Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.925.42, 521.131

Кудрявцева Елена Александровна

Замкнутые траектории

гамильтоновых систем

и приложение к планетно-спутниковой системе

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

доцент Н. Н. Нехорошев.

П

Москва 1998

Рассмотрим гамильтонову систему, в фазовом пространстве которой имеется замкнутое подмногообразие А, сплошь заполненное замкнутыми траекториями. Изучается вопрос: сколько и какие из этих траекторий сохранятся, лишь слегка продеформировавшись, при малом возмущении системы, и будут ли сохранившиеся периодические решения устойчивыми? Одним из основных результатов работы является эффективная оценка числа сохранившихся замкнутых траекторий в терминах топологии подмногообразия А. А именно, доказано, что при выполнении естественного условия невырожденности А число таких траекторий не меньше минимального числа критических точек гладкой функции на фактор-многообразии В = А/51.

Аналогичные оценки получены в некоторых более общих ситуациях. Например, в случае, когда изоэнергетическая поверхность является особой и её подмножество, заполненное периодическими траекториями, содержит положения равновесия системы, а также в случае произвольных, вообще говоря не гамильтоновых, динамических систем.

В качестве приложения исследуется планетно-спутниковая система, являющаяся частным случаем плоской задачи N + 1 тел. Предполагается, что масса одного тела — Солнца —- много больше масс остальных тел — планет и спутников, а масса каждой планеты много больше суммы масс её спутников. Кроме того, расстояния между каждой планетой и её спутниками много меньше расстояния от Солнца до этой планеты. Доказывается, что при естественном соотношении между малыми параметрами задачи существует большое число периодических движений планетно-спутниковой системы во вращающейся системе координат.

Содержание

1 Сохранение замкнутых траекторий гамильтоновых систем при возмущениях 12

1.1 Оценка числа замкнутых траекторий............................12

1.2 Метод усреднения на подмногообразии..........................19

1.3 Устойчивость замкнутых траекторий............................23

1.4 Неподвижные точки симплектических отображений..........27

1.5 Доказательства теорем о неподвижных точках................54

1.6 Доказательство теорем о замкнутых траекториях............68

1.7 Некоторые частные случаи........................................92

2 Некоторые обобщения и дополнения 102

2.1 Роль постоянства значений энергии, функции периода и сим-плектической структуры.....................102

2.2 Положения равновесия ......................109

2.3 Негамильтонов случай ......................133

3 Относительно периодические движения планетно-спутни-ковой системы 137

3.1 Формулировки теорем ......................137

3.2 Вспомогательные утверждения .................146

3.3 План доказательства.......................161

3.4 Доказательство вспомогательных утверждений........179

3.5 Обобщения. Двойные планеты..................195

Введение

Данная диссертационная работа посвящена исследованию периодических траекторий автономных гамильтоновых систем и связанным с этим вопросам.

Гамильтоновой системой называется динамическая система на симплек-тическом многообразии, отвечающая векторному полю, заданному некоторой гладкой функцией Я, которую называют гамильтонианом системы. В некоторой локальной системе координат (р, д) = (рь ... ..., дп)

эта динамическая система задаётся гамильтоновой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. системой вида

дН, . . дН, ,

р = ч = (1)

Мы будем предполагать, что функция Н не зависит от времени t, т.е. система является автономной.

Напомним, что симплектическое многообразие — это гладкое многообразие М, снабженное замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой о;2, называемой симплектической структурой. Каноническими координатами на М называются локальные координаты (р, д), в которых сим-плектическая структура имеет вид ш2 = ф А ^ = Х)Г=1 Л dqi. Известно, что канонические координаты существуют в окрестности любой точки симплектического многообразия М; уравнения (1) определяют одну и ту же гамильтонову систему независимо от выбора канонических координат.

Рассматривается следующая ситуация. Имеется гамильтонова система, называемая далее невозмущённой, фазовое пространство которой содержит гладкое подмногообразие А С сплошь заполненное замкнутыми траекториями системы. При малом возмущении гамильтониана Я, а тем самым и гамильтоновой системы, подмногообразие замкнутых траекторий распадается, но некоторые из замкнутых траекторий выживают. Целью диссертации является выяснение — какие, сколько, где появляются эти выжившие траектории, какие из них бывают устойчивы? Более точно, нужно оценить число этих траекторий, выяснить их расположение, найти условия устойчивости этих траекторий и выяснить другие вопросы, которые обычно представляют интерес для приложений.

Описанная ситуация часто встречается в приложениях, в частности, в задачах о механических колебаниях, задачах о движении заряженных частиц, а также в задаче о планетно-спутниковой системе, которая исследована в данной диссертации. В данной работе доказана эффективная оценка для числа периодических движений планетно-спутниковой системы во вращающейся системе координат, приведены условия устойчивости в

линейном приближении для одного из этих движений и описаны "порождающие" движения. Обычно вопросы такого сорта решаются для каждой конкретной задачи отдельно. В диссертации делается попытка получить общие подходы к её исследованию, перечислить общие методы, которые годятся в этой ситуации.

Диссертация состоит из трёх глав.

Первая глава посвящена трем вопросам: существованию, локализации в фазовом пространстве и устойчивости замкнутых траекторий возмущённых систем. Прежде всего формулируется естественное условие невырожденности подмногообразия Л, лежащего на неособой изоэнерге-тической поверхности Н~1{К) и заполненного замкнутыми траекториями невозмущённой системы. Далее даётся эффективная оценка для числа замкнутых траекторий возмущённой системы через топологию фактор-многообразия В = А/51 подмногообразия Л по замкнутым траекториям невозмущённой системы.

Основным результатом §1.1 является следующая

Теорема 1. Пусть на симплектическом многообразии (М2п,си2) задана гамилътонова система с гамильтонианом Н. Пусть Л С Н~1{К) — компактное невырожденное подмногообразие (без края), сплошь заполненное замкнутыми траекториями этой системы, и пусть на А имеется гладкая функция Т периода этих траекторий. Тогда для любой функции Н, С2-близкой к функции Н, система с гамильтонианом Н имеет по меньшей мере одну замкнутую траекторию на поверхности Н~1{К). Более того, число таких траекторий не меньше, чем минимальное число критических точек гладкой функции на фактор-многообразии В = А/51. С учётом кратностей число таких траекторий не меньше минимального числа критических точек морсовской функции на В.

Теорема 1 обобщает результаты работ М. Ботткола [14] и П. Л. Гинзбурга [4]. В работе Ботткола [14] на А накладывается более сильное условие невырожденности, а также предполагаются ограничения на сим-плектическую структуру (ее точность) либо на топологию многообразия В (тривиальность группы его одномерных гомологий). Однако подход Ботткола очень близок к подходу, предлагаемому в данной диссертации. В работе Гинзбурга [4] рассматривается ситуация, когда все траектории невозмущённой гамильтоновой системы на изоэнергетической поверхности замкнуты, и доказывается более слабая оценка для числа замкнутых траекторий возмущённой системы. А именно, оценка Гинзбурга формулируется в терминах критических многообразий гладких функций специального вида на всём А, которые включают в себя функции, являющиеся

"подъемом" гладких функций на В. Кроме того, Гинзбург рассматривал лишь случай, когда подмногообразие Л локально-тривиально расслоено на замкнутые траектории невозмущённой системы, а результаты данной диссертации применимы также в случае расслоений более общего вида, а именно, для многомерных расслоений Зейферта. Такие расслоения возникают, например, при изучении замкнутых траекторий вблизи положения равновесия невозмущённой задачи (см. работы А.Вейнстейна [34, 35, 36] и Ю.Мозера [25]).

В действительности, теорема 1 была получена в работе [37] Вейнстейна. Однако предлагаемое в диссертации доказательство более простое, геометрическое и конструктивное. Развивая идеи А.Пуанкаре [28], мы опираемся на классическую теорему о неявной функции. В частности, мы не рассматриваем бесконечномерные пространства петель, использовавшиеся в работе [37].

Теорему 1 можно рассматривать и как частично подтверждающую известную гипотезу В. И. Арнольда о том, что геометрическая теорема Пуанкаре [28, 1, 7] допускает обобщение на случай произвольных симплекти-ческих многообразий и произвольных (не обязательно малых) возмущений. В геометрической теореме Пуанкаре изучается сохраняющее площади отображение плоского кругового кольца на себя, гомотопное тождественному и поворачивающее граничные окружности кольца "в разные стороны". Теорема Пуанкаре утверждает, что любое такое отображение имеет по меньшей мере две неподвижные точки. Эта теорема была доказана Пуанкаре как раз в ситуации, рассматриваемой в данной диссертации: когда отображение получено малым возмущением отображения, имеющего целую окружность неподвижных точек. Доказательство базировалось на идее о совпадении неподвижных точек отображения с критическими точками его производящей функции, которая лежит и в основе исследований, проведённых в данной диссертации. (Лишь затем геометрическая теорема Пуанкаре в полной формулировке, т.е. без требования близости к интегрируемому отображению, была доказана Биркгофом, однако это доказательство было непростым и использовало совсем другие идеи.)

Следует отметить, что полученный в диссертации результат не претендует на полное обобщение геометрической теоремы Пуанкаре на случай произвольных возмущений. Обобщение этой теоремы доказано здесь лишь для малых возмущений. Возможно, наш результат допускает усиление, если воспользоваться техникой работ [3, 4, 15-17, 23, 24, 27, 31-33, 37, 38].

Результатом §1.2 является метод усреднения на подмногообразии. Изучается вопрос о том, где именно в фазовом пространстве расположены фа-

зовые траектории возмущённой системы. Ответ на этот вопрос зависит от конкретного возмущения, и в случае возмущения общего положения ответ даётся в терминах усреднения этого возмущения по замкнутым траекториям исходной системы. В частности, доказана следующая

Теорема 2 (метод усреднения на подмногообразии). Пусть, в условиях теоремы 1, подмногообразие Л невырождено, но не обязательно компактно. Пусть возмущённый гамильтониан гладко зависит от малого параметра е, т.е. имеет вид Н = Н + еН\ +о(г). Рассмотрим на подмногообразии Л гладкую функцию

ГТ(т)

Щт)= Н(ч{т,г))<И, т£ Л,

Уо

— усреднение возмущения % = по замкнутым траекториям 7 =

7(т, ¿) С А невозмущённой системы, 0 < t < Т(т). Пусть траектория 7о С Л является боттовским критическим подмногообразием функции Н. Тогда существует однопараметрическое семейство замкнутых траекторий 7г С Н~] (1г) возмущённой системы, гладко зависящее от малого параметра е и совпадающее с траекторией 70 при е — 0.

Этот результат можно рассматривать как обобщение метода усреднения на многообразии, полученного ранее в работе Ю.Мозера [24], где рассматривается лишь случай, когда невозмущённая система является периодической, т.е. все её траектории замкнуты.

В действительности, теорема 2 (а также частный случай теоремы 1) была доказана ранее в работе Вейнстейна [34], где доказательство проводится в следующие два этапа. Сначала результат доказывается в частном случае, когда фазовое пространство задачи М является кокасательным расслоением к некоторому многообразию, причём подмногообразие А лежит в нулевом сечении этого расслоения. А затем общий случай сводится к этому частному случаю путём увеличения размерности фазового пространства. Доказательство, предлагаемое в данной диссертации, основано на более естественном, по мнению автора, геометрическом подходе.

В §1.3 приводятся условия орбитальной устойчивости в линейном приближении для некоторых замкнутых траекторий возмущённой системы. Из более общих утверждений этого параграфа вытекает, в частности, следующая теорема.

Теорема 3. Пусть, в условиях теоремы 2, а С Н~1(И) — маленькая площадка в Н~1(К), трансе ер сально пересекающая замкнутую траекторию 7о- Пусть йА{т) : Тта —> Тта — оператор монодромии в точке т = 70 П а, определяемый потоком невозмущённой системы. Пусть выполнены следующие условия согласованной знакоопределённости:

1. квадратичная форма = положительно определена на подпространстве, транс в ер сальном к ТТО(Л П а) в Тта;

2. траектория 70 является богптовским подмногообразием локального максимума функции Я.

Тогда замкнутая траектория -у£ возмущённой системы, существующая согласно теореме 2, орбиталъно устойчива в линейном приближении.

В §1.4 приводятся теоремы, аналогичные теоремам 1, 2 и 3, для неподвижных точек симплектических отображений.

Доказательства этих результатов приведены в §1.5.

Глава 2 посвящена развитию теорем 1, 2, 3 и их видоизменениям в следующих ситуациях.

В §2.1 доказываются аналоги теорем 1, 2 и 3 для случая, когда на подмногообразии А, заполненном замкнутыми траекториями, постоянна функция периода Т, а гамильтониан Я, вообще говоря, не постоянен. При этом для возмущённой гамильтоновой системы оценивается число и выясняется расположение замкнутых траекторий, имеющих фиксированный период (а не фиксированное значение гамильтониана). Кроме того, приводится обобщение этих теорем в случае, когда не только на гамильтониан, но и на симплектическую структуру накладывается малое возмущение.

В §2.2 приводится следующее обобщение теоремы 1. Рассматривается ситуация, когда подмножество А С Н~1(1г), заполненное периодическими траекториями, содержит положения равновесия системы. В этой ситуации множество Л, вообще говоря, не является гладким подмногообразием, однако для него можно определить естественное понятие невырожденности.

Доказано, что любая особенность компактного невырожденного множества Л является "конической", т.е. гомеоморфна особенности соответствующего множества для линеаризованной системы. Фиксируется тип возмущений гамильтониана, при которых поверхность Я-1 (А) становится неособой. По множеству Л с коническими особенностями и типу возмущения однозначно строится, с помощью аналога морсовских перестроек, гладкое многообразие Л*, называемое мор со в ским разрешением множества Л. На многообразии Л* определяется естественное действие окружности.

Доказана следующая

Теорема 4 (Теорема 8). Пусть Л С Я"1 (/г) — компактное невырожденное подмножество, сплошь заполненное замкнутыми траекториями системы с гамильтонианом Я и содержащее положения равновесия этой системы. Рассмотрим любую функцию Н, СА-близкую к Н, для которой число К не является критическим значением. Тогда все особенности множества Л являются коническими и справедливо утверждение теоремы 1,

в котором вместо множества А вместе с его расслоением на замкнутые траектории нужно рассмотреть гладкое многообразие А* с расслоением на нём, где А* — морсовское разрешение множества А, отвечающее рассматриваемому типу возмущения гамильтониана.

Эта ситуация обобщает ситуацию, которую исследовали Вейнстейн [34, 35] и Мозер [25]. В этих работах рассматриваемое нами подмножество Л совпадает с положением равновесия, а многообразие А* является нечётномерной сферой. Для этой ситуации в указанных работах доказывается специальная оценка числа периодических траекторий вблизи положения равновесия системы, вытекающая из симплектичности фактор-многообразия В* = А* / S1.

В §2.3 приводятся формулировки теорем 1 и 2 для случая произвольных (вообще говоря, не гамильтоновых) динамических систем. Аналогичные результаты имеются в работах Ф.Б.Фуллера [18] и Мозера [24].

Глава 3 посвящена приложению указанных методов к задаче небесной механики о движении планетно-спутниковой системы.

В §3.1-3.4 доказана эффективная оценка для числа периодических движений планетно-спутниковой системы во вращающейся системе координат, приведены условия орбитальной устойчивости в линейном приближении для одного из этих движении, дано описание порождающих движении.

Сформулируем результат более точно. Рассматривается задача, являющаяся частным случаем плоской задачи N + 1 тел. Предполагается, что масса одног