Абсолютная сходимость рядов из коэффициентов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛСМОНОСША

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ЧАН МИНЬ

АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ

( 01.01. СИ-математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой ' степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Диссертация выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа мех&нико-иатематического факультета Московского государственного университета имени 11 .В.Ломоносова

Научный руководитель - член-корреспондент АН СССР, профессор

П.Л.Ульянов

Официальные оппоненты: доктор физико-иатекатических наук, профессор Б.И.Голубов кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Рубинштейн Ведущая организация - Московский институт электронного

машиностроения

Защита диссертации состоится 13 декабря 1991 года на заседании специализированного совета Д.(53.СБ.04 при Московской государственной университете их. М.В.Ломоносова по адреоу: 119899,ГСП,Москва, В-234, Ленинские Горы, ИГУ, механико-натеиатический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией иожно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ИГУ (Главное здание, 14 эта*). Автореферат разослан 13 ноября 1991 года.

Ученый секретарь специализированного совета Д.063 . 05.04 при МГУ доктор физико-иатекатических наук

Т.П.Лукашенко

ОНШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ауууэдьдорз'ь теды. Теория абсолютно сходящихся ортогональных рядов занимает важное место в анализе. В этой области получено много результатов, касающихся исследования сходимости ряда из модулей коэффициентов. В последние годы появились новые изучения абсолютной сходимости радов из коэффициентов Фурье по общим ортонормированным полным система'.!.

Цель дидсертвдии - изучение сходимости следующего ряда

надлежащей разным классам.

Науч^ад нддязна. теоретическая и практическая ценность

Все результаты диссертации являются новыми и относятся к теории ортогональных рядов. Основными результатами является следующие :

Получены необходимые и достаточные условия сходимости ряда-(I) для классов Н0" и Н^ с I < р < °о .В качестве применени.'; этих результатов, проводится доказательство теоремы Бочкарева (см. [I] ), получены необходимые и достаточные условия сходимости ряда (I) по системе Уолиа-Пэди.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах в Московском университете

1) П.Л.Ульянова, М.К.Потапова "Теория функции действительного переменного" и

2) П.Л.Ульянова, Ь'.К.Потапова, М.И.Дьяченко "Теор;:я тригонометрических и ортогональных рядов".

а) ¿1

оо

ЦхйШЖУЖй- Основные результаты диссертации содержатся в раоотах автора [i] , \г\ , [о] .

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на SO страницах и состоит из введения и двух глав. Ьиолиогра-<ия -¿5 наименования.

¿иДЕРМШШ РЛЬОТЫ

Во введении дастся оозор результатов, связанных с вопросами, рассматриваемыми в диссертации и кратно изложено содержание диссертации.

вводом некоторыо определения и обозначения.

Обозначим через А - пространство аналитических внутри единичного круга и непрерывных на замыкании К функцик.

U - прост ранит но непрерывных 1 .периодических на ир.ямо»1 'функции с нулевым значением в точке о . в дальнейшем будем считать, что х+1 = х дня любого действительного х- . '

liyci'b \ (-к) е- С , оиделелим

Q. [5) =и ьир | ?(*♦<,) - |(xj |

f liUS, х е R

Д/ш заданного модуля непрерывности cv(ij, определим

I-Г Г, j I е С , S2f(S)= 0(ш{5)) при S->ol.

Определим д.ия какдоп -? б Мш норму

J2t (*)

НИ = НИ + —777 •

м с 0<s<i wiiJ

Пусть для любого натурального числа N , выполняется условие

N N

то будем говорить, что модуль непрерывности удовлетворяет условию Бари А. ^сли выполняется неравенство

£"(:?-)« С"МШ'

то будем говорить, что модуль непрерывности ш(5) удовлетворяет условию Бари Б.

/.Рудин (см. [¡¿, теорема 4]) доказал, что справедлива Террема ,(У,.Рудир) Для любол пооледоватильности возлегающих натуральных чисел - } 1 ,,"1 л существует ¿«ункцил

класса А оо

т =- о

для которой

ггнЧ \

Ль

к. = 4 *

^ 1 о

ДЛЯ -тп = и, ...

О.Н.Берпштеин доказал следующую-теорему.

^еорд;.!^ .(БешмиеДн. см. [3, с.16С-16У]). Коли модуль ла-

прерывности со( 5) таков, что

^ ^ А " 1

и 1(^6 го

оо

(1а„(() I +/М01) < 00 ,

где ( и =!,<:...) - коэффициенты ч'урье оун-

кции по тригонометрической системе.

Б связи с выше сформулированными теоремами, п.Л.лльяповшл оыла поставлена следующая задача:

Лдя заданных .Л а ш(5) выяснить, когда сходятся ряд

1а„т|

для любой функции £ Н А А , Нами получена следующая

?ерр$ма !■ Пусть дана последовательность Л и модуль непрерывности го (£) , удовлетворяющий условиям Бари (А), (Б). Тогда

рад

сходится для любой 6 А тогда и только тогда, когда

оо

Для системы Хаара \ П.Л.Ульяновым (см. [4] ) доказано, что справедлива

Теорему (Ульянов). Если ш[5)~ модуль непрерывности, то в классе найдется функция 4 (*■) > обладающая свойством

Карлемана относительно системы Хаара тогда и только тогда, когда °° ~ Р/г р

21 ^ ("п1) - 00 при всех (1,2).

П.Л.Ульяновым была поставлена следующая задача общего характера.

Пусть заданы ОНС = £ ^ А на отрезке I = [с>,1],

число р б (0,2), последовательность положительных чисел ^ - ¡Хц • Выяснить, при каких модулях непрерывности <и(5) ряд из коэффициентов *урье

оо

(I) I

сходится для всех | £ н10 •

Двд формулировки теорем, введем следующие обозначения.

Пусть дан модуль непрерывности со (5) Обозначим че£ез - минимальное натуральное число сред;; тех N , дня которых

^ (-!_) < _г_ . л" I

Положим N. < = О, = О, с/оГ Л/0 , г Л'*., при к =1,2 ...

Пусть { в = £ " : ¿и > "»I •

Обозначим = 1 при * = 1.2 ... И

? Г«("1 ' 1С- 0 ~ снстема Радемахера (сл. [б] ) , Обозначим треугольные функции в С , определяе-

мые следующим образом

ГО при (0,2Е), А^ иь V I при х = е /

I линейная на отрезках [о, г] и 26] )

где е е (о, 1/2).

Теперь определим систему 1-периодяческих функции

следующим образом:

м

Для 2 $ » ^ 2 ° положим

Если п <: ¿^"к"1 , где к > I , то

NnK_, . ? V

т, = г +«(4-^+5 , где ^ 4 _ некоторые целые,

Ч ,

о % р « г а и . Тогда полс.-хт,:

(х) = С.

г - 1

'"к"

ж!

N '

Если Л < , где к > I , то

„лч,-

, где ¡!, s - некоторые це-

d-n

-( s s s -г 4 .

лые числа, о <с р < г ,, Тогда положим

= (О = 4- - Т

т»1 т,мг,р 1 .г*4

Пусть задана ОНО V = { Ч^ Ы}^ < ' Полоним для всех р и п

= 1 ^ = ■^Р-» 2 Р

Тес?«1£ Сходимость ряда (I) с (3 = I для всех | е /-Г равносильна условию

| ~ Г^-'- . | N I

V 2Г 2_? 211 г % ^. г со +

„ rp §l^prpi4J/ +

^ ОО ,

Когда со(¿J удовлетворяет условию Бари (А), то выие с.ёорму-л:фованное условие эквивалентно следующему

eg t ST 4

= X

I N I

Teppgr.ia 3. Пусть f > I и удовлетворяет условию

Бари (А). Тогда если выполняется равенство

f

2Z

f-л

•ьп

Z.

P,V1

то найдется функция ь н10 , для которой

. гдя с„(9)= | дЫ^МЛ* Т

В качестве применения теоремы 2, проводится доказательство теоремы Бочкарева (см. [I, стр.12] ).

Терре.ма (Бочкарев). Пусть на I = [од] определена 110110 V = { Ч1*, Iз-) 1 , и ) - такой модуль непрерывности, что

Г7 ^ С°(»' ^

Тогда найдется функция из И такая, что ряд из коэффициентов Фурье по системе V абсолютно не сходится. Далее, из теоремы 2 выводится

Террерла^ 4. Пусть со (5) - модуль непрерывности, удовлетворяющий уоловию Бари (Л). Пусть - £ ™к - последовательность возрастающих натцральных чисел. Тогда ряд из коэффициентов Фурье по тригонометрической система

¿1 +

к-< 1 " '

сходится ддя всех € , необходимо и достаточно, чтоиы

¿1 со/ < - .

Следует отметить, что достаточность в теореме 4 выгикаиг из теоремы О.Б.Стечкина (см. [Ь, теорема 4] ).

Основная трудность в доказательстве теорем представляет вычисление нормы линеиного функционала тако1'о, что

^ : И"-„ к ,

и (О =

где "&(*)- некоторая заданная интегрируема.! функция. Наш получена следующая:

Дедоз 5. Справедлива оценка г *■ I <

У* УГ^ 5-4 г

« О

Л,

се А

и; С

Во главе П рассматривается задача П.Л.Ульянова в пространствах

4 < Р < ОО .

Введем некоторые обозначения.

Сохраняем предыдущие обозначения дам заданного модуля непрерывности.

1*к

Обозначим дай К = 1,2 ... , $ = 1,2 ... 2 * функции

к -характеристическая функция множества А на I = 1.0,1)

Обозначим для всех з и к число

. а

-"и, к ^ К

Обозначим пространство всех последовательностей

» та1ШХ> 410

икСЛ = (х кг)

< оо

Числа

' »/ * р и р сопряжены к р и р , т.е.

Г Р ГС

Удррд^ 15. Пусть ш(&) - произвольный модуль непрерывности, 1<р<.оо,1<р . Тогда для того, чтобы ряд (I) сходится для всех ^ € Идостаточно, чтобы

N6 2.1

*

< .

е'

Если и>Р1$) удовлетворяет условию Бари (А), то это условие есть и необходимое.

Теорещ ,6. Пусть и>(5)~ произвольный модуль непрерывности, число р=1, 1£р<оо . Тогда для того, чтобы ряд (I) сходится для всех 4 е Н^ достаточно, чтобы

OS tá ^

N ег

Л/р

f

I »1-<

Ъ. 5Пк г; ( + J

i s = V

.Р'

< ОО

Если í SJ удовлетворяет условию Бари (А), то это условие является и необходимым.

Б качестве применений этих теорем, наш получены ygppgfjfl ,7. Пусть coíS) произвольный модуль непрерывности, число f> = I, I < р < 2. Тогда дай того, чтобы ряд (I) по системе Уолша - Пэли (см. [б] ) сходится для всех | tHpw достаточно, чтобы

— -¿-I 2=1 rJV-Ч"

2.

К-1

-л- 1

Если ^ , "п = 1,2 ... и и/ (&) удовлетворяет условию Бари (А)', то указанное условие является и необходимым.

Отметим, что если I и со' (Е) удовлетворяет условию Бари (А) то необходимым и достаточным условием сходимости ряда

(I) по системе Уолша-Пели для всех 4 е Н^ является требование

___< °о .

к = « -г" \ -п 4 '

Творец 8. Пусть - произвольный модуль непрерывности

и I < Р < р 2. Тогда для того, чтобы ряд (I) по сиотеме Уолша-Пели сходится для всех $ е достаточно, чтобы выпол-

нено одно из следующих условий

к-^-г

¿"к**

- <

•и = г

1

Р

<

или

г

А

т

•и г. з.

I ^ ) Т* (Л - * )

р-р

И1 ?

< со

{

Если 0} (5) удовлетворяет условию Бари (А) и Мк-и ,

М ('-Р^-О? * • ^ ^ -VI - 1 является последовательностью

невозрастаюпшх чисел для любого <=1,2 ..., то первое условие

является и необходимым, а если м ^

, м ^ 1 2 '

(■* К-. гы*-<*4 является

последовательностью неубывающих чисел для любого к = 1,2 ...,

то условие второе является и необходимым.

*

Автор приносит благодарность научному руководителю член-

корре'спондекту An СССг П.Л.Ульянову и доценту .л.и.Дьяченко за

постановку задач и большое внимание к работе.

литература

1. Бочкарев С.Б. метод усреднение в теории ортогональных рядов и некоторые вопросы теории базисов //Труды МНАН СССР, 1978, т.146, с.3-87.

2. Rucùn W. Pe-marks сm a. iktortm &{. Patüy Iß.Lcryidir» МаЛ, . So с. 4957, vof. Ii , p. Zol-ЗН.

3. Еернштейн С.H. Собр.соч. M. Изд. АН СССР, 1954, т.2.

4. Ульянов ÏÏ.JI. 0 коэффициентах Фурье /Л1атем,сб., 1979, т.НО, № I, с.13-34.

5. Стечкин С.Б. Об абсолвтной сходимости ортогональных рядов //Матем.сборн., 1951, т.29, ü I, о.225-232.

6. Голубов Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. Наука, 1987.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах автора:

1. Чан Минь. Об абсолютной сходимости рядов из коэффициентов Фурье //Вестник МГУ, 1988, № 4, с.65-70.

2. Чан Минь. Абсолютная сходимость рядов из коэффициентов Фурье по ортонормированной системе //Вестник МГУ в печати.

3. Чан Минь. Абсолютная сходимость рядов из коэффициентов Фурье //Депонирование в ВИтГГм.