Адаптивное управление нелинейными взаимосвязанными системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

0/1

На правах рукописи

ДРУЖИНИНА Мария Владимировна

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ВЗАИМОСВЯЗАННЫМИ СИСТЕМАМИ

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-П етербу рг 1998 г.

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения РАН

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Фрадков А.Л. Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Мирошник И.В., кандидат физико-математических наук, доцент Смирнова В.Б.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный технический университет.

,,/Л, мм 1МЯг.„ //

Защита диссертации состоится " ^ " _ 1998 г. в

часов на заседании диссертационного совета К 063.57.49 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь 2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " ^ " Д/Я^ьЬЛЛ

. 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

А.И. Шепелявый

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Трудности решения задач синтеза управления сложными динамическими системами связаны со сложностью математических моделей объекта управления: нелинейностью, неопределенностью, высоким порядком уравнений и т.п.

Необходимость учета нелинейностей математических моделей сложных систем вызвана ростом точности описания процессов в таких существенно нелинейных объектах как роботы, энергетические системы и т.д., что в свою очередь обусловлено повышенными требованиями к качеству систем управления. Другой особенностью, существенной при построении управления сложными системами, является неопределенность характеристик объекта управления и внешних воздействий, т.е. неполнота информации об их параметрах. Одним из наиболее перспективных путей решения задач синтеза управления сложными системами является применение методов нелинейного адаптивного управления, использующих математический аппарат нелинейной теории управления (метод функций Ляпунова, геометрические методы, и т.д.)

На практике часто система бывает построена так, что она в силу конструкции расчленяется на локализованные подсистемы, обладающие некоторой степенью автономности в том смысле, что подсистема может функционировать и управляться не только от общесистемного органа, но и самостоятельно локальным регулятором. Таковы объединенные энергосистемы, в которых электростанции обладают определенной автономностью. Поэтому задачи локального децентрализованного управления занимают важное место в теории управления сложными системами.

Для облегчения исследования сложных систем часто применяются методы декомпозиции, состоящие в разделении исходной задачи на ряд более простых подзадач, решаемых независимо. При этом исходная модель объекта управления разбивается на несколько более простых подсистем, а синтез регулятора для каждой подсистемы производится независимо. Среди приемов декомпозиции в теории управления широкое распространение получили каскадирование и децентрализация. Для решения вопроса о применимости подобного подхода необходим анализ работоспособность синтезированной системы, что может представлять определенные трудности.

Таким образом разработка основанных на приемах декомпозиции алгоритмов управления такими сложными системами, как нелинейные взаимосвязанные системы, представляется актуальной.

Цель работы

Цель работы состоит в разработке и исследовании алгоритмов управления нелинейными взаимосвязанными системами, основанных на методах каскадирования и децентрализации.

Методы исследования

В работе используется аппарат математического анализа и качественной теории дифференциальных уравнений, в частности метод функций Ляпунова.

Научная новизна

- Предложен и обоснован метод итеративного синтеза управления для нелинейных каскадных систем, позволяющий, в отличие от известных методов, решить задачу управления для случая нелинейного вхождения переменкой состояния второй (входной) подсистемы каскада в уравнение первой (выходной) подсистемы.

- Предложен алгоритм скоростной разности для управления нелинейными объектами, не удовлетворяющими условию выпуклости по входу производной от целевой функции.

- Предложен и обоснован метод итеративного синтеза адаптивного управления для нелинейных каскадных систем с неизвестным параметром, позволяющий, в отличие от известных методов, решить задачу управления для случая нелинейного вхождения переменной состояния входной подсистемы каскада в уравнение выходной подсистемы.

- Предложен и обоснован новый алгоритм децентрализованного адаптивного управления для нелинейных взаимосвязанных систем с нелинейной локальной динамикой и неопределенностью в связях.

Практическая ценность

Разработанные методы позволяют строить простые алгоритмы управления нелинейными взаимосвязанными системами высокого порядка. Разработанные алгоритмы адаптивного управления позволяют обеспечивать достижение заданной цели в условиях неопределенности параметра объекта управления.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на семинарах лаборатории "Управление Сложными Системами" Института проблем машиноведения РАН, на семинаре кафедры теоретической кибернетики СПбГУ, на семинаре кафедры механики и процессов управления СПбГТУ, на Балтийской олимпиаде по автоматическому управлению (С-Петербург,

1995), на международных конференциях: 1st IFAC Workshop "New trends in Design of Control Systems", Smolenice, Smolenice, Slovakia, Sept. 1994; 3-th IEEE Mediterranean Symposium on New Direction in Control and Automation, Cyprus, 1995; 2-nd International Conference on Control of Power Systems , Bratislava, Slovak Republic, 1996; 2-nd IFAC Workshop "New trends in Design of Control Systems", Smolenice, Slovak Republic, 1997.

Публикации

Основное содержание диссертационной работы представлено в статьях [1]-[7]. Во всех работах, написанных в соавторстве с научным руководителем проф. Фрадковым А.Л., первому автору принадлежит доказательство результатов, а второму - постановка задач и общее руководство исследованиями. В работах [4],[6], написанных в соавторстве с А.Ю.Погромским и В.Веселым, данными соавторами предложены для исследования модели энергосистем. В работе [5] автору принадлежит лемма П2.3.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, и списка литературы. Библиография содержит 41 наименование. Общий объем работы - 100 страниц.

Содержание работы

В введении рассмотрена актуальность темы диссертации, дан краткий обзор литературы и приводится аннотация основных результатов работы.

В первой главе рассматривается объект управления (ОУ), описываемый нелинейными уравнениями:

Е = F(l,V 1, t) v'l = $\(x,Vi,V2)

1>2 = <&2(z,in,t>2,U3) (1)

Vr = Фг(х,Ь1,Ь2,.. ■,Vr,U)

где x 6 R" вектор состояния (полностью измеримый), « £ Ji1 • вход, vi,...,vr 6 R1 - переменные, доступные измерению; F() : Rn+2 —► R1 -непрерывно-дифференцируемая no x,v и кусочно-непрерывная по t функция; Ф>(-) : Лт>+'+1 —► R1, г = 1 ... г - гладкие функции; f > 0;

и решается задача построения алгоритма управления

и = U(x, vi,... ,vr, t), (2)

обеспечивающего ограниченность траекторий системы (1), (2) и достижение цели управления (НУ):

Q(x(t), í) 0 при t —<• оо, (3)

где Q{x, t) > 0- заданная целевая функция.

Модель (1) представляет собой каскад последовательно включенных интеграторов,охваченных нелинейными обратными связями. Такая структура модели препятствует прямому воздействию управления на динамику ОУ и приводит к нарушению так называемых условий согласованности, обычно используемых в компенсационных подходах к решению задач адаптивного и неадаптивного управления.

Для объектов управления типа (1), но без наличия дополнительных нелинейных звеньев (интеграторов), поставленная задача управления может быть решена методом скоростного градиента.

В разделе 1.1 показано, что алгоритм скоростного градиента (АСГ) решает задачу также в случае рассмотрения ОУ (1)приг = 1 (т.е. наличия одного нелинейного звена в каскаде), а именно

i = F(x, v,t) (4)

О = Ф(х, V, и) (5)

Для построения АСГ определяется функция ui{x,v,t) как скорость изменения Q(x,t) вдоль траекторий (4): и(х,х>,í) = (ViQ)rF(x, v, t) -f Тогда АСГ изменяет управляющее воздействие по направлению градиента ш(х, V, t) по V.

Теорема 1,1, Пусть для системы (4), (5) выполнены следующие условия:

1. Функция Q(x, t) неотрицательная и имеет бесконечно большой нижний предел: Q(x,t) > а(||х||) равномерно по t. > 0, где а(ц) > 0 такая, что a(/¿) —► со при р, —► оо; (условие роста для целевой функции);

2. Существует гладкая функция Ф (х , v. z) такая, что Ф(х, V, Ф(х, V, г)) = г для любых х е R",v,z £ Я1;

S. Существуют U, <Е R1 и непрерывная, скалярная функция p(Q) > О такие, что выполнятся неравенство

u;(x(t),U,,t)<-p(Q(x(t),t)), (6)

для любого решения x(í) при всех t > 0;

4. Функция ы(х, v,t) выпукла по v, т.е. для любых v, v1, х, t > 0 выполнено неравенство ui(x,v', t) — w(x,v, t) > (v — v');

5. Функция F(x,v,t) непрерывно-дифференцируема no x, v, кусочно непрерывна no t; Q( ), Ф() - гладкие функции; F(-), w(-), J^(-) локально ограничены равномерно по t > О;

Тогда алгоритм скоростного градиента

u = U{x,v,t) = ^[x,v,-'i^-w(x,v,t)), т>0, (7)

обеспечивает ограниченность траекторий системы (4),(5) и

lim p(Q(x(<),l)) = 0.

t —'OD

Кроме того, если функция p(Q) такова, что p(Q) > 0 при Q > О, р(О) = О, то в замкнутой системе (4),(5),(7) достигается цель управления (3).

Предложенный в теореме 1.1 алгоритм обоснован лишь при существовании постоянного "идеального" управления U,. Это требование не позволяет использовать алгоритм (7) в качестве пошаговой процедуры решения задачи стабилизации системы (1) с каскадом г > 1 интеграторов. Таким образом, алгоритм (7) решает поставленную задачу только для частного случая вхождения в объект управления лишь одного нелинейного звена (интегратора). Поэтому в разделе 1.2 предлагаются два класса алгоритмов, которые могут быть использованы в качестве основной процедуры синтеза закона управления для системы (1) при г > 1.

Теорема 1.2. (Алгоритм скоростного градиента). Пусть для системы (4),(5) выполнены, условия 1), 2), 5) теоремы 1.1 и следующие условия:

3. Существуют гладкая функция U,(x,t) и непрерывная скалярная функция p{Q) > 0 такие, что выполнятся неравенство

«МО, u,{z(t), t), t) < —p(Q(x(t), 0) (8)

для любого решения х(<) при всех t > 0;

4- Функция F(x,v,t) непрерывно-дифференцируема по х, v, кусочно непрерывна по t; Q( ), Ф(-) - гладкие функции; F( ), (/,(■), ^i7*(-), ш(-), ^jw(-) - локально ограничены равномерно по t > 0; Тогда алгоритм управления

и — U(x, v, t) = (9)

= Ф (х, V, -7о(и - и.(х, 0) - 71 У, 0) +Jtu' (г-.

обеспечивает ограниченность траектории системы (4),(5) и

lim>p(Q{x(t),t))=0, Hm (v(t) - U.(x{t),t)) = 0. (10)

Кроме того, если функция p(Q) такова, что p(Q) > 0 при Q > 0, р(0) = 0, то в замкнутой системе (4),(5),(9) достигается цель управления (3).

Однако, условие выпуклости по входу производной от целевой функции Q(x,i) (условие 5 теоремы 1.1) является слишком жестким для многих нелинейных систем. Сформулированный в теореме 1.3 алгоритм скоростной разности

и — U(x,v, t) = (11)

' Ф (х, », — 7о(г> - U.(x, t)) - 71 + ¿U.(x,t))

_ при V Ф f/»(r,<),

Ф (г, V, -y0(v - и,(х, <)) - 7, £ц;(х, i/,(M), t)) + ±U.{x, t)) при v = l/,(x, t),

7o >0, 7i > 0, представляет собой модификацию алгоритма скоростного градиента для систем (4),(5), не удовлетворяющих условию выпуклости, и обеспечивает ограниченность траекторий замкнутой системы (4),(5), (11) и достижение цели управления (3).

В отличие от АСГ (7), участвующий в рассматриваемых алгоритмах (9), (11) идеальный закон управления £/»(х,<) есть функция от x,t. Кроме того, законы управления (9), (11) обеспечивают более сильную цель управления (3), (10), что позволяет использовать их в качестве основной процедуры синтеза закона управления, стабилизирующего исходную систему (1) при г > 1.

В разделе 1.3 описаны пошаговые процедуры синтеза закона управления для исходной каскадной системы (1) при условии, что правые части системы (1) удовлетворяет условиям теорем 1.2, 1.3, причем функции jF(-), Q('), [/,(■) непрерывно дифференцируемы г раз, и их всевозможные частные производные порядка, не превышающего г, локально ограничены равномерно по t > 0.

В разделе 1.4 исследованы свойства предложенных алгоритмов управления при наличии аддитивных детерминированных возмущений. Показано, что для возмущенной системы

F(x,v,t) ■+?({) (12)

v = Ф(г, v, и) (13)

где ip(t) - ограниченная вектор-функция возмущений,

АСГ (9) обеспечивает при достаточно малом уровне возмущений ограниченность траекторий системы (12),(13). При этом цель управления (3) ослабляется и состоит в сходимости траекторий в ограниченное предельное целевое множество. Однако при выборе достаточно большого коэффициента усиления 71 в алгоритме (9) оказывается возможным обеспечить попадание значений целевой функции Q(x(t), t) в сколь угодно малую предельную зону. Кроме того, дана оценка допустимого уровня возмущений

Д,.

В разделе 1.5 рассмотрена работоспособностьпредложенных алгоритмов управления (9), (11) в случае, когда заданная целевая функция не удовлетворяет условию роста, т.е. не является неограниченной по всем своим аргументам функцией, и сформулированы аналоги теорем 1.1 и 1.2. Отдельно рассмотрен частный случай автономной системы вида

х = ¡{х) + д(х)у (14)

V = Ф(и, и) (15)

где х Е Яп, V, и 6 /£"*, интересный для задачи динамической стабилизации переходных процессов энергетических систем. Алгоритм скоростного градиента для (14), (15) выглядит следующим образом:

«(0 = ф(», -Гф(0)т^<?(х(0)) (16)

где Г = Гг > 0 - т х т симметричная матрица коэффициентов усиления.

Теорема 1.11. Пусть для системы (14)-(15) выполнены следующие условия:

1. Существует постоянный вектор [/» £ Дт и постоянная, отрицательно определенная т х т матрица П < 0, удовлетворяющие для всех х 6 Яп неравенству

(ухс)(х))ТПх) + (т7хд(х))Тд(х)и. < (у1д(х))т9(х)пэ(ж)гухд(г)

2. Функции Г(х), д(х), Чх/{х), Ч*д(х), Vlg(x), ЧхС}(х), V1д(х), V® <?(®) ограничены в любой области, где <Э(х) ограничена;

3. Существует гладкая функция Ф(г>,г) такая, что Ф(и, Ф(и, г)) = г для всех х Е Я", V, г Е Ят;

Тогда в замкнутой системе (Ц)-(16) «(¿) ограничены и достигается цель управления

Нш(У1д(х(г)))т/(1(г)) = о, Нш (?,<2(*(0))тв(х(*)) = о. (17)

I —»оо t-.no

При этом задача нахождения закона управления, обеспечивающего цель управления (17), названа задачей частичной стабилизации.

Теоретические результаты раздела 1.5 применены к задаче динамической стабилизации энергетической системы, состоящей из N синхронных генераторов.

Динамика ¡-того генератора, i = описывается следуюзцими

уравнениями:

5; = и.',

N

М,ш, = -а,иц - - и)}) + Pmi ~ Ре, + vi (18)

V, = — + и,

где 6i - угол ротора i-того генератора (относительно эталонного ротора, вращающегося с заданной скоростью); w, - относительная угловая скорость ротора i-того генератора; М, - постоянная инерции; Р,е - электрическая мощность, вырабатываемая i-тым генератором; Pmï - номинальная входная механическая мощность; а; > 0 и 6tJ > 0, btJ — - постоянные коэффициенты механического и асинхронного демпфирования; v, - отклонение от номинальной входной механической мощности, выход исполнительного звена турбины; - постоянная времени турбины; и, - входной сигнал исполнительного звена турбины. При этом выходная электрическая мощность Ре, задается следующими уравнениями:

N

Ре, = Gi,E2t + Y, EiEj(G'i С08№ - + вч sinC^i - «>)). (19) 1 = 1

Таким образом, (18), (19) представляет собой энергетическую систему из N синхронных машин, в которой управление каждой машиной осуществляется "механическим" регулятором u,, t = 1, ■ - •, Л^, (регулятором турбины). При этом последнее уравнение в (18) описывает динамику исполнительного звена турбины и включено в общую модель системы.

Под задачей динамической стабилизации понимается нахождение закона управления, обеспечивающего для произвольных заданных начальных значений хо = (¿о, wo)T стремление траекторий S(t,So), w(t, wo) к множеству 6, — ij = с,j ; w, — 0, i = 1, • • • , N, что означает стремление всех генераторов к синхронному движению .

В качестве целевой функции, участвующей в построении АСГ, выбирается функция

ТМ N N

q(6, w) = +Е Е ом1 - со<г- - м) + +-8л» ■

(20)

где 6 = (6i • ■ • 6w)T; и; = (lui • • -wN)T-, M = diag(Mi, ■ • • ,MN).

При этом скоростной градиент выглядит как: VvQ = w, и в соответствии с АСГ закон управления имеет вид:

u(<) = Kv(t) - Tw(t), (21)

где Г = dkg (7х,... , 7n), 7> > 0; К = diag(fci, ■ • ■ , ¿w); v = (ui • • • и»)т; и — (иi, ■ • •, uN)T.

Показано, что в случае ненулевого демпфирования система (18), (19) удовлетворяет условиям теоремы 1.11, и в замкнутой системе (18), (19), (21) w(t) —► 0. Кроме того, при некоторых дополнительных предположениях относительно выбора коэффициентов усиления 7,, i — 1 ... N, в законе управления (21), для (18), (19) решается задача динамической стабилизации, т.е. ¿(i) —♦ const, w(t) —> 0.

Первая глава служит базой для второй главы, в которой задача синтеза адаптивного управления для нелинейных каскадных систем решается в условиях неопределенности параметров ОУ.

Рассматривается ОУ, представляющий собой каскад последовательно включенных интеграторов, охваченных нелинейными обратными связями:

i = Мх.иг) + 9}(х,У!) (22)

г>1 = Ф1 (1, «1, иг) »2 = Фг(х, »1, »2, "з)

1)Г = Фг(х, VI, »2, ■ • • , Уг, и)

где I £ - вектор состояний объекта (полностью измеримый), и £ Я1 - вход, V £ Я1,! = 1 ...т переменные, доступные измерению; в £ Е1 -неизвестный (постоянный) параметр,

и решается задача нахождения адаптивного закона управления

и = и(х, VI, . . . , Ут, в, Ь)

в = в{х,уи...,уг,в,^ (23)

где настраиваемый параметр в есть оценка неизвестного параметра в, который обеспечивает ограниченность траекторий системы (22)-(23) и достижение цели управления

д(г(*),0(«),г))-»Опри<-+оо (24)

где <3(х, 0, ¡)) >0 - заданная целевая функция.

В разделе 2.2 рассмотрено построение искомого адаптивного управления на примере каскадной системы, включающей одно нелинейное звено (интегратор), т.е. ОУ (22) при г = 1.

Предполагается, что для нелинейной системы вида

¿ =/о(х,г) + 0/(х,1>) (25) известен закон адаптивного управления

V = »()(х,М) (26)

в = тъ(х,М) (27)

который обеспечивает ограниченность траекторий системы (25)-(27) и достижение НУ (24). Это означает, что для любых х £ Я", в £ Я1,2 > 0 должно выполняться неравенство

(^ОЭЧЫх, «о) + 0/(х,ао)] + (У11О3,го+ д-% < -/>(<?(*, М)) (28)

где У(х, в, = С}(х,в, —в)2 > 0 есть функция Ляпунова для системы

(25); р{0) - непрерывная, положительная при <2 > 0 функция, причем р(0) = 0.

Тогда алгоритм управления для системы, включающей входную подсистему каскада, а именно:

¿ = /о(х,«) + 0/(1,0 (29)

V = Ф(е, г), и) (30)

сформулирован в следующей теореме.

Теорема 2.2. Пусть для системы (29),(30) выполнены следующие условия:

1. С}(х,в, /) -неотрицательная функция, имеющая бесконечно большой нижний предел: > <*(||:г||-Ь|0|)) для а(р) > 0 такой, что о:{¡л) —> сю при р —> оо; (условие роста для целевой функции);

2. Существует гладкая функция Ф (х, и, г) такая, что Ф(х, V, Ф(х, V, г)) — г для любых х 6 Д" ¡V, г £ Я1;

3. Существуют гладкие функции ао(х,в,1), го(х,в,1) и непрерывная, положительная при <3 > 0 функция р((}), причем р(0) — 0, удовлетворяющие условию (28);

4- <?(•)- *(■)./<>(■)./(•) " гладкие функции; схо(-),т0(-), V,(?(•),

at

(•), ^iQo(') локально ограничены равномерно по i > 0;

5. Функции f(x,v), fo(x,v) выпуклы nov. Тогда адаптивный закон управления

и = ai(x, V, 9,t) = Ф(х, v,â\ (х, v, в, ()), в = n(x,v,ê,t), (31)

где

n(x,v,e,t) = ra(x,6,t) - —(VIao)r/(x, v)(v — ао(х,в, t))

7i

+ 7(VIQ)r[/o(x, v)-fo{x,ao)l

cFi(x,v,6,t) = -7o^-ao(x,0,i))-7i(V,Q)r^^-

- 7 ^7) + 7 d-§{V:*0ff(X, „) +

av at) da

+ ^n(x,9,t) + (Vxao)T[fo{x,v) + Ôf(x,v)} +

Oa Ol

7, 7o, 7i > 0 - коэффициенты усиления, обеспечивает ограниченность траектории x(t), e(t), v(t) системы (29), (30), (31) и достижение ЦУ

Q(x(t),6(t),t)) — 0; v(t) - ao(x(t),0(t),t) — 0 при t — оо.

Для невыпуклого случая предлагается модификация алгоритма управления (31) (теорема 2.1).

Как показано в разделе 2.4, алгоритм управления (31) может быть использован в качестве основной процедуры синтеза адаптивного управления, стабилизирующего исходный ОУ (22) при т > 1. При этом необходимо потребовать, чтобы правые части системы (22) удовлетворяли условиям теоремы 2.2, и кроме того, функции Q(-), /о(-)> /(')> ао(')> То(') были непрерывно дифференцируемы г раз и функции (?(•), Qo(), го(-) - локально ограничены по t > 0 со всеми своими частными производными порядка, не превышающего г. Синтез адаптивного закона управления, стабилизирующего исходную каскадную систему (22) с т > 1 интеграторами является пошаговой процедурой и заключается в следующем. Па каждом i-том шаге для каскада, включающего i интеграторов, строятся промежуточные функции а,(х, «i,. .., и,-, в, t) (функция стабилизации) и г;(х, vi,..., и,, в, t) (функция настройки), которые рассматриваются в качестве фиктивного закона управления и находятся из условия стабилизации каскада из г подсистем. Искомые фактические законы управления и = аТ(х, vi,... , vr,6, t) и адаптации в = тГ(х, v\, ... ,ут,в, t) определяются на последнем r-том шаге через все предыдущие функции стабилизации и настройки. Более подробно идея итеративной процедуры синтеза закона адаптивного управления пояснена в разделе 2.5 на примере системы, включающей два интегратора.

Глава 3 посвящена задаче синтеза децентрализованного закона управления взаимосвязанными систем с нелинейной локальной динамикой и неопределенностью в связях.

Рассмотрен ОУ, состоящий из N взаимодействующих систем:

¿¿ = /.(i.) + Mii,«i) + Mx), i=l-..N (32)

где х, € Rn> - вектор состояния i-той подсистемы; м, € R7"' - вектор входа i-той подсистемы; п — m, m = ^ m,; х = (xi,...,xn)t £ Rn -совокупный вектор состояния системы; /t(), ft»(-), hi(-) - непрерывно дифференцируемые вектор-функции. При этом функции связей Л, (-), i — 1 ... N удовлетворяют следующему неравенству:

N

h,{x) £„>0, i = \ ... N. (33)

7=1

Задача состоит в нахождении децентрализованного адаптивного алгоритма управления

= U,{x„9,) (34)

0, = О,(х„0,) (35)

где б, € Яг' - настраиваемые параметры, обеспечивающего ограниченность траекторий замкнутой системы (32) - (35) и достижение цели управления (НУ):

<3;(:г,(<)) —* 0 при < —► оо, (36)

где > 0 - заданные гладкие целевые функции, г = 1 ... N.

Синтез децентрализованного управления включает два этапа. На первом этапе синтезируются локальные регуляторы для изолированных подсистем, а затем, на втором этапе, анализируется работоспособность синтезированной системы с учетом связей. При этом в общий закон управления вводится алгоритм адаптации для компенсации вредного влияния связей.

Предполагается, что известны законы управления и*(х,), г = 1... N, обеспечивающие экспоненциальную стабилизируемость изолированных подсистем, причем функции и,*(х,) могут быть представлены как и*(х,) = и,(х,,в'), где в* - некоторые постоянные параметры (например, коэффициенты усиления, участвующие в законе управления).

Тогда алгоритм управления для системы с взаимодействиями (32) выбирается в виде

а, =*/,•(*,■, б,). г=З...Лг, (37)

где функции (/((■) - те же, что и ранее, однако вместо известных постоянных параметров в* в законе управления (37) используются их настройки в,, доставляемые алгоритмом адаптации, получаемым из метода скоростного градиента:

9, =--г,ЧЯ,{х,)ТЬ,(х1,и,{х,,е,)), I = 1 ... Лг. (38)

Теорема 3.1. Пусть для ОУ (32) выполнены следующие условия:

1. Для каждой г-той изолированной подсистемы (32) существуют гладкие функции {/¿(х;, б;), г = 1... N, векторы в*, i = 1 ... N и положительные -числа ан, »21, Рг, Р^ > 0, г = 1 ... N, такие, что выполняются неравенства:

«iillas.lt2 < №) < «2,||х;||2, < /?,||х,||,

Яг(х,, и,) = < ~Р,Я|(Х.)

2. Полные производные целевых функций (¡^(к,) выпуклы по в{ т.е. для любых 9,, в[, х; выполнены неравенства:

<3,(х,Л')-СМг„0,)> (в, -б,')тУе, (<?,(*<,0.))

3. Функции взаимодействия ЛД-), г = 1. . . N удовлетворяют условию (33) и дополнительному условию:

N

+ < 2Р^и/^, г = 1... ТУ (39)

.?=1

Тогда децентрализованный адаптивный закон управления (37), (38) обеспечивает ограниченность траекторий замкнутой системы (32) и достижение цели управления (36).

Условие 1) теоремы 3.1 обеспечивает достижение ИУ в каждой ¡-той изолированной подсистеме, а условие 3) определяет допустимую степень взаимосвязей подсистем. Связи, удовлетворяющие условию (33) можно назвать связями однородного типа. При рассмотрении взаимодействий неоднородного типа, подчиняющимся ослабленным неравенствам

где d, > 0, i = 1,...,N, цель управления также ослабляется и состоит в сходимости траекторий системы в ограниченное предельное .множество. При этом алгоритм управления огрубляется, как показано в теореме 3.2, введением в алгоритм адаптации (38) отрицательной обратной связи.

Основные результаты, выносимые на защиту, опубликованы в следующих работах:

[1]. 71ружинина М.В., Фрадков А.Л. Алгоритмы скоростного градиента и скоростной разности в задаче нелинейного управления: пошаговый :.интез // Дифференциальные уравнения, N11, ноябрь 1994, стр.1861-1868.

[2]. M.V. Druzhinina, A.L. Fradkov. Speed-gradient and speed-difference ilgorithms for non matched problems of nonlinear control, 1st IFAC Workshop, Smolenice, Slovakia, Sept. 1994, pp.92-96.

[3]. Druzhinina M., Fradkov A.L. Iterative design of nonlinear adaptive itabilizers, Proc. of 3-th IEEE Mediterranean Symposium on New Direction n Control and Automation, 1995, Cyprus, pp.403-407

[4]. Druzhinina M., Fradkov A.L., Pogromsky A. Nonlinear controller design or transient stabilization of power systems with actuators, Preprint of 2-nd nternational Conference on Control of Power Systems , 1996, Bratislava, Slovak lepublic, pp.361-366

[5]. Дружинина M.B., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Методы адаптив-гого управления нелинейными объектами по выходу // Автоматика и те-гемеханика, N2, 1996, стр.3-33.

[6]. Druzhinina М., Fradkov A.L., Vesely V. Adaptive decentralized control if interconnected nonlinear systems with application to stabilization of power ystems, 2nd IFAC Workshop "New trends in Design of Control Systems", 1997, ¡molenice, Slovak Republic, pp.397-401

[7]. Дружинина M.B., Фрадков А.Л. Адаптивное управление нелиней-ыми взаимосвязанными системами, С-Петербург: ИПМАШ РАН, 1997. -7 стр.

N

(40)