Вычисление корреляционных функций квантовой хромодинамики в голографических моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное унитарное предприятие «Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики» им. А. И. Алиханова

Крикун Александр Андреевич

Вычисление корреляционных функций квантовой хромодинамики

^ 2 4 НОЯ 2011

в голографических моделях

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

005003553

Москва 2011 г.

005003553

УДК 530.145

Работа выполнена в ФГУП «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Горский А. С.

(ФГУП «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва)

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, Теряев О. В.

(ОИЯИ, г. Дубна)

Защита диссертации состоится 13 декабря 2011 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 201.002.01 в конференц-зале ИТЭФ по адресу: г. Москва, ул. Б. Черемушкинская, д. 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Также диссертация и автореферат доступны по запросу через электронную почту krikun@itep.ru.

Автореферат разослан «11» ноября 2011 г. Ученый секретарь диссертационного------

доктор физ.-мат. наук Захаров В. И. (ФГУП «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва)

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН, (г. Москва)

кандидат физ.-мат. наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Построение модели, описывающей низкоэнергетическую динамику адронов, является одной из важнейших задач в теоретической физике на протяжении десятилетий. Неприменимость теории возмущений в квантовой хромодинамике (КХД) при низких энергиях требует развития новых непертурбативных подходов к теории и разработки различных эффективных моделей. Надёжное непертурбативное описание КХД требуется для исследования адронных вкладов в сечения рождения частиц на коллайдерах, в частности на ЬНС, а также для исследования поведения кварк-глюонной плазмы во внешнем поле в экспериментах по столкновению тяжёлых ионов, таких как ШПС. Понимание структуры вакуума КХД важно для исследования космологических объектов, например нейтронных звёзд.

Голографические модели квантовой хромодинамики являются самым современным методом непертурбативного описания низкоэнергетической физики адронов. Эти модели, базирующиеся на теории суперструн, дают возможность исследовать динамику квантовой теории поля посредством изучения дуальной теории супергравитации в многомерном пространстве. На сего-

дняшний день общепризнанной и полной голографической модели КХД не существует. Тем не менее, огромные усилия научного сообщества брошены на её разработку, и предложено множество вариантов её построения. В этих условиях особенно важными являются вычисления в голографической модели, которые можно сравнить с результатами других непертурбативных методов КХД. Это сравнение позволяет определить необходимые свойства модели и наметить направления дальнейшего её развития. Вычисления такого рода и стали основой настоящей работы.

Цель диссертационной работы

Вычисление корреляционных функций кварковых токов КХД и их операторного разложения в различных голографиче-ских моделях, изучение поведения корреляционных функций во внешнем магнитном поле и при конечной температуре, исследование голографических методов описания кирального и глюон-ного конденсатов, голографический анализ корреляторов нелокальных операторов теории поля.

Научная новизна

В работе получены следующие новые результаты:

1. В голографической модели получено операторное разложение двухточечного коррелятора аксиальных токов вплоть до членов,квадратичных по киральному конденсату.

2. Проведена проверка соотношения отщепления тяжёлого квар-

ка в голографических моделях типа Б3/Б7.

3. Получено выражение для магнитной восприимчивости квар-кового конденсата.

4. Построена голографическая диаграммная техника для пятимерных моделей.

5. Вычислен адронный вклад в дебаевскую массу фотона в слабом магнитном поле.

6. Голографически получено выражение для операторного разложения петли Вильсона в режиме сильной связи.

7. Обнаружено изменение рода фазового перехода в корреляторе петель Вильсона в присутствии глюонного конденсата.

Научная и практическая ценность работы

Результаты работы имеют большую теоретическую значимость для построения голографической дуальной модели КХД благодаря полученным ограничениям на вид действия модели, а также обнаруженным общим свойствам моделей. Практическая ценность работы заключается в разработанных методах использования голографических моделей для вычисления различных корреляционных функций: метода нормировки полей и конденсатов и диаграммной техники. Предсказанное в работе изменение дебаевской массы фотона во внешнем магнитном поле может быть обнаружено экспериментально. Результаты работы могут применяться в ОИЯИ, НИИЯФ МГУ, ИТФ им. Л. Д. Ландау, ИЯИ, ФИАН, ИТЭФ.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Получена нормировка полей в модели АсШ/КХД с "жёсткой стенкой", на основе чего зафиксирована величина кирального конденсата в модели и вычислено операторное разложение коррелятора левого и правого кварковых токов.

2. Зафиксирована нормировка полей и получены значения кирального и глюонного конденсатов в модели 03/07. С использованием этих результатов численно получено подтверждение выполнения в широком классе голографических моделей соотношения отщепления тяжёлого кварка.

3. Исследованы эффекты члена Черна-Саймонса в действии голографической модели, вычислена корреляционная функция двух векторных и одного аксиально-векторного токов в КХД. На основе сделанного вычисления получено выражение для магнитной восприимчивости кваркового конденсата в КХД.

4. Построена диаграммная техника в голографической модели, позволяющая вычислять любые корреляционные функции. Исследована роль голографического действия Черна-Саймонса в вычислении четырёхточечного коррелятора электромагнитных токов и получено выражение для коррелятора электромагнитных токов во внешнем поле при нулевой температуре.

5. Исследованы эффекты КХД в дебаевской массе экранирования при высокой температуре. С применением голографической диаграммной техники вычислены первые несколько членов теории возмущений для массы экранирования во внешнем магнит-

ном поле и предложен способ вычисления этой величины в любом порядке теории возмущений по внешнему полю.

6. Вычислено вакуумное среднее петли Вильсона в присутствие глюонного конденсата и получен коэффициент перед глюонным оператором в операторном разложении маленькой петли Вильсона в режиме сильной связи.

7. Численно исследовано влияние глюонного конденсата на фазовый переход Гросса-Оогури в корреляторе двух концентрических копланарных петель Вильсона. Обнаружено, что в зависимости от величины глюонного конденсата род данного фазового перехода может изменяться.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, на международных школах и конференциях: "48 Cracow School of Theoretical Physics: Aspects of Duality" (Закопане, Польша, 2008), "Fifth Aegean summer school. From gravity to thermal gauge theories: The AdS/CFT correspondence" (о. Милос, Греция, 2009), "Кварки-2010" (Коломна, 2010), "SFP10 - International School On Strings And Fundamental Physics" (Мюнхен, Германия, 2010), workshop "Large-N Gauge Theories" (Институт теоретической физики им. Галилео Галилея, Флоренция, Италия, 2011).

По материалам диссертации опубликовано б научных работ в ведущих зарубежных реферируемых научных журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 93 страницы, включая 8 рисунков и одну таблицу. Список литературы содержит 81 библиографическую ссылку.

Содержание работы

Во введении дан обзор существующих непертурбативных методов описания квантовой хромодинамики, а также вводятся голографические понятия и методы, используемые в работе.

В главе 2 исследуются две задачи, связанные с нормировкой голографических полей и конденсатов соответствующих операторов. В голографической модели с "жёсткой стенкой" можно вычислить поправки от кирального конденсата и массы кварков в операторном разложении коррелятора левого и правого токов. В первую очередь необходимо определить связь между киральным конденсатом и параметром классического решения для голографического скалярного поля. Модель с "жёсткой стенкой" содержит калибровочные векторные поля группы в 11 (2)1 х Би(2)[{ (Дь и Ал, соответственно) и скалярное поле в её бифундаментальном представлении Хав, дуальные левому, правому и скалярному токам кварков, соответственно. Объемлющим пространством является пространство Айвъ с метрикой

Ь2

¿52 = —(йх^йх^ - ¿г2)

(где Ь - радиус кривизны АсШ), в котором имеется жёсткая стенка, так что область допустимых 2 ограничена 0 < г < гт. Действие модели имеет вид

где А* - нормировочная константа поля X, которую можно зафиксировать, вычисляя двухточечный коррелятор псевдоскалярных токов и сравнивая его с лидирующим членом операторного разложения

ХхЬ ' - 3дГ Классическое вакуумное решение поля X имеет вид

1 1 , Хо[г) = 2тг + 2аг '

где т - масса кварка. Киральный конденсат в КХД определяется вариацией производящего функционала по т. Т.к. основным положением голографической дуальности является эквивалентность производящего функционала четырёхмерной теории поля и экспоненты классического действия дуальной модели, то достаточно взять вариацию по массе кварка от действия, вычисленного на классическом решении Х0. С учётом зафиксированной нормировки Ах киральный конденсат оказывается равен

<ад> = = -¿о.

Чтобы получить операторное разложение двухточечного коррелятора аксиальных токов Щ, требуется найти классическое решение, для аксиального поля (Аь — Ал). Его можно

вычислить методом последовательных приближений, считая а и т малыми параметрами. Коррелятор векторных токов Пу определяется в модели точно. В результате, операторное разложение двухточечного коррелятора левого и правого токов (Пьд = П,4 — Пу) в режиме сильной связи имеет вид

б а2 ___ег4 ат„

П - Мс

+ 279-

15 я6 V2 _

Видно, что модель даёт правильную зависимость коррелятора от Мс.

Второй задачей, описанной в главе 2, является проверка справедливости соотношения об отщеплении тяжёлого кварка в голографической модели Б3/Б7 с глюонным конденсатом. Соотношение связывает глюонный и киральный конденсаты для массивного кварка и имеет вид

(X

= -12

Для его проверки необходимо опять зафиксировать соотношения между конденсатами и параметрами модели. Кроме того, требуется рассматривать голографические модели с нетривиальным вакуумным решением дилатонного поля, потому что именно его нормируемая мода дуальна глюонному конденсату. Объемлющим пространством рассматриваемой модели 03/07 является десятимерное пространство Лиу-Цейтлина с метрикой

= ^ (йх1 + йг2 + *2сЮ2) и фоновыми полями дилатона и аксиона

= С = (/1_1)-1 - 1, ¡1-х = 1 +

Действие супергравитации имеет вид

5=/ - ¡^2 - " ^

Решая классическое уравнение движения для дилатонного поля вблизи границы АйЭ и подставляя решение в действие, можно вычислить двухточечный коррелятор оператора Оф, дуального дилатону, и установить его связь со скалярным глюонным оператором

о, - ).

После этого вариация классического действие по источнику Ьг{С'2) при нулевом импульсе даёт выражение для глюонного конденсата в модели

МО*)) = N1^ 4.

Аналогичную процедуру нормировки следует провести и с киральным конденсатом. Скалярному току кварков в модели 03/07 соответствует координата т вложения 07-браны в объемлющее пространство. Б7-брана описывается действием Борна-Инфельда

= 1

где = [(2тг)7д3а'^}~1 - натяжение 07-браны, а Р обозначает наведённую метрику. Вблизи границы Ад,Б вложение 07-браны, определяемое этим действием, имеет вид

ги(г) = го0 + гиг г2.

Действие для флуктуации ги есть

2тт2Ь4 Г Г 1 1

55 = / *** +

На его основе можно вычислить двухточечный коррелятор оператора Ои, и установить его связь с оператором с]д

Это позволяет теперь зафиксировать соотношения между массой кварка, киральным конденсатом и параметрами модели:

Выведенные соотношения справедливы для любой метрики объемлющего пространства, которая ведёт себя аналогично метрике Лиу-Цейтлина на границе Айв. Теперь можно численно найти решения для вложения 07-браны ги(г) в различных голографических моделях с глюонным конденсатом (Констебля-Майерса, Губсера, Лиу-Цейтлина) и, исследуя параметры этих решений, проверить соотношение отщепления. Это даёт результат

/

Констебль-Майерс 12.0078 ± 0.005 Губсер 12.25 ± 0.01

Л иу-Цейтлин 11.9192 ±0.0020

9Ыис2))

щ(дд)

Видно замечательное согласие этих результатов с ожидаемым

коэффициентом — = 12. Кроме того, универсальность

полученных результатов говорит о том, что соотношение отщепления тяжёлого кварка выполняется в голографических моделях

независимо от инфракрасных особенностей каждой конкретной модели.

Глава 3 посвящена задачам вычисления корреляционных функций во внешнем магнитном поле. Первая из них - определение магнитной восприимчивости кваркового конденсата. Восприимчивость можно вычислить как коэффициент операторного разложения коррелятора векторного и аксиального токов во внешнем поле. В рамках гипотезы о пионной доминантности это было сделано Вайнштейном, и результат имеет вид

1к± Х 8ТГ2/2-

Учитывая магнитное поле по теории возмущений, можно выразить коррелятор аксиального и векторного токов во внешнем поле, связанный с восприимчивостью, через вакуумный коррелятор аксиального и двух векторных токов, один из которых является током реального фотона. Для того чтобы вычислить такой коррелятор голографически, требуется добавить в действие модели член Черна-Саймонса Д5 = ¿^(Лг,) — где

т.к. он обладает требуемой чётностью. Подставляя в это действие решения для голографических полей и варьируя по трём источникам, можно получить искомую трёхточечную корреляционную функцию. Операторное разложение получается при подстановке в действие решения для аксиального поля, вычисленного с поправками от кирального конденсата и массы квар-

ков. При этом малым параметром следует считать комбинацию и проводить вычисления при не слишком большом импульсе (5 1180 МэВ. Результатом этого вычисления является выражение для магнитной восприимчивости кваркового конденсата в голографии

&ГЧГ

которое оказывается достаточно близко к оценке Вайнштейна. В этой связи интересно отметить, что голографическое вычисление имеет смысл в том же промежутке импульсов, что и вычисление в рамках гипотезы о пионной доминантности.

Вторая задача главы 3 связана с вычислением магнитной восприимчивости электрического тока, т.е. двухточечного коррелятора электромагнитных токов во внешнем поле. В лидирующем порядке теории возмущений восприимчивость описывается четырёхточечной корреляционной функцией электромагнитных токов. Для её голографического описания требуется выписать классическое действие в четвёртом порядке по источникам векторного поля, что требует вычисления классических решений вплоть до третьего порядка. Задача решается в пятимерной го-лографической модели, содержащей векторные калибровочные -поля, скалярное бифундаментальное поле и поле дилатона, с

действием

\24тг2/

2 J (V /\Fyf\Fj\ + УЛ^Л^ + АЛ^Л^)-- I + ^ + 6Х(г)\А - Зтг)2 + Л\дф)2)

Действие на классических решениях удобно представлять в виде суммы диаграмм, содержащих граничные и объёмные функции Грина голографических полей (рис. 1), где вершины определяются соответствующими функционалами в действии. Можно

аЬе - еЫ

* А'-гй

(Ь)

Рис. 1. древесные диаграммы, соответствующие классическому действию четвёртого порядка по граничным значениям векторных полей: а) обмен векторным бозоном, Ь) обмен аксиально-векторным бозоном, с) обмен дила-тоном, с!) векторная вершина четвёртого порядка.

показать, что из-за нормировки пропагатора дилатонного поля диаграмма, содержащая обмен дилатоном, всегда оказыва-

ется подавленной по А^. В случае четырёхточечного коррелятора электромагнитных токов вклад вносит только диаграмма с обменом аксиально-векторным бозоном, содержащая две вершины Черна-Саймонса, т.к. остальные диаграммы обращаются в нуль по групповым свойствам. В результате коррелятор двух электромагнитных токов во внешнем поле имеет вид

1 1 24 2262 + 64

^Ра\к2) Р^\к1)\ х

(^тШгпШв =

х(-6)^ I dzdz'Gjx,{z,z',Q)дMz',Q)дzv(z,QИz,UW,U),

где (РаХ) - дуальная напряжённость внешнего поля, а г', 0) и 0) - объёмный пропагатор аксиального поля и граничный пропагатор векторного поля, соответственно. Явный вид пропагаторов отличается в каждой конкретной гологра-фической модели. При этом оказывается, что в модели с "мягкой стенкой" диаграммное вычисление не имеет смысла, потому что объёмный пропагатор экспоненциально расходится при удалении от границы А(1Б, и теория возмущений становится неприменима. Модель с "жёсткой стенкой" даёт более удовлетворительный результат

= Р°\к2) Р^{кх) §д4(0.19 ГэВ-6).

НIV 71

Можно проверить, что это выражение слабо зависит от величины кирального конденсата и массы кварков, а значит, не связано с нарушением киральной симметрии. Однако оно существенно зависит от положения жёсткой стенки в модели, которое описывает нарушение конформной симметрии в КХД и конфайнмент.

Этим можно объяснить и неудовлетворительный результат модели с "мягкой стенкой", в которой описание конфайнмента проблематично. Стоит также отметить, что разработанная в связи с этой задачей голографическая диаграммная техника может, в принципе, применяться для вычисления корреляторов любых токов КХД любого порядка.

Последней задачей, обсуждаемой в главе 3, является задача об адронных поправках к дебаевской массе фотона при высокой температуре во внешнем магнитном поле. Дебаевская масса фотона связана с двухточечным коррелятором электромагнитных токов (поляризационным оператором фотона)

т20 = е^Поо(ш = О, Р = -тЦ

где

= I с14х

Для того чтобы проводить вычисления при конечной температуре (в фазе деконфайнмента КХД), требуется использовать го-лографическую модель в объемлющем пространстве с метрикой чёрной дыры

¿В2 = ~ (-/вн(г)М + ¿>х) + ^у—^Гу где !вн{г) = 1 -

и го - радиус горизонта чёрной дыры, связанный с температурой дуальной теории поля. В отсутствие магнитного поля дебаевская масса определяется второй производной квадратичного действия по источникам векторного тока и равна

™>э = у едт >

что совпадает с аналогичным результатом в КЭД.

Для того чтобы вычислить дебаевскую массу во внешнем поле по теории возмущений, можно использовать развитый в предыдущем разделе формализм голографических диаграмм. Ряд разложения по полю содержит диаграммы с растущим числом источников на границе (см. рис. 2). Все эти диаграммы в

Ув/ \у0 \'о/ \у0

+

А3 %

Аз

+. ..

•¿"12

*12

^12

Рис. 2. древесные диаграммы, соответствующие вычислению коррелятора токов во внешнем поле .

данной модели можно вычислить, зная граничные и объёмные пропагаторы голографических полей. Например, диаграмма 4-го порядка даёт

го

П00 ~ (е(1В)А ! (1г\(1г2(1г^гА х

о

х

0г[гъ иу*

дп дг2дг3 дп '

где Сг и бо - объёмные пропагаторы пространственной и временной компонент векторного поля, соответственно. В результате можно получить первые несколько поправок от магнитного поля в дебаевскую массу

гЬ

гпъ — е:—:Т

^ 6

1

е2В2 еАВ4

0.0089-^7- - 0.000021-—- + О

гр4

у8

5^!

у12

Аналогично вычисляется магнитная масса экранирования, которая оказывается равной нулю даже при наличии внешнего поля.

В главе 4 обсуждаются голографические вычисления, связанные с нелокальными операторами - петлями Вильсона. Как было показано Шифманом, вакуумное среднее маленькой петли Вильсона, если пренебречь пертурбативными поправками, можно представить в виде операторного разложения

где второе слагаемое определяется глюонным конденсатом, и ^-площадь петли. Аналог этого выражения, но в режиме сильной связи, можно получить голографически. Для этого требуется использовать модель, содержащую глюонный конденсат (например модель Лиу-Цейтлина), и вычислить в ней среднее от маленькой петли Вильсона. С голографической точки зрения петля Вильсона на определённом контуре С соответствует площади А(С) мирового листа классической струны, натянутого на данный контур на границе АйБ

Площадь поверхности мирового листа, в свою очередь, определяется действием Намбу-Гото в струнной калибровке

где д - метрика, наведённая на поверхности мирового листа. В отсутствие глюонного конденсата минимальная поверхность,

натянутая на круглый контур радиуса Я на границе чистого пространства Аг1Б, имеет вид полусферы и описывается в цилиндрических координатах функцией

2о(г) = у В? — г2.

Её площадь после вычитания линейной расходимости не зависит от радиуса петли и равна —Ь2. В метрике, возмущённой глгоон-ным конденсатом, можно вычислить поправку к этому результату и получить искомое слагаемое в операторном разложении петли

12лД К

где Л - константа связи т' Хоофта. Этот результат имеет тот же знак и ту же зависимость от Ис, что и выражение Шифмана, однако обладает другой зависимостью от Л. Это естественно, потому что голографические результаты всегда относятся к режиму сильной связи и не обязательно должны совпадать с ответами, полученными при слабой связи.

Аналогично можно установить, что в голографических моделях типа модели Сакаи-Сугимото (в основе которых лежит метрика стопки 04-бран) зависимость рассматриваемого члена операторного разложения от Л совпадает с результатом Шифмана.

Также в главе 4 исследуется коррелятор двух концентрических петель Вильсона в голографической модели с глюонным конденсатом и влияние конденсата на фазовый переход Гросса-Оогури. Для этого численно находятся минимальные поверхно-

сти, натянутые на два концентрических контура на границе. Они могут быть двух типов - односвязные, изоморфные полутору, и неодносвязные, изоморфные двум вложенным друг в друга полусферам. Фазовый переход Гросса-Оогури обусловлен тем, что при увеличении расстояния между петлями (задаваемого параметром го = агссовк (щ-к^)) площадь односвязной поверхности становится больше площади неодносвязной, в результате чего неодносвязная поверхность становится более выгодной. Кроме того, при определённой величине расстояния между петлями односвязное решение перестаёт существовать.

Г,

0.987 0.988 0.989 0.990 (Ь)

Рис. 3. площадь односвязной (сплошная линия) и неодносвязной (пунктирная линия) поверхности в зависимости от то-, а) при ф = 1 фазовый переход гладкий, Ь) при ф = 6 фазовый переход сопровождается скачком (жирная точечная линия показывает минимальную площадь).

В зависимости от величины глюонного конденсата ф ~ Л4(£г((?2)), можно следить за положением двух интересных точек на прямой то: т#, где односвязное решение перестаёт суще-

ствовать, и гс, где площадь односвязной поверхности становится больше площади неодносвязной. Случай, в котором тс > т*, изображён на рис. 3(а). Однако учёт глюонного конденсата смещает точку фазового перехода к большим расстояниям между петлями, а следовательно - меньшим тс. Это естественно, так как конденсат приводит к увеличению площади поверхности, причём площадь неодносвязной поверхности увеличивается сильнее, т.к. она распространяется глубже в объемлющее пространство, где влияние конденсата оказывается более существенным. При достаточно большом значении ф точка фазового перехода может достичь т*. Таким образом, может иметь место ситуация, при которой площадь односвязной области остаётся меньше площади неодносвязной при всех значениях то, при которых первая существует, как это показано на рис. 3(Ь). В этом случае фазовый переход происходит при го = г*, и изменение формы минимальной поверхности сопровождается скачком её площади. В результате переход Гросса-Оогури меняет свой род. В численных исследованиях было обнаружено, что такая ситуация действительно реализуется, и определено значение ф, при котором происходит изменение рода фазового перехода: фа- ~ 4.3. Интересно, что изменение рода фазового перехода происходит при размерах петель порядка обычного адронного масштаба ( ~ и может иметь отношение к низкоэнергетической физике адронов.

В Заключении подводятся основные итоги работы.

Публикации автора по теме диссертации

[1] A. Krikun, "On two-point correlation functions in AdS/QCD," Phys. Rev. D 77, 126014 (2008)

[2] J. Erdmenger, A, Gorsky, P. N. Kopnin, A. Krikun, A. V. Zayakin, "Low-Energy Theorems from Holography," JHEP 1103, 044 (2011).

[3] A. Gorsky and A. Krikun, "Magnetic susceptibility of the quark condensate via holography," Phys. Rev. D 79, 086015 (2009)

[4] A. Krikun, "Four-point correlator of vector currents and electric current susceptibility in holographic QCD," Phys. Lett. В 692, 36 (2010)

[5] A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. Krikun, "Anomalous QCD Contribution to the Debye Screening in an External Field via Holography," Phys. Rev. D83, 066012 (2011).

[6] P. N. Kopnin, A. Krikun, "Wilson loops in holographic models with a gluon condensate," Phys. Rev. D84, 066002 (2011).

Подписано к печати 20.10.11 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 1,5 Уч.-изд. л. 1,1 Тираж 100 экз. Заказ 579

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

1 Введение

1.1 Непертурбативный режим КХД.

1.1.1 Бег константы связи.

1.1.2 Эффективные лагранжианы.

1.1.3 Правила сумм КХД.

1.1.4 Разложение по числу цветов.

1.2 Голографические методы.

1.2.1 Ас18/СРТ дуальность.

1.2.2 Модель Б3/Б7.

1.2.3 Модель Б4/Б8 - Сакаи-Сугимото.

1.2.4 Модель с "жёсткой стенкой".

1.2.5 Модель с "мягкой стенкой"

1.2.6 Модель с конечной температурой.

2 Вакуумные конденсаты и двухточечные корреляторы

2.1 Нормировка голографических полей

2.2 Вакуумные конденсаты операторов.

2.3 Соотношение отщепления тяжёлого кварка

3 Корреляторы во внешних полях и многоточечные корреляционные функции

3.1 Магнитная восприимчивость кваркового конденсата.

3.2 Диаграммная техника и четырёхточечный коррелятор.

3.3 Коррелятор векторных токов во внешнем поле при конечной температуре

4 Петли Вильсона и глюонный конденсат

4.1 Операторное разложение петли Вильсона

4.2 Коррелятор петель Вильсона на фоне глюонного конденсата.

Среди всех известных науке типов взаимодействий элементарных частиц сильное, пожалуй, является самым сложным для теоретического описания. В то время как Квантовая Электродинамика (КЭД), описывающая электромагнетизм, демонстрирует рекордное по точности согласие теоретических расчётов с экспериментом, а электрослабая Стандартная Модель Вайнберга-Салама предсказывает все обнаруженные до сих пор на ускорителях элементарные частицы и не имеет никаких существенных разногласий с экспериментами, Квантовая Хромодинамика (КХД), квантовая теория сильного взаимодействия, ставит перед научным сообществом больше вопросов, чем даёт ответов.1 Достаточно хотя бы упомянуть, что объяснение конфайнмента (невылетания) кварков в КХД включено в список семи "задач тысячелетия", составленный математическим институтом Клэя.

Эта работа посвящена одному из наиболее современных подходов к описанию квантовой хромодинамики - голографическим моделям. Базирующиеся на теории суперструн, эти модели дают возможность исследовать динамику квантовой теории поля посредством изучения дуальной теории супергравитации в многомерном пространстве. Хотя голографическая дуальность между двумя теориями является лишь предположением, а не доказанным фактом, имеющиеся примеры дуальности между конформной суперсимметричной теорией Янга-Миллса и десятимерной супергравитации в пространстве Айв*, х 5У, (известной как Айв/СРТ дуальность) указывают на то, что это предположение верно.

На сегодняшний день общепризнанной и полной голографической модели КХД не существует. Тем не менее огромные усилия научного сообщества брошены на её разработку, и предложено множество вариантов её построения. Очень часто, предлагаемые модели оказываются эффективными при описании одних явлений в КХД, но дают неприемлемые результаты при попытке изучения других. Также многие модели имеют феноменологический характер, обладая большим числом свободных параметров, что сильно ограничивает их предсказательную силу. Большая часть пред-'В этом ряду, конечно, стоит упомянуть и четвёртое взаимодействие - гравитацию, однако квантовая теория гравитации на сегодняшний момент вообще ещё не построена, так что ситуация здесь ещё сложнее. сказаний, полученных в голографическом подходе, имеют качественный характер, и вычисление конкретных количественных результатов требует дополнительных исследований. В этой работе я проведу несколько вычислений в дуальных моделях КХД, результатом которых будут конкретные числа. Особенное внимание я уделю исследованию зависимости результатов от параметров исходной модели и параметров КХД. Сравнение параметрических зависимостей исследуемых величин в КХД и в дуальном подходе позволяет наложить существенные ограничения на дуальную модель, тем самым указывая, какими свойствами должна будет обладать окончательная полная голографическая модель квантовой хромодинамики.

Структура работы

Работа состоит из вводной главы и трёх глав, содержащих оригинальные результаты, выносимые на защиту. Во вводной главе в разделе 1.1 я делаю обзор существующих непертурбативных методов описания квантовой хромодинамики. Раздел 1.2 посвя-щён основным положениям Айв/СРТ дуальности и описанию методов построения дуальных моделей КХД в подходе "сверху- вниз" и "снизу-вверх ". В последующих главах, составляющих оригинальную часть работы, описанные методы и модели применяются для вычисления различных величин в КХД. Глава 2 посвящена вычислению двухточечных корреляторов токов КХД, фиксации нормировок голографиче-ских полей (2.1) и вычислению вакуумных ожиданий операторов (конденсатов) для проверки соотношения отщепления в КХД (2.2). В главе 3 рассматриваются задачи во внешних полях: вычислена магнитная восприимчивость кваркового конденсата КХД, связанная с трёхточечным коррелятором токов (3.1), построена диаграммная техника голографической модели для вычисления двухточечного коррелятора электромагнитных токов во внешнем поле (3.2), с применением полученной техники вычислена дебаевская масса фотона при высокой температуре в магнитном поле, получено выражение для массы в малом магнитном поле (3.3). В главе 4 рассматривается вычисление нелокальных операторов - петель Вильсона - в голографии и влияние ненулевого глюонного конденсата на вакуумное среднее одной петли (4.1) и на коррелятор двух концентрических петель (4.2)

5 Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Получена нормировка полей в модели АёЭ/КХД с "жёсткой стенкой", на основе чего зафиксирована величина кирального конденсата в модели и вычислено операторное разложение коррелятора левого и правого кварковых токов.

2. Зафиксирована нормировка полей и получены значения кирального и глюон-ного конденсатов в модели БЗ/07. С использованием полученных результатов

То численно получено подтверждение выполнения в широком классе голографи-ческих моделей соотношения отщепления тяжёлого кварка.

3. Исследованы эффекты члена Черна-Саймонса в действии голографической модели, вычислена корреляционная функция двух векторных и одного аксиально-векторного токов в КХД. На основе сделанного вычисления получено выражение для магнитной восприимчивости кваркового конденсата в КХД.

4. Построена диаграммная техника в голографической модели, позволяющая вычислять любые корреляционные функции. Исследована роль голографического действия Черна-Саймонса в вычислении четырёхточечного коррелятора электромагнитных токов, и получено выражение для коррелятора электромагнитных токов во внешнем поле при нулевой температуре.

5. Исследованы эффекты КХД в дебаевской массе экранирования при высокой температуре. С применением голографической диаграммной техники вычислены первые несколько членов теории возмущений для массы экранирования во внешнем магнитном поле и предложен способ вычисления этой величины в любом порядке теории возмущений по внешнему полю.

6. Вычислено вакуумное среднее петли Вильсона в присутствие глюонного конденсата и получен коэффициент перед глюонным оператором в операторном разложении маленькой петли Вильсона в режиме сильной связи.

7. Численно исследовано влияние глюонного конденсата на фазовый переход Гросса-Оогури в корреляторе двух концентрических копланарных петель Вильсона. Показано, что в зависимости от величины глюонного конденсата род данного фазового перехода может изменяться.

Благодарности

В завершениие работы мне хотелось бы выразить свою признательность моему научному руководителю А. С. Горскому за постоянную поддержку в моей работе и неоценимую помощь в выборе направления исследований. Я очень благодарен П. Н.

Копнину и А. В. Заякину, в тесном сотрудничестве с которыми получено большинство из представленных научных результатов, а также В. Михайлову, И. Денисенко и П. Хромову, вместе с которыми я постигал науку. Хочется поблагодарить также сотрудников ИТЭФ, создавших живую научную атмосферу и помогавших обсуждениями и советом, в особенности Э. Т. Ахмедова, В. И. Захарова, П. Буйвидовича, В. И. Шевченко, М. Трусова, Е. С. Суслову, А. Д. Миронова, А. Ю. Морозова, А. Жибоедова и А. Неделина.

1. J. Gasser and H. Leutwyler, "Chiral Perturbation Theory To One Loop," Annals Phys. 158, 142 (1984).

2. A. Pich, "Effective field theory: Course," hep-ph/9806303].

3. M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, "QCD And Resonance Physics. Sum Rules," Nucl. Phys. В 147, 385 (1979).

4. V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, "Are All Hadrons Alike?," Nucl. Phys. В 191, 301 (1981).

5. В. L. Ioffe, (ed.), V. S. Fadin, (ed.), L. N. Lipatov, (ed.), "Quantum chromodynamics: Perturbative and nonperturbative aspects," Cambridge, UK: Univ. Pr. (2010) 585 p.

6. G. 't Hooft, "A Planar Diagram Theory for Strong Interactions," Nucl. Phys. B72, 461 (1974).

7. A. V. Manohar, "Large N QCD," hep-ph/9802419]

8. J. M. Maldacena, "The Large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231-252 (1998). hep-th/9711200]

9. J. Polchinski "String Theory", Cambridge, UK: Univ. Pr. (2005)

10. K. Becker, M. Becker, J. H. Schwarz "String Theory and M-Theory: A Modern Introduction", Cambridge, UK: Univ. Pr. (2007)

11. O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, Y. Oz, "Large N field theories, string theory and gravity," Phys. Rept. 323, 183-386 (2000). hep-th/9905111].

12. E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253291 (1998). hep-th/9802150].

13. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from noncritical string theory," Phys. Lett. B428, 105-114 (1998). hep-th/9802109].

14. J. M. Maldacena, "Wilson loops in large N field theories," Phys. Rev. Lett. 80, 4859 (1998) arXiv:hep-th/9803002].

15. A. Karch, E. Katz, "Adding flavor to AdS / CFT," JHEP 0206, 043 (2002). hep-th/0205236].

16. J. Erdmenger, N. Evans, I. Kirsch, E. Threlfall, "Mesons in Gauge/Gravity Duals -A Review," Eur. Phys. J. A35, 81-133 (2008). arXiv:0711.4467 [hep-th]].

17. E. Witten, "Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 505-532 (1998). hep-th/9803131].

18. T. Sakai, S. Sugimoto, "Low energy hadron physics in holographic QCD," Prog. Theor. Phys. 113, 843-882 (2005). hep-th/0412141],

19. J. Erlich, E. Katz, D. T. Son and M. A. Stephanov, "QCD and a Holographic Model of Hadrons," Phys. Rev. Lett. 95, 261602 (2005) arXiv:hep-ph/0501128],

20. L. Da Rold and A. Pomarol, "Chiral symmetry breaking from five dimensional spaces," Nucl. Phys. B 721, 79 (2005) arXiv:hep-ph/0501218].

21. A. Karch, E. Katz, D. T. Son, M. A. Stephanov, "Linear confinement and AdS/QCD," Phys. Rev. D74, 015005 (2006). hep-ph/0602229].

22. O. Andreev and V. I. Zakharov, "Gluon Condensate, Wilson Loops and Gauge/String Duality," Phys. Rev. D 76, 047705 (2007) arXiv:hep-ph/0703010].

23. A. Karch, E. Katz, D. T. Son, M. A. Stephanov, "On the sign of the dilaton in the soft wall models," JHEP 1104, 066 (2011). arXiv:1012.4813 [hep-ph]].

24. S. A. Hartnoll, "Lectures on holographic methods for condensed matter physics," Class. Quant. Grav. 26, 224002 (2009). arXiv:0903.3246 [hep-th]].

25. A. Krikun, "On two-point correlation functions in AdS/QCD," Phys. Rev. D 77, 126014 (2008) arXiv:0801.4215 [hep-th]].

26. J. Erdmenger, A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. Krikun, A. V. Zayakin, "Low-Energy Theorems from Holography," JHEP 1103, 044 (2011). arXiv:1101.1586 [hep-th]].

27. H. Liu and A. A. Tseytlin, "D3-brane D-instanton configuration and N = 4 super YM theory in constant self-dual background," Nucl. Phys. B 553, 231 (1999) arXiv:hep-th/9903091].

28. A. L. Kataev, N. V. Krasnikov, A. A. Pivovarov, "Two Loop Calculations For The Propagators Of Gluonic Currents," Nucl. Phys. B198 (1982) 508-518. hep-ph/9612326].

29. N. R. Constable, R. C. Myers, "Exotic scalar states in the AdS / CFT correspondence," JHEP 9911, 020 (1999). hep-th/9905081],

30. S. S. Gubser, "Dilaton driven confinement," hep-th/9902155].

31. B. L. Ioffe and A. V. Smilga, "Nucleon Magnetic Moments And Magnetic Properties Of Vacuum In QCD," Nucl. Phys. B 232, 109 (1984).

32. I. I. Balitsky and A. V. Yung, "Proton And Neutron Magnetic Moments From QCD Sum Rules," Phys. Lett. B 129 (1983) 328.

33. I. Balitsky, A. V. Kolesnichenko and A. V. Yung, "On Vector Dominance In Sum Rules For Electromagnetic Hadron Characteristics. (In Russian)," Sov. J. Nucl. Phys. 41 (1985) 178 Yad. Fiz. 41 (1985) 282.

34. V. M. Belyaev and Y. I. Kogan, "Calculation Of Quark Condensate Magnetic Susceptibility By QCD Sum Rule Method," Yad. Fiz. 40, 1035 (1984).

35. A. E. Dorokhov, "V A V-tilde correlator within the instanton vacuum model," Eur. Phys. J. C 42 (2005) 309 arXiv:hep-ph/0505007],

36. A. E. Dorokhov, "Singlet V A V-tilde correlator within the instanton vacuum model," JETP Lett. 82 (2005) 1 Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 82 (2005) 3] [arXiv:hep-ph/0505196].

37. A. Vainshtein, "Perturbative and nonperturbative renormalization of anomalous quark triangles," Phys. Lett. B 569, 187 (2003) arXiv:hep-ph/0212231].

38. P. Ball, V. M. Braun and N. Kivel, "Photon distribution amplitudes in QCD," Nucl. Phys. B 649 (2003) 263 arXiv:hep-ph/0207307],

39. J. Rohrwild, "Determination of the magnetic susceptibility of the quark condensate using radiative heavy meson decays," JHEP 0709 (2007) 073 arXiv:0708.1405 [hep-ph]].

40. H. R. Grigoryan and A. V. Radyushkin, "Structure of Vector Mesons in Holographic Model with Linear Confinement," Phys. Rev. D 76, 095007 (2007) arXiv:0706.1543 [hep-ph]].

41. A. Krikun, "Four-point correlator of vector currents and electric current susceptibility in holographic QCD," Phys. Lett. B 692, 36 (2010) e-Print arXiv: 1003.1041 hep-ph].

42. A. Gorsky and A. Krikun, "Magnetic susceptibility of the quark condensate via holography," Phys. Rev. D 79, 086015 (2009) arXiv:0902.1832 [hep-ph]].

43. M. Konyushikhin, "Four-point vector correlators and AdS/QCD correspondence," arXiv:0906.1904 hep-ph].

44. O. Andreev, "l/q**2 corrections and gauge / string duality," Phys. Rev. D 73, 107901 (2006) arXiv:hep-th/0603170].

45. T. Gherghetta, J. I. Kapusta and T. M. Kelley, "Chiral symmetry breaking in the soft-wall AdS/QCD model," Phys. Rev. D 79, 076003 (2009) arXiv:0902.1998 [hep-ph]].

46. G. F. de Teramond and S. J. Brodsky, "Light-Front Holography and Gauge/Gravity Duality: The Light Meson and Baryon Spectra," arXiv:0909.3900 hep-ph],

47. F. Zuo, "Improved Soft-Wall model with a negative dilaton," arXiv:0909.4240 hep-ph],

48. A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. Krikun, "Anomalous QCD Contribution to the Debye Screening in an External Field via Holography," Phys. Rev. D83, 066012 (2011). arXiv: 1012.1478 [hep-ph]].

49. J. I. Kapusta and C. Gale, "Finite-temperature field theory: Principles and applications," Cambridge, UK: Univ. Pr. (2006) 428 p.

50. M. Le Bellac, "Thermal Field Theortf, Cambridge Monographs on Mathematical Physics (1996) 256 p.

51. H. A. Weldon, "Covariant Calculations At Finite Temperature: The Relativistic Plasma," Phys. Rev. D 26, 1394 (1982).

52. J. P. Blaizot, E. Iancu and R. R. Parwani, "On The Screening Of Static Electromagnetic Fields In Hot QED Plasmas," Phys. Rev. D 52, 2543 (1995)

53. Dmitri E. Kharzeev, Larry D. McLerran, Harmen J. Warringa, "The Effects of topological charge change in heavy ion collisions: 'Event by event P and CP violation' ". Nucl. Phys. A803, 227-253, 2008;

54. V. Skokov, A.Yu. Illarionov, V. Toneev, "Estimate of the magnetic field strength in heavy-ion collisions", Int. J. Mod. Phys. A24, 5925-5932, 2009;

55. J. Alexandre, "Vacuum polarization in thermal QED with an external magnetic field," Phys. Rev. D 63, 073010 (2001)

56. J. S. Schwinger, "On gauge invariance and vacuum polarization," Phys. Rev. 82, 664 (1951).

57. D. T. Son and A. 0. Starinets, "Minkowski-space correlators in AdS/CFT correspondence: Recipe and applications," JHEP 0209, 042 (2002)

58. S. A. Hartnoll, C. P. Herzog and G. T. Horowitz, "Building a Holographic Superconductor," Phys. Rev. Lett. 101, 031601 (2008)

59. H. U. Yee, "Holographic Chiral Magnetic Conductivity," JHEP 0911, 085 (2009)

60. H. R. Grigoryan and A. V. Radyushkin, "Anomalous Form Factor of the Neutral Pion in Extended AdS/QCD Model with Chern-Simons Term," Phys. Rev. D 77, 115024 (2008) arXiv:0803.1143 [hep-ph]].

61. A. Rebhan, A. Schmitt and S. A. Strieker, "Anomalies and the chiral magnetic effect in the Sakai-Sugimoto model JHEP 1001, 026 (2010);

62. A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. V. Zayakin, "On the Chiral Magnetic Effect in Soft-Wall AdS/QCD," Phys. Rev. D83, 014023 (2011). arXiv: 1003.2293 [hep-ph]].

63. P. N. Kopnin, A. Krikun, "Wilson loops in holographic models with a gluon condensate," Phys. Rev. D84, 066002 (2011).

64. M. A. Shifman, "Wilson Loop in Vacuum Fields," Nucl. Phys. B173, 13 (1980).

65. T. Banks, R. Horsley, H. R. Rubinstein and U. Wolff, "Estimate Of The Gluon Condensate From Monte Carlo Calculations," Nucl. Phys. B 190, 692 (1981).

66. A. Di Giacomo and G. C. Rossi, "Extracting The Vacuum Expectation Value Of The Quantity Alpha / Pi G G From Gauge Theories On A Lattice," Phys. Lett. B 100, 481 (1981).

67. D. E. Berenstein, R. Corrado, W. Fischler, J. M. Maldacena, "The Operator product expansion for Wilson loops and surfaces in the large N limit," Phys. Rev. D59, 105023 (1999). hep-th/9809188].

68. N. Drukker, D. J. Gross, H. Ooguri, "Wilson loops and minimal surfaces," Phys. Rev. D60, 125006 (1999). hep-th/9904191].

69. G. W. Semenoff, K. Zarembo, "Wilson loops in SYM theory: From weak to strong coupling," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 108, 106-112 (2002). hep-th/0202156].

70. J. Polchinski, M. J. Strassler, "The String dual of a confining four-dimensional gauge theory," hep-th/0003136].

71. G. W. Gibbons, K. -i. Maeda, "Black Holes and Membranes in Higher Dimensional Theories with Dilaton Fields," Nucl. Phys. B298, 741 (1988).

72. G. T. Horowitz, A. Strominger, "Black strings and P-branes," Nucl. Phys. B360, 197-209 (1991).

73. D. Garfinkle, G. T. Horowitz, A. Strominger, "Charged black holes in string theory," Phys. Rev. D43, 3140 (1991)

74. M. Huang, Q. -S. Yan, Y. Yang, "Confront Holographic QCD with Regge Trajectories," Eur. Phys. J. C66, 187-196 (2010). arXiv:0710.0988 [hep-ph]].

75. M. Kruczenski, D. Mateos, R. C. Myers, D. J. Winters, "Towards a holographic dual of large N(c) QCD," JHEP 0405, 041 (2004). hep-th/0311270].

76. H. Nastase, "On Dp Dp + 4 systems, QCD dual and phenomenology," hep-th/0305069].

77. D. Gross, H. Ooguri, "Aspects of large N gauge theory dynamics as seen by string theory," Phys. Rev. D 58, 106002 (1998), e-Print arXiv: hep-th/9805129 .

78. K. Zarembo, "Wilson loop correlator in the AdS / CFT correspondence," Phys. Lett. B 459, 527-534 (1999), e-Print arXiv: hep-th/9904149 .

79. A. S. Gorsky, V. I. Zakharov, "Flux-Tube Formation and Holographic Tunneling," Phys. Lett. B669, 186-192 (2008). arXiv:0805.0636 [hep-th]].

80. L. F. Alday, A. A. Tseytlin, "On strong-coupling correlation functions of circular Wilson loops and local operators,"arXiv:1105.1537 hep-th.].

81. P. Olesen, K. Zarembo, "Phase transition in Wilson loop correlator from AdS / CFT correspondence," hep-th/0009210].