Аддитивные проекционно-сеточные методы решения многомерных параболических задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Сибирское отделение Вычислительный центр

На правах рукописи

УДК 519.63

Лаевский Юрий Миронович

АДДИТИВНЫЕ ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1992

■

С"""'

I .. ■

Раб(?та выполнена в Вычислительном центре СО РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Кузин; доктор физико-математических наук, профессор В.В.Шайдуров; доктор физико-математических наук П.Н.Вабищевич.

Ведущая организация: Казанский Государственный университет.

Защита состоится " /$ " 1992г. в _часов на

заседании специализированного совета Д 002.10.01 при Вычислительном центре СО РАН (630090, г.Новосибирск, пр-т академика Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ВЦ СО РАН.

Автореферат разослан " "f- "

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н.

З.И.Кузнецов

■■¿ЕЙСКАЯ

згнмдя • | ькл

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Детализируя название диссертации, можно сказать, что она посвящена разработке и обоснованию ряда экономичных проекцион-но-сеточных алгоритмов решения многомерных параболических начально-краевых задач в геометрически сложных областях, хорошо адаптирующихся (алгоритмов) для реализации на многопроцессорных ЭВМ, и на базе которых возможно создание высокотехнологичных функциональных средств душ производства программного обеспечения решения сложных прикладных задач. Приведем некоторые соображения об актуальности данной тематики, конкретизируем цель исследования и решаемые для ее достижения задачи, кратко остановимся на научной новизне результатов и вкладе автора в их получение.

Актуальность данной тематики обусловленна следующими факторами. Во-первых, это возрастающая практическая потребность в моделировании процессов нестационарной диффузии и теплопроводности в сложных реальных объектах с учетом многовариантности проведения расчетов, что диктует весьма высокие требования к функциональному наполнению используемых пакетов программ. А именно, алгоритмическая база такого наполнения донна быть построена на основе достаточно универсальных, с одной стороны, и экономичных, с другой, методов. Далее, важным фактором развития современного поколения вычислительных алгоритмов является требование возможности их эффективной реализации на многопроцессорных ЭВМ. В полной мере это проявилось в интенсивном развитии методов декомпозиции области для решения стационарных задач. Естествена потребность в таком развитии аналогичных методик, специально приспособленных для решения нестационарных уравнений. И наконец, эксплуатация алгоритмов в режиме многовариантности расчетов диктует высокие требования по их надежности. В свою очередь, необходимым условием для этого является теоретическая обоснованность используемых методов. Перечисленные факторы говорят об актуальности рассматриваемой проблематики.

Данное исследование проводилось в соответствии с планами научно-исследовательских работ Вычислительного центра СО РАН, а также в рамках пост. ГКНТ СССР Л555, НИП «431 ГКН'Г СССР и теш 5.3 двустороннего сотрудничества между АН СССР и БАН.

Цель данного исследования состоит в развитии алгоритмической базы для создания высоко производительных вычислительных технологий решения многомерных, параболических задач в областях со слояной геометрией. При этом такая база должна основываться на методах, обладающих высокой степень» универсальности, экономичности и надежности. Одним из наиболее эффективных, на наш взгляд, средств для достижения универсальности, является про-екциошю-сеточная технология, а средством достижения экономичности - идеология методов расщепления. Поэтому одна из решаемых задач - это разработка средств для проехционно-сеточных формулировок ряда хорошо известных схем расщепления и теоретический анализ такого класса алгоритмов. Но главная задача со-, стоит в распространении идеи расщепления на методы декомпозиции области. Сама эта идея для проекционных формулировок весьма прозрачна, поскольку аддитивное представление энергетического скалярного произведения очевидным образом вытекает из аддитивного представления области (в виде объединения некоторой системы подобластей). Главные трудности связаны с созданием теоретических основ для использования достаточно широкого класса подобных алгоритмов. Именно решение этой задачи позволило получить ряд новых алгоритмов декомпозиции области для параболических уравнений, и положить декомпозиционную методику в основу программного обеспечения.

Научная новизна работы достаточно подробно обсуждается в обзоре публикаций (п.1.1). Материалы второй главы частично являются систематически изложенным обобщением отдельных фактов, встречавшихся в литературе ранее, а такое, например, понятие, как псевдоконцентрируший оператор, введено впервые. Также впервые указан способ построения многомерных барицентрических множеств. Формулировки всех утверждений второй главы являются оригинальными. Далее, в основе исследования, проведенного в третьей главе, лежат известные схемы расщепления. Однако их проекционные формулировки в пространстве кусочно-линейных фун-

кций и теоремы об опенках погрешности являются новыми. Для метода декомпозиции области с пересчетом основой явилась работа П.Н.Вабшцевича, в которой на разностном уровне для двух подобластей был впервые сформулирован указанный алгоритм. В остальном все результаты четвертей главы принадлежат автору. Из алгоритмов пятой главы следует выделить метод типа покомпонентного расщепления, автором которого является М.Дрыя. Приведенная в диссертации теорема о сходимости этого метода уточняет анонсированный (предложенный без доказательства) результат М.Дрыи. Осталше алгоритмы .пятой глазн и их обоснования являются оригинальными. Все изложенные в главах со второй по пятую результаты (с учетом сделанных замечаний) принадлежат лично автору диссертации. Что касается программных разработок, реализующих декомпозиционную методику, и, в частности, создания пакета для анализа тепловых полей в электродинамических громкоговорителях, а такяе проведения с его помощью расчетов, то здесь работа велась в соавторстве с С.А.Шишкиным.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опублтковаш в 19 работах, в том числе в одной монографии (см. список публикаций), н докладывались на Всесоюзной конференции "Актуальные проблема вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987), на Международной, конференции по численным методам и приложениям (София, 1988), на второй Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (Тбилиси, 1989), на VI Сибирской школе по вычислительной математике (Новосибирск, 1969), на VII Сибирской школе по вычислительной математике (Красноярск, 1991). на се;линарах Института математики и механики БАН (София, 1986,1987), а также на семинарах Казанского госуниверситета и ВЦ СО РАН .

Структура диссертации. Диссертация состоит из предисловия, в котором дается общая характеристика работы, определяющая ее актуальность и цели исследования, пяти глав, заключительных замечаний и списка литературы, содержащего 234 наименования. Каждая глава разделена на пункты, а некоторые из пунктов - на подпункты. Для удобства чтения каждая глава предворяется кратким введением-аннотацией. Заключительные замечания, кроме перечня полученных результатов, содержат краткий список вопро-

»

сов4 оставшихся за пределами данного исследования, но непо-сре^твенно с ним связанных. При изложении содержания работы в с.-',.''.Реферате используется двухиндексная нумерация формул (первый индекс - номер главы), а для определений и утверждений сохраняются соответствующие трехиндексные номера из текста диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава - это введение, содержащее обзор литературы по теме диссертации, постановку начально-краевых параболических задач и ряд вспомогательных фактов, связанных с дискретизацией обобщенных задач. Собственно материалам исследования посвящены главы со второй по пятую. Приведем постановки рас-сматриаемых в диссертации параболических задач.

Пусть H - отождествленное со своим двойственным основное гильбертово пространство со скалярным произведением ( , )н и нормой | . Далее, пусть v -гильбертово пространство со скалярным произведением ( , и нормой || \v . Предположим, что v плотно в Я и вложение /в я непрерывно. Через v' обозначим пространство двойственное к v относительно я. Введем основное гильбертово пространство О, плотное и непрерывно вложенное в о гильбертово пространство г и непрерывный оператор (абстрактный оператор следа) угУ-т такой, что отображение у съюрективно и

о

У=кегу плотно в я. В пространстве v*v зададим однопараметри-

о

ческое семейство билинейных форм a(t;u,v), где t€[t -

вещественный параметр, удовлетворяющих условиям:

о

- V и,vçy билинейная форма a(t;u,v) является непрерывной функцией параметра t; (А.1)

о

- билинейная форма a(t;u,v) равномерно по t непрерывна в пространстве K*v, т.е. существует не зависящее от t число aQ, такое, что V и ,v& и telt.t выполняется неравенство

\а( Ни , v ) | < aQ\u\v\r\v ; (А.2)

о

- билинейная форма alt;u,v) равномерно по t (с.я)-коэрци-

тивна, т.е.существуют не зависящие от t числа а^О, а2> такие, что V Ii£V и te[t0>t,] выполняется неравенство

°а<ии.ч)+а2\и\2 ajuj^ . (А.З)

В пространстве о*& введем билинейную форму л(ср,(|>), удовле-творяпцую условиям непрерывности в 0*0:

|я(ф.<|»| «я0р<р|в|ф|„ . (А.4)

и неотрицательности:

т(ср.ср) ? О . (А.5)

Тогда в пространстве определена билинейная форма

о

aft iu,v)=aCt •,u,v)+m(yu,"(v), (1.1)

которая в силу непрерывности оператора у и вложения Г во удовлетворяет условиям, аналогичным выше приведенным для билиней-о

нейной формы а(t!u,v), с, той лишь разницей, что вместо числа aQ следует использовать число a0-t-cra0> где с зависит от норм операторов 7 и вложения т в 0.

Далее, в пространстве н введем семейство непрерывных по параметру t и равномерно по t непрерывных в И линейных функционалов {r(t),v)H, где г :lt 0> t . В дальнейшем через u(t) будем обозначать значение функции и: [iQ, t являющееся элементом некоторого банахова пространства х, а через jjf(i) -

сильный предел в х (если он существует) элементов [u(t)] ^

t

(3[u(t+T;)-u{t )]/Ч при т'-» 0.

о о

Пусть C=LzUtQ.t,)iV), C=L2l(t0,t^);v), С - пространство двойственное к £ и V=V(d/dt;C ) - пространство, являшееся областью определения инфинитезимального производящего оператора d/dt непрерывной сжимающей полугруппы и наделенное нормой

Абстрактной параболической задачей Дирихле назовем следующую

о

задачу. Пусть uQeH и геС. Требуется найти функцию иеСГЮ, та-

о

кую, что V vev при почти всех te(tQ,tt) выполняются равенства

(jf(i).0+2(tiu(t ).v)*(f(t).v) , (1.2)

"(i0)=«0 • (1-3)

/

Равенство (1.3) выполняются в смысле распределений. Абстрактную третьи краевую задачу сформулируем следующим образом. При аоен и г<=С требуется найти функцию иеСПИ, такую, что IVеУ при почти всех выполняются равенства

(*;£,(г ),у) = (га),у) (1.4)

и (1.3). Для рассмотренных выше абстрактных пространств будем полагать:

я=/.2(0), к=я1(0), 0=12(Т), г=я1/2(Г).

Непрерывность оператора 7 обеспечивает теорема о следах.

о

Зададим билинейные формы а{ца,у) и т(ф,ф). Пусть

п, 11ц(=1 I 1

где СУ - некоторое подмножество из П, и

о о

з (1; и ,у) = а^и ;и, V ).

Относительно функций \ [I,х) будем предполагать, что X,

ь у I у ) ь

и выполнено условие сильной эллиптичности, т.е. для произвольного набора чисел найдется не зависящее от I число г>0, такое, что имеет место неравенство

I х, 6 > V 2 .

1^=1 и 1 3 °1=1 1

о

Тогда билинейная форма а(Ии,у) симметрична и удовлетворяет условию коэрцитиьности (А.З). Условия гладкости функций X.. будут вводиться по ходу изложения. Здесь лишь потребуем, чтобы они обеспечивали выполнение условий (А.1),(А.2). Далее, пусть

/п(ф,ф) = |а(х }срфс*с, (1.6)

Г

где а(х) - заданная на многообразии Г кусочно-непрерывная, неотрицательная функция. При этих условиях очевидно выполнение неравенств (А.4),{А.5).

Вторая глава посвящена развитию апарата сеточных нормировок пространства обладающих свойством слабой аппроксимаций (в смысле некоторых билинейных форм) и применяемых в дальнейшем для проекционных формулировок приближенных задач. В п.2.1 дается описание исходной конструкции, основанной на обобщении

в

понятия разбиения области на ячейки Дирихле, и доказываются теоремы аппроксимации в пространствах кусочно-линейных восполнений. Далее, результаты об аппроксимации для функций различной соболевской гладкости приводятся е п.2.2. Понятия, введенные в п.2.1 для исходной области, могут быть перенесены па сеточные многообразия .меньшей размерности. Этому вопросу посвящен п.2.3. Прямое распространение полученных результатов на пространства кусочно-полиномиальных функций не всегда является корректным. В связи с этим в п.2.4 вводятся и изучаются псев-доконцентрирущие операторы, являющиеся ионцентрируюсими только в некотором подпрострайстве. Я наконец, в п.'¿.5 приводится построение многомерных барицентрических множеств, полезных при рассмотрении алгоритмов метода кон-зчных объемов (Ьох-метсда).

Пусть Q - ограниченный, открытый, связный многогранник з Rm с границей Г. По области Q введем систему т-симплзксов Г . В дальнейшем, если не оговорено обратного, предполагается, что Th является согласованной, регулярной, удовлетворяющей обратному предположению системой. Введем понятие системи сконцентрированных множеств.

Определение 2.1.1. Регулярной системой сконцентрированных множеств Dh={0Jt}.eJ назовем разбиение области О, удовлетворящее условиям:

- Ui€/ ot=n; (В.1)

о

- множества и1 замкнуты и to.*0, i£H (В.2) о о

- G)tnu =0, i.ja и (в.з)

- ¥ ta и з? ja, ji-i-, (в.4}

- существует положительное число £ такое, что V ¡а имеет место неравенство (условие регулярности)

meas (ш.) ^ рл771 . (В. 5)

mi

Введем в Q неотрицательную функцию цеь^П) и си-

стему функций {p.t>ie;, где |xt(*)=xt (*)(!(*), %t(x) - характеристическая функция множества Обозначим

span{^i(x))ter С LJQ). По заданным регулярной системе сконцентрированных множеств t>h

9

Г

и функции введем понятие концентрирующего оператора.

Определение 2.1.2. Концентрирующим оператором назовем линейный оператор Ph : » равномерно по л огра-

ниченный в ¿2(Í3), имеющий равномерно по л ограниченный в (Q) обратный и действующий по формуле

Критерием существования концентрирующего оператора является следующее условие

О < у, $ |х(х) < рС , (2.1)

где числа jj. и ¡I не зависят от л.

В области П рассмотрим функцию \{х) такую, что XeL^iíi) и почти всюду в О имеет место: 0<Х^Х.{х)^Х2. Тогда в пространстве (Q )*Z-2 (П) определена непрерывная и ¿2(Q )-эллиптичная билинейная форма

(u,v= JX(x)uvdx .

Определение 2.1.3. Концентрирующий оператор удовлетворяет условию аппроксимации относительно билинейной формы если V leí выполняются равенства

f X.(x)^2(*)djf = Г Х.(х)ф, (x)dx .

JG0t JÍ2 '

Если Х,(*)=1, то будем говорить об условии аппроксимации относительно скалярного произведения в ¿2(0).

Наряду с условием, даваемым определением 2.1.3, в диссертации используется более сильное условие аппроксимации концентрирующего оператора. Обозначим Г^ 1={ее7"^|л16е> и пусть ш®= =еГКо{, где e£Th t.

Определение, 2.1.4. Концентрирукщий оператор удовлетворяет условию поэлементной аппроксимации относительно билинейной формы (u,v)., если Vief,e€T. . выполняются равенства л п, i

f \{x)\¿(x)dx = Г X(x)<f>Ax)dx .

JU® Je t

Свойством поэлементной аппроксимации относительно скалярного произведения в ¿2(fi) обладает система барицентрических множеств, построение которой для произвольного т осуществленно

в п.2.5. Для системы циркумцентрических множеств (разбиение на ячейки Дирихле) этот факт места не имеет.

В п.2.2 приведен ряд теорем аппроксимации для функций различной соболевской гладкости. Так, например, имеет место

Теорема 2.2.1. Пусть uey2(Q), p>m/Z, pï2, YdVh и Ph -концентрирующий оператор, удовлетворяющий условию аппроксимации относительно билинейной формы (u,v)x. Тогда найдется не зависшее от л, и, v и Cî^suppÇv) число с1, такое, что

I f\(x) (tfV-Р. П.ПР. v)d*l $ с й^Чм - | V I , +

|J htV. h h,V > I 1 [l У(ои)' V(nu)

P-2

+ h2~k'l(. rneaa (fi ))2p lui „ Ivl 1, к, 2=0,1. n " V2(fi ) У

p v 2 и

Здесь и далее через П^ обозначается линейный интерполирующий оператор, действующий из с(П) в vh. Аналогичное утверзде-ние имеет место для концентрирующего оператора, удовлетворяющего условию поэлементной аппроксимации. Также приводятся теоремы для функций из пространств fc^lfi) и ¿2(П). Укажем еше одну оценку, имеющую место в двумерном случае на прямоугольной равномерной сетке и которая не может быть получена из общей теории интерполяции в пространствах Соболева.

Теорема 2.2.6. Пусть для многоугольника fi триангуля-

| -, о

ция является множеством 7°. Далее, пусть иен {fi), vçy. , p.

ri l\ tl, Ji.

концентрирующий оператор, удовлетворяющий условию аппроксимации относительно скалярного произведения в l2(fi). Тогда найдется не зависящее от h, о и v число с, такое, что имеет место оценка

Далее, в п.2.3 вводится понятие (h,г)-концентрирующего оператора, удовлетворяющий условию поэлементной аппроксимации и являющегося аналогом концентрирующего оператора для функций, заданных на многообразии размерности г<т. Пусть

р(г) 'Г »г

Ь

где - оператор следа на многообразии и -

(л,г)-концентрирующий и интерполирующий операторы в пространствах следов. Далее, пусть где р и я удовлетворяют условиям

р > г/2, (ш-г)/р - не целое число, (2.2)

¡> > 2+ (/п-г )/р, з - целое число. (2.3)

Из условий (2.2),(2.3), в частности, следует, что Б>т/р, откуда, в свою очередь, следует непрерывность вложения ^(П) в с(П). Тогда функция и{х), являясь непрерывной в П, имеет не-

преравный след (а,г)-сечении т.е. </£У,. Таким обра-

(-г \ ' ' г ^

оом, билинейная форма С^ '(и,V) определена в пространстве ^(О)*^. Справедлива следующая

Теорем а 2.3.2. Пусть иеь^®(П), где р и я удовлетворяют условиям (2.2),(2.3) и, кроме того, р>2, и -(л,г)-концентрирующий оператор, удовлетворяющий условию поэлементной аппроксимации. Тогда найдется не зависящее от л, и и 1' число с, такое, что для к,1=0,1 имеет место неравенство

А 2 ¡г+ип) й (О)

1!И 8<п ВVI] ].

+ А2-к-1,

В п.2.4 рассматривается кусочно-полиномиальный базис с полиномами степени . Пусть Ос)?2 (т=2) - открытый многоугольник и Т - согласованная, регулярная, удовлетворяющая обратному предположению его триангуляция, которая, в свою очередь, порождает триангуляцию 7"®, по которой вводится пространство к® с кусочно-полиномиальным базисом {(р®(хгДе /5-номера всех вершин множества 7"®. 10 - номера вершин треугольников триангуляции 1Н и 7®=/®ч/ . Пусть О® - регулярная система сконцентрированных множеств, введенная по триангуляции в соответствии с определением 2.1.1. Далее, в соответствии с определениями 2.1.2 и 2.1.3 введем удовлетворяющий условию аппроксимации относительно скалярного произведения в (О) (М*)и1) концентри-

рупций оператор р® . Необходимость дальнейших построений вытекает из следующего негативного результата.

Лемма 2.4.2. При четном г не существует концентрирующего оператора, удовлетворяющего условгаэ аппроксимации относительно скалярного произведения в ЩО).

Приведенная лемма показывает некорректность прямого переноса построений из п. 2.1 на случай лагракжевых элементов четной степени. В связи с этим расгирим понятие концентрирующего оператора введением псевдоконцентриругацего оператора с аналогичными аппроксимирующими свойствами. Для прилоазний это будет означать, что процедура псевдокощентрации приводит к особенной диагональной матрице масс.

Пусть множество всех номеров, таких, что для некоторой положительной функции имеют место равенства

Г Х(*)ф?(х)<й? = О, 1Ы1*, (2.4)

•'О 1 0

и пусть Будем предполагать, что /^0. Введем про-

странства _

= зрап{ф®(х)){€/з , а=0,1,

ос

являющиеся подпространствами из к® и 1 • Кроме того,

рассмотрим пространство

к^ = врап^*)}^,« = ¿2(0),

где (и.- система функций, введенных в п.2.1. В рассматриваемом случае она вводится по системе сконцентрированных

множеств V?-п

ч

Определение 2.4.1. Псевдоконцентрирущим назовем линейный оператор Р? такой, что

кег р? „ = у^'0 ,

ч 1

и его сужение на подпространство является концентрирующим оператором р®

В частности, это означает, что имеют место равенства

.Определение 2.4.2. Псевдокониентрируший оператор удовлетворяет условию аппроксимации относительно билиней-

ной формы (и.у)^, если выполняются равенства

[ м*)|12(х )А? = Г М* )ф3{х)йх , ¡€1^ .

■'и. иО 1 1

»

Теперь приведем аналог теоремы 2.2.1. Пусть иен3+1(П). Тогда функция и(х) принадлежит области определения оператора П3, и в пространстве И341(П)*^ определена билинейная форма

СЦи.г) = .

Оценку билинейной формы дает

Теорема 2.4.2. Пусть и€Я3+1(П). у&г^ и р3 - псев-доконцентрирукщий оператор, удовлетворящий условию аппроксимации относительно билинейной формы Тогда найдется не зависящее от л, и, V и П число с, такое, что

г ~ -ч 1 /2

с*84"1 £ и „ Г £ М2в+1_„, ] • А Х=1 /Г(О Г-есГ, й3+1 *(еу

И наконец, как уже отмечалось, в п.2.5 строится система т-мерных барицентрических множеств, на основе которой могут быть получены многомерные аппроксимации по методу конечных объемов (Ьох-методу}.

В третьей главе изучаются некоторые аддитивные схемы расщепления в проекционной форме. Экономичность рассматриваемых схем достигается за счет использования концентрирующих операторов. В п.3.1 приводится анализ погрешности схемы покомпонентного расщепления для задачи Дирихле и третьей краевой задачи для уравнений без смешанных производных. Далее, изучается проекционно-сеточный метод переменных направлений (п.3.2). При анализе погрешности используются оценки, не являющиеся следствием общей теории интерполяции в прострнствах Соболева. Проекционная форма метода покомпонентного расщепления для двумерного уравнения со смешанной производной рассматривается в п.3.3. При этом анализ погрешности осуществляется на основе методики из п.3.1.

В пространстве л/1 {П)«я1 (О) зададим т однопараметрических семейств билинейных форм вида

>>(<;„.,) = Г. *=1....... (3.1)

где - вещественный параметр. В соответствии с равен-

ством (1.6), в котором полагается

X («,*) = О, к,1=1,...,т, к*1, (£,*)еЗг (3.2)

и используется обозначение <

Х.&< 1,37) к,1 = 1 ,... ,т, {1,х)€0г, ,13.3) имеет место следующее аддитивное представление

О о , . ,

= £ (3.4)

Ь=1

Дальнейшее рассмотрение проведем для области О, являотей-ся объединением конечного числа открытых т-параллелепипедов. Тогда можно построить регулярное разбиение области Я на "прямоугольные" ячейки, а затем каждую ячейку разбить на конечное (не зависящее от л) число от-симплексов. В результате получил регулярное множество го-симплексов 7 , и узлы этих т-симплексов образуют "прямоугольную" сетку.

Определение 3.1.1. Множество 7^ будем называть правильным, если для любого к=множество номеров I может быть упорядочено таким образом, чтобы для любого и целого я, такого, что при |з|>1 имело место равенство да. дер.

При т=2 любое "прямоугольное" разбиение является правильным. На базисе пространства ^ каждой билинейной форме (3.1) соответствует матрица Если Тл - правильное множество, то

множество 1 может быть упорядочено таким образом, что матрица л(?е)(0 является трехдиагональной.

Введем некоторые обозначения, которые будут использоваться и в других пунктах. В пространстве рассмотрим билинейную

форму

где Р - удовлетворяющий условию аппроксимации относительно

Г1, р.

скалярного произведения в концентрирующий оператор. Как

следует из определения 2.1.2, билинейная форма (З.б) равномерно по л непрерывна в 1-2 (Ш*^ (П). и г-2(П)-эллиптична, т.е. существуют не зависящие от л положительные числа <*0 и с/ , такие,

что V и,уСУ^ имеют место неравенства

I Чк(и.у)\ О)' (С-1'

6к[и.и) * (П). (С.2)

о"

Далее, через / обозначим номера узлов множества Т , лежащих в

о о

П, и у.^у^Пн1 (П). Для правильного множества сформулируем проекционно-сеточную схему покомпонентного расщепления решения задачи Дирихле. Пусть « - натуральное число, и 1п= =10+п1, п=1,...,*. Требуется найти двухпараметрическую последовательность функций {иТ1+к/п1 л=о,...,/У-1, к -1...../п), такую,

что иТ1+2г/"1егЛ и V выполняются равенства

h. (_ % ' J n-h 1 ' '

Vo ' (3-8)

где /■n'fe=0, Jt^m-1, /'"•'"Wit ). Кроме того, в (3.8) предлола-~ о

гается, что uQ0Sp{Q)ÏÏH'(Q), p>m/2. Это, в частности, обеспечивает вложение УрШ) в с(П) и, как следствие, существование функции II^Uq.

Пусть иU ) -решение задачи (1.2),(1.3). Будем предполагать выполненными условия:

XtJec([t0.ti(];c3(n)), uec([t0.t<i]:H(iî)).

Справедлива следующая

Теорема 3.1.1. Пусть для задачи Дирихле (1.2), (1.3) выполняются условия (3.2),(3.3) и (3.9). Тогда для решения задачи (3.7),(3.8) при х<1 имеет место оценка

шах J ип-о(«)|. < с(н.г,+мхг/А). (3.10)

1<niif п L2Kl)

где число с не зависит or h, т и функции и(t), числа »h и

заданы равенствами

-к =Мс, + И

«О'1.*

о

н = |„|. + \§\ + |г!|| . (3.11)

а нор:®. 3 | 5 и 1 11 (4 { ^ определены формулами

М?,,=М2 ч +Л2И2 , . (3.12)

(,) с([10,1в]!Я3(0)) с([1о.£,3;И(0))

N1?, , ч = +Ь2|2||2 . (3.13)

Замечание 1. С целью получения экономичного алгоритма рассмотрение проводилось для области О, являвдейся объединением конечного числа открытых т-параллелепипедов. Однако, экономичность является следствием использования правильного множества я-симплексов. Таким образом, задача Дирихле монет рассматриваться в более широком классе областей, а клеено, - в областях, являюцихся объединением некоторого набора /»-симплексов из правильного множества.

Центральным моментом получения оценки (3.10) является представление погрешности в виде

^к/т = вп+к/т-П^(«ти.1)+ хгп+к/п, *=1.....л, (3.14)

где г\п+к/т£Ук. При этом последовательность функций гп*к/т{х)

. / О

такова, что *=1,... ,л-1, и гп{х)&гп+1 (*)»0. Для'за-

дания функций гг'+к/п используются дополнительные построения. В области Г! вводится вспомогательное регулярное множество /»-симплексов Т . где р=р(л,т). По множеству Тр введены'пространство

v с кусочно-линейным базисом {фр(х)}1£1 и функция "срезки" р р

г>(х) = Тр <(*),

о

где /^-номера внутренних (принадлежащих О) узлов разбиения 7 . Функции гп^/т{х) задаются по формуле

к=1.....-1'

Я [" Я \ О

где г1(<)= - ззН^дЗ?-) (* )• Как заметить, при

. . о о

хеГ и, следовательно, г11 Использование функции р(х)

приводит к появлению в погрешности величины

а(р,л,х) = (тр0)1/2(р/р0+ро/р)1''2,

где р0=(л2+111/г, и как функшя аргумента р минимальное значение она принимает при Р=Р0- Такой подход и обуславливает наличие показателя 3/4 у 1 в опенке (3.10).

Для построения алгоритма расщепления для третьей краевой задачи привлекается (Л,/п—1)-концентрирующий оператор из п.2.3. Пусть п и хк - орты внешней нормали к границе Г и к-й координатной оси. При этом 7Г=л(х) -функция, определенная почти всюду на Г за исключением многообразий размерности меньше га-1. Множество точек из Г, в которых функция л(х) определена, будем обозначать через Г . Пусть

Г(!г)= { х€Г0 | С082 (п(х) ,хк) = 1 }. (3.15)

Так как О является объединением конечного числа т-параллелепи-г.едов, то, как нетрудно заметить, имеют место равенства

™ г<*)= р. Г(г°ПГ(1)=0, к*1. (3.16)

Я=1 г

В пространстве (Г)»1г(Г) зададим т билинейных форм вида

'(ф.(^) = [г(ге)а(х)ффда, ¿=1, . . . ,т.

Из (3.15),(3.16) следует аддитивное представление

Ыср.ф) = 2 т(Х)(ф.ф), ¡8=1

где ' билинейная форма т(ф,ф) задана формулой (1.6). Далее, ПУСТЬ У.ке/^ и

где удовлетворяющий условию поэлементной аппроксимации

относительно билинейной формы ™(3г)(ф,ф) (л,т-1)-концентрирующий оператор (см. определения 2.3.3, 2.3.4). И наконец, пусть

а^Нцу,*) = з(й)(г;г,«') + ь™ (*.»). (3.17)

Отметим, что в отличие от (3.1) билинейная форма (3.17) определена только в пространстве На базисе пространства билинейной форме соответствует диагональная матрица, и следовательно, для правильного множества Г, существует нуме-

рация I, для которой билинейной форме соответству-

К

ет трехдиагональная матрица.

Сформулируем проекционно-сеточную схему решения третьей

краевой задачи. Требуется найти двухпараметрическую последовательность функций 1ип+к/т, п=0,...,лм, *=1.....т), такую, что

ип+к/т&к и ¥ Vn+■h/m€vh выполняются равенства

({.п,кгуп+к/«1и (3.1В)

</° = п, (3.19)

л О '

где гп'к=0, к&п-!, /п'т=/(«л+1). При этом предполагается, что р>т/2.

В отличие от задачи Дирихле при анализе погрешности метода

о _

(3.18),(3.19) нет необходимости в использовании функции у(х), обращающейся в ноль на Г. Имеет место

Теорема 3.1.2. Пусть для задачи (1.4),(1.5) выполняются условия (3.2),(3.3) и (3.1.9). Тогда для решения задачи (3.18), (3.19) при имеет место оценка

пих |«"-»и_>|, (О) < ъ+й а),

где число с не зависит от л, т и функции о(0. числа нн и н заданы формулами (3.11).

Замечание 2. В отличие от задачи Дирихле полученный результат не распространяется на области, являющиеся объе-_ динением произвольного набора т-симплексов из правильного множества (см. замечание 1).

В п.3.2 для двумерной задачи Дирихле с коэффициентами, не зависящими от времени, на прямоугольной равномерной сетке 7° рассмотрен метод переменных направлений: требуется найти последовательность функций {ип+}г/2. п-0,.. .N—1, к=1,2}, такую,

что ип*к/2цу. и V уп+к/г&. имеет место п Г1

„п+1 /2_„ТХ _ о.

+ !(2)(</п+1,уп+1) = ип,уп+1), (3.20)

19 1

где п=0,...,Я-1, /п= (/(£г1)4/(£г1+1)}/2 ,

- П/1и0 . (3.21)

Пусть ирешение задачи (1.2),(1.3). Для него и для исходных данных задачи выполняются условия

и0€й2(а)Г1Д1(а), А,ь€С3(П), 1/£С([«0,£4];Сй{П)),

):Я3(Ш), „(О,). (3.22)

Справедлива следующая

Теорема 3.2.1. Пусть для задачи Дирихле (1.2), (1.3) выполняются условия (3.2), (3.3) и (3.22). Тогда для решения задачи (3.20),(3.21) при и равномерной триангуляции имеет место оценка

тах 1<Л-и(« 1Ц. (Ш < с(н л2 + н %2), где число с не зависит от л, а и функции и(4), числа м, и «

п. X

заданы формулами - «-1

Ч3„

и. = N1 . + 14? - +

В п.3.3 рассмотрен метод расщепления для двумерной задачи Дирихле со смешанной производной. При этом Ос/?2 - область, являющаяся объединением конечного числа прямоугольников. Введем-следупдие обозначения:

П+={*е0|Х.12(<,х)>0}, П"={хеП|Х.12(4 ,х)<0>, 5={хеП|Х. («,*)=0}.

Как и в предыдущем пункте, предполагается, что существует триангуляция порождающая прямоугольную равномерную сетку с шагами и Ь2, соответствующими переменным х1 и х2- Относительно коэффициента Х12(г,х) делаются следующие предположения:

- множества О- и 5=П+ЛП~ не зависят от <; (3.23)

- 5 - многосвязное множество, каждая компонента связности

которого является прямей параллельной одной из координатных осей; (3.24)

- существуют триангуляции Г* и Г", такие,, что 7^1)7"и

П+= и ,е, ГГ= и е. (3.25)

Далее, введем дифференциальный оператор о _ по формуле

(3.25)

где а (х) и (3(*) кусочно-непрерывные в П и непрерывные в П+ и П" функции, такие, что |э(3?)|£а0>0, ) |>Ро>0, числа aQ и pQ не зависят от й=яатс(/!1 ./¡г). Расширим введенное в соответствии с определением 3.1.1 понятно правильного множества.

Определение 3.3.1. Триангуляцию Г® будем наэи-вать диагонально правильной, если множество номеров / может быть упорядочено таким образом, чтобы для любого lai и целого s, такого, что ;"+.■?€/, при ¡»¡>1 имел о место равенство

(»«.pV^aJJ^O. «О. ■

Здесь удобнее использовать дзухкндексную нумерацию узлов сетки, т.е. I будем рассматривать как множество векторных номеров (i,j) и х, .= (*,.,*,.) - узлы триангуляции 7?. Кроме то, j 1 - j ii

го, будем использовать следующие обозначения, учитывающие способ разбиения прямоугольной ячейки . ; ячейка с номерами вершин (i,j), (i + 1 ,./), (/-И, у-И ). (J ./И) разбита либо на два ' треугольника отрезком с номерами концов (i, j) и (i+1,/+1) и обозначается si' ., либо - с номеркш концов (i + 1 .у), (i.j+1) и обозначается st Пусть iQ -подмножество всех (i,J)ei, таких, что (i + 1 ,j), (i,./+'1), (i + 1 ,/И )€/, и -подонокества из 7Q,

для которых st j и s. ^ соответственно. При этом

. Пусть'выполнены условия'

П+ = U s . П" = U s .

+ l'J (t ,J)€/~ t,J

Эти равенства определяют множества номеров и и, тем са-

л О О

мым, однозначно задают триангуляцию области П. В дальнейшем будем обозначать o-h^/h . Имеет место

Лемма 3.3.1. Если а(* )/p-(x)=(signX (< ,х) )а (sign -правильной.

В пространстве //1 (0)*я1 (П) рассмотрим три однопараметри-* ческих семейства билинейных форм вида

где функции X, (*,х), Аг=1,2,3 задаются равенствами

\ а,х)=Хи(1 .х)-о\\12а,х)\, \г(1,х)=Хг2{1,х)-а~^ |Х12(«,х)|,

\3(г,х) = о(а(х))"2|Л,12(4,х)|.

Тогда, если выполнено условие леммы 3.3.1, то имеет место аддитивное представление

Ь=1

Для неотрицательности в я1 (О)*//1 (П) билинейных форм, составляющих правую часть (3.27) достаточно выполнения неравенств

Таким образом, аналогично п. 3.1, представление (3.27) может быть положено в основу аддитивной схемы покомпонентного расщепления. При этом благодаря диагональной правильности триангуляции на каждом из трех шагов схемы решается трехточечная задача. Сходимость устанавливается по схеме, предложенной в п.3.1.

Четвертая глава посвящена методам декомпозиции области на налегающие подобласти, основанные на аддитивных представлениях билинейной форш задачи. При этом используемые системы подобластей удовлетворяют некоторым условиям (р-регулярности). Для таких систем в п.4.1 доказывается ряд утверждений, составляющих математический апарат для построения и анализа алгоритмов в пп. 4.2-4.4. В п.4.2 предлагается и исследуется метод, основанный на разбиении единицы. Исходным моментом для построения этого метода является факт существования для р-регулярной системы подобластей гладкого разбиения единицы (теорема 4.2.1). В п. 4.3 рассматривается обобщение предложенного П.Н.Вабищеви-чем алгоритма на случай произвольного числа подобластей, а в п. 4.4 аналогичный подход применяется для построения метода,

(3.27)

,х)|, Х22(«,х)^<Г1|\12(*.х)|. (3.28)

когда в одной из подобластей используется явная схема.

Пусть _ система открытых подмножеств из О. Будем

использовать обозначения

1

d. = U О . g. , = Q -ч d. ,. я, 1 , п й, 1 fe.I

Определение 4.1.1. Система множеств яв-

ляется р-регулярным покрытием области Q (или просто р-регуляр-ной системой), если выполняются условия

г

U А. = Q, min dist(ff ,g, )»р>0 ,

Ь=1,...,г-1 ' 1 ,г

где

distfO' ,0" ) = Inf )x-yl , ■НеП'уеП'' т

| | -евклидова норма в

Определение 4.1.2. Если р-регулярное покрытие области 0 таково, что для любого к существует регулярное (в соответствии с п. 1,3) разбиение Th kc-Tk, для которого

nfe=Ue€j е, то будем называть его (р,л)-регулярным покрытием h, к

области Q (или просто (р,Л)-регулярной системой).

Для построения алгоритмов декомпозиции области рассмотрим (р,Л)-регулярную систему При этом, как и раньше,

предполагается, что Q - m-мерный многогранник. Будем использовать аналогичные приведенным выше обозначения D(fe,i) = и n(n)> ö(fe,D= o4ß(fe-I)> n=fe

Для построения и анализа методов декомпозиции используется ряд множеств. Положим

и

п(г,Ь)=п(1-1,й)чЭ|(1,ге)1 ____,5-1 , (4.1)

Выяснению свойств этих множеств посвящен п.4.1.

Пусть Тн - соответствующее многограннику П регулярное множество /п-симплексов и Д^^ - (р,Л (-регулярное покрытие О, т.е.

s

S .

в обозначениях п. 4.1 ' . Для формулировки рассма-

триваемого в п.4.2 метода декомпозиции области будет использоваться разбиение единицы - система функций {со(5г) (х)}®__,, для которой выполняются условия

О С 1, х€Я, ОПаирр(со(!г))с^(гг),'

с С0сгг), е сг(П). (4.2)

Ответ на вопрос о существовании такой системы дает

Теорем а- 4.2.1. Для (р,л)-регулярного покрытия А существует гладкое (!=<*>) разбиение единицы.

В пространстве я1(П)*я1(П) зададим э однопараметркческих семейств билинейных форм вида

о

а — С t я/, v ) = ito(te)(x) £ gj dx , (4.3)

Q i'J = 1 1 J

где t€[i0.i,], k=1,..,,s. Согласно условиям (4.2) билинейные

форм (4.3) неотрицательны и имеет место аналогичное (3.4) аддитивное представление

l(t;u,v) = | a(fe)(t!i/,v). (4.4)

15 = 1

Представлние (4.4) является основой расщепления при конструировании алгоритма декомпозиции области. При этом формально метод декомпозиции задается равенствами (З.?),(3.8) с заменой и на s. Оценку погрешности дает следующая

Теорема 4.2.2. Пусть для задачи (1.4),(1.5) с краевыми условиями Неймана выполняются условия (3.9). Далее, пусть задано (р.л)-регулярное покрытие области С! и подчиненное ему разбиение единицы класса с3(П). Тогда найдутся не зависящие от параметоров л, г, р и функции и положительные числа с я V, такие, что для решения сеточной задачи при /кгф/2 и имеет место оценка

max flu^-oCt )|, mi с(м,л+и t),

* l2[U) h

где

"" -""«с, ...............'ISI^.y

нормы I I и || Ц , 4 , ч заданы формула;.® (3.12) и (3.13) со-

\ > ( о' « ответственно.

Замечание 3. Здесь и далее, если не оговорено обратного, рассматривается задача Неймана. Сделано это только ради простоты обозначений. Для исследования задачи Дирихле следует применить методику из п.3.1, основанную на исполъзова-

о

нии функции срезки у(х). При этом по 1 может быть получена оценка о(т3/4). Для третьей краевой задачи кроме (4.4) следует воспользоваться следующим аддитивным представлением билинейной формы га(ср,ф):

л>(ф,ф) = Г тш()е) (х)а(х)ох|да, *=1.....з.

■'Г

3 а м е ч а н и е 4. Главным недостатком рассмотренного алгоритма является необходимость в явном построении разбиения единицы. Указанного недостатка лишена методика, излагаемая в п.4.3. Тот факт, что коэффициенты задачи становятся зависящими от переменной х, даже если в исходной постановке они таковыми не являлись, и поэтому невозможно применение эффективных алгоритмов прямого решения систем линейных алгебраических уравнений, когда область П состоит из налегающих прямоугольников (параллелепипедов), недостатком не является. В этом случае данный алгоритм следует применять в комбинации с методами расщепления, и теоретической базой для таких комбинированных методов являются оценки, полученные в третьей главе.

По множествам (4.1) зададим билинейные формы, используемые при формулировке метода с пересчетом:

а(к) (ци,у)=а С)(к)(аи,г), ¿¿1,к) (г; и, V )=а в (I, й ) (г ; И . V ) •

Используя обозначения из п.3.1, сформулируем разностную задачу Неймана. Требуется найти два двухпараметрических семейства функций {и"+к'а. л=0,..., N-1, *=1....,5г>, таких,

ЧТО „'"-Ь/з и у уп+Ь/в~п+к/ау шеет место

П. п

<, Г Ц,г+1/5-ЦП +а(1 )и .„п.+ 1/з,„п+1/Я1=Г-

Т J Гс-И

у

1)и ^ •,ип*^в.уп*л/в)=0. (4.6)

1 = 1 0

1 ' j 1 п+1 '

где /г=2.....я, Гп,к=0, к^г-1, /■"■'5=Г(( „},

п+1

= . (4-8)

При этом предполагается, что и^У^й), р22, р>т/2. Данная схема требует обращения матриц только в подобластях (шаги (4.5) и (4.7), а саг (4.6) реализуется яено. С наличием шага (4.6) и связано название "метод с пересчетом".

Как и в п.3.1, центральным моментом анализа сходимости метода с пересчетом.является оценка функций в представлении (3.14). В рассматриваемом случае

/г+к/з = + П. Г[»(4 ')] +г{1 Л,

п (_ п т Л.+1 _)

где г(«) = - £ (£ )• а Функции являются ре-

шениями следующих сеточных задач: V

£ (4.9)

л к=1 п=1+1 0 П+1

где

ас мм

ди/дпг -конормальная производная по внешней нормали к да^1'

% - характеристическая функция множества Искомую

с

оценку функций гп+к^г дает анализ поведения в подобластях сеточных функций Грина операторов, соответствующих левым частям уравнений (4.9). Имеет место

Лемма 4.3.4. Для (р,л)-регулярной системы существуют не зависящие от параметров Л, 1, р и функции и (О положительные числа V и с, такие, что, если для положительного е выполняются условия

о г -)2

2л ^ « - , (4.10)

^ 21п(2/е)->

где X некоторое не зависящее от ь, а и р число, то справедливо

неравенство

й1(0(5'1))

5 сел_3/2 зе2 (1-1'

2

3 ? ^11/2

И?.,)

где зе2=4т;А,/л2.

Для получения итоговой оценки погрешности метода декомпозиции области с пересчетом следует положить е=2л2гз_1/2. При этом условия (4.10) примут вид

Левое из неравенств (4.11) не является обременительным, так как его невыполнение означает возможность применения явной схемы. Правое из неравенств (4.11) является условием устойчивости. несравненно более слабым, чем условие устойчивости явной схемы. Здесь роль величины порядка л2 (в условии устойчивости явной схемы) играет величина порядка (р/1пл)2. Итогом п.4.3 является следующая

Теорема 4.3.1.'Пусть для задачи (1.4),(1.5) с краевыми условиями Неймана выполняются условия (3.9) и пусть задано (р,М-регулярное покрытие области 0. Тогда найдется не зависящее от параметоров л, т и р положительное число V, такое, что если выполняются условия л^ур/2, и (4.11), то для решения задачи (4.5)-(4.3) имеет место оценка

где число с не зависит от Л, т, р и функции и, числа М. и М

п. т

заданы формулами (3.11).

При разбиении области на две подобласти, когда одна из них допускает применение экономичного алгоритма реализации неявной схемы (например, параллелепипед), а другая подобласть содержит сравнительно небольшое количество узлов, имеет смысл использовать в этой подобласти явную схему с мелким шагом по времени. Реализация данной идеи•составляет содержание п.4.4. При' этом основой алгоритма является метод, рассмотренный в п.4.3. Пусть для многогранника Ое/?"1 задано (р,Л )-регулярное покрытие, состоящее из двух подобластей 0(1 ' и П(2) (я=2). В этом случае

(4.11)

шах «<,"-,(гп)(П) < с(м^м^).

р-регулярность означает, что

^Q^^Q, dist(fKflt1 )>p>0. (4.12)

В дальнейшем будут использоваться множество fl=Qt1)flQ(2) и билинейные формы

а1- ' (t ¡u,v)=an(fc) (i ;u,v), b( t; и , v )=a£( t ;u, v ).

Сформулируем разностную задачу, основанную на методе с пересчетом. Пусть А? и s - некоторые натуральные числа, t0=i/s, x=(t^-tQ)/N. Требуется найти последовательность функций

{ur-+*/2s,-k=1....... ип+1, п=0.....Л'-1>,

такую, что ап+к^а.ип+1.иа+'1€У1. и V yn^Zs,k=0.....

имеют место равенства

п+ (fc-H )/2s_ п+к/2s

V

h

(и ' -и ' n+a/zs]

I J

+ a(1)(in:u,l+fe/2s,vrl+fe/2s)=0, к=О.....S-1, (4.13)

U0 J fe=0 n

(4.14)

-). (4.15)

и0 = ПЛ. (4.16)

В рассматриваемом случае роль леммы 4.3.4 играет следующая Л е м м а 4.4.1. При я^р/л+1 справедливы равенства

к= 1.....®-1,

где а^1 ;и,г)=а(1 Цг-.и,у)-ь{ци,у).

Далее, для устойчивости метода (4.13)—(4.16) достаточно выполнения неравенства

/ди;г) ^ } ^(У.У), (4.17)

где («V,V-)-т0ас 1 '-(4;у.у). В свою очередь, неравенство (4.17) имеет место при выполнении условий

л^р, т<р0&, ®=[Х0т;/л2]+1, (4.-18)

где параметры X, и р0 задаются равенствами

Х0=Х+р2/4, р0=рл0,

[ ] обозначает целую часть числа, X, -некоторое не зависящее от й, % и р положительное число.

Оценку погрешности-предложенного метода дает следующая

Теорема 4.4.1. Пусть для задачи (1.4), (1.5) с'краевыми условия.™ Неймана выполняются условия (3.9). Далее, пусть подобласти П(1 ' и образуют (р,Л)-регулярное покры-

тие области П. Тогда, если выполняются условия (4.18), то для решения задачи (4.13)-(4.16) имеет место оценка

тах |||п-»(< )|| (П) ^ сЩ м Ц,

где число с не зависит от Л, т, р и функции и, числа мн и М^ заданы формулами (3.11).

Приведем число арифметических действий, затрчиваемых при использовании рассмотренного алгоритма. Пусть к1-1"*, 1=1,2-чи-сло узлов сетки на множестве причем ' «к1-2'. Если

число арифметических действий, затрачиваемых для реализации неявного шага (4.15) пропорционально /С(2', то общее число арифметических действий есть величина )). При

этом *(2)=с(2)л-т, и пусть АГ(1)=с(1)л-т+а, ае[0,1]. Тогда р=ла и по условию леммы 4.4.1 я=о(ла_1), а по второму из условий (4.18) лг=о((Г1_сх}. В результате получим

Из приведенной формулы видно, что затраты на реализацию явных и неявных шагов имеют один порядок при а=1/2.

В пятой главе изучаются методы декомпозиции области на непересекающиеся подобласти. В отличие от четвертой главы в этом случае совершенно очевидным является способ аддитивного представления билинейной формы'задачи. Изучение методов данной главы предворяется описанием численного эксперимента для модельных задач, при помощи которого формулируются гипотезы о поведении погрешности для двух алгоритмов (п.5.1). Первый из них, предложенный М.Дрыей, аналогичен схеме покомпонентного расщепления, состоящей'из двух полушагов и с реализацией каждого шага по схеме Кранка-Николсона. Для данного алгоритма в п.5.2 устанавливается точная по порядку сходимости (в смысле эксперимента из п.5.1) оценка ошибки. В п.5.3 рассматривается

алгоритм декомпозиции области, аналогичный методу переменных направлений. При этом специально выделяется задача Неймана с неположительно определенной билинейной формой, поскольку методика исследования погрешности для задачи Дирихле использует явное обращение матрицы жесткости. Алгоритмы из пп.5.2,5.3 иеют довольно жесткие ограничения на класс разбиений области, связанные с двухшаговой структурой методов. Указанного недостатка лишен рассмотренный в п.5.4 метод типа покомпонентного расщепления, применяемый для задач с разрывными решениями. На базе этого алгоритма в п.5.5 предлагается и исследуется метод штрафа.

Пусть в я"1 задана система многогранников , такая,

что

и а(&) = о , а(й) п а(г) = ¡з , к*1. (5.1)

и для произвольного к существует подмножество являю-

щееся регулярным семейством га-симмплексов для множества 0(3г). В дальнейшем будем обозначать

з (?г)(«;и,у) = а ,.Л<;м,г).

Условия (5.1) дают следующее аддитивное представление билиней-

о

ной формы а(г; и,V):

аЦ;и.у) = £ а(к) (t;ufv). (5.2)

к=1

Замечание 5. Допускается рассмотрение многосвязных

подобластей 0(!г), таких, что расстояние между компонентами связности положительно и не зависит от ь.

Используя введенные билинейные формы aí•kHtlu ,у), сформулируем разностную задачу Дирихле на основе схемы покомпонентного расщепления с весом 1/2 для случая двух подобластей, т.е.

При этом будем использовать обозначения из п.'3.1. Требуется найти последовательность функций {ип*к/2, п=0,...,ЛМ,

*=1,2), такую, что ип+к/2^У(1 и V уГ1+к/2£Уь^ имеют место равенства

+ ¿а= 0.

+ ^а(2)(1п;итг+1+ип+1/'2,уп+1 ) = 30

= (Ш ),ул+1 ), (5.3)

П

и0=Пл. (5.4)

Пусть и(/) - решение задачи (1.2),(1.3). Будем предполагать выполненными условия

X ес1(5;1))Пс(о^2)),

I.;

Л

«€Н1((1.Л. );1/2(П)), ' (5.5)

и * р I

где Справедлива следующая

Теорема 5.2.1. Пусть для задачи (1.2),(1.3) выполняются условия (5.5). Тогда для решения задачи (5.3),(5.4) при имеет место оценка

шах |«п-и(( )|| (П) < с(о + и + м р).

где р=Л~1/21 и с -число, не зависящее от л,т,р и функции и(О, величины М, и н^ задаются равенствами

М -Ы +1*!»!

Замечаниеб. В отличие от предыдущих пунктов здесь не использовалась вспомогательная функция гп+1/2. Это позволило существенно снизить апприорные требования на гладкость решения дифференциальной задачи (ср. (5.5) с (3.9)).

Метод декомпозиции области типа переменных направлений для решения задачи Дирихле с независящими от г коэффициентами сформулируем в виде следующей разностной задачи. Требуется найти последовательность функций {ип+к/2, п=0,... ,N-'1, ¿=1,2),

такую, что ип+к^2(Уи и V имеют место равенства

к ^ к

<1

Ч/Г.УП+и2] + а<1)(„п+1/2,^+1/2) +

+ а(2){ип,УП+'/2) = (Гп.уп+Л/2), (5.6)

+ а1г)(ип+\уп+'1) = (Г\уп4-1 ), (5.7)

31

где Гга=(Г(£ )+/•(( . )) /2 , л=0, . . . ,//-1 ,

п п+1

= (5'8)

Пусть и(г) -решение задачи (1.2),(1.3) при га<3 и выполнены условия

);й2(а(2))), ¿^«.-(о,). (5.9)

¿«^ ¿о * сц1 г 1

Анализ погрешности метода типа переменных направлений проведен для уравнений, переписанных в векторно-матричной фор-

о

ме. Пусть для некоторым образом упорядоченного множества ; введено евклидово пространство векторов с, а и - квадрат-

о ...

ные матрицы с элементами а(<р ,ф )/р.р к а^к;(ф.,ф.)/р.р ,

I ^ ь 3 I з ь 3

к—1,2 соответственно, где ). Центральным моментом

при анализе погрешности метода типа переменных направлений является оценка нормы решения следуыцей сеточной задачи

¡Рп - ф71 + £л(2)(фп+фп) =

_ ф" * ^ )(ф«+1+фГ1)= - 1%п, где ¡5П=(2£+ха(2))л-1л(1 £ - единичная матрица, 7" - вектор

с компонентами р71 Г [ц(< )] ф,сга. Указанная оценка сводит-оп2 п'

ся к оценке норм и 1 ?п,2|| в подпро-

странстве векторов с компонентами отличными от нуля только для узлов, принадлежащих многообразию Обозначим это подпро-

странство через £(0). Соответствующие -оценки устанавливает

Лемма 5.3.1. Пусть Тогда найдутся не зависящие

от й и й положительные числа г^ и г2, такие, что имеют место

оценки

|л-1л(1)171 « ■у1й_1/21ТГ|, |А(2)Л"1ЛС1 >й| $ туГ1 И.

Отметим, что для произвольного вектора из пространства £ эти оценки не верны. Доказательство леммы 5.3.1 существенным образом опирается на известные результаты об эквивалентных нормировках в пространстве следов сеточных функций. На основе

приведенных оценок может быть установлен итоговый результат о погрешности метода декомпозиции области типа переменных направлений.

Теорема 5.3.1. Пусть для задачи (1.2),(1.3) выполняются условия (5.9). Тогда для решения задачи (5.6)-(5.8) при

имеет место оценка

шах ik'n-£,(í )|| (01 ^ с (и л+м ■r2+w.p(1+p)1/2),

где p=a2/h и число с но зависит от л, г, р и функции u{t), числа н^ и заданы формулами

W — [I и I Н — | ^^ |

h /í1((í0,ít);f/2(Q))' * " lldt3lL2(et)'

Но = 1 ? + „ •

м И ((í Í ^) ;я (Q)) !lCft2i|L2((t0,í<);H2(nC2)))

Аналогичный результат может быть получен и для вырожденной задачи Неймана. При этом вместо оценок, даваемых леммой 5.3.1, используются аналогичные оценки для векторных норм |¡.4+a(1^17¡ и ¡л(2)а+л(1'иц, вывод которых основан на использовании обращения теоремы о следах сеточных функций.

Алгоритмы, рассмотренные в пп.5.2 и 5.3, сконструированы только из двух полушагов (s=2). Даже с учетом декомпозиции области на многосвязные подобласти это делает невозможным использования разбиений с самопересекающимися разрезами. Онако, существует класс задач, для которого можно построить алгоритм указанного типа с произвольным конечным числом дробных шагов и с чисто неявной реализацией каждого шага. Речь идет о задачах с "неидеальным контактом", обладающих разрывными решениями.

Пусть - система открытых многогранников в я"1,

R— 1

.п=2,3, удовлетворяющая условиям (5.1). В дальнейшем будем обозначать Г(А)=ЗП(Й) -граница подобласти Q(fe), Г(й'1 >=П(&)Па( 1 >, 0(fe)= =(t Q(fe) - подобласти области ot с боковыми повер-

хностями I^fe)=(to,г)=и0,^]*Г(г®'1). Далее, для каждого *=1,...,s введем следующие множества индексов

JZ = íl I meas (Г(М,1))>0},

R 1 771—1

jZ = {i I *<Ks, meas , (Г(!е'1 ))>0),

R. 1 Т71-1

I 1/2

где шеазт_1 (Г1Й'г))- с/ст-мера множества Г(гг,1) на многообразии размерности от-1, / =.7*1^. Пусть Н1 (й)=Н1 (0( 1))»... *яг Ш(£! 5) -пространство вектор-функций. Для нормы в нг(0) имеет место представление

'"¡■гаГ Ч'Ч-ш™,)'

Здесь и далее ик - к-ая компонента вектор-функции и. Аналогичным образом вводятся пространства

Кроме того, введем векторные аналоги пространств, рассмотренных в п. 1.2: С=1_2((40,£<1);Н1(а)). С'=Ь2 ((*0> г , );Я~1 (£2)). Как и

в п. 1.2, Ь-д{с1/(И ;С' ) -пространство, являвшееся областью определения инфинитезимального производящего оператора а/<и непрерывной сжимающей полугруппы и наделенное нормой

Ми = [\и\% + \йи/*1\% 11/2.

^ 1 А .

В пространстве /г (ПЬ/г (О) зададим семейство билинейных форм

а[Ци,у) = Е а(к) (5.10)

Ь=1 й А

для которого в пространстве имеют место неравенства не-

прерывности и коэрцитивности, аналогичные (А.2),(А.З). Далее,

А , А .

в пространстве /г (0)«я (О) могут быть введены билинейные формы р!к,I)

где 7<гг'1' - опратор следа функции, заданной в

В дальнейшем операторы следов в интегралах будем опускать. Пусть

Ь(и,у) = £ £ Ь(кЛНи,у). (5.11)

Пусть

*=1 шк

= а1*^:«/.,»'. ) +2 Ь(3г'1) (« , V ),

1€7„

а((;и,к) = а(<;и,у) + Ь(и,у).

При этом, согласно аддитивным представлениям (5.10) и (5.11), имеет место

а(1,ч#,к) = £ ■ (5.12)

¡е=1

Далее, аналогично п.1.2, введем семейство непрерывных по параметру 4 и равномерно по 1 непрерывных в 1,2 (0) линейных

функционалов (/(О,у), где (,)-скалярное произведение в ^ (О).

^ 2 При этом фЬ£.2Ш). Наряду со скалярным произведением

(,) в дальнейшем через будет обозначаться ска-

лярное произведение в пространстве ¿2(П(гг').

Сформулируем обобщенную параболическую задачу Неймана. При иоел2(0) и требуется найти функцию и€£ПО такую, что V

ея1(0) при почти всех г^Ц выполняются равенства

),у) = (Г(< ),и), (5.13)

«(«0)=и0. (5.14)

Аддитивное представление (5.12) является основой метода декомпозиции области типа покомпонентного расщепления. В областях введем регулярные семейства т-симплексов При

этом множество Т^^У вообще говоря, не является согласо-

ванным, т.е. в этом Си следующем) пункте рассматриваются составные сетки. По множествам введем пространства кусочно-

линейных функций и пусть у^у^1 К.. .хУ^3 К Далее, введем

рР5 удовлетворяющие

условию аппроксимации относительно ( , ) и в Рас_

смотрим билинейные формы

^>(..0= .......

Тогда в пространстве V определена билинейная форма

а {и,у) = £ ).

Сформулируем разностную задачу, основанную на схеме покомпонентного расщепления. Требуется найти последовательность вектор-функций {ип+ь/з, л=0,... ,лг-1, *=1, •.. такую, что 0п+й/з€р и у шеют иесто равенства

п+1 ' *

. (5-1б) Смысл обозначения П^ очевиден. При этом предполагается, что и0€Нг(0) и согласно непрерывности вложения я2(О) в с(Ш суще-

ствует правая часть равенства (5.16).

Пусть u(t) - решение задачи (5.13),(5.14). Будем предполагать выполненными условия

Х.^сЦ^.^Ьс^П)),

ua¡U[t..t )-,нг{й)), {©,). (5.17)

о « dt¿ ¿ г

Сходимость рассмотренного метода устанавливает

Теорема 5.4.1. Пусть для задачи (5.13),(5.14) выполняются условия (5.17) и используется метод (5.15),(5.16) при . Тогда имеет место оценка

шах iun-a{t )!L ^ с{м h+M %+M.a^(h3/2+x)),

. S ^гт П I ГП \ h t п о

1 Z.^ ( " )

где число с не зависит от h, т, a =max{otfcl, A-=1,...,s, líJ^i и вектор-функции u(t). Величины Hh и Ht задаются равенствам!

Замечание7. Наличие третьего слагаемого в' оценке и факт независимости с от aQ обусловленны содержанием п.5.5. Здесь лишь подчеркнем, что получена оценка порядка o{h+x).

Отметим, что устойчивость метода (5.15).(5.16) исследована в норме

И*., = ¿л, Г

1/2

'к Г1

Таким образом, метод декомпозиции области типа покомпонентного расщепления для задач с "неидеальным контактом" имеет существенно лучшие характеристики, чем при его использовании для задач с непрерывными решениями. Если в первом случае метод обладает безусловной сходимостью порядка о(л+х) для произвольного числа подобластей, то во втором случае метод имеет по-1 /?

грешность о(ы-а/л ), и только при разбиении на две подобласти (многосвязные) с использованием схемы Кранка-Николсона на каждом полушаге (см. п.5.2). Кроме того, напомним, что рассмотренный здесь алгоритм реализуется на несогласованных сетках.

В п.5.5 метод для решения задачи с разрывным решением применяется для аппроксимации задач с непрерывными решениями. При этом будем полагать аы=1/р, ¿=1и р=р(/1.т)>0. С

этой точки зрения билинейная форма ь(и,у), заданная равенством (5.11), играет роль штрафного функционала, а такой метод аппроксимации мы называем методом штрафа. Решения задач (5.13), (5.14) и (5.151,(5.16) обозначим' через ири) и чп соответственно. Тогда оценка теоремы 5.4.1 принимает вид

¡|ип-ир(1 )|Л с'[нЧь+нН+и*р-1 (л3/2+г)), (5.18)

п ¿„(П) н х л

где л=1,... ,н и

"н = !!"Р1 ! > < =

* Я1((г0,г<);й2(а)) х »¿г2 Ц,(04)

В пространстве я1(Г2) выделим подпространство

К = I ["](гг,1)=о- *=1.......

Рассмотрим задачу: при и ££. (Ш и геС' требуется найти вектор-

функнию ие^2((«0лф );н1)(\Т>, такую, что V кея^ при почти всех ге((0,г4) выполняются равенства

)л-)=(/(г ).у), (5.19)

"(<0)="0. (5.20)

Как нетрудно заметить, эта задача эквивалентна (в очевидном смысле) задаче (1.4),(1.5). Оценку расстояния между функциями и{г) и ир(г) дает следующая

Теорема 5.5.1. Пусть для задачи (5.19),(5.20) выполнено условие не//1 ( и , ¿<);//г(П)) и пусть ¡/р - решение задачи

(5.13), (5.14) при а&г=1/р, *=1.....я, Р>0. Тогда имеет

место оценка

!1«-«Р1! - « ср!и| Л ,

С([«0,4.];^2(0)) я' ((<0,*,);Я2(П))

р

где число с не зависит от р и вектор-функций и(() и и (г). Далее, имеет место

Лемма 5.5.1. Пусть решение задачи (5.19),(5.20) является функцией класса 1/2'2(^). Тогда найдутся не зависящее ст параметра р и вектор-функции и и) числа р и с , такие, что для решения задачи (5.13), (5.14) (/'(() при р=1 /а е(0, р ], А-= = 1,...,5, имеет место оценка

21 , < Co"U^4 2, /

iq (°t] vz (0t)

Следствие 5.5.1. В условии леммы 5.5.1 выпоняется неравенство

■ maX<<'<'V < Colü»^,2fo /

2 lWt;

где число cQ не зависит от параметра р и вектор-функции u{t).

Оценка (5.18), теорема 5.5.1 и следствие 5.5.1 приводят к итоговой оценке погрешности метода штрафа.

Теорема 5.5.2. Пусть для задачи (5.19!,(5.20) выполнено условие леммы 5.5.1. Тогда найдутся не зависящее от Л, т и вектор-функции u(t) числа pQ и с, такие, что для решения задачи (5.15), (5.16) при afel = (/i3/2+Ar=1,...,s, ieJk и (/j3/2-+t )1 (1. р0 ) имеет место оценка

¡«"-„(tjï. * c(ft3/Vc1/2)H .

n l2{Ù) V*-2(0t)

Таким образом, метод декомпозиции области типа покомпонентного расщепления, рассмотренный в п.5.4 для решения задачи с "неидеальным контактом", можно использовать для решения задачи с непрерывным решением с указанными в теореме 5.5.2 параметрами akl. Сходимость при этом носит безусловный характер.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Прежде чем привести традиционный список полученных результатов, сделаем некоторые замечания относительно задач, оставшихся за пределами данного исследования. Во-первых, остался невыясненным вопрос о построении и обосновании метода расщепления для уравнений со смешанными производными при рассмотрении третьей краевой задачи. Далее, при построении явно-неявных методов декомпозиции области интересно было бы включить в алгоритм явные методы с расширенной областью-устойчивости, основанные на использовании чебышевского набора параметров. Формально такая процедура легко осуществима, но при этом отсутствует ее математическое обоснование. И наконец, наибольший, на наш взгляд, интерес представляет вопрос о построении и исследовании методов декомпозиции области на подобласти,, завися-

щие от Бремени. Это касается методов как с налеганием, так и без налегания подобластей. Разработка таких алгоритмов существенно расширила бы класс решаемых задач, включив в него, например, такие нелинейные задачи, как моделирование динамики процессов с фазовыми переходами (задача Стефана).

Теперь приведем краткий перечень полученных в диссертации результатов.

- Разработан апарат построения экономичных алгоритмов в проекционной форме, основанный на понятии концентрирующих операторов. В пространствах следов сеточных функций на многообразиях введены (л,г)-концентрирующие операторы и для кусочно-полиномиальных функций - псевдоконцентрирушие операторы, являющиеся концентрирующими в некоторых подпространствах. Указан способ построения многомерных барицентрических множеств.

- Для концентрирующих, (Л,г)-концентрирующих и псевдоко-концентрирующих операторов получен ряд теорем аппроксимации в пространствах Соболева.

- В пространстве кусочно-линейных функций при помощи концентрирующих операторов в проекционном виде сформулированы некоторые известные схемы расщепления и получены оценки ошибок для этих схем. В частности, для схемы покомпонентного расщепления в ¿2-норме по пространственным переменным и в сеточном аналоге С-нормы по времени для задачи Дирихле (включая уравнения со смешанными производными) получена оценка о(л+т3/4), а для третьей краевой задачи - о(л+г). Для метода переменных направлений на равномерной сетке установлена оценка о(ь2+я2).

- Предложены и исследованы неявные проекционно-сеточные алгоритмы декомпозиции области на налегающие подобласти. Для метода, основанного на разбиении единицы, установлен порядок погрешности о(/!+1). Такой же порядок получен для ошибки метода с пересчетом, но с условием устойчивости т^еЦпл)2.

- На основе метода с пересчетом предложен явно-неявный метод декомпозиции области, в котором для одной из подобластей используется явная схема. При этом, если т^сЛ, а число вспомогательных шагов явной схемы имеет порядок о(т/Л2), то погрешность метода является величиной о(л+т).

- Исследованы двухиаговые методы декомпозиции области на непересекающиеся подобласти. Для метода типа покомпонентного расщепления установлен порядок погрешности о(л+т/л1/'2), а для метода типа переменных направлений - о (/¡+т2/л) •

- Для задач с разрывными решениями предложен метод декомпозиции области с произвольным разбиением на непересекающиеся под,об.гаота. Получена погрешность порядка о(Ь+х 1. На основе этого алгоритма для задач с непрерывными решениями предложен метод штрафа, обладающий безусловной сходимостью с порядком о(л3/4+т1'2).

- На основе декомпозиционного подхода разработан пакет программ по решению тепловых задач в двумерной постановке. При помощи этого пакета исследовались тепловые поля в электродинамических громкоговорителях. Пакет внедрен в ОКБ "Факел" (г.Калининград) и в ВНИИРПА им. А.С.Попова (г. С-Петербург).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Лаевский Ю.М. Проекционно-сеточные методы решения двумерных параболических уравнений. -Новосибирск:Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1987.

2. Лаевский Ю.М. Метод Галеркина переменных направлений с концентрирующим оператором. -Новосибирск,1986. -(Препринт/ АН СССР, Сиб. отд-ние, ВЦ; 635).

3. Лаевский Ю.М. Метод Галеркина переменных направлений решения третьей краевой задачи для двумерных параболических уравнений//Вариационные методы в задачах численного йна'л..-за. - Новосибирск, 1986.

4. Лаевский Ю.М. Пространственно-неоднородные проекционно-сеточные схемы решения параболических уравнений. - Н во-сибирск,1987. - (Препринт/АН СССР, Сиб.отд-ние, ВЦ; 708).

5. Лаевский Ю.М. Методы разбиения области при решении двумерных параболических уравнений//Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа. - Новосибирск,. 1987. -

6. baevsXy Yu.M. Alternating direction Galerkin method oi solving the third boundary value problem for two-