Внешнегеометрические свойства некоторых седловых поверхностей евклидова пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ6 од

î П : ' ДЧ ' САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Нэ правах рукописи УДК 514.772

АНДРЕЕВ ПАШ ДМИТРИЕВИЧ

ВШаНЕГБОМЕГРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СЕДЛОЕЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

01.01.04 - reuHtfipiM в ТОПОЛОГИЯ

А в торвфврат

диссертации ва соискавиэ утоноа ствшни кандидата физико-математических наук

Сгнкг-Патврбург IOT2

Работа выполнена на кафедре геометрии - - Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена.

Лаучньа руководитель - доктор физико-математических - наук

профессор Бернер Алексее Леонидович.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических ваук ■ профессор Позняк Э.Г. (МГУ) . кандидат физико-иаюиаиических ваук Подран В.Е. <НПМ. г. Новгород)

Ведущая организация - Математический инстггут Еоссиаско*

Академии Наук ш. В.А.Стамоаа, Петербургское отдален». (ПОМИ)

Защита диссертации состоится щ2йщ 05 1903 г. в час на заседании Специализированного Совета К.083.67.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наух в Санкт-Штербургскоы государственном университете (адрес Совета: 1988041 Санкт-Петербург. Ст.Штергоф, Библиотечная пд., 2, математико-маханическиа факультет СШу).

Защита будет проходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, 27, 3-й этап, зал 311 (поиецэню ПОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

им. A.M.Горького Санкт-Петербургского государственного университета. Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан *2$>щ 1093 г.

Учэныа секретарь Специализированного Сонета

Р.А.Вмвдт

-3-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В геометрии поверхностей в евклидовом пространстве исторически выделились как самостоятельные теории два основных направления: теория выпуклых поверхностей,-. несущих метрику положительной кривизны и теория седловых поверхностей. Последниэ в размерности объемлющего пространства три имеют отрицательную кривизну, а в большей размерности имеют отрицательные секционные кривизны в некоторых двумерных направлениях.

Теория поверхностей отрицательной кривизны берет свое начало с работы Й.Адамара*, где рассматривались вопроси топологического строения и внешнего диаметра таких поверхностей. С тех пор вопросам, сопряженным с теорией седловых поверхностей, уделяли внимание ряд исследователей, такие как Д.Гильберт, Н.В.Ефимов, Э.Р.Розендорн, А.Л.Вернер и др.

Исследования А.Л.Вернера*'3 посвящены изучению седловых поверхностей со взаимно однозначным сферическим отображением и сужающихся седловых поверхностей. Здесь приведена классификация сферически однолистных поверхностей отрицательной кривизны, которая включает описание таких поверхностей па их топологическому типу и по характеру уходов на бесконечность. В случае, когда сед-ловая сферически однолистная поверхность гокеоморфна цилиндру и н имеет рог, ее расположение а пространство и другие внешнегео-кэтрические свойства изучены в достаточной степени, однако остальные случаи требуют отдельного исследования.

* Hadanard J. J. uth, pures et appl. 5 (1898), "А.Л.Вернер. Ыатем. сб. 74:2(1067), 75:1(1868)

*А.Л.Вернер. Сиб. ват. журнал 11:1(1970).

-4В семидесятых годах встала проблема обобщения результатов теории поверхностей отрицательной кривизны в Е3 на случай гиперповерхностей в пространстве большего числа измерений и на случай поверхностей с большей коразмерностью. Часть вопросов рассматривалась В. Е. По драном*, Ю.Г.Крячковым3'", Г.Я.Перельманом7и ещз рядом авторов. 1ем не менее количество вопросов, требующих своего разрешения, остается большим.

В настоящей диссертации рассмотрены некоторые. внепквгео-кетрические свойства седаовых поверхностей, которые, как представляется автору, позволяет сделать шаги к решению некоторых открытых вопросов.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучить влияние внепнегеометрических условна, таких, как седаобразность, строгая седлообразность, особенности сферического изображения на внутреннюю геометрию поверхности, в частности на поведение ее уходящих областей.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации широко используются, метода отсечения горбудок, разработанные А.Л.Вернером, изучение особенностей полеа направлений на поверхности, а такш катода дифференциальной теометрш поверхностей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы следующие:

I). Разработаны метода построения гиперповерхностей в ЕГ нетривиального топологического типа, имеющих невырожденную вторую

4В.Е.Подран. Укр. гвом. сборник. 1878, вып.22.

"Ю.Т.Крячков. Совреаенная геометрия. Л. 1981.

"Ю.Г.Крячков.. йсслэдования по теории риыановых многообразий и их погружений. Л. 1885.

'Г.Я.Перельман. Препринт ЛОМИ АН СССР. л. 1888.

квздратичнуга форму;.

2). Введен класс а-полувыпуклых поворгпостоя и сферическое изображение нерегулярных гиперповерхностей в ЕГ. Классифицированы а-полувыпуклые седловые поверхности, имеющие взаимно однозначное факторное сфзрическсе, отображение. Изучено строение сфзрического образа для произвольной точки такой поверхности.

3). Введено понятие индекса изолированной нерегулярной точки па поверхности отрицательной кривизны в Е3. Для ■ случая специального задания поверхности сделана оценка сверху, величины тшсого индскса при уелозга, что точка - седловая.

4). Изучены внешнегеометрическиэ свойства седгового рога в Е" - граница сферического и грассманова' образа такого рога, ого предельный цилиндр и его образ при проективных преобразованиях.

5). Доказана невозможность строго седлового рога в Е* в некотором специальном задании с однозначной проекцией на 2-пгоскость в направлении 2-плоскости, содэркащей направление рога.

6). Приведен пример строго седлового рога в Е*, не допускающего явного задания над 2-плоскостью.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти приложения в дифференциальной геометрии подмногообразий евклидова пространства и других пространственных форм "в целом".

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Результаты диссертации обсувдалнсь на кафедральных семинарах кафедры геометрии РГПУ имени А.И.Герцена и кафедры мат. анализа и геометрии Поморского государственного годагопиеского университета ' (г. Архангельск). Первый параграф опубликован в .межвузовском: сборнике "Задачи геометрии п долом .дал погрукюшшх гшогообразм". По вопросам диссертации были сделаны

доклада на ix всесоюзной геометрической конференции в г. Кишиневе, на международной научной конференции "Лобачевский .и современная геометрия" 1992г. в г. Казани, на Ломоносовских чтениях 1991 и 1992 г. в г.Архангельске, а также на Герцэновских чтениях в РГПУ г. С.Петербург.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликованы в работах ill -

15).

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы, включающего 25 наименований. Полный объем диссертации - 89 страниц. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается постановка задач и приводится обзор содержания диссертации.

В 61 показывается, что известное утверждение о многообразии топологических типов поверхностей отрицательной кривизны в Е3 может быть обобщено на случай гиперповерхности в Е" и указаны метода построения, примеров гиперповерхностей с невырожденной второй квадратичной формой: склеивание поверхностей и сглаживание ребер в месте склейки, вращение поверхностей вокруг плоскостей симметрии и метрическое перемножение поверхностей. Здесь в частности доказана

ТЕОРЕМА I Пусть в пространстве Е" дана гиперповерхность г, обладающая следующими свойствами:

I> f симметрична относительно некоторой гиперплоскости

2) а разбивает f на даа конгруэнтных куска, каждая из которых однозначно проектируется на а;

3) f имеет невырожденную вторую квадратичную форму.

Тогда поверхность Ф, полученная вращением f вокруг а имеет

невыровденную вторую квадратичную форму.

В §2 определены д-полувыпуклыа гиперповерхности в Е". Гипарповэрхность г называется а-полувыпуклой дяя гиперплоскости а, если она служит границей а-полувыпуклого тела, т.е. тела, вез сечения которого плоскостями, параллельными а, выпуклы. Ддя таких поверхностей в случае их кусочной гладкости определено сферическое изображение, которое, вообще говоря, отображением не является. Построенное здесь сферическое изображение поверхностей является обобщенней на невыпуклыа случая сферического изображения выпуклы* поверхностей, рассмотренного А.Д.Александровым0. Плоскости, играющие роль опорных плоскостей в диссертации названы квззигангенциальными. В теореме 3 описан сферический образ точки, принадлежащей пеособому множеству уровня фупкции высоты на поверхности относительно а, т.е. такому множеству уровня, которед само является выпуклой (п-2)-поверхностью.

ТЕОРИИ 3. Сферический образ точки х есть связная

замкнутая фигура Ф на сфере, расположенная на полусфэре, граница которой содержит полюса м и 5 - концы единичных дакторов, перпендикулярных а; О мошт содержать полюса н и э, но провидел п множества Ф\<н,2г> на экваториальную сферу э^"1 из полюсов еоть замкнутая выпуклая фигура на являющаяся сферическим образом точки х во множестве д(0) (см. тан же), но имеющая точек на границэ полусферы з"'1, внутри которой ' лежит Ф. При прое1Шфовании п прообраз каждой точки веп(Ф) ость связное множество, замкнутое в топологии 5"~4<н,£>, то есть точка, замкнутая

*А.Д.Александров. Внутренняя • геометрия выпуклых поверхностей. Гостехиздат. 1948.

дуга или дуга, имеющая один или оба полюса в качестве предельных точек.

Теорема 4 описывает сферический образ точки на граница особого множества уровня. В параграфе помимо введенного сферического изображения рассматривается ■ факторное сферическое отображение пространства

В - ((x,v), х<=м""*, v - внешняя квазинормаль к f в точке х> по отношению эквивалентности

" т: (^.v^T^.v,) «-» V v« И Па1Ь1 <W И <W J®SaT в одной компоненте связности прообраза вектора ve-evt-evj при отображении

M«X,v» - ves"-4. .

Выполнена классификация седловых существенно а-полувьтуклых гиперповерхностей со взаимно однозначным факторным сферическим отображением по их топологическому строению и по строению и количеству особых и топологически особых .множеств уровня. В частности доказана

ТЕОРЕМА 2'. Пусть f - описанная выше поверхность, имеющая не более двух особых или топологически особых множества уровня М>\) ¿-ITS причем в случав наличия двух таких множеств часть поверх-, ности Ath^wh^) гомеоморфа s*"**»*, и в каждом особом уровне при прохождении через пего множество уровня претерпевает перестройку. Тогда сферическое изображение поверхности f является факторным вложением.

Утвервдэниэ, что л(ь) претерпевает перестройку означает, что при малых с одно из множеств л{ь-е), л(и+с) гомеоморфно к1"*, а второе - sn~*KR.

-9В §3 рассматриваются поверхности отрицательной кривизны в Е®, имевдиэ изолированную нерегулярную точку. Ивдэксом изолированной нерегулярной точки 0 на такой поверхности называется индекс j (0) особенности одного из шести стандартных гомотопных друг другу шлеи направлений, например, индекс одного из полей асимптотических направления.

Это определение согласуется с определенней Н.В.Ефимова" порядка седяообразности й регулярной точке поверхности в том смысла, что если точка о регулярна или слабо нерегулярна (определение слабой нерегулярности см. Э.Р.Розвядорн10), то значение ео порядка седяообразности, в этом случае совпадает с величиной

»(О) - I - J(O)

В случав регулярной поверхности этот результат впервые отмечен К.Фоссом", правда в качестве индекса точки в ото работа рассматривался индекс поля градиента функции, задающей поверхность в окрастности рассматриваемся точки. Дяя слабо нерегулярной поверхности такая связь порядка седяообрайности и индекса откачена о указанной работе Э.Р.Розецдорна.

В случав некоторого, специального задания поверхности имеется следующая оценка для индекса j(o). пусть в окрестности изолировав-ной нерегулярной точки 0 поверхность f однозначно проектируется на некоторую плоскость и в полярных координатах р ф ва этой плоскости допускает явное задание в виде графика Функции

г - а{ф)р 4 Ь(ф)р* 4 o(fi'),

"Н.В.Ефимов. Труда Матем. ин-та АН СССР 1949.

,0Э.Р.Розендорн. УМН 21: б (1966)

"Voss К. CoMmnt. Math, Itolv. 33:2(1950).

гда о<р*) - бесконечно малая функция, причем ее производные по ф до второго порядка так ш являются бесконечно малыми по переыэвнаа р, порядка, большего, чем р1, а функция' ь принимает нулевое значение лишь в изолированных точках.

ТЕОРЕМА б. Пусть г - определенная выше поверхность, причем в ее регулярных точках кривизна отрицательна. Тогда если точка о -седювая, т.е. ве допускает опорной плоскости к поверхности г, то

.»(о) 4 1,

Н посвящен изучению локальных свойств • строго садаавых поверхностей в Е4. Здесь перечислены основные их авалотичосккэ л геоштричаскю свойства и признаки строгой седюобразности, В частности, доказана

ТЕОРЕЫА 6, Строго седювая поверхность имеет локально топологическое сферическое отображение, то есть для любой точки. И ц для любого вектора п«имр существует окрестность пары (Ц,п)«в, для которой отображение является вложением. Обратно, если сферическое отображение поверхности г в окрестности точки И локально топо-логично, то точка М - седювая.

Кроме того, а случае задания поверхности г в ввдэ ^графика системы уравнений

и - и(х,у)

у - у) (I)

показано, что для лзобого замкнутого контура г на плоскости вращения полеа (г> и т»^) равны. Здесь ь ~ параметр вдоль контура г, V - нормальные отображения поверхностей - проекщй} р на гиперплоскости *,у,и и к,у,*, а тр^О - их дифференциалы.

В §б изучаются шешэгеомвтриадскиэ свойства седдового рога в Е". Доказана

ТЕОРЕМА 7. Пусть т - содловой рог в Г и пусть ^"'сЕГ"1 -сфера единичного радиуса, лэжащая в гиперплоскости <*о, ортогональной направлению рога т. Тогда граница его сферического образа

ГТ -

о

и ео следствие:

СЛЕДСТВИЕ. Граница ут грассмзнова образа рога т ложиг на некоторой (п-2)-мерной сфере Еп"2св(п-2,|0 единичного радиуса и имеет непустое пересечение с любой сферой юадизэя танк»

единичный радиус.

Следующая теорема позволяет сделать вывод о строении проекции рога на гиперплоскость, ортогональную его напрэвлэнию.

ТЕОРЕМА 8. Пусть г - произвольный пояс на оедяовом роге т в Е", гг;т >-. Е""1 - поверхность в Е*"1, являодзяся проекцией т в его направлзнии. Тогда п<т) лежит внутри выпуклой оболочка проекции "(г).

Еыполним проективное про образованно, шроводадео бесконечно удаленную точку в направлении рога в ■ собственную точку о. в результата образом рога т будет содловая поверхность г с изолированной отсекаемой нерегулярной точкой о. Предположим, что г одназначво проектируется на некоторую 2-плоскость х4оха и при этом остальные координаты .... и полярных координатах р,ф выражаются в виде

у} - а,{ф)р ■* Ь,{ф)р* + о(р3), (2)

где а., ь. и о.(р9) - функции, такие ш как в §3. В этом случае образом предельного цилиндра рога т. служит контингенция поверхности р в ее изолированной нерегулярной точке.

Если возможно такое задание для проективного образа рога, то этот рог назван простейшим.

§8 посвящен изучению простейшего рога в Е*.В статье Г.Я.Пе-рольмана13 построен пример поверхности в Е*, имеющей седаовыо рога. Однако эта поверхность не шляется строго седловой, так как вдоль каждого рога проходят линии, в кавдой точке которых размерность пространства вторых квадратичных форм не максимальна-. а1м£12> ° I. Сферическое отображение поверхности в этих точках теряет свою регулярность, а проекции поверхности на пшэрплфскоста имеют точки уплощения.

Появление подобшх особенностей - явление не случайное, шоэрсшоеть р, имеющая рог, однозначно проектирующийся на некоторую гиперплоскость в вида поверхности, которую можно дополнить до седловой поверхности, допускающей задание (2), нэ макет быть строго сздаовоа и обладает линиями, уходяэдши на

, ч

бесконечность и имеющими двукратное ветвление сферического отображения Более того, если . рог является простейшим л допускает явное задание, все сказанное вьшэ остается в силе. Сфорлулируем зтот результат в ввде теоремы.

ТЕОРЕМА 9. Пусть г - седяовая поверхность в Е*. заданпая в вида (I) и имеющая рог т, -удовлетворяющий одному из двух следующих условий: I) рог т проектируется на гиперплоскость, перпендикулярную его направлению в ввдэ поверхности, которую можно дополнить до поверхности, допускающей задание в ввдэ (2), или 2) т - простейший рог. Тогда вдоль рога на бесконечность уходят линии, вдоль которых пространство вторых квадратичных фора одномерно и неориентированное сферическое изображен® поверхности, г икает двулистное ветвление.

"Г.Я.Шраяьман. Укр. геом. сборник. 1050, вып. 32.

Данная теорома может бьггь расценена как основной результат диссорггации. В ©э доказательстве сущзствошто работают теоремы, доказанные в предыдущих параграфах, хотя кз:хдый га шя носит независимая характер. В зтом смыслз Теорема 9 является срязуг:;::м звеном диссертации.

Условие явного задания поверхности в еэ формулировке во может быть отброшено: в диссертации построен пример поверхности в Е4, икеющеа строго седяовоа простевший рог, но допускающий задания в вида (I).

. Работы автора по теме диссертации

III. О классификации сферически однолистных поверхностей в Е*. Тезисы докладов IX Всесоюзной геометрической конференции. Кктшев 1988.

12). Примеры -полных веодносвязных сод.тапьгх поверхностей с невырожденной второй квадратичной формой. Задачи геометрии в цело1,: для погруженных многообразий. Межвузовски сборник научных трудов. СШ., 1991.

СЗ). О строго седаовом роге в четырехмерном евклидовом пространстве. Лоионоораскиэ чтения. Тезисы докладов научной конференции. Архангельск 1991

(4). Появление особенностей при сферическом отобраетязш сод-лового рога в Е*. Международная научная конференция "Лобачевски* и современная геометрия".Казань 13-22 августа 1892 г.Тезисы докладов.

15). Аналитические условия строгой седлообрзгзосгта поверхности вЕ4. Ломоносовские чтения. Программа я тезисы научной конференции 16-19 ноября 1982 г.