Задача Вентцеля для нелинейных параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

АПУШКИНСКАЯ ДАРЬЯ ЕВГЕНЬЕВНА

ЗАДАЧА ВЕНТЦЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

На правах рукописи

АПУШКИНСКАЯ ДАРЬЯ ЕВГЕНЬЕВНА

ЗАДАЧА ВЕНТЦЕЛЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена на кафедре математической физики математико-механвческого факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель -доктор физико - математических наук,

профессор УРАЛЬЦЕВА Нина Николаевна

Официальные оппоненты -доктор физико - математических наук,

профессор ЛАНДИС Евгений Михайлович

-кандидат физико - математических нау» ЧЕЛКАК Сергей Иванович

Ведущая организация - СПбОМИ им. В.А. Сгеклова

Защита состоится ^саЬр* 1993 года в ¿1 часов на заседанш специализированного совета К.063.57.49 по присуждению ученой степей кандидата физико-математичских наук в Санкт-Петербургское государственном университете по адресу: 198904, Старый Петергоф Бибилиотечная пл. 2

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотек СПбГУ по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан А ЦозБ^Уи 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук

А.И. Шепелявы!

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.

Создание математических моделей стационарных и нестационарных процессов диффузии частиц приводит к необходимости исследования разрешимости краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений общего (недивергентного) вида.

Для задачи Дирихле в последние годы Н.В.Крыловым, М.В.Сафоновым, К.Эвансом, О-АЛадыженской, Н.Н.Уральцевой получены исчерпывающие результаты, В работах ГЛибермана, Н.Трудингера и Н.Н.УралЬцевой изучалась также задача с нелинейным граничным условием первого порядка, соответствующая диффузии в области с отражением от границы.

Менее стандартным для теории эллиптических и параболических уравнений является краевое условие второго порядка по касательным переменным, которое учитывает диффузию вдоль границы и отражение от границы. Это условие было впервые поставлено А.Д. Вентцелем в 1959 году и в дальнейшем стало называться его именем. Первые результаты, касающиеся задачи Вентцеля для эллиптических уравнений, были недавно получены Н. Трудингером и Я. Луо. Более сложная проблема: нестационарная задача Вентцеля, т.е. начально-■ краевая задача для параболического уравнения с граничным условием, имеющим вид параболического уравнения по касательным переменным, до сих лор не изучалась.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является исследование классической разрешимости нестационарной задачи Вентцеля и, кроме того, разрешимости в пространствах Соболева. В последнем случае допускается наличие суммируемых особенностей у функций, входящих в уравнение и граничное условие.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

Все результаты, приведенные в основном тексте диссертации (гл. 1-4} являются новыми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

Результаты, полученные в работе, носят теоретический характер к представляют интерес для приложений теории диффузионных процессов, а таосе для обоснования численных методов решения нелинейных начально-краевых задач.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1) Получено обобщение принципа максимума Александрова-Крылова на решения параболических уравнений с граничным условием Вентцеля.

2) Установлены гельдеровские оценки решения для случая, когдг граничное условие является квазилинейным параболические уравнением с квадратичным ростом по касательному градиенту.

3) Исследована первая начально-краевая задача для линейногс параболического уравнения с сингулярностями специального вида, дли градиента решения которой получены априорные оценки максимуме модуля и гельдеровских констант на границе области, линейнс зависящие от функций, стоящих в правой части уравнения.

4) Получены граничные оценки градиента решения задач! Вентцеля со слабо нелинейным граничным условием и установлен; априорная оценка решения в пространствах Соболева.

5) Доказано существование по крайней мере одного решеши задачи Вентцеля со слабо нелинейным граничным условием I пространствах Соболева и Гельдера. Причем в первом случа(

допускается наличие суммируемых особенностей по независимым переменным у функций, входящих в уравнение и граничное условие.

СТЕПЕНЬ ОБОСНОВАННОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ. Все результаты представляют собой математические теоремы, доказанные на современном уровне математической строгости.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.

В работе используются следующие технические средства:

1) методика получения оценок типа принципа максимума Александрова-Крылова;

2) техника оценок гельдеровских норм, ведущая начало от работ НД.Крылова и МВ.Са^онова;

3) приемы барьерной и итерационной техники, развитые О АЛадыженской, Н.Н.Уральцевоя, ГЛиберманом.

4) интерполяционные неравенства в различных функциональных пространствах.

АПРОБАЦИЯ.

Результаты работы докладывались на семинаре

им. В.И.Смирнова в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова и на семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям в Московском государственном университете.

ПУБЛИКАЦИИ.

По теме диссертации опубликовано две работы, список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений й списка литературы из 28 наименований. Она содержит 113 страниц машинописного текста.

о

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан обзор исследований, к которым примыкает тема диссертации и сделана постановка задачи :

изучаются решения квазилинейного параболического уравнения

и, - а'' ( х; t; u; Du) D i D j u = a (x; t; u; Du) в Q = П x ] 0; T [, (1) удовлетворяющие граничному условию

u,-a''(x;t;u) S^ju + p1(x;t;u)Diu = 8(x;t;u) на 3"Q (2) и начальному условию

и | ,,о =0 в П. (3)

( здесь х = ( X) , ... , х „-1 , х „ ), ij = 1,...,п, 5 j - означает касательный дифференциальный оператор на Ш, т.е. 6 j - D, - п n j D j, n(x) = (n i (x)) - единичный вектор внешней нормали к сП в точхе х, u i = du/dt)

Отметим , что (2) не является автономным уравнением на боковой поверхности цилиндра Q ., т.к. содержит не только касательную , но и нормальную составляющую Du.

Основные требования на функции а ' i и а состоят в равномерной параболичности уравнения (1), т.е.

V (х; t) е Q, z е R1 , р е R"

а'' = а'' ,

v|| 4 ||2 йаfJ (x;t;z;pHi£j Sv'IIU2 V ^ eRn, v = const >0, (4) и выполнении ряда естественных структурных ограничений, а именно

V (х; t) е Q, z е R1 , р е R"

(А1) |a(x;t;z;p)j < Ц,||р||2+ b(x ; t) ||р|| + Ф, (х ; t) ,

где Hi = const > 0; (A2) функции a''(x;t;z;p) имеют производные первого порядка по аргументам х, г, р ;

da"(x;t;z;p)

(A3)

(А4)

s; ЦгО+ИрН2)-1''2 , Иг = const > 0; s =

Зр.

Эа'' (x;t;z;p) 3a''(x;t;z;p)

- P. +

dz

д x

£ Из II p || + Фг ( х ; t), где Hj = const > 0; s = 1,..., n; (A5) функции b,Ф] , Ф2 принадлежат Lq+2(Q) ;

(A6) коэффициенты а'' непрерьшны по всем своим аргументам, а функция а( - ; z; р ) непрерьшнапо ( z; р ) как элемент L (|1.г (О).

Будем считать, что оператор в левой части условия (2) является равномерно параболическим граничным оператором Вентцеля, т.е. V (x;t ) е. <3"Q, z е Rl выполнены условия

а" = а'1 ,

v. ll^ll2 Sa'l(x;t;z)^^ Svr'lUII2 V^eR", Un(x) . (5)

Vi = const > 0, 0<p'(x;t;z)nj(x). (6)

Кроме того, на коэффициенты граничного оператора также накладьгааются некоторые структурные ограничения: V (х; t) 6 ff Q, z 6 Rl

(Bl) |p'(x;t;z)| s P(x;t) , i=l......n,

|e(x;t;z)|£ 0,(x;t) ; (B2) функции P , ®i принадлежат L,,ti(fl"Q);

(ВЗ) функции а1' непрерывны по всем своим аргументам; ß'( • ; z ), 0( • ; z ) - непрерывны по z как элементы Lq+1 (9"Q).

Укажем также, что во введении кратко изложены полученные результаты.

Всюду в работе Ь = (Ь1, b .... b"), ß=(ß',ß2.....ßn),

/ аналогично, bh = (Ьь1, Ьь 2 , bhn), h=l,2/.

В главе 1 рассматривается линейная задача Вентцеля, для которой устанавливается однозначная разрешимость в пространствах Соболева и Гельдера. В §1 с помощью параболического аналога верхнего контактного множества для решения получена оценка максимума типа Александрова-Крылова:

ТЕОРЕМА 1. Пусть afieW2.*, , и е V„+i(Q)r.C(Q). Функция u = и (х; t) - решение уравнения

Lu = ut-a'^x^DiDjii + b'(x;t)DiU + c(x;t)u = f(x; t) в Q, удовлетворяющее условию

BuEUt-a'i (x;t)6,6ju + ß'(x;t)Diu + y(x;t)u =8(x;t) наö"Q. Предположим также, что

V (х; t) е 5"Q OS ß'(*;t) n,(x) , f+ ,||b||,c_ e La+1(Q) ; 9 + , II ßil , y! e Ln( 5"Q). Тогда справедлива оценка

supu S.C {||f + |Ui,o + Цв + IUiM + sup u(-,0) }

где С зависит только от n, v, Т, diam П, свойств 5П, || b11| „+liQ, || с_ || , llß'lln.eQi II у_ || n, a-Q, модулей абсолютной непрерывности функций b' (х ;t),c_ (х; t) в L„+i (Q) и функций ß1 (х; t), у_(х; t) в L „ (ö"Q).

В §2 с привлечением специально построенного оператора продолжения П : Wq+i21 ( d'Q ) -> \УЧ4.22Д ( Q ) и интерполяционных

неравенств получена оценка нормы решения линейной начально-краевой задачи с нулевым начальным условием в соболевских пространствах:

ТЕОРЕМА 2. Пусть дС1е^ч+г ■ Предположим также, что в цилиндре О

определена функция и е V ,+2 (О) = \Уа2;' (О) п V/ Л1 (сГО) ,

х'2. V*

являющаяся решением задачи

Г и1(х;0 = Цх;1) в О, < Ви(х;0 = 8(х;«) на 3"0, и | ,.о « 0 в П.

Если вдобавок

а'1 6 С(0) , ос'' еС(ТО);

{ , ||Ы|,с е Ц+2(0); В,|| р||, у е ,

го . II и Ну,+2(О) 2 С{ НП)ч+2.0 +110||,+1,^о ) ,

"де Сзависит только от п, V, ц, Т, Шат П, свойств 5П, || Ь' || ч+2,о, II с || ч+2,о, 1Р '||ч+1,[Го, |1т11ч+1,гчз. модулей абсолютной непрерывности коэффициентов аЧ(х;1) в С (О), а ')(х;0 вССТО) .

Далее, в этом же параграфе , с помощью метода продолжения по тараметру доказывается существование и единственность решения танейной задачи в пространствах Уч+2 (О) для случая, когда коэффициенты операторов Ь , В и функции i , 9 удовлетворяют ,'словиям теоремы 2. В §3 сформулированы теоремы, касающиеся классической1 разрешимости линейной задачи Вентцеля и являющиеся шалогами соответствующих утверждений из §2.

Глава 2 посвящена гельдеровским оценкам ограниченных решений задачи Вентцеля. В §1 получена оценка осцилляции решения мнейной задачи вблизи границы. При этом, существенно используется

принцип максимума, установленный в главе 1 / теорема 1 /. В результат! имеем:

ТЕОРЕМА 3. Пусть р 2 1, и е V „+1 ( Ор+) г, С (О^ ), и^ОвО^.

с(х;1) = 0 вОр+, у(х;О = 0 на Гр . Тогда для любого £ е ] 0,1 [ существуют 8 , а , зависящие только от л, \ С такие, что если

1141 „+2,(3/ <о ,

II Р ¡1 п+1,Гр 20, |Ари г, Грд С0 ; —3 р2 /4 ) ) ц £ С|Гр^|„,

то 'и £ 5 р-С(п,у,0 { рп/<"+1> || (Ьи)_||„+1,(3/ +

+ р(л-1,/п || С В и ) _ [1 „, Гр } в Ор/2+-С помощью теоремы 3 в §2 гл.2 оценивается константа Гельдер для решения сначала линейной, а затем и квазилинейной задач Вентцеля. Приведем лишь последний результат:

ТЕОРЕМА4. Пусть аОе¥|И, и е У„+1(0)пС(0") -решени

уравнения (1) в О, удовлетворяющее граничному условию

щ - а'' (х;1;и;Ои)6|5]и = а(х;1;и;Ои) на ¿Э"0 .

и начальному условию

и|1=.о=(х) в П. Будем считать также, что выполнены условия (А1), приче ЬеЦ,+2(0), Ф| е Ь„+!(0);

V ( х ; ( ) е сУ'О , г е И.1 , р е Я" функция а ( х ; г ; р дифференцируема по переменным р | и V ( х ; 1 ) е 3"<3 , г е ] справедливы следующие неравенства:

0£-аР| (хл;г;р) щ(х)5Р(х;1) V р е И" ,

|а(х;(;г;р)1 ь щ || р ||2 + Р ( х ; I) || р || + 0,( х ; I) V р е Л» ,р!п(х

где ¡14 = const > 0, р е Ln+i (3"Q), 0i g Ln(D"Q);

Если вдобавок || u || q < Mo, [ Ф ] y0, П - мто > To = const > 0 , то существует y\ > 0, зависящее только от n, v, уо и свойств дО, такое что Mr„Q * Му. .

где My , зависит от тех же параметров, что и yi , а также от щ , щ , Мо , МТо, ||Oi||n+i,Q, II ©1 j| n, S"Q и модулей абсолютной непрерывности b(x;t) в L „+2 (Q ) и Р (х; t) bL„+,(3"Q).

Особое внимание следует обратить на тот факт, что гельдеровские оценки решения установлены для случая, когда граничное условие является квазилинейным параболическим уравнением с квадратичным ростом по касательному градиенту. К :ожалега'.ю, оценки градиента решения задачи Вентцеля и, [»ответственно, теоремы существовать удалось пока получить лишь цля слабо нелинейного граничного условия.

В главе 3, посвященной оценкам градиента, сначала рассматривается первая начально-краевая задача для линейного параболического уравнения с сингулярностями специального вида, для 4 -радиента решения которой устанавливаются априорные оценки 1аксимума модуля и гельдеровских констант на границе области, танейно зависящие от функций, стоящих в правой части уравнения. В §1 доказывается вариант пр!гаципа максимума Александрова-Крылова:

ГЕОРЕМА 5. Пусть R, Т £ 1, О с { х = (х1, х „) e Rn : ||х'|| < R, х „ е ]0 , R[}, 2 = Пх ] 0 ; Т [, не W„+1J1 ( Q ) п С ( СГ) и, кроме того u | ,Q < 0.

Предположим также, что в цилиндре Q задан оператор с □меримыми коэффициентами

£ з 3/5t-a4(x;t)DiDj + [b,'(x;t) + b2' (х; t) ] D , ,. •акой, что bj е Ln+i'(Q),

||Ьг(х;1)||^Р(хп)«-' в О, Р>0, е е]0,1[

и выполнено условие (4).

Тогда для любых (х;()еО справедлива оценка

и(х; I) 2 С(п,у,8,Р){[||Ь1 ||п+1,о]п+1+К}п/<п+1) «(¿и>||а+1.д

В §2 этот принцип максимума используется в сочетании барьерной и итеративной техникой. При этом модифицируют некоторые приемы ГЛибермана. В результате получается следуют обобщение граничной оценки градиента Ладыженской-Уральцевой:

ТЕОРЕМА 6. Пусть 8С1 , и б ( О ) о С (О), и | =

8ир|и|^Мо, вир Г |и(х; 0) |/(1 (х)] ¿А.

Пусть также в О задан оператор «£, удовлетворяющий услов (4), такой, что Ь1 е Ь,+}(0),

в О, Р>0, 8 6)0,11;

((¿и)(х;1)| £Ф(х;1) + Н[(1(х)]1*' в О, ФеЬч+3(0),Н>0.

Тогда

е^ир | Г)и | £ С(П)у,Ч1Т,Мо,К,8> ||Ь, ||| ,+г,о, ЗП) • •[1+ АО(А) + |)Ф||,+2,О+ Н].

В §3 устанавливается оценка гельдеровскоя константы градие решения на границе:

ТЕОРЕМА 7. Пусть дО. . В цилиндре О задан оператор

удовлетворяющий условию (4), такой, что Ь, б Ьч+2(0), ЦЬ2(х;0||йР(сК*))Н в О, Р>0, 8б]0,1[.

Предположим также, что u6W,tl!|1(Q(i,)) п C(Q(r0)), г о е ] 0, (20[ , где 120 »£?0 (v, g, F, 5fl),

u = 0 при ( x; t) e S"Q и при xeil(r<,),t = 0,

|(iu)(x;t)| + H[d(x)]8-' в Q(r„),

®sLq+2(Q(r0)),H>0.

Пусть, кроме того, sup | u | 5 Mo .. QSo)

Тогда [D|U]g> C,

где g* = g*(n,v,q,F,g,SQ) ,

С = С ( n, v, q, F, g, oil, Mo, || b[ || q+2, q (г о) ,|| Ф || q+2, Q(' о) > H, г о ), причем константа С зависит от || Ф || q+2 и Н линейно.

Полученные результаты позволяют теперь установить априорную оценку решения задачи Вентцеля в пространстве Vq+2 (Q) путем применения интерполяционных неравенств, что и делается в §4. В итоге получаем:

ТЕОРЕМА 8. Пусть SO е W2,« и пусть ц есть решение задачи (1)-(3) , принадлежащее Vq+2(Q) ,

II u IIQ * М0 .

Предположим также, что при | z | < Мо выполнены условия (4)-(6) , (А1)-(А5), (В1)-(ВЗ) .

Если вдобавок функции а'1 еС(Ш2 ),

где Ш2 = {. (х; t;z;p) : х еTi, t е [ 0; Т], | г | S М0 , р е R" } то справедлива оценка :

IIuIIv<i+2(Q) S С,

где С определяется n, v , vt, q, К , сД diam П, Т, Hi, Из , || Ь (| ч+2, Q, I! Ч>1 II 4+2,0 > ll®2ll,«,Q , ПРИ,-н.ЭЧ} , II ©ill,+1,04} . Mo И модулями абсолютной непрерывности функций а''(х; t; и) в С( Ш[) и функций a Ч в С (ГОг ),

/здесь Ш, » { (*;t;.u): хееО, t е[0;Т], |u| SM„ >/.

Наконец, в §1 главы 4 доказывается теорема существования решения задачи Вентцеля в пространствах Соболева:

ТЕОРЕМА 9. Пусть 8С1 eW2,«. Предположим также, что функции а1', а; a 'J , р'0 удовлетворяют условиям (4)-(б), (А1)-(А6), (В1)-(ВЗ).

Тогда начально-краевая задача (1)-(3) имеет по крайней мере однс решение u е V,+2 (Q ) .•

В §2 формулируется теорема существования классического решения:

ТЕОРЕМА 10. Пусть функции а1', а, а1', р>,0 удовлетворяю (4) -(б), а также следующим структурным условиям: при всех (x;t) б Q", z е R1 , р б R" (АГ) | a(x;t;z;p) | гг ц, (1 + ||р||г ) , ц, - const > 0 ; выполнены условия (А2)-(А4) ; (А5') 0>26L,„(Q);

(Аб') функции аЧ, а удовлетворяют условию Гельдера с показателем по переменным х;г;р и условию Гельдера с показателем у/ попеременной t ;

при всех (x;t) е WQ , z е R1

(ВГ) | P'(x;t;i)| s щ , i = l.....п,

|0(x;t;z)|£HJ, Ш , № = const > 0 ; (ВЗ') функции а Ч , р1, б удовлетворяют условию Гельдера

показателен у по переменным х, г и условию Гельдера с

показателем у/2 попеременной I .

Тогда начально-краевая задача (1)-(3) имеет по крайней

мере

одно решение и е С гг< ( О) .

В приложении 1 собраны теоремы об операторах продолжения в том виде, как они используются в диссертации.

В приложении 2 приведены теоремы, аналогичные теоремам 1, 4, 6, 7 для стационарной задачи Вентцеля, несколько обобщающие известные результаты.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

I. Алуштинская Д.Е. Оценка максимума решений параболических уравнений с граничным условием Вентцеля // Вестник Ленинградского университета.-1991,- сер. 1,- вып. 2.- с. 3-12.

II. Апупшшская Д.Е., Назаров АИ. Об оценках на границе области норм Гельдера производных решений линейных параболических уравнений с сингулярностями специального вида // Вестник С-Петербургского университета.-1993,- сер. 1.- вып 3,- с.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Н.Н.Уральцевой за поддержку и внимание к работе.