Вопросы интегрируемости уравнений движения твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа.

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Периодические решения, асимптотические поверхности и неинтегрируемость в гамильтоно-вых системах.

§ 3. Периодические и асимптотические решения уравнений Кирхгофа.

§ 4. Вычисление определяющего интеграла.

§ 5. Теоремы о расщеплении сепаратрис и неинтегрируемости в задаче о движении твердого тела в жидкости.

§ 6. Замечания о неинтегрируемости уравнений вращения твердого тела в осесимметричном поле сил.

Глава П. Интегрируемость и неинтегрируемость гамильтоновых систем вблизи положения равновесия.

§ 7. Метод нормализации Биркгофа.

§ 8. Неинтегрируемость систем, зависящих от параметра.

Задача интегрирования (в квадратурах при том или ином выборе допустимых функций) систем дифференциальных уравнений, описывающих обычно поведение какой-либо механической системы, всегда была в сфере интересов многих математиков и механиков. Знание всех переменных задачи как функций времени и начальных значений (то есть, знание общего решения) позволяет получить полную картину поведения системы и исследовать его особенности.

Возможность получения общего решения в явном виде тесно связана с наличием достаточного числа первых интегралов (имеются в виду глобальные первые интегралы - полный набор локальных существует, вообще говоря, всегда). Для автономных гамильтоновых систем с L степенями свободы Лиувиллем была доказана теорема о возможности интегрирования в квадратурах при наличии L первых интегралов в инволюции /~377 (такие системы называются вполне интегрируемыми).

Правда, отнюдь не всегда квадратуры, которые включают в себя вычисление интегралов (а они могут не выражаться через элементарные функции) и обращение функций, являются обозримыми и цредстав-ляют какую-нибудь практическую ценность (не считая их ценности с точки зрения методологической). Однако даже в этом случае о поведении исследуемой системы можно узнать довольно многое. Оказывается, в условиях теоремы Лиувилля можно также утверждать /~27, что фазовое пространство расслаивается на к-мерные многообразия, которые в случае, когда они компактны, являются торами и несут на себе условно-периодические траектории. Вследствие такой картины переменные задачи являются, вообще говоря, квазипериодическими функциями времени, а этот факт, в свою очередь, позволяет привлечь для качественного описания движения системы хорошо известные свойства квазипериодических функций и интегралов от них.

К сожалению, интегрируемых систем в некотором смысле мало. Скажем, типична следующая ситуация: система зависит от некоторого параметра и интегрируема лишь при изолированных значениях параметра. Поэтому ясно, как важно уметь отличить интегрируемую задачу от неинтегрируемой. Доказать интегрируемость можно лишь предъявив полный набор интегралов в инволюции. Доказывать же неинтегрируемость можно несколькими способами. Первые и, тем не менее, фундаментальные результаты здесь принадлежат А.Пуанкаре £33j. Им предложена теорема о неинтегрируемости гамильтоновых систем, близких (в смысле значений некоторого параметра) к интегрируемой. А.Пуанкаре также показал, что неинтегрируемость связана с характером поведения некоторых особых траекторий - периодических и асимптотических решений. Недавние результаты, касающиеся приложения указанных идей к задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки /~167, /~147, еще раз доказали их плодотворность.

В последнее время, в частности, получил развитие так называемый метод расщепления сепаратрис (асимптотических поверхностей), также восходящий к А.Пуанкаре. В работах /~17,44,14,157 доказаны теоремы о расщеплении (несовпадении) асимптотических поверхностей, их взаимном пересечении и связи такого рода явлений с неинтегрируемостью гамильтоновых систем.

Очень часто в различных задачах особый интерес вызывает поведение траекторий гамильтоновых систем в окрестности положения равновесия или периодической траектории. Это, например, связано с вопросами устойчивости. К первому случаю (он может быть автономным или неавтономным) часто приходят после понижения порядка системы, производимого с помощью первых интегралов. При наличии "циклического" первого интеграла пониженная система является автономной, если редукция выполняется с его помощью.

Наиболее важен и интересен в приложениях случай, когда все собственные числа линеаризованной автономной гамильтоновой системы чисто мнимы и различны. При этом условии существует каноническое преобразование (вообще говоря, формальное), которое приводит гамильтониан к нормальной форме Биркгофа /~б7. Сходи -мость нормализующего преобразования тесно связана с интегрируемостью, однако она установлена лишь при достаточно частных условиях /~497.

Целью настоящей работы является применение упомянутых выше методов исследования воцроса об интегрируемости гамильтоновых систем к классической задаче о движении твердого тела в жидкости и близкой к ней задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в пустоте в осесимметричном потенциальном поле, в частности, в поле, силовая функция которого является квадратичной формой по направляющим косинусам.

В первой главе диссертации дается ответ на вопрос о существовании дополнительного (к трём классическим) первого интеграла уравнений Кирхгофа- уравнений, описывающих движение по инерции твердого тела, поверхность которого односвязна, в безграничном объёме идеальной жидкости. Правые части исследуемых уравнений и их известные первые интегралы (энергии, площадей и тривиальный) являются полиномами от переменных задачи, поэтому естественно поставить задачу о возможности существования дополнительного первого интеграла в классе аналитических функций.

Уравнения движения твердого тела в жидкости были выведены в работах /""42,46J. В работах /~"46,437 были найдены первые интегралы и указаны некоторые случаи интегрируемости. В монографии £ЪЪJ приведен обзор результатов, касающихся данной задачи (включая полную постановку задачи). В частности, дан полный перечень известных случаев интегрируемости.

Отметим работу /~317> в которой с помощью метода Пенлеве (см. /~9,47) доказано, что общее решение уравнений Кирхгофа может быть однозначным на всей плоскости комплексного времени лишь в известных случаях интегрируемости. Заметим, что к настоящему времени однозначность общего решения исследована не во всех интегрируемых случаях.

Уравнения Кирхгофа зависят в общем случае от 15 параметров. При условии различия всех трех главных моментов инерции системы тело-жидкость, в главе I доказана теорема, что кроме случаев Клеб-ша и Стеклова других интегрируемых случаев нет. Доказательство проводится методом расщепления сепаратрис.

В первом параграфе приведена постановка задачи. Показано, что в уравнения Кирхгофа можно ввести малый параметр и рассматривать их как возмущение уравнений интегрируемого случая Эйлера. В § I упоминается также аналогия уравнения Кирхгофа с уравнениями вращения твердого тела с неподвижной точкой в поле сил с потенциалом, являющимся квадратичной формой относительно направляющих косинусов. Эта аналогия была впервые отмечена В.А.Стекловым /~507. Во втором параграфе изложены необходимые для дальнейшего сведения из теории А.Пуанкаре периодических и асимптотических траекторий, сформулированы теоремы о расщеплении сепаратрис и неинтегрируемости в гамильтоновых системах. Третий параграф посвящен доказательству существования периодических и асимптотических к ним траекторий возмущенных уравнений Кирхгофа. В § 4 вычисляется оцределяющий интеграл. Это позволяет применить теоремы § 4, и в пятом параграфе формулируются и доказываются теоремы о расщеплении и пересечении сепаратрис задачи Кирхгофа и Основная теорема о неинтегрируемости в общем случае уравнений Кирхгофа. § б содержит аналогичные результаты в приложении к задаче о вращении твердого тела в осесимметричном поле сил.

Вторая глава диссертации посвящена изучению вопроса о возможности нормализации в окрестности положения равновесия гамильтониана, зависящего от параметра. В § 7 излагается вкратце метод нормализации Биркгофа /~6,127 в случае независимых частот. Затем в § 8 доказывается существование (формального) нормализующего цреобразования в случае, когда частоты зависимы, при наличии дополнительных первых интегралов и приводится теорема о неинтегрируемости. Доказательство основано на следующей идее /~197» Если частоты зависимы, то возможность нормализации оцределяется тем, обращаются ли в ноль некоторые коэффициенты (их называют резонансными) в разложении гамильтониана в окрестности положения равновесия. Из существования полного набора независимых первых интегралов вытекает (прямое вычисление), что все резонансные коэффициенты равны нулю. Доказанная теорема применяется в § 9 к задаче о движении динамически симметричного твердого тела, что дополняет результаты первой главы.

В третьей главе диссертации проводится качественное исследование движения твердого тела в рассмотренных задачах в интегрируемом случае Клебша. Вначале рассмотрена задача о вращении твердого тела около неподвижной точки. В § 10 содержатся формулировки и краткие доказательства утверждений о поведении углов Эйлера, распространяющих на общий случай теоремы В.В.Козлова полученные им при изучении интегрируемых случаев Ковалевской и Горячева-Чаплыгина /~20,217. В § II показывается, как в случае равенства нулю константы площадей можно уравнения движения задачи Клебша привести к уравнениям на инвариантных торах. Здесь же вычисляется число вращения получаемой динамической системы. § 12 содержит доказательства утверждений о характере изменения во времени углов Эйлера. Получено, что углы прецессии и собственного вращения в зависимости от констант интегралов обладают главным или средним движениями. При обращении в ноль константы площадей, эти характеристики движения вычисляются в явном виде. В завершающем § 13 дается геометрическая интерпретация вращения твердого тела около неподвижной точки в случае Клебша. Отметим, что исследование Е.И.Харламовой этого движения было выполнено при условии равенства нулю константы площадей /"397. Показывается также, что в задаче о движении твердого тела в жидкости имеет место аналогичная картина для вращения его вокруг начала подвижной системы координат. Затем изучается вопрос о движении в пространстве этой точки и, тем самым, даётся полное геометрическое описание движения твердого тела в жидкости в случае Клебша. Полученные результаты согласуются в "механической" интерпретацией движения твердого тела, предложенной С.А.Чаплыгиным /~40,417.

В заключении приведены формулировки основных теорем и результатов, полученных в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /~22, 29,301 и докладывались на совместном заседании семинара по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики им. И.Г.Петровского и Московского математического общества, посвященном памяти И.Г.Петровского, в январе 1982 г.

Нумерация параграфов сквозная. Система ссылок следующая: ссылки вида (2.5), (7) обозначают соответственно формулу (5) в § 2, формулу (7) текущего параграфа. Ссылка вида п.2 обозначает пункт 2 (указываемого или текущего) параграфа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные полученные в диссертации результаты.

Уравнения Кирхгофа, описывающие движение твердого тела по инерции в идеальной жидкости, неинтегрируемы в общем случае, если главные моменты инерции системы тело-жидкость различны (§5).

Уравнения вращения твердого тела около неподвижной точки в поле сил, потенциал которого является квадратичной формой относительно направляющих косинусов, интегрируемы лишь в случае Клебша (§ б).

Функция Гамильтона зависящей от параметра канонической системы приводится в окрестности положения равновесия к нормальному виду Бирк>гофа при всех значениях параметра, если существует полный набор первых интегралов, низшие формы в разложении которых независимы при всех значениях параметра (§8).

Уравнения движения динамически симметричного твердого тела в поле сил с квадратичным потенциалом, записанные в гамильтоновом виде, не допускают приведения к нормальной форме (§9).

Углы прецессии и собственного вращения, задающие ориентацию твердого тела, когда оно вращается в поле сил с квадратичным потенциалом в случае Клебша, обладают, в зависимости от констант первых интегралов, средним или главным движением (§ 12).

Вращательное движение твердого тела в жидкости в случае Клебша тождественно вращению некоторого твердого тела (с "приведенными" параметрами) вокруг неподвижной точки в пустоте в поле сил с квадратичным потенциалом. Поступательное движение представляет собой постоянный "дрейф" (в смысле главного значения) по направлению вектора импульсивных сил (§ 13).

1. Аппель П. Теоретическая механика, т.П. - М.: Физматгиз, 1.60, 488 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1979, 432 с.

3. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. ДАН, 1964, т. 156, № I, с. 9-12.

4. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела,- М.: Наука, 1977. 328 с.

5. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965, 416 с.

6. Биркгоф Дж. Динамические системы. М. - Л.: Гостехиздат, 1941, 320 с.

7. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М.: ИЛ, 1963, 224 с.

8. Бор Г. Почти периодические функции. М.-Л.: Гостехиздат, 1934, с.128.

9. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953, 288 с.

10. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. Киев.: Наукова думка, 1978, 296 с.

11. Градштейн И.С., Вжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов произведений. М.: Физматгиз, 1962, 1100 с.

12. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959, 300 с.

13. Зигель К.Л. Об интегралах гамильтоновых систем. Математика, 1961, т.5, № 2, с. I03-II7.

14. Зиглин С.JI. Р&сщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела. Труды ММО, 1980, т.41, с. 287-303.

15. Зиглин С.Л. Самопересечение комплексных сепаратрис и несуществование интегралов в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы, ПММ, 1981, т. 45, вып. 3, с. 564-566.

16. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, I960, 232 с.

17. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиль-тоновой механике. УМН, 1983, т.38, вып. I, с. 3-67.

18. Козлов В.В. Несуществование дополнительного аналитического интеграла в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Вестн. МГУ, сер. математ.--мех., 1975, № I, с. I05-II0.

19. Козлов В.В. Несуществование аналитических интегралов вблизи положений равновесия гамильтоновых систем. Вестн. МГУ, сер. матем.-мех., 1976, № I, с. II0-II5.

20. Козлов В.В. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Ковалевской. ПММ, 1975, т. 39, вып. I, с. 24-29.

21. Козлов В.В. 0 качественном анализе движения твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина. ПММ, 1977, т.41, вып.2, с. 225-233.

22. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. ДАН, 1982, т.266, № 6, с. 1298-1300.

23. Лагранж Ж. Аналитическая механика, т. I. М.-Л.: Гое-техиздат, 1950, 594 с.

24. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -- М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 472 с.

25. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодическихпо времени возмущениях. Труды ММО, 1963, т.12, с. 3-52.

26. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965, 184 с.

27. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973, с. 167.

28. Новиков С.П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ), I. Функц. анализ, 1981, т.15, вып.З, с. 54-66.

29. Онищенко Д.А. Приведение к нормальной форме уравнений канонической системы, зависящей от параметра. Вестн. МГУ, сер. матем.-мех., 1982, № 3, с. 78-81.

30. Онищенко Д.А. Поведение углов Эйлера в задаче Клебша. МГУ им. Ломоносова. М., 1983, 17 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ АН СССР 31 окт. 1983 г., $ 5893-83 Деп.).

31. Погосов Г.С. Применение метода Пенлеве к уравнениям Кирхгофа. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. МГУ им. Ломоносова. М., 1941, У, 36 с.

32. Погосян Г.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил. ПММ, 1979, т.43, № 3, с. 419-428.

33. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды, т.1. М.: Наука, 1971, 772 е.; Т.П. - М.: Наука, 1972, 1000 с.

34. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976, с. .576.

35. Стеклов В.А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков, 1893, 234 с.

36. Беляков В.М. и др. Таблицы эллиптических интегралов, т.П.-М.: Изд-во АН СССР, 1963, ХП, 784 с.

37. Уиттекер Е.Г. Аналитическая динамика. М.-Л.: ОНТИ, 1937, 500 с.

38. Харламов М.П. Интегральные многообразия приведенной системы в задаче о движении по инерции твердого тела с неподвижной точкой. Механика твердого тела, К., 1976, вып.8.

39. Харламова Е.И. О движении твердого тела вокруг неподвижной точки в центральном ньютоновском поле сил.Изв. Сиб.отд. АН СССР, 1959, $ 6, с. 7-17.

40. Чаплыгин С.А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости. Статья I. М., 1894. Собр. соч., т.1, М.-Л., 1948, с. .136-193.

41. Чаплыгин С.А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости. Статья П. М., 1897. Собр.соч., т.1. М.-Л., 1948,с. 194-31I.•

42. CteflicL A. VSti Jie Be^t^tc^ eLtie-з Ettipzoides In, elnei iiop-f ёа ten -Hell.-J. iLe/te octiJ cuti^ei^'. M&tk.)8c/. SI , //. I , S. S03-</5 2.

43. CeeSic/i A, VSti Jie eine$ Хоърег* Iyl elnei Ftiiaifl leitMolIL. Ahh.,1. U4J ? &cl. 3, J. IM-Hl.44. Cctik man R. ВуссмрРез of

44. Xd№e (LKOi^^ilc Ra miti on,ia/t -ireciot -fie6<Ji <лritk ко jma^C diirliot*. Гг&т.1. Amet. M&ik. j К 136, p.

45. Dev-aney R. L> Тъаиигеыаб howocdt-YiU otiiti in. an initqxoL&Pe t^liem.

46. Uet. I MaiL, 13U,/. SOO, /1/3, 6Ц .

47. Ki^cLLo-f-f G. R% J/Sei die Веигедьскд. elfic5 RotalioniLdipeti Lueinet leit.-J, teine and ancjeixr. M ai k.; WW,

48. Ко hit г F Viet die Bewegtcitg tl\tei -fetieit Koipeti Ik tlnet £eii.-J. геиit vLKd a natter. Math.,d. JOS, И. J&.Si-M; H.l9$. i3-Hi.

49. KoU M. U ptoMemt de 6a Zoiaiioin J'clh cotpt olulIouli d}uk poiki -fiXCr !t>u,£e. A>c. MaiL Ftcth.cej p. мо-му.

50. R ii 14 matt //. V4et dad /ь GLHCL£qii-$ckei tt&MiitokLicke г Dlf-fetetb-Ь Lai ^leickocn^tn in. dei A/i.ke eluet1. Crlelc. кcje bfi с L iitb1. Mo. £ к.jU JSlf, Л l&s-zoo.

51. Si e Ив о <r у. A. RemcLt^e зосг a hiрхо^еме de Свев-лск €e mouvt we ntc/Vk CVtpi Sotidt dcLh.6 u.it Cic^LLide ihdeei зиг ie ргобСемс c/e M. de Atutt.

52. Compiex. tcthdin, J30SL; ./. , p. S26

53. We get //. /U-t^e/l c/«.с/ег Tk^ia.-fu-tbHioiteti zweiiet VeicLndetC icket 6th. d die TkeotLe <Jei &е<де$ ttug tlh.ti ■feiieib Кдгрегб Lk einet F£ usiigAciir AfcU. 4/UW, BeLib, i.us-ioe.