Абсолютно представлюящие системы степеней простейших дробей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КРИТЕРИИ АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ СТЕПЕНЕЙ ПРОСТЕЙШИХ ДРОБЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ОБЛАСТИ.

§1.1. Основные определения и постановка задачи.

§ 1.2. Вспомогательные сведения и результаты.

§ 1.3. Функциональный критерий

§ 1.4. Геометрические критерии для конечносвязных областей

§ 1.5. Разложения по системе ^(л) в областях с компактной в С границей.

§ 1.6. Абсолютно представляющие системы степеней простейших дробей с ограниченным множеством Л.

§ 1.7. Следствия из основных теорем.

§ 1,8. Геометрическая характеризация абсолютно представляющих систем простейших дробей в ограниченных выпуклых областях.

ГЛАВА 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ СТЕПЕНЕЙ ПРОСТЕЙШИХ

ДРОБЕЙ.

§2.1.0 существовании абсолютно представляющих систем в пространстве Hq{G).

§ 2.2. Критерии абсолютно представляющих систем F(A) для конкретных областей.

§ 2.3. О продолжаемости абсолютно представляющих систем вида F(А).

Одним из важнейших направлений комплексного анализа является изучение задач, связанных с разложениями в ряды по фиксированной последовательности функций из различных пространств. Помимо того, что они представляют самостоятельный интерес, полученные в процессе их решения результаты широко применяются при исследовании различных вопросов теории аппроксимации и интерполяции, разрешимости уравнений типа свертки и эффективного построения их решений. Существенное место в этой тематике занимает теория представления функций, голоморфных в областях или на компактах, рядами Дирихле и их обобщениями. Интенсивная разработка этой теории началась с фундаментальных исследований А.Ф. Леонтьева, подытоженных в монографиях [13], [14], и привела к созданию и развитию (в основном, в работах Ю.Ф. Коробейника и его учеников) общей теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах. При этом, согласно данному Ю.Ф. Коробейником определению (см., например, [6]), последовательность X = {х^ ненулевых элементов произвольного локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей системой в Н, если любой элемент я: из Н можно представить в виде суммы ряда х = Y,ckxk? к=1 абсолютно сходящегося по топологии Н. Эта теория, основанная на синтезе идей и методов функционального анализа и теории функций, позволила, с одной стороны, решить ряд известных, а с другой - ряд новых задач.

Исторически одним из первых примеров абсолютно представляющей системы, не являющейся базисом в некотором банаховом пространстве функций, аналитических во внешности замкнутой спрямляемой жордановой кривой, была последовательность f 1 Г вида <-> ([33]). Вообще, разложения в ряды вида z-Zk\k=l

00 а 00

V» ак9ЛкеС9 £|а*|<оо и свойства функций, представимых такими рядами, интересовали многих математиков. Здесь следует отметить работы Дж. Вольфа, Т. Карлемана, А. Данжуа, А.А. Гончара, Т.А. Леонтьевой, Ю.Ф. Коробейника и другие ([9], [15] - [19], [24], [26] - [27], [31] - [35], [37]). Следует подчеркнуть, что в отличие от системы экспонент, которая образует абсолютно представляющую систему в пространствах функций, аналитических лишь в выпуклых областях или их замыканиях, последовательность простых дробей можно рассматривать и в невыпуклых областях. Однако, известно ([9]), что не существует такой области G расширенной ч 00

1 I комплексной плоскости С, что система 1 является абсолютно представляющей в пространстве Hq(G). Здесь и далее Hq(G) - пространство всех функций, аналитических в области G и исчезающих в бесконечно удаленной точке (если последняя принадлежит G), наделенное топологией равномерной сходимости на каждом компакте из G. Поэтому естественным объектом исследования в перечисленных выше работах было пространство Hq(g) функций, аналитических в замыкании G области G. С другой стороны, классическая теорема Лорана дает пример абсолютного базиса в пространстве Я0(с\ ^(zq)) исчезающих в бесконечности аналитических во внешности круга Kr(zq) = {z e.C:\z-zq\<r} функций, составленного из натуральных степеней дроби —-—. Кроме того, как отметил Ю.Ф. Коробейник, z-zq теорема Пуанкаре-Ароншайна позволяет для областей специального вида строить абсолютно представляющие системы из степеней конечного числа простейших дробей. В направлении изучения представления аналитических в области функций рядами типа рядов Лорана наиболее сильный и общий результат был получен В.П.Хавиным в работах [26], [27]. Он установил, фактически, что если К - континуум (ограниченное замкнутое и связное множество) в комплексной плоскости, G - дополнение К до расширенной комплексной плоскости С, а {Я^} - всюду плотная в К последовательность, то произвольная функция /, аналитическая в G и исчезающая в бесконечно удаленной точке, разлагается в ряд вида 00 ак i £- —г, который абсолютно сходится в G и равномерно внутри

G, и показал на примерах конкретных К, что такие разложения, как правило, неединственны. Другими словами, go 00

U=1 абсолютно представляющая система в Hq(G). Ясно, что из этого результата следует часть классической теоремы Лорана, которая касается возможности разложения исчезающей в бесконечности функции, аналитической вне одной точки Л, в ряды по отрицательным степеням z - Л. Однако, в случае, когда рассматриваемые функции аналитичны вне круга К = {z € С: \z - Л\ < i?} положительного радиуса R, ту же самую теорему Лорана получить из результата В.П. Хавина уже не удастся. Это обстоятельство говорит о том, что достаточное условие плотности {%} в К в общем случае не является необходимым для того,

00 00

1 I чтобы система была аб „й. пространстве Hq(G). Кроме того, естественно рассмотреть эту же задачу при более общем предположении, что G - произвольная область расширенной комплексной плоскости, содержащая хотя бы одну внешнюю точку из С.

В соответствии с отмеченным выше, представляет интерес задача о характеризации и исследовании свойств тех наборов {Л^ } (конечных или счетных), по которым можно разложить в ряд лорановского типа произвольную функцию из Hq(G), где G - какая-либо фиксированная область расширенной комплексной плоскости, отличная от конечной и от расширенной комплекной плоскости. Исследование этой задачи и составляет основную цель настоящей диссертации.

В диссертации решаются следующие задачи:

- получение общего функционального критерия того, что система F(A)= {(z-A^)--7 : j € N; % e л}, где А = {Я^} - фиксированное не более чем счетное множество точек комплексной плоскости, является абсолютно представляющей в пространстве H0(G);

- установление необходимых и достаточных условий геометрического характера (связывающих между собой взаимное расположение G и Л) возможности представления каждой функции из Hq(G) абсолютно сходящимся радом по системе F(a);

- описание класса областей, в которых существуют абсолютно представляющие системы указанного вида;

- выяснение вопроса существования абсолютно представляющих систем F(a) с множествами Л, удовлетворяющими дополнительным условиям, которые могут быть полезны в приложениях;

- изучение некоторых свойств таких систем.

Диссертация состоит из Введения и двух глав; мы придерживаемся двойной нумерации параграфов (§ 2.1 - первый параграф второй главы) и тройной - пунктов, получаемых утверждений и формул (п. 2.4.3 -третий пункт § 2.4; теорема 1.3.2 - теорема 2 § 1.3; (1.4.1) - первая формула в § 1.4).

1. Гончар А.А. О квазианалитическом продолжении аналитических функций через жорданову дугу // ДАН СССР. 1966. Т. 166, №5. С. 1028- 1031.

2. Гончар А.А. О примерах неединственности аналитических функций // Вестник МГУ. 1964. № 1. С. 37 43.

3. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966. 672 с.

4. Драгилев М.М. О продолжаемых базисах аналитических функций // Матем. Сборник. 1961. Т. 53, № 2. С. 207 218

5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз. 1959. 683 с.

6. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сборник. 1975. Т. 97. № 2. С. 193 229.

7. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36, вып. 1. С. 73 126.

8. Коробейник Ю.Ф., Леонтьев А.Ф. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент // Матем. заметки. 1980. Т. 28, № 2. С. 243 254.

9. Коробейник Ю.Ф. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям // Матем. заметки. 1982. Т. 31, №5. С. 723-737.

10. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сборник. 1972. Т. 87(129). С. 459 489.

11. Левин Б .Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос-техиздат, 1956. 632 с.

12. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука. 1985. 335 с.

13. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

14. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981.320 с.

15. Леонтьева Т.А. Представление аналитических функций рядами рациональных функций // Матем. заметки. 1967. Т. 2, № 4. С. 347-355.

16. Леонтьева Т.А. Представление функций, аналитических в замкнутой области рядами рациональных функций // Матем. заметки. 1968. Т. 4, № 2. С. 191 200.

17. Леонтьева Т.А. О представлении функций в единичном круге рядами рациональных дробей II Матем. сборник. 1971. Т. 84 (126), №2. С. 313-326.

18. Леонтьева Т.А. Об условиях представимости аналитических функций рядами рациональных функций // Матем. заметки. 1974. Т. 15, №2. С. 197-203.

19. Леонтьева Т.А. Ряды рациональных дробей с быстро убывающими коэффициентами // Матем. заметки. 1977. Т. 21, № 5. С. 627-639.

20. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука. 1967. Т. 1. 468 с.

21. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука. 1968. Т. 2. 486 с.

22. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967. 257 с.

23. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика. 1957. Т. 1, № 1. С. 60-78.

24. Сибилев Р.В. Теорема единственности для рядов Вольфа-Данжуа // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7, вып. 1. С. 170 200.

25. Уолш Дж. JI. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной плоскости. М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1961. 508 с.

26. Хавин В.П. О выделении особеностей аналитических функций//ДАН СССР. 1958. Т. 121, №2. С. 239-242.

27. Хавин В.П. Один аналог ряда Лорана // Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. 1961. С. 121 131.

28. Хавин В.П. Пространства аналитических функций // Итоги науки. Матем. анализ. М.: Инст. науч. информ., 1966. С. 76 -164.

29. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1071 с.

30. Aronszajn N. Sur les decompositions des fonctions analytiques uniformes et sur leurs applications // Acta Math. 1935. V. 65, № 1. P. 1-156.

31. Beurling A. Sur les fonctions limites quasianalytiques de fractions rationnelles // 8 Scand. Math. Congr. Stocholm. 1934. P. 199-210.

32. Borel E. Remarques sur la Note de M.J.Wolf // C. r. Acad. Sci. 1973. V. 1921. P. 1056-1057.

33. Brown L., Shields A., Zeller K. On absolutely convergent exponential sums // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. V. 96. P. 162183.A

34. Carleman T. Sur les series £—I I C. r. Acad. Sci. 1974.z-avV. 1922. P. 588-591.

35. Denjoy A. Sur les series de fractions rationnelles // Bull. Soc. Math. France. 1924. V. 52. P. 418-434.

36. Kothe G. Topological Vector Spaces // Springer. Berlin Heidelberg - New York. 1969. XV. 456 pp.00 A

37. Wolf J. Sur les series £—// c. r. Acad. Sci. 1921. V.1 2-ak173. P. 1327-1328.

38. Семёнова Г.А. К задаче о представлении аналитических функций некоторыми рядами // Деп. в ВИНИТИ 02.08.96, № 2594-В96. 8 с.

39. Семёнова Г.А. К вопросу о представлении аналитических функций рядами рациональных функций // Современные методы в теории краевых задач. Тезисы -докладов школы. Воронеж. ВГУ. 1997. С. 136.

40. Семёнова Г.А. К задаче о представлении функций , аналитических в области рядами рациональных функций // Деп. в ВИНИТИ 11.12.97, № 3635-В97. 16 с.

41. Абанин А.В., Семёнова Г.А. Абсолютно представляющие системы степеней простейших дробей // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 1998. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 85-86.