Абсолютная устойчивость нестационарных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕШКА й ОРДЕРА СУДОВОГО КРАСНОГО ЗНШШ ГОСУДАРСТБЕНШЛ УНЮВРСИ1ЕТ

На правах рухотся

САВКИН Андрей Вячеславович

АБСОДЙ1НАЯ ШОЙЧИВОСГЬ ШЯАЦЙОНАРНЫХ СЙСИ4

0I.C3.09 - иатематческая кибернетик«

СЛ«««

АВТОРЕФЕРАТ диссертации н» соискание ученой степени кандидата фяико-матемэтичееких наук

Ленинград 1991

Рабата выполнена в Летен градсконг государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ЯКУБОВИЧ Владимир» Андреевич

Официальные оппонента: доктор физи-кй-м-атеиаткческях наук, профессор БЙБИКОВ Юрий. Николаевич

кзедадаг фйзкко-матеиагических наук, 1 доцент НЕЧИТАлДС Александр Владимирович

Ведущая организация - Институт проблем управления Ыттрлйора СССР и АН СССР.

Защита диссертация состоится " ^ " 1991 г.

в часов на заседании специализированного совета

К СбЗ. 57,49 по присуждению ученой степени кандидата физи-ко-иатсиатических наук в Лешшградсхок государственном-унтаерелтете до адресу: 128904, Ленинград , Старый Петергоф, Библиотечная пл., д. 2.

С диссертацией «о*на ознакомиться ь научно я библиотеке Лснинградскога университета СЯйкикград, Университетская к-аО. 7/9).

Автореферат разослан " " 1991 г.

Ученый секретарь, сладкалазированиаг совета, кандидат физико-иате«атчеогагх

наук, доцент ' А.№.Шепелявы!

- 3 -

0К2АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность текнч 3 теория абсолютной. устойчивости ноли-юйные системы часто исследувтся с гпмоиьп стационарных {унк-дий Ляпунова, Извостни необходимые и достаточные условия супеот-! овация стоиионорноя функции Ляпунове-лурье, а также условия хЗсолптноЯ устойчивости нчлинелних систем со стац1:онгрлоГ! лм-!ЗЯной часть а и с нелинэЛностями, удовлбтисряйщикн иитегрсль-юй КЕадрзтимноП связи. й.Л.Якубовичок были получены вноло-■ичние результаты для систем с периодически нестационарной ли-1Э{Иой частью. Представляет интерес распространение отих ре-»ультатса на непериодический случая >: получение новых достаточных условий абсолютной устоиминоста нестационарных систем, ¡тин Еопросам н поевлпене диссертация.

Цзль работы состоит в получении критериев абсолптной устойчивости V. ограниченности репзний различных классов нэстэ-оюнарных систем, в нахоадании условий существования нестеЦио-1эрных функция Ляпунов а и разрешимости нестационарной линейно-.Еадратачной задачи оптимизации на бесконечной временном ии-ерзале.

Методы исслэдозания. В диссертации использована на .ода ■еории абсолютной устойчив сети, теории оптимального управле-ия, второй метод Ляпунова.

Научная новизна. В работе вэтором получены следупщие овые результаты:

- найдены условия разрешимости нестационарной динййно-ведратичной задачи оптимиза.ли на бесконечном временном ин-ервале, условия абсолптной устойчивости нелинейных систем с естационарной линейной ча стьо, условия существования нвета-ионарной функции Ляпунова для таких систем, условия существо-вния ограниченных решений у матричного уравнения Риккати. По-»зеке саязь всех этих вопросов со свойством неколебатвльности анейид гэмильтоновых систем;

- подучен*! новые критерии устойчивости дине&шх порио-(чеоких Г8мильтоновых и -инвариантных систем* кршорш

- 4 -

неколсбатйльности линэгшых гямиль тоновых систем;

- получонц достаточные) условия эбссдптной устойчивости неликг;'лих нестационарных систем и огреничэ.чьооти решений нзегзцле-норки:? узЭогих систем, критерии суде с тл сеяния ограниченна* и поркодгчаеккх рссокид у матр;:ч:.огс уравнения Риккрти.

Прокточэскоя и тоссе^цеская цзкнрсуь. Результата »юботи лредегсалл»? интерес о точки зрен::.* теории абсолютной устойчивости :i Tcopi:;! еколиглчссгого гочстх.укрот;якя>1 регуляторов. Получена уолс^кя Абсолютно?. устоПчизост;!. котссие могут муГгг:: применение при иесдодозоразлична?: скстсм э2Тс:.:атач-зс:;ого упрозлйняя.

Ali;- с.ба ■ "лк рдботы. Ссноянко розу льготы дсклодавилиеь нь 1У Урсльс»«;>Л рпгскг>;л>иоЛ kcj:*:рсодк::

низ урс2иок::я :: v.r. приложения" (У-*", I?<?S г.). )!-• Зсосоазксп

КСН>*С]^ЛШГ. "Кочзстеснкэл TGOpr.fi ÄK.JJCJCHiSMÄblliK урсиЛЮНЯЯ" (Ригз, I5Ö? Г.), не eKozc-csnxitefO "РйЗриьнио динс:::чсс:<1:с скстсми" (Knea, I9G9 г.), кс Л. осесояз::см езнг.кгро "Стэгксти-Ч2ск::;1 с;:ктзэ и рнйлг.а ш'^оркеЦ^скнмх с.иг.ч::" (Ульянове::, 19cS г.), но Зсзсоязиой кокфзргицк:; "Нслгко^нио г.роблзмц диЛ-£ергвд:зльи1г>г удалений ;i .'.«»i-revoTyiecKoil А>?яки" (Тсрмспол!., I96S' г.), ш* ЭсеоокзноЛ кон^оренцгя "П;л!ке.чоние статаоткчезккх негодоа в производство и упрзалэкия" (Пермь, 1990 г.), на ко-(Тедродькух научных секппарох ЛГУ.

П.ублкхзг.глк. Оснсиноз содоржонкз д;:ссертаи::;: отражено а роботах [I-S] .

Структура к обт.см рг.ботн. нее орте Ц7Я состоит из взедани* четирох г л об i: сплска литервтури (76 иайзонхй). ОбдаЯ объем работы 129 страниц.

KPAjKCE ООДЙРШЕЗ ДИССЕРТЛШИ

Во д воден и»: обоснована актуальность теми, дан обгор литературы и кратко описгны полученные разультеть*. 3 главе I рассметривзется система управления

¿т = А;-Ь.шЪ + U-t)u(i> Cl)

и нертбдоокэрн&я квадратичная форма

зс, mV- C-(t)X ► * и ПЫ ] . (2)

- ^ " _ т

Здзй-'/.йй", и* !Г; Аи),кх), & "

ограниченные, кусочно нзпр-ъригн:^ матркцч-фуикции соотаетствую-х ряэларностоЯ. Ясо.лг/элгтаэтол, что

Т ' \

гдо ... ч - ОДННГ.ЧНвЯ ('Л1 х уЛ) -матрица.

Рбсспгтриааютсл сяздупвие дес задачи.

1. Зод.943 КЭХ0ЖД8Н-1П фо У^ ,Х) в X1" и

(функции ллпунове) такой, что

(Ь^) СО

и для ее произзолнол в с:иу су,стены (1) выполнено условие:

1 а>о: V- хт йдг)Х + ^(иЫМлхЧсЫЪ ;> + о Сихйг + х, . С5)

2. .Нестационарная ядаеино-каадратичная задача оптимизации

■=. а, V; •= ^ ^ . (б)

Здесь Т.»<Е ^ - зэденное число, - задзнннй вектор,

XI-) и(-) удовлетзоряят уравнению (I) и принадлежат

Для случая периодических коэффициентов у системы (I) и форма (2) В.А.Якубов;:чен была установлена связь разропи-мости этих задач со свойством неколебвтэлькости гвмильтонозой системы порядка 2.п

(в)

-и, О . [.А

зртации оти рэзультг случай.

Будем говорить, что система (7) Х^-неколебатвльно, если у нее существует П лиизлю независимых реионий

В диссертации оти результаты распространены на непериодический

х)

Якубович В.А. Линейю-квэдратичнзя задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем // Сиб. мат. журнал. 1986. » Ц. С.181-200.

таких, что

прй . гдй (ПуУА) - матрицы ХгЬ опре-

деляйся соотноконнем

ХгЬП

- НСКОЛОЗЗТСЛЫЮЯ СКСТСМО НЭ31ЙСОТСЯ сильно -нзко-

лоботельноя, если это сюйсгео сохраняется при всех достаточно малых в , + ел) - метрика де-'ороцнях ее генальтсниз-

ка И11).

Предполагается, что система (I) -стабилизируема, то

есть для любого Я. С. С. существу о? такая функция

^ , Что для рошзши-у ровнения (I) с начзльш у слов я ем Ж*:,) " выполнено £1)£ * •

'Теорэмо 1.1. П/сть дена уравнение (I) и форма (2), выполнено (3). Пред поло*;«, что система (7). (б) сильно + -неколзбртельно. Тогда: у,

(А) Для любых ,0.6 & задача (I). (2), (3)

разреакмо: существует оптикальноо управление.

(В) Разрешимо задача о функции Ляпунова: существует кводротг.чиэя фор-га V,£,Сс') - о:т , удовлетяо-

рясаая при условиям С*0. (5).

СО Существует матричная фунйиш > удовлетворяю-

щая при > Ь„ условию (4) и уроьнеки» Риккоти"

~ -о,, ао)

- устойчивая ног-рлчкая функция (то есть все решения системы принад-

лежат |_гТЛ„^ )• Здесь

СЮ

с1) ) Существует фориа зГ •

удовлетаорявцэя при у словив С1») и равенству

г до V - производная в силу уравнения

С1), гсЬ - некоторая ограниченная матрица-функция, и при этом $!>(.•)

ЦЭЯ при Г.„ условию И У]

Г: + ^Г":\ Й & + - и -

токая, что В(-) = Л (.-") +

устойчивая мэтртчная функция (из (12) олодует, что *Ut) тает вид (И)).

( Е ) Для любого "tj? х„ существуем 6 ><! такое, что для любых xi-i, UiO ИЗ +^ I удовлет-

воряющих уравнений (I) и начальному условии '.Xlt^O ,

выполнено неровенсгао

iiit/xcb.udiiat ? d'iimb^ + uuvbihA-t.

При этом Kit) в (.С) и VD) определена однозначно и для нее справедлива формула -Ч' » где X, Ч' матрицы из (9). Оптимальное управление при любых -t, ?х., , Okt ^ доставляется регулятором

VAlt) = TibTJU-b , <»)

где -где) - матрица (II). Кроме того, - фундаменталь-

ная матрица оптшальной системы (I), (13).

Теорема Х.2. Г^сть даны уравнение (I) и фор<а (2), выполнено (3). Предположим, что выполнено одно из условий (P\V..,(E') теоремы 1*1. Тогда система (7), (8) неколебательна.

Теоремы I.I и 1.2 показ!шают, что условие "^-нбколе-бэтельности "почти равносильно" (с точностьв до сколь угодно малых в равномерной метрике деформаций коэффициентов) хаадому из условий (1\\,...,(Е) теоремы 1,1.

В конце главы, в § 1,4 более подробно изучается ванный для приложений случай периодических систем, возмущённых на конечном интервале.

3 гласе П исследуется задача об ебсолвтной устойчивости яелинойюп системы

xd\ = Adm-U + ,

-t. 4- n rV 'W

-ip^^xd^vMAMH-tf. (о

1десь - интераол задания рзпеикя, T - £ор-:а

ада (2), к оэфф! тенты в (I) ограничении кусочно' мопрсризнн. [редполагоется, что

Сиотеив (1*0, (15) навивается минимально устойчивой, если сущастаует ограниченно я матрица-функция такая, что £сэ решения система (1^) при = лм-НаСсЬ принадлежат ¿.^Ц.^со) н ^ при всех к .

С помочи полученных в главе I условий существования нестационарной функции Ляпунова устанавливается связь збсолят-воИ устойчивости системы (14), (15) о "Ьь-неколсбатольность гамильтоновоЯ системы

II., о 1а-(.Г ^, -£ГЧТ I сш

№орекз 2.1. Цусть система (15) инникельно ус-

тойчива, гамильтанова система (17), (10) сильно -неко-

лебателька. Гогда система (14), (15) абсолютно устойчива.

Теорема 2.2. Предпадюмш, что система (1'0, (15) абсолютно устойчива. Тогда гамнльтонова система (17), (16) -неколебательна.

Таким образен, абсолптноя устойчивость система (IV). (15) "почти равносильна" (при условии ее иининальной устойчив ост) -неходебетедьиости гамильтоно^ой системы (17), (16).

В § 2*2 более подробно изучается вопрос об ограниченных решениях Матричного диффереидаадьного уравнения Риккати (10). Получен ряд критериев сувествосания ограниченных при 1; -* ревзнкй уравнения (1С).

В 5 2.3 уствнавлиявется связь абсолютной устойчивости системы (И), (15) с некодебательнооть» *' хами ль тоновой система (17), (16). При слодувцем дополнительном ограничении на сиотеяу (X1»?, (15)»

Ст>о: кШ^Нб^ИХ^Н, й9)

получена результаты, аналогичные теоремам 2.1 и 2.2.

В § 2*Ь показана связь иоколабэтальноста г аииль тоновой систему (17), (18) со свойствен дихотомии си с юны (XI), (15).

^ Якубович В.А. Осциляяторкце свойства репений канонических уравнения К Иатек. сборн. 1962. Т.56 (90). » I. С.%42.

В ГЛ8В0Х I и II получены "почт* равносильные" (с ТОЧНОСТЬ!» до сколь угодно малых деформаций гамильтониане) условия абсо* л мной устойчивости и разрешимости линейно-квадратичной задачи оптимизации. В § 2.5 приведены примеры систем» относядахоя ' * критическому случаю, когда соотаетствупиие гемильтоновв системы ноколебательны, но не являются сильно не колебательны-* т, Эти примеры поквзнвают, что условия,"почт» равносильность" которых установлена в главах I и.П, не являятся рзвнесильни« в строгом смысле.

3 главе й методами теории абсолютной устойчивости ио~ следувтся лкноЯкыо периодические системы, представленные в звдв

£ ^Кх+йи , ^

ц= еЬX, VI:+ЪЪ)^ , с»)

/•П _ . 1 „ .»»«к , _ _»»*•"

где х$С .

Система (20), (21) называется возвратной, воли ее характеристические показатели симметричны (о учете« кратности) относительно нниивй оси.

Таким свойством обладают два важных класса скстох, часто вотречоядахся в приложениях, - гемилыонояы системы к -> инвариантные системы. Известен ряд критериеа устойчивости гамильтоновых систем. Конструхтавн&х кэ критериев устойчивости "Ь -инвариантных систем многомерных систем, по-видимому, не формулировалось, 3 §§ З.^-З.б получены такке критерии. Они формулируются в виде неравенств, похояих но частот««« условия, однако, в отличие от теории абсолютной уотойчииостя, требуется выполнение этих неравенств не не всей мнимой оси, а не некотором ее дискретном подмножеств. ° . ■ *

П^стЬ $ -«ведра »чная эрмитов» форма от ЭС,и Будем говори». Что для уравнения (21) выполнена квадратичная связь о формой $ * если уО<0(^X6С*

4 я, кроме того неравенство '

уг

выполнено для веех , * связанных соот-

ношеииеи (21)*

- 10 -

Будем Т8КЗЮ говорил, что,для системы (20) *оркы 2 и числа £ С выполнено дискретное частотное неравенство, если бс?^,и¿К О для всех , Х^С^^С^иа^ + ^^О,

связанных соотношением + ), =

Характеристические показатели -периодической

системы определяются с точностью до слагаемых вида I Кл Ц.). Чгоби избавиться от этой неоднозначности, введем обозначение {¿У-2-i.lt «ГДв & -наибольшее целое число

такое, что Хул'2 2 . . ,

Теорема 3*2 . Пусть системе (20>, (21) возвратна. Пусть

при ^ £ • Предположим, что сувдствует множество .1 с Ск

твкое, что выполнены условия: •) 0 € ^ ;

б) для лябых ио^, В таких, что

сувествует такое,

что ЦиаЛс^ с

в)ддя любого существует квадратичная форме о

такая, что для уравнения (21) выполнена квадратичная связь с форюй 5 » * Для системы (20), форты 5> и числа I^л выполнено дискретное частотное неравенство.

Тогда система (20), (21) устойчива.

С помоеьв этой теоремы получен ряд аффективных критериев различных классов возвратных систем.

Ряд других критериев устойчивости возвратных систем получен а §§ >.8 - 3*9. Аналогично абстрактной теории абсолютной устойчивости, здесь строятся квадратичные связи не в (_2 , в в других гильбертовых пространствах, в данном случае в Н' • Идея использования таких пространств в. задачах устойчивости, а твкяе применяемые в § 3.9 оценки нор-! линейных операторов, принадлежат В.Г.Курбатову.

В § 3.10 с помощью полученных критериев исслодуется векторное уравнение второго порядка, к изучения устойчивости которого приводят многие задачи об устойчивости колебаний упругих систем. Получен ряд эффективных достаточных условий устойчивости.

Результаты главы П связывают абсолютную устойчивость системы (I1»), (15) с кекслеботельностью гемильтоновоп системы

- II - • -1

(17), (18). Одноко, условие кеколебательности слишком нэ-кснструктиЕно. 3 приложениях система (14),. (15) обычно зззисит от параметров и часто больший инторс-с представляет достаточны» условия абсолютной устолчнвости, позволяйте выделял области рбсолзтноЯ устойчивости и пространство параметров. В главе ТУ исследуется такая зздяча. По-суцостзу, здесь методами глава Э полученц кр::терг!1 кеколебательности гашлъ тоновых слотом, которые, в- силу результатов глови П, дзот достаточные условия абсолютной устойчивости.

Пусть "о? о ,х. > о - параметры, сЦ'Ь) - почти пэ-риодаческая потрица-^.ункция произвольно!? рэзмерносг.1

(аг)

- ограниченная, кусочно непрершэная мотрйцз-4ункщ<я. Введем обозначения:

1 01 = 0)

<8">о,1&(*2ЛГ1) , (23)

о

а4 ' (гч)

( 'а^ , {'¿"-о?

Теорема 4,2. Г^,'сть система (14), (15) минимально устоячивв, выполнена условия (16), (19). Предположи, что + , гдо Т)( ИIН определены соотносзнкяма

, - ЛнСЗ-

штрида-функдая тар (22), -»ограниченная (.{>*£)-*

нотрицэ-фнкщя ( - любые натуральные числа), фсть .

= . . Предяоловя, *

что существуют числа О , Х>о тэкио, что выполнено условно

(1 Ъ^Цш.)) 1

Тогда скстс-мэ (14), (С) абсолютно устойчиво. Доказательство этой теоремы использует оценки нор» опэро-торов в проистрвнотЕвх Ц4 , принадлежащие З.Г.Курбятсиу,

которым были получзиы критерии асимптотической уст-с^/воста ли-кей1ых систем. Теорему <».2 мо:хно рассматривать! как »¿ьспростра-нение этях результатов З.Г.Курботова не нелинейный случай.

Теорема Ь.2 прыанапе в работе для изуче^:;;? систем с нелинейностью вида .исЬ) - Е^ЧО^/Х) • ^'.примерах строились области абсолютной.устойчивости на плоскости параметров 10, ¿) . Эта области оказались больвимм больвпш, чем области, которые дает иззеотный круговой к^торкя.

В § получены эффективные (проверяемое ¡¡о коо,-¡фи центам) критерии существования ограниченных и периодических решений у уравнения Риккатк (10). Эти критерии получены соединением достаточных условий неколобатсльности тамильтоновых систем и результатов главы П о связи существования ограниченных ревений у-уравнения РиКкатй с неколёбзтёльностьв гвмильтоновых систему

' - а §>.5,рассматривается важная для приложений задача об ' ограниченности решений нестационарных фазовых систем, то есть систем X = ^^ ■ # где ^^х + сИе^и,*)

для некоторого (ЦК. ,

Г.А.Леоновым методом инвариантных конусных сеток был получен критерий ограниченности решений фезевьх сиотем с одной скалярной нелинейностью, заданных в виде

Х-&хЛи ,6 = гтХ, = (35)

где , =

В диссертация предложен новый критерий ограниченности реиекий твкчх Систем. Оя получек модернизацией метода инвариантных конусных оеток.

Теореме ^.б. фсть дана система (26) и пусть

где <М*1) - функция вида (22), - ограниченная функ-

адя. Предположим, что существует К> О такое, что выполнены следумме условия:

1) матрица /\ + XX,, имеет собстаенное значение с отрицательной »едаиветюг? чаотъв;

2) сувествуит о, Т > О такие, что выполнено условие

(U^y)^(V-(di.)) Ш.))}! j(4 Саз - V5!1< i <VC06 £>, ГДО - M-V) определены соотно-

шения«! (22 - 3),'1 v.Vij- гч ¿1 - Д,Г1 - передаточная функция.

Тогда любое релечке системы (26) ограничено на интерна-.

Лв U 0, ♦<:>).

J диссортл'Л1.! reопека ''¿.б применена для изучения уравнения ат^рого пор.тдлз

h * >{ f.\ ч с 1<-и bv vtvitt г- С .

Это уревноние часто встречается в приложениях и описав сет белько.". класс c'-.oKX'D'i. «"зллчиих по сьоеД физической природе.

Бил:' псстрс-.чз сС..лть ограниченности ро^онпЯ урглненк.т '(27) из плоскости ."»pwiwrjos » которую' дзет приксне-

:п;о Tooroiiu 'i.ij. С/.ззс.-сс», что отс области превосходит область, i:oropy:: критерия Г.А.Лс-снтзв.

Основное рег.ультсти диссертации со,»ср:.-;птся и работах:

1. дхтаов С.Г.., Со-*л!;н А.З., Солопяк B.ii., Якубович ¡3.2» Периодично:?;: о в одно?! сир токе диференциольных включений. описцвавцзй специальны:! хлэсз электрических кон-тельных схем // Известия ВУЗов. Серля 'Чатематика". 1SS7.

№ 9. C.36-AI.

2. СэзкшА.З., Лкубсиич З.Д. Криторш; сильной ноколеботель-ности гамиль тоновых спстсч и их пр;!:3и-зние в теории абсолютной устсйчигости // Таз. докл. Всесоюзной конф. "Ыачзст-геннач теория д;:,%оренциолышх уравнений". Рига, 190),

С.496.

3. Сзвкин А.З. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с. почти периодической линейной частью // Тез. докл. иколы-семиноро "Разрывный динамические системы". Киев, I9C9. CA7-JIQ,

Савкин А.З. йшэйнце гамильтоновы системы и настаниочлрнал задача оптимальной фильтрации // Тез. докл. XI Зсесогш. семинара "Статистический синтез и анализ информационных систэм"» Ульяновск, 1969. С. 29. 5. Савкин Л«В. Частотные критерии устойчивости и неустойчивое-

- 14 -

ти линейных периодических систем // Дифференц. уревн. 1909. * е. C.I332-I339. б* Севкин A.B. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с нестационарной линейной частью // Тез, докл. Зсесоюзи. конф. "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической филки". Тернополь, 1269. С.Збв-З&Э. 7. Севкии A.B. Устойчивость линейных периодических систем и Задача слежения за астрономическими объектами // Деп. и В1Ш 2i.C2.I990. * А0810». 6с. в. Совкин А,В» Критерий абсолютной устойчивости нелинейных си с тех управления о периодически нестационарной линейной частью // Автоматика и телемеханика. 1990. 1р 8. С.50-55. Докучаев Н.Г., Савкин A.B. Нестационарные стохастические задачи управления и абсолютной устойчивости // Тез.докл. Всеоовзн. конф. "Применение статистических методов в производстве'и управлении". Пзрмь, 1990. С. 136.

Полписоно к печати j9 .04.1991 г. StiRas ¿5i Гбъем 1,0 не»'.л. Тираж КГ/ экз. Тип. ПО-3 "¿снупркздпта"