Вопросы динамики символических систем на решетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 Введение

2 Инвариант глубины для символических каскадов

3 Глубина центра. Новое решение задачи Виркгофа для систем со счетным фазовым пространством

4 Новое решение задачи Виркгофа для потоков и полупотоков

5 Связь и различия глубины и глубины центра. Препятствия к полной классификации

6 Инвариант глубины для действий конечнопорожденных абелевых групп на счетных фазовых пространствах

7 Глубина счетных подмножеств топологических марковских цепей

8 Двумерная топологическая марковская цепь, являющаяся аналогом модели ферромагнетика Изинга

9 Улучшенная оценка отвечающего фазовому переходу числа состояний в модели Бертона-Стейфа

Настоящая работа посвящена рассмотрению вопросов, тесно связанных с проблемой топологической классификации символических динамических систем на решетках. Изучаются одномерные и многомерные топологические марковские цепи (ТМЦ) и их свойства. Для этого используются следующие две основные методики.

Во-первых, исследуются счетные замкнутые инвариантные относительно заданного действия подмножества исследуемой системы. На этом пути удается получить некоторую информацию как о самих этих подмножествах, так и об исходной системе. Кроме того, исследование абстрактных счетных замкнутых трансляционно инвариантных подмножеств пространств бесконечных односторонних или двусторонних последовательностей оказывается полезным и при рассмотрении динамических систем несимволического происхождения — например, диффеоморфизмов многообразия, имеющих гиперболическую структуру. Как пишет Д. В. Аносов в своей работе [1], топологический бернуллиевский каскад всегда реализовывается как гиперболическое множество некоторого гладкого каскада (один из возможных способов такой реализации — надстройка над подковой Смейла). Таким образом, счетные замкнутые инвариантные символические системы дают пример динамических систем, которые, с одной стороны, сравнительно, легко поддаются изучению, а с другой стороны, при изучении которых вскрываются многие общие свойства динамических систем с гиперболической структурой.

Здесь и далее под счетными символическими системами мы понимаем ограничения заданного действия на счетные подмножества пространства последовательностей (в многомерном случае — конфигураций), составленных из символов некоторого фиксированного алфавита. Напомним, что при рассмотрении ограничения действия Т на множество М последнее называют фазовым пространством динамической системы (М,Т). Таким образом, счетные символические системы — это символические динамические системы со счетным фазовым пространством.

Во-вторых, для рассматриваемых ТМЦ изучаются меры максимальной энтропии. В одномерном случае, как хорошо известно ([22], [23]), ТМЦ всегда имеет единственную меру максимальной энтропии, называемую в этом случае мерой Пэрри. В многомерном случае это оказывается, вообще говоря, неверным. В частности, имеются примеры неприводимых многомерных ТМЦ, имеющих ровно две меры максимальной энтропии. Неединственность меры максимальной энтропии дает довольно много информации о поведении системы уже хотя бы в силу того, что с физической точки зрения она означает наличие в системе фазового перехода.

В соответствии с приведенной выше схемой, материал настоящей работы можно условно разбить на две части. В §2-7 рассматриваются символические динамические системы со счетными фазовыми пространствами, а также системы, получаемые надстройкой над таковыми. В §8 и 9 изучаются многомерные топологические марковские цепи.

Нужно сразу оговориться, что проблема полной классификации счетных символических систем относительно топологической сопряженности остается нерешенной. Однако некоторых результатов здесь удается добиться при помощи рассмотрения двух инвариантов коммутативных групповых действий на счетных замкнутых инвариантных фазовых пространствах. Первый из них называется глубиной такого действия, второй — его глубиной центра. (Во избежание недоразумений скажем сразу, что схожие по звучанию термины "глубина" и "глубина центра" — совсем разные понятия. Если С — центр некоторой счетной символической системы, то глубина С и глубина центра исходной системы, вообще говоря, никак не связаны между собой. Словосочетание "глубина центра" следует воспринимать как единый термин.)

Оба инварианта принимают значения в множестве не более чем счетных ординальных чисел (или, согласно устаревшей терминологии, в множестве порядковых чисел не выше трансфинитных чисел второго класса). Для каждого из них исследуется множество возможных значений. Оказывается, что для произвольного не более чем счетного ординального числа а найдется счетная замкнутая трансляционно инвариантная символическая система, глубина центра которой равна а. В то же время не существует счетных замкнутых инвариантных систем, глубина которых была бы предельным трансфинитным числом (т.е. порядковым числом, не имеющим непосредственного предшественника); все остальные счетные ординальные числа реализовываются как глубины некоторых систем рассматриваемого вида. Соответствующие утверждения доказываются в §2 — для глубин на пространствах последовательностей, в §3 — для глубины центра и в §6 — для глубины в общем случае коммутативных групповых действий на счетных фазовых пространствах.

Задача о нахождении множества возможных значений глубины центра имеет долгую историю и восходит к Дж. Виркгофу. В 1926 году в статье [2] он сформулировал ее как задачу о нахождении множества счетных ординальных чисел, которые могут реализовываться как порядковые числа множеств центральных траекторий некоторых динамических систем (по этому поводу смотри также статью Биркгофа [3] и его монографию [4]). В конце 1940-х — начале 1950-х годов А. Г. Майер дал ответ на поставленный вопрос, приведя в цикле работ [5]-[8] построение потоков с фазовыми пространствами, вложенными в К3, имеющих произвольные (наперед заданные) глубины центра. Потоки, сконструированные Майером в [8], определены целиком в полнотории и задаются при помощи дифференциальных уравнений вида

Ьх ■ Х^хих2,х3), ¿ = 1,2,3, правые части которых Х{(х1,х2, х3) непрерывны и удовлетворяют условию Липшица. Изложение конструкции Майера имеется также в книге В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [11].

Таким образом, теорема, приведенная в §3, эквивалентна теореме, доказанной Майером. Однако конструкция Майера, на взгляд автора, довольно громоздка и тяжела. За счет использования методов символической динамики в §3 удается получить новое решение задачи Биркгофа, представляющееся автору более простым и наглядным по сравнению с построением Майера.

Новое решение задачи Биркгофа в ее классической формулировке (для потоков и полу потоков, фазовые пространства которых вложены в евклидово пространство) приводится в §4. Соответствующие потоки и полупотоки получаются при помощи стандартной процедуры надстройки над канторовым совершенным множеством и построенных в §3 примеров счетных замкнутых инвариантных пространств последовательностей (соответственно, двусторонних и односторонних), ограничения на которые преобразования сдвига имеют заданную глубину центра. По поводу конструкции надстройки смотри [13], [14], [15], [17].

Со времени выхода работ А. Г. Майера предпринималось много попыток усилить его результаты либо модифицировать понятие глубины центра и изучать родственные ему инварианты. Так, Л. П. Шильниковым [9] был построен пример динамической системы, вкладываемой в трехмерное евклидово пространство, которая задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с бесконечно дифференцируемыми правыми частями; для этой системы порядковое число /Зс (модификация глубины центра) превышает любой наперед заданный счетный трансфинит. Различные варианты понятия глубины центра для потоков класса С°° на открытых ориентируемых двумерных поверхностях изучались также Д. Нейманом (Dean A. Neumann, [10]). Однако вводимый в настоящем тексте инвариант глубины динамической системы (смотри §2 и 6) является новым и впервые изученным автором в работах [29], [30]. В статье [31] приводится новое решение задачи Биркгофа, основанное на тех же методах, что были использованы при изучении глубины.

Очевидно, что множество всех не более чем счетных ординалов несчетно. Поэтому введение каждого из инвариантов глубины и глубины центра разбивает пространство всех счетных замкнутых трансляционно инвариантных символических систем на несчетное множество классов (с равными глубинами либо глубинами центра) так, что представители различных классов не сопряжены друг другу. Тем не менее, даже совместное рассмотрение глубины и глубины центра не дает полной топологической классификации динамических систем описанного вида. В §5 приводится пример двух несопряженных друг другу систем, глубины которых совпадают и глубины центра которых также равны. Более того, полностью классифицировать удается лишь системы глубины 1 (но этот случай тривиален); уже для случая глубины 2 возникают существенные трудности, а для глубины 3 имеется пример (смотри §5) счетной серии попарно несопряженных систем, производные которых совпадают. В §5 строится дополнительный инвариант, различающий все системы из упомянутой серии, но и с его помощью проблему полной классификации решить не удается.

Кроме того, в §5 исследуется связь глубины и глубины центра. Рассматривается множество совместных значений глубины и глубины центра на счетных замкнутых инвариантных системах. Приводится оценка, выражающая их друг через друга.

Как уже отмечалось раньше, материал §6 представляет собой обобщение конструкции инварианта глубины на "многомерный" случай — на случай действия произвольных конечнопорожденных абелевых групп на счетных фазовых пространствах. При этом, хотя построение и имеет много общего с конструкцией глубины на пространствах последовательностей (смотри §2), возникает большое количество нюансов, не имевших места в "одномерном" случае. Так, в §6 изучается новое существенное свойство счетных замкнутых инвариантных символических систем, названное однородностью.

В §7 рассматриваются одномерные топологические марковские цепи. В связи с проблемой классификации, изучается вопрос о том, какие счетные ординальные числа могут реализовываться как глубины счетных замкнутых инвариантных подмножеств данной ТМЦ. Иными словами, здесь на случай произвольных ТМЦ переносится вопрос, рассмотренный в §2 и 6 для полного сдвига Бернулли. Оказывается, что условия неприводимости и нетривиальности ТМЦ достаточно для того, чтобы множество глубин ее допустимых подмножеств совпало со множеством всех возможных глубин — со множеством всех не более чем счетных непредельных ординальных чисел.

Основную часть §8 занимает переложение для двумерного случая конструкции Р. Бертона и Дж. Стейфа, построивших в [25] пример неприводимой многомерной (для любой размерности й > 2) топологической марковской цепи, имеющей ровно две меры максимальной энтропии. В одномерном случае, как уже говорилось выше, такой пример построить невозможно. Для упомянутого примера вначале выписываются две различные меры максимальной энтропии, а затем доказывается, что других мер максимальной энтропии не существует.

Дополнительный интерес к предложенной Бертоном и Стейфом ТМЦ объясняется тем, что с физической точки зрения их пример является в некотором смысле аналогом ферромагнетика Изинга (в котором, как известно, начиная с размерности 2 имеется фазовый переход). Таким образом, доказанное явление неединственности меры максимальной энтропии для рассматриваемой ТМЦ согласовывается с физическим опытом.

В своей работе [25] Бертон и Стейф приводят оценки (зависящие лишь от размерности) на число состояний в рассматриваемой ТМЦ, при котором неединственность меры максимальной энтропии имеет место. Однако они сами неоднократно подчеркивали, что их оценки являются очень грубыми и явно завышенными. В §9 приводится несколько соображений, позволяющих в двумерном случае улучшить примерно в 10 раз оценку на нижнюю границу множества состояний, отвечающих явлению фазового перехода.

Автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям академику РАН заведующему отделом Дифференциальных Уравнений Математического Института им. В.А. Стеклова РАН профессору Д.В. Аносову и доктору физико-математических наук профессору кафедры Теории Функций и Функционального Анализа Механико-Математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова А. М. Стёпину за постановку ряда задач, указание возможных способов их исследования и внимание к работе. Автор также благодарит всех участников семинара по динамическим системам и эргодической теории, проходящего на механико-математическом факультете, за ценные замечания и полезные советы, способствовавшие улучшению содержания настоящего текста и устранению из него ошибок и опечаток.

1. D.V. Anosov. Remarks Concerning Hyperbolic Sets. \\ Journal of Mathematical Sciences, 1996, Vol. 78, No. 5, pp. 497-529.

2. G.D. Birkhoff. Ueber gewisse Zentralbewegungen Dynamischer Systeme. Ges. Wiss. Gottingen Nachr., Math-Phys. Klasse (1926), pp. 81-92.

3. G.D. Birkhoff. Some unsolved problems of theoretical dynamics. \\ Science, 1941, vol. 94, pp. 598-600. (Русский перевод имеется в приложении к книге 4]).

4. Дж. Д. Биркгоф. Динамические системы. M.-JL, Гостехиздат, 1941.

5. А.Г. Майер. Об одной задаче Биркгофа. \\ Докл. АН СССР, 1947, т. 55, №, стр. 477-479.

6. А.Г. Майер. О траекториях в трехмерном пространстве. \\ Докл. АН СССР, 1947, т. 55, №7, стр. 583-585.

7. А.Г. Майер. О порядковом числе центральных траекторий. \\ Докл. АН СССР, 1948, т. 59, №8, стр. 1393-1396.

8. А.Г. Майер. О центральных траекториях и проблеме Биркгофа. \\ Мат. сборник, 1950, т. 26, №2, стр. 265-290.

9. Л.П. Шильников. К работам А.Г. Майера о центральных движениях. \\ Математические заметки, 1969, т. 5, №3, стр. 335-339.

10. D.A. Neumann. Central Sequences in Dynamical Systems. \\ American Journal of Mathematics, 1978, Vol. 100, No. 1, pp. 1-18.

11. B.B. Немыцкий, B.B. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л., ГИТТЛ, 1949, 2-е изд.

12. В.P. Kitchens. Symbolic Dynamics: One-sided, Two-sided and Countable State Markov Shifts. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1998.

13. В.М. Алексеев. Символическая динамика. Сборник "Одиннадцатая математическая школа", Киев, 1976, стр. 5-210.14. 3. Нитецки. Введение в дифференциальную динамику. М., Мир, 1975.

14. Р. Воуэн. Методы символической динамики. Серия "Математика: новое в зарубежной науке", вып. 13. М., Мир, 1979.

15. S. Smale. Differentiable Dynamical Systems. \\ Bulletin of American Mathematical Society, 73, No. 6 (1967), pp. 747-817. (Имеется русский перевод:С. Смейл. Дифференцируемые динамические системы. \\ УМН, 25, вып. 1 (1970), стр. 113-185.

16. Д. Орнстейн. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. Серия "Математика: новое в зарубежной науке", вып. 8. М., Мир, 1978.

17. П. Виллингслей. Эргодическая теория и информация. М., Мир, 1969 (с дополнением: В.М. Гуревич, Я.Г. Синай. Алгебраические автоморфизмы тора и цепи Маркова).

18. И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, С.В. Фомин. Эргодическая теория. М., Наука, 1980.

19. П.Р. Халмош. Лекции по эргодической теории. М., ИЛ, 1959.

20. К. Престон. Гиббсовские состояния на счетных множествах. Серия "Математика: новое в зарубежной науке", вып. 7. М., Мир, 1977.

21. Н. Georgii. Gibbs measures and phase transitions. De Gruyter, New York, 1988.

22. Я.Г. Синай. Теория фазовых переходов. М., Наука, 1980.

23. R. Burton, J.E. Steif. Nonuniqueness of Measures of Maximal Entropy for Subshifts of Finite Type. \\ Journal of Ergodic Theory and Dynamical Systems, 1994, vol. 14, No. 2, pp. 213-235.

24. R. Carmona, H. Kesten, J.B. Walsh. Lecture Notes in Mathematics. 1180, Springer-Verlag, New York, 1984.

25. H. Kesten. Percolation Theory for Mathematicians. Birkhauser, New York, 1982.

26. S. Ross. Stochastic Processes. Wiley, New York, 1983.

27. C.A. Шаповалов. Сопряженность символических динамических систем не более чем со счетным фазовым пространством. \\ Вестник Московского Университета, серия математическая, 1997, №3, стр. 35-39.

28. С.А. Шаповалов. Инвариант глубины для групповых действий на счетных фазовых пространствах. \\ Математические Заметки, 1999, т. 65, вып. 6, стр. 893-907.