Вероятностная теория потенциала на бесконечномерных абелевых группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВИЛЬНЮССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

/У/Г

На правах рукописи

БЕНДИКОВ АЛЕКСАНДР ДАВИДОВИЧ

УДК 519.21

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соиснание ученой степени доктора физико-математичесних наук

' ^ С ¿У}^ -Т. Р^^гг.^ Г 5 о 2. <■} о

ВИЛЬНЮС-1990

Диссертация выполнена в Ростовском Инженерно-строительном институте.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук,профессор А.М.Вертик,

- доктор физико-математических наук Р.А.Микулявичюс,

- доктор физико-математических наук,академик А.В.Скороход.

:Ведущая организация - Московский Институт электронного

машиностроения.

Защита состоится "_"______1990 г. в

_ час. на заседании Специализированного совета Д 061.01.06 при Вильнюсском университете по адресу: 232006,г.Вильнюс,ул. Наугарцуко,24, факультет математики,ауд.101.

С диссертацией можно, ознакомиться в научной библиотеке Вильнюсского университета (ул.Унйверситето.З).

Автореферат разослан "__._1990 г. _

Ученый секретарь специализированного совета

доц.П.С.Вайткус

I.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В течение долгого времени теорию потенциала следор'ло рассматривать как одну из глав "дтематического анализа, использующую идеи и метода теории функций, функционального анализа и общей топологии.

Важный этап в развитии этой теории открыли работы С.Какутани, М.Каца и Дя.Л.Дуба (1940-54 гг.), в которых была установлена тесная связь теории потенциала с теорией броуновского движения. С этого времени началось систематическое проникновение методов теории вероятностей в теорию потенциала.

Вероятностные методы заметно улучшили понимание некоторых основных идей теории потенциала. Более того, они привели к большому числу новых результатов. В свою очередь, теория вероятностей получила благодаря этому слиянию сравнимые преимущества в смысле математического аппарата.

В основе вероятностных интерпретаций лежит следующий факт:

•О

где I - ядро ньютоновых потенциалов, а ) =

=(ГН-) 1 ехр ) - переходная плотность броуновского дви-

аения п>/3 . Из этого соотношения'вытекает .овладение множества неотрицательных супергармонических функций относительно оператора Лапласа с множеством эксцессивных функций относительно броуновской полугруппы. В свою очередь это свойство эквивалентно совпадению гармонических мер (т.е. мер, дающих решение задачи Дирихле для оператора Лапласа) с вероятностями выхода для броуновского движения. Из отмеченной эквивалентности получаются дальнейшие вероятностные интерпретации результатов и понятий классической теории потенциала

(таких как выметание, тонкая толология, полярные множества, разреженность и регулярные точки и т.д.). Эти аспекты з полном объеме наложены в итоговой монографии Дк.Л.Дуба : СИass<ca€ ро-/«ц-■iiai HiUeovu awd li^s соии^е/рcxvf. (rvu.v>d£.

d. wa-tW. WTsi. 26Z > 0*983 ).

Вероятностные интерпретации классической теории привели Дя. Л. Дуба к изучению задачи Дирихле для уравнения теплопроводности, который использовал для этой цели комбинаций аналитического и вероятностного методов. Кроме того, Дя.Л.Дубом была построена аксиоматика гармонических функций, в основе которой летало понятие марковского процесса. Опираясь на эти исследования, а также на более ранние исследования Г.Тауц, М.Ерело, а затеи к Х.Бауэр развили теорию гармонических пространств. Отправляясь от основных свойств гармонических функц*'" (свойство пучка, локальная разрешимость задачи Дирихле, свойства сходимости) они встроили теорию, которая охватывает широкий класс линейных дифференциалышх уравнений 2-го порядка эллиптического и параболического типов. Исследования Ы.Брело и Х.Бауэра, а такке дальнейшие аксиоматические ...»строения изложены в обширной монографии К.Константинеску и А.Корня '• Po-feniiaC ^ k«o-ov, Ч-vCLv-vriovivc- £рсхслл. Grru.v\dd. d. vna.'tU. Wiss. 1УВ, Spf 11Л -

^ev - CiSfZ).

К этому же периоду (1954-63 гг.) относятся исследования Дк. Л.Дуба, Дк.А.Ханта и Е.Б.Дынкина по теории марковских процессов и соответствующих им полугрупп операторов, которые привели к возникновению вероятностной теории потенциала.- Эта теория в компактном виде изложена в монографии Р.Ы.Блюменталя я Р.К.Гетура : Mrv-kov pvocA.js<^s and poii iiai 4ke.orvj. 4caciemic Press (LS6&).

Связь между аксиоматической и вероятностной теориями была установлена в 1963г. П.А.Мейером, а позже в 1967г. в рамках более

общей аксиоматики, это сделали Н.Бобок, К.'Нонстантинеску и А.Кор-ня. Они показали, что, по аналогии с классическим случаем, всякому гармоническому пространству, в котором неотрицательные константы - супер^чрмонические функции, соответствуем марковским процесс, множество эксцессивных функций которого совпадает с множеством неотрицательных супергармонических функций данного гармонического пространства. Эти исследования, а также дальнейшие аксиоматические построения, охватывающие и нелокальную теорию потенциала, изложены в монографии Ю.Блитнера и В.Хансена". Ро1еУтаа£ ~Т!лео

с, а\г%с1 РгоЕа-Й^З^Гс ДрруоасЪ -1о ба-^л^а^е . Uvuvfi.tr-

Классическая теория потенциала в инвариантна относительно сдвига, поэтому особый интерес исследователей привлекает случай, когда в качестве фазового пространства выбирается топологическая группа, а соответствующее объекты инвариантны относительно сдвига. Основополагающие работы здесь принадлежат Г.Шоке, Дх.А.Ханту,У.Гре-навдеру, А.Бёрлингу и Ё.Дени, Ё.Блитнеру, С.К.Порту и К.И.Стоуну, Х.Бергу и Г.'Зерсту и др.

-Для приложений важно определить все пучки, которые удовлетворяют заданной системе аксиом. В случае, когда в качестве фазового пространства выбирается'^-*1 или его область, а пучок инвариантен относительно сдвига или состоит из достаточно гл-'дких функций эта задача была решена в 1967г. Ё.-М.Еони. Бонн показал, что существует предэляиптнческий (возможно вырожденный) дифференциальный оператор ¿С такой, что пучок решений уравнения - О совпадает с заданны!,! пучком. Однако случай общ&,1 топологической группы оставался неисследованным. В'1969г. Ё.Блитером в работе [Оп^Ке апо.&'Ьс.

$4тс4илге- с^ -{лау-тотс <ц-ои.р5. Ма.уил50п'р1:а_ Ма^К. , V. 1.

Р.289-292] была высказана гипотеза о том, что если на топологичес-

кой группе существует инвариантный относительно сдвига пучок, удовлетворяющий аксиомам Брело, то эта группа должна быть группой Ли.

В гастоящей работе приводится контпример к гипотезе Бдитнера и дается полное решение задачи об описании инвариантных относительно сдвига пучков на локально компактной абелевой группе, которые удовлетворяют аксиомам эллиптического гармонического пространства. Это описание сводится к следующему: во-первых, группа должна быть локально связной и поэтому; согласно теореме Диксмье, ее компонента единицы изоморфна группе И ^( v, < оо , msoo) и во-вторых, с каждым инвариантным относительно сдвига пучком К , который удовлетворяет аксиомам эллиптического гармонического пространства ас-г социируется единственный с точностью до умножения на константу инвариантный отнс лтельно сдвига эллиптический дифференциальный опе-

Vnttl ^

ратор ~ 04 Ь:Ь\ + X ■ с{a.'j), >о О^н+т,s<oo ) и такой, что пучок И совпадает с пучком слабых решений уравнения X. .u -U. ~ О. , .

Основное внимание в работе уделяется бесконечномерному случаю (ууч=:оо ). Примеры показывают, что для заданного наперед эллиптического бесконечномерного дифференциального оператора X. (например,оператора Лапласа

), пучок слабых решений уравнения /.и ' О вооб-

¡21

ще говоря не удовлетворяет аксиомам гармонического пространства. Поэтому естественным образом возникает задача об описании тех операторов, которым соответствуют пучки, удовлетворяющие аксиомам.Попутно, так же как и в конечномерном случае, возникает вопрос о совпадении понятий слабого и сильного (классического) решения. Решение этого вопроса находит применение в гармоническом анализе на группе (например-. i4.D. Extwdixov ,1.V. Pa v€ov. fyaces H f a^

Oh 4ke ЦпЛе dimewsiov,(xe iorusJ-X: A&fbtKcis 1Ц -

•fe»" na.4tcwo,6 VI t

//ViÍviious . IS8I. .1. P.26-27), а также в статистической механике • И t-e^ s-íkoock d. cv, «.v,

4ovw.j . J. 4 íW. A-e. 1981 . v. 41 .

P. 29-43 .

Цель работы; I. Исследование структуры инвариантного относительно сдвига гармонического пучка на локальчо компактной абелевой группе, который удовлетворяет аксиомам гармонического пространства.

2.' Исследование соответствующего этому пучку пространственно однородного непрерывного марковского процесса на группе.

3. Исследование обобщенной задачи Дирихле, относительно дифференциального оператора, порожденного непрерывны.!'пространственно однородны,! процессом.

Методика исследований. В настоящей работе применяются методы теории марковских процессов и теории мартингалов, аксиоматической теории потенциала, методы гармонического анализа к теории вероятностных мер на локально компактных группах.

Научная новизна. Основными новыми научными результатами, полученными в диссертации являются:

1. Показано, что при широких условиях на резольвенту непрерывного марковского .процесса гармонические функции относительно этого процесса удовлетворяют аксиомам гармонического пространства Брело;

в частности, установлено неравенство Гарнака эллиптического типа.

2. Показано, что при широких условиях на полугруппу непрерывного марковского процесса гармонические функции относительно соответствующего пространственно-временного процесса удовлетворяют

аксиомам гармонического пространства Бауэра с сильной аксиомой схс димости Дуба; в частности, установлено неравенство Гарнака параболического типа.

3. Доказано, что категория гармонических пространств не замкнута относительно проективных предельных переходов, вместе с тем

с каждой проективной последовательностью можно связать непрерывный марковский процесс с локально сильно феллеровской резольвентой.пучок непрерывных гармонических функций которого является предельным для данной последовательности.

4. Установлено взаимно однозначное соответствие ¡ленду инвариантными относительно сдвига эллиптическими гармоническими пучками, пучками слабых решений однородных уравнений, порождаемых инвариантными относительно сдвига эллиптическими дифференциальными операторами (возможно бесконечномерными) и пучками гармонических функций относительно непрерывных пространственно однородных марковских процессов на группе, 1

5. Показано, что при широких условиях на коэффициенты бесконечномерного эллиптического дифференциального оператора ¿C —

- а. -Ъ-^д'у + ¿L + с пучок слабых решений уравнениями = О удов-i.j-i ¡-i

летворяет аксиомам гармонического пространства Брело, а пучок слабых решений уравнения (с^ + X. )1л « 0 удовлетворяет аксиомам гармонического пространства Бауэра с аксиомой сходимости Дуба. На этом пути получен контпример к известной гипотезе Блитнера.

6. Доказана ограниченность в L_ р ("Г , d>c) ( р? i , d* - мера

ТОО ' '

) операторов Рисса, из которой выводится бесконечная дифференцируемость в I р ("Т , ) слабых решений уравнения/и »0, гдг оС - бесконечномерный эллиптический дифференциальный оператор.

7. Примеры показывают, что в общем случае бесконечномерный дифференциальный оператор не обладает свойством гипоэллилтичности

[например, бесконечномерный оператор Лапласа). В работе приводятся условия при, которых это свойство выполняется.

8. Вводится банахово пространство мартингалов с конечной сме-панной нормой на бесконечном декартовом произведении вероятностных зространств и изучаются его свойства. В терминах этого пространст-за изучается вопрос о представлении гармонической функции в виде -штеграла Пуассона. Кроме того, в смешанных нормах доказывается 5есконечномерное неравенство Соболева для бессолевых потенциалов,

. • —г*

юрозденных заданной полугруппой гауссовых мер на группе 1 . Эта техника применяется для изучения вопроса о существовании у данного слабого решения непрерывной регуляризации.

Перспективы использования. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в научных исследованиях и при чтении спецкурсов по теории марковских процессов и теории мартингалов, гармоническому анализу и теории вероятностных аер на локально компактных группах, современной теории потенциала л бесконечномерным дифференциальным уравнения!,и

. Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались и эбсуждались в: Ростовском госуниверситете (рук.семинара проф.В.П. Захарюта и проф. М.М.Драгилев), Ленинградском госуниверситете Срук.семинара проф. А.М.Вершик), Институте математики АН СССР им. З.А.Стеклова (рук.семинара проф. А.Н.Ширяев и проф. Н.В.Крылов), Институте математики и кибернетики АН Л*»г.ССР (рук.семинара академик АН Лит СССГ Б.И.Григелионис), Институте математики АН УССР (рук.семинара академик АН УССР А.Я.Скороход и проф. Ю.Л.Далецкий), I, Ш, 1У, У Международных конференциях по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс - 1973, 1981, 1985, 1989 гг.), I Всемирном конгрессе общества математической статист ки и теории

вероятностей им.Вернули,(Ташкент- 1986), ХУЛ, XIX, XX Всесоюзных школах по теории l.роятностей и математической статистике (Бакури-анл - 1983, 1985, 1986 гг.), УШ Всесоюзной школе по теории операторов р функциональных пространствах (Рига - 1983), 1У Всесоюзной школе по теории случайных процессов (Прейла- 1987), X Чехословац-ко-Советском совещании по методам теории функций и функционального анализа в уравнениях математической физики, (ЧССР, Стара 1Ура -1988г.), Международной конференции по теории потенциала (ЧССР,Прага - 1987).

Публикации. Основные результаты диссертации' опубликованы в 16 работах, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура. Диссертация состоит, из введения и 5 глав, содержит 260 ст->. текста, в списке литературы 96 названий.

' • Z. ОБЗОР СОДЕЕЙАНШ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведены краткий исторический обзор результатов, связанных с темой диссертации и краткое описание содержания диссертации.

Глава 0 - вводная. В ней приводятся основные определения и некоторые теоремы из общей теории потенциала, которые систематически используются в данной работе. При написании этой главы был использован обзор Х.Бауэра: Havmomc Spaces - A Suvvetj . Сотр.

£ет»*». ¿1 Ma4K.de££^Umve»-Ci'fc de Ьаи . Ban JSM. P. 1-46., а также два обзорных доклада, сделанных автором на XI& Всесоюзной mi не по теории вероятностей и математической статистике (Бакуриа-ни - 1985) и на 1У Всесоюзной школе по теории случайных процессов

(Прейла - 1987).

Глава. I. Б первых двух параграфах главы I показано, что при Еироких условиях, накладьтаеьолс на марковский процесс, гармоничес-киз функции относительно этого процесса удовлетворяют аксиомам гармонического пространства с сильным свойством сходимости (Брело или Дуба). Эта свойства сходимости выводятся из неравенства Гарнака (Эллиптического или параболического типа). Вытекающие из этого но-равенства свойства компактности гармонических функций используются позае в главе Ш при изучении слабых решений бесконечномерных эллиптических уравнений. Проиллюстрируем содержание этих параграфов следуадим результатом (теорма 1.2.I н следствие 1.2Л).

Определение I. Пусть Е - локально компактное хаусдорфово про-странстзэ со счетной базой и X - стандартшй марковский процесс на с. е непрерывный» траекториями. Скажем, чтоХ входит э класс £>, если еылояняэтся свойства; А

ВЛ. Существует стандартный процесс X. с непрерывными траекториями н плотная мэра V ка £ , относительно которой процессы Х-

л,

и Xдвойственны.

В.2. Существует функция (i>0 , fe Е ) та-

кая, что:

(1) функция p("t ) непрерывна по (t j при -Ь^О ;

(2) -^^ííq pGt; х,^)=0 равномерно по (К,^) на каждом компакте К С Л ( Л - диагональ);

(3) pOfc;*,X) =оо (Y**E);

(4) pU;K,D= S

^P i pc-t) y,*)«^).

где p и p - переходные функции процессов X и X .

Пусть ^ - процесс.равномерного движения влево на прямой , Х=Х*2 - пространственно-временной процесс наЕ--£* иК

-пучки гармонических функций процессов X и X соответственно.

Теорема I. Если процесс X входит в класс ЗЬ , то :

1) (Е ,И) -"гармоническое пространство Брело;

2) ( Е .*Ю - гармоническое пространство Бауэра, в котором выполняется аксиома сходимости Дуба.

В остальных трех параграфах главы I изучаются проективные последовательности гармонических пространств и их., проективные пределы. Такие последовательности возникают, например, при изучении гармонических пучков, порождаемых пространственно однородными процессами на проективных группах Ли, в частности, на абелевых локально компактных с язных и локально связных группах. Примеры показывают, что в общем случае предельное ространство не удовлетворяет всем аксиомам, входящим в определение гармонического пространства. Тем не менее с этим предельным пространством может быть связан "хороший" марковский процесс и благодаря этому развита теория потенциала. Приведем содержащиеся в этих параграфах конструкцию и основной результат.

Определение 2. Пусть С Е^ , Л^ )7 - проективная последовательность топологических пространств. Предположим, что на каждом Е„ задан гипергармонический пучок так; что выполняются условия: 12 ( Е^ . ) - гармоническое пространство; 2) для любых о(< р справедливо включение :

тт. р < X ) с 6 ^ .

В этом случае будем говорить, что ( Е^ , ;Х/р )" проективная последовательность гармонических пространств.

Обозначим через и пусть минимальный сре-

ди гипергармонических пучков на Е „ удовлетворяюп^их условиям:

1) ^ замкнут относительно монотонных вверх предельных переходов; (

2) для любого ^ справедливо включение

тг*: с ¿о с

Теорема 2. Пусть ( Е^ , ^ \ - проективная последовательность гармонических пространств. Предположим, что выполняются условия:

1) для любых отображение Л^ открыто и (Е

2) для любых ¿</2. и для любого компакта К С множество

^ Ю - компакт вЕ,;

3) для любого о( >с 1 множество ^ ^ (.£„,) содержит неотрицательные константы и для любого Е., существует потенциал р : рСх)>0,

Тогда существует марковский процесс X наЕ» такой, что:

1. Марковская полугруппа ( ) процесса X обладает свойствами: для любой непрерывной функции (¡¡> с компактным носи- елем :

-а) функция непрерывна С V "к ? О^;

б) I Р^-Ь? \ =• О •

в) для любого замкнутого множества Р имеющего пустое пересечение с носителем функции Ц>

2. Резольвента ( полугруппы ( ) локально сильно фел-леровская, т.е. для ¿гобой ограниченной борелевской цилиндрической функции ^ и любого Хъо функция Йх непрерывна.

3. При каждом I множество эксцессивных функц>'1 вида

совпадает с множеством функций [и- ТГ^. и & СЕ^) 5.

4. Всякая полунепрерывная снизу эксцессивная функция есть предел монотонно возрастающей последовательности цилиндрических эксцессивных функций. - '

Следствие. Положим = А и пусть при кавдоы о£ >, 1

(Е. ,*Кд, )- пространство Бауэра, тогда'( Е„ )- квазигар-

* (к)

моническое пространство.

Пример I. Рассмотрим последовательность [й, : О.к. «=■ К. введем в рассмотрение следующие объекты: Е* =■ ^ уТ*, Т*- Л- мерный тор,

Ды ~ Е ,

и

- [ ^ Сг : = о 5.

Имеем:

1. е. - Г.Т",

- пучок непрерывных функций, удовлетворяющих в смысле теории распределения уравнению Л_и - О , где А„ ~ Ц & * * .

г- ч. . К11

2. Если $ О, то ( , К^ .)- квазигармоническое пространство, если 1, то I Е„ ,ТЛЛ )-• эллиптическое пространство Еауэра, если с(> 1 , то ( £ ») - пространство Брело»

3. В качестве марковского процесса, о котором идет речь в теореме 2 может быть выбран пространственно однородный марковский процесс

на группе Ем , определяемый характеристической функцией ехр (--^(1 где е«(©оГ€-Ип*2^ и Ч'С©)« Е аке*.

к»>

Глава П. В этой главе мы развиваем результаты главы' I на слу-

(х) Такие пространства рассматриваются в работе: L. 54oiсо.. Loca€ opeya+ovs and MavKov pvocxss«. Lect/Voies in Ma+U.VS| Spv-lv^ev -

чай, когда топологическое пространство Е '- локально компактная . связная и локально связная абелева группа. Согласно известий структурной теореме Диксиье группа Е изоморфна группе Т ^ { р<оо , >п <оо). Случай >11<оо мало отличается от классического £ « я R.ptm , поэтому основное внимание уделяется случаи Е~ R *Т .

В первом параграфе, отправляясь от инвариантного относительно сдвига гипергармонического пучка § , мы приводим бесконечномерный аналог теоремы Вони. Точнее, мы показываем, что существует бесконечномерный эллиптический оператор такой, что соответствующий гармонический пучок "Ц совпадает с путеом И.^ непрерывных функций, которые удовлетворяют уравнению /и = О в смысле теории распределений. Следуя принятой терминологии гармоническое пространство { £ ,«5 ) с инвариантным относительно сдвига пучком ¿> мы называем гармонической группой.

Теорема 3. Пусть ( Е . ^ ) эллиптическая гармоническая группа такая, что If *U5(E). Тогда существует эллиптический дифференциальный оператор d. , единственный с точностью до постоянного множителя и такой, что

Эллиптический дифференциальный оператор ¿С в известном смысле порождает на Е пространственно однородный-непрерывный'марковский процесс X и ,ibI приходим к следующему результату,

Теорема 4. Пусть ( Е. > $ ) эллипт' ческая гармоническая группа такая, что 1 ^ СЕ) • Тогда существует пространственно однородный непрерывный марковский процесс X такой, что пучок ¿> его супергармонических функций совпадает с пучком S «

Таким образом на этом пути мы уточняем извест-

ную теорему Мейера "гипергармонический пучок ■—■ марковский процесс"

следующим образом: "инвариантный относительно сдвига гипергармонический пучок — пространственно однородный марковский процесс"

Во втором параграфе отправным пунктом нашего исследования является пространственно однородный непрерывный марковский процесс X » а конечным - эллиптическая гармоническая группа ( Е ,«5 ) где ¿) ¿> . Таким образом, учитывая результат-, предыдущего параграфа, мы приходим к известной в классической теории потенциала схеме: "эллиптический пучок"-*- "эллиптический оператор"—*- "пространственно однородный непрерывный марковский процесс" "эллиптический пучок".

Помимо этого, продолжая аналогию с классической теорией, мы

»

рассматриваем пространственно-временной марковский процесс X » параболический дифференциальный оператор ¿С и соответствующую этим объектщ "параболическую" гармоническую группу.

С каждым непрерывным пространственно однородным процессом X можно естественным образом связать некоторую полугруппу ( ^ ) гауссовых мер на Е. Заданные аксиоматические свойства пучков ¿> и выражаются в терминах этой полугруппы.

Теорема 5. Рассмотрим утверждения:

1) ( Е » 6 ) - эллиптическая гармоническая группа;

2) процесс X невыровден и мера V- а \ 6$, абсолютно непрерывна относительно меры Хаара;

3) процесс X невырожден и мера V = | /и& ¿Б абсолютно непрерывна относительно мёры Хаара, а ее эксцесп'вная плотность непрерывна на множестве Е 4 I ° 3 '>

4) ( Е. »"Н, ) - гармсическая группа Брело. .

О

Спр'эедливы импликации:, 2)<$== 3><==>4).

Теорема 6. Рассмотрим утверждения:

1) ( Е , "R^ ) - гармоническая группа Бауэра;

2) мера = i d-t 5x =■ (*,-t) абсолютно непрерыв-sa относительно меры Хаара;

3) мера f (dx) = (d*) 1 d-fc = абсолютно непрерывна относительно меры Хаара, а ее эксцессивная плотность непрерывна на множестве Е.v [6 .

4) ( Е . Uj. ) - гармоническая группа Бауэра с аксиомой сходи-кости Дуба.

Справедливы импликации: 2)4= 3)4=>4).

Гауссовы полугруппы на Е допускают простое описание. Именно, если ( (U^ ) такая ' полугруппа, то при каедом -fc * О

преобразование Фурье /U^ меры имеет вид

где £ и - ^линейная и неотрицательно определенная квадратичная формы на Е. . В естественном базисе группы Е эти формы могут быть записаны в виде

К-1

чче)- fl а;3е-е; ,9--СеоГЧ Е.

Чи1

По существу в оставшихся двух параграфах главы П приводятся условия на матрицу= и вектор^ - 0>0Г » к0ТОРые обеспечи-

вают наличие заданных свойств у полугруппы ( ), а вместе с тем и наличие заданных свойств у пучка ¿> . На этом пути мы получаем контрпример к гипотезе Едитнера: топологическая группа Е. » на которой существует инвариантный относительно сдвига гипергармо-

нический пучок к) такой, что ( Е )- пространство Брело, является группой Ли.

Теорема 7. Положим Pi — TL \ I •

jwi

1. Если выполняются условия:

1) 'Р; < Q-il , L - 1,2,..., ;

2) Муул 64 р f I / а^ < \

I — «о

«о *

3) Z С- ас; -Ь ) С оо (Vt>o),

i »■>

то справедлив эквивалентные утверждения I) н 2) из теорем 5 и 6.

2. Если &е выполняется условие I) й условия: .

ОО ')

<> [ < оо ;

* « 1

<«Э

5) ' I 1 / а- < оо ,

t = I

то справедливы эквивалентные утверадекил 3) и 4) из теорем 5 н 6. .3. Если выполняется условие:

6) I 4-ei / (А'е-е I) <

то утверждения I) и 2) из теоремы 5 эквивалентны утверждениям I) и 2) из теоремы 6.

4. Если выполняется условие:

7) sup Д;Ч*\Г<оО, ¿.-(сир;

п

и матрица А квазидиагональна и имеет конечномерные блоки, то утверждения 3) и 4) из теоремы 5 эквивалентны утверждения 3) и 4) из теоремы 6.

Пример 2. Пусть^ = 0 = (Ок^Ги 0.* = К* , тогда: I) если О, то меры V" и ^ (V-t^O) сингулярны относительно меры Хаара;

2) если О<о< i , то меры У4 и (U^ (\Ч>0) абсолют!» непрерывны относительно меры Хаара, однако эксцессивная плотность меры V обращается в бесконечность на бесконечном множестве точек из Ел 1.0$;

3) если oí > i , то меры V* и (Yt >0) абсолютно непрерывны относительно меры Хаара и имеет непрерывные плотности.

Отметим, что в п.З) примера 2. соответствующий процесс входит э класс зь (см.определение I.). Примерь показывает, что в общем случае это не так. Однако, если процессX невы эден (т.е. Vn , Д w > О ), то он является проективным пределом конечномерных процессов из класса SV- на этом основано приложение результатов главы I.

Глава Ш. В предыдущей главе обсуждались свойства пучка гармонических функций относительно непрерывного пространственно однородного процесса X с позиций аксиоматической теории потенциала (непрерывность, свойства сходимости, наличие базиса регулярных множеств и т.д.) В настоящей главе мы концентрируем наше внимание на свойствах дифференцируемасти. Как yace отмечалось, каждая гармоническая функция U является слабым решением уравнения О , в котором jT ассоциированный с процессом X эллип-

тический дифференциальный оператор. Поскольку оператор «с бесконечномерный, то дополнительно приходится отвечать на вопрос о сходимости бесконечных сумм, участвующих в выражении .

Наше исследование опирается на некоторые априорные неравенства, которые приводятся в первом, а также в четвертом параграфа. Во втором параграфе мы показываем, что всякая гармоническая функция U. обладает обобщенными производными из Lp = LpCdit) <^p>t) любого порядка. В отличие от конечномерного случая, функция U при этом не обязана быть даже непрерывной. Согласно результатам треть-

его параграфа непрерывная дифференцируемость каждого слабого решения (точнее существование соответствующей регуляризации) уравнения о?и=О равносильна принадлежности процесса X классу ЗЬ .

"ля простоты мы предполагаем, что Е -Т и X - симметричный процесс с диагональной матрицей А= (общий случай- см. 1.12])

В соответствии с этим предположением ¿С ~ £ Л .

Обозначим через % множество цилиндрических бесконечно дифференцируемых функций, положим еще

Теорема 8. Для любой функции (ц&'Ъ и 1 * р4 °о справедливо неравенство '

с * \\ д Чц.ц \\ $ с \1е>ц>нир >

в котором константа С зависит лишь от Д Ир

Рассмотрим на£* ^^ вектор функции т(е) »(щ.се),!«.®),,,,) , где .---, ,

г /.V

I О в - О ,

и зададим на У линейное преобразованией.-С^;), следующим образом:

✓ч

^ А. -у ^сО \

(©•) : =а гп с©-) ^ С&~) , е €г /

обозначим еще через !_р ~ ¡!_р (^у.) банахово пространство вектор-функций модуль которых суммируем в степени р .

Теорема 9. Для любой функции €г ¡Э и 1 < р< оо справедливо

неравенство

«7 < с. Ц со Ц

в котором константа С зависит лишь от А и'р .

Определение 3. Ограниченный оператор R. • L ¡> -*• L ^ будем называть векторным оператором Рисса, а его К -ю компоненту RK : Lp""** Lp К- м оператором Рисса.

Легко видеть, что при каждом К>1 и для любого оператор R. к переводит множество цилиндрических функций, зависящих от первых п переменных в себя. Поэтому корректно определен оператор

Я** •• Lp(T-) ^ Lp СТ")

Теперь заметим, что при ¡о-n RKn=0 . Если еще положить О.,=(?,.=■...= - Q„= i, то операторы RVl) ,...., совпадут с классическими операторами Рисса на

"Г

. ПоложивR(v.} =(R)n .....Rw^) запишем, в соответствии с теоремой 9, неравенство

в котором константа С не зависит от размерности VI .

Отметим, что аналогичное неравенство (но для группы R.^ ) было установлено И.Стейном Í Some. Y-zsuZis 'ш ^avvnovnc. avia&jStS ¿и ^ov h-vco. &«U.of 4V»e Amer. Ma~fL Soc. 1983 . V.'9 . N 1. P.71-73 J . Наши рассуждения не опираются на упомянутую работу И.Стейна, а соответствующий результат был анонсирован в : E>ev.cS>KOv A.D. , Pav-?ov "I V. Space.* Hpand ЬНО Оул un^iv<i4e dimensional "fovus -rW Áés'fracfs in U\

V¡-£viious Cov>(ev«.v%ct ои Proí .Tliaov^ and. Kaili. S4a4ivíic. Vinous , Í9&Í . V. I . P. IC-LÍ.

Определение 4. Пусть Y - открытое подмножество В . Скажем, что функция U6 Lp jLoc Cv) (it р< оо} является слабым решением

уравнения

(1) ¿лх - \ и. =

на множестве V , если для любой функции : Уиррс^ с V вкпо. няется равенство:

(2) , гдо

<• , • > скалярное произведение в

Обозначим еще через (.V) множество фугасцай из1_р(0С(У),

чьи обобщенные производные до к -го порядка включительно входят в

Ц^ С V ).

Теорема 10. Пусть фу}юция ^ является слабым решением уравнения I) на множестве V , Если правая часть ^ ^этого уравнения входит в У/^.. О') , то и€ Су) , 1и = £ а^^и , причем ряд сходится сильно в

ЦСк) для всякого компакта КсУ.

Для вектора £ КГ и функции и. «гположим

«■*>

"д, и : - £ 1Л .

Назовем функциюи (если она входит в ) - производной функции и по направлению вектора у .

Рассмотрим гильбертово пространство И д С И

НА - I : - 1 ^ < оо 5

к »1 *

Теорема 10 может быть дополнена следующим утверждением: функция И обладает. Ьр СК)- производными первого и второго порядка

вдоль гильбертова пространства Н причем ти производные"!)^ и и г А 1

Ъ^ и. являются ограниченными линейным и билинейным операторами

иГ НА в 1_р С К).

Теорема 10, примененная к гармонической функции Ц. показывает

что U обладает L р - производными любого порядка (вдоль Н. ). Подобного же заключения относительно обычных производных с, .элать, вообще говоря, нельзя: функция И может оказаться даже разрывной. Однако, если процесс X входит в класс (см.опред.1; в параграфа 3 главы П показано, что для этого достаточно, чтобы Q./к „ ш оо и необходимо, чтобы -бт sup Я к /к. - ао ), то каждая гармоническая функция обладает непрерывными производными любого порядка. Это свойство вытекает из следующей теоремы

Теорема II. Следующие утверждения эквивалентны:

1)' всякое слабое решение однородного уравнения (I) совпадает дочти всвду по мере Хаара с некоторой непрерывно дифференцируемой функцией;

2) процессX входит в класс 9?) .

В третьем параграфе мы расширяем понятие слабого решения следующим образом.

Определение 5. Пусть jH и V меры на Е и V - открытое подмножество Е • Скажем, что мера ju. является слабым решением уравнения

(1) «¿p.- kf*. « V . ( о)

на множестве V , если для любой функции D : supp^C V выполняется соотношение

(2) < £ , /Ц- Xuj > а <<,Ч>.

Определение б. Скажем, что имеет место свойство ггаюэллиптич-ности, если каждое слабое решение fx. уравнение (I) на множестве V абсолютно непрерывно относительно сужения меры Хаара на Y и имеет непрерывно дифференцируемую плотность всякий раз, когда таковой является мера V

Теорема 12. Следующие утверждения эквивалентны:

1) имеет место свойство гипоэллиптичности;

2) процесс X. входит в класс ''

Пример 3. Пусть ( (¿^ ) - гауссова полугруппа, соответствующая процессу X • ехр [-1 £ йко1 ] и Г^ - ядро

X -потенциалов. Мера V** является слабым решением уравнения:

/(а-\(а = -£0 Мера Дирака в нуле.

В частности мера V*к удовлетворяет однородному уравнению 1&. множестве [о^ ■ . Пусть тогда:

I) если о(£0 , то мера V1 х сингулярна относительно меры Хаара; 2} если к , то мера Vх абсолютно непрерывна относительно меры Хаара, однако ее эксцессивная плотность обращается в бесконечность на не^тором бесконечном множестве точек;

3) если и > 1 , то мера V*х абсолютно непрерывна относительно меры Хаара и ее эксцессивная плотность непрерывно дифференцируема любое число раз (вдоль направлений из Нд ) на множестве 14 |_рЗ .

Ь четвертом параграф?» мы изучаем уравнение Пуассона

£ V. - \и = \ ( X % О)

В конечномерном случае известно, что предположения о непрерывности функции ^ недостаточно, чтобы это уравнение имело классическое решение. Достаточным здесь является условие : ^ £ 0=0 • Мы не фиксируем накую либо метрику на группе В. « поэтому соответствующий результат устанавливаем в шкале пространств бесселевых потенциалов I С«; , 11* 11 ^ ). Известно, что в конечнрмерном случае шкала пространса.3 1-» рСо() описывается шалой пространств С^ . для любого р»о положим:

Определение 7. Бесселеэ потенциал^ tujl непрерывной функции Ч ( <4&С ) определим' равенством ^[if] • '!ерез Ср обозначим

и положим ttJ^lB » = »*{>е |tf \ . (Cf)M!p) - банахово пространство; будем называть его пространством бесселевых потенциалов.

Теорема 13. Пусть выполняется условие: Cvo(>о) -^vn . а^ I к* - оо ,

тогда для любого р >о и любой функции ^ ё Ср функциямявляется классическим решением уравнения Пуассона/«-и, т.е.:

I) функция U дважды непрерывно дифференцируема (вдоль направлений из

Нд );

«О

К.«1

причем ряд слева сходится равномерно (и даже в любом С £ при всех

о i 5" < р» ).

Глава 1У. состоит из двух частей. В первой части (параграф I) вводится смешанная норма на множестве мартингалов относительно специального потока tf* - алгебр. Такие пространства мартингалов (они обозначаются через -^j-) естественно возникают при перенесении определения сметанной нормы о конечномерных структур [А.Ьа-\пе<Аек R. ran zone

S ptXCJLi

Lp wUV, nov-m. 1)ике .

Ma+U. J. С'961). P.301-32Л ] m бесконечномерные [ 13 ] . Многие свойства пространств мартингалов -My аналогичны свойствам эбычных пространств Lp суммируемых функций, причем эти пространства отождествляются, если р«(р,р,,,.)ир>1 . Вместе с тем,

как показано зо второй части (параграфы 2 и 3), шкала пространств I р } оказывается более приспособленной к некоторым задачам теории потенциала на группе Т , чем шкала обычных пространств! 1-у). Так, в ..араграфе 2, рассматривая гармонические функции в полупространстве "Т\ =-}07+оо[*Т ей *Т г мы применяем - норму для изучения граничного поведения этих функций, а также вопроса представления их в виде интеграла Пуассона.

В параграфе 3 мы применяем М- р- норм7 для изучения гауссовых полугрупп мер и порождаемых ими бесселевых потенциалов. Такой подход продиктован следущим обстоятельством. Если - гауссова

полугруппа и С!.") - ассоциированное с нею семейство бесселевых о Г '

потенциалов, то в отличие от конечномерного случая, может случиться, что при всех-11р>0 меры ^ и ^ ^ сингулярны относительно меры Хаара (при ¿том = £мРР Зр " Такия ситуация

имеет место,.например, в случае гауссовой полугруппы, ассоцииро-' ванной с оператором Лапласа «С "=• Ъ к на

т . Более того, даже в случзе абсолютной непрерывностиг ^ ^ не входит в ни при каком р> I . Вместе с тем, при всех{>о меры ^ входят в

Мг .

если компоненты р^ вектора р достаточно быстро стремятся к единице при к оо . Кроме того при "Ь 4 О где ~ * Г

; поэтому и и £ М -г при всех р> * .На этом пути мы приходим к бесконечномерному аналогу неравенства Соболева:

11 ¿г с«?] 5 С I л? ,

\ г

Отметим, что неравенство Соболева в смешанных нормах на группе известно достаточно давно [ О.В.Весов, В.И.Ильин, С.М.Никольский. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Наука

(Москва, 1975)3 . Однако методика доказательства этого неравенства дает константу с-с(п), которая экспоненциально растет при г-.оо Это обстоятельство не позволяет получить бесконечномерный результат из конечномерного используя метод периодизации 1[ И. Стейн, Г.Вейс. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Мир. (Москва, 1974 (1971))] и процедуру предельного перехода приу\ оо .

Из неравенства Соболева, как и в конечномерном случае, выводится вложение пространства бесселевых потенциалов 1~ ^ — ^ л ^ 6 Ер 1 в пространство непрерывных функций С . Отсюда, в свою очередь, выводятся условия, при которых данное слабое решение уравнения = О имеет непрерывную регуляризацию. Отметим, что в общем случае такая регуляризация может отсутствовать (см. теоремы II и 12).

Приведем для полноты относящиеся к перечисленному кругу вопросов основные определения и точные формулировки некоторых основных результатов.

Пусть5^> - б*- алгебра борелевских подмножеств"^ иЗЪ^ОЬ -б" - алгебра цилиндрических борелевских подмножеств с основаниями в Т' \ Ясно, что семейство <Г-алгебр монотонно возрастает и . Пусть р »( , р^»... ) - вектор с бесконечным числом координат, где!*. 6 оо (к. »1,2,... ) положим р^ »( р

-V Р. >• ...

Определение 8. Через

М а обозначим пространство мартингалов I =>( , с!х ) на (Т°\ ) »«к,©скг© ... - мера

Хаара на ~Г°°) таких,что

(I) II * I! •• = 11|„||- с оО ,

1 р « Гк

обычная смешанная норма с,в. .

^JJL -р - банахово пространство; через обозначим подпространство M-j, состоящее из рав. jMepno интегрируемых мартингалов,при этом мартингал мы отождествляем со с.в. ■f • ^

результатов Po.viVia«,<xv-<i."tK^ K..R. Рwieasuve ovi vr»e-|v-ic spaces. Academic Pv-ess С /Veü> YorK-/©гк! л) ,1967, CkV \

следует, что М. р- естественным образом отождествляется с пространством знакопеременных.мер на ) - локально абсолютно непрерывных относительно меры Хаара см.Ширяев А.Н. Вероятность. Наука ( Москва,

1980)] и таких, что порождаемые ими /артингалы удовлетворяют (I). "

Теорема 14. Если рк > I- , ToL-p Если же

р -1 , то в М-в существуют неравномерно интегрируемые

к. i •

мартингалы ( и тем самым L^ =£• M.J ).

. ■ °° г —ре»о

Пусть oi а Л ÜK^tL » с (^t) - гауссова полугруппа на I .ассоциированная с оператором <Л и . - соответствующая полугруппа Коши:

л г». , со ' J,

<Vtce)-eKp[.-t( IaKe; у], \

Положим = J о [ с R1*!""0 , + X. —

эллиптический дифференциальный оператор на группе R.1 * ~Т =

А.

Теорема 15. Пу "ть К. - слабое решение уравнения ¿и, = 0 на

множестве , удое-етворяющее условию: ess^up ÜU(4 Oll, <оО.

, t' о ^ г

Тог, г на | существует такая мера fx , что при всех -¿>0 меры

С^*^ абсолютно непрерывны относительно меры Хаара d*. и tt(-t , )«

= (л(*) dtdx - п.в. При этом:

1) если рк > L (К. =1,2,... ), то fx £ Jl ^

2) если u^ij рк > 1 , то и OA(-t )(*) dx- п.в. при i — О ;

3) если, в дополнение к 2), Sup р^ < оо , то —О при -t— О' * 7

Пусть ~ семейство бесселевых потенциалов, ассоцииро-

ванное о. гауссовой полугруппой ( ) .

п—

Теорема 16. Русть — _

in \ т X « ^ Н-К "

— , а>

,„ \ „ ■ ^ 1« 4»

mm(aK Imk/» К«1,2,... . Предположим, что выполняются условия:

I) П > о J

Knl

ос

• 2) Г X.

L t ' р

к.»1

тогда справедливо неравенство:

■ а г*•с • ' .

в котором константа С зависит лишь от р , и

Следствие I. Цусть вектор 1 р 4 оо , число р > О и последовательность 1а|Л7' удовлетворяют условия!«:

I) Л.К-ГГУ К «о

2) оо Е -€«■2« к. л . р <оо-,

<»\ Гк

3) t К»| р* < Z3 >

непрерывной функцией 1А .

Следствие 2. Пусть вектор 1 <-р 4 оо и последовательность удовлетворяют условиям I) -3) следствия 1с =>2 и пусть 1х - слабое решение уравнения /п. = о на множестве V , Если функция К. и ее слабые производные с).и входят в Ьпйос СУ) , то существует непрерывная функции и такая, что 1л=-'и. од - п.в. на V .

3. Публикации по теме диссертации

1. Бендиков А.Д. Пространственно однородные непрерывные марковские процессы на абелевых группах и гармонические структуры. УМН. 1974. Т.29:5 (179). С.215-216.

2. Бендиков А..",. 0 функциях гармонических для одного класса диффузионных процессов на группе. Теория вероятностей и ее применение. 1975. Т.20, № 4. С.773-784.

3. Бецдиков А.Д. Критерий непрерывности для одного класса марковских процессов. Теория вероятностей и ее применение. 1976. Т,21, С.169-171.

4. Бендиков А.Д. 0 гармонических функциях для одной категории марковских процессов и проективных пределах в ней. УМН. 197^.Т.31.

. вып.2. С.209-210.

5. Бевдиков А.Д. 0 гармонических структурах, порожденных тепловым винеровским процессом на группе. УМНД979.Т.34,вып.1(205).С. 217-218.

6. Бендиков А.Д. 0 слабых решениях эллиптических уравнений на группе. УШ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Рига (1983). С.24.

7. А.Т>. ТУ^и^оУч руосл4зех

ои-р .

I Всемирный конгресс общества математической статистики и теории вероятностей им.Бернули. Тезисы докладов. Т. П. С.602. Наука (Москва, 1986).

8. Бевдиков А.Д. Марковские процессы и уравнеки- в частных производных на группе: пространственно однородный случай. УЩ.1987. Т.42, вып.5 (257). С.41-78.

9. Бендиков А.Д. Уравнения эллиптического и параболического типов на группе . Ю00 Чехословацко-Советское совещание "Применение функциональных методов и методов теотэии функций к задачам математической физики "Тезисы докладов. ЧССР. Стара Тура_, 1988. С.7.

10. bevidiKov A.D. On McxvKOV processes assocta-led u5;-fK pvoj<2.c4iv sequences Havmnonic. spaces .

У Международная конференция по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс, 1989. Тезисы докладов. С.

11. Бендиков А.Д., Павлов И.В. Ограниченность в Lp одного класса векторных мультипликаторных операторов. Сиб.мат.журнал, 1986. Т.27 № I. С.3-10 .

12. bevvd

ifc-ov Д.В. Pav i.V. Di^usion procASSe.s on qyou.p T°° оме! eyxcx+'xovis tii4V» twij.iуи-)-е£ч

humGevi vaviai&s , ^ •. „ Ргоёа&Ягу "TUo^ ^d McÄH.

^4<x4. " V. 1 : i^S-169 , V.V. PwU^ ^ ■ , VA/U Suev,c*. Pr«S ß>V , UfvecW (19%"?).

T3. Бендиков А.Д., Павлов И.В. Пространства L"p со смешанной i.jp-мой на бесконечном декартовом произведении вероятностных пространств. Av^sis'Ha-fL 19?>? vib. Р. 1Ъ\~ ISO. 14. Ab. ^ Pav£o\* I.V. 4Ut 9o\s%on £^ua4ion

Ро4

ТЛ»«.^ * Р. 2.9-39 , .}о»е$ Ку^е в.+ ое.««!., Р-&у,иуп

15. Бенциков А.Д., Павлов И.В. О пространствах гармонических функций с мартингальной смешанной норкой,. Теория вероятностей и ев применение. Т.ЗЗ. 1988. С.769-772.

16. Еендпков А.Д., Павлов И.В. Винеровский процесс с отражением а гармош:чзскио фушеции с конечным интегралом энергии. Теория вероятностей а ее применение. Т.ЗЗ, 1988. С.586-589.