Абелевы и нильпотентные подгруппы максимального порядка конечных простых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

/¡о

На правах рукописи УДК 512.542

I о «•••

Вдовин Евгений Петрович

АБЕЛЕВЫ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ПОДГРУППЫ МАКСИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2000

Работа выполнена в лаборатории теории групп Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, зав. отделом В. Д. Мазуров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. С. Кондратьев кандидат физико-математических наук Д. О. Ревин

Ведущая организация:

Красноярский государственный университет

Защита диссертации состоится 16 ноября 2000 г. в 15 ч. 30 м. на заседании специализировашгаго совета Д002.23.01 по защите диссертаций при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН но адресу: 630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан » октября 2000 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

Актуальность темы. После объявления о завершении классификации конечных простых групп в 1980 году одной из основных задач в теории конечных групп стала задача изучения различных свойств известных конечных простых групп. В частности, важную роль приобретает задача изучения подгруппового строения известных конечных простых групп. Особый интерес исследователей вызывают максимальные, максимальные разрешимые, максимальные нильпотентные и максимальные абелевы подгруппы. Изучению абелевых и нильпотентных подгрупп максимального порядка конечных простых групп посвящена настоящая работа.

Основной пласт известных конечных простых групп составляют конечные простые группы лиева типа. Группы лиева типа условно делятся на 16 классов. Шесть классов составляют, так называемые, классические группы, и десять — исключительные. Поскольку именно в группах лиева типа изучение подгруппового строения представляет наибольшую сложность, большая часть диссертации посвящена изучению конечных групп лиева типа.

Строение и порядки различных подгрупп специального вида конечных групп лиева типа интенсивно изучались рядом различных авторов. Строение силовских р-подгрупп в том случае, когда р совпадает с характеристикой поля определения получено первооткрывателем конечных групп лиева типа — Шевалле. В его честь конечные группы лиева типа часто также называют конечными группами Шевалле. Далее, Картер, Фонг, Вейр и Уонг в работах [23], [45] и [50] нашли строение силовских г-подгрупп в том случае, когда характеристика поля определения отлична от г. В 60-х годах рядом различных авторов были найдены строение и порядки максимальных торов в конечных группах Шевалле. В 1972 Картеров своей работе [21] предложил простой универсальный способ нахождения порядков максимальных торов во всех конечных группах Шевалле нескрученного типа в терминах диаграммы Дынкина и допустимых диаграмм. В конце 60-х и начале 70-х годов рядом авторов предпринимались попытки изучить строение абелевых унипотентных подгрупп максимального порядка в конечных классических группах. В период с 1979 по 1982 год вышли работы Барри и Уонга [13], [14], [48] и [49], в которых были найдены р-ранги, подгруппы Томпсона и абелевы подгруппы максимального порядка в максимальных унипотентных подгруппах конечных классических групп. Аналогичный вопрос для исключительных групп долгое время оставался нерешенным, его, в частности, отметил А. С. Кондратьев в своей обзорной работе [6].

Пусть Ф — некоторое свойство, которое наследуется всеми подгруппами Ф-гругшы С (например абелевость, нильпотентность, разрешимость и т. д.). Мы обращаемся к вопросу о том, насколько велика может быть нормальная Ф-подгруппа группы С?. Более точно,

Вопрос. Если конечная группа С? содержит Ф-подгруппу индекса п, то верно ли, что С содержит нормальную Ф-подгруппу индекс которой ограничен некоторой функцией /(п).

Ясно, что для любого свойства Ф, которое наследуется всеми подгруппами, в качестве функции /(п) достаточно взять п\. Поэтому обычно требуют, чтобы функция /(п) была полиномиальна. В том случае, когда свойство Ф - разрешимость или цикличность, положительный ответ на поставленный выше вопрос дан в работе Бабаи, Гудмана и Пыбера [12]. Там же ими поставлен данный вопрос для случая, когда свойство Ф — абелевость или нильпотентность. В том случае, когда свойство Ф — абелевость, положительный ответ (с функцией ¡{п) = п2) получен в неопубликованной работе Музычука.

Цель работы. Основными целями диссертации являются изучение строения и порядков абелевых и нильпотентных подгрупп максимального порядка известных конечных простых групп и получение положительного ответа на вопрос, сформулированный выше в том случае, когда свойство Ф — нильпотентность.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории конечных групп и их представлений, конечных групп лиева типа и линейных алгебраических групп.

Научная новизна. Все результаты являются новыми и получены автором лично.

Практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях конечных групп, при составлении алгоритмов для вычислений в конечных группах и линейных алгебраических группах, а также при чтении спецкурсов в Новосибирском, Баранульском, Алтайском, Челябинском, Уральском и Санкт-Петербургском университетах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из шести глав (включая введение) и списка литературы, содержащего 63 наименования. Работа изложена на 73 страницах текста.

Основные результаты. Основными результатами работы можно считать следующие:

1. Завершено описание абелевых унипотентных подгрупп максималь-

ного в конечных группах порядка в конечных группах лиева типа. Решена проблема (1.6) из [б].

2. Найдены порядки, строение и классы абелевых подгрупп максимального порядка во всех известных конечных простых группах, за исключением нескольких спорадических групп большого порядка. В качестве простого следствия получено решение вопроса 4.27 из «Коуровской тетради» [10]. Ранее его решение другим способом было анонсировано в работе [2].

3. Найдены порядки, строение и классы нильпотентных подгрупп максимального порядка во всех известных конечных простых группах.

4. Найдена полиномиальная оценка индекса подгруппы Фиттинга произвольной конечной группы, содержащей нильпотентную подгруппу индекса п. В частности, решен вопрос 6.4 из [12].

Содержание диссертации. Во введении введены основные определения и известные вспомогательные результаты, которые используются далее на протяжении всей работы.

Во второй главе найдены абелевы подгруппы максимального порядка в симметрических, знакопеременных, спорадических группах, а также в максимальных унипотентных подгруппах конечных исключительных групп Шевалле. В максимальных унипотентных подгруппах конечных групп Шевалле также найдены р-ранги и подгруппы Томпсона. Таким образом, получен полных ответ на вопрос А. С. Кондратьева [6, (1.6)].

В третьей главе доказано, что порядок произвольной абелевой подгруппы в конечной группе лиева типа не превосходит порядка некоторой полупростой или некоторой уиипотентной абелевой подгруппы. В частности, найдены абелевы подгруппы максимального порядка во всех конечных группах Шевалле (а не только в простых).

Из результатов второй и третьей глав вытекает следующая теорема

Теорема 1. Пусть G — неабелева конечная простая группа, отличуая от L2{q) и А — ее абелева подгруппа. Тогда \А\3 < |G|.

В качестве простого следствия получено решение вопроса 4,27 из «Коуровской тетради» [10]. Ранее решение этого вопроса было анонсировано в работе [2]. А именно, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Неабелева конечная простая группа G представима в виде произведения ABA ее абелевых подгрупп А и В тогда и только тогда,

когда G = Ь2(2г) для некоторого t ^ 2, причем = 24 + 1, = 21 и А является циклической группой, а В — элементарной 2-группой.

В четвертой главе найдены порядки и строение нильпотентных подгрупп максимального порядка во всех конечных простых группах. В частности, доказана теорема, которая обобщает результат В. И. Зенкова и В. Д. Мазурова [4].

Теорема 3. Пусть G — неабелева конечная простая группа, N — ее пилъпотентная подгруппа. Тогда |iV|2 < |<7|.

В пятой главе обращаемся к решению вопроса Бабаи, Гудмана и Г_ы-бера для нильпотентных групп. Поскольку результаты Бабаи, Гудмана и Пыбера позволяют свести изучение вопроса к разрешимым группам, доказана следующая теорема, из которой в качестве следствия вытекает ответ на вопрос в общем случае. А именно, доказана теорема

Теорема 4. Пусть G — конечная разрешимая группа, которая содержит нильпотентную подгруппу индекса п. Тогда |G : F(G)| < пъ.

В шестой главе получены некоторые следствия из предыдущих результатов. Доказана теорема 2 и решен вопрос Бабаи, Гудмана и Пыбера [12, вопрос 6.4] для произвольной конечной группы G.

Апробация. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах «Алгебра и логика» и «Теория групп» Новосибирского государственного университета. Результаты второй главы докладывались на МНСК (см. текст тезисов [51], [54]), на региональной конференции в Красноярске (см. [53]), на Международной алгебраической конференции памяти Д. К. Фадцеева, проходившей в Санкт-Петербурге (см. [52]), на международной алгебраической конференции «Groups and Groups Rings», проходившей в Польше (см. [57]) и на международной алгебраической конференции памяти Ю. И. Мерзлякова, проходившей в Новосибирске (см. [58]). Результаты третьей главы докладывались на МНСК (см. [54]), на конференции памяти А. Г. Куроша, проходившей в Москве, на конференции «Groups and Groups Rings» в Польше (см. [57]) и на конференции, посвященной памяти Ю. И. Мерзлякова, проходившей в Новосибирске (см. [58]). Результаты четвертой главы докладывались на МНСК (см. [56]), на конференции «Groups and Groups Rings» в Польше (см. [57]), и на конференции памяти Ю. И. Мерзлякова в Новосибирске (см. [58]). Результаты пятой главы докладывались на МНСК (см. [56]), на конференции памяти А. Г. Куроша (см. [55]), на конференции

«Groups and Groups Rings» в Польше (см. [57]) и на конференции памяти Ю. И. Мерзлякова (см. [58]). Результаты шестой главы докладывались на МНСК (см. [51] и [56]), на региональной конференции в Красноярске (см. [53]), на конференции памяти Д. К. Фаддеева в Санкт-Петербурге (см. [52]), на конференции памяти А. Г. Куроша в Москве (см. [55]), на конференции «Groups and Groups Rings» в Польше (см. [57]) и на конференции памяти Ю. И. Мерзлякова в Новосибирске (см. [58]).

Публикации. Результаты второй главы опубликованы в работах [59] и [63]. Результаты третьей главы составили содержание работ [59] и [61]. Результаты четвертой главы составили содержание работы [62]. Результаты пятой главы опубликованы в работе [60]. Результаты шестой главы опубликованы в работах [59] и [60].

Литература

[1] Р. Ф. Аиатенок, Д. А. Супруненко, О нилъпотентных неприводимых линейных группах над конечным полем, ДАН БССР, т. 3 (1959), N 12, с. 475-478.

[2] Д. Л. Загорин, Л. С. Казарян, Абелевы АВА-факторизации конечных групп, ДАН, т. 347 (1996), N 5, с. 590-592.

[3] В. И. Зенков, Пересечение нилъпотентных подгрупп в конечных группах, Фундаментальная и прикладная математика, т. 2 (1996), N 1, с. 1-91.

[4] В. И. Зенков, В. Д. Мазуров, О пересечении силовских подгрупп в конечных группах, Алгебра и логика, т. 35 (1996), N 4, с. 424-432.

[5] В. В. Кабанов, А. С. Кондратьев, Силовские 2-подгруппы конечных групп (обзор), Свердловск: Ин-т мат. и мех. УНЦ АН СССР, 1979.

[6] А. С. Кондратьев, Подгруппы конечных групп Шееолле, Успехи ма-тем. наук, т. 41 (1986), N 1 (247), с. 57-96.

[7] А. И. Мальцев, Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли, Известия АН СССР, сер. матем., т. 9 (1945), N 4, с. 291-300.

[8] В. С. Монахов, Инварштные подгруппы бипримарных групп, Мат. зам., т. 18 (1975), с. 877-887.

[9] Дж. Хамфри, Линейные алгебраические группы, Москва, «Наука», 1980.

[10] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 13-е изд., Новосибирск, 1995.

11] Семинар па алгебраическим группам (сборник статей), М., «Мир», 1973.

12] L. Babai, A. J. Goodman, L. Pyber, Groups without Faithful Transitive Permutation Representations of Small Degree, J. Algebra, v. 195 (1997), N 1, p. 1-29.

13] M. J. J. Barry, Large Abelian subgroups of Chevalley groups, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 27 (1979), N 1, p. 59-87.

14] M. J. J. Barry, W. J. Wong, Abelian 2-subgroups of finite symplectic groups in characteristic 2, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 33 (1982), N 3, p. 345-350.

15] A. Bore], Linear algebraic groups, Benjamin, New York, 1969.

16] A. Borel and J. deSiebental, Les sous-groupes fermes de rang maximum des groupes de Lie clos, Gomment. Math. Helv., v. 23 (1949), p. 200221.

17] W. Burnside, On groups of order paqProc. London Math. Soc. v. 2 (1904), p. 388-392.

18] W. Burnside, On groups of order paq/3 (Second paper), Proc. London Math. Soc., v. 2 (1905), p. 432-437.

19] R. W. Carter, Centralizers of semisimple elements in the finite classical groups, Proc. London Math. Soc. (3), v. 42 (1981), N 1, p. 1-41.

20] R. W. Carter, Centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type, Proc. London Math. Soc. (3), v. 37 (1978), N 3, p. 491-507.

21] R. W. Carter, Conjugacy classes in the Weyl group, Compositio Mathematica, 25, N1 (1972), 1-59.

22] R. W. Carter, Finite Simple Groups of Lie Type, Wiley, London, 1972.

23] R. W. Carter, P. Fong, The Sylow 2-subgroups of the finite classical groups, J. Algebra, v. 1 (1964), N 2, p. 139-151.

24] A. Chermak, A. Delgado, A Measuring Argument for Finite Groups, Proc. Amer. Math. Soc., v. 107 (1989), N 4, p. 907-914.

25] J. H. Conway, Atlas of finite groups, Oxford, Clarendon Press, 1985.

{26] D. I. Deriziotis, Conjugacy classes and centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type, Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematik der Universität Essen, 1984, v. 11.

[27] D. I. Deriziotis, The centralizers of semisimple elements of the Chevalley groups Et and E&, Tokio J. Math., 6, N1 (1983), 191-216.

[28] P. Flavel, Class two sections of finite classical groups, J. Lond. Math.

' Soc., II. Ser., v 52 (1995), N 1, p. 111-120.

[29] D. Gorenstein, R. Lyons, The local structure of finite groups of characteristic 2 type, Memoirs Amer. Math. Soc., 1983, v. 276.

[30] J. E. Humphreys, Conjugacy Classes in Semisimple Algebraic Groups, American Mathematical Society, Providence, Rhode Isla id, Mathematical Survey and Monographs, v. 43.

[31] P. B. Kleidman, R. A. Parker, R. A. Wilson, The maximal subgroups of the Fischer Group Fi23, J. London Math. Soc., v. 39 (1989), N 1, p. 89-101.

[32] P. B. Kleidman, R. A. Wilson, The maximal subgroups of Fi22, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., v. 102 (1987), N 1, p. 17-24.

[33] P. B. Kleidman, R. A. Wilson, The maximal subgroups of Fi22, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., v. 102 (1987), N 2, p. 383.

[34] P. B. Kleidman, R. A. Wilson, The maximal subgroups of /4, Proc. London Math. Soc., v. 56 (1988), N 3, p. 484-510.

[35] S. A. Linton, The maximal subgroups of the Thompson group, J. London Math. Soc., v. 39 (1989), N 1, p. 79-88.

[36] S. A: Linton, Corrections to 'The maximal subgroups of the Thompson group', J. London Math. Soc., v. 43 (1991), N 2, p. 253-255.

[37] S. A. Linton, R. A. Wilson, The maximal subgroups of the Fischer groups Fi2i and Fi'2i, Proc. London Math. Soc., v. 63 (1991), N 1, p. 113-164.

[38] A. Mann, Soluble subgroups of symmetric and linear groups, Israel J. Math. v. 55 (1986), N 2, p. 162-172.

[39] D. S. Passman, Groups with normal solvable Hall p-subgroups, Trans. Amer. Math. Soc., v. 123 (1966), N 1, p. 99-111.

[40] D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag New York, 1996.

[41] Y. Segev, Ph. D. thesis, The Hebrew University of Jerusalem, 1985.

[42] R. Steinberg, Endomorphisms of linear algebraic groups, Memoirs Amer. Math. Soc., 1968, v. 80.

[43] M. Suzuki, On a class of doubly transitive groups, Ann. Math., v. 75 (1962), N 1, p. 105-145.

[44] H. N. Ward, On Ree's series of simple groups, Trans. Amer. Math. Soc., v. 121 (1966), N 1, p. 62-80.

[45] A. J. Weir, Sylow p-subgroups of the classical groups over finite fields with characteristic prime to p, Proc. Amer. Math. Soc., v. 6 (1955), N 4, p. 529-533.

[46] Я. A. Wilson, The Maximal Subgroups of the Baby Monster, I, J. Algebra, v. 211 (1999), N 1, p. 1-14.

[47] T. R. Wolf, Solvable and nilpotent subgroups of GLn(qm), Canad. J. Math., v. 34 (1982), N 5, p. 1097-1111.

[48] W. J. Wong, Abelian unipotent subgroups of finite orthogonal groups, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 32 (1982), N 2, p. 223-245.

[49] W. J. Wong, Abelian unipotent subgroups of finite unitary rnd symplectic groups, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 33 (1982), N 3, p. 331-344.

[50] W. J. Wong, Twisted wreath product and Sylow 2-subgroups of classical simple groups, Math. Z., v. 97 (1967), N 5, p. 406-424.

Работы автора по теме диссертации.

[51] Е. П. Вдовин, О порядках абелевых подгрупп в конечных простых группах, Материалы XXXV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 1997, с. 21.

[52] Е. П. Вдовин, О порядках абелевых подгрупп в конечных простых группах, Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д. К. Фадцеева, тезисы докладов, Санкт-Петербург, 1997, с. 178-179

[53] Е. П. Вдовин, О порядках абелевых подгрупп в конечных простых группах, XV межрегиональная конференция, Красноярск, апрель 1997, с. 3.

[54] Е. П. Вдовин, Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных простых группах Шевалле, Материалы XXXVI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 1998, с. 24.

[55] Е. П. Вдовин, Large normal subgroups of finite groups, Kurosh Algebraic Conference '98, abstracts of talks, Москва, 1998, с. 125-126.

[56] E. Л. Вдовин, Большие нильпотентные подгруппы конечных групп, Материалы XXXVn Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 1999, с. 22.

[57] Е. P. Vdovin, Large Abelian and Nilpotent Subgroups of Finite Simple Groups, Wisla, Poland, June 6-10, 2000, p. 47-50.

[58] E. ГГ. Вдовин, Большие нильпотентные и абелевы подгруппы конечных простых групп, IV Международная конференция, поев. 60-летию проф. Ю. И. Мерзлякова, тезисы докладов, 7-11 авг. 2000 г., с. 39-46.

[59] Е. П. Вдовин, Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных простых группах, Алгебра и логика, т. 38 (1999), N 2, с. 131-160. (Перевод Е. P. Vdovin, Maximal Orders of Abelian Subgroups in Finite Simple Groups, Algebra and Logic, v. 38 (1999), N 2, p. 67-83.)

[60] E. П. Вдовин, Большие нормальные нильпотентные подгруппы конечных групп, Сибирский математический журнал, т. 41 (2000), N 2, с. 304-310. (Перевод Е. P. Vdovin, Large normal nilpotent subgroups of finite groups, Siberian Mathematical Journal, v. 41 (2000), N 2, p. 246251.)

[61] Е. П. Вдовин, Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле, Математические заметки, т. 68 (2000), вып. 1, с. 53-76 (Перевод Е. P. Vdovin, Maximal orders of abelian subgroups in finite Chevalley groups, Math. Notes, v. 68 (2000), N 1).

[62] E. П. Вдовин, Большие пилъпотептные подгруппы конечных простых групп, Алгебра и логика, т. 39 (2000), N 5 (Перевод Е. P. Vdovin, Large nilpotent subgroups of finite simple groups, Algebra and Logic, v. 39 (2000), N 5).

[63] E. П. Вдовин, Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле, Алгебра и логика, т. 40 (2001) (Перевод Е. P. Vdovin, Large abelian unipotent sugbgroups of finite Chevalley groups, Algebra and Logic, v. 40 (2001)).

ВДОВИН Евгений Петрович

Абелевы и нильпотентные подгруппы максимального порядка конечных простых групп

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 09.10.2000. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,6. Тираж 100 экз. Заказ №70.

Лицензия ПЛД №57-43 от 22 апреля 1998 г. Отпечатано на полиграфическом участке ИМ СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия.

1. Р. Ф. Апатенок, Д. А. Супруненко, О нилъпотентных неприводимых линейных группах над конечным полем, ДАН БССР, т. 3 (1959), N 12, с. 475-478.

2. Д. Л. Загорин, Л. С. Казарин, Абелевы АВА-факторизации конечных групп, ДАН, т. 347 (1996), N 5, с. 590-592.

3. В. И. Зенков, Пересечение нилъпотентных подгрупп в конечных группах, Фундаментальная и прикладная математика, т. 2 (1996), N 1, с. 1-91.

4. В. И. Зенков, В. Д. Мазуров, О пересечении силовских подгрупп в конечных группах, Алгебра и логика, т. 35 (1996), N 4, с. 424-432.

5. В. В. Кабанов, А. С. Кондратьев, Силовские 2-подгруппы конечных групп (обзор), Свердловск: Ин-т мат. и мех. УНЦ АН СССР, 1979.

6. А. С. Кондратьев, Подгруппы конечных групп Шевалле, Успехи матем. наук, т. 41 (1986), N 1 (247), с. 57-96.

7. А. И. Мальцев, Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли, Известия АН СССР, сер. матем., т. 9 (1945), N 4, с. 291-300.

8. В. С. Монахов, Инвариатные подгруппы бипримарных групп, Мат. зам., т. 18 (1975), с. 877-887.

9. Дж. Хамфри, Линейные алгебраические группы Москва, «Наука», 1980.

10. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. 13-е изд., Новосибирск, 1995.

11. Семинар по алгебраическим группам (сборник статей), М., «Мир», 1973.

12. L. Babai, A. J. Goodman, L. Pyber, Groups without Faithful Transitive Permutation Representations of Small Degree, J. Algebra, v. 195 (1997), N 1, p. 1-29.

13. M. J. J. Barry, Large Abelian subgroups of Chevalley groups, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 27 (1979), N 1, p. 59-87.

14. M. J. J. Barry, W. J. Wong, Abelian 2-subgroups of finite symplectic groups in characteristic 2, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 33 (1982), N 3, p. 345-350.

15. A. Borel, Linear algebraic groups, Benjamin, New York, 1969.

16. A. Borel and J. deSiebental, Les sous-groupes fermes de rang maximum des groupes de Lie clos, Comment. Math. Helv., v. 23 (1949), p. 200-221.

17. W. Burnside, On groups of order paqP, Proc. London Math. Soc. v. 2 (1904), p. 388392.

18. W. Burnside, On groups of order paq^ (Second paper), Proc. London Math. Soc., v. 2 (1905), p. 432-437.

19. R. W. Carter, Centralizers of semisimple elements in the finite classical groups, Proc. London Math. Soc. (3), v. 42 (1981), N 1, p. 1-41.

20. R. W. Carter, Centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type, Proc. London Math. Soc. (3), v. 37 (1978), N 3, p. 491-507.

21. R. W. Carter, Conjugacy classes in the Weyl group, Compositio Mathematica, 25, N1 (1972), 1-59.

22. R. W. Carter, Finite Simple Groups of Lie Type, Wiley, London, 1972.

23. R. W. Carter, P. Fong, The Sylow 2-subgroups of the finite classical groups, J. Algebra, v. 1 (1964), N 2, p. 139-151.

24. A. Chermak, A. Delgado, A Measuring Argument for Finite Groups, Proc. Amer. Math. Soc., v. 107 (1989), N 4, p. 907-914.

25. J. H. Conway, Atlas of finite groups, Oxford, Clarendon Press, 1985.

26. D. I. Deriziotis, Conjugacy classes and centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type, Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematik der Universit'a't Essen, 1984, v. 11.

27. D. I. Deriziotis, The centralizers of semisimple elements of the Chevalley groups E7 and Eg, Tokio J. Math., 6, N1 (1983), 191-216.

28. P. Flavel, Class two sections of finite classical groups, J. Lond. Math. Soc., II. Ser., v 52 (1995), N 1, p. 111-120.

29. D. Gorenstein, R. Lyons, The local structure of finite groups of characteristic 2 type, Memoirs Amer. Math. Soc., 1983, v. 276.

30. J. E. Humphreys, Conjugacy Classes in Semisimple Algebraic Groups, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, Mathematical Survey and Monographs, v. 43.

31. P. B. Kleidman, R. A. Parker, R. A. Wilson, The maximal subgroups of the Fischer Group Fi23, J. London Math. Soc., v. 39 (1989), N 1, p. 89-101.

32. P. B. Kleidman, R. A. Wilson, The maximal subgroups of Fi22, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., v. 102 (1987), N 1, p. 17-24.

33. P. B. Kleidman, R. A. Wilson, The maximal subgroups of Fi22l Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., v. 102 (1987), N 2, p. 383.

34. P. B. Kleidman, R. A. Wilson, The maximal subgroups of J4, Proc. London Math. Soc., v. 56 (1988), N 3, p. 484-510.

35. S. A. Linton, The maximal subgroups of the Thompson group, J. London Math. Soc., v. 39 (1989), N 1, p. 79-88.

36. S. A. Linton, Corrections to 'The maximal subgroups of the Thompson group', J. London Math. Soc., v. 43 (1991), N 2, p. 253-255.

37. S. A. Linton, R. A. Wilson, The maximal subgroups of the Fischer groups Fi24 and Fi'u, Proc. London Math. Soc., v. 63 (1991), N 1, p. 113-164.

38. A. Mann, Soluble subgroups of symmetric and, linear groups, Israel J. Math, v. 55 (1986), N 2, p. 162-172.

39. D. S. Passman, Groups with normal solvable Hall p-subgroups, Trans. Amer. Math. Soc., v. 123 (1966), N 1, p. 99-111.

40. D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag New York, 1996.

41. Y. Segev, Ph. D. thesis, The Hebrew University of Jerusalem, 1985.

42. R. Steinberg, Endomorphisms of linear algebraic groups, Memoirs Amer. Math. Soc., 1968, v. 80.

43. M. Suzuki, On a class of doubly transitive groups, Ann. Math., v. 75 (1962), N 1, p. 105-145.

44. H. N. Ward, On Ree's series of simple groups, Trans. Amer. Math. Soc., v. 121 (1966), N 1, p. 62-80.

45. A. J. Weir, Sylow p-subgroups of the classical groups over finite fields with characteristic prime to p, Proc. Amer. Math. Soc., v. 6 (1955), N 4, p. 529-533.

46. R. A. Wilson, The Maximal Subgroups of the Baby Monster, I, J. Algebra, v. 211 (1999), N 1, p. 1-14.

47. T. R. Wolf, Solvable and nilpotent subgroups of GLn(qm), Canad. J. Math., v. 34 (1982), N 5, p. 1097-1111.

48. W. J. Wong, Abelian unipotent subgroups of finite orthogonal groups, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 32 (1982), N 2, p. 223-245.

49. W. J. Wong, Abelian unipotent subgroups of finite unitary and symplectic groups, J. Austral. Math. Soc., Ser. A, v. 33 (1982), N 3, p. 331-344.

50. W. J. Wong, Twisted wreath product and Sylow 2-subgroups of classical simple groups, Math. Z., v. 97 (1967), N 5, p. 406-424.Работы автора по теме диссертации.

51. Е. П. Вдовин, О порядках абелевых подгрупп в конечных простых группах, Материалы XXXV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 1997, с. 21.

52. Е. П. Вдовин, О порядках абелевых подгрупп в конечных простых группах, Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д. К. Фаддеева, тезисы докладов, Санкт-Петербург, 1997, с. 178-179

53. Е. П. Вдовин, О порядках абелевых подгрупп в конечных простых группах, XV межрегиональная конференция, Красноярск, апрель 1997, с. 3.

54. Е. П. Вдовин, Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных простых группах Шевалле, Материалы XXXVI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 1998, с. 24.

55. Е. П. Вдовин, Large normal subgroups of finite groups, Kurosh Algebraic Conference '98, abstracts of talks, Москва, 1998, с. 125-126.

56. E. П. Вдовин, Большие нилъпотентные подгруппы конечных групп, Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 1999, с. 22.

57. Е. P. Vdovin, Large Abelian and Nilpotent Subgroups of Finite Simple Groups, Wisla, Poland, June 6-10, 2000, p. 47-50.

58. E. П. Вдовин, Большие нилъпотентные и абелевы подгруппы конечных простых групп, IV Международная конференция, поев. 60-летию проф. Ю. И. Мерзляко-ва, тезисы докладов, 7-11 авг. 2000 г., с. 39-46.

59. E. П. Вдовин, Большие нилъпотентные подгруппы конечных простых групп, Алгебра и логика, т. 39 (2000), N 5 (Перевод Е. P. Vdovin Large nilpotent subgroups of finite simple groups, Algebra and Logic, v. 39 (2000), N 5).

60. Е. П. Вдовин, Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Ше-валле, Алгебра и логика, т. 40 (2001) (Перевод Е. P. Vdovin Large abelian unipotent sugbgroups of finite Chevalley groups, Algebra and Logic, v. 40 (2001)).