Винеровские интегралы в пространстве непрерывньк функций бесконечного числа переменных и иx применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

шйстегстйь образования украины шызский государств шныи уншерситег

На правах рукописи

Билущак Галина Ивановна

йинеровские интегралы в пространстве непрерывных функций бесконечного числа переменных и их применение

0I.uI.02 - дифференциальные уравнение 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наун

Киев - 1992

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и программ1фования'Львовского политехнического института

Научные руководители: доктор физико-математических наук,проф., академик АН Украины Королюк З.С.

кандидат физико-матемс.тическит наук, доцент Козак U.U.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук^ст.

научный сотрудник Пташник Б.И.

кандидат физико-математических наук, доцент Ус Г.Ф.

Ведущая организация: Институт прикладной математики г. механики АН Украины (г, Донецк),

Защита диссертации состоится " ' 1993 г-,

в № часоь в ауд. && на заседании специализированного совета К 068.18.11 при Киевском государственном университете им. Т.Г.Шевченко по адресу:

252127, г. Киев - 127, проспект Академика Глушкова, 6, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского государственного университета.

. Автореферат разослан

1992 г.

Ученый секретарь Суданский В.й.

специализированного совета u

l-i±lj

*- 'x*. '/L/^ - 3 -

Общая характеристика.

Актуальность талы. Диссертация посвящена винеровсккм интеграг леи в пространстве непрерывных функций бесконечного числа переменных и их применениям к решению систем интегральных, дифференциальных и штегро-диЗферекциальшк уравнений.

Понятие интеграла Винера, введенное в 20-х годах XX ст., обобщалось кногими'авторами на случай пространства функций нескольких переменных и на-декартовы произведения пространств ( Т.Китага-ва, Дк.Йе, Й.М.Ковальчик, Т.Тобиас, П.П.Козак и др.). Глубокие ре-' зультаты.по теории и применении весьма общих континуальных штегра-1 лов получены Ю.Л.Далецкк/. С.В.Йоминым доказана классическая теорема о включении интеграла по мере Винера в общую теорию абстрактного интеграла Лебега, а Е.В.Майковым показана неэквивалентность . определений вииеровского интеграла - интеграла по мере Винера-и , интеграла Винера, как предела многократных интегралов. Построение интеграла Зкнера по схеме Даниэля, технически более простой осуществлено Г.Е.Шиловым, а в работе Г.Е.Шилова и Фан Дык Тишг получены очень важные результаты, позволявшие сводить интеграл Bratepa к интегралу по гауссовской мере в пространстве всех числовых последовательностей. .Результаты исследований по винеровской мере получшш развитие в теории гауссовсккх мер в работах В.В.Баклана,

A.Д.Шаталтили, Х.-С.Го и др. Интегрирование по вкнеровской мере широко применяется в теории вероятностей, в теории интегральных, дифференциальных,' штегро-ди^еренциальных уравнений и систем. В работах Р.Камерона, В.Мартина, Т.Острома, Мл£аца и др. изучались, связи винеровских интегралоз с дифференциальными и интегральными уравнениями. Вычисления!« винеровских. интегралов посвящены работы

B.С.Владимирова, А.З.Сульдина, В.И.Ладохина, И.М.Гельфанда, H.H. Ченцова, А.С.йролова, Е.А.Беговатова, Л.А.Яновича, А.Д.Егорова, £L Н.Соболевского и др. Метод континуального интегрирования является удобным аппаратом для исследования многих вопрооов теории вероятностей. Важные результаты в этом направлении получены И.И. Гихманом, А.В.Скороходом, Р.А.Ыкнлосом, П.Деви, Ю.А.Розаиовги я

др. Приложениям континуального интегрирования в квантовой -физике посвящены работы Н.Н.Боголюбова, И.М.Гельфанда, А.М.Яглома, P.A.

Минлоса и др. Таким образом, теория и применения винероаскпх интегралов в пространствах функций конечного числа переменках дзета—

точно хорошо разработана.

В последние годы связи с проблематикой и успехами квантовой теории -поля и с чисто математическим желанием осмыслить ситуацию з анализе, изучающем функции точки бесконечномерного пространства значительно возрос интерес к анализу функций бесконечного числа не -• ременных. В частности, важные результаты получены эцось ;; работах Ю.М.Березансксго, "С. Г. Кондратьев а, С.3.Фомина, Н.Н.С: слова, Ю.С.Са-мойлекко, Г.5.Уса, В.И.Горбачук и др.

Представляет интерес обобщение понятия винерозс."ой меры на случай пространства функций бесконечного числа переменных, что существенно расширит классы задач, которые решаются с помощью таких мер. Это и предлагается в данной диссертационной работе.

Научная новизна. 3 диссертации впервые введена винеровская мера в пространстве, непрерывных функций бесконечного числа переменных

, которая обобщается на случай декартового произведения Сп „ этих пространств. Интеграл по введенной :.:ере называется вк-

неровким интегралом в С» - Получены формулы преобразования этого ■ интеграла при сдвиге, линейном и нелинейном преобразованиях пространств. Эти результаты были использованы для представления решений систем линейных и нелинейных интегральных уравнений типа Фредголь-ма и Вальтерра второго рода, а также систем линейных и нелинейные дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений посредством винеровских интегралов в пространстве непрерывных функций бесконечного числа переменных:.

Практическая ценность, фактически задачи с функциями бесконечного числа переменных возникают при описании процессов, зависящих от изменяющегося в ходе развития процесса количества параметров, например, в квантовой теории поля, в математической статистике и др. Результаты диссертационной работы дают возможность пред-ставлять"решения таких задач посредством винеровских интегралов.

Апггообация работы. Результаты работы докладывались в 1983-1991 годах на Всесоюзном семинаре "Распознавание и оптимальное управление развитием . систем / Славское, Львовской обл.,1968г./, республиканской конференции "Эволюционные стохастические системы: теория и применение в физике и биологии" / Кацивели, 1989г./, на семинаре при Вападном Научной Центре АН УССР и семинарах по дифференциальным уравнениям Львовского и Киевского Госуниверситетов, а также на на-уно-технкческих конференциях и семинарах Львовского политехнического института в 1984-1989 г.г.

Публикация результатов исследований. Основные результаты • диссертации опубликованы в ра&отах [ I - 5] .

Структура и основные положения диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий обьем диссертации 96 страниц машинописного текста. Библиография содержит 102 наименования.

¿о введении дан краткий обзор работ по данной тематике и -анализ основных результатов диссертации.

л первой главе вводится понятие винеровской меры в пространстве непрерывных функций бесконечного числа переменных и на декар-тозоы произведении пространств, рассматриваются преобразования этой меры при линейных и нелинейных заменах переменных, фи этом существенно используется тот факт, что винеровский интеграл в пространстве функций бесконечного числа переменных выражается через предел последовательности винеровских интегралов в проиранствах иункций конечного числа переменных.

В § 1.1 дано определение вшеровской меры и соответствующего интеграла в пространстве непрерывных функций бесконечного числа переменных, а также кратного винеровского интеграла на декартовом произведении этих пространств. Для этого рассматривается пространство С« всех вещественных непрерывных функций бесконечного числа переменных, определенных на 0оо'»[04114Я, й»^], обращающихся в нуль на координатных гранях, с нормой Их!)»^^ 1X^)1.3 этом пространстве, в отличие от пространств функции конзздого числа переменных, понятие вшеровской меры вводится как предел последовательности мер в пространствах функций конечного числа переменных. Эту меру обозначим символом \rfldx). Вжеровская мера в декартовом произведении пространств С° ^ * С^Р^т произведению винеровских мер в С» . Интеграл по этой мере .обозначим

^(х:) V! (с1%)- йласс интегрируемых на С^ ^ функционалов обозначим через

и (С л а>), а класс функционалов, удовлетворяющих условию - через

о ^ ».«• Р ■ Г° ~7 г" - с*» »с0

Рассмотрим проектор г^ . ^„.оо ' —

такой, что Рт X = Рм (*, Ц),.... Ц) ) * Хм )«

.....

- ь -

Йункцисиалу . определенному на С^ соответствует •

на функционал Тт {Хм)'7{9т).

Показывается, что если функционал у(х} непрерывен, а функционалы ^ IX») ограничены в совокупности интегрируемым функционалом, то имеет место равенство

5,31*) У Щ- = тя (X.) V/ (Аг.).- ш

где IV (с/хт)" сужение меры

Шх) на '

В 5 1.2 рассматриваются понятия функций ограниченной вариации, интеграла Римана-Стидтьсса

и обобщенного интеграла Стиятьеса.в С^о-§ 1.3 посвящен преобразованию кратных винеровских интегралов при сдвиге пространства. Здесь же обобщается известная теорема Шлн-Йинера.

В § 1.4 рассматриваются преобразования кратного зинеровского интеграла цри линейных заменах переменных в С°к & > задающихся интегральными операторами йредгольма второго рода.

ч: м* х; (фси(г^)х/0с!5 (¿-г*) (2) <2„

н Вольтерра второго рода.

В § 1.5 устанавливаются формулы преобразований кратных винеровских интегралов при нелинейных заменах вида

у; М - [Ь}+ (.^ТТг), о)

гдэ ЛI определенные на 0а> нелинейные функ-

ционалы как с гладкими, так и с полугладкими вариациями.

Глава П посвящена представлению решений систем линейных интегральных, дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в ввдо кратных винеровских интегралов.

В § 2.1 представлены решения систем линейных интегральных уравнений 4редг альма и Вольтерра второго рода. Следуя Т.Острому, решение системы

И; М + с 5' к¡1 м м /; м (4)

представлено / теорема 2.1/ в ввде .

и; (ф \ (*) ? (ж) 1д/ (*ьс) ' <5>

с.

где ^[х) - плотность вшеровской меры, которая определяется рассмотренным выше линейным преобразованием пространства

Аналогичное представление / теорема 2.2 / справедливо для решения систем линейньк интегральных-уравнений Вольтерра второго рода

и;5 Рч№и;кМ (г^)- (6)

о

§ 2.2 посвящен представлениэ решений характеристической задачи для систем линейных дифференциальных уравнений. Так, например / теорема 2.4 /, решение задачи

^ [ * пхн $ Щ-Л«]■■•

(7)

г > Т

^ - к М 6"»'7*),

"¿'и; ( — ,<•' ;—т- V

(8)

выражается формулой { ^

и*'-

(9;

О где

«г; («и м у м и«1*) ..

с0

¿4 йо

(И)

йс

" 0 t

5 Й$

¿1- (И,

(12)

ОнЛаз) .

Г* 6 v

" ¿.«ГЯ1 «ч '/.

(15)

В § 2.3 получены формулы, выражающие решения характеристических задач для систем линейных интегро-дифференциальных уравнений / теоремн 2.5 - 2.8 / в ввде кратных винеровских интегралов.

В главе Ш решения систем нелинейных интегральных, дифференциальных й интегро-дифференциальных уравнений представлены по-средствои 1фатных винеровских интегралов.

§ 3.1 посвящен представлению решений систем нелинейных ин-грзльных уравнений в веде ряда йурье-Эрмита, коэффициенты которого выражаются постерством кратных винеровских интегралов, что является обобщением результатов Р.Камерона, З.Мартина и Дж. Ша-:ткро. Для этого понятие ряда Фурье-Эрмита, введенное Р.Камероном и Б.Мартином,. обобщается на случай пространства С° Так, решение системы нелинейных уравнений

сю

представлено / георема 3.1 ) в ввде ряда Фурье по системаорто-

чооияльных функционалов

п

<} с,..., с

где

с,-к с

* у ({/х) к-'<>)'>

С- 1

Как частный случай системы (16), рассматривается решение системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра / теорема 3.2/ ^

о

Решение системы (20) выражается формулой (17), где

/ "V , •(•" . 0

С1 п (21)

О '

5® = еэср {- 3 Л (а), (22)

а» . 0

Г'" о« }

Аналогичные формулы, выражающие решения систем нелинейных дифференциальных уравнений в виде рядов Фурье установлены в § 3.2 / теоремн 3.3 и 3.4 /.

Такие же представления решений для систем нелинейных инте-гро-дифференциальных уравнений получены в $ 3.3 / теоремы 3.5 и 3.6 /.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:*

1. Билущак Г.И., Козак П.П. Винеровская мера в пространстве не-прерьшнг.-;: функций бесконечного числа переменных // ДАН УССР.' Сер.А.- 1964.-.» 8.-С. 5-8.

2. Билущак Г.И., Козак П.П. Представление решений линейного интегрального уравнения в вцце винеровского интеграла в пространстве непрерывных функций, бесконечного числа переменны:?: // ДАН УССР.- Сер.А.- 1966.- * 4.- С. 3-6.

(23)

(24)

3. Билущак Г.И. Обобщение теоремы Дэли-Винера на случай пространства непрерывных функций бесконечного числа переменных //Вест. ЛШ,- 1966.- № 203.- С. 12-14.

4. Билущак Г.И. /Кратный винеровский интеграл в пространстве непрерывных функций бесконечного числа переменных // Укр. матам, ясурн.- 1987.- 39, № 4.- С. 418 - 424.

5. Билущак Г.И. Преобразование кратного винероЕекого интеграла в провтранстве непрерывных функций бесконечно! о числа переменных при нелинейном преобразовании пространства // Дел. Укр.НИИНТИ.- 10.10.68 № 2574-Ук 88.

П1дп. до друку 901 МЗь. Фораат 60x84*/16 Пап!р друкар.й 2. Офс. друк. Уиов.друк.арк. /

Уш>вн.аарб.-в{дб. ? Уковно-видав. орк,о.9з _Тираа /оа прям. Ззи. И . Безпла^ио

__ДП1 290646 Льв{ в-13. Иирз. 12

Дльнаяя оперативного друга доол!дного га2оду 2Ш Льв1в, вул. 1-го Травня, 286