Вычисление параметров функционалов погрешностей кубатурных формул с пограничным слоем в неизотропном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

РАЗДЕЛ I. Построение элементарных кубатурных формул и кубатурных формул с регулярным пограничным слоем общего вида

П. 1.1 Пространства Wf (Еп ), Wf (Q)

П. 1.2 Общий вид линейного функционала погрешности в W™ (Еп )

П.1.3 Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешностей

П. 1.4 Построение кубатурных формул с регулярным пограничным слоем общего вида

П.1.5. Экстремальная функция функционала погрешности

РАЗДЕЛ И. Оценка норм функционала погрешности и построение функционалов погрешностей кубатурных формул

П.2.1 Вариационная задача для оптимального периодического функционала погрешности

П.2.2 Оценка сверху нормы функционала погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем

П.2.3 Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида

П.2.4 Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурных формул в пространстве W™ (Еп) при нечетных ть

РАЗДЕЛ III. Представление нормы функционала погрешности решетчатой кубатурной формулы с предельным значением показателя суммируемости

П.3.1 Пространство W™(En)

П.3.2 Представление нормы функционала погрешности решетчатой кубатурной формулы с предельным значением показателя суммируемости

1° Кубатурными называем формулы для вычисления объемов тел в многомерном пространстве, по аналогии с квадратурными формулами, позволяющими приближенно решать задачу о квадратуре плоских фигур, т.е. о вычислении их площадей. Теорию кубатурных формул, как новое направление математики шестидесятых годов прошлого века, заслуженно связывают с исследованиями академика C.JI. Соболева. C.JI. Соболевым изданы более трех десятков работ: первую работу по кубатурным формулам он опубликовал в 1961 году, последнюю - в 1996, в том числе две фундаментальные монографии [74,82].

В одномерном случае теория квадратурных формул является хорошо разработанной областью: общеизвестны формулы Гаусса, а функциональные методы стали широко применяться, начиная с работ академика С.М. Никольского и первого издания его книги «Квадратурные формулы» [46]. Изложенные в ней результаты, на наш взгляд, являются самыми сильными, и относятся к квадратурным формулам на классах функций одной переменной. С.М. Никольский минимизировал по узлам и весам для Ф - единичных шаров наиболее употребительных банаховых пространств функций одной переменной. Кроме С.М. Никольского различные постановки экстремальной задачи для функции одной переменной в своих исследованиях рассматривали В.И. Крылов [34], Н.П. Корнейчук [29], А. Сард [72], А. Страуд [84] и другие.

Результаты по весам оптимальных квадратурных формул, изложенные в [74], обобщили некоторые результаты А. Сарда [72]. Ряд вопросов, возникающих в процессе реализации предложенного C.JI. Соболевым алгоритма отыскания весов оптимальных квадратурных формул, решен М.Д. Рамазановым и Х.М. Шадиметовым [69]. Квадратурные формулы Грегори и типа Грегори ис

1) следовали Н.С. Бахвалов [7], В.И. Половинкин [57], B.JI. Васкевич [17,18] и многие другие.

Отличие кубатурных формул от квадратурных в бесконечном многообразии многомерных областей интегрирования и быстром росте числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.

При больших численных расчетах становится важным оптимизировать процесс приближенного вычисления многомерных интегралов. Трудность в разрешении упомянутой проблемы определяется в основном тем, что сама теория приближений функций в многомерном случае до сих пор не создала универсальные методы для решения задач оптимизации кубатурной формулы на классах функций. В этой связи, исследования задач теории вычисления многомерных интегралов, ведутся с точки зрения разных научных направлений. Наиболее важными из них являются: построение формул высокой степени точности; применение теоретико-числового анализа для построения формул, точных для конечных тригонометрических полиномов; применение теоретико-вероятностных методов к вычислению интегралов и, так называемый, «функциональный» подход, связанный с исследованием оценок погрешностей в классах суммируемых функций и линейных нормированных пространствах, включающих в себя интегрируемые функции.

Кратко опишем первые три направления.

Прежде всего - это минимизация формулы (1) по узлам при постоянных весах (ак =|Q| / N).

1. Выбирая Ф в формуле (1) из расширяющейся последовательности множеств - обычно многочленов или тригонометрических многочленов степени, не превосходящей заданного числа т и останавливаясь на минимальных N = N(m), для которых J = О, получают последовательность (при т-»со) формул алгебраической точности.

2. За Ф выбирают единичный шар в определенном банаховом пространстве, а задачу оптимизации по узлам решают с помощью теоретико-числовых методов, добиваясь наилучшего порядка сходимости (при N->оо).

3. За Ф выбирают единичный шар в определенном банаховом пространстве, а узлы определяют на основе псевдослучайных последовательностей чисел, опираясь на вероятностные методы исследования.

В описанных направлениях исследований получены важные и сильные результаты. Но так как результаты данной работы не относятся к этим областям исследований, ограничимся здесь ссылкой на работы, в которых вышеупомянутые направления описаны более полно и глубоко.

Как отмечено в [44], понятие инвариантной кубатурной формулы ввел C.JI. Соболев. Его работы [78, 80] позволили привлечь к исследованию кубатурных формул методы и результаты теории групп симметрий. Важную часть составляют исследования В.И. Лебедева [35], И.П. Мысовских [44], Г.Н. Салихова [70], А.К. Пономаренко [60] по кубатурным формулам, обладающим высокой полиномиальной степенью и инвариантным относительно преобразований той или иной группы симметрий. М.В. Носков [50] установил условия разложимости эрмитовых кубатурных формул в декартовы произведения формул меньшей размерности и доказал теорему, позволяющую определить точность сомножителей, исходя из точности самого декартова произведения.

Несколько иной подход к построению кубатурных формул на основе теоретико-числового анализа, заложенный трудами И.М. Виноградова [20], развивается в работах Н.М. Коробова [30, 31], где строятся формулы, точные для конечных тригонометрических рядов. На классах Н" функций s переменных, предложенных Н.М. Коробовым, у которых ограничены все смешанные производные с порядком дифференцирования а по каждой переменной в отдельности, не превосходящим а, Н.С. Бахвалов [3, 6] получил оценки снизу, совпавшие по порядку с оценками сверху, данными Н.М. Коробовым, а также дал целую серию оценок по вероятности [5].

Исследования Н.С. Бахвалова [5], Г.А. Михайлова [41], И.М. Соболя [83], А.В. Войтишек [23] связаны с оптимальными оценками сходимости кубатурных процессов, с методами интегрирования типа метода Монте-Карло, а также с отысканием наилучших способов численного интегрирования. Применение вероятностных методов в приближенном вычислении интегралов в простейшем случае дает кубатурную формулу вида

J-.J/(*)* = (2)

0 0 " k=l к) где хК J - независимые случайные точки, равномерно распределенные в единичном кубе. Удобство этого метода заключается в том, что в формуле (2) можно брать достаточно большие N., так как все точки х(к) вычисляются по единому алгоритму, а порядок сходимости (2) (по вероятности) не зависит от кратности интегралов и равен N 2 для функции f(x) из любых классов. Но слабой стороной этого метода является медленная его сходимость и гладкость функций при этом не способствует улучшению сходимости.

Основное внимание автор сосредоточил на четвертом направлении. Это направление общей многомерной теории характеризуется тем, что узлы выбираются в точках некоторой решетки, а минимизация (1) идет сначала по весам при фиксированной решетке, потом по различным решеткам. Ф берется единичным шаром определенного банахова пространства. Постановка и основные результаты исследований этого направления принадлежат C.JI Соболеву [74, 82], предложившему функционально- аналитический метод.

Это предполагает, во-первых, что выбранная (или построенная) кубатурная формула будет использована не только для какой-либо одной конкретной функции, а сразу для целого семейства подынтегральных элементов некоторого наперед заданного функционального банахова пространства В. Во-вторых, разность между интегралом и приближающей его линейной комбинацией значений подынтегральной функции рассматривается как результат действия на эту подынтегральную функцию некоторой обобщенной функции, полностью определяемой исходной кубатурной формулой и называемой функционалом погрешности. В-третьих, предполагается, что исходное банахово пространство В вложено в пространство функций, непрерывных в замыкании области интегрирования. Это вложение непрерывно, т.е. функционал погрешности кубатурной формулы не только линеен, но и ограничен на В. Знание численной мажоранты для его нормы в сопряженном пространстве В* позволяет получать для произвольной функции из единичной сферы пространства В гарантированные оценки близости истинного значения интеграла от этой функции к рассматриваемой на ней кубатурной сумме и в этом - существенное отличие функционального подхода от всех других.

C.JI. Соболев рассмотрел в качестве Ф единичный шар гильбертова пространства 1^2 с целыми m > и/2, профакторизованного по многочленам степени не выше т-1, с нормой

Для ограниченных областей с липшицевой границей он показал, что формулы, обладающие регулярным пограничным слоем (в смысле Соболева), являются асимптотически оптимальными. В ряде случаев указал решетки, реализующие минимум (асимптотически при т—»со) формулы (1) по всевозможным решеткам.

После того, как C.JI. Соболевым была построена теория для пространства ZJ, почти одновременно ее обобщение происходило в направлениях от Z™ к Lmp и от факторизации L™ к W™. Вопросу реализации четвертого направления теории вычисления многомерных интегралов в пространстве Lmp посвящен ряд работ В.И. Половинкина [53, 54, 56, 57], в пространстве W™- работы

Ц.Б. Шойнжурова [90,91,93- 95,99] и его учеников [32], [87], [88].

В.И. Половинкин рассматривал последовательности функционалов с пограничным слоем в негильбертовом пространстве L™(En), 1<р<со с нормой J

Г m — J n

E fj[D>(*)]: m W • a \=m

2dx

00.

В частности, в работе [53] им доказано, что при т нечетном кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в L™(0), а при четном т расширен класс функционалов с регулярным пограничным слоем и построены асимптотически оптимальные функционалы с пограничным слоем в Lmp.

Ц.Б. Шойнжуров [93] впервые исследовал кубатурные формулы в негильбертовом пространстве С.Л. Соболева Wp(En)с нормой fVp(E„)

J(1 dx

1<р<ю зависящей от функции и ее производных до порядка т ,т- любое , т > 0 и т 2 т

1-A)Z <р(х) = F~l(1 + \2я<f|2)2F(р{£). Здесь требование ортогональности функционала многочленам степени ниже т не является обязательным в отличие от пространства Lmp (Еп).

М.Д. Рамазанов [61, 65, 67, 69] ввел пространство Н£(С1). Это пространство состояло из сужений на область Q, лежащую в фундаментальном параллелепипеде Д>, функций / е . При этом норма задавалась равенством где g/Cl = f/Cl. Он исследовал кубатурные формулы с ограниченным пограничным слоем, с использованием основных операций анализа таких, как замена переменных в функционале и перемножение функций, построил формулы с пограничным слоем, но отличные от формул с регулярным пограничным слоем для ограниченных областей с гладкими и кусочно-гладкими границами и показал их асимптотическую оптимальность в Н2 (Р) •

B.JI. Васкевич [16] исследовал кубатурные формулы в пространствах гармонических функций Бергмана eJ(Q). Элементами в\{С1) являются функции класса W\ (Q), гармонические в ограниченной области Q.

Разнообразным алгоритмическим реализациям вычислений по формулам С.Л. Соболева и программированию посвящены работы Л.В. Войтишек и Н.И. Блинова [11,12].

В работе С.Л. Соболева, И. Бабушки [2] задача оценки кубатурных формул приводит к задаче отыскания минимума нормы линейного функционала погрешности. Получены оценки погрешности кубатурных формул с правильной решеткой на классах периодических финитных и бесконечно дифференцируемых функций.

Переход от W™ к W™ потребовал применения качественно иных подходов и осуществлен в конце 70-х гг. Ц.Б. Шойнжуровым [91]. Это стало возможным благодаря введению специальной нормы, для которой соответствующий дифференциальный оператор был хорошо изучен и описан в литературе, в частности, в [48]. Свойства его фундаментального решения были с успехом применены тогда для нахождения экстремальных функций и нахождения норм функционалов погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем. Отметим, что несколько ранее М.Д. Рамазановым [65] был применен сходный прием нормирования пространства W™, и на этом пути получен ряд самостоятельных результатов. Подобным же образом вводится норма при рассмотрении функционалов над пространствами W™ в монографии С.Л. Соболева и

В.Л. Васкевича [82], дающей наиболее полное представление о современных направлениях в теории кубатурных формул. Кроме уже упомянутых, ниже укажем работы других авторов по сходным проблемам ближайшего тематического окружения.

2° В настоящей работе исследуются кубатурные формулы в пространстве Wp(En) с естественной нормой, когда норма функции учитывает разную гладкость функции по разным направлениям. Обозначим через Dmk<p - производную тк, т.е. Dmk(p = дтк(р/дх^ , к = 1т0 =0,Dm° =1.

Неизотропное пространство W™(En) определяется как множество функций <р(х), суммируемых с р-ой степенью на Еп вместе со своими всевозможными частными обобщенными производными Dmk(p до порядка тк включительно, к = 0,п, обладающих свойством гладкости вдоль выбранного координатного направления, и для которых конечна норма при 1 < р < оо. При р = оо нормой будет наибольший из существенных максимумов, взятых по каждой частной производной

Если т{ =т2 = .= тп =т, то W™ (En)=Wp (Еп) - обычные изотропные пространства C.JI. Соболева. При р = 2 пространство W™ (Еп) совпадает с пространством Соболева-Слободецкого [73].

Различные постановки задач в неизотропных пространствах, не одинаковых по разным направлениям из-за дифференциальных свойств функций, рассматривались в работах П.И. Лизоркина [37, 38], Ароншайна [1], С.М. Никольского [49], М.Д. Рамазанова [61, 62, 65], Ц.Б. Шойнжурова [92, 98, 99] и других математиков. В работах П.И. Лизоркина [37, 38] исследовано интегральное представление для функций анизотропных классов при любом т и на их основе получена полная система теорем вложения. Ряд результатов, относящихся к случаю произвольных т и при р = 2 получены Ароншайном в работе [1]. При продолжении функции С.М. Никольским [49] применялся метод разложения ее в ряд по целым функциям экспоненциального типа и последующего наращивания его членов специальными функциями. л р

00,

3)

Более подробно М.Д. Рамазанов [65] исследовал кубатурные формулы на пространстве периодических функций В{А), где А = {хе£и, 0<хА <1, к = 1,2,., и - фундаментальный единичный куб с нормой = max {|/«-/0|г(д), |/0||. (4)

Здесь /о - нулевой коэффициент ряда Фурье. При этом пространство В(А) определял как замыкание всевозможных рядов Фурье ^ fk е2л1кх, оно к\<С рассматривалось произвольным, но не весовым. Однако при таком определении нормы функции возникали определенные трудности при согласовании периодичности с порядком сходимости hp = b%2 =. = h™n = hm . В отличие от М.Д. Рамазанова и С.М. Никольского, Ц.Б. Шойнжуров [92] функции из рассматриваемой области Q продолжил на все пространство, «избавившись» от ограничений. Это позволило ему к периодической на всем пространстве функции (pe W™ (Еп), <р(х) = <р(х + h/3), V/?eZ", применить преобразование ФуРье' Приведенный здесь краткий и не претендующий на полноту обзор охватывает лишь основные направления исследований соболевской школы теории кубатурных формул.

3° В данном пункте введения кратко остановимся на состоянии проблемы в настоящий момент.

Практика современной теории приближений такова, что для приближенного вычисления интеграла по ограниченной области Q пространства Ет п> 2 чаще всего используются кубатурные формулы, т.е. приближенные равенства вида

Q,p)= 0. (5) n *=i

Здесь л:-это и-мерный координатный вектор, Ск- коэффициенты, х(к)- узлы формулы, дающей различную точность для разных классов функций. При этом предполагается, что границей области Q служит гладкая поверхность конечной площади, а в остальном Г2 произвольна. Кубатурная же сумма, приближающая * интеграл, представляет собой с функциональной точки зрения линейную комбинацию дельта-функций Дирака ф к=1 \к=1 у

Дельта-функции имеют смысл при воздействии на непрерывные пробные функции, отсюда требование вложения основного пространства в пространство непрерывных функций Wp(En)cC(En), обеспечиваемое неравенством

Распределение узлов хвнутри Q может быть произвольным. Тем не менее, результаты работы относятся к формулам с параллелепипедальной решеткой узлов. В этом случае узлы нумеруются с помощью мультииндекса 7 = (Y^Yii—iYn) с целочисленными координатами. Любой из них можно найти по формуле х= (х1,х2,.,хп), где xk = hkyk, к=\,.,п, а малый положительный « параметр hk называется шагом решетки в к-ом направлении. В этом случае кубатурную формулу будем называть решетчатой.

Задача о построении решетчатой кубатурной формулы для ограниченной области Q заключается в следующем. Требуется при заданной ньютоновской п системе узлов В0 = {у\уеЕп, 0<ук <Nk, YjTk =Nk>k = }» взяв Узлы Ук к=1 ^ на решетке, строго лежащие внутри или же на границе гладкой области Q, при j фиксированных шагах hx,h2,.,hn вдоль выбранных координатных направлений, определяемых с помощью следующей системы соотношений h™1 =h%2 = . = h™n = hm , минимизировать кубатурную формулу по коэффициентам Cv . г к

Коэффициенты же Су кубатурной формулы,

1-егД 1-о-Л 1-<т„/гл J J \(pixx,x2,.,xn)dxldx2"-dxn-oo о

N, N, N,

-ttft =0/2=0 r„=0 A reB0 учитывающей свойства неизотропного пространства, выбираются так, чтобы выполнялись равенства гк= о + 1 при любом значении гладкости функции тщ, к= 1,2, ., п вдоль выбранной координатной оси Oxk, k=l,2,.,n.

Кубатурной формуле (6) сопоставим функционал погрешности

К*) = ХnW" ZA-Cr (7) hyeCl где %а- индикатор или, иначе говоря, характеристическая функция области Q.

Функционал является линейным, так как требуем независимости правил, указывающих узлы и коэффициенты, от выбора конкретной интегрируемой функции. Эта погрешность как разность между неизвестным точным значением интеграла и приближающей его кубатурной суммой является вполне определенной числовой величиной. Будем говорить, что кубатурная формула точна на функции (р{х1,х2,.,хп), если разность (7) равна нулю. Функцию <р(х) считаем принадлежащей банахову пространству В. Предметом нашего изучения будет норма функционала|| /п| ». Различным узлам и коэффициентам отвечают разные формулы. Важная задача - их исследование и минимизация нормы ||/q||s» .

Естественно рассматривать не изолированные кубатурные формулы, а их последовательность при увеличении числа узлов N. Будем говорить о сходимости кубатурных процессов на классах функций. Используя разные кубатурные формулы должны находить и оптимальную систему узлов, и коэффициенты такой формулы.

В практических вопросах важна не норма /п(х), а величина погрешности (ln,<p) для каждой конкретной функции. Для любой непрерывной функции эта погрешность стремится к нулю. Слабая сходимость имеется всегда. В условиях банаховых пространств оказывается, что |(/, для любой конкретной функции р существенно меньше, чем ||/||в. \(р\в в очень большом числе случаев и, в частности, в тех же гильбертовых пространствах, которые изучены в [74]. Но точно оценить погрешность на конкретной функции трудно и поэтому полезно пользоваться формулами с наименьшей нормой функционала погрешности в пространстве В . Выбор пространства В определяет и качество избранных кубатурных формул. Проблему получения числового выражения оценки функционала /п(л:) обозначим как проблему А.

4° В настоящей работе реализуется соболевский подход к проблеме построения оценок погрешности. Если значение нормы конкретной подынтегральной функции можно вычислить или оценить, то основная проблема падает на нахождение нормы функционала погрешности. С.Л. Соболев [74] предложил находить норму ||/|| через экстремальную функцию (р1 данного функционала, т.е. через такую функцию, значение функционала на которой равно норме функционала \{1,д>}\ -1|/|, при условии, что 1^1 = 1. Сам С.Л. Соболев реализовал такой подход на функциях из пространства При этом экстремальная функция находилась как решение уравнения с частными производными в обобщенных функциях. В случае Z/2ra) эт0 было полигармоническое уравнение

Ати = 1, где u = G*l,a.G- фундаментальное решение этого уравнения.

Таким образом, в проблеме А выделяется задача нахождения нормы функционала погрешности. Обозначим ее как задачу В.

5° Нормы функционалов погрешностей определяются через экстремальные функции, являющиеся обобщенными решениями некоторых дифференцальных уравнений в частных производных. Задача отыскания экстремальной функции для функционала погрешности в пространстве обобщенных функций приводит к необходимости рассмотрения уравнения вида

Енг^и=/(*), (8) о lewf ,mQ= 0, Dm° =1 ,и = ешЧ.

Свойства фундаментального решения е2ш е W " , где — + — = 1, оценка его и

Р Р' его производных хорошо изучены, их можно найти, в частности, в [38]. т

Из принадлежности е2ш пространству W™ и того факта, что / е Wp является суммой Хп и линейной комбинации ^-функций, следует существование свертки еш * / и принадлежности ее тому же пространству, что и указанное фундаментальное решение. о —*

Решению задачи В, определенной в п.4 , в пространстве W™ посвящена серия работ Ц.Б. Шойнжурова [91 ]-[96].

В данной работе проблема нахождения нормы функционала погрешности (задача В) сводится к решению уравнения

-1 Dm"%(х)Г"1 (sgnDmk<р0(д:)) = / (х) (9) для экстремальной функции данного функционала.

Уравнение (9) в случае р = 2 становится линейным, само пространство

W2(En) совпадает с пространством Соболева-Слободецкого решение уравнения (9) можно получить с использованием преобразования Фурье. В случае же р Ф 2 применение прямых методов решения к уравнению (9) затруднительно. Здесь мы применили метод подбора экстремальной функции, который впервые был предложен Ц.Б. Шойнжуровым в работе [97] для нахождения обобщенных решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Отсюда возникает еще одна задача, задача С - вычисление нормы функционала погрешности и экстремальной функции при 1 < р < оо.

6° Решение задачи о минимальной норме приводит к уравнениям, которые в рассмотренном В.И. Половинкиным [52] одномерном случае для пространст

• ва Ьтр имеют вид j]5v(x) + sgn (Bv(x) + Xa)dx = 0. (10) д

В.И. Половинкиным доказано, что если в уравнении (10) Bv(x) - полином Бер-нулли, а сопутствующее число последовательности квадратурных формул с пограничным слоем равно решению уравнения (10), то эта последовательность асимптотически оптимальна.

Применительно к нашему случаю, вариационную задачу, связанную с минимизацией нормы оптимального функционала погрешности по параметрам Ск, обозначим задачей D.

7° C.JI. Соболевым в [74] введено понятие асимптотической оптимальности кубатурных формул и дано определение формул специального вида - с регулярным пограничным слоем. Такие формулы обладают свойством асимптотической оптимальности. Особую роль при построении оценок норм функционалов погрешности с узлами в вершинах параллелепипедальных решеток C.JI. Соболев отводил элементарному функционалу погрешности.

С одной стороны, точный на константах произвольный периодический

• функционал погрешности по основному периоду является средневзвешенным нескольких элементарных функционалов, имеющих вид

ZLl (A"1*)- - xk) = tck{1 - Фо(л-!4

1 к=1 где Ау- фундаментальная область основного периода.

С другой стороны сумма (бесконечная) произвольных, точных на константах функционалов погрешностей (непериодических) представляет собой элементарный периодический функционал

Р PL г

Представление любого функционала с регулярным пограничным слоем /q(jc) в некоторой области Q в виде

ГеВг yeBQ* где h~ =(1/hl,\/h2,.,l^hn) ~ вектор, l0(h~ x) = l-2,hlh2---hnS(x-h/)~ пеу риодический функционал погрешности, {hy\- множество всех векторов из Еп и Вп. = {h/}\Bn выводится из определения функционала с регулярным пограничным слоем, которое выражается через сумму локальных функционалов по фундаментальным параллелепипедам решетки, расположенным внутри области и по параллелепипедам пограничного слоя. На основании этого представления строятся оценки сверху норм функционалов погрешности с регулярным пограничным слоем.

Применение периодического функционала к интегрированию финитных функций позволяет получить нижнюю грань нормы функционалов с узлами в вершинах параллелепипедальных решеток.

В проблеме А получаем видоизмененную задачу В - в случае невозможности вычислить в явном виде норму функционала погрешности получить ее оценку, выраженную через норму периодического функционала. Эту проблему обозначим Е. Решение задачи Е позволит получить двусторонние оценки - задача Е1. Выделим задачу Е2 - построение элементарных кубатурных формул и кубатурных формул с регулярным пограничным слоем.

8° Таким образом, целью работы является вычисление параметров, входящих в оценки нормы функционала и исследование асимптотической оптимальности нормы функционала в пространстве W™ (Еп).

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие основные задачи исследования:

1. Исследована вариационная задача, связанная с вычислением параметров оптимального функционала погрешности (задача D);

2. Выделены в явном виде нормы экстремальной функции и функционала погрешности при 1 < р < оо в W™ (Еп ) (задача С);;

3. Построены элементарные кубатурные формулы и кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем (задача Е2);.

4. Получены двусторонние оценки нормы функционала погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем (задача Е1);.

9° Изложим кратко содержание диссертации.

Результаты диссертации оформлены в виде лемм, теорем. Диссертация состоит из введения, трех разделов, содержащих 11 пунктов, заключения, списка литературы и 3 приложений. Формулы отмечены тройной нумерацией: номер раздела, номер пункта и номер формулы в пункте, разделенные точкой. Объем работы составляет 127 страниц.

Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена вычислению параметров оптимального функционала погрешности решетчатых кубатурных формул, оценкам погрешностей этих формул в пространствах интегрируемых функций типа Соболева.

Для решения поставленных задач был использован функционально-аналитический подход. В ходе работы над диссертацией получены следующие результаты:

1. Исследована вариационная задача, связанная с вычислением коэффициентов оптимального функционала погрешности;

2. В явном виде выделен главный член нормы экстремальной функции и оптимального функционала погрешности при 1 < р < со в W™ (Еп ).

3. Построены кубатурные формулы путем сжатия в \/hk, к = 1,., п, раз единичного куба, с узлами, лежащими внутри или же на границе области. Заменой ячейки элементарного функционала на ячейки функционала с регулярным пограничным слоем с учетом гладкости функции вдоль выбранных координатных направлений, получена возможность для усовершенствованных формул установить порядковую оптимальность на всем классе решетчатых кубатурных формул в W™ (Еп ).

4. Получены двусторонние оценки нормы функционала погрешности и в явном виде вычислены константы, входящие в оценки нормы функционала погрешности. Доказана асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем при Шк нечетных и 1 < р < со в Wp (Еп). А если же в полученных двусторонних оценках нормы функционала погрешности положить р = оо, то правдоподобно, что полученные нормы будут совпадать с нормой произвольного функционала с показателем суммируемости, равным бесконечности.

1. Ароншайн (Aronszajn N.) Boundary values of functions with finite Dirichlet integral // Confer. Partial Diff. Equat. Studies in eigenvalue problems, Univ. of Kansas, 1955.

2. Бабушка И., Соболев С.Л. Оптимизация численных методов. // Appl.

3. Math., №. 10, 1965. С. 96-129.

4. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов II Вестник МГУ.1959.№4. С. 3-18.

5. Бахвалов Н.С. Об оптимальных методах решения задач. // Appl. Math., Т. 13, № 1,1968.

6. Бахвалов Н.С. Оценка в среднем остаточного члена квадратурных формул //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1961. Т. 1, №1. С.64-77.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 631 с.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, Т.1, 1959.-464 с.

9. Бесов О.В., Ильин В.П., Кудрявцев Л.Д., Лизоркин П.И., Никольский

10. С.М. Теория вложений классов дифференцируемых функций многих переменных // Ин-т мат. СО АН СССР. Труды симпозиума, посвященного 60-летию акад. С.Л. Соболева. -М.: Наука, 1970. С. 38-63.

11. Блинов Н.И., Войтишек JI.B. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. 1979. - №1. - С. 5-15.

12. Бойков И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений: Монография. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. -316 с.

13. Вампилова Н.А. Оценка нормы функционала погрешности интерполяционных формул // Материалы VII семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения» / Отв. ред. М.В. Носков. Красноярск, 2003.- С. 184-187.

14. Васкевич В.Л. Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов //Новосибирск, Институт математики СО РАН, 2004. Дис. д.ф.-м.н. (01.01.07) 243с.

15. Васкевич В.Л. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана //Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УФО РАН, 1995. - С. 241-250.

16. Васкевич В.Л. О сходимости квадратурных формул Грегори //Докл. АН СССР. 1981. Т. 261. №5. С. 1041-1043.

17. Васкевич В.Л. Об одной задаче теории квадратурных формул //Новосибирск, 1982. 50 с. (Препринт АН СССР. Сиб. отд-ние. Институт математики, №3)

18. Васкевич В.Л. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01) /Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.

19. Виноградов И.М. К вопросу об оценке тригонометрических сумм. // Изв. АН СССР. Сер. Матем., Т. 29, № 3 , 1965.

20. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1976.-280 с.

21. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 5-е изд., доп. — М.: Наука, 1988.-512 с.

22. Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло // Материалы VII семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения» / Отв. Ред. М.В. Носков. -Красноярск, 2003. -С. 45-53.

23. Войтишек JI.B. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. - Т. 9, №2. - С. 417-419.

24. Волевич Л.В., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. Т. 21, (121), 1965.

25. Иосида К. Функциональный анализ. -М., Издательство Мир, 1967. -625 с.

26. Ильин В.П. Численный анализ. Часть I. Новосибирск: Изд. ИВМ и МГ СО РАН, 2004. -335 с.

27. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С.М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127-253.

28. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1981.-431 с.

29. Коробов Н.М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестник МГУ. Сер. матем., № 4,1959.

30. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. -М.: Наука, 1963. 224 с.

31. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности в

32. Wp(En) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 37-40.

33. Лизоркин П.И. Граничные свойства функций из весовых классов //ДАНСССР,№132, 1960.-С. 514-517.

34. Лизоркин П.И. Неизотропные бесселевы потенциалы. Теоремы вложения для пространства Соболева Lnp.г" с дробными производными

35. ДАН СССР. № по, 1966. С. 508-511.

36. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства Lrp{Rn). Теоремы вложения // Матем.• сб. № 60(102), 1963. С. 325-353.

37. Лизоркин П.И. Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для дробных производных // Изв. АН СССР. №29, 1965. -С. 109-126.

38. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. Москва. Российский ун-т Дружбы народов, 1997. - 445 с.

39. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987. - 236 с.

40. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральныеуравнения. М: Госуд. изд-во ф.-м. литературы, 1962.

41. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М.: Физматгиз, 1962.-344 с.

42. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. -М.: Наука, 1981.

43. Никольский С.М. К вопросу об оценках приближений квадратурнымиформулами // Успехи мат. наук. 1950. Т. 5, вып. 2. С. 165-177.

44. Никольский С.М. Квадратурные формулы. 4-е изд., доп. с добавлением Н.П. Корнейчука. - М.: Наука, 1988. - 256 с.

45. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1991. - Т. 2. - 544 с.

46. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

47. Никольский С.М. Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифференцируемых многообразиях // Матем. сб. 33(75), 2,1953.-С. 261-326.

48. Носков М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул // Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск: Наука, 1980. -С.114-116.

49. Носков М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И.П. Мысовских. -Л., 1991.-Вып. 16.-С. 16-23.

50. Половинкин В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т. II Сиб. мат. журн. 1975. - Т. 16, №2. - С. 328-335.

51. Половинкин В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. - Т. 13, №4. - С. 951-954.

52. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в Lmp(En)

53. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. Новосибирск, 1989. - С. 137-139.

54. Половинкин В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа Lmp II Краевые задачи для уравнений с частными производными. Новосибирск, 1988. - С. 125-136.

55. Половинкин В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис. докт. физ.-мат. наук(01.01.01)/ЛГУ.-Л., 1979-18 с.

56. Половинкин В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. - Т. 15, №2. - С. 413-429.

57. Половинкин В.И. Реализация линейных функционалов из Lmp (Q)

58. Сиб. мат. журн. 1995. - Т. 36, №1. - С. 156-158.

59. Пономаренко А.К. Некоторые инвариантные кубатурные формулы //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 70-76.

60. Рамазанов М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах //Докл. АН СССР. -1974.-Т. 126,№1.-С. 44-45.

61. Рамазанов М.Д. Асимптотически оптимальный функционал ошибки над неизотропным гильбертовом пространством //Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Ин-т кибернетики с вычисл. центром АН УзССР, 1972. Вып. 14. -С. 72-82.

62. Рамазанов М.Д. К L — теории соболевских формул //Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв ред. В.И. Половинкин. Красноярск, 1996.-С. 39-52.

63. Рамазанов М.Д. Кубатурные формулы на пространствах непрерывно дифференцируемых функций //Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 6. -С. 1263-1285.

64. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.

65. Рамазанов М.Д. О порядке сходимости решетчатых кубатурных формул с доминирующей производной //Докл. АН СССР. 1984. Т. 227, №3. С. 551-553.

66. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. -С. 77-89.

67. Рамазанов М.Д., Шадиметов Х.М. Весовые оптимальные кубатурные формулы в периодическом пространстве Соболева // Докл. РАН. 1999. Т. 368, №4. С. 453-455.

68. Салихов Г.Н. К теории кубатурных формул на сферах // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам математической физики. Новосибирск: Наука, 1973. -С. 22-27.

69. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.287 с.

70. Сард A. (Sard A.) Best approximate integration formulas, best approximate formulas // Amer. J. Math. 1949. V. 71. P. 80-91.

71. Слободецкий JI.H. Пространства C.JI. Соболева дробного порядка и их приложения к краевым задачам для дифференциального уравнения в частных производных // Докл. АН СССР. 1958. №118, С.243-246.

72. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.-808 с.

73. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. - 254 с.

74. Соболев С.Л. Избранные труды. Т. 1. Уравнения математической физики. Вычислительная математика и кубатурные формулы. -Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, Филиал «Гео» Изд-ва СО РАН, 2003. -692 с.

75. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Под ред. О.А Олейник. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1988. - 336 с.

76. Соболев С.Л. О кубатурных формулах на сфере, инвариантных при преобразованиях конечных групп вращений //Докл. АН СССР. 1962. Т. 146.№2.-С. 310-313.

77. Соболев С.Л. О некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с квадратом // Докл. АН СССР. 1936.-Т. 3. - С. 311-314.

78. Соболев С.Л. О числе узлов кубатурной формулы на сфере // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146. № 4. - С. 770-773.

79. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. Под ред. A.M. Ильина. 5-е перераб. и доп. - М.: Наука, 1992. - 432 с.

80. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 484 с.

81. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. -311 с.

82. Страуд (Stroud А.Н.) Approximate calculation of multiple integrals // Englewood Chiffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1971.

83. Темляков B.H. Об универсальных кубатурных формулах // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, №1. С. 44-47.

84. Фаддеев Д.К., Вулих Б.З., Уральцева Н.Н. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1981, - 200 с.

85. Францев Г.Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовом пространстве Соболева: Дис. канд. физ.-мат. наук (01.01.07) /Вост.-Сиб. гос.технолог. ун-т -Улан-Удэ, 2001.-99 с.

86. Цыренжапов Н.Б. Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева Ьтр(Еп): Дис. канд. физ.-мат. наук (01.01.07) /Вост.-Сиб. гос.технолог, ун-т Улан-Удэ, 2004. - 102 с.

87. Шойнжуров Ц.Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы. Новосибирск, 1979. - 28 с. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-е. Ин-т математики; №55)

88. Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в пространстве Wp(En) // Сб. Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск: Наука, 1980. -С. 302-306.

89. Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в неизотропных пространствах С.Л. Соболева // Докл. ДАН СССР, 1973. Т. 209,№5.-С. 1036-1038.

90. Шойнжуров Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в пространстве Wp II Сиб. мат. журн. 1967. Т. 7, № 2. С. 41-45.

91. Шойнжуров Ц.Б. Норма функционала погрешности в пространстве Wpm)(En) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа, 1996. - С. 123-127.

92. Шойнжуров Ц.Б. О приближенном интегрировании функций в

93. Wpmr(Q.) //Применение функциональных методов к краевым задачамматематической физики: Материалы III Советско-Чехословацкого со-вещ. Новосибирск, 1972. - С. 255-256.

94. Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности интерполяционных формул в пространстве Соболева // Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 1987. С. 152-158.

95. Шойнжуров Ц.Б. Решение одного класса квазилинейных уравнений эллиптического типа в неограниченной среде // Межвузовский сборник научных трудов. -Новосибирск, 1992. С.109-113.

96. Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах //Изд-во БНЦ СО РАН, Улан-Удэ, 2005. -247 с.

97. Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис. докт. физ-мат. наук (01.01.01, 01.01.07) /Вост.-Сиб. технолог, ин-т -Улан-Удэ, 1977.-235 с.

98. Шойнжуров Ц.Б., Песков П.Е. Кубатурные формулы в неизотропных пространствах C.JI. Соболева //Вестник ВСГТУ, № 2, Улан-Удэ, 1999. -С. 14-20.

99. Шойнжуров Ц.Б., Юмова Ц.Ж. Вычисление параметров оптимального периодического функционала погрешности в пространстве Lp

100. Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 2000. - Вып.5 - С. 134-142.

101. Юмова Ц.Ж. Вариационная задача для функционала погрешности в неизотропном пространстве Wp(A) //Материалы VII международногосеминара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения», / Отв. ред. М.В. Носков. Красноярск, 2003, - С. 231-236.

102. Шойнжуров Ц.Б., Юмова Ц.Ж. О порядке сходимости нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в неизотропном пространстве // Вестник ВСГТУ, № 7, Улан-Удэ, 2004, С. 5-12.

103. Юмова Ц.Ж. Об одной экстремальной задаче для периодическогоj,г *функционала погрешности в неизотропном пространстве L™

104. Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 2004. - Вып. 7 - С. 9-14.

105. Юмова Ц.Ж. Общий вид линейного функционала в W™ II Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 2004. -Вып. 1-С. 30-38.

106. Юмова Ц.Ж. Оценка сверху нормы функционала погрешности в неизотропном пространстве W™ И Сборник научных трудов: Физикоматематические науки. Улан-Удэ, 2004. - Вып. 7 - С. 14-30.

107. Юмова Ц.Ж. Интегрирование периодических функций в неизотропном пространстве Соболева А^), \<р<ю //Вестник БГУ, серия 13,

108. Математика и информатика», выпуск 1, Улан-Удэ, 2004, С. 152-159.

109. Юмова Ц.Ж. Экстремальная функция функционала погрешности в W™ И Материалы всероссийской конференции с международным участием

110. Математика, ее приложения и математическое образование», Улан-Удэ, 2005,-С. 283-292.

111. Юмова Ц.Ж. Об оценке снизу нормы функционала погрешности кубатурных формул в неизотропном пространстве W™ II Вестник БГУ, серия 14, «Математика и информатика», выпуск 2, Улан-Удэ, 2005, -С. 101-106.