Взаимодействие невесомой несжимаемой жидкости со сплошными и проницаемыми телами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Корнилов Александр Яковлевич

ВЗАИМОДЕИСТВИЕ НЕВЕСОМОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ СО СПЛОШНЫМИ И ПРОНИЦАЕМЫМИ ТЕЛАМИ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

UUJ458156

ЧЕБОКСАРЫ 2008

003458156

Работа выполнена в Волжском филиале Московского автомобильно-дорожного института (государственный технический

университет).

Научные руководители:

кандидат физико-математических наук, доцент доктор физико-математических наук, профессор И.Т. Артемьев

В.Н. Васнлхех

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Ф. Орлов кандидат физико-математических наук, доцент О.В. Ильин

Ведущая организация:

кафедра прикладной и теоретической механики Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Защита состоится «» otsr-L^ji 2008 г. в часов на заседании диссертационного совета Д212.165.10 Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. К. Минина, 24, зал заседаний Ученого совета НГТУ им. P.E. Алексеева.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева (603950, г. Нижний Новгород, ул.Минина, 24).

Автореферат разослан « ? 2-» сл^лЦ^ 2008г. Ученый секретарь диссертационного совета,

доцент \ Л.Ю. Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованшо влияния проницаемости на характеристики тонких тел в плоском потенциальном потоке идеальной несжимаемой невесомой жидкости, а также некоторым вопросам теории квадратурных формул.

Актуальность темы. При моделировании аппаратов, а также при решении ряда гидродинамических задач в последнее время все шире применяются тонкие тела, рабочая часть которых является перфорированной. В связи с этим весьма актуальным является исследование перфорированных тонких тел в потоке жидкости. В рамках нелинейной теории при решении гидродинамических задач возникают большие трудности даже в постановочной части (например, перфорации на контурах). Поэтому имеет смысл рассматривать идеализированную схему, когда жидкость считается несжимаемой, а перфорации моделировать в виде стоков и источников. При этом интенсивности стоков и источников приравниваются (с точностью до знака) секундным расходам жидкости через отверстия заданного радиуса.

Широкий интерес к перфорированным проницаемым телам в последнее время проявляется в связи с улучшением гидравлических и ветровых энергоустановок, а также при моделировании смесителей. Начало теоретическому изучению гидродинамических характеристик проницаемых профилей было положено в таких работах, как Рахматуллин Х.А. Обтекание проницаемого тела // Вестник МГУ. Сер. физ.-мат. и ест. наук, 1950. №3; Wuest W. Messungen an Absangeganzehichten. Luftfahrt//Forschungsber. 1962. №14, и др.

Рассмотрение потоков, ограниченных проницаемыми твердыми поверхностями, связано также с теоретическим исследованием течений несжимаемых жидкостей в оросительных каналах, когда определенная часть воды просачивается через песчаный грунт. Здесь под проницаемостью понимается возникновение нормальной составляющей скорости потока на дне канала, вызванное физической структурой грунта (см.: Козлов Д.Л. Движение жидкости в канале проницаемым участком. Тр. Семинара по краевым задачам, вып.6. Казань: Изд-во Казан. Ун-та, 1969).

В настоящее время рассмотрено боковое растекание и протекание струи идеальной несжимаемой жидкости при взаимодействии с проницаемой поверхностью (см.: П.Р. Андронов, C.B. Гувернюк. Решение задачи о плоской струе, натекающей на бесконечный проницаемый экран. В сборнике: «Проблемы

современной механики» (к юбилею Седова, МГУ им. Ломоносова, Институт механики), изд-во МГУ, 1998).

Анализ опубликованных работ показывает, что разработка эффективных методов решения вышеназванных задач и получение числовых результатов влияния проницаемости твердых границ на геометрию течения и гидродинамические характеристики профилей представляют собой самостоятельную задачу, имеют важное практическое и теоретическое значения.

Целью работы являются улучшения гидродинамических характеристик перфорированных лопастей и смесителей. Развитие методики постановки и решения задач математического моделирования и гидродинамики для перфорированных лопастей и смесителей при обтекании идеальной несжимаемой невесомой жидкостью. Создание методов численного расчета и компьютерного моделирования технических процессов.

Научная новизна. Разработан метод решения плоской задачи обтекания профилей с перфорациями, моделируемыми системой источников и стоков на контурах. Решена гидродинамическая задача обтекание тандема из двух тонких профилей потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Исследовано течение несжимаемой жидкости в перфорированной части полубесконечного канала. Получена эффективная квадратурная формула для сингулярных интегралов от периодических функций. Развиты численные методы и создан пакет программ для численных расчетов гидродинамических характеристик перфорированных лопастей и смесителя на ЭВМ. Приведены рекомендации для инженерных расчетов энергоустановок и смесителя СОЖ (смазывающие охлаждающие жидкости).

Достоверность полученных результатов достигнута строгим решением поставленных краевых задач и подтверждена сравнением числовых решений с аналитическими решениями.

Практическая ценность и реализация результатов.

Результаты исследований приложены к патентам на изобретения «Энергоустановка» №2078989 от 05.08.92 г. и «Гидравлическая энергоустановка Степанова Т.Н.» №1832160 от 11.05.90 г.

Предложенная в диссертации смеситель СОЖ в настоящее время используется в НТФ «Техма».

Результаты диссертации используются при чтении спецкурсов студентам Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова, Волжского филиала МАДИ(ГТУ).

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались: на XXXI студенческой конференции Чувашского

государственного университета «Человек. Университет. Общество» (г. Чебоксары, 1997г.); на Международной научно-технической конференции «Луканинские чтения. Проблемы и перспективы развития автотранспортного комплекса» (г. Москва, 2002г.); на научно-практической конференции «Дорожно-транспортный комплекс: состояние и перспективы развития» (г. Чебоксары, 2003г.); на XII Международной конференции «Математика в высшем образовании» (г. Чебоксары, 2004г.); на научных семинарах кафедры «Теоретическая механика», «Математическое моделирование» (Чувашский государственный университет, г. Чебоксары); на научно-техническом совете Волжского филиала Московского автомобильно-дорожного института (государственного технического университета) (г. Чебоксары).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем работы составляет 110 страниц. Список литературы содержит 134 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, содержится обзор литературы по затронутым вопросам, сформулирована цель работы, изложено содержание работы.

В первой главе диссертации получены формулы для вычислен!«! главного вектора сил давления потока на перфорированную пластину и профиль, а также момента лопасти относительно передней кромки. Получены модели проницаемых отверстий, контуров лопастей.

Обтекание тонкой тастины с перфорациями на контурах.

Пусть пластина длины I обтекается, потенциальным потоком идеальной несжимаемой невесомой жидкости. Поток налетает на

пластину под углом а и со скоростью Ут (рис. 1). На нижней стороне

(лицевая) в точках Р, (/ = 1 ,...т) находятся стоки с шггенсивностями

д;с, а на верхней стороне (тыльная) в точках 0' = 1,...,«) -

источники с интенсивностями д". При этом суммарный секундный

расход жидкости через отверстия, которые моделируются стоками и источниками равен нулю, то есть

+ и" = 0. (1)

1=1 у=1

В рамках принятой модели в передней кромке пластины (точка О) скорость считается бесконечно большой по модулю, а в задней кромке (точка А) - конечной (условие Жуковского-Чаплыгина).

Требуется вычислить главный вектор и главный момент сил давления потока на пластину.

Для получения ответа на поставленные вопросы необходимо найти комплексно-сопряженную скорость набегающего потока: <М

(2)

где Ух и Vу - компоненты вектора скорости потока.

Функцию (2) построим в параметрическом виде. Для этого плоскость с исключенным отрезком ОА конформно отобразим на полуполосу шириной п при помощи функции

г(0 = ^(1-зю20-

(3)

Соответствие точек при конформном отображении видно из рис. 1 и 2. При этом а = п /4.

£

У V

я, К*

о Р, Ш Р„ А ( Л а я-а л

Рис. 1

1 Р, О ^ й, АР.2 £

Рис.2

Решение задачи Шварца для полуполосы имеет вид

й\¥ т п

— = АС18(С - а) + В + Е Р1СЦ(С ~ Р,) + 2 Я. С18(С - Г ), (4) сЬ М 7=1

где действительные постоянные А и В определяются из условия здания скорости .

г» п

Л = В = Кмсозог. (5)

¡=1

М

Действительные постоянные Р, и Rj связаны с интенсивностями стоков и источников

Р,=--£г__, Л =--(6)

/cos2p, /cos2r7

Поэтому условие (1) можно переписать в виде

ffT и

^ Р, cos 2cos 2r; =0. (7)

/=1 7=1

Вычисление главного вектора. Главный вектор сил давления потока на пластину равен Л = X + /Т.

Выделяя мнимую часть после некоторых преобразований получаем выражение подъемной силы пластины

т п

Y = nplVx cos а[УЛ sin a - Pt (1 ■- 2 sin 2p,) - J] Я, (1 - sin 2r,)], (8)

/=1 M

где p - плотность сплошной среды.

Вычисление главного момента относительно передней кромки.

Главный момент сил давления потока относительно середины пластины

о *

После некоторых преобразований нетрудно получить выражение главного момента относительно передней кромки пластины

1 т

М0 = — npl2Vm cosa{Fw sina + 2[V'P,(l-sin2_p,)sm2p( +4

(10)

п т п

+ ^RJ(l-sm2rJ)sm2rJ]-tga[^Pl sin4p,+^Rj sin 4^]}.

7=1 <=1 7=1

Обтекание тонкого профиля с проницаемыми контурами.

Выясним теперь, какое влияние может оказать толщина на гидродинамические характеристики лопасти турбины. Пусть контур тонкого профиля, длина максимальной хорды которого равна /, задан уравнением

[tfi (*) для нижней стороны

y-tf(x) = < _ (11)

[¿/2 (I) для верхней стороны

где £• - некоторый малый параметр.

Требуется вычислить главный вектор и главный момент сил давления потока на тонкий профиль, а также провести анализ влияния на их значения проницаемых отверстий.

Для получения ответа на поставленные вопросы вместо функции (2) будем рассматривать следующую функцию

йШ

ф1= ул=ух_{у уп=и_1г1 ... (12)

£

где V, и Уу - по-прежнему, компоненты вектора скорости потока.

Поскольку е малый параметр, то функция ©(?) малые значения того же порядка е за исключением передней кромки профиля. Следовательно, с точностью до второго порядка малости по е граничные условия на контуре профиля можно сносить на границу горизонтальной пластины длиной / (рис. 3).

/

Рис. 3

В дальнейшем функцию (12) построим в параметрическом виде. Конформно отображающая функция (3) сохраняется.

Главный вектор сил давления потока на профиль.

Y^~Vap Re

Ю

(13)

где Cc и С" - коэффициенты подъемной силы

-у ^у

С°у = -2 Х'\ fl (¡0(1 - sin 2t)dt, с; =-2^Eií*0-sm2Jpi),

-к 12 n

i=í

с; = -1n I Rj (1 - sin 2rj), где P¡ = P¡ / V„a; Rj = Rj / Vxa . (14)

Из (14) следует важный вывод: чтобы изучить влияние проницаемых отверстий на подъемную силу тонкого профиля достаточно рассмотреть обтекание пластины, длина которой равна длине максимальной хорды профиля, координаты отверстий на тонком

профиле совпадают с точностью до второго порядка малости по е с координатами аналогичных отверстий на пластине.

Вычисление главного момента профиля относительно передней кромки.

1

М0 ~—npl V¿a{C„, +Сст + О,

(15)

где С°, Ссп, и С," - коэффициенты момента сил давления потока

ж 12 т

С°т = J/x (0(1 - sin 2t) sin Ш, Сст = р; (1 - sin 2р,) sin 2р,,

-Я-/2

п

(16)

С", = Я* (1 - sin 2r;) sin 2г;.

7=1

Из (15) также вытекает важный практический вывод: изучение влияния проницаемых отверстий на момент сил давления потока на тонкий профиль можно свести к изучению влияния проницаемых отверстий на аналогичный момент на пластину с теми же координатами.

Топкий профиль, контуры которого есть архимедовы спирали.

Как известно, при небольших кривизна контуров профиля архимедова спираль представляет собой квадратичную параболу, поэтому уравнение (11) в плоскости z = x + iy можно записать в виде:

\Е(уххг +fixx + vx) для нижней стороны, y = sf(x) = < (17)

[е(.у2х2 + цгх + к2) для верхней стороны,

где ук, рк и vk £ = 1,2 - некоторые постоянные, которые в дальнейшем будут найдены через геометрические параметры энергоустановки.

Из (14) находим коэффициент подъемной силы непротекаемого профиля

q=-2cr

(rx+yi)(x-l) + <juv+ рг)-

(18)

Коэффициент момента непротекаемого профиля относительно передней кромки определяется из (16)

С„, =-а

3 л

(ft + 72 -1) + (А + ) J

(19)

Для определения параметров ук, цк и Ук рассмотрим поперечное к центральной неподвижной несущей оси сечение (рис. 4). В этом

сечении введем подвижную систему отсчета ху с началом в центре периферийной оси. Рассмотрим расположение осей в нерабочем состоянии, то есть ось х проходит через переднюю и заднюю кромки профиля. Потребуем, чтобы тыльные стороны всех шести лопастей в нерабочем состоянии лежали на окружности радиуса г. Запишем уравнение параболы в виде (для тыльной стороны)

у = у2х2+^2х + у 2. (20)

Г^,-------------------------

' << < г

Рис.4

Очевидно, что у{0)--(И2 и у(г) ~ 0, а также из предположения о равенстве радиуса кривизны параболы в середине контура радиусу окружности, из (20) находим

2 „ 2 у, 1 с/

где с1 - сумма диаметра периферийной оси плюс удвоенной толщины лопасти.

Разрешим (21) относительно у2 и и2

(4г2+<*2)15 8д&-2 ~(4г2 + с/2)1'5 й

У1 ъ ---^-. V, = (22)

Найдем параметры контура с лицевой стороны. Потребуем, чтобы в задней кромке контуры лицевой и тыльной стороны имели общую касательную и обшую точку пересечения, то есть /{(г) = //(г)

и Мг) = /2(г) = 0. Поэтому 2ухг + 2у2г + ц2, ухг2 + рхг + ух=0 или с учетом (22) находим

„.-Зй^.огг!*:. да

4 г 4

Так как /,(0) = -с?/2, то нетрудно найти V]

Восстановим значения параметров контура на лицевой стороне лопасти

2й+г й+г

(24)

2 г 2 г

Моделирование отверстий. По полученным формулам проведем анализ влияния проницаемых отверстий на подъемную силу и момент сил давления на пластину с перфорациями. Как показал анализ математического решения, проницаемые отверстия при любых их расположениях на тонкой пластине и при любом их наборе оказывают отрицательное воздействие на подъемную силу пластины. Что же касается момента сил давления, если проницаемые отверстия располагать на левой половине тонкой пластины (ближе передней кромке), то математическое решение показывает положительное влияние проницаемости на момент сил давления тонкой пластины. Однако количественные оценки этих влияний можно получить лишь при проведении численного эксперимента. Некоторые числовые результаты, сосчитанные по программе, влияния проницаемых отверстий на коэффициент подъемной силы и момента сил давления потока на тонкую пластину приведены в табл. 1 и 2. При этом абсциссы проницаемых отверстий выбираются согласно формулам ' ■ 1 У

-, 1 = 1,..,т; I», =-

2(т +1) * 2(и + 1)"

следует, что максимального положительного эффекта для момента сил

давления можно добиться тогда, когда на тыльной стороне

перфорированной пластины имеется одно отверстие (п = 1), а левая

половина лицевой стороны пластины целиком состоит из проницаемых

отверстий (м = оо), то есть эта половина сконструирована из сетки. Это

предельное решение на практике вполне реализуемо, однако оно будет

иметь ряд существенных недостатков: во-первых, ослабит прочностные

свойства лопасти, во - вторых, нарушится жесткость и устойчивость

конструкции, при которых перестает работать сама гидродинамическая

модель, в-третьих, появятся шумовые эффекты, так как резко

увеличится скорость истечения сплошной среды из отверстия на

тыльной стороне и др. Таким образом, необходимо выбрать

оптимальное количество отверстий, как на тыльной, так и на лицевой

стороне лопасти.

хр> -ТГ> г = 1,-,т] х^ = 1Ч, 7=1,..,я. Из табл. 3 и 4

Таблица I.

Коэффициент подъемной силы Су__

N т,п=0 т=1 т-2 т=3 т=4 т=5

1 3.1416 3.1048 3.0794 3.0543 3.0293 3.0044

2 3.1416 3.1036 3.0771 3.0509 3.0247 2.9986

о д 3.1416 3.1028 3.0753 3.0482 3.0212 2.9942

4 3.1416 3.1020 3.0739 3.0460 3.0183 2.9906

5 3.1416 3.1014 3.0727 3.0442 3.0159 2.9876

6 3.1416 3.1009 3.0717 3.0427 3.0139 2.9851

7 3.1416 3.1005 3.0708 3.0414 3.0121 2.9829

8 3.1416 3.1001 3.0700 3.0402 3.0106 2.9809

9 3.1416 3.0998 3.0693 3.0392 3.0092 2.9792

10 3.1416 3.0995 3.0687 3.0383 3.0080 2.9777

Таблица 2.

Коэффициент подъемной силы Су__

N т,п=0 т=6 т=7 т=8 т=9 т=10

1 3.1416 2.9795 2.9546 2.9298 2.9050 2.8801

2 3.1416 2.9726 2.9466 2.9206 2.8946 2.8686

3 3.1416 2.9673 2.9404 2.9135 2.8866 2.8597

4 3.1416 2.9630 2.9353 2.9077 2.8801 2.8525

5 3.1416 2.9594 2.9311 2.9029 2.8747 2.8466

6 3.1416 2.9563 2.9276 2.8989 2.8702 2.8415

7 3.1416 2.9537 2.9245 2.8943 2.8662 2.8371

8 3.1416 2.9514 2.9218 2.8923 2.8627 2.8332

9 3.1416 2.9493 2.9194 2.8895 2.8596 2.8298

10 3.1416 2.9475 2.9173 2.8871 2.8569 2.8267

Таблица 3.

Коэффициент момента сил давления Ст__

п т,п=0 т=1 т=2 т=3 т=4 т=5

1 0.7854 0.8028 0.8167 0.8301 0.8432 0.8563

2 0.7854 0.8026 0.8164 0.8295 0.8425 0.8555

3 0.7854 0.8024 0.8159 0.8289 0.8416 0.8543

4 _] 0.7854 0.8021 0.8154 0.8282 0.8407 0.8531

5 0.7854 0.8019 0.8150 0.8275 0.8398 0.8520

6 0.7854 0.8017 0.8145 0.8268 0.8389 0.8508

7 0.7854 0.8014 0.8141 0.8261 0.8380 0.8498

8 0.7854 0.8013 0.8137 0.8255 0.8372 0.8488

9 0.7854 0.8011 0.8133 0.8250 0.8365 0.8479

10 0.7854 0.8009 0.8130 0.8245 0.8358 0.8470

Таблица 4.

Коэффициент момента сил давления Ст__

п т,п=0 т=6 т=7 т=8 т~9 т=10

1 0.7854 0.8694 0.8824 0.8954 0.9083 0.9213

2 0.7854 0.8683 0.8812 0.8940 0.9068 0.9196

3 0.7854 0.8670 0.8796 0.8922 0.9047 0.9173

4 0.7854 0.8655 0.8779 0.8903 0.9026 0.9149

5 0.7854 0.8641 0.8763 0.8884 0.9005 0.9126

6 0.7854 0.8628 0.8747 0.8866 0.8985 0.9103

7 0.7854 0.8615 0.8732 0.8849 0.8966 0.9082

В 0.7854 0.8603 0.8718 0.8833 0.8948 0.9062

9 0.7854 0.8592 0.8705 0.8818 0.8931 0.9044

10 0.7854 0.8582 0.8693 0.8804 0.8915 0.9026

Дня решения этой проблемы нужно рассматривать лопасть целиком с учетом габаритных размеров и удаления периферийных осей от центральной оси.

Компьютерное моделирование контура лопастей. Результаты касающиеся математического расчета формы лопастей, реализованы в программе. Данная программа выдает таблицу значений координат точек контура лопасти. При этом программа предусматривает, что конструкция заранее состоит из шести лопастей. Если же число лопастей отлично от 6, то необходимо внести небольшие изменения в соответствующих формулах и в программе. Программа предполагает, что после запуска ее выполняемого файла необходимо ввести числовые значения г и ¿.На рис. 5 приведен контур лопасти шириной г - 50 см и значением с! = 5 см. Контур лопасти другой ширины (г = 30 см)

и значения с1 = 5 см показан на рис. 6. Контур вблизи передней кромки апроксимируется кубическим уравнением х - ау3+Ьх2+су+е, где постоянные коэффициенты а, Ь, с не выбираются из условий равенства значений самой функции и ее первой производной в точке х = 0 соответствующим значениям функций и их первых производных, описывающих контуры лицевой и тыльной сторон лопасти, в этой же точке, то есть

М\ -Мг ь= с=Мх-М2 +Ц2>1

Моделирование контура произвольного числа лопастей. Программа предусматривает, что число лопастей конструкции равно шести. Если же есть необходимость изменения числа лопастей, то формулах второго параграфа нужно вместо г брать, г / А'), где N - число лопастей турбины. Данный случай реализуется согласно программе. Программа предполагает, что после запуска ее выполняемого файла необходимо ввести числовые значения г, с/ и N, где N - число лопастей, г - радиус окружности, на которой располагаются лопасти при нерабочем состоянии турбины, й - по-прежнему, сумма диаметра периферийной оси и удвоенной толщины контура лопасти.

Во второй главе рассмотрен безотрывное обтекание системы из двух проницаемых тонких профилей, установившимся потенциальным потоком идеальной невесомой несжимаемой жидкости. Использован аппарат эллиптических функций для решения данной задачи. Исследовано математическое решение на единственность в различных классах функций. Получена формула для вычисления подъемной силы тандема из двух тонких профилей потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости.

В третьей главе рассматривается модель смесителя СОЖ(смазывающие охлаждающие жидкости) на основе перфорации внутренней части аппарата. Рассмотрена рабочая часть смесителя (рис. 7). По основному каналу подается смесь, состоящая из нескольких компонент со скоростью ¥с при входе, которая через

перфорированную часть канала (участок ВС) длиной Ь и шириной с/ выходит в область вспомогательного канала ширины О. В этом канале дальнейшее течение перемешанной смеси осуществляется при помощи нагнетания воздушной массы со скоростью Ув при входе. Перемешанная смесь отводится по каналу. Перфорация осуществлена при помощи направленных поточных отверстий.

В полуполосе АВСБЕ исследовано геометрия течения несжимаемой жидкости.

V. — воздух

/ ■■/ / П / / /

У £ we л ер ем ъшанмая с смесь

Ун— воздух

V \ \ \ц\ \ \ V

Уп

_Vnc

перемешанная смесь

Перфорировзииэя часть трубы

Рис.7

Схема смесителя СОЖ.

Рис. 8

В четвертой главе для численного исследования влияния физических параметров на геометрические и гидродинамические характеристики потока жидкости или обтекаемых тел получена квадратурная формула для сингулярных интегралов от периодических функций.

t<P(t,xy Jsin(7-

S cj;

, . cos(2n+l)* 1-H) cosi*-----

(25)

J sin(/ - 2n+l f^sin(tt -x) _ где (?(t,x) непрерывная на всем квадрате [0,,т]х [0,гг] функция и при этом

^(тг + t,x)~ -<p(t, х), <p(t, л+ х)~ ~(p{t, х). Если в (25) х = я¡2, то

2 п

rrp(t,x)dt _ к

(-1)*+и(2« + 1)--—

cos tt

Если в (25) значение некоторого узла совпадает со значением х, то в квадратурной формуле слагаемое с индексом к заменяется на выражение

2п+1

Формула (25) апробирована на следующих интегралах:

(г - а)9А (I + а) ¿З^-х)^ (/ + *)'

<Л =

{х + а)

&1т4(2х)

9' З1

¿ГЦ

где (г) и 9а([) - тета-функции Якоби, а их- некоторые заданные величины.

¡м-х* т а)-

Как показали числовые эксперименты, для достижения точности Ю-10 вычисления первого интеграла по формуле (1) при а-л ¡2 и <7 = 0,1 число узлов п достаточно брать равным 10, а второй интеграл

при этих параметрах вычисляется с точностью 10~15.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Получены формулы для вычисления главного вектора сил давления потока на перфорированную пластину и профиль, а также момента лопасти относительно передней кромки. Получены модели отверстий, контуров лопастей.

2. Решена гидродинамическая задача обтекание тандема из двух тонких проницаемых профилей потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Найдено математическое решение поставленной задачи. Проведено исследование на существование и единственность решения в различных классах функций, в зависимости от особенностей на концах проницаемых участков. Аналитически получена формула для вычисления подъемной силы тандема из двух тонких профилей потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости.

3. Исследовано течение несжимаемой жидкости в перфорированной части полубесконечного канала. Изучено влияние перфорированного участка на изменение модуля скорости.

4. Получена эффективная квадратурная формула для сингулярных интегралов от периодических функций, которая дает точное значение интеграла, если подынтегральная функция есть тригонометрический полином.

5. Квадратурная формула апробирована на интегралах, содержащих тета-функции Якоби.

6. Квадратурная формула может найти применение при приближенных решениях сингулярных интегральных уравнений, содержащих тета-функции Якоби.

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях:

1. Корнилов А.Я. Квадратурная формула сингулярных интегралов от тета-функций / Человек. Университет. Общество. Материалы XXXI студ. конф. -Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1997. С. 123-124.

2. Корнилов А.Я., Васильев В.Н. Расчет системы смешивания жидкого топлива (ССЖТ) на основе перфорации внутренней части трубы аппарата / Тезисы докладов «Лукашшские чтения. Проблемы и перспективы развития автотранспортного комплекса». -Москва: МАДИ(ГТУ), 2003. С.73-75.

3. Корнилов А.Я., Артемьев И.Т. Обтекание тонкой пластины с перфорациями на контурах под прямым углом / Тезисы докладов XII Международной конференции 24-30 мая 2004 года «Математика в высшем образовании». -Чебоксары: Изд-во Чуваш ун-та, 2004. С. 116.

4. Корнилов А.Я. Математическая модель ССОЖ (система смешивания охлаждающей жидкости) / Тезисы докладов II научно-практической конференции «Дорожно-транспортный комплекс: состояние и перспективы развития». -Чебоксары: ВФ МАДИ(ГТУ), 2004. С. 32-34.

5. Корнилов А.Я., Васильева Е.В. Конформное отображение плоскости с двумя исключенными параллельными отрезками на прямоугольник. / Сборник научных трудов «Математические модели и их приложения». -Чебоксары: ФГОУ ВПО «Чуваш, гос. ун-т», 2005. С.121-128.

6. Корнилов А.Я. Истечение жидкости из перфорированной части верхней стенки полубесконечного канала. / Сборник научных трудов

«Математические модели и их приложения». -Чебоксары: ФГОУ ВПО «Чуваш, гос. ун-т», 2005. С. 128-133.

7. Корнилов АЛ. Об одной квадратурной формуле. / Вестник казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева №3. -Казань: Изд-во КГТУ, 2006.

8. Корнилов А.Я., Яранова О.Ф. Аналитическое исследование математической модели смесителя. / Сборник докладов и сообщений 11-ой межрегиональной научно-практической конференции «Дорожно-транспортный комплекс: состояние и перспективы развития». -Чебоксары: ВФ МАДИ(ГТУ), 2008. С. 117-124.

9. Корнилов А.Я. Течение несжимаемой жидкости в перфорированной части полубесконечного канала. / Вестник казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. -Казань: Изд-во КГТУ, 2008. (в печати).

Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Физ. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 108.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии «Новое Время». 428034, г.Чебоксары, ул.Мичмана Павлова, 50/1. Тел.: (8352) 41-27-98.