Задачи управления показателями Ляпунова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

\п 0 7 9"?

Нижегородский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет имени Н. И. Лобачевского

На правах рукописи

ПОПОВА Светлана Николаевна

УДК 517.977

Задачи управления показателями Ляпунова

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород 1992

Работа выполнена в Удмуртском государственном университете им. 50-летия СССР.

Научный -руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Е. Л. Тонков.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор Н. X. Розов; кандидат физико-математических наук, доцент В. М. Шашков.

Ведущая организация — Институт математики АН Беларуси.

Защита диссертации состоится « ^_» _ЦйТ'л Зр-я__

(^ —

1992 года в 1г_ час. на заседании специализированного совета

К 063.77.01 в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского по адресу: 603600, Нижний Новгород, ГСП-20, просп. Гагарина, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан « » ^^на___1992 г.

Ученый секретарь специализированного еозета

кандидат физико-математических наук,

доцент В. И. Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

' Актуальпость теми. В теории автоматического регулирования значительное моего занимает так называемая задача о paaueaaevoc-тн полисов, которая (в терминах, принятых в диссертации) состоит в управлении показателями Ляпунова линейной система под действием лилейного по фазовым координатам управления.. В 1931 году Р.Калыанои (R.Kalcan) йыл поставлен вопрос о достаточных условиях управляемости показателями Ляпунова. В 1934 году такие достаточные условия были найдены для линейной управляемой системы с постоянный:! коэффициентами CV. И. Popov), а в 1968 году-дяя системы с периодическими коэффициентами CP.Erunovsky).

В общем случае f для линейных нестационарных снстец) задача об управлении показателями Ляпунова оставалась нерешенной. Решение этой задачи посвящена данная диссертация. Оказалось, что задача об управлении показателями тесно связана с задачами о раз-ыевдешети показателей линейных систем, подвергаемых калым вез-нученияа коэффициентов системы СМ.И.Рахянбердиов, Н.X.Розов, И. Н. Сергеев).

Другой актуальной задачей теории регулирования является задача о выборе линейного по фазовым координатам управления, позволявшего расцеплять систему гг-го порядка на п уравнений 1-го порядка Сзадача о декомпозиция). В диссертации дало решение этой задачи в предполовэшга равномерной полной управляемости исходной системы.

Цель работы состоит в исследовании задачи об управлении показателями Ляпунова п задачи о декомпозиции.

Методы исследования. В работе используются методы теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, тео-

- 4 -

рия управления и теории показателей Ляпунова.

Пракгичэская ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы в теории управления объектами, поведение которых описывается линейными управляемыми системами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IV Уральской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Уфа. 1389 г.), на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям профессора Н.В.Аэбелева (Пермь, 19Q1 г.}, на Нижегородском семинаре по численному и функциональному анализу профессора С.Н.Слугина СНидний Новгород, 1992 г.), ва Ижевском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления профессора Е.Л.Тонхова СИжевск, Í988-1992 гг.), на Минском семинаре члена-корреспондента АН Беларуси Н.А.Иэобова СМинск, 1092 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-5.

Структура и объем работы. Диссертация сострит из введения, двух глаа, включающих семь параграфов, к списка литературы , содержащего 33 наименования. Объем работы - 103 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рассмотрим линейную управляем?» систему

¿ * АС Ох + ВС Пи , х € 0?, « € В?- Ш

с ограниченными к кусочно-непрерывными на 10,+вй ¿ оператор-фу акциями ACO и ВС О. Систему СП будем отождествлять с функцией í САШ,ВС О). Аргумент t, когда это не вызывает недооазу-мони4. будем опускать.

Определение 1. Пусть задано а > 0. Назовем сис-

тому (А, В) cr-равкомэряо вполне управляемой, если найдотся такое а > 0, что при всех t <2 С^ ытолнено неравенство • t *а

J ХСt.s)BCs3B*Cs)X*C¿,s>ds > etln , t

котороэ понимается в сдасло квадратичных форм; здесь XCt.s) -оператор Коса система

* = АС Ох, С2)

1п~ тождественный оператор пространства HoaCflT.Gí'J Обозначим для положительного числа г В"СО) =» <х е CT: íxl < г), В CÍO * < Q с

г г

HocCKf.íR"): [H-Q! < г > (здесь Н - пропзвопьяая пул катрица); lí - ( UCO е KCCR .Новее?*,ßf)): st¿p|lKO¡ < г>.

г * tío

Ь Clt,t«r)) « «КО е KCCU,t+<T},HoaCRf,,DF)i: s и р JUCÓI < г>, г i'eu,i»cn

здссь It.tw] с Rf- произвольный отрезок, символом КС кы ойозпа-

чгеи ыногество кусочно-непреразных функций.

Пусть Х.( (А) 2; Х-^СА) i ».. £ >-nCA) - поятгй спектр показателей Ляпунова СШ) системы С2). Характеристические показатели кожно рассматривать ках Функционалы на кетркческом пространстве Вп спетом вида С2> с огранпченншз и кусочно-непрерывпыхи на коэффициентами (метрика в l¡n- равномерная).

Определенна 2 ( см.. например, Í Э> ) . Показатели

Ш.Деындович Б.П. Яекцш по ыатеыатичесхоЯ теории устойчивости. !«.: Наука, 1967.

[2].Изск5ов H.A. Ляиейныэ системы оЗшшовепкън дифферепаиалыадх уравнения // Итоги науки и техника / Натеыатячэскяй анализ. М.: йэд-во ВИНИТИ. 1974. Т. 12. С. 71-147.

Ляпунова системы (2Э называется устойчивыми, если функционалы Х^ С j « <1,2.....п)) непрерывны в точке AÍO.

Определение 3 ([31) . Система (2) называется системой с интегральной раздедеиностыо, если она имеет фундаментальную систему решений Х(0 ■ (xa '(O.^'t*),... ,х"" (0),дш! которой выполнено свойство: существует такие положительные числа с и d, что для каадого } е <2,3,... -и для всех I i т Ъ О

ix^COf

—m-- к. d-expícU-т))» ,; ..-. .

' (?) J Ix'J-* * СтЭ|

Системы с интегральной разделенностыз обладают целым рядом замечательных свойств, в частности (В. Н. Миллионщиков). множество этих систем вешу плотно в пространстве Un и совпадает с открытым ядром множества систем с устойчивыми показателями. .

Определение 4. Скажем, что система (А,Б) обладает свойством локальной управляемости показателями Ляпунова ((С)-свойством), если для любого « > 0 найдется такое б = dCs), что всякому и ■ 'colCp ,pn) € B¿(0) отвечает функция UCОб б Ье , обесдечивашая следующее свойство: для любого keil, 2,... ,r > существует единственное j б <1,2.....п> такое, что показатели Ляпунова Xf(A > BU) i Ха(А + BU) i ... i. Xn<A + ВШ системы

к » (АШ ♦ ВСОШ))х. (3)

удовлетворяют раренс-жш

XJcCA ♦ ВШ « XjCA) ♦ ,

13]. Вылоэ В. Ф. О приведении системы линейных уравнения к диаго-налвде-еу виду //, Математический сборник. 1963. T.67Í109). Вып.З. С. 338-344. ' '

Геореыа 1. Если СЗ) - састеиа с интегральной разде-лениостьв, а система СА,В) <г-разйомерно вполне управляема, го С А, В) обладает СО-свойстасы.

Обозначим через А^А) > Л^СА) > ... > Л (А) Сп) спектр показателей Ляпунова СШ) систеш С2).

Определение 5. Скажем, что система СА,В) обладает свойством локальной управляемости попарно различными показателями Ляпунова ССС )-своаствоы), если для любого в > 0 найдется такое <5 « бСс), что всякому м а со1См, • • »^Э б Э^СОЭ отвечает функция 11СО 6 Ьг , обеспечиватоая следующее свойство: для любого к е { 1,2,...,д } сукествует единственное / £ <1, 2,...,(? > такое, что

А^А + БШ = А^А) + ^ ; здось А СА + ВШ > Л (А ВШ > ... > Л (А + БШ - спектр сксто-

I Л Ц *

ыы СЗ)

Теорема 2 .Если система С А, В) ог-разноыерно вполне управляема, а показатели сиСтеыы С2) устойчива, то СА,В) обладает (С )-свойством.

Определение 5 С[ 413. Величина

иапипается верхним центральным показателем сястекы (2). величяла

С41 Бадов 5. Ф.. Виноград Р. Э. . Гробман Д.М. . НеидцаЗ 0.8. Теория показателей Ляпунова и ее прилогония к вопросам устойчивости Н. : Наука, 1963.

- a -

«СА) « lin UasupjfrY lnlXCjT,£>1)T) J- -

7-teo к-кп

jie

ииш'ш центральным показателен системы C2).

P.Э. Виноградом было доказано, что для любого с > 0 существует 5 > О такое, что характеристические показатели произвольное систеш

х » ACt)x * gCt.x) , |g(t.x)| i tf|x{ ,

принадлежат интервалу Сы - e,fl + с). •

Определение ?. Скажем, что система <А,В) обладает свойством локальной управляемости верхним центральным показателем. если для любого с > О найдется такое 6 • <5Сс), что всякому ц € (R, |м( < 6 отвечает функция UCO е <и£ , обеспечиваювая для верхнего центрального показателя ОСА ♦ ВШ системы C3J. равенство

ОСА ♦ BU) - ОСА) ♦ р.

Аналогично вводится понятие локальной управляемости нижним центральным показателем системы СА,В).

Теорема 3. Если система СА,В) а-равномерно вполне упранляеиа, то СА,В) обладает свойством локальной управляемости верхним Снижним) центральный показателен.

Докааательство теорем 1-3 основано на следувдем утверждении. Теорема 4. Предположим, что система (А, В) (^-равномерно вполне управляема. Тогда всяким a t а в е > О отвечает

- ft О

J = бС«,а ) > О.сбегсочивавцее следующее свойство: для леОой ма-тр»Ч" Н « В^С1п). любого а г ct н любого to > 0 существует ф^их-ца« UСО € berAto,t0*cli, такая, что для матрица Коша HuCi.s)

системы (3) справедливо равенство

Эта теореиа дает возможность перенести нетод поворотов 0. N. Миллионяихова на тшеаныо управляемые системы. В сочетании с результатами работ В. Н. Миллиовдикова, Б.Ф.Былова, Н. А. Изобсва п К. А. Диба теорема 4 позволяет доказать некоторые свойства показателей Ляпунова а центральных показателей линейных управляемых систем.

Те о р е м а 5 . Есла систена С А, 33 сг-равноыарно вполне управляем, то для любого с > 0 найдется функция 11С О с Ь£, такая, что састеиа <3) является системой о интегральной раздолен-нсстъю.

Оказывается, что эта теорема,является, в некоторой, смысле, обобщением известной теоремы В. М. Ниллионздхова о том, что система с интегральной разделенностыо всюду плотни в пространстве 11п (13».

Творена 0 . Если система С А. В) а-раянокерно вполне управляема, то для лэбого с > 0 существует такие функции С О е е 41, я и СО е что для старшего показателя X (А + Зи ) са-

С а С I I

стеш

х » САСО * ВСШ <Шх

СЗ). Милляондиков В. М. Снстеш с интегральной разделенкостьэ всюду плотны в мнохестве всех язнейшх систем дифференциальных уравнений s/ Дифференциальные уравнения. 1SS9. Т. 5. tl 10. С. 11871170.

я младшего показателя X (А + BU У системы

fl В

X a ÍACtl + BU)U,U»X

справедливы неравенства

ЬСА + BU } > ПСА) - с,

X СА" * fiU_> < иСА) + с,

г» *

Определение 8. Скажем, что система Са.В) обладает. свойством устойчивости показателей СCS)-свойством), если для лгбого с > 0 найдется б > 0 такое, что для всех функций UC О,

принадлежавши множеству и каядого j е <1,2.....п> выг.слнено

соотношение

СА) - \,СА +BU)¡ < е.

J J

Теорома 7 . Если система (А,В) сг-равномерно вполне управляема и обладает CS)-свойством, то показатели системы С2) устойчивы.

Нетрудно понять, что если показатели системы С2) устойчивы. То всякая система СА.В) обладает CS)-свойством. Поэтому теорему 7 можно сформулировать так: если система СА,В) о-равномерно вполне управляема, то устойчивость показателей системы С2) на произвольных кусочно-непрерывных возмуаеннях Q : -+ HomCG?*.С?1) эквивалентна их устойчивости на более узком классе возмувений, а именно па воэмувениях ВС-JUCO, где U : -* НопС0?*,8?°) - кусочно-непрерывны.

В заключение автор выражает . искрешгев признательность Е. Л. Тонкову за постоянное внимание к работе.

Публикация, по тепе яиссертапин.

1.' Попова С. Н. Об управлении показателями Ляпунова почта пзра-одической линейной спстеш // Нэганейныэ колебания и теория управлепая.. Игевсх. 1989. Вш.7. С. 29-33.

2. Попова С.Н. Задача управления показателям Ляпунова// Функционально-ДЕ$$эренццалышэ уравнения и прилегания: Тезиса докладов IV Уральской региональной конференция. Уфа. 1039. С. 93.

3. Попова С.Н. 'А вопросу об управлении псказателянз Ляпунова // Вестник Удмуртского уншмфсптатз. йгэвск. 1Ш2. Вкл. 1. С. 23-"33.

4. Попова С.Н. Некоторые свойства показателзй Ляпунова линейных управлггсьшл систем // Рук. доп. в ВШИТИ 29.03.92,

. К 1797 - Е92. 04 с.

• 0. Попоза С.Н. К вадачэ управления пакгпатеаяыа Ляпунова // Мо-дели{>ованЕ9 и всследованко устойчяяоста процессов : Тезисы докладов конференции. Часть II. Киев. 1Ш2, С. 27-28.