Взаимодействие плоской волны с различными преградами в упругопластической среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ЛВДЕШЯ НАУК УКРАШСЮЙ ССР ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ДОНАЕВ БУРХОЦ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ С РАЗЛИЧНЫМИ ПРЕГРАДАМИ В ЛРТГОПЛАСТИЧЕСКОЯ СРЕДЕ

01.02.04 - Механика деформируемого трэрдого

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1990

Работа выполнена в Каршинском филиала Ташкентского орлана Трудового Красного Знамени института шкешров ирригация и механизации сельского хозяйства

Научные руководитегах: академик АН Уэ.ССР

Х.А.РАХШУЖН доктор технических наук Н.ЫШДАЛИВВ Официалышэ оппоненты: доктор технических наук,

профессор

ттшов и.г.

кавд дт физико-математических наук

САВИН В.Г.

Ведущая организация^ НИИ специального машиностроения шШи, Н.Э. Баумана,,. Зещиха состоится " ft . "О Х990г.

в *ff ^ часов на заседаний специализированного совета К 016.49.01 в шсмгуте механики АН УССР (252057, Киев-57, ул.Нестерова, 3). С диссертацией мо-чно ознакомиться е научной библиотек© института механики АН УССР. Автореферат разослан У / -- 1930г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор технических наук

/¿Л Zyz^- с.чзншкш

ОБДАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Б последнее врешг быстропро-текавдие волновые процессы часто встречаются в авиа-и ракетостроении, машиностроении, сейсмология я в сейсмостойком строительстве. Это связано,в частности, с использованием взрыва в народном хозяйстве я возведением различных подземных сооружений, коммуникации и выработок сферической я цилиндрической формы в сейсмически опасных зонах страны. Для прогнозирования и оценки прочности сооружений, конструкции и массивов, подверженных динамическим воздействиям высокой интенсивности, необходимо разрабатывать теоретико-экспериментальные методы расчета параметров взаимодействуя волн с различными препятствиями. В этом направления достигнут определенный успех в области изучения взаимодействия воли с преградой различной формы в основном в рамках линейной теории упругости. Однако методы расчета дифракция'Волн.от препятствий сложной формы с

учетом необратимых процессов и упругокластическях деформации среды и сооружения разработаны недостаточно.

В связи с вышеуказанным исследование проблемы распространения интенсивных волн в слоистых упруго-пластических средах и их взаимодействия с преградами различной формы, чему посвящена предлагаемая работа,

является актуальной.

Цель работы

- Разработка аналитического и численного методов

решения упруго пла о тэте с к их задач распространения волн в грунтах и их взаимодействия с различными препятствиями, включая:

а) постановку одно- и двумерных нестационарных упругоплаатическях задач;

б) вывод системы линейных и нелинейных, разрешающих уравнений на основе деформационной теории с обоб-пвянчга урагаокпдол состояний среда;

в) разработка алгоритаа, составление программы для численного решения одно-и двумерных нестационарных задач на ЭВМ типа БЭСМ-6 и ЕС и оценку достоверности рэзультагов.

- Анализ напряжений и кинематических параметров грунта в окрестности полости или массивной преграды при воздействии на них интенсивной плоской волны скатил. Исследование влияния необратимых процессов, интенсивности нагрузки в кабегащей волне и геометрических параметров тела на распределение напряжений б областях отражения и дифракции золн.

- Решекко задачи о взаимодействии плоской нестационарной аолны со сферической полостью в грунте с учетом его неодномерних упрутопластичо'-'ких деформации.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. Построено решение задачи о распространении сферической волны в упругояласгической среде в рамках деформационной теории с учетом слоеных уравнений состояния.

2. Вяорвые исследуется задача взаимодействия плоской волны с лодвякной массивной преградой в двухслойной упругопластической среде.

3. Разработана методика расчета на ЭНЛ задачи о взаимодействии плоской волнн со сферической полостью, расположенной в упруголласгическом грунте.

4. Исследовадо влияние неупрутих и необратимых евойзиз грунта распределение напряжений вокруг сферической полости ври воздействии плоской интенсивной волны сжатия.

Достоверность..аадачевшх в работе результатов подтверждается: корректность» постановки нелинейных динамических задач и выводов разрешающих уравнений; использование общеизвестных моделей механики сплошной среды и петодов математическая фязкклг сравненном, в частное-

тя с аналитическими и численными решениями других авторов.

Практическая значимость. Разработанные в диссертации метода расчета одно- я двумерных нестационарных яадач найдут применение при оценке параметров движения среда в волне сжатия и для определения уровня снижения нагрузок на сооружения при использовании различных защитных экранов, а также для исследования устойчивости процессов откола, и ' ската" выработки сферической и цилиндрической формы при интенсивном сейсмо-взрюзном воздействии. Приведенные решения и графики позволяют выделить особенности взаимодействия волн с преградой в слоистой сродо и даст возыошюсть изучить влияние упрутоплаотичзской дзфоршцш грума, про(Ьшж

нагрузки и физико-механических характеристик защитной прокладки на распределения контактах давлений в лобовой и теневой поверхности преграда заданной толщины.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсувдалйсь:

- на всесоюзной конференции по распространению упругих и упругопластическгас волн (сентябрь 1963 года, г.Фрунзе); на П всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (июня, 1985г., г.Фрунзе); на Республиканской конференции по сейсмологии и сейсмостойкости строительных сооружений (апрель, 1988г., г.Ташкент); на конференции по механика сплошной среде, посвященной памяти академика АН Уз,ССР Х.А.Рахматулша (апрель, 1989г., г.Ташкент); на семинара отдела динамики я устойчивости сплошных сред института механики

АН УССР (январь, 1909г., г.Киев); на научно-тоорети-ческой конференции профессорско-преподавательского состава Карпинского филиала Тииимвх (1983-89гг.,

г.Карши).

Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в четырех статьях.

Объем работа. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения к списка литературы. Изложена на 150 страницах, включая' 51 рисугок. и список литературы из 81 наименований.

■ СОДЕРЕАЖЕ РАБОШ Во введении дан обзор работ по проблеме, раскрыта актуальность и важность исследования задач о взаимодействии волн с различными преградам в уаруголлас-тичэской среде, определена цель работы, изложены основные научные полояания, зыкосимые на защиту я краткое содержание работы.

В первой главе рассматривается задача о таспро-стралеши сферической ударной волны в упругоплаоти-ческой и неяинейно-ашлаемоа средах с линейной разгрузкой при воздействии на границ:' каверны t = to

интенсивной нагрузки <5"с (¿) . Решения задачи построены аналитически обратным и прямым способами и численно методом характеристик в предположении, что среда, в частности грунт, на фронте ударной волны t*R(t) мгновенно нагружается-нелинейным образом, а за фронтом в возмущенной области .происходит необратимая линейная разгрузка среда.

В § I данной главы задача о распространении сферической волны в грунта решается исходя из деформационной теории*' с определяющими функциями

6" = ${£) iei)£, ш

тде б" , 61 , £ , Sc. - первые и вторые инварианта тензоров напряжений и. деформации; di < ßi ( = 1,2) - определяемые из эксперимента постоянные коэффициенты.

Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев H.A.

Вопросы динамики грунтов. М., Изд-во МГУ, 1964г.

В этом случае уравнений движэяия среды,и завися-мостя между напряжениями и деформациями тлеют вид

р c?l¿ _ Э<ГП (&гг - ¿W)

^ 'дг ^ г (2>

при яагружении , при разгруэсенки

= (х)+л0(б - 4)

Исследуя (2) с учетом (I) и (3), показано, что при (<¿2-) >0 в грунте распространяется ударная волна % , o^t), иначе (d¿ - центрированные

волны яагрукения Римана в сочетания с волной разгрузки. •

В работе рассматривается случай (c¿¿ - Á Д) > О.

Тогда задача о распространении сферической волны в

(5)

грунте имеет следующие условия: ■ нг урон те полны

< - -Рока 14 , К = -кь)бъ ,

и(г.Ь) - о при х = я(ь) и на границе яаверда

= при >0. (6)

Построим решение задачи обратным способом.' 3 этом случае задается ферт поверхности ударной волны Ч - &С£) и в процессе решения задачи находятся соответствующий профиль нагрузки б*о (С) . Цуси задан £(1;) . Тогда в области нагрузки (I) (см,рис.1) для перемещения среды имеем

-щ.т = ас 1.-ЩТ-+ т(г,)} '

1 - координата; & - время. Так как заданная функция, то для уравнения (7)

вырождается задача Коши и,из (5) с учетом (3) получим

Ш-ЬххФ' (¿¿-Щ/Ь) (8)

^ = - т ¿*(ь).

Используя (7) в качестве граничных условий решение уравнения (7) при помощи формулы Даламбера представляется в виде , ,

, У(1-йЛУФ(г+аЛ)_ _

* ' ' г (9)

Сю

где г и <Р неизвестные функции, которые зависят от параметров ударной волны. Тогда, подставляя (9) в (6) с учетом (4), получим формулу для нахождения ¿Г. ¿'"О , выражение для которой из-за громоздкости но приводится.

Решение (9) справедливо до тех пор пока б~а(Ь) О. В дальнейшем при 6"0(t) 5 О в физической плоскости ( t , ' t ) возникают области 2,3 и т.д. 3 этом случае обратный метод теряет силу, и поэтому решения задачи для области 2,3 и т.д. построены прямым методом. Исследование показано, чсо ешзизложенный обратный метод становится более эффективным в начальном этапе распространения сферической волны в грунте, т.е. в окрестности фронта волны яри малом интервале времени. Таким образом, зная решении задачи при t , где £ -малый параметр, и подбирая соответствующий заданный профиль нагрузки, в дальнейшем решение вышеуказанной задачи удается построить аналитически прямым методом, разделяя возмущённую область на характеристические подобласти. Кроме того в работе задача о распространен нии сферичьекой волны в грунте решена в рамках обобщенного "пластического хаза" с линейной разгрузкой. Числовые расчеты на'ЭВМ проведены для случая, когда фронт ударной волны задан в виде полинома

где R< = 420 м/сек, = 2.102./?( м/сек , Po = 10.5 Ша, Jl - 2кН.с^/м4, и значения коэффициентов уравнения (I) имеют вцд

о/ < =1.2127. 10%Па, ¿z = 5.873.Ю3Ша, (II)

fii =3.583.10^ МПа, fz = IДМ.пЛйИа, . £{ =1.4,10^ МПа, Ez = 0.2.I03 МПа и результаты представлены на рис.2.

Из рис.2 видно, что в случае моделирования грунта нелинейно-сжимаемой средой, по сравнению с упругоиластя-ческой задачей, найденный из решения обратным способом профиль нагрузки 6"v(t) изменяется во времени сравнительно медленно я при t > 0 приобретает наибольшие значения. Дальнейшие исследования посвящены численному решению вышеуказанной сферической задачи методом характеристик. Результата метода характеристик сопоставлены

с аналитическим решением задачи.

Анализируя результаты расчета по распределению параметров среды на фронте ударной волны заметим .что результаты метода характеристик удовлетворительно совпадают с аналитическим решением задачи.

В § 2 обратным способом решается задача о распространении сферической волны в грунте с более сложнымч уравнениями состояния <5" - &(£), бI -

используя &кспер.таенгальные данные МКОИ им. В. В. Куйбышева. В процессе решения задачи ветви разгрузки диаграмм и 67. ц£, <5 ^) приняты прямыми линиями с углом наклона и .

В этом случае функция £>¿(8,6:) при нагруженни с учетом первого уравнения (I) аппроксимирована в виде •

* «йсе.&) --ФУЩ^ФЛмЫш

ад б; % ) = а;[1-е*р(- ^ £,)] + с,- (13,

Тотйк для' определения деформации £*(£) на фронте ударной волны в замен первого уравнения (8) получаем тракцекдентное уравнение вида

, (14)

которое решается численно на ЭВМ при помощи стандартной процедуры. Конкретные расчеты на ЭВМ проведены для заданной в виде (10) формы фронта'волны оо следуй-

ними значениями коэйшшенгов: ■ '

Г- II -

420 м/сак. = 2.ГО2. м/сэк2, (15)

]>„ = 2 кН.с2/м , 2.69975 МПа, 1.24866 Шз, 137.3133, 4 я 237,9847, 0Л88206 МПа, о 15.84691 МПа, ¿1 = 1.2127Л02 = 5.873. ГО3 МПа.

Результаты расчетов показывают, что найденннй обратным методом профиль нагрузки <%= - бгг (1о,Ь), в'случае »<51'(/£,6^)(Рис.З, пунктирная линия с точками) в зависимости от врекояя затухает быстрее, чем в случав 61 - 52(£1) .(Рис.3, сп :ошная линия). Однако б'оШ имеет максимальные значения в рассмотренном интервале времени в случае решения задачи в рамках обобщенного "пластического газа" (Рис.3, пунктирные линии)

/ 0,1 ■ / » / » / ] • / г / Ю%с у

• / » / ^ / / — у..........

Рис.3 Во етотюй главе рассматриваются одномерные зала-

чи о взашодойствии плоской волчн с массивной подвиж-нойУв грунте при наличии с двух сторон преграды упруго-податливкх защитных экранов из более мягкого, чем грунт, материала (.£оп А - плотность грунта) и

без их учета.

Бели преграда с двух сторон оснащена упруго-податливой прокладкой толщиной п и расположена в грунте, то зодновая картина задачи в плоскости( I ,£)

имеет представленный на рис.4 вид.

Рис.4

Изучая физику процесса при . заметим,что

движение сред в областях 1,2,3,4 и т.д. описывается лшейшм волновым уравнением относительно перемещения 11,(4^) с правой частью или <5еч нее. Тогда решение задач в этих областях возмущения сводится к построению решения системы волновых: уравнений при выполнении условий на линии контакта, на фронтах волн и на поверхности преграды. Эти волновые уравнения для определения нагрузок замыкаются уравнением движения преграда вида ... „

, , тх * + о , (ю

где -Щ^-Х, — массовая скорость среды в областях 3,4 и преграда.

Решения вышеуказанных волновых уравнений с учетом

(16) получены в квадратурах до момента времени, ког-д4 набегающаяя плоская волна прошла порядка восьми толщин прокладки, т.е. в работе получены решения ?а-

дач включая область 16 (Рис.4).

В случае реиэния задачи без прокладки в окрестности преграда возникают только две области I и 6 (см.рис.4). Решение задачи в этих областях построено в предположении, что фронт отраженной волны 1 - Р, (€) является слабоисхривленным и среда или грунг в области 6 ведет себя как упругое тело. Тогда задала для области I л 6 с учетом формулы Даламбера сведена к решению функционально-дафференгтальногс уравнения вида:

* &(г), (17) л &01 + й<(0) , 1 а, (о) ¿.о

тгПйа 17- &1-а<><) В (17) ¿26?) - известная функция, зависяцая от

параметров падающей волны. Решение уравнения (17) получено методом последовательных приближений я для П - ого приближения имеет вид:

^(г) = ехр(-12)[ехра?)ап(?)с{?, (18)

где в<(г) *в(?)-л[б1(л$-(им)-ехр(ь л.-*?)-

(19)

<fa(7<)exp(u%,)c¿b]

о ..

Численный эксперимент показывает, что раккурентная формула (19) при Л ^ I обеспечивает быструю сходимость и поэтому при проведения расчетов используется конечное число С h = 3) приближений.

Сравнительный анализ результатов показывает, что прокладка из пеноэпоксвда ( fon =0.1 кН.сек^/м ) заданной толщины существенно (в несколько раз) сникает уровень нагрузки на преграду.

В тгетьеч ттарв исследуется задача о взаимодействии плоской волне со сборяческой полостью в грунте с

учетом упрутопластячэских деформаций грунта. Ъ основу исследования заложена деформационная теория со сложными уравнениями состояния 6 -б'Сб) и = с учетом нелинейного нагружения и разгружения среда. Задача решается численно вядоязманным разностным методом М.Л.7илкинса. Расчеты на ЭВМ проводились для различных профилей нагрузки б^С^-У , заданных аа фронтом падающей плоской волны сжатия.'

В § I приводится вывод разностных уравнений и описание принятой теории пластичности грунта.

Пусть фронт распространялдейоя в грунте плоской ударной волны в момент времени "6=0 касается границы сферической полости радиуса (Рис.5). Требуется по заданной интенсивности ударной волны определить поле напряжений около выработки в области I дифракции волн и .движения стенок полости. Если' в сферической системе координат ( 1 , б? , V ) обозначить че-

рез V, ( % , в . Ь ), V ( % , & , Ь )

смешения грунта соответственно вдоль ¡адиуса Ъ и

ьА и

Ряс. 5

угла О , а через , . Ов>$. -ком-

поненты напряжений, то'уравнения движения грунта тлеют вид:

где - начальная плотность грунта. Начальные условия задаются параметрам среды в падающей волке, вне падающей волны-покой. Для проведения численного расчета на ЭВМ определяющие функции вышеуказанной теория 6"(В) , 5~и (б,Ег) лри нагружении мелкозернистого песка аппроксимированы следующими зависимостям: „ , . -.)

&(£) = 9.^(е/а.О()А+ 3.6М(£/0.о 1) прию.

бГб) - ¡.№5(е/о.с1)*+?я. {тСе/смУшЦФ,^

гдвб'(б)>'о , и б*• (€г) -известные не-

линейные функции. ■

Аналогичные нелинейные зависимости использозаны для необратимой разгрузки среды. Однако ветви разгрузки диаграммы 61 не зависят от объемного сжатия среды, т.е. имеют вид - ¿Д £;Р) ,гдв

£ Н , 6- - объемная деформация и интенсивность деформация э точке начала разгрузки. Для решения задачи рассматриваемая область Ч.'-О^О^Х (е силу симметрии задачи) разбивается на сетку с тагами по радиусу я углу соответственно

4*» Щ^чО- М-ЩУ-ЗО), (23)

в которой условная вяеиняя граница % - Ят . На границе (Р - О , О -Л попользуются условия симметрии:

0 = 1Г= о.. (24)

При расчетах введены схемные вязкости по направлениям в ввде:

где а ^ J

- а.

В этом случае математически задача сводится к решению системы разностных уравнений с начальными условиями з падающей волне и граничны;ли условиями на сферической каверне" вида:

* 6"*«? , (26') При численной реализации задачи сперва определяются перемещения среды, а затем по найденным перемещениям вычисляются напряжения.

Во втором параграфе предлагаются результаты расчетов, проведенные на ЗИЛ, в.случае воздействия на сферическую полость ступенчатой волны, т.е. при

. ~ (Рис.5), где Д~Ь - шаг по временя. Полученные результаты относятся к кинематике

полости и распределению напряжений как на границе полости, так и в области дифракции волн в случаях

%0 = 5 и I м, = 40 и 8 м для значения напря-

жения в падающей волне - - (Э0 — - /О ¡"/Мез

При упругих деформациях результаты расчетов сопоставлены с ранее получэнншли результатами А.Н.Ковшова, У. 5. Ванта, что'дало удовлетворительное совпаде-. нив расчетных данных с анашгткчесгсиш и численными ре-зультгтами по скорости II) 7/ движения границы сферической полости и по распределению на ней кольцевого напряжений .

Из результатов следует, что при упругопластичес-ких дэформациях, по сравнению с упругим решением задачи, параметры сферической полости несколько запаздывают во времени и имеет сложным волгавой характер. Изучая распределение напряжений бг)о на полости заметим, что:

а) изменения напряжения 5&>б> по углу О при упругих и упругоплаотических де^тоумациях являются существенно различными; максимальное значение б'ссо достигает в упругопластической (упругой) среде при

9 = 0 ( Зь/з. ), причем наибольшую величину приобретает упругопластическая среда;

■ б) на распределение напряжения в облас-

ти дифракции волк оказывает заметное влияние упруго-пластическое формоизменение среда, обусловленное уравнением состояния 62 - 62 (¿,£1 ) . В частности, при 1 - Ко , & учет необратимых

процессов только по формоизменению (Рис.6, сплошная линия) по сравнению с упругим (пунктирная линия с точками) и упругопластическим (пунктирная линия) случаями приводит к уменьшению амплитуды напряжения в зависимости от времени.

убывающей во времени нагрузки.

Анализ полученных результатов- показывает* что: - в случае нелинейно-упругой среды лрст использовании ударней дваграшз б"(£) кольцевое: напряке-

яиэ £>оо на полости при 9 = в зависимости от времени принимает наибольшее значение, чем 6ое> , вычисленная для упругой среды;

- 'для монотонно убывающей нагрузки в отличие от ступенчатой, профиль упругого напряжения ■ 6Ье> во вроменя в различных точках сферической полости

{(у "С, ) получается знакопеременным, а упруго-

пластическое напряжение 609 не меняет знак, но при 1" > 0 уменьшается его амплитуда;

- динамическая концентрация напряжения на сферической полости выше, чем на цилиндрической.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Аналитически обратным методом и ■численно методом характеристик решена задача о распространении сферической ударной волны в грунте на основе деформационной теории определяющими функциями

где > О , ,. сС^^ес >0 , >0,

(¿Ъ/ие? ¿о И ¿А , оСг , , Д, -известные из эксперимента постоянные коэффициенты, и с учетом линейной необратимой разгрузки среды. Далее исследовано распространение сферической волны в среде со

сложным упругояласгическим формоизменением среды вида 57 - 61(6,. При решении задачи обратным методом отмечено, что если форма фронта волны задана в

виде выпуклости к оси СУ. . (РясЛ), то профиль на- • грузки бо(Ь) на сферической каверне получается монотонно убывающей функцией времени. Профиль в случае <$7 - 5} (£, £7) имеет более крутую и быстро спадающую во времени форму, чем в случае <57

2. Анализ результатов, полученных согласно решению задачи о взаимодействии плоской волны с массивной преградой, оснащенной защитными прокладками в грунте покачивает, что прокладка яя ниякомгадульного материала

позволяет снизить .уровень сейсмовзрнвной нагрузки на преграду.

3. Численно методом конечных разностей роиег я . двумерная нестационарная задача о взаимодействии плоской волны со сферической полостью в грунте исходя из вышеуказанной теории с определяющими из эксперимента функциями б'- ) к ^ у £, которые учитывают нелинейные я необратимыегроцессы на-гружения и разгрукения, происходящие в грунте в области дифракции волн. Анализируя результаты численного расчета на ЭШ, обнаружено, что учет нелинейно-упругих ударных диаграмм £>(£) приводит при 0 - ^ к увеличении величины кольцевого напряжения бб>с> по сравнению с упругой средой.

В случае 'упругопластического деформирования грунта кривая бЬв на сферической полости при 6> - ^ в зависимости от времени по абсолютной величина расположена ниже, чем соответствующая кривая для упругой среды. Разница их максимальных значений для ступенчатой нагрузки составляет приблизительно 60-^0$.

При рассмотрении только упругопластического с)Ьр~ ?,«изменения грунта величина максимального значения бас на полости несколько ниже, чем яри упруго-пластических деформациях грунта. Следовательно, за

счет необратимых процессов и сложных уравнений состояния распределение напряжений на сферической полости' существенно изменяется и переходные волновые процессы получаются длительными и сяоянкми по структуре.

ОСНОВНОЕ СОЯЕЕНШВ ДИССРРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДШцИХ РАБОТАХ

I. Взаимодействие плоской упругоплаотической волны с массивной подоя-шой преградой в слоистой среде ./Гезпсы докладов конференции по распространенно упругих и упругопяастичесних волн. Часть П, г.Фрунзе, 1983?. в соавторстве Дталилова.Т.А., ^ачгдалиав П., ¡¿супов АЛ!.

2. О распространении сферической волны ь,нелинейно-сжимаемой я упругопластической срздах.^езисн докладов П Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости. Г.Фрунзе, 1985г. в соавторстве Джалилова.": Т.А., Радаабов Р., Юсупов А.И.

• 3. О распространении сферической волны в нелиней-но-сгиз«аемой и упругопластической средах./к»1Т5, й 4, г.Новосибирск, 1386г. в соавторстве Мамадалиев К., Юсуьов А.И.

4. Изучение распространения сферической волны в упругопластической среде в рамках теории с обобщен-тал уравнением со стоянии .//¡Щ. Уз. ССР, $ 5, г.Тапкакт, 1989г.

Подписано к печати 05~- X'. 9 Ор, Формат 60x84/16

Бумага офсетная Усл.-печ»лист. 1,0, Уч.-изд.лист ),(

Тираж 100. Заказ _Бесплатно___

ФОЛ Института электродинамики АН УССР, 252057, Киез-557, проспект Победа, 55.