Влияние геометрических и физико-механических параметров на напряжённо-деформированное состояние упругих пространственно-неоднородных массивов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР И АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ И РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫХ МАССИВОВ.

1.1. Точные результаты, полученные аналитическими методами.

1.2. Анализ основных приближённых методов решения задач теории упругости.

1.3. Пространственные задачи теории упругости, решенные численными методами.'.

2. МЕТОДИКА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО НЕОДНОРОДНОГО МАССИВА С УЧЕТОМ УСЛОВИЙ СОПРЯЖЕНИЯ НА ГРАНИЦАХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ.

2.1. Вариационная постановка краевой задачи теории упругости.

2.2. Дискретизация вариационной задачи.

2.3. Алгоритмы решения уравнений в узловых неизвестных.

2.4. Выводы по главе.

3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ.

3.1. Оценка погрешности определения поля напряжений в области с двумя горизонтальными слоями.

3.2. Оценка точности численного решения задачи для пластин с круговыми отверстиями.

3.3. Выводы по главе.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В ДВУМЕРНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ МАССИВАХ С ПРОТЯЖЕННЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ.

4.1. Влияние коэффициента Пуассона и модуля упругости Юнга на напряжённо-деформированное состояние массива с протяженным включением в виде антиклинали или синклинали.

4.2. Влияние коэффициента Пуассона на напряжённо-деформированное состояние неоднородного массива с двумя искривлёнными слоями.

4.3. Выводы по главе.

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ.

5Л. Поля напряжений в пространственных неоднородных массивах с искривленными слоями.

5.2. Оценка напряжений вблизи поверхности пространственно-неоднородного участка массива горных пород.

5.3. Концентрация напряжений в пространственно армированном волокнистом композите.•.

5.4. Выводы по главе.

Широкий круг проблем проектирования и производства конструкций из пространственно армированных композиционных материалов, сооружений в неоднородных грунтах, анализа состояния горных пород т.п. связан с изучением физических явлений, которые существенно зависят от напряженно-деформированного состояния. Одной из основных задач в этом направлении является определение градиентов напряжений и деформаций, которые входят в определяющие уравнения таких явлений, как разрушение неоднородных материалов, фильтрация жидкостей и диффузия.

Несмотря на то, что для пространственно-неоднородных массивов с канонической формой включений найдены аналитические решения задач теории упругости, остаются мало изученными массивы со сложной формой рельефа и внутренних неоднородностей, подверженные действию поверхностных массовых сил. Эффективный подход к численному решению данной проблемы представляют сеточные методы, в первую очередь - метод конечных элементов. Однако он не дает возможности точно выполнить условия сопряжения в напряжениях на границах раздела, что существенно снижает достоверность результатов в случае значительного различия физико-механических параметров материалов. Кроме того, точность определения градиентов напряжений и деформаций значительно ниже, чем определения самих напряжений и деформаций. Это затрудняет анализ явлений, обусловленных градиентами полей напряжений и деформаций.

Поэтому представляется актуальной разработка методики численного расчета полей напряжений и деформаций вместе с их градиентами, позволяющей точно выполнить условия сопряжения на границах раздела неоднородностей в пространственно-неоднородных массивах при достаточно произвольной форме рельефа и включений.

Целыо работы является изучение полей напряжений и их градиентов в пространственно-неоднородных массивах, содержащих включения искривленной формы.

Идея работы заключается в использовании преобразованного функционала Васидзу для построения дискретной модели, в которой перемещения и деформации аппроксимируются независимо, а напряжения на границах раздела явно выражаются через непрерывные компоненты напряжений и деформаций, что позволяет повысить порядок аппроксимации деформаций и обеспечить точное выполнение условий сопряжения на границах раздела неоднородностей.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения.

Первая глава содержит аналитический обзор основных методов и результатов исследования напряженно-деформированного состояния пространственных неоднородных массивов. Ведущее положение в исследованиях упругого деформирования пространственных и пространственно-неоднородных тел занимают работы отечественных и зарубежных ученых: А.Я.Александрова, Г.А.Ванина, С.В.Гольдина, В.А.Ломакина, А.И.Лурье, Н.И.Мусхелишвили, Ю.В.Немировского, И.П.Олегина, Г.М.Савина, а также О.М.Зенкевича, В.П.Ильина, В.А.Постнова, Л.Сегерлинда и др. Несмотря на достигнутый в этой области прогресс, в литературе имеется недостаточно данных о влиянии структурных параметров на напряженное состояние упругого массива при произвольном рельефе и форме внутренних неоднородностей. Обосновывается выбор метода конечных элементов для построения дискретной модели, учитывающей условия сопряжения на границах раздела неоднородностей.

Во второй главе излагается вариационная постановка задачи об упругом деформировании пространственно-неоднородных массивов и разработанная на основе метода конечных элементов дискретная модель, учитывающая условия сопряжения на границах раздела неоднородностей. Описана дискретизация области изопараметрическими шестигранниками и субпараметрическими тетраэдрами. Описан алгоритм численного решения поставленной дискретной задачи; проанализированы итерационные алгоритмы решения систем уравнений высокого порядка.

В третьей главе посредством численных экспериментов оценивается точность численного решения краевой задачи теории упругости по предложенной во второй главе методике.

В четвёртой главе представлены результаты исследования влияния физико-механических параметров (коэффициента Пуассона и модуля упругости Юнга) на НДС пространственных структур с включениями в виде искривленных слоев.

В пятой главе разработанная методика использована для исследования напряженного состояния пространственно-неоднородных массивов с протяженными включениями в виде искривленных слоев и волокон. Найдены коэффициенты концентрации и градиенты напряжений в волокнистых пространственно армированных структурах. Отдельные теоретические результаты сопоставлены с известными экспериментальными данными.

В заключении сформулированы выводы по работе.

На защиту выносятся:

1. Методика построения дискретной модели пространственно-неоднородного массива с учетом условий сопряжения на границах раздела.

2. Алгоритм численного решения задачи теории упругости для пространственно-неоднородной области, имеющей произвольную форму внутренних включений.

3. Результаты определения полей напряжений и их градиентов в упругих массивах, содержащих пространственно расположенные слои искривленной формы, в зависимости от значений физико-механических и геометрических параметров.

4. Результаты расчетно-теоретического определения коэффициентов концентрации напряжений и градиентов напряжений в пространственно армированных материалах при макрооднородном одноосном сжатии.

Научная новизна работы определяется: 1. Разработанной методикой дискретизации задачи теории упругости неоднородных тел, обеспечивающей точное соблюдение условий сопряжения на границах раздела неоднородностей и позволяющей определять напряжения и деформации вместе с их градиентами.

2. Алгоритмом численного решения пространственной задачи теории упругости по разработанной методике.

3. Полученными результатами численного решения двумерных и пространственных задач теории упругости для пространственных структур, содержащих протяженные включения в виде слоев и волокон, при варьировании геометрических и физико-механических параметров.

Достоверность результатов работы обеспечивается корректностью постановки рассматриваемых краевых задач теории упругости, методов их численного решения; сравнением результатов тестовых расчетов с аналитическими решениями соответствующих задач и исследованием сходимости итерационных последовательностей, сопоставлением отдельных расчетно-теоретических результатов с данными эксперимента.

Практическая ценность работы состоит: в разработке методики, алгоритмов и программных средств для расчета напряженно-деформированного состояния пространственных неоднородных структур с произвольным рельефом и формой включений; в численных результатах, позволяющих проводить анализ влияния геометрических и упругих параметров на напряжения, деформации и их градиенты в пространственно-неоднородных массивах с протяженными включениями; в использовании результатов расчетов и пакета программ в практике Новокузнецкой комплексной геолого-геофизической экспедиции для теоретической оценки напряженного состояния массивов горных пород.

Реализация работы. Результаты работы были использованы: Новокузнецкой комплексной геолого-геофизической экспедицией при поисковой разведке полезных ископаемых на участках Нарыкской антиклинали и Сибиргинского угольного месторождения,

ОАО «Западно-Сибирский металлургический комбинат» при расчете конструкций фурм для продувки азотом,

Новокузнецким филиалом-институтом Кемеровского госуниверситета в учебном процессе по дисциплине «Численные методы решения краевых задач».

Апробация работы: Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на 2-й Межвузовской научной конференции «Численно-аналитические методы решения краевых задач» (Новокузнецк, 1999 г.); на 3-й Межотраслевой научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2000 г.); на 4-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2001 г.); на XI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Москва-Истра, 2001 г.); на Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2001 г.); на межвузовском научном семинаре «Численно-аналитические методы решения краевых задач» (Новокузнецк, 2001 г.); на научном семинаре Института гидродинамики СО РАН (Новосибирск, 2002 г.); на 8-й Международной научно-практической конференции «Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири» (Кемерово, 2002 г.).

Публикации: Основные положения диссертации опубликованы в 10 работах.

5.4. Выводы по главе

Расчеты полей напряжений в массиве со включением в виде искривленного наклонного слоя при варьировании угла его наклона показали следующее.

Расположение характерных зон и направление горизонтальной составляющей антиградиента сгх в сечениях по направлению Х07 не зависит от угла наклона включения и совпадает с плоским случаем.

Напряжения ох имеют горизонтальную составляющую антиградиента в сечениях УОЪ. При увеличении коэффициента Пуассона зона наименьших напряжений проходит под сводом включения через весь массив вдоль оси У, а с ростом X располагается под включением у границы расчётной области слева. При уменьшении коэффициента Пуассона включения расположение аномальных зон меняется: в сечении У07, проходящем по центру свода, аномальная зона находится в своде и примыкает к границе расчётной области справа. С ростом X зона наименьших напряжений располагается в слое и проходит через всю расчётную область широкой лентой.

Во всех случаях зоны наибольших положительных и наибольших отрицательных касательных напряжений ту, расположены вблизи нижней границы

раздела вмещающей толщи и слоя.

При увеличении угла наклона включения с 16° до 32° аномальные зоны напряжений сгу и гу2 сужаются и смещаются к плоскости симметрии. Кроме того, при увеличении коэффициента Пуассона включения в сечении УОЪ при максимальных X увеличение угла наклона приводит к возникновению дополнительных аномальных зон напряжений т у2 у верхней границы раздела. При этом значения касательных напряжений туг возрастают в два раза.

В результате исследования полей напряжений в пространственно-неоднородных массивах при варьировании физико-механических констант, приходим к следующим выводам.

Напряжения в упругом массиве существенно зависят от различия коэффициентов Пуассона включения и окружающей толщи и мало чувствительны к различию модуля Юнга, причём при изменении соотношения коэффициентов Пуассона окружающей толщи и включения с '/г на ^ напряжения изменяются в

2,41 раза, а при этом же изменении соотношения модулей Юнга только на 0,03 %.

Направление градиента напряжений в исследованных моделях неоднородных массивов зависит от геометрии включений и от соотношения коэффициентов Пуассона подобластей, причем в случае включения с малым коэффициентом Пуассона антиградиент напряжений ах направлен в вершину свода включения, обращенного выпуклостью вверх, и в периферическую часть включения, обращенного выпуклостью вниз.

При расчете напряженно- деформированного состояния композиционного пространственно армированного материала на уровне микроструктуры при макроскопически однородном внешнем поле напряжений и одноосно приложенных нагрузках была рассмотрена задача об упругом деформировании структурного звена, содержащего волокно в виде петли и поперечно расположенное прямое волокно.

Зона наибольших напряжений расположена в искривленном волокне с внутренней стороны петли, причем под петлей имеется разгруженная зона, напряжения в которой малы по сравнению с приложенной нагрузкой.

Волокно, расположенное поперек направления нагрузки, оказывается разгруженным, и напряжения в нем близки к напряжениям в связующем.

В сечении изогнутого волокна напряжения распределены неравномерно, причем их градиент в поперечном сечении волокна примерно постоянен.

При соотношении модулей упругости волокна и связующего до 40 все компоненты напряжений увеличиваются с ростом отношения модулей, от 40 до 70 - нормальные напряжения, действующие вдоль приложенной нагрузки, продолжают расти, а остальные компоненты напряжений стабилизируются.

Рассмотренные задачи показывают применимость разработанной методики к определению полей напряжений и их градиентов в пространственно неоднородных массивах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработанная методика расчета полей напряжений с использованием независимой аппроксимации перемещений и непрерывных компонент тензоров напряжений и деформаций на основе функционала Васидзу позволяет точно учесть условия сопряжения на границах однородных подобластей и граничные условия в напряжениях и определить перемещения и напряжения с одинаковым порядком аппроксимации.

2. Непрерывная аппроксимация напряжений и деформаций в пределах однородных подобластей позволяет численно определить поля градиентов напряжений.

3. Учет условий сопряжения на границах раздела однородных подобластей позволяет в 5 раз уменьшить погрешность численного определения напряжений и в 6-7 раз - погрешность определения градиентов напряжений по сравнению с традиционным методом конечных элементов в варианте метода перемещений.

4. При действии вертикальных массовых сил в массиве с протяженными включениями в виде искривленных слоев определено, что варьирование модуля упругости включений мало влияет на напряжения и направление их градиента. Изменение соотношения коэффициентов Пуассона приводит к существенному изменению горизонтальных напряжений, причем их градиенты могут изменять направление на противоположное.

5. Антиградиент горизонтально действующих нормальных напряжений в массиве, содержащем искривленный слой в виде антиклинали (выпуклый вверх) с большим, чем у вмещающей толщи, коэффициентом Пуассона, направлен под свод антиклинали, где напряжения меньше, чем на периферии. Если коэффициент Пуассона слоя меньше, чем у вмещающей толщи, антиградиент этих напряжений направлен из-под свода к периферии.

6. В массиве с искривленным слоем в виде синклинали (выпуклом вниз) с большим, чем у окружающей толщи, коэффициентом Пуассона

124 антиградиент горизонтальных нормальных напряжений направлен из-под впадины слоя на периферию. При меньшем, чем у вмещающей толщи, коэффициенте Пуассона слоя антиградиент горизонтальных нормальных напряжений под слоем направлен вверх, а над слоем — к периферии.

7. При исследовании напряжённо-деформированного состояния неоднородных массивов с двумя протяжёнными включениями, возникающего под действием вертикальных массовых сил, найдено, что взаимное влияние неоднородностей не сказывается на напряженном состоянии верхнего включения и проявляется в изменении направления градиента напряжений вблизи нижнего включения.

8. Влияние наклона протяженного слоя на напряжённое состояние неоднородного пространственного массива проявляется в появлении касательных напряжений, действующих в плоскости слоя вдоль его наклона, причём увеличение угла наклона включения в два раза приводит к увеличению значений этих напряжений: при большем значении коэффициента Пуассона вмещающей толщи в 1,6 - 2,6 раза, при меньшем в 2,1 - 3,4 раза. Остальные компоненты напряжений мало зависят от наклона слоя, изменяясь не более чем на 3%, если угол наклона не превышает 32°.

9. Анализ напряженно- деформированного состояния пространственно армированного композиционного материала на уровне микроструктуры при макроскопически однородном внешнем поле напряжений и одноосной средней деформации показал, что при упругом деформировании структурного звена, содержащего волокно в виде петли и поперечно расположенное прямое волокно с общим объемным содержанием волокна 56%, наибольшие нормальные напряжения действуют на внутренней стороне петли искривленного волокна. Коэффициент их концентрации достигает 6,5 при соотношении модулей упругости волокна и связующего, равном 50, и приближается к 7 при увеличении этого соотношения до 100.

10.Максимальные градиенты нормальных напряжений с увеличением отношения модулей упругости волокна и связующего до 50 увеличиваются, а касательных - уменьшаются. При дальнейшем увеличении этого отношения увеличиваются градиенты касательных напряжений и нормальных напряжений, действующих вдоль приложенной нагрузки. В то же время уменьшается градиент шаровой составляющей тензора напряжений, максимальное значение которого соответствует перепаду напряжений на расстоянии радиуса волокна в 1,6 приложенной нагрузки. 11. Разработанная методика, пакет программ и полученные результаты исследования влияния структурных параметров на напряженно-деформированное состояние упругих пространственно неоднородных массивов использованы при моделировании напряженного состояния массивов горных пород Новокузнецкой комплексной геолого-геофизической экспедицией и при расчете напряжений в элементах конструкций фурм ОАО «Западно-Сибирский металлургический комбинат», что подтверждено актами и справками об использовании результатов работы.

Кроме того, отдельные результаты диссертации использованы при выполнении научно-исследовательских работ Новокузнецким филиалом-институтом Кемеровского государственного университета в рамках целевой программы «Интеграция» (проект Р-0042) и в учебном процессе в курсах «Научно-исследовательская работа студентов» и «Численные методы решения краевых задач».

1. Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек /Н.П Абовский, Н.П Андреев, А.П. Деруга- М.: Наука, 1978. 287 с.

2. Александров А .Я. Решение основных трёхмерных задач теории упругости для тел произвольной формы путём численной реализации метода интегральных уравнений / А.Я. Александров // Док.АН СССР, 1973, №2. -С.291-294.

3. Алексидзе М.А. Автоматизация одного метода решения пространственных задач статики теории упругости / М.А. Алексидзе, К.Н. Самсония // Численные методы механики сплошных сред. ВЦ СО АН СССР Новосибирск:, 1973, т.4, № 5. - С.177-182.

4. Амусин Б.З. Метод конечных элементов при решении задач горной геомеханики / Б.З. Амусин, А.Б. Фадеев. М.: Недра, 1975. - 144 с.

5. Андрианов Н.Ф. Решение второй основной пространственной задачи для тел, ограниченных кусочно-гладкими поверхностями / Н.Ф. Андрианов, П.И. Пер-лин // Прикладные проблемы прочности и пластичности.,-Горький: Изд.ГГУ, 1976.

6. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц / Дж. Аргирис.- М.: Госстройиздат, 1968. 240 с.

7. Баландин М.Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности / М.Ю. Баландин, Э.П. Шурина. Новосибирск: НГТУ, 2000. - 70 с.

8. Бакулин В.Н. Метод конечных элементов и голографическая интерферометрия в механике композитовю / В.Н. Бакулин, A.A. Рассоха М.: Машиностроение, 1987.-312 с.

9. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Р.

10. Вилсон. М.: Сройиздат, 1982. - 448 с.

11. Бахвалов Н.С. Решение первой краевой задачи для системы уравнений теории упругости методом фиктивных областей / Н.С Бахвалов // Препринт. Отделение вычислительной математики АН СССР. 1988. - № 191. - С.1-14.

12. Бенерджи П. Метод граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерд-жи, Р. Баттерфилд; Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 494 с.

13. Бреббия К. Применение метода граничных элементов в технике / К. Бреббия, С. Уокер; Пер. с англ. -М.: Мир, 1982. 248 с.

14. Бурнышева Т. В. Оценка точности расчёта полей напряжений сложно построенных массивов при учёте условий сопряжения на границах неоднород-ностей / Т.В. Бурнышева // Труды 5-й Всероссийской научной конференции

15. Краевые задачи и математическое моделирование": Под общ. ред. В.О.Каледина: НФИ КемГУ,- Новокузнецк, 2002. С. 4-6.

16. Вайнберг Д. В. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д. В. Вайнберг, А. С. Городецкий // Прикладная механика. 1972. - №8.

17. Ванин Г.А. К теории волокнистых сред с несовершенствами / Г.А. Ванин // Прикл. механика. 1977, т. 13. - № 10. - С. 14-22.

18. Ванин Г.А. Устойчивость оболочек из композиционных материалов с несовершенствами / Г.А. Ванин, Н.П. Семенюк. Киев.: Наук, думка, 1987. - 200 с.

19. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1970. - 380 с.

20. Верюжский Ю.В. Метод интегральных уравнений в механике деформируемых твёрдых тел / Ю.В. Верюжский- Киев: Киев. Инжен.-строит, ин-т, 1977.

21. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов;3-е изд., перераб. и допол. М.: Наука, 1977. - 640с.

22. Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч.Ван Лоун; Пер. с англ. -М.: Мир, 1999.-548 е., ил.

23. Гольдштейн Ю.Б. Вариационные задачи статики оптимальных стержневых систем / Ю.Б.-Гольдштейн, М.А. Соломещ Издат.Лен. ун-та, 1980. - 208 с.

24. Гузь А.Н. Механика композитных материалов и элементов конструкций / А.Н. Гузь, Л.П. Хорошун, Г.А. Ванин и ;Т.1 Киев: Наук, думка, 1982.- 368 с.

25. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики / Н.М. Гюнтер -М.-Л.: Гостехиздат, 1953.

26. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы решения краевых задач (стационарные задачи) / Е.Г. Дьяконов М.: Изд-во МГУ. 1971. Вып.1.

27. Ерёменко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С.Ю. Ерёменко Харьков: изд. Основа при Харьк. гос. ун-те, 1991.- 272 с.

28. Еременко С.Ю. Расчет собственных колебаний анизотропных прямоугольных тел структурным методом конечных элементов / С.Ю. Еременко, A.A. Рассоха // Прикладная механика, 1989. т.25. № 8. - С. 34-39.

29. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация./ О. Зенкевич, К. Морган -М.: Мир, 1986.-318 с.

30. Зенкевич О. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред / О. Зенкевич, И. Чанг- М.: Недра, 1974.

31. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич- М.: Мир, 1975.-541 с.

32. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем / В.П. Ильин М.: Физматлит, 1995. - 288 с.

33. Каледин В.О. Исследование краевых эффектов в ортогонально армированных композиционных материалах / В.О. Каледин // Теория автоматизированного проектирования Харьков. - 1981. - №3. - С.123-127.

34. Каледин В.О. Исследование напряженно-деформированного состояния неоднородного массива горных пород при действии массовых сил / В.О. Каледин, Т.В. Бурнышева, А.Б. Цветков // Горный информационно-аналитический бюллетень.- М.: МГГУ, 2002. № 1. - С. 65-69.

35. Каледин В.О. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния горных пород применительно к нефтегазопоис-ковым задачам / В.О. Каледин, В.П. Ластовецкий // Геофизика. 1999. - №3. -С. 63-68.

36. Каледин В.О. Методика определения напряженно-деформированного состояния упругого массива при действии массовых сил / В.О.Каледин,

37. А.Б.Цветков, Н.Ф.Давыдкин // Науч.-технич. альманах: Проблемы развития транспортных инженерных коммуникаций. М.: Информационно-издат. центр "ТИМР". - 2002. № 1. - С. 24-27.

38. Каледин В.О. О решении задач теории упругости в кусочно-неоднородном массиве с учётом условий на границах раздела / В.О. Каледин, Т.В. Бурнышева, А.Ю. Марченко // Вычислительные технологии.-2001. Т.6. Специальный выпуск. -4.2.

39. Каледин В.О. Численно-аналитические модели в прочностных рачетах пространственных конструкций / В.О. Каледин Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2000.-204 с.

40. Кац Л. М. Теория упругости / Л. М. Кац. М.ТИТТЛ, 1965. 205с.

41. Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости / А.Н. Коновалов Новосибирск: Наука, 1968. - 128 с.

42. Корнеев В. Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости / В. Г. Корнеев // Известия ВНИИ гидротехники. 1967. - вып. 83.

43. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами / A.C. Космодамианский Киев: Издательское объединение "Вища школа", 1975. - 228 с.

44. Крауч С. Методы граничных элементов в механике твёрдого тела / С. Крауч,

45. A. Старфилд; Пер. с англ. -М.: Мир, 1987. 328с.

46. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости /

47. B.Д. Купрадзе, Г.Г. Гегелиа, М.О. Башелейшвили, Т.Б. Бурчуладзе. М.: Наука, 1976. - 663с.

48. Купрадзе В.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений в пространственной теории упругости / В.Д. Купрадзе // Труды всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Изд-во АН СССР, М.-Л., 1962. - С. 374383.

49. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости / В.Д. Купрадзе- М.: Гос. Изд. Физ.-матем. Литер., 1963. -472 с.

50. Леган М.А. Анализ хрупкого разрушения пенополистирольных плит с отверстиями / М.А. Леган, В.Е. Колодезев, A.C. Шеремет // Прикладная математика и техническая физика. 2001. Т.42,- №5. - С.226-228

51. Леган М.А. Градиентные критерии прочности и проблемы вычисления градиента напряжений / М.А. Леган, A.C. Шеремет // 11th Int. Winter School on Continuous Media Mechanics: Book of Abstr. 2. Perm, 1997. - p. 193.

52. Леган М.А. Уточнение градиентного критерия разрушения / М.А. Леган // Динамика сплошной среды Сиб отд-ние РАН. Ин-т гидродинамики. 2001. Вып. 118. - С.178-181.

53. Метод расчета НДС трехмерного слоистого массива. / A.M. Линьков, В.В. Зубков, Л.А. Милова, H.A. Филиппов // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела.; в 3-х частях. Часть 2. Алма-Ата: Гылым, 1992.- С. 142-159.

54. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел / В.А. Ломакин М.: Изд-во МГУ, 1976.- 368 с.

55. Лурье А.И. Напряжённое состояние вокруг эллипсоидальной полости / А.И. Лурье // Докл. АН СССР, т.87 1952. - №5.

56. Лурье И.А. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье М.: ГИТЛ, 1955,- 492 с.

57. Лурье И.А. Теория упругости / А.И. Лурье М.: Наука, 1970 - 940 с.

58. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук- Новосибирск: Наука, 1973. -352 с.

59. Метод граничных интегральных уравнний / Под ред. Т.Круз, Ф.Риццо М.: Мир,1978. - 216с.

60. Метод граничных элементов / Пер. с англ. К. Берребия, Ж.Теллес, Л. Вро-убел-М.: Мир, 1987,- 524 с.

61. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С.Г.Михлин -М.: Физматгиз,1962.

62. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов / С.Г. Михлин -М.:Наука, 1966.-432с.

63. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е.М. Морозов, Г.П. Никишков М.: Наука, 1980. - 254 с.

64. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили М.: Наука, 1966. - 707 с.

65. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили -М.: Наука, 1968. 210 с.

66. Назарова JI.А. Моделирование объемных полей напряжений в разломных зонах земной коры / J1.A. Назарова // Доклады академии наук; том 342, 1995. - № 6. - с.804-808.

67. Недвигина Е.Ф. Исследование микроструктуры композитов методов конечных элементов / Е.Ф. Недвигина // Экспериментально-расчетные методы автоматизированного проектирования. Киев: Учебно-метод. каб. по высш.обр., 1988.-С. 61-75.

68. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. Фриз -М.: Мир, 1981.-304 с.

69. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден М.: Мир, 1976. - 464 с.

70. Олегин И.П. Напряжённое состояние в полом бесконечном цилиндре, вызванное движущейся нагрузкой / И.П. Олегин, И.Г. Перепёлкин // Динамика и прочность элементов авиационных конструкций. -Новосибирск: НЭТИ.-1990.

71. Олегин И.П. Численно-аналитические методы исследования концентрации напряжений в элементах конструкций при пространственном напряженном состоянии // Дисс. докт. технич. наук. Новосибирск: НГТУ, 2002. 274 с.

72. Пагано Н. Роль эффективных модулей в исследовании упругих свойств слоистых композитов / Н. Пагано // Композиционные материалы. В 8-ми т. Т.2. М.: Мир,1978. С.13-37.

73. Партон В.З. Интегральные уравнения теории упругости / В.З. Партон, П.И. Перлин-М.: Наука, 1977.-312 с.

74. Партон В.З. Методы математической теории упругости / В.З. Партон, П.И Перлин.- М.: Наука, 1981. 688 с.

75. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений / Р.Петерсон М.: Мир, 1977,- 304с.

76. Писаренко Г.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести / Г.С. Писаренко, Н.С. Можаровский Киев: Наукова думка, 1981. - 496 с.

77. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. / С. Писсанецки- М.: Мир, 1988.-412 с.

78. Победря Б.Е. Численные методы в механике деформируемого твёрдого тела / Б.Е. Победря -М.: Изд-во МГУ, 1995,- 366 с.

79. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности / Б.Е. Победря-М.: Изд Моск.ун-та, 1981.- 344с.

80. Подильчук Ю.Н. О напряжённом состоянии неограниченной среды с упругим эллипсоидальным включением / Ю.Н. Подильчук // Прикл.мех.- 1968.-т.4.- №5.-С. 28-37.

81. Подильчук Ю.Н. Плоская эллиптическая трещина в произвольном однородном поле напряжений / Ю.Н. Подильчук // Прикл. механ,- 1968.- т.4.- №8.-С. 94-100.

82. Постнов В.А. Использование метода конечных элементов для расчета судовых перекрытий / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим, С.Х. Хегази -Л.: Судостроение, 1971. -№ 6.

83. Постнов В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим Д.: Судостроение, 1974.- 342 с.

84. Постнов В. А. Решение осесимметричной задачи теории упругости в упругопластической области / В. А. Постнов, Б. Е. Кельман, Н. И. Черенков // Строительная механика корабля.- Д., 1971.- вып. 161.

85. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 712 с.

86. Разработка методики, алгоритмов и программ для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов. Отчет о НИР (заключит.) / Каледин В.О. и др. № ГР 01850039154. Новокузнецк: Сиб.металлург, ин-т, 1985. 102 с.

87. Рассоха A.A. О деформировании армированного волокна слоистого композита вблизи свободной поверхности / A.A. Рассоха, A.A. Капустин, В.О. Каледин // Прикладная механика. 1984. - т.ХХ. - № 9. - С.91-97.

88. Рейтман М.И. Методы оптимального проектирования деформируемых тел / М.И. Рейтман, Г.С. Шапиро М.: Наука, 1976 - 266 с.

89. Розин Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭВМ. Метод конечных элементов / Л. А. Розин Л.: Энергия, 1971. - 214 с.

90. Савин Г.М. Напружений стан для улипсоидальной порожени / Г.М. Савин, Ю.М. Подильчук // Доклад АН УССР. А №1. - 1968. - С. 69-72.

91. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений /A.A. Самарский, Е.С. Николаев -М.: Наука, 1978. 592 с.

92. Самарский A.A. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщёнными решениями / A.A. Самарский, Р.Д. Лазаров, В.Л. Макаров -М.: Высш. Шк., 1987.- 296 с.

93. Самарский A.A. Теория разностных схем / A.A. Самарский- М.: Наука, 1977.-656 с.

94. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л.Сегерлинд М.: Мир, 1979.-392 с.

95. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем / Под общ. ред. А. П. Филина. -Л.: Судопромгиз, 1961. 876 с.

96. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Г. Фикс- М.: Мир, 1977.-349 с.

97. Сухарев И.П. Экспериментальные методы исследования деформаций и прочности / Сухарев И.П. -М.: Машиностроение, 1987.

98. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач /Ф. Сьярле-М.: мир, 1980.-512 с.

99. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / Под. общ. ред. В.Д. Купрадзе и др.- М.: Наука, 1976. 664 с.

100. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред /К. Трусделл М.: Мир, 1975.-592 с.

101. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы / Р. Тьюарсон-М.:Мир, 1977. -189 с.

102. Уилкинсон Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра / Уилкинсон, Райнш; Пер. с англ.- М.: Машиностроение, 1976 392 с.

103. Ухов С. Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов / С. Б. Ухов М.: (МИСИ им. В. В. Куйбышева), 1973. - 118 с.

104. Расчет геомеханических параметров сопряжений горных выработок /В.В. Фрянов, Т.В. Петрова, В.Г. Лаврик, С.Р. Ногих // Новокузнецк: СибГИУ, 1998.- 158 с.

105. Хейгеман Л. Прикладные итерационные методы / Л. Хейгеман, Д. Янг; Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 448 с.

106. Цветков А.Б. Математическое моделирование поля напряжений в неоднородном массиве горной породы / А.Б.Цветков // Информационные технологии в экономике, промышленности и образовании. Вып. 4. М.: Электрика, 2001. -С. 19-22.

107. Цвик Л.Б. О невязках сопряжения перемещений и напряжений в задачах о сопряжении и контакте упругих тел / Л.Б. Цвик // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 268.-Вып. 3. - С.570-574.

108. Цвик Л.Б. К выбору параметров итерационных методов сопряжения решений в контактирующих телах / Л.Б. Цвик, Л.М. Пинчук, В.К. Погодин // Проблемы прочности. №9. - 1985. - С.112-115.

109. Укрепление отверстий и статическая прочность осесимметричных штуцерных узлов / Л.Б. Цвик, Б.А. Щеглов, С.И. Федотова, Е.Г. Борсук // Проблемы137машиностроения и надёжности машин. №1. - 1993.

110. Черепанов Г.П. Напряжения в окрестности эллипсоидальной выработки в горном массиве / Г.П. Черепанов, В.М. Самольский//Проблемные вопросы механики горных пород Алма-Ата: Наука, 1972 - С. 36-65.

111. Черноусько Ф.Л. Вариационные задачи механики и управления / Ф.Л. Чер-ноусько, Н.В. Баничук -М.: Наука, 1973,- 238 с.

112. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей / Н.Н Шабров.- Д.: Машиностроение, 1983. 212 с.

113. Шардаков Н.Н. Метод геометрического погружения в теории упругости / И.Н Шардаков, Н.А. Труфанов, В.П. Матвеенко Екатеринбург: УрО РАН, 1999.-298 с.

114. Экспериментальная механика: В 2-х книгах: Книга 1. Пер. с англ. /Под ред. А. Кобаяси. М.: Мир, 1990. - 616 с.

115. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц М: Наука. 1969, 420 с.

116. Эшелби Д. Континуальная теория дислокаций / Д. Эшелби М.: Изд. Ин.мат., 1963. - 248с.

117. Argyris J.H. Energy theorems and structural analysis / J.H.Argyris // Aircr. Engng., 26, 137, - Oct. 1954; 27, 145, May 1955.

118. Barla G. A method for the analysis of stress in brittle rock / G.Barla // Int. J. Rock Mech. and Mining Sci. Vol. 9. - No. 1. - 1972.

119. Clough R.W. The finite element method in structural mechanics — Stress Analysis. / Ed. О. C. Zienkiewicz and G. S. Holister. Wiley, 1965. 420 c.

120. Fredholm I. Sur une classe d'equations fonctionelles, Acta Mathematica, 27, 365-390(1903).

121. Green G. An assay on the application of mathematical analysis to the theory of electricity and magnetism / G, Green -Nottingham, 1828.

122. Irons B.M. A frontal solution for finite element analysis / Irons B.M. // Intern. J. Numerical Methods Eng. 1970. - № 1. - P. 5-32.

123. Kassir M.K. Some three-dimentional inclusion problems of elasticity / M.K.138

124. Kassir, Sir G.C. // International journal Solids and Structures, 1968, 4, №2, 127146.

125. Kicher T.P. Optimum design-minimum weight wersus fully stressed / T.P. Kicher "Pro. / ASCE. J. Struct. Div.", 1966.- v.92.- No.6.- P. 265-279.

126. Melosh R.J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method / Melosh R.J. J. Am. Inst, for Aeronautics and Astronautics , 1965.- 1.-P. 16311637.

127. Sendeckyi D. Ellipsoidal inhomogeneity problem / D. Sendeckyi // Ph.D. Dissertation. Northwestern University, Evanston, 1967.

128. Senseny P.E. Comparison of calculational approaches for structural deformation in jointed rock / P.E. Senseny, D.A. Simons // Int. J. Num. and Anal. Meth. Ge-omech. 1994. - 18, № 5. - P. 327-344. - Англ.

129. Sternberg E. Stress concentration around a triaxial ellipsoidal cavity / E. Sternberg , M. A. Sadowsky//Journ. of Appl. Mech. v. 16,- №2 - 1949.-P. 149-156.

130. Tsuchida Eiichiro. Stress concentration around a spherical cavity in a semiin-hinite elastic body under uniaxial tension / Eiichiro Tsuchida, Ichiro Nakahara. -Bull/ ISME. 1974, 17.-№112, 1207-1217.

131. Stiffness and Deflectuin Analysis of Complex Structures / M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp, J. Aeronaut. Sci.- №23. - 1956, P. 805-824.

132. Stimpson В., Chen Rui. Measurement of rock elastic moduli in tension and in compression and its practical significance // Can. Geotechn. J. 1993. -30, № 2. - P. 338-347. - Англ.

133. Zienkiewicz O.C. The finite element method in engineering science / O.C. Zien-kiewicz -Me Graw-Hill, London, 1971. 367 p.