Абсолютные идеалы абелевых групп

Фам Тхи Тху Тхюи

Абсолютные идеалы абелевых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Фам Тхи Тху Тхюи АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Абсолютные идеалы абелевых групп»

Автореферат диссертации на тему "Абсолютные идеалы абелевых групп"

На правах рукописи

ФАМ Тхи Тху Тхюи

АБСОЛЮТНЫЕ ИДЕАЛЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 НОЯ 2012

Москва - 2012

005054446

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» на кафедре алгебры математического факультета

Научный руководитель: доктор техничесческих наук, доцент,

Компанцева Екатерина Игоревна-

Официальные оппоненты: Благовещенская Екатерина Анатольев:

доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Петербургский государстве!» университет путей сообщения», профессор кафедры высшей математики.

Туганбаев Аскар Аканович,

доктор физико-математических наук, профе(

ФГБОУ ВПО «Российский государственный торгово-экономический университет», профессор кафедры высшей и прикладной математики.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Национальный исследователь

Томский государственный университет».

Защита состоится «17» декабря 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 401.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» по адресу: 119991, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан « 9 » октября 2012 г.

Ученый секретарь у

диссертационного совета /У Муравьева Ольга Викторовна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Одним из направлений современной теории абелевых групп является изучение абелевой группы как аддитивной группы кольца. Под умножением на абелевой группе G понимается любой гомоморфизм ¡1 : G ® G ->• G. Абелева группа G с заданным на ней умножением называется кольцом на группе G. Проблема определения кольцевых структур на абелевой группе была поставлена Бьюмонтом \ который рассматривал кольца на прямых суммах циклических групп. Изучение свойств колец на периодических абелевых группах было проведено в работах JI. Фукса . Им была выявлена фундаментальная роль базисных подгрупп, которая и определила дальнейшие успехи в исследовании кольцевых структур на периодических группах. Кольца на абелевых группах без кручения изучались в работах Р. Бьюмонта и Р. Пирса, JL Фукса, С. Фейгельстока, Б. Гарднер, Е. Компанцевой и др 3 4 5. Однако ограниченность наших сведений о строении групп без кручения не дает возможности получить полное описание колец на них.

Ясно, что тесная связь между аддитивной и мультипликативной структурами существует, если строение аддитивной группы достаточно сложно. Однако следует помнить, что даже если аддитивная группа легко описывается, возникает ряд весьма интересных вопросов.

1 Beaumont R.A., Rings with additive group which is the direct sum of cyclic groups // Duke Math. J. -1948 - Vol.15 - P.367 - 369.

2 Puchs L., Ringe und inre additive Gruppe // Publ. Math. Debrecen. - 1956 - Vol. 4 - P.388-508.

3 Beaumont R.A., Pierce R.S., Torsion-free groups of rank two // Mem. Amer. Math. Soc. - 1961 - Vol.38.

4 Компанцева Е.И. Кольца без кручения // Фундамент, и прикл. матем. - 2009 - Т. 15 - вып. 8 -С. 95-143.

5 Компанцева Е.И. Кольца на почти вполне разложимых абелевых группах // Фундамент, и прикл. матем. - 2008 - Т. 14 - вып. 5 - С. 93-101.

6 Rried Е., On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian Groups, Budapest - 1964 - P. 51-55.

модули, которые являются идеалами в любой Д-алгебре на М. А. Чехлов рассматривал группы, все подгруппы которых являются абсолютными идеалами 7. Е. Компанцевой были описаны подгруппы, являющиеся абсолютными ниль-идеалами и абсолютными нильпотентными идеалами в любой смешанной редуцированной абелевой группе 8.

В монографии Л.Фукса «Бесконечные абелевы группы» 9, являющейся своего рода энциклопедией по теории абелевых групп, сформулирована проблема (проблема 93) описания абелевых групп, допускающих кольцевую структуру! в которой любой идеал является абсолютным. Такие группы будем называть ЛЛТ-группами.

Нетрудно видеть, что любая вполне характеристическая подгруппа абелевой группы является ее абсолютным идеалом. Однако обратное не верно. Е. Фридом была сформулирована проблема описания абелевых групп, в которых любой абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой 10. Эти группы назовем а/г-группами. Е. Фрид привел условие, необходимое и достаточное для того, чтобы абелева группа являлась о/г-группой п. Однако в действительности данный критерий не приближает нас к решению проблемы, а лишь является вариантом определения a/i-группы. К. МкЛеан описал а/г-группы в классе вполне транзитивных периодических групп 12.

Л.Фукс поставил вопрос (проблема 66) о существовании абелевых групп, на которых можно определить кольцо, любой идеал которого является вполне характеристической подгруппой 13. Ясно, что класс таких групп совпадает с пересечением классов ДД/-групп и afi-групп. К. МкЛеан описал ^группы, на которых существует ассоциативное кольцо, любой правый идеал которого является вполне характеристической подгруппой 14.

7 Чехлов А. Р. Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вести. ТЬмск. гос. ун-та. Матем. и мех. - 2009 - Т.З - С. 64-67.

8 Компанцева Е.И. Абсолютные ниль-идеалы абелевой группы // Фундамент, и прикл. матем. - 2012

- т. 17 - вып. 7 - С. 59-89.

9 Фукс Л., Бесконечные абелевы группы: в 2 т. // М.:Мир - т. 2 - 1977 - 335 с.

10 Fried Е., On the subgroops of abelian groups that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian Groups, Budapest — 1964 — P.51-55.

11 Ried E., On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian Groups, Budapest — 1964 - P.51-55.

12 McLean K.R. p-rings whose only right ideals are the folly invariant subgroups // Proc. London Math. Soc.

- 1975 - V.3 - P.445-458.

13 Richs L., Abelian groups // Akademiai Kiado, Budapest - 1966 - 367p.

14 McLean K.R. p-rings whose only right ideals are the fully invariant subgroups // Proc. London Math. Soc.

- 1975 - V.3 - P.445-458.

При изучении колец на абелевых группах в первую очередь интерес представляют группы, в том или ином смысле обладающиеся некоторым базисом. Поэтому естественно начать исследование абсолютных идеалов абелевой группы с класса периодических групп. Как уже отмечалось, отличительной чертой групп из этого класса является то, что любое умножение на них полностью определяется умножением на базисной подгруппе 15. В связи с этим, при изучении колец на смешанных абелевых группах выделяется класс групп G, обладающих следующим свойством: любое умножение на периодической части T(G) группы G единственным образом продолжается до умножения на G. Класс таких групп обозначается через К. Проблема изучения групп из класса К сформулирована в 1963г.16.

Класс К содержится в более широком классе смешанных абелевых групп G таких, что факторгруппа G/T(G) является Л(С)-делимой (то есть р-делимой для всех р е A(G)), где Л(G) = {р е Р | Tp(G) ^ 0}, Р - множество всех простых чисел. Класс всех таких групп обозначим через L. Любое умножение на группе G из класса L в определенном смысле может задаваться произведениями базисных элементов периодической части T{G). Это обусловлено тем, что факторгруппа G/G\ изоморфна сервантной подгруппе Z-адического пополнения базисной подгруппы периодической части группы G (здесь G\ - подгруппа группы G, состоящая из элементов, имеющих бесконечную р-высоту для всех р 6 A(G)). Отметим, что указанное пополнение само лежит в классе К, и любое умножение на нем полностью определяется умножением на базисной подгруппе группы T(G).

Цель работы. В различных классах абелевых групп описать ДЛ7-группы, afi-группы и группы, на которых существует кольцо, любой идеал которого является вполне характеристической подгруппой. Охарактеризовать главные абсолютные идеалы абелевых групп из рассмотренных классов.

Общая методика исследования. Исследование базируется на методах теории абелевых групп с привлечением методов теории колец.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты:

1) Описаны ЯЛТ-группы в следующих классах абелевых групп: периодические группы, редуцированные группы ранга без кручения 1 из класса L с

15 Фукс Л., Бесконечные абелевы группы: в 2 т. // М.:Мир - т. 2 - 1977 - 335 с.

16 Topics in Abelian groups 1 - Chicago - 1963.

неограниченными р-компонентами, редуцированные счетные группы из класса А" с неограниченными р-компонентами.

2) Охарактеризованы редуцированные абелевы а/г-группы из класса L, ранг без кручения которых равен 1, а периодическая часть сепарабельна. Получено условие, необходимое для того, чтобы вполне транзитивная абелева группа из класса К являлась а/г-группой.

3) Для абелевых групп из следующих классов получен критерий существования на них кольца, в котором любой идеал является вполне характеристической подгруппой: вполне транзитивные периодические группы, редуцированные смешанные группы ранга без кручения 1 из класса L с неограниченными сепарабельными р-компонентами.

4) Вводится понятие главного абсолютного идеала абелевой группы. Описаны главные абсолютные идеалы абелевых групп из следующих классов: периодические группы, редуцированные счетные смешанные группы из класса К, редуцированные смешанные группы ранга без кручения 1 из класса L. Охарактеризованы произвольные абсолютные идеалы периодических абелевых групп.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы при изучении взаимосвязей между абелевой группой и кольцевыми структурами на ней, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались

• на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва, 2008,

• на международной конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2009,

• на алгебраической конференции южного региона, США, Алабама, 2010 (Southern Regional Algebra Conference, Alabama, 2010),

• на международной конференции «Геометрическая и асимптотическая теория групп с приложениями 5», Испания, Манреса, 2011 (Geometric and asymptotic group theory with applications 5, Manresa, 2011),

• на всероссийской конференции «математика, информатика и методика их преподавания», посвященной 110-летию математического факультета Московского педагогического государственного университета, Москва, 2011,

• на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2012», Москва, 2012,

• на международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной восьмидесятилетию профессора Гриндлингера Мартина Давидовича, Тула, 2012,

• на всероссийском симпозиуме «Абелевы группы», Бийск, 2012,

• на алгебраических семинарах МПГУ и МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, 3 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Глава 1 содержит четыре параграфа, глава 2 и глава 3 содержат по три параграфа. Список литературы состоит из 58 наименований. Работа изложена на 90 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы научного исследования и излагаются основные результаты, полученные в диссертации.

Все группы, рассматриваемые в работе, - абелевы и слово «группа» везде в дальнейшем означает «абелева группа».

Глава 1 посвящена изучению абсолютных идеалов периодических групп. В §1 вводятся основные понятия, наиболее важным из которых для дальнейших исследований является понятие главного абсолютного идеала. Под главным абсолютным идеалом группы С, порожденным элементом 5 е С, понимается наименьший абсолютный идеал (д)л1, содержащий д. Также в §1 доказываются общие свойства абсолютных идеалов, ПА /-групп и а/г-групп.

В §2 проблемы описания В.А1-групп и а/г-групп в классе периодических групп, а также проблема описания абсолютных идеалов периодических групп, сведены к случаю р-групп.

Теорема 2.1. Пусть G - периодическая группа. Тогда

1) подгруппа А является абсолютным идеалом группы G тогда и только тогда, когда р-компонента Ар группы А является абсолютным идеалом р-компоненты Gp группы G для каждого простого р;

2) группа G является RAI-группой тогда и только тогда, когда Gp является RAI-группой для каждого простого р;

3) группа G является af i-группой тогда и только тогда, когда Gp является af i-группой для каждого простого р.

Далее в §2 для р-примарной группы описаны ее главные абсолютные идеалы, а также дана характеризация абсолютных идеалов, подобная харак-теризации широких подгрупп, полученной Р.Пирсом 17. Последовательность НР(я) = k)keiio, где ак = h*(pkg) - обобщенная р-высота элемента pkg, N0 -множество неотрицательных целых чисел, называется р-индикатором элемента д в группе G 18. Если и = (а0 ... ап <тп+1 ...), где oo.ffi, ...,стп е Ъ и (Tn+i <£ Z, то обозначим G(u) = {а € G | Я„(а) > и} и G°{ñ) = {а е G I Нр(а) > (tr0 (Ti - cr„ оо ...), о(а) < рп+1}, здесь о(а) - порядок элемента а.

Теорема 2.5. Пусть G -р-группа, д eG. Тогда (g)AI = (g) + G°{~Hjg)). Теорема 2.6. Подгруппа А р-группы G является абсолютным идеалом группы G тогда и только тогда, когда найдется строго возрастающая-ся последовательность U из поряковых чисел и символов оо такая, что G°{Ü) С А С G{U).

В §3 исследуются Д/17-группы в классе р-примарных групп. Теорема 3.6

(теорема 3.9) вместе с теоремой 2.1 дает описание ЛЛ7-групп в классе всех

периодических (редуцированных периодических) групп.

Теорема 3.6. Пусть G - р-группа, В = $ ф Z(pk) - ее базисная подкуп mt

группа, r{G/В) - ранг факторгруппы G/B.

1) Если В ограничена, рп - максимальный порядок элементов группы В, и шп е Z, то группа 'G является RAI-группой тогда и только тогда, когда r(G/B)< m„(m„-l).

2) Если В ограничена, рп - максимальный порядок элементов группы В, и mra > No, то группа G является RAI-группой тогда и только тогда, когда

17Pierce R.S. Homomorphisms of primery abelian groups, // Topics in Abelian Groups, — 1963 — P.215-310

18 Фукс JI., Бесконечные абелевы группы: в 2 т. // М.:Мир - т. 2 - 1977 - 335 с.

r{G/B) < m„.

3) Если В неограничена, то группа G является RAI-группой тогда и толь-

оо

ко тогда, когда r(G/B) < m/fc для любого п 6 N.

к=п

Отметим, что кардинальные числа mk(k 6 N) являются инвариантами р-группы G 19. Однако ранг r{G/B) не является ее инвариантом. Известно 20, что среди рангов r(G/B) существует наибольший, который называется финальным рангом группы G и обозначается finr(G). Финальный ранг равен inf r{pnG) и является инвариантом группы G. Нетрудно видеть, что в утверждении теоремы 3.6 можно r(G/B) заменить на finr(G). Это позволит избежать зависимости от выбора базисной подгруппы и описать р-примарные Л/1/-группы на языке инвариантов группы G. Для простоты приведем новую формулировку для редуцированных р-групп.

Теорема 3.9. Для редуцированной р-группы G с базисной подгруппой © © 2(рА) эквивалентны следующие утверждения:

кеN тк

1) G является RAI-группой;

оо

2) r(G/B) < XZ mfc для любого n £ N и любой базисной подгруппы В;

к=п

оо

3) существует базисная подгруппа В такая, что r(G/B) < mk для лю-

^ _т к=п

бого n S N;

4) fin r(G) < £ тк для любого ne N.

к=п

Теоремы 3.6 и 3.9 дают возможность привести примеры периодической Я/1/-группы и периодической группы, не являющейся RAI-группой (пример 3.10). Отметим также, что теорема 3.6 вместе с предложением 3.12 демонстрируют многообразие в классе периодических групп как /L47-rpynn, так и групп, не являющихся таковыми.

Предложение 3.12. Для любого бесконечного набора порядковых чисел

то, Ш1,Ш2,... такого, что nto < П tn^, существует р-группа G с базисной

*=1

оо

подгруппой В = 0 0 Z(рк) и r(G/B) = ш0. к=0 тк

В §4 доказан критерий существования на вполне транзитивной р-группе кольца, в котором любой идеал является вполне характеристической под-

19 Фукс Л., Бесконечные абелевы группы: в 2 т. // М.:Мир - т. 2 - 1977 - 335 с.

20 Фукс Л., Бесконечные абелевы группы: в 2 т. // М.:Мир - т. 2 - 1977 - 335 с.

группой.

Теорема 4.4. Пусть G - вполне транзитивная р-группа, В - ее базисная подгруппа. На группе G существует кольцо, в котором любой идеал является вполне характеристической подгруппой, тогда и только тогда, когда первая ульмовская подгруппа G1 является циклической группой

оо

и r(G/В) < Y^^k для любого п 6 N.

к=п

Глава 2 посвящена изучению абсолютных идеалов смешанных групп из класса К. Говорят, что группа G принадлежит классу К, если любое умножение на T(G) единственным образом продолжается до умножения на G.

В §5 описаны главные абсолютные идеалы редуцированных счетных групп из класса К. Для каждого элемента g группы G определена высотная матрица Н(д) = [стерег, keN0 такая, что арк = h*(pkg) - обобщенная р-высота элемента ркд в группе G 21. Пусть H (g) = [стр*]рер, шь, где âm = <Jm, если Upn G Z, и âpn = оо, если (Трп £ Z. Для группы G и ut х w-матрицы M обозначим G(M) = {g е G | H(g) > M}.

Теорема 5.9. Пусть G - редуцированная счетная группа из класса К, Т = T(G). Тогда (g)AI = (g) + Т(Щд)) для каждого g eG.

В §6 изучаются RAI-группы из класса К.

Теорема 6.1. Любая счетная группа из класса К с неограниченными р-компонентами является RAI-группой.

Показано, что условие счетности в теореме 6.1 существенно. Для этого в примере 6.3 строится несчетная группа из класса К, не являющаяся RAI-группой.

В заключение в теореме 6.2 получено условие, необходимое для того, чтобы группа из класса L являлась ДЛ/-группой (так как К Ç L, то утверждение теоремы 6.2 верно и для групп из класса К). Этот результат используется далее а главе 3.

В §7 приводится условие, необходимое для того, чтобы вполне транзитивная группа из класса К являлась а/г-группой.

Теорема 7.1. Пусть G - вполне транзитивная группа из класса К. Если G является afi-группой, то выполняется каждое из двух равносильных условий:

1) T(G) является afi-группой,

21Megibben С., On subgroups of primary abelian groups // Publ. Math. Debrecen —1965 — V.12 — P.293-294

2) (Tp(G))1 является циклической группой для всех простых р.

Глава 3 посвящена изучению абсолютных идеалов групп из класса L, где, напомним, L - класс смешанных групп G таких, что G/T(G) является Л(С)-делимой группой.

В §8 описаны главные абсолютные идеалы редуцированной группы ранга без кручения 1 из класса L. Будем говорить, что высотная матрица И(^) = [°jm]peP,neN удовлетворяет условию (г), если сГрп = п или (Трп = оо для всехр € Р, п е No. Ясно, что в этом случае, каждая строка матрицы Н(р) имеет один из трех видов (0 1 2 ... п оо ...), (О 1 2 3 ...), (оо оо ...). Известно22, что если G - смешанная группа ранга без кручения 1, то ей можно сопоставить однозначно определенный класс эквивалентности высотных матриц, который обозначается через H(G). Будем говорить, что H(G) удовлетворяет условию (г), если существует g 6 G такой, что Н(д) удовлетворяет условию (г).

Теорема 8.10. Пусть G - редуцированная группа ранга без кручения 1 из класса L и g € G. Тогда

1) если H(G) не удовлетворяет условию (г), то (д)л1 = {д) + Т(Ш(д)),

2) если H(G) удовлетворяет условию (г), то (д)л1 = (э) +

В §9 доказан критерий того, что редуцированная группа G ранга без кручения 1 из класса L с неограниченными р-компонентами является RAI группой. Этот критерий (теорема 9.4) вместе с теоремой 3.9 дает полное описание RAI групп в указанном классе.

Теорема 9.4. Пусть G - редуцированная группа ранга без кручения 1 из класса L, р-компоненты которой неограниченны. Группа G является RAI-группой тогда и только тогда, когда T(G) является RAI-группой.

В §10 среди редуцированных групп ранга без кручения 1 из класса L с сепарабелыюй периодической частью выделены afi-группы, а также группы, на которых существует кольцо, любой идеал которого является вполне характеристической подгруппой.

Теорема 10.3. Пусть G - редуцированная группа ранга без кручения 1 из класса L, периодическая часть T(G) сепарабельна. Группа G является afi-группой тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий 1) H(G) не содержит оо;

22Megibben С., On subgroups of primary abelian groups // Publ. Math. Debrecen — 1965 — V.12 - P.29J-294

2) H(G) удовлетворяет, условию (i).

Теорема 10.4. Пусть G - редуцированная группа ранга без кручения 1 из класса L и р-компоненты группы G неограничены и сепарабельны. На группе G сушествует кольцо, в котором любой идеал является вполне характеристической подгруппой, тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий

1) T(G) является RAI-группой и Н(£7) не содержит оо;

2) T(G) является RAI-группой и H(G) удовлетворяет условию (г).

Автор искренне благодарит научного руководителя профессора Екатерину Игоревну Компанцеву за помощь в выборе темы исследования, внимательное руководство в процессе исследовательской деятельности и поддержку.

Основное содержание диссертации отражают следующие опубликованные работы автора

1. Фам Тхи Тху Тхюи. Длина расщепления смешанной абелевой группы ранга без кручения 1 // Фундам. и прикл. математика — 2008 — Т. 14 - № - С.209-221 — 0,7 п.л.

2. Фам Тхи Тху Тхюи. Периодические абелевы о/г-группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. — 2011 — № 4 — С. 18-22 — 0,3 п.л.

3. Фам Тхи Тху Тхюи. Кольца, в которых любой идеал является абсолютным // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки — 2012 — С.93-112 — 1.3 п.л.

4. Фам Тхи Тху Тхюи. Длина расщепления смешанной абелевой группы ранга без кручения 1 // Тезисы докладов международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Ку-роша. — Москва, 2008 — С.235-236 — 0,1 п.л.

5. Фам Тхи Тху Тхюи. Абсолютные идеалы абелевых групп // Тезисы докладов международной конференции «Мальцевские чтения» — Новосибирск, 2009 - С. 137 - 0,1 п.л.

6. Pham Thi Thu Thuy. Absolute ideals of abelian groups // Abstracts of Southern Regional Algebra Conference — Montgomery, Alabama, 2010 —

Р.10. - 0,1 п.л.

7. Фам Тхи Тху Тхюи. Абсолютные идеалы абелевых групп // Тезисы докладов всеросийской алгебраической конференции «Математика, информатика и методика их преподавания», посвященной 110-летию математического факультета МПГУ — Москва, 2011 — С.91-92 — 0,1 п.л.

8. Pham Thi Thu Thuy. Abelian iMT-groups and а/г-groups // Abstracts of Geometric and Asymptotic Group Theory with Applications — Manresa,

2011 - P.24-25 - 0,1 п.л.

9. Фам Тхи Тху Тхюи. Абелевы ДЛ7-группы ранга без кручения 1 // М.,

2012 - депон. в ВИНИТИ 26.03.12 № 116-В2012.

10. Фам Тхи Тху Тхюи. Смешанные абелевы ДЛ/-группы // М., 2012 — депон. в ВИНИТИ 26.03.12 № 115-В2012.

11. Фам Тхи Тху Тхюи. Абсолютные идеалы смешанных абелевых групп // Чебышевский сборник. — Т. 13 - Вып. 1(41) - 2012 - С.91-102 - 0.6 п.л.

Подписано к печати 01.10.2012 Объем 1 п.л. Заказ № 19 Тираж 100 экз.

ГУ Т.МПГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Фам Тхи Тху Тхюи

Введение

Список обозначений

Глава 1. Абсолютные идеалы абелевых периодических групп

§ 1. Предварительные сведения.

§ 2. Главные абсолютные идеалы периодических групп.

§ 3. Периодические ^Л/-группы.

§ 4. Периодические а/г-группы.

Глава 2. Абсолютные идеалы смешанных групп из класса К

§ 5. Главные абсолютные идеалы групп из класса К.

§ 6. .йЛ/-группы из класса К.

§ 7. а/г'-группы из класса К.

Глава 3. Абсолютные идеалы смешанных групп из класса Ь

§ 8. Главные абсолютные идеалы смешанных групп ранга без кручения 1 из класса Ь.

§ 9. ЛЛ/-группы ранга без кручения 1 из класса Ь.

§ 10. а/г-группы ранга без кручения 1 из класса Ь.

Введение диссертация по математике, на тему "Абсолютные идеалы абелевых групп"

Актуальность темы исследования. Одним из направлений современной теории абелевых групп является изучение абелевой группы как аддитивной группы кольца. Под умножением на абелевой группе £ понимается любой гомоморфизм ¡л : С <8> С —> (7. Абелева группа С с заданным на ней умножением называется кольцом на группе Проблема определения кольцевых структур на абелевой группе была поставлена Р. Быомонтом [12], который рассматривал кольца на прямых суммах циклических групп. Изучение свойств колец на периодических абелевых группах было проведено в работах Л. Фукса, Т. Селе и др. [22, 23, 24, 44]. Л. Фуксом [23] была выявлена фундаментальная роль базисных подгрупп, которая и определила дальнейшие успехи в исследовании кольцевых структур на периодических группах. Кольца на смешанных абелевых группах и группах без кручения изучались в работах Р. Бьюмонта и Р. Пирса, Л. Фукса, Е. Компанцевой, С. Фейгель-стока и др. [3, 4, 10, 13, 14, 17]. Однако ограниченность наших сведений о строении групп без кручения не дает возможности получить полное описание колец на них. Ясно, что тесная связь между аддитивной и мультипликативной структурами существует, только если строение аддитивной группы достаточно сложно. Однако следует помнить, что даже если аддитивная группа легко описывается, возникает ряд весьма интересных вопросов.

Настоящая диссертация посвящена изучению проблем, связанных с абсолютными идеалами абелевых групп. Под абсолютным идеалом абелевой группы G понимается ее подгруппа, которая является идеалом в любом кольце на G. Изучению абсолютных идеалов абелевых групп посвящены работы JI. Фукса, А. Чехлова, Е. Фрида, К. МакЛина [10, 11, 19, 20, 21, 37]. В [19] Е. Фрид изучал общие свойства абсолютных идеалов. Для этого он определил группу М((7), порожденную всеми гомомофными образами группы G в свою группу эндоморфизмов End G, и показал, что подгруппа А абе-левой группы G является ее абсолютным идеалом, если, и только если А является М(С?)-допустимой, то есть M(G!)(y!l) С А. Результаты данной статьи затем были обобщены в [20] для модулей над коммутативным кольцом R с единицей. Подмодуль N двухстороннего модуля М над кольцом R называется его ii-преидеалом, если N является идеалом в любой Д-алгебре над М. В [20] получены результаты для преидеалов .R-модулей, аналогичные результатам в [19] для абсолютных идеалов абелевых групп. В [35] К. Ма-кЛин показал, что любой абсолютный идеал абелевой р-группы G имеет вид G = Н П {д 6 G | рпд € »5}, где Н - вполне характеристическая подгруппа группы G, S - подгруппа группы G1 и п - целое число. В [11] А. Чехлов описал абелевы группы, все подгруппы которых являются абсолютными идеалами. Доказано, что класс таких групп состоит из периодических групп, каждая р-компонента которых является циклической или делимой группой, нильгрупп без кручения, а также циклических групп бесконечного порядка. Е. Компанцевой [5] были описаны подгруппы, являющиеся абсолютными ниль-идеалами и абсолютными нильпотентными идеалами в любой смешанной редуцированной абелевой группе.

В монографии Л. Фукса «Бесконечные абелевы группы» [10], являющейся своего рода энциклопедией по теории абелевых групп, сформулирована проблема (проблема 93) описания абелевых групп, допускающих кольцевую структуру, в которой любой идеал является абсолютным. Такие группы будем называть RAI-группами. В [35] К. МакЛин изучал группы, на которых существует ассоциативное кольцо, любой правый идеал которого является абсолютным идеалом. Он показал, что группа G обладает указанным свойством тогда и только тогда, когда она имеет один из трех видов: G = 0Z(pn) или а

G = 0 Z(рп+1) ©0Z{рп) или С ^ 0 Z(p°°), где а - некоторое кардинальное а а а число, п - некоторое натуральное число, Z(pn) - циклическая группа порядка рп и Z(р°°) - квазициклическая группа.

Отметим, что подгруппа M(G) является идеалом в кольце эндоморфизмов Е(С), поэтому прослеживается тесная связь между вполне характеристическими подгруппами абелевой группы и ее абсолютными идеалами. Нетрудно видеть, что любая вполне характеристическая подгруппа абелевой группы является ее абсолютным идеалом [10]. Однако обратное неверно. В [19] Е. Фри-дом была сформулирована проблема описания абелевых групп, в которых любой абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой. Такие группы назовем а/г-группами. Е. Фрид [19] доказал, что абелева группа G является а/г-группой тогда и только тогда, когда для каждого элемента д G G подгруппы А(д) = {rj G EndG | т](д) = 0} и M(G) вместе с тождественным эндоморфизмом порождают всю группу End G. Однако в действительности данный критерий не приближает нас к решению проблемы, а лишь является вариантом определения afi-группы. В [37] К. МакЛин показал, что вполне транзитивная р-группа является а/г-группой тогда и только тогда, когда ее первая ульмовская подгруппа G1 является коциклической группой. Так как любое разложение периодической группы G в прямую сумму своих р-компонент является также разложением любого кольца на G в прямую сумму идеалов, то отсюда нетрудно получить описание вполне транзитивных периодических afi-групп. Этот же результат получен автором в [54], причем методы, использованные в доказательстве, принципиально отличаются от методов в [37].

JI. Фукс [21, проблема 66] поставил вопрос о существовании абелевых групп, на которых можно определить кольцо, любой идеал которого является вполне характеристической подгруппой. Ясно, что класс таких групп совпадает с пересечением классов RAI-групп и afi-групп. К. МакЛин в [37] рассматривал абелевы группы, на которых существует ассоциативное кольцо, любой правый идеал которого является вполне характеристической подгруппой. Он показал, что р-группа G, обладающая таким свойством, имеет один из следующих видов: G = 0Z(pn) или G = (0Z(pn+1)) е (фЦрп)) ИЛИ G = Z{p°°), где п а а а некоторое целое число, а - некоторое кардинальное число.

Надо отметить, что класс /?Л/-групп содержит все абелевы нильгруппы и ^-группы, которые изучались, например, в [15, 22, 34, 41].

При изучении колец на абелевых группах в первую очередь интерес представляют группы, в том или ином смысле обладающие некоторым базисом. Поэтому естественно начать исследование абсолютных идеалов абелевой группы с класса периодических групп. Как уже отмечалось, отличительной чертой групп из этого класса является то, что любое умножение на них полностью определяется умножением на базисной подгруппе [10]. В связи с этим при изучении колец на смешанных абелевых группах выделяется класс групп G, обладающих следующим свойством: любое умножение на периодической части T(G) группы G единственным образом продолжается до умножения на G. Класс таких групп обозначается через К. Проблема изучения групп из класса К сформулирована в [46].

Класс К содержится в более широком классе смешанных абелевых групп G таких, что факторгруппа G/T(G) является А(С?)-делимой (то есть р-делимой для всех р Е A(G)), где A(G) = {р G Р | TP(G) ^0}, Р - множество всех простых чисел. Класс таких групп обозначим через L. Группы из класса L встречаются во многих ситуациях. Этот класс содержит, например, классы ер-групп (смешанных групп, лежащих между прямой суммой и произведением своих р-компонент) [8] и .Е-групп [15, 34, 41], которые широко изучаются в последнее время. Любое умножение на группе С? из класса Ь в определенном смысле может задаваться произведениями базисных элементов периодической части Т(С?). Это обусловлено тем, что факторгруппа СуСд изоморфна сервантной подгруппе ^адического пополнения базисной подгруппы периодической части группы С (здесь Сд - подгруппа группы С, состоящая из элементов, имеющих бесконечную р-высоту для всех р € А (С)). При этом указанное пополнение лежит в классе К, и любое умножение на нем полностью определяется умножением на базисной подгруппе группы Т(^). В связи с этим группы из класса Ь играют важную роль при изучении колец на абелевых группах, например, показано, что в классе Ь лежат аддитивные группы регулярных колец [23], Е-колец а также 7Г-регулярных колец, являющихся идеалами в 7г-регулярных кольцах с единицей [26, 38]. Аналогичную роль играют группы из класса Ь при изучении колец эндоморфизмов абелевых групп: в классе Ь лежат группы с коммутативными [1, 39], регулярными, а также ^-регулярными кольцами эндоморфизмов [26]. Все это обусловливает актуальность изучения групп из класса Ь и содержащего в нем класса К.

Цель работы. В различных классах абелевых групп описать Я, А /-группы, а/г-группы и группы, на которых существует кольцо, любой идеал которого является вполне характеристической подгруппой. Охарактеризовать главные абсолютные идеалы абелевых групп из рассмотренных классов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты:

1) Описаны ДЛ/-группы в следующих классах абелевых групп: периодические группы, редуцированные группы ранга без кручения 1 из класса Ь с неограниченными р-компонентами, редуцированные счетные группы из класса К с неограниченными р-компонентами.

2) Охарактеризованы редуцированные абелевы а/г-группы из класса I/, ранг без кручения которых равен 1, а периодическая часть сепарабельна. Получено условие, необходимое для того, чтобы вполне транзитивная абелева группа из класса К являлась а/г-группой.

3) Для абелевых групп из следующих классов получен критерий существования на них кольца, в котором любой идеал является вполне характеристической подгруппой: вполне транзитивные периодические группы, редуцированные смешанные группы ранга без кручения 1 из класса Ь с неограниченными сепарабельными р-компонентами.

4) Вводится понятие главного абсолютного идеала абелевой группы. Описаны главные абсолютные идеалы абелевых групп из следующих классов: периодические группы, редуцированные счетные смешанные группы из класса К, редуцированные смешанные группы ранга без кручения 1 из класса Ь. Охарактеризованы произвольные абсолютные идеалы периодических абелевых групп.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Установленные в ней связи между абелевыми группами и идеалами колец на них расширяют представление о аддитивных структурах. Разработанные методы могут быть использованы в дальнейшем развитии теории абелевых групп, колец и модулей как в целом, так и в исследовании взаимосвязей между строением абелевых групп и свойствами кольцевых структур на них. Результаты работы также могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались

• на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва, 2008,

• на международной конференции «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2009,

• на алгебраической конференции южного региона, США, Алабама, 2010 (Southern Regional Algebra Conference, Alabama, 2010),

• на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2012», Москва, 2012,

• на всероссийском симпозиуме «Абелевы группы», Бийск, 2012,

• на алгебраических семинарах МПГУ и МГУ.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Фам Тхи Тху Тхюи, Москва

1. Иванов A.B., Абелевы группы с самоинъективными кольцами эндоморфизмов и кольцами эндоморфизмов с аннуляторными условиями, в кн.: Абелевы группы и модули — Томск, гос. унив. — Томск — 1982 — Р.93-109.

2. Гриншпон С.Я., Мисяков В.М. О вполне транзитивных абелевых группах // Абелевы группы и модули, — 1986 — вып.6 — С.12-27.

3. Компанцева Е.И. Кольца на почти вполне разложимых абелевых группах // Фундаментальная и прикладная математика — 2008 — Т. 14 — №5 — С.93-101.

4. Компанцева Е.И. Кольца без кручения // Фундаментальная и прикладная математика 2009 - Т.15 - № 8 - С.95-143.

5. Компанцева Е.И. Абсолютные ниль-идеалы абелевой группы // Фундаментальная и прикладная математика — 2012 — т. 17 вып.7 — С. 59-89.

6. Москаленко А.И. О длине расщепления абелевых групп // Математические заметки 1978 - Т.24 - № 6 - С.749-761.

7. Куликов Л.Я., К теории абелевых групп произвольной мощности // — Матем. сб. 1945 - С. 129-162.

8. Крылов П.А., Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Фундамент, и прикл. матем. — 2000 — т.6 — вып.З с.793-812

9. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А., Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов // М.гФакториал 2006 - 512 с.

10. Фукс Л., Бесконечные абелевы группы: в 2 т. // М.:Мир т. 2 - 1977 -335 с.

11. Чехлов А. Р. Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. — 2009 № 3 -С.64-67.

12. Beaumont R.A., Rings with additive group which is the direct sum of cyclic groups // Duke Math. J. 1948 - Vol.15 - R367 - 369.

13. Beaumont R.A., Pierce R.S., Torsion-free groups of rank two // Mem. Amer. Math. Soc. 1961 - Vol.38.

14. Beaumont R.A., Pierce R.S., Torsion-free rings // 111. J. Math. — 1961 — Vol.5 P.61-98.

15. Bowshell R.A., Schultz.P., Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. 1977 - Vol.228 - № 3 - P.197-214.

16. Eilenberg S., Mac Lane S., Group extensions and homology // Ann. of Math., Vol. 43 (1942), 757-831.

17. Feigelstock S., On the nilstufe of homogeneous groups. // Acta Sci. Math. Szeged 1974 - Vol. 36 - P.27-28.

18. Fomin A. A., Wickless W. Quotient divisible Abelian groups // Proc. Amer. Math.Soc. 1998 - Vol. 126 - P. 45-52.

19. Fried E., On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian Groups, Budapest — 1964 — P.51-55.

20. Fried E., Preideals in modules // Periodica Mathematica Hungarica — 1971- V.l №3 - P. 163-169.

21. Fuchs L., Abelian groups // Akademiai Kiado, Budapest, 1966.

22. Fuchs L., On quasi-nil groups // Acta Sei. Math. Szeged — 1957 — Vol.18 — P.33-43.

23. Fuchs L., Ringe und inre additive Gruppe // Publ. Math. Debrecen. — 1956- Vol. 4 P.488-508.

24. Fuchs L., Abelian groups // Publ. House of Hungar. Acad. Sei., Budapest — 1958

25. Fuchs L., Notes on abelian groups //I, Ann. Univ. Sei. Budapest — 1959- Vol. 2 P.5-23; II, Acta Math. Acad. Sei. Hungar. - 1960 - Vol. 10 -117-125.

26. Fuchs L., Rangaswamy K.M. On generalized regular rings // Math. Z — 107- 1968 P.71-81.

27. Fuchs L., Szele T. On Artinian rings // Acta Sei. Math. Szeged., 17 (1956), 30-40.

28. Gardner B.J. Rings on completely decomposable torsion-free abelian groups.- Comment. Math. Univ. Carolinae 1974 - Vol.15 - №3 - P.381-382.

29. Gardner B.J., Jackett D.R. Rings on certain classes of torsion free abelian groups. — Comment. Math. Univ. Carolinae — 1976 — Vol.17 — №3 — P.439-506.

30. Jackett D.R. Rings on certain mixed abelian groups. Pacific. J. Math. — 1982 - Vol.98 - m - P.355-373.

31. Jackett D.R. The additive group of a regular ring. — Period. Math. Hung. — 1982 Vol. 98 - m - P.355-373.

32. Harrison D.K. Infinite abelian groups and homological methods // Ann. of Math., 1959 - V.69 - P.366-391.

33. Hill P., Megibben C. On primary groups with countable basic subgroups // Trans. Amer. Math. Soc., 1966 - V.124 - P.49-59.

34. Mader A., Vinsonhaler C., Torsion-free ¿^-modules //J. Algebra, — 1996 — Vol. 115 № 2 - P.401-411.

35. McLean K.R. The additive ideals of ap-ring //J. London Math. Soc. — 1975 V.2 - P.523-529

36. Megibben C., On subgroups of primary abelian groups // Publ. Math. Debrecen 1965 - V.12 - P.293-294.

37. McLean K.R. p-rings whose only right ideals are the fully invariant subgroups // Proc. London Math. Soc. 1975 - V.3 - P.445-458.

38. Rangaswamy K.M. Abelian groups with endomorphic images of special types, // J.Algebra Vol.6 - 1989 - P.271-280.

39. Rangaswamy K.M. Abelian groups with self injective endomorphism rings, // Lecture Notes Math Vol.372 - 1974 - P.595-604.

40. Pierce R.S. Homomorphisms of primery abelian groups, // Topics in Abelian Groups, 1963 - P.215-310

41. Pierce R.S. E-modules, // In: Abelian group theory (Perth 1987) — Amer. Math. Soc., Providence, RI 1989 - P.221-240

42. Reid J.D. Quasi-pure-injectivity and quasi-pure-projectivity // Lect. Notes Math. 1977 - V.616 - P.219-227

43. Redei L, Szele Т., Die Ringe "ersten Ranges" // Acta Sci. Math. Szeged — 1950 V.12A - P.18-29.

44. Szele Т., Zur Theorie der Zeroringe, // Math. Ann. 1949 - Vol.121 -P.242-246.

45. Szele Т., Nilpotent Artinian rings // Publ. Math. Debrecen — 1955 — Vol. 4 P.71-78.

46. Topics in Abelian groups 1, Chicago — 1963.

47. D. A. Lawver and E. H. Toubassi, Height-slope and splitting length of abelian groups // Publ. Math. Debrecen 1973 - Vol. 20 - P. 63-71.Основное содержание диссертации отражают следующие опубликованные работы автора

48. Фам Тхи Тху Тхюи. Длина расщепления смешанной абелевой группы ранга без кручения 1 // Тезисы докладов международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша. — Москва, 2008 С.235-236

49. Фам Тхи Тху Тхюи. Длина расщепления смешанной абелевой группы ранга без кручения 1 // Фундам. и прикл. математика — 2008 — Т.14 — W С.209-221.

50. Фам Тхи Тху Тхюи. Абсолютные идеалы абелевых групп // Тезисы докладов международной конференции «Мальцевские чтения» Новосибирск, 2009. С. 137 - 0,1 п.л.

51. Pham Thi Thu Thuy. Absolute ideals of abelian groups // Abstracts of Southern Regional Algebra Conference — Montgomery, Alabama, 2010 — P. 10.

52. Фам Тхи Тху Тхюи. Абсолютные идеалы абелевых групп // Тезисы докладов всеросийской алгебраической конференции «Математика, информатика и методика их преподавания», посвященной 110-летию математического факультета МПГУ — Москва, 2011 — С.91-92.

53. Pham Thi Thu Thuy. Abelian RAI-groups and а/г-groups // Abstracts of Geometric and Asymptotic Group Theory with Applications — Manresa, 2011 P.24-25.

54. Фам Тхи Тху Тхюи. Периодические абелевы afi-группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. — 2011 — № 4 С.18-22

55. Фам Тхи Тху Тхюи. Абелевы Д Л/-группы ранга без кручения 1// М., 2012 депон. в ВИНИТИ 26.03.12 № 116-В2012.

56. Фам Тхи Тху Тхюи. Смешанные абелевы RAI-группы// М., 2012 — депон. в ВИНИТИ 26.03.12 № 115-В2012.

57. Фам Тхи Тху Тхюи. Кольца, в которых любой идеал является абсолютным // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки Тула, 2012 - С.93-112.

58. Фам Тхи Тху Тхюи. Абсолютные идеалы смешанных абелевых групп // Чебышевский сборник. Т.13 - Вып. 1(41) - 2012 - С.91-102. - 0.6 п.л.