)), Ь(и,у^) = J(u^V)v•w¿х, с(и,у,ги) = У «• • ж,

я «

{/ф{ип,х)йз, если <р(и„(ж),ж) 6 ./^(Г), г ,

+оо в противном случае.

Определим операторы Л : К —» К', В : х У —> V' с помощью равенств:

< Ли, V >= а(и, г»), < В(р,и,у),ги >— Ь(ри,ь,ги) — ^с(ри, у,и}).

Задание краевых условий в виде (21)-(22) приводит к необходимости определять обобщенное решение уравнения переноса для плотности также в виде неравенства. Последнее связано с тем, что граничные условия для плотности должны фиксироваться либо на участке втекания жидкости в область П, т.е. где ип < 0 либо на участке вытекания, где ип > 0, но указанные участки заранее не известны и определяются в ходе решения задачи.

Определение 2.1. Пара {р, и} £ Ь°° (П) х V называется обобщенным решением задачи (3), (20)-(22), если

(Аи + В(р, и,и)-р/,и-у) + Ф(и) - Ф(у) < 0 \fveV, (23)

< I и~ У<р е С\П). (24)

Отметим, что неравенство (24) представляет собой новое определение обобщенного решения уравнения иЧр = 0, отражающее тот факт, что участок втекания, где ип < 0 и где задается значение плотности р заранее неизвестен и определяется в ходе решения задачи.

Во втором параграфе второй главы формулируются условия, гарантирующие разрешимость системы (23)-(24). Предположим, что

Ф(«) = С(у) + /*(«), (25)

где 1к - индикаторная функция замкнутого выпуклого множества К, С -непрерывный на К функционал. Далее, пусть множество К удовлетворяет

условию:

У7>0 Зи; = Чу) е # < В(р,гю,и),ги > > 7(1К||2 + М|2) + С7, для любых и0, и € К, ре£°°(П), ||р|и°°(п) < ||ра|и~(г), и при этом С-у > 0 не зависит от р, по, и.

Теорема 2.1. Пусть выполняются условия (25)-(26), / € Ьт(П), т > | (т > 1 при <1 = 2), 6 С(Г). Тогда существует по крайней мере одно обобщенное решение задачи (3), (20)-(22). Доказательство состоит из трех этапов:

а) построение решения неравенства (24) для плотности при заданном и € К,

б) доказательство разрешимости "линеаризованного"неравенства (23),

в) построение многозначного оператора, неподвижная точка которого приводит к искомому решению.

Решение неравенства для плотности строится методом эллиптической регуляризации, где за счет удачного выбора аппроксимации краевого условия в виде

-е^- =и~(рЛ- ре),

удается получить необходимые априорные оценки.

В §3 строится многозначное отображение Ь : X —♦ 2х, где X = Н х ¿2(П) и доказывается существование неподвижной точки Ь, являющейся решением (23)-(24). Центральный момент здесь - доказательство полунепрерывности сверху оператора Ь в смысле теории многозначных отображений.

Четвертый параграф посвящен приложениям результата о разрешимости к исследованию различных краевых задач с линейными и нелинейными ограничениями. Полученные здесь теоремы о разрешимости являются новыми даже для случая задачи Дирихле, поскольку содержат меньше ограничений на исходные данные, чем в известных результатах.

В §5 рассматриваются вариационные неравенства для обобщенного оператора типа Навье-Стокса и односторонние задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости. Учет влияния теплопроводности жидкости на ее физические характеристики приводит, в рамках модели Вуссинеска, к появлению дополнительных нелинейных операторов по сравнению с классической моде- >

лью Навье-Стокса.

Пусть У VI Z вещественные гильбертовы пространства такие, что У С V

плотно в 2 и вложение У ъ Z компактно. Отождествляя 2 с его сопряженным и обозначая через У' сопряженное к У, можно рассматривать 2 как подпространство в У', У С 2 С У. Обозначим через || • ||, | • |, || • ||* нормы в пространствах У, 2, У' соответственно, а через (/, у) - значение функционала / € У' на элементе у 6 У, совпадающее со скалярным произведением в 2, если / 6 ((•, •)) - скалярное произведение в пространстве У.

Определение 2.2. Оператор ЛГ: У —» У' будем называть обобщенным оператором типа Навье-Стокса, если

Му = Ау + В[у]+Т(у),

где операторы А, В удовлетворяют условиям аналогичным (9) - (11), оператор Т : У —> У' - вполне непрерывный.

Пусть Ф : У —> К = (—оо; +оо] выпуклый полунепрерывный снизу функционал, Зуо € У, Ф(уо) < +со, Ф(у) > —оо Уу е У. Главным объектом исследования в данном параграфе является следующее включение

-(ЛГу-.Р)б0Ф(у). (27)

Здесь ^ £ У' заданный элемент.

Пусть ЛГ С У эффективное множество функционала Ф.

ТЕОРЕМА 2.8. Пусть для достаточно больших г > О произвольное решение неравенства (Ыу — Р,у — г) + С?(у) — С(г) < 0 Уг 6 где А'г — {г € К : ЦгЦ + |(3(г)| < г}, удовлетворяет априорной оценке ЦуЦ < С, при этом С не зависит от у,г. Тогда множество решений вариационного неравенства (27) непусто.

Теорему 2.8 можно рассматривать как обобщение принципа Лере - Шау-дера на случай вариационных неравенств для обобщенных операторов типа Навье - Стокса. На основании данного результата разрешимость различных нелинейных краевых задач для уравнений гидродинамики будет следствием априорной оценки решения.

Результат о разрешимости вариационных неравенств для операторов типа Навье-Стокса применяется далее в §6 к односторонним краевым задачам для системы Буссинеска.

В главе 3 рассматриваются экстремальные задачи динамики вязкой жидкости. Результаты, включенные в данную главу, связаны, с одной сто-

роны, с изучением задачи управления для абстрактного нелинейного уравнения в гильбертовом пространстве и соответствующими приложениями для новых задач граничного управления, а, с другой стороны, посвящены отысканию условий, при которых принципы максимума типа Понтрягина могут быть обоснованы без ограничений типа малости числа Рейнольдса. Основное внимание уделяется интересным для приложений задачам граничного управления. Предлагается подход к проблемам оптимизации течений, основанный на рассмотрении негладких управлений класса ¿2(Г). При выводе условий оптимальности применялся не классический принцип Лагранжа, а использовались методы прямого получения оценок производной функционала качества, либо производилась аппроксимация задачи на основе метода штрафа. Это позволило более точно учитывать алгебраическую структуру задачи и в ряде случаев получить результаты, не содержащие ограничений типа малости.

В первом параграфе рассматривается абстрактная экстремальная задача для нелинейной системы типа Навье-Стокса в гильбертовом прстранстве. Рассмотрим в пространстве V' уравнение

Аи + В[и] = f + h, (28)

где линейный оператор А : V —» V и билинейный оператор В : V х V —► V\ В[и] = В (и, и) удовлетворяют условиям (9) - (11) главы 1. Элементы /, h принадлежат V', причем / - является заданным, a h - неизвестным элементом.

Пусть заданы два множества U С V, К С V'. Задача заключается в отыскании пары {u, h} £ U х К, удовлетворяющей (28) и такой, что

J {и,h) =inf{J(u,s); Av + B[v] = f + g, v £ U, g e K} . (29)

Здесь J(u, h) = Jo (и) + G(h)\ Jo \V ~» R , G : V' —* R - дифференцируемые по Гато, выпуклые функционалы, при этом отображение Jq(u) : V —♦ V' предполагается непрерывным.

Постановка (29), на которую в дальнейшем будем ссылаться как на задачу (Р) является задачей оптимального управления для нелинейного уравнения (28), где элемент h в правой части (28) есть управление, а функционал J является функцией стоимости. Задачу (Р) можно также трактовать как обратную задачу для уравнения (28) со структурой решения, задаваемой множествами U и К и экстремальным переопределением.

Для уравнения (28), равно как и для соответствующих краевых задач динамики жидкости, в общем случае не удается доказать единственность решения и при заданных / и h. Общий подход к исследованию задач управления сингулярными системами был предложен A.B. Фурсиковым (1980). Для доказательства разрешимости определяем множество допустимых пар, Pad = { {и, h} Е U х К, Au + В[и] = f + h} . Предположим, что

множество Vad не пусто. (30)

Условие (30) не является сильно ограничительным, если К и множество U достаточно велико. Например, если U = V, то (30) выполняется для V К так как уравнение (28) разрешимо при любой заданной правой части (/ + К). Рассмотрим условия

U слабо замкнуто в пространстве V, ^

К * — слабо замкнуто в пространстве V.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть выполняются условия (30), (31), множество U или К ограничено, либо J(u,h) —» +оо, если ||и|| + ||Л||* —► +оо. Тогда задача (Р) разрешима.

Для обоснования условий оптимальности требуется дополнительная информация о нелинейном члене .В[и], оптимальном решении и 6 U и множестве ограничений К. Пусть

(B(u,v),w) < Со||и|| ■ IMI • IHI, (B{u,v),w) < CilMI • INI • IMk Vu,v,we v.

(32)

Здесь W - банахово пространство, V С W и вложение непрерывно. Множества К и U будем считать согласованными, предполагая, что К - выпуклое замкнутое множество, при этом

V h £ К найдется элемент и 6 U : {u, h} € Vad- (33)

Определение 3.1. Решение и € V уравнения (28) назовем W-медленным, если

R(u) = i|Mk < (34)

С точки зрения гидродинамики условие (34) означает, что рассматриваются течения при малых числах Рейнольдса.

Обозначим через Jo{u) 6 V' и G'(h) € V градиенты функционалов Jo и G в точках и и h соответственно. Пусть (AqU,v) = ((u,v)),

F(u,v) = B(u,v) + B{v,u), (FT(u,v),w) = (F(u,w),v), 4u,v,u> e V.

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть выполняются условия (32)- (33), К - выпуклое замкнутое множество и {и*,/г»} £ Pad- оптимальная пара в задаче (Р), причем и» является W-медленным решением (28). Тогда найдется единственный элемент g € V такой, что

Ag + FT(u,,g) = Jo{u), (h -h*,g + G'{h,)) >0V/i6K (35)

Соотношения (35) вместе с уравнением (28) образуют так называемую систему оптимальности для задачи (Р). На основании исследования этой системы можно получить теорему единственности, а также принципы максимума для конкретных экстремальных задач гидродинамики.

Обоснование системы оптимальности в теореме 3.2 основано на условии малости (34). Однако предположив, что множество К является достаточно "широким", можно получить систему оптимальности, не требуя малости числа Рейнольдса (34). Рассмотрим данный подход на примере задачи определения так называемых нормальных решений уравнения (28), которая является задачей (Р) с функционалом качества

J = Jo(u) = ||u — ud\\2,ud € V- заданный элемент, (36)

при этом G{h) = 0; [/ = V.

Определение 3.2. Множество допустимых управлений К будем называть регулярным относительно пары {и»,h,} 6 Pad, если К - выпуклое замкнутое множество и при этом из условий

ve и, {h-h„v) >0 VheK, Av + FT{u„v) = 0 (37)

вытекает равенство v = 0.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть {u*,/i«} 6 Pad ~ оптимальная пара в задаче (Р) с функционалом (36) и множество К регулярно относительно данной пары. Тогда существует элемент g £ V такой, что

Ag + FT{u„g) = A0{u.-ud), (h-h.,g)>0 V h € К.

Теорема 3.3 обобщает теорему 3.2. Если и, является И7-медленным решением, то из второго условия в (37) сразу вытекает, что V = 0. Первое условие в (37) может позволить избежать требования малости и».

Аналог теоремы 3.3 можно доказать и в случае более общих функционалов 7(и, К) = .1о(и)+С{к)^ где : V —> М, б : V' —> К выпуклые непрерывно дифференцируемые функционалы. В заключение данного параграфа приводятся примеры построения принципов максимума в задачах оптимизации течений, являющихся задачами типа (Р).

В третьем параграфе изучается структура множества решений задачи граничного Ь2 управления для системы (4), которая записывается в форме задачи Р. Представленные здесь результаты соответствуют результатам А.В. Фурсикова для задач оптимального управления эволюционными уравнениями Навье - Стокса. Рассмотрим следующую экстремальную задачу:

-иАи + (и ■ V)« = -Vр, <1йг и = 0, х е П, (38)

ит = о, х е г, р + и2/2 = Кх)> хег. (зэ)

= - иа|2 + - М1г(Г) Л е иаЛ. (40)

Здесь иал ~ выпуклое замкнутое множество в Ь2(Г). Из результатов §1 вытекает разрешимость экстремальной задачи (38)-(40). Обозначив через 71 = С Z = Ь2(Г) х V множество оптимальных пар - решений (38)-(40) - мы получаем, что множество 72. компактно в пространстве Более того, если определить множество единственности

Е = ¡¡} € Ь2(Г) х ¿2(Г2); 72-(/1<г,иа) состоит из одного элемента },

то оказывается, что множество Е плотно в пространстве Ь2(Т) х Ь2{0).

Далее используются результаты §2, на основе которых строится сингулярная система оптимальности. При этом используются следующие условия малости:

= 0, Об иаа, А-1/2|и<*|£з - мало; (41)

или

ил = 0, 0еиаЛ, А1/2\hd\b2 - мало. (42)

С гидродинамической точки зрения указанные условия означают малость числа Рейнольдса для оптимальных течений.

Целью §4 является установление связи между порядком малости в условиях (41) или (42) и мощностью множества 71 оптимальных течений и управлений. Приводятся оценки исходных данных, обеспечивающие, что множество 72. гомеоморфно конечномерному компакту, а при более сильных условиях состоит из одного элемента.

Параграф 5 посвящен вопросам построения субоптимальных управлений в задаче (38)-(40) при малых обобщенных числах Рейнольдса. Главная идея состоит в сведении задачи решения системы оптимальности для нелинейной системы Навье-Стокса к более простой процедуре решения системы типа Стокса и вычислению оператора проектирования на множество ограничений.

Параграф 6 связан с рассмотрением эволюционной модели Навье-Стокса (5). Исследуются задачи граничного £2-управления и стартового управления. Основным достижением здесь является обоснование принципов максимума для двумерных течений без каких-либо дополнительных условий типа малости или регулярности. Для задачи стартового управления на основе исследования системы оптимальности удалось доказать конечность множества оптимальных течений и выяснить условия единственности решения. Получение этих результатов основано на исследовании свойств локальной выпуклости функционалов качества и доказательстве изолированности решений экстремальных задач. Последнее удалось получить на основе соответствующих оценок вторых производных отображения : управление - течение.

Четвертая глава связана с исследованием обратных задач для системы Навье-Стокса. Следует пояснить, что здесь понимается под термином "обратная задача", поскольку рассматриваемые постановки приводят не к классическим интегральным или операторным уравнениям первого рода, а к вариационным неравенствам. Типичные постановки обратных задач, связаны с определением правой части уравнения, коэффициентов или граничных условий краевой задачи по дополнительной информации о решении (переопределении). С гидродинамической точки зрения, указанные постановки связаны с определением внешних условий, вызывающих течение, например, плотности внешних сил или граничного перепада полного напора. При этом специфика постановок задач о протекании жидкости приводит к появлению ограничений в виде неравенств. Последнее обусловило постановку, рассмотренных здесь обратных задач гидродинамики в форме задач с субдиф-

ференциальным переопределением. Изучение поставленных обратных задач сводится к исследованию класса стационарных вариационных неравенств для оператора Навье-Стокса на основе результатов главы 1, а также к изучению эволюционных неравенств.

В первом параграфе ставится абстрактная обратная задача для нелинейной системы типа Навье-Стокса. Рассмотрим уравнение

Аи + В[и] + h = f в V', (43)

где пространства и операторы определены в (9)-(11), / - заданный элемент V' и к е V' является неизвестным элементом.

Обратная задача может быть сформулирована в следующей общей форме:

(/) Найти {к, и} £ V' х V удовлетворяющую уравнению (43) и дополнительному условию

и е аФ(А). (44)

Здесь Ф : V' —» К = (—оо, +оо] - полунепрерывная снизу, собственная выпуклая функция на V, ЭФ - субдифференциал отображения Ф.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие условия (44).

(1) Обратная задача с заданными моментами решения. Пусть {<3г}Т ~ линейно независимая система функционалов. Число (<2г, у) назовем моментом элемента V относительно функционала £?, € V. Рассмотрим множество

К = {и е V : {Яг,у) = г = 1,гтг}, где 9,, г = 1,т - заданные числа. Пусть Ф является опорной функцией К,

Ф(/г) = зир{(А,г;) : V £ К}. (45)

Функционал (45) описывает следующую обратную задачу:

Найти (1 е Кт, и £ V такие, что

Аи + В [и] = /, = Яь 3 = Ьт. (46)

(2) Задача типа управления. Рассмотрим задачу определения пары {¿и, и} € х V такой, что

Аи + В [и] + ЕГ = /, I (<&,«) |< «ь М >0=>((23,и) = я3 (47)

щ < 0 и) - ~д3, з = I~т.

Для приведения (47) к задаче (/), достаточно в качестве Ф выбрать опорную функцию множества {у 6 V :[ |< ] = 1 ,т}. Задача (I) сводится,

путем применения преобразования поляризации, к вариационному неравенству типа (8). Затем, на основе результатов первой главы, выводятся результаты о разрешимости, единственности и структуре множества всех решений обратной задачи.

Параграф 2 посвящен приложениям этих результатов к конкретным обратным задачам гидродинамики. Во первых, рассмотрена задача об определении правой части системы Навье-Стокса по интегральному переопределению. Далее рассмотрена более интересная, с точки зрения гидродинамики, задача об определении граничных значений полного напора течения по заданным значениям объемного расхода течения через фиксированные участки границы. Наиболее трудным моментом при исследовании такой задачи является проверка условия типа (15) для соответствующих вариационных неравенств и получение геометрических условий на участки, где задан расход течения.

В §3 исследуется обратная задача с интегральным переопределением.

Четвертый параграф посвящен исследованию обратных задач для нелинейных эволюционных уравнений типа Навье - Стокса, на основе построенной в данной главе теории соответствующих вариационных неравенств. Для рассмотренного класса обратных задач получено условие на "регулярность"нелинейных членов, гарантирующее существование слабого решения на произвольном временном промежутке. При дополнительной регулярности исходных данных и нелинейного члена доказано существование и единственность сильного решения. Полученные результаты применяются для исследования задачи определения граничных условий (перепада полного напора) при протекании вязкой жидкости через ограниченную область по заданному расходу течения. Для трехмерных течений доказано существование слабого решения обратной задачи "в целом"по времени, а для двумерных течений - существование и единственность сильного решения.

Рассмотрим эволюционное уравнение

и + Аи + В[и] + к = /, ¿6(0 ,Т),

(48)

с начальным условием

«(0) = ио.

(49)

Здесь и' = ди/&Ь. Предполагается, что правая часть / 6 Ь2(О, Т; V') и начальное значение зд £ Я заданы. Функция /г : (О, Т) —> V' считается неизвестной и требуется ее определить вместе с «(<) по дополнительному условию

«(*) £ , 4) на (О, Т). (50)

Задача (48)-(50), на которую в дальнейшем будем ссылаться как на задачу (II), является эволюционным аналогом обратной задачи (/), рассмотренной в §1 главы 4. Для исследования задачи (II) развивается теория эволюционных неравенств типа Навье - Стокса.

В §6 выполняется преобразование задачи (II) и доказывается существование слабого решения при следующих условиях на исходные данные.

2 6 Ь2(0,Т;К); Мо,г' € Ь2(0,Т; V'); и0 € Н. (51)

ТЕОРЕМА 4.7. Пусть билинейный оператор В удовлетворяет условию

КВК^.^^К^И^-И^-И, (52)

где в 6 [0,1), К\ > 0 постоянные, не зависящие от v, ги <~ V. Тогда для любых удовлетворяющих (51) и произвольного элемента ио такого, что

то = ио — г(0) 6 КН = замыкание К в пространстве Н, (53)

задача (II) имеет, по крайней мере одно, слабое решение.

Цель параграфа б - показать, что при дополнительных условиях на нелинейный оператор В[и] и начальные данные слабое решение задачи (II), существование которого следует из теоремы 4.7, обладает дополнительными свойствами регулярности и при этом единственно.

В §7 рассматриваются приложения результатов §§5-6 к задачам гидродинамики, в которых неизвестными являются не только поля скоростей и давлений, но также и внешние условия, определяющие течение. В ограниченной односвязной области П С К'', (I = 2,3, с гладкой границей Г рассмотрим систему уравнений

и - иАи + (и ■ У)и + Ур = Г, йгу и = 0. (54)

Задача с неизвестной правой частью. Предположим, что правая часть ^ в (54) имеет заданную структуру,

ТП

^(¡М) = (55)

где вектор-функции /, € ¿2(П), ] = 1,т заданы, причем система 1

линейно независима, а скалярные функции времени (4) неизвестны. Рассмотрим следующую задачу.

Найти функции = 1,т и соответствующее решение системы (3.1)

такие, что

и — 0 на Г; и |е=о= ио{х),х 6 П, (56)

[ /,(х)«(1,1)й = ф(()|<е(0,Т). (57)

Здесь = 1,пг заданные функции.

ТЕОРЕМА 4.9. Пусть д, е И^1 (0,Т),«о £ Я,/зд/^х = <^(0),= 17т.

Тогда задана (54)-(57) имеет слабое решение.

ТЕОРЕМА 4.10. Пусть € И/22(0,Т),ио € V П и /п/,ио<Ь =

д3 (0),7 = 1,т. Тогда в случае <1 — 2 задача (54)-(57) имеет ровно одно сильное решение.

Граничная обратная задача типа управления Пусть правая часть в (54) задана (не нарушая общности, считаем Е = 0). Будем предполагать, что граничные значения гидродинамических полей скорости и давления имеют заданную структуру

п х и = 0 на Г,м-тг = 0на Го, Л = ^(4) > 0 на Г,,^' = 1,т. (58)

Здесь к — р+ ^ и2 - полный напор течения, Г,- - связная открытая часть Г, Г, П Г^ = 0, г ф Г0 = Г \ (иГ Г^) - непроницаемая часть Г.

Функции времени /х5(4) являются неизвестными и требуются их определить вместе с соответствующим полем скоростей по дополнительной информации о течении, имеющей вид нелокальных односторонних ограничений,

J ипйз < = 1,77»; ^(¿)>0=> J = (59)

г, г,

Здесь (£,(4) - заданные функции, описывающие динамику объемного расхода течения через участок границы Г,. Нелокальные граничные условия (59) фактически описывают процесс регулирования расхода течения через заданные участки за счет динамического изменения граничного значения полного напора, при условии ограниченности его снизу.

ТЕОРЕМА 4.11. Пусть выполняются условия:

т г _

^ = О,® 6 1У2(0,Т),ио € Я, / («о • п)йз < ?,(0),з = 1 ,т.

1 г,

Тогда существует, по крайней мере одно, слабое решение задачи (54), (58)-(59). Если, кроме того, с! = 2, д3 6 ^У22(0,Т), ио 6 V С то слабое

решение является сильным и при этом единственным.

Рассмотренными в §7 примерами, конечно же не охватывается весь спектр физически интересных постановок обратных задач, исследование которых может опираться на результаты данной главы. С точки зрения автора, рассмотрение постановок обратных задач в форме вариационных неравенств, позволяет естественным образом описывать структуру неизвестных параметров на основе соответствующих вариационных принципов.

Результаты по тематике работы отражены в 52 публикациях. Основные результаты диссертации изложены в следующих работах.

1. Чеботарев А.Ю. К вопросу об определении внешней силы по заданным потенциалам системы Стокса // Некоторые проблемы и задачи анализа и алгебры. Новосибирск: НГУ. 1985'. С. 87 - 93.

2. Алексеев Г.В., Чеботарев А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычислительной математики и математической физики. 1985. т. 25, N 8. С. 1189-1199.

3. Чеботарев А.Ю. О разрешимости односторонней краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1986. Вып. 74. С. 113 -132.

4. Чеботарев А.Ю. Разрешимость стационарной односторонней задачи протекания для идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1987. Вып. 79. С. 129-135.

5. Чеботарев А.Ю. Об оптимальном управлении в задаче протекания для уравнений идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1987. Вып. 81. С. 138-150.

6. Чеботарев А.Ю. Оптимальное управление системой Стокса с односторонними ограничениями // Краевые задачи математической физики и проблемы экологии. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР. 1990. С. 69-85.

7. Чеботарев А.Ю. Об односторонних экстремальных задачах, связанных с системой Стокса // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1991. Вып. 102. С. 133-147.

8. Чеботарев А.Ю. Субдифференциальные краевые задачи для стационарных уравнений Навье - Стокса // Дифференциальные уравнения.

1992. т.28. N 8. С. 1443-1450.

9. Чеботарев А.Ю. Математическое моделирование электромагнитных колебаний в поляризуемой среде // Проблемы математического моделирования. Владивосток: ДВО РАН. 1992. С. 106-112.

10. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. 1993. Т.34. N 5. С. 202-213.

11. Чеботарев А.Ю. Корректность задачи об электромагнитных колебаниях в поляризуемой среде // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО РАН. 1993. Вып. 107. С.98-105.

12. Чеботарев А.Ю. Принцип максимума в задаче граничного управления течением вязкой жидкости // Сибирский математический журнал.

1993. Т.34. N 6. С. 189-197.

13. Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных систем типа Навье - Стокса // Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. N 4. С. 934-942.

14. Чеботарев А.Ю. Принцип максимума в обратных экстремальных задачах для стационарных систем типа Навье - Стокса // Дальневосточный математический сборник. 1995. Вып.1. С. 92-100

15. Чеботарев А.Ю. Обратные задачи для нелинейных эволюционных уравнений типа Навье - Стокса // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N 3. С. 517-524.

16. Коновалова Д.С., Чеботарев А.Ю. Оптимальное стартовое управление течением вязкой жидкости // Дальневосточный математический сборник. 1996. Вып. 2. С 110-119.

17. Чеботарев А.Ю. Граничные обратные задачи для уравнений Навье -Стокса с субдифференциальным переопределением // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N 5. С.677 - 683.

18. Чеботарев А.Ю. Предельный переход по вязкости в вариационных неравенствах для оператора Навье - Стокса // Дальневосточный математический сборник. 1996. Вып. 2. С. 193-197.

19. Чеботарев А.Ю. Стационарные вариационные неравенства в модели неоднородной несжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. 1997. Т.38. N 5. С. 1184-1193.

20. Беспалова Т.В., Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. N 8. С. 689 - 701.

21. Илларионов А.А., Чеботарев А.Ю. О разрешимости смешанной краевой задачи для стационарных уравнений Навье - Стокса // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. N 5. С. 689 - 695.

22. Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства для оператора типа Навье - Стокса и односторонние задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Матем. заметки. 2001. Т.70. Вып.2. С.297 - 308.

23. Alekseev G. V., Chebotarev A. Yu. Some extremum and unilateral boundary value problems in viscous hydrodynamics // International Series of Numerical Mathematics. 1992. V. 106. Birkhauser Verlag Basel. P. 1-11.

24. Alekseev G.V., Chebotarev A.Yu. Nonlinear inverse problems of acoustic potential // 111 Posed Problems in Natural Sciences. Proceedings. Moscow. 1992. VSP/TSP. P. 227-232.

25. Chebotarev A.Yu. Subdifferential inverse problems for stationary systems of Navier-Stokes type // J.Inverse and 111 Posed Problems. 1995. V.3. N 4. P. 268-279.

26. Chebotarev A. Yu. Controllability for stationary flows of viscous fluid: Preprint of Institute for Applied Mathematics FEB RAS. 09-1996. P. 1-8.

27. Chebotarev A.Yu. Suboptimal controls in extremum problems of viscous hydrodynamics // Дальневосточный матем. сб. 1997. Вып. 3. С. 1-5.

28. Chebotarev A.Yu. Subdifferential inverse problems for evolution Navier-Stokes systems // J. Inv. and 111 Posed Problems. 2000. V. 8. P. 275-287.

ЧЕБОТАРЕВ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ

ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ТИПА НАВЬЕ-СТОКСА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Автореферат

Изд лиц. ИД № 05497 от 01.08 2001 Формат 60x84/16 Уел п.л. 1,94. Уч.-изд.л. 0,8<

г. Подписано к печати 10.09.2003 г. Печать офсетная. ). Тираж 100 экз. Заказ 138

Отпечатано в типографии ГУП «Издательство "Дальнаука"» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7

¿OQ> - H Î^OOI

14 00 1

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Чеботарев, Александр Юрьевич

Введение

1 Стационарные неравенства для операторов типа Навье — Сток

1 Постановка задачи.

2 Разрешимость неравенств типа Навье - Стокса.

2.1 Свойства операторов типа Навье - Стокса.

2.2 Априорная оценка решения вариационного неравенства

2.3 Теорема существования

3 Структура множества решений вариационных неравенств типа Навье - Стокса.

3.1 Единственность решения при малых числах

Рейнольдса.

3.2 Структура множества всех решений задачи (1.5). 4 Нелинейные краевые задачи для стационарных уравнений На-| 'Ф вье - Стокса.

4.1 Вспомогательные сведения. Обобщенное решение субдифференциальной краевой задачи для уравнений Навье - Стокса.

4.2 Односторонние краевые задачи для стационарной

I системы Навье - Стокса.

4.3 Протекание вязкой жидкости через ограниченную область при заданном перепаде полного напора.

5 Движение вязкой жидкости с ограниченным вихрем и проблема исчезающей вязкости.

5.1 Вариационное неравенство на множестве с ограниченным вихрем.

5.2 Предельный переход по вязкости.

I 5.3 Интерпретация вариационного неравенства для оператора Эйлера

6 Разрешимость краевых задач с неоднородным условием для касательной компоненты скорости

6.1 Постановка задачи.

6.2 Определение обобщенного решения задачи (6.1)-(6.3)

6.3 Существование обобщенного решения.

2 Стационарные неравенства в моделях неоднородной или теп

Щ лопроводной жидкости

1 Субдифференциальная краевая задача для уравнений динамики неоднородной вязкой жидкости

1.1 Постановка задачи

1.2 Предварительные сведения

1.3 Вариационные неравенства 2 Разрешимость стационарных неравенств для вязкой неоднородной жидкости

2.1 Формулировка основного результата.

2.2 Разрешимость краевой задачи для плотности.

2.3 Вариационное неравенство для скорости.

3 Построение многозначного оператора задачи (1.1)—(1.4).

Введение диссертация по математике, на тему "Вариационные неравенства для операторов типа Навье-Стокса и их приложения"

1. Значительные результаты, полученные в теории вариационных проблем ма-/Щ тематической физики в 50-60 годы 20-го века, привели к бурному развитию этой тематики. В частности, стала развиваться математическая теория управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными и близкая к ней теория вариационных неравенств, причем наиболее интенсивно исследовался случай линейных уравнений. Потребности развития новых технологий в гидромеханике обусловили необходимость исследования вариационных задач динамики жидкости. Примерами таких задач являются вариационные неравенства для операторов гидродинамики, задачи оптимального управления и обратные задачи гидродинамики.

Решение вариационных задач гидродинамики связано со значительными трудностями по сравнению с классическим линейным случаем. Прежде всего ¿ф это объясняется необходимостью учета эффектов обусловленных нелинейностью моделей гидродинамики. Для нелинейных краевых задач гидродинамики, как правило, отсутствуют теоремы об однозначной разрешимости. Кроме того дополнительные нелинейные эффекты возникают при рассмотрении экстремальных задач гидродинамики с ограничениями, а также за счет постановки нелинейных граничных условий. Построение точной теории для задач этого класса, важных с точки зрения приложений, представляет интересную математическую проблему.

Одной из основных моделей теоретической гидродинамики является система уравнений Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости. Корректность основных краевых задач для этой системы рассмотрена в классической книге О. А. Ладыженской [30]. Моделирование нелинейных краевых условий привело к исследованию вариационных неравенств типа Навье - Стокса, теория которых начала разрабатываться Ж.Л.Лионсом [36],[129] и А.В.Кажиховым [26]. Отметим также работу П.П. Мосолова, В.П. Мясникова [46], в которой впервые предложено применять вариационные методы и неравенства при исследовании течений вязко-пластических сред. Следующий этап в развитии теории вариационных задач для системы Навье - Стокса - исследование экстремальных задач оптимизации течений. В работах А.В.Фурсикова [67]-[68] впервые рассмотрены задачи управления для нелинейных уравнений гидродинамики в отсутствии теорем об однозначной разрешимости управляемой системы. В дальнейшем это направление развивали ряд авторов, в том числе М.СипгЬш^ег, Ь.Нои, Т.ЭуоЬоапу [123]-[126], Е.АЬе^е1, К.Тешат [95], Э.ЗгкЬагап [136]-[137], М.Беза1, К.Ию [112], Г.В.Алексеев [7]. К вариационным неравенствам и задачам управления для уравнений гидродинамики тесно примыкают обратные задачи об определении не только решения гидродинамических уравнений, но также внешних условий определяющих течение, по дополнительной информации о решении. В работах А.И.Прилепко, И.А.Васина [51]-[53], [134],[142] рассмотрены обратные задачи для уравнений Навье - Стокса, заключающиеся в восстановлении плотности внешних сил или некоторых коэффициентов по определенной информации об искомом решении.

2. Целью данной диссертации является исследование вопросов корректности постановок вариационных задач гидродинамики, изучение качественных т свойств решений этих задач и разработка асимптотических алгоритмов для решения экстремальных задач гидродинамики.

Вариационные задачи для уравнений гидродинамики представляют значительный теоретический интерес как объект применения современных математических методов, а с другой стороны, важны для приложений в различных разделах физики и инженерной механики.

Наиболее полно вариационные неравенства и теория управления для уравнений с частными производными изучены в случае линейных уравнений. Особенностью нелинейных уравнений гидродинамики является то, что неизвестно существует ли функциональный класс, в котором трехмерные уравнения гидродинамики при естественных граничных и начальных условиях имеют единственное решение. Несмотря на существенный интерес к вариационным задачам гидродинамики, значительная часть проблем этого типа оставалась (и остается) открытой.

В качестве математической модели динамики жидкости будем рассматривать систему уравнений Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости: р + (и ■ V)uj = -Vp + /лАи + pf, div и = О, (1) uWp = 0. (2)

Здесь и = {ui}f=1 - вектор скорости течения, d = 2,3; р - давление, р - плотность, / - плотность внешних массовых сил, р, = Const > 0 - коэффициент

Ф динамической вязкости, (и • V)и = J2 uk-jS~u- Переменная t означает время, к=1 к х = {xi}f=1 - точку в Kd. Изучение установившихся процессов приводит к стационарной модели неоднородной вязкой жидкости: р{и • V)u = Vp + /¿Ди + pf, div и = 0, uVp = 0. (3)

В случае р = const > 0 (не нарушая общности, считаем р = 1) получаем классические стационарную и эволюционную модели однородной несжимаемой вязкой жидкости: иАи + (и • V)u = -Vp + /, div и = 0, (4) ди

---иАи+(и- V)u = -Vp + f, div u = О, (5)

C/u где и = р/р > 0 - коэффициент кинематической вязкости.

Первое векторное уравнение в (4) (уравнение импульсов) часто удобно записывать в форме Лэмба: иАи + ( rot и х и) = —Vh + /•

Величина h = р+ри2/2 в гидродинамике называется полным напором течения.

Рассматривается также стационарная модель Буссинеска, учитывающая тепловые эффекты, возникающие при движении среды. В этом случае в модели (4) можно положить = (6) где в - температура среды, (3 - коэффициент теплового расширения, д - ускорение свободного падения, и к системе (4) добавить уравнение теплопроводности

-аеД<9 + uVQ = q, (7) где ае - коэффициент температуропроводности, q - объемная плотность источников тепла.

Основным объектом исследований в работе являются системы (3)-(5) и модель (4),(6),(7).

Сформулируем общие постановки задач, рассматриваемых в диссертации. Пусть П С Kd - ограниченная область с гладкой (кусочно-гладкой) границей Г = 8Q. Предположим, что граничные значения для гидродинамических величин {и,р} (соответственно, {р,и,р} в модели (3) или и, в в модели Буссинеска) являются полностью или частично неизвестными и требуется определить эти значения, а также найти отвечающее им течение (решение соответствующей системы уравнений) в области О по дополнительной информации о решении. В качестве указанной информации будем рассматривать следующие типы условий: а) Субдифференциальные соотношения между {и,р} (либо между температурой 9 и другими параметрами течения).

В этом случае мы получаем вариационные неравенства для оператора Навье — Стокса. Отметим, что классические краевые условия (например, типа Дирихле) являются частным случаем субдифференциальных граничных условий, а изучение последних позволяет исследовать весьма широкий класс физически интересных задач. б) Экстремальные условия.

Пусть 3 - некоторый функционал, выбираемый из физических соображений (функция качества или стоимости) и зависящий от гидродинамических параметров течения. Тогда условие

3 -»• , где минимум ищется на некотором множестве допустимых управлений и течений, приводит к задачам оптимального управления для системы Навье - Стокса. в) Задание дополнительных нелокальных условий на гидродинамические характеристики течения.

С точки зрения гидродинамики требуется определить внешние условия, определяющие течение, например, плотность внешних сил. Можно также вместо отсутствующего краевого условия на части границы рассматривать переопределение на другой части границы или другую дополнительную информацию о решении. При этом специфика задач протекания приводит к ограничениям в виде неравенств. Задачи такого типа будем называть граничными обратными задачами для системы Навье - Стокса.

При исследовании задач указанных типов методы и результаты, полученные для вариационных неравенств Навье - Стокса применяются к изучению условий оптимальности в экстремальных задачах, также имеющих форму вариационных неравенств. Особенностью предлагаемого метода исследования обратных задач является постановка их в форме вариационных неравенств или экстремальных задач и использование результатов, полученных при рассмотрении проблем типа (а),(б).

Результаты диссертации изложены для абстрактных нелинейных систем типа Навье - Стокса в гильбертовом пространстве, что позволяет получать приложения к различным гидродинамическим моделям и разным типам граничных условий.

3. Рассмотрим теперь вкратце содержание отдельных глав.

Впервой главе рассматриваются стационарные вариационные неравенства для оператора Навье - Стокса, связанные с системой (4). Исследование вариационных неравенств гидродинамики стимулировалось возникновением задач, содержащих ограничения типа неравенств (односторонние условия) на гидродинамические величины. Теория односторонних задач для уравнений Навье - Стокса впервые начала разрабатываться Ж.-Л.Лионсом [36], [129] им были рассмотрены примеры односторонних ограничений, при которых удается доказать разрешимость задач, интересные только в теоретическом плане. В работах А.В.Кажихова [10],[26],[27] рассмотрены постановки односторонних эволюционных задач гидродинамики, имеющие ясную физическую интерпретацию. Различные модификации эволюционных неравенств для операторов Навье - Стокса рассматривали H.Brezis [102][103], G.Prouse [135], M.Muller, J.Naumann [130],[131]. Рассматриваемые в диссертации постановки стационарных неравенств являются новыми и допускают различные физические приложения, поскольку позволяют моделировать широкий класс нелинейных граничных условий. Отметим также, что результаты первой главы могут быть использованы для исследования новых краевых задач гидродинамики, не содержащих неравенств, таких как задачи с заданным на границе течения полным напором или с заданной зависимостью между полным напором течения и другими гидродинамическими характеристиками. Результаты главы 1 заключаются в следующем:

• исследована корректность класса стационарных неравенств для оператора Навье - Стокса;

• получены условия разрешимости (без ограничений типа малости) и единственности (при малых числах Рейнольдса);

• описана структура множества решений вариационных неравенств как конечномерного компакта; последнее является обобщением классических результатов С.Ро1аз, К.Тетат [115] на случай субдифференциальных краевых задач;

• даны приложения полученных результатов для односторонних стационарных краевых задач для системы Навье - Стокса, в том числе и для задач с неоднородным краевым условием для касательной компоненты скорости течения;

• изучена проблема исчезающей вязкости методом вариационных неравенств, на основе моделирования течений с ограниченным вихрем, при этом описана структура решения предельного неравенства как новой модели динамики идеальной жидкости.

Вторая глава посвящена изучению стационарных вариационных неравенств в модели неоднородной несжимаемой жидкости (3) , а также субдифференциальных краевых задач для модели тепловой конвекции (4), (6)-(7). Учет неоднородности среды вносит существенные трудности при исследовании этой системы даже в случае двумерных течений. Первая краевая задача для эволюционной модели неоднородной жидкости исследована в работах А.В.Кажихова [10],[25],[27], а в стационарном случае - Н.Н.Фроловым [65],[66]. Эволюционные неравенства также рассматривались А.В.Кажиховым при изучении односторонних краевых задач [26]. В диссертации доказана разрешимость в целом для класса стационарных неравенств в модели неоднородной несжимаемой вязкой жидкости. Получены приложения к односторонним краевым задачам, а также к задачам с классическими краевыми условиями и задачам типа регулирования.

Далее во второй главе вводится класс обобщенных операторов типа На-вье - Стокса, позволяющий, в качестве приложения, исследовать как классические задачи гидродинамики, так и более сложные модели, учитывающие, например, тепловые эффекты. Для операторов указанного класса исследуются вариационные неравенства. Основной результат - теорема о разрешимости - применяется к различным односторонним задачам тепловой конвекции вязкой жидкости. Следует отметить, что указанный результат является аналогом принципа Лере-Шаудера для стационарных неравенств с обобщенным оператором типа Навье - Стокса. Применение данного обобщения известного принципа позволяет исследовать нелинейные краевые задачи с неравенствами и для более сложных моделей гидродинамики таких как модель среды с внутренними степенями свободы и модель неоднородной жидкости с учетом диффузии [10, с.148-155].

В главе 3 рассматриваются экстремальные задачи динамики вязкой жидкости. Основное внимание уделяется интересным для приложений задачам граничного управления. Предлагается новый подход к проблемам оптимизации течений, основанный на рассмотрении негладких граничных управлений класса Ь2. При выводе условий оптимальности применялся не классический принцип Лагранжа, а использовались методы непосредственных оценок производной функционала качества, либо аппроксимация задачи на основе метода штрафа. Это позволило более точно учитывать алгебраическую структуру задачи и в ряде случаев получить результаты, не содержащие ограничений типа малости. Введено новое понятие - регулярности множества допустимых управлений относительно течения. При выполнении условия регулярности вывод необходимых условий (или достаточных) оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина не связан с ограничениями типа малости или регулярности оптимальных течений. Основные результаты главы 3 заключаются в следующем.

Получены условия корректности задач оптимального управления стационарными уравнениями Навье - Стокса, где управляющим параметром является полный напор течения. Описана структура множества решений экстремальных задач и построены системы оптимальности. Описаны условия достаточности принципов максимума в задачах управления для уравнений гидродинамики.

Предложен метод получения и обоснования условий оптимальности для экстремальных задач связанных с нелинейными стационарными системами типа Навье - Стокса и даны приложения для задач оптимизации течений вязкой жидкости. Предложенный метод обоснования принципов максимума не содержит ограничений типа малости или регулярности на оптимальное состояние.

Доказаны нелокальные по времени принципы максимума в задачах граничного и стартового управления эволюционными системами Навье - Стокса.

Построены субоптимальные управления в экстремальных задачах гидродинамики при малых числах Рейнольдса и предложен асимптотический алгоритм решения задач оптимального управления.

Четвертая глава связана с исследованием обратных задач для системы Навье - Стокса. Обратные задачи для нестационарных уравнений гидродинамики изучались А.И.Прилепко и И.А.Васиным в работах [51]-[53],[134],[142], где рассмотрены постановки об определении плотности внешних сил по интегральному или финальному переопределению. В работе автора [71] рассмотрена линейная обратная задача гидродинамических потенциалов.

Обратные задачи для уравнений Навье - Стокса, рассматриваемые в данной главе, связаны с нахождением не только скорости течения жидкости, но также и внешних условий, вызывающих это течение. При этом с прикладной точки зрения более реалистичным является определение граничных условий, определяющих движение жидкости. Для постановки таких обратных задач к системе уравнений следует добавить соотношения, содержащие дополнительную информацию о решении. Здесь в качестве условия переопределения рассматриваются субдифференциальные соотношения. Обычное интегральное переопределение является при этом частным случаем субдифференциального условия, а с другой стороны, такое условие позволяет рассмотреть широкий класс физически интересных постановок. Изучение поставленных обратных задач сводится к исследованию класса стационарных вариационных неравенств для оператора Навье - Стокса на основе результатов главы 1, а также к изучению эволюционных нелинейных неравенств, теория которых здесь строится. В данной главе рассмотрены новые постановки обратных задач с субдифференциальным переопределением для уравнений гидродинамики. Получены теоремы о разрешимости, единственности и структуре множества решений обратных задач для стационарных систем типа Навье — Стокса. Кроме этого исследованы обратные задачи для эволюционных систем типа Навье - Стокса, в том числе класс вариационных неравенств в гильбертовом пространстве для уравнений с квадратичной нелинейностью. Результаты - теоремы разрешимости и единственности - доказаны в целом по времени. Получены приложения для обратных задач об определении правых частей или граничных условий в системе Навье - Стокса, а также для задач типа управления или регулирования.

Введенный в работе класс нелинейных задач позволяет, в частности, изучать обратные задачи о нахождении граничных условий, определяющих течение, по заданным интегральным характеристикам течения. Для рассмотренного класса обратных задач получено условие на "регулярность"нелинейных членов, гарантирующее существование слабого решения на произвольном временном промежутке. При дополнительной "регулярности"исходных данных и нелинейного члена доказано существование и единственность сильного решения. Полученные результаты применяются для исследования задачи определения граничных условий (перепада полного напора) при протекании вязкой жидкости через ограниченную область по заданному расходу течения. Для трехмерных течений доказано существование слабого решения обратной задачи "в целом "по времени, а для двумерных течений - существование и единственность сильного решения. Отметим, что полученные результаты близки к классическим результатам о корректности краевых задач для уравнений Навье - Стокса [30],[31],[59].

4. Перечислим вкратце основные используемые методы.

Вариационные неравенства, экстремальные и обратные задачи исследуются сначала для абстрактных нелинейных операторов типа Навье - Стокса (с квадратичной нелинейностью) в гильбертовом пространстве. Это позволяет сразу изучать целый класс нелинейных краевых задач гидродинамики с единой точки зрения, пользуясь лишь компактностью нелинейной части оператора Навье - Стокса и хорошо известным свойством ортогональности.

При получении результатов данной диссертации использовались методы исследования разрешимости краевых задач гидродинамики в шкалах функциональных пространств Соболева И^; свойства решений эллиптических и параболических краевых задач; теория и методы выпуклого анализа и многозначных отображений; методы регуляризации; методы исследования сингулярных экстремальных задач в гильбертовых пространствах.

Все рассмотренные в работе задачи логически связаны следующим образом. Методы исследования, развитые для изучения вариационных неравенств гидродинамики, и соответствующие результаты используются (или применяются непосредственно) для анализа субдифференциальных обратных задач, а также для обоснования систем оптимальности в задачах управления.

Отметим также стандартные (в настоящее время) методы исследования нелинейных задач, такие как метод априорных оценок решения и метод компактности, основанный на компактности оператора вложения некоторых пространств Соболева в пространства Лебега. Методы и результаты, изложенные в работе могут быть перенесены на широкий класс экстремальных и обратных задач для нелинейных систем. Практическая ценность работы следует из возможных приложений полученных в диссертации результатов при исследовании инженерных задач оптимизации течений вязкой жидкости. В частности, разработанные асимптотические алгоритмы решения экстремальных задач позволяют заменить трудоемкий процесс моделирования течений на основе нелинейной системы Навье - Стокса на задачу определения субоптимальных управлений, решаемую на основе линейных моделей гидродинамики.

5. По теме диссертации автором опубликовано более 50 печатных работ. Основные результаты представленные в диссертации опубликованы в работах [11], [21], [22], [28], [71]-[91], [96], [97], [104]-[109]. Работа выполнялась в рамках темы НИР "Экстремальные задачи математической физики ", номер государственной регистрации 01.9.80.009612. Кроме того работа поддерживалась грантами на конкурсной основе:

• Грант С.Петербургского Конкурсного центра фундаментального естествознания, 1993. Исполнитель.

• Грант программы "Университеты России "по направлению "Фундаментальные проблемы математики и механики", проект 1.5.53, 1993-95. Руководитель.

• Грант Российского фонда фундаментальных исследований, проект 9601-00256, 1996-98. Руководитель.

• Персональный грант губернатора Приморского края в области науки. 1997.

• Грант 6-го конкурса - экспертизы научных проектов молодых ученых

РАН по фундаментальным и прикладным исследованиям. 1999. Руководитель.

• Персональный грант международной Соросовской программы образования в области точных наук. 2000.

Автор признателен указанным программам и фондам без чьей финансовой поддержки работа над диссертацией осложнилась бы.

Автор выражает особую благодарность своим учителям и коллегам за интересные и полезные обсуждения многих вопросов, изложенных в диссертации:

A.B. КяжиУову|В.11. Коробейников^ в.Н. Монахову, П.И. Плотникову, A.B.

Фурсикову, A.M. Хлудневу, В.В. Шелухину. Особая признательность научному руководителю A.B. Кажихову, в дискуссиях с которым появились постановки многих задач, рассмотренных в диссертации.

Ряд ценных замечаний и советов высказали:

O.A. Ладыженская, H.H. Уральцева, Н.М. Ивочкина, Н.В. Кузнецов, А.И. Прилепко, В.В. Катрахов, А.Г. Зарубин, Р.В. Намм, А.Г. Подгаев, Д.С. Ани-конов, J1.T. Ащепков, H.H. Фролов. Автор выражает им искреннюю благодарность.

Автор выражает признательность Г.В. Алексееву за пристальное внимание к работе.

Обозначения и символы

M - числовая прямая (—оо, оо)

Rd - d-мерное евклидово пространство

R+ = [0, +00), R" = (-оо, 0], 1 = (-оо; +оо]

Г2 - открытое множество в Ша

Г = дП - граница О,

Q = П х (0,Т), S = дП х (0, Т), где 0 < Т < оо • ||х - норма в линейном нормированном пространстве X

X' - сопряженное пространство, множество всех линейных непрерывных функционалов, определенных на X у, х >= (у,х) - значение функционала у £ X' на элементе х G X df - субдифференциал / : X —> R, df{x) = {у EX': f(a) - f(x) >(у,а- х) Va G X} А* - оператор, сопряженный с оператором А замыкание множества С теавС - мера Лебега множества С С з1дпх = \\х\\х ' если х ^ О, х Е X

Оаи(х) = Эха! и[дхЬл , а = (а1,а2,.,ай), |а| = ах + . + аа, а{ > 0, г = 1,с?

1 "" (Л

С'г(П) - пространство вещественных функций, определенных на П, к раз непрерывно-дифференцируемых, О < к < оо о ^

С ($7) - подпространство функций из Ск(П) с компактным носителем в о оо

И{П) =С (П)

V (£)) - пространство распределений (обобщенных функций) на П

Ск{й) - пространство функций, определенных на Г2 , к раз непрерывно-дифференцируемых в производные до к-го порядка которых допускают непрерывное продолжение на 0,0 < к < оо

ЬР(П) - пространство р-интегрируемых функций и : П-^Мс нормой \\и\\р = (^\и(х)\^ху/р, 1<р<оо, 1М|оо = 8ирхеП ев«|и(а;)| для р = оо

W™(Q) - пространство Соболева {и € LP(Q);

Dau € LP(Ü), \a\<m}, 1 < p < oo

O m

Wp (íí) - замыкание D(Q,) по норме пространства W™(Í2) o m

W~m(Q) - пространство, сопряженное к Wp (Q), + ^ = 1 o s

H~s(fl) - пространство сопряженное к W2 > 0. и3(а, Ь; X) = Н*(X) - пространство ^интегрируемых функций (а, Ь) X, X - банахово пространство, 1 < р < оо, —оо < а < Ь < оо

С ([а, Ц;Х) - пространство непрерывных функций : [а, 6] —> X

Пространства вектор-функций обозначаются, если это не вызывает недоразумений, тем же символом, что и пространство, к которому принадлежат все компоненты вектор-функции, принадлежащей рассматриваемому пространству. При этом, если вектор-функция и = 1 £ X, то, как правило, ||и||х = (]£? Ии»||х) 2 в том случае) когда пространство X - гильбертово, или

1/р

MIW'(fi) = ( для пространства Соболева.

Будем говорить, что оператор А : X —ь У является слабо непрерывным если он слабо сходящиеся в X последовательности переводит в слабо сходящиеся в У последовательности; компактным если он ограниченные в X множества переводит в компактные в У множества; вполне непрерывным если он непрерывен и компактен; усиленно непрерывным если он слабо сходящиеся в X последовательности переводит в сильно сходящиеся в У последовательности.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Заключение

1. Основная цель данной диссертации состояла в исследовании на основе единого подхода различных, на первый взгляд, классов задач для нелинейных уравнений Навье - Стокса таких как вариационные неравенства, экстремальные задачи или задачи оптимального управления для систем Навье - Стокса и обратные задачи гидродинамики.

Вариационные неравенства возникли в механике довольно давно в связи с моделированием односторонних краевых условий в теории упругости, а также в задачах моделирования вязко-пластических сред и в задачах динамики неньютоновских жидкостей. Этот класс неравенств возникает уже на этапе построения математической модели среды и постановки краевых задач для соответствующих уравнений. В рамках классических моделей гидродинамики, таких как уравнения Эйлера, Навье - Стокса, Буссинеска, вариационные неравенства являются сравнительно новым методом моделирования нелинейных краевых условий, а возникающие при этом математические задачи, как правило открытые.

Постановки краевых задач гидродинамики в форме вариационных неравенств естественно возникают при исследовании задач типа протекания среды через ограниченную область или в так называемых задачах регулирования, когда часть гидродинамических характеристик течения на границе является нелинейной (в общем случае даже негладкой) функцией других параметров течения. Результаты, приведенные в главах 1-2 для стационарных задач и в главе 4 для нестационарных неравенств дают возможность сравнить классические теоремы о разрешимости и единственности для уравнений гидродинамики с их аналогами для более сложных гидродинамических моделей, описываемых посредством неравенств.

Другой источник появления вариационных неравенств гидродинамики связан с так называемыми обратными задачами, в которых требуется определить не только решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику сплошной среды, но и внешние условия определяющие течение. Роль указанных условий часто выполняют неизвестные (полностью или частично) граничные данные, внешние силы или другие параметры соответствующих операторов гидродинамики. При этом для определения решения обратных задач нужно задавать дополнительные условия (условия переопределения), которые могут иметь различный характер.

В диссертации рассмотрены два основных типа таких дополнительных условий. Во первых, это экстремальные условия, рассмотрение которых приводит к задачам поиска течений, минимизирующих некоторые функционалы, обычно выбираемые из физических соображений. Обратные (экстремальные) задачи такого типа естественно формулировать как задачи оптимального управления течениями среды. Вариационные неравенства здесь появляются при построении систем оптимальности, а их обоснование и исследование приводит к принципам максимума типа Л.С. Понтрягина. Исследованию таких постановок посвящена глава 3.

Другой тип обратных задач гидродинамики, связан с так называемым субдифференциальным переопределением. Как показано в главе 4, к данному классу обратных задач можно свести как классические постановки в теории обратных задач с интегральными переопределениями, так и новые постановки, содержащие естественные ограничения типа неравенств на гидродинамические параметры. В главе 4 диссертации указанный класс обратных задач сводится к исследованию вариационных неравенств (стационарных или эволюционных) для оператора типа Навье - Стокса, общая теория которых развита в главе 1 для стационарных задач и в главе 4 для эволюционных.

2. Важной особенностью данной диссертации, по мнению автора, является то, что вариационные неравенства, экстремальные и обратные задачи исследуются сначала для абстрактных нелинейных операторов типа Навье -Стокса (с квадратичной нелинейностью) в гильбертовом пространстве. Это позволяет сразу изучать целый класс нелинейных краевых задач гидродинамики с единой точки зрения, пользуясь лишь компактностью нелинейной части оператора Навье - Стокса и другими хорошо известными свойствами таких операторов как, например, свойство ортогональности квадратичного члена оператора решению соответствующей задачи.

В диссертации приведены примеры приложения полученных абстрактных результатов для анализа конкретных краевых задач гидродинамики: задач с односторонними условиями, задач типа регулирования, обратных задач с интегральным переопределением, задач оптимизации течений и т.п.

Все рассмотренные в работе типы вариационных задач логически связаны следующим образом. Методы исследования, развитые для изучения вариационных неравенств гидродинамики, и соответствующие результаты используются (или применяются непосредственно) для анализа субдифференциальных обратных задач, а также для обоснования систем оптимальности в задачах управления.

3. Конечно же, автору не удалось рассмотреть все важные вопросы в теории вариационных задач гидродинамики несжимаемой жидкости. В стороне осталось, например, исследование таких важных свойств решений вариационных задач как регулярность. Автор не касался в работе исследования необходимых и достаточных условий оптимальности второго порядка (за исключением задачи стартового управления). Ряд постановок, которые нетрудно будет исследовать на основе предложенной методики, ожидает своего решения в том числе и в связи с вопросами нахождения наиболее эффективных механизмов и способов управления гидродинамическими полями. Автор не сомневается, что имеется еще значительное количество постановок задач в инженерной гидродинамике, которые можно свести к вариационным задачам рассмотренным в данной работе.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Чеботарев, Александр Юрьевич, Владивосток

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 203 с.

2. Алексеев Г.В. О существовании единственного течения проводящей жидкости в слабо искривленном канале // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1969. Вып. 3. С. 115-121.

3. Алексеев Г.В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1972. Вып. 10. С. 5-27.

4. Алексеев Г.В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений идеальной жидкости / / Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1972. Вып. 15. С. 7-17.

5. Алексеев Г.В. О разрешимости неоднородной краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск. 1976. Вып. 24. С. 15-35.

6. Алексеев Г.В., Чеботарев А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25, N 8. С. 1189-1199.

7. Алексеев Г.В. Теоретический анализ стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции / Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток. ДальНаука. 1996.

8. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стаг ционарных уравнений тепловой конвекции / Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток. ДальНаука. 09-1997.

9. Алексеев Г.В., Терешко Д. А. Стационарные задачи оптимального управления для уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости // Сиб. журн. индустриальной математики. 1998. T.l, N 2. С.24-44.

10. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 343 с.

11. Беспалова Т.В., Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. N6, С.747-753.

12. Вайоки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Мир, 1988. 546 с.

13. Выховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональных разложениях пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1960. Т. 59. С. 5-36.

14. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 757 с.

15. Васин И. А. О некоторых обратных задачах динамики вязкой несжимаемой жидкости в случае интегрального переопределения // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т.32. С. 1071-1079.

16. Вишик М.И., Фурсиков A.B. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980. 440 с.

17. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.:Наука, 1989.464 с.

18. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 383 с.

19. Зарубин А.Г. Задача стационарной тепловой конвекции // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1968. Т. 8. N 6. С. 1378-1383.

20. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. Некоторые задачи механики с разрывными граничными условиями и негладкой границей // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. N 9. С. 1632-1637.

21. Илларионов A.A., Чеботарев А.Ю. Существование слабых решений смешанной краевой стационарной задачи для уравнений Навье Стокса. Владивосток: Дальнаука. 1999. Препринт. ИПМ ДВО РАН.

22. Илларионов A.A., Чеботарев А.Ю. О разрешимости смешанной краевой стационарной задачи для уравнений Навье Стокса // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, N 5. С. 689-695.

23. Ильин В.П. К теоремам "вложения"// Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1959. Т 53. С. 359-386.

24. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.480 с.

25. Кажихов A.B. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений движения неоднородной вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216, е5. С. 1008-1010.

26. Кажихов A.B. Разрешимость некоторых односторонних краевых задач для уравнений Навье Стокса // Динамика сплошной среды: Нестационарные проблемы гидродинамики / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск. 1974. Вып. 16. С. 5-34.

27. Каоюихов A.B. К теории краевых задач для уравнений неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Тр. V Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Ч. II. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1975. С. 65-76.

28. Коновалова Д.С., Чеботарев А.Ю. Оптимальное стартовое управление течением вязкой жидкости / / Дальневосточный математический сборник. 1996. Вып. 2. С.110-119.

29. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. 304 с.

30. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1970. 288 с.

31. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

32. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

33. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. 538 с.

34. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

35. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

36. Лионе Ж,-Л. Некоторые вопросы оптимального управления распределенными системами // УМН. 1985. Т. 40, N 2(244). С. 55-68.

37. Лионе Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. 412 с.

38. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями в механике. М.: Наука, 1987. 386 с.

39. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -2-е изд., перераб. М.: Наука, 1965. 519 с.

40. Марчук Г. И. Численное решение задачи динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. 303 с.

41. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 575 с.

42. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. 420 с.

43. Монахов В.Н. Математические вопросы гидродинамики неоднородных жидкостей. В кн.: Теоретична и приложна механика: III национальный конгрес Болгарии. София. 1977. С. 229-232.

44. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течения вязко-пластических сред // ПММ, 1965. Т. 29. С. 468-492.

45. Обен Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 350 с.

46. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Уравнение второго порядка с неотрицательной характеристической формой. В кн.: Математический анализ. Итоги науки. 1969. М.: ВИНИТИ, 1971. 252 с.

47. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. 494 с.

48. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 272 с.

49. Прилепко А.И., Васин И.А. Некоторые обратные начально краевые задачи для нестационарных линейных уравнений Навье - Стокса / / Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. С. 106-117.

50. Прилепко А.И., Васин И.А. Разрешимость трехмерной обратной задачи для нелинейных уравнений Навье Стокса // Ж. вычисл. матем. физ. 1990. Т. 29. е 2. С. 1540-1552.

51. Прилепко А.И., Васин И.А. Постановка и исследование нелинейной обратной задачи управления движением вязкой несжимаемой жидкости // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. С. 697-705.

52. Рагулин В. В. К задачам протекания для уравнений идеальной жидкости. В кн.: Математические проблемы механики. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1979. С. 79-90. (Динамика сплошной среды, вып. 43).

53. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

54. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. 244 с.

55. Солонников В.А., Щадилов В.Е. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений Навье Стокса. - В кн.: Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1973. Т. 125. С. 196-210.

56. Темам Р. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

57. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1966. 724 с.

58. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 497 с.

59. Уховский М.Ф., Юдович В.И. Об уравнениях стационарной конвекции // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. N 2. С. 295-300.

60. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.

61. Фояш Ч. Статистические решения нелинейных эволюционных уравнений Математика. Сборник переводов. 1973, 17:3. С. 90-113.

62. Фролов H.H. О разрешимости краевой задачи движения неоднородной жидкости // Матем. заметки. 1993. Т. 53. Вып. 6. С. 130-140.

63. Фролов H.H. Краевая задача, описывающая движение неоднородной жидкости // Сиб. матем. журнал. 1996. Т. 37. е 2. С. 433-451.

64. Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы,касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье Стокса и Эйлера. // Мат.сб. 1981. Т.115, N 2. С.281-306.

65. Фурсиков A.B. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье Стокса. // Мат.сб. 1982. Т.118, N 3. С.323-349.

66. Фурсиков A.B., Эмануилов О.Ю. Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье Стокса // Мат. сб. 1996. Т. 187, е 9. С. 103-138.

67. Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 350 с.

68. Чеботарев А.Ю. К вопросу об определении внешней силы по заданным потенциалам системы Стокса / / Некоторые проблемы и задачи анализа и алгебры. Новосибирск: НГУ. 1985.

69. Чеботарев А.Ю. О разрешимости односторонней краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1986. Вып. 74. С.87-107.

70. Чеботарев А.Ю. Разрешимость стационарной односторонней задачи протекания для идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1987. Вып. 79. С. 129-135.

71. Чеботарев А.Ю. Об оптимальном управлении в задаче протекания для уравнений идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1987. Вып. 81. С. 138-150.

72. Чеботарев А.Ю. Оптимальное управление системой Стокса с односторонними ограничениями // Краевые задачи математической физики и проблемы экологии. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР. 1990. С. 69-85.

73. Чеботарев А.Ю. Об односторонних экстремальных задачах, связанных с системой Стокса // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1991. Вып. 102. С. 133-147.

74. Чеботарев А.Ю. Стационарные неравенства для оператора Навье -Стокса и субдифференциальные краевые условия. Препринт. Владивосток. ИПМ ДВО АН СССР. 1991. 15 с.

75. Чеботарев А.Ю. Субдифференциальные краевые задачи для стационарных уравнений Навье Стокса // Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28, N 8. С. 1443-1450.

76. Чеботарев А.Ю. Математическое моделирование электромагнитных колебаний в поляризуемой среде / / Проблемы математического моделирования. Владивосток: ДВО РАН. 1992. С. 106-112.

77. Чеботарев А.Ю. Задачи граничного оптимального управления стационарными течениями вязкой жидкости. Препринт. Владивосток. ИПМ ДВО РАН. 1992. 31 с.

78. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. 1993. Т.34. N 5. С. 202-213.

79. Чеботарев А.Ю., Беспалова Т.В. Моделирование электромагнитных колебаний в поляризуемой среде и вариационные неравенства. Препринт. Владивосток. ИПМ ДВО РАН. 1993. 22 с.

80. Чеботарев А.Ю. Корректность задачи об электромагнитных колебаниях в поляризуемой среде // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО РАН. 1993. Вып. 107.

81. Чеботарев А.Ю. Принцип максимума в задаче граничного управления течением вязкой жидкости // Сибирский математический журнал. 1993. Т.34. N 6. С. 189-197.

82. Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных систем типа Навье Стокса // Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. N 4. С. 934-942.

83. Чеботарев А.Ю. Принцип максимума в обратных экстремальных задачах для стационарных систем типа Навье Стокса // Дальневосточный математический сборник. 1995. Вып.1. С. 92-100.

84. Чеботарев А.Ю. Обратные задачи для нелинейных эволюционных уравнений типа Навье Стокса // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N 3. С. 517-524.

85. Чеботарев А.Ю. Граничные обратные задачи для уравнений Навье -Стокса с субдифференциальным переопределением // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. N 5.

86. Чеботарев А.Ю. Предельный переход по вязкости в вариационных неравенствах для оператора Навье Стокса / / Дальневосточный математический сборник. 1996. Вып. 2. С. 193-197.

87. Чеботарев А.Ю. Стационарные вариационные неравенства в модели неоднородной несжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. 1997. Т.38. N 5. С. 1184-1193.

88. Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства для оператора типа Навье Стокса и односторонние задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Математические заметки. 2001. Т.70. Вып. 2. С. 296 - 307.

89. Юдович В.И. О возникновении конвекции // Прикладная математика и механика. 1966. Т. 30. N 6. С. 1000-1005.

90. Юдович В. И. Свободная конвекция и ветвление / / Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. N 1. С. 101-111.

91. Abergel F. and Casas F. Some optimal control problems of multistate equations appearing in fluid mechanics // Math. Modelling Numer. Anal. 1993. V 27. P. 223-247.

92. Abergel F., Temarn R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Mech. 1990. V.l. P. 303-325.

93. Alekseev G. V., Chebotarev A. Yu. Some extremum and unilateral boundary value problems in viscous hydrodynamics // International Series of Numerical Mathematics. 1992. V. 106. Birkhauser Verlag Basel. P. 1-11.

94. Alekseev G.V., Chebotarev A. Yu. Nonlinear inverse problems of acoustic potential // 111 Posed Problems in Natural Sciences. Proceedings. Moscow. 1992. VSP/TSP. P. 227-232.

95. Aubin J.P.Optimal and Equilibria. Springer-Verlag, 1993.

96. Barbu V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. Academic Press, San Diego, 1993.

97. Be'gue C., Conca C., Murât F. et Pironneau 0. A nouveau gur les e'quetions de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites sur la pression // С/R/ Acad. Se. Paris. Se'rie I. 1987. V. 304. 2. P. 23-28.

98. Biroli M. Sur la solution faible des inequations d'évolution du type de Navier-Stokes avec convexe dependant du temps. // Boll. Unione Mat. ital., 1975. V. 11, N 4. P. 309-321.

99. Brezis H. Inequations variationnelles relatives a l'operateur de Navier-Stokes // J. Math. Analysis and Applic. 1972. V. 39, N 1. P. 159-165.

100. Brezis H. Problèmes unilatéraux // J. Math, pures et appl. 1972. T. 51, fs. 1. P. 1-116.

101. Chebotarev A.Yu. Analysis and approximation of the stationary Navie-Stokes inequalities // Third Russian-Japan Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics. Book of Abstracts. 1992. P. 11.

102. Chebotarev A.Yu. Boundary inverse problems for stationary Navier-Stokes equations with subdifferential conditions. Preprint of Institute for Applied Mathematics FEB RAS. 04-1994. P.l-16.

103. Chebotarev A. Yu. Subdifferential inverse problems for stationary systems of Navier-Stokes type // J.Inverse and 111 Posed Problems. 1995. V.3. No. 4. P. 268-279.

104. Chebotarev A.Yu. Controllability for stationary flows of viscous fluid: Preprint of Institute for Applied Mathematics FEB RAS. 09-1996. P. 1-8.

105. Chebotarev A.Yu. Suboptimal controls in extremum problems of viscous hydrodynamics / / Дальневосточный математический сборник. 1997. Вып. 3. С. 1-5.

106. Chebotarev A.Yu. Subdifferential inverse problems for evolution Navier-Stokes systems // J. Inverse and 111 Posed Problems. 2000. V. 8. No. 3. P. 243 254.

107. Constantin P. A Few Results and Open Problems Regarding Incompressible Fluid. Notice of AMS. 1995. V. 42. N 6. P. 658-663.

108. Conca C., Murat F., Pironneau O. The Stokes and Navier- Stokes equations with boundary conditions involving the pressure // Japan J. Math. 1994. V.20, N 2. P. 279 318.

109. Desai M., Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Optim. 1994. V.32. N 5. P. 1428-1446.

110. Fabre С. Uniqueness results for Stokes equations and their consequences in linear and nonlinear control problems. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 1996. Vol.1. P.267-302.

111. Finn R. On steady state solutions of the Navier-Stokes partial differential equations // Arch. Rational Mech. and Analysis. 1959. V. 3, N 4. P. 381-396.

112. Foias C., Temam R. Structure of the set of stationary solutions of the Navier-Stokes equations // Comm. Pure Appl. Math. 1977. V. 30. P. 149-164.

113. Fujita H. On the existence and regularity of the steady state solutions of the Navier-Stokes equations // J. Facults. Sci. Univ. Tokyo. Sect. 1. 1961. V. 9, N 1. P. 59-102.

114. Fursikov A. V., Imanuilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C.R. Acad. Sci. Paris. 1996. V. 323. Serie 1. P. 275-280.

115. Fuchs M. Variational models for quasi-static non- newtonian fluids // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 27. Записки научных семинаров ПОМИ. Т.233. СПб. 1996. С.55-62.

116. Girault V., Raviart P. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Springer Verlag, New York. 1986.

117. Girault V. Incompressible finite element methods for Navier-Stokesзequations with non-standart boundary conditions in К // Math. Сотр. 1988. V. 15, e 183. P. 55-74.

118. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston: Pitman, 1985. 410 p.

119. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Numerical approximation of an optimal control problem associated with the navier-Stokes equations // App. Math. Letters 1989. 2. N 1. P. 29-31.

120. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with distributed and Neumann controls // Math. Comp. 1991. V. 57. N 195. P. 123-151.

121. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with Dirichlet conditions // Math. Modeling Numer. Anal. 1991. V. 25. P. 711-748.

122. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow application to viscous drag reduction / / SI AM J. Contr. Optim. 1992. V.30. N1. P. 167-182.

123. Kraëmar S., Neustupa J. A weak solvability of a steady variational inequality of the Navier- Stokes type with mixed boundary conditions / / J. of nonlinear analys. 2001. V.47. P. 4169 4180.

124. Kracmar S. Channel flows and steady variational inequalities of the Navier-Stokes type // Вычислительные технологии. 2002. T.7. N 1. С. 83 95.

125. Lions J.-L. Sur quelques propriétés des solutions d'inéquations variationnelles // C. R. Acad. Sei Paris, Ser. A. 1968. T. 267, N 11. P. 631-633.

126. Müller M., Naumann J. On evolution inequalities of a modified Navier-Stokes type. I, II, III // Aplikace Matematiky. 1978. V.24. N 2.P. 174-184; N 6.P.397-407; 1979.V.24.N 2. P. 81-91.

127. Naumann J. Periodic solutions to evolution inequalities of a modified Navier-Stokes type // Boll. Unione mat. ital. 1978. V. 15, N5. P. 351-369.

128. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Annali Scuola Norm. Super. Pisa, ser. III. 1959. V. 13, N 2. P. 115-162.

129. Pironneau O. Conditions aux limiles sur la pression pour les equations de Stokes et de Navier Stokes // C.R. Acad. Sci. Paris. Serie I. 1986. V.303, N 9. P. 403-406.

130. Prilepko A.I., Vasin LA. On a non-linear non-stationary inverse problems of hydrodynamics // Inverse Problems. 1991. V. 7. L13-L16.

131. Prouse G. On a unilateral problem for the Navier-Stokes equation, I, II // Atti Accad. Naz. Lincei, Rendiconti, cl. sc. fis., mat, natur. 1972. V. 52, N 3. P. 337-342; N 4. P. 467-478.

132. Sritharan S.S. Dynamic programming of the Navier-Stokes equations // Systems and Controls Letters 1991. V 6. P. 299-307.

133. Sritharan S.S. Pontryagin maximum principle and dynamic programming for viscous hydrodynamics // Optimization and Nonlinear Analysis. Pitman research Notes in Math. Ser. 244. 1992. P. 286-297.

134. Swann H.S. The convergence with vanishing viscosity of noustationary Navier-Stokes flow to ideal in R3. Trans. Amer. Math. Soc., 1970 (1971). V. 157, pt. 2. P. 373-398.

135. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1974. V. 10, N 1. P. 209-233.

136. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. V. 13, N 1. P. 193-253.

137. Temam R. On the Euler equations of incompressible perfect fluids //J. Functional Analysis. 1975. V. 20, N 1. P. 32-43.

138. Vasin I.A. Inverse boundary value problems in viscous fluid dynamics // III-Posed Problems in Natural Sciences. Proc. Intern. Conf. Moscow. August, 19-25, 1991. VSP. Moscow. 1992. P. 423-430.

139. White L. W. A Study of Uniqueness for the Initialization Problem for Burgers Equation // Math. Analysis and Applications 172, 1993. P. 412-431.

140. Wolibner W. Un theorem sur l'existence du mouvement plan d'un fluide parfait, homogene, incompressible, pendant, un temps infiniment long // Math. Z. 1933. Bd 37. S. 698-726.

141. Yih, Chia-Shun. Dynamics of nonhomogeneous fluids. New York - London; Macmillan. 1965. 306 p.